空间两条直线所成的角教学设计

直线与平面所成的角教学目标：1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质；2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角；3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。

教学重点：直线与平面所成的角的定义及其性质，求解直线与平面所成的角的方法。

教学难点：直线与平面所成的角的求解，将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。

教学准备：直角三角形模型，平面模型，直线模型。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线与平面所成的角的概念，让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角，如楼梯的扶手与地面的夹角等。

2. 引导学生观察直角三角形，让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成的角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所成的角，称为直线与平面的角。

2. 讲解直线与平面所成的角的性质：直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。

3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法：利用直角三角形，将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。

三、实例分析（10分钟）1. 分析实例：楼梯的扶手与地面的夹角。

2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。

3. 分析实例：墙角的直角。

4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。

四、课堂练习（5分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。

五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。

2. 拓展思维：直线与平面所成的角在现实生活中的应用，如建筑设计、导航等。

教学反思：通过本节课的学习，学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法，并能运用所学知识解决实际问题。

在教学过程中，要注意引导学生观察实例，培养学生的空间想象能力。

结合练习题和实际问题，提高学生的运用能力。

六、直线与平面所成的角的测量教学目标：1. 学会使用工具（如量角器）测量直线与平面所成的角；2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理；3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。

《空间两条直线所成的角》教学设计罗央旦一、教材分析《异面直线所成角》是高等教育出版社数学基础模块下册9.3.1内容。

它是职高数学教学的重点和难点之一，并且与直线与平面所成的角，平面与平面所成的角都有很大的关联。

所以这块内容掌握的好坏直接影响后面的学习，非常关键。

学生在初中已经学习过平面两条直线所成角，如何把空间两条直线所成角转化成平面中两条直线所成角，这是本节课的关键。

对立体几何这块内容，新大纲要求采用直观教学的方法，遵循从具体到抽象，从特殊到一般的教学原则，利用计算机软件多媒体方式呈现空间几合体，这就需要适当引导学生通过实验，亲身做一做，观察等引出新知识，在理解的基础上，指导学生应用所学知识去解决实际问题，提高学生的学习兴趣。

三、学情分析对学生而言，本节内容比较抽象，难学。

尤其是初中平面几何基础掌握不是很好的，听课似乎是云里雾里。

本节主要内容是两条异面直线所成角的概念，学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念。

突破这个难点的关键是采用多媒体课件进行辅助教学，通过直观的演示，使学生切实明白。

弄清楚了概念后，如何求出这个角也是关键。

涉及到计算问题，就要复习解三角形的相关概念，余弦定理等都要提及。

三、教学目标知识目标：理解空间两异面直线所成角的定义、范围，并会作出、求出两异面直线所成角。

能力目标：培养学生的识图、作图能力，在习题讲解中，培养学生的空间想象能力以及解决问题和分析问题的能力。

情感目标：在对学生进行创造性思维培养的同时，激发学生对科学文化知识的探求热情和逻辑清晰的辩证主义观点。

四、教学重点难点教学重点：对异面直线所成角的定义的理解和应用。

教学难点：如何在实际问题中求出异面直线所成的角。

五、设计思想“授人以鱼，不如授人以渔”。

在教学过程中，我们要传授学生课本知识，但比课本知识更重要的是，通过学习培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，这才是教学的终极目标。

空间两条直线及所成的角教学设计【设计理念】：中职学校立体几何课程以培养学生的逻辑思维和空间想象力为主要目标。

根据我校学生特点，坚持教学课堂的先做后学，先学后教，以教促学的“生本理念”，在处理方式上采用削干强枝，淡化形式的教学原则，通过多媒体应用，加强引导学生通过自己的观察、操作等活动获得教学结论的过程，把合情推理作为学习过程中的一个重要的推理方式。

注重对典型实例的观察、分析，给学生提供动手操作的机会，引导学生进行归纳、概括活动，在经历观察、实验，猜想等合情推理活动后，再进行演绎推理、逻辑论证。

另外，通过“观察、思考、探究”等向学生提出问题，以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动在进行更加主动的思维活动，经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实生活空间中抽象出几何图形和几何问题的过程，注重探索空间图形性质的过程。

一、教学目标知识目标：（1）理解异面直线的概念，掌握空间两条直线的位置关系（2）理解异面直线夹角的定义，熟练掌握求异面直线夹角的的方法能力目标：（1）采用情景、对话、探讨等教学模式，通过动手画图，分析总结，空间想象等小结出异面直线的概念，得出空间里面两条直线的位置关系。

（2）通过平移的方法，得出夹角的定义，并熟练求异面直线的夹角（3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力．情感目标：（1）培养学生善于提出问题、分析问题的思维品质，理解事物之间相互关系、相互转化的辩证唯物主义思想。

（2）努力创造一种和谐、平等、宽松的课堂氛围，让学生乐于学习，敢于表达、交流自己的看法和想法。

二、教学重点和难点：教学重点: （1）异面直线概念的定义，判断异面直线所成的角。

（2）如何求异面直线的夹角。

教学难点：异面直线所成的角【教法分析】在教学内容的处理上，按照“直观感知—操作确认—思辨应用”的认识过程展开。

采用合作讨论法，实践学习法等教学方法，先通过直观感知和操作确认的方法，概括出异面直线的概念。

采用多媒体教学等有效手段，通过对图形的观察、实验和画图，使学生进一步了解空间的直线与直线夹角，学会准确的运用异面直线夹角知识解决一些简单的推理应用问题。

两条直线所成的角一、教学目标(一)知识教学点一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题．(二)能力训练点通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力．(三)学科渗透点训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯．二、教材分析1．重点：前面研究了两条直线平行与垂直，本课时是对两直线相交的情况作定量的研究．两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到，教学时要讲请l1、l2的公式的推导方法及这一公式的应用．2，难点：公式的记忆与应用．3．疑点：推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据．三、活动设计分析、启发、讲练结合．四、教学过程(一)引入新课我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况，对于两条相交直线，怎样根据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题．(二)l1到l2的角正切两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角．为了区别这些角，我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角．图1-27中，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．l1到l2的角有三个要点：始边、终边和旋转方向．现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角，设已知直线的方程分别是l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2如果1+k1k2=0，那么θ=90°，下面研究1+k1k2≠0的情形．由于直线的方向是由直线的倾角决定的，所以我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题．设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2(图1-32)，甲图的特征是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特征是l1到l2的角是l1、l2与x轴围成的三角形的外角．tgα1=k1， tgα2=k2．∵θ=α2-α1(图1-32)，或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)，∴tgθ=tg(α2-α1)．或tgθ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1)．可得即eq \x( )上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆．(三)夹角公式从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的角，简称夹角)就可以了，这时可以用下面的公式(四)例题解：k1=-2，k2=1．∴θ=arctg3≈71°34′．本例题用来熟悉夹角公式．例2 已知直线l1： A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0)，l1到l2的角是θ，求证：证明：设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，则这个例题用来熟悉直线l1到l2的角．例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程．解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰的顺序无关．设l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则．因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，所以θ1=θ2．tgθ2=tgθ1=-3．解得 k3=2．因为l3经过点(-2，0)，斜率为2，写出点斜式为y=2[x-(-2)]，即 2x-y+4=0．这就是直线l3的方程．讲此例题时，一定要说明：无须作图，任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等，要为锐角都为锐角，要为钝角都为钝角．(五)课后小结(1)l1到l2的角的概念及l1与l2夹角的概念；(2)l1到l2的角的正切公式；(3)l1与l2的夹角的正切公式；(4)等腰三角形中，一腰所在直线到底面所在直线的角，等于底边所在直线到另一腰所在直线的角．五、布置作业1．(教材第32页，1．8练习第1题)求下列直线l1到l2的角与l2到l1的角：∴θ1=45°．l2到l1的角θ2=π-θ1=arctg3．2．(教材第32页，1．8练习第2题)求下列直线的夹角：∵k1·k2=-1，∴l1与l2的夹角是90°．(2)k1=1， k2=0．两直线的夹角为45°．∴l1与l2的夹角是90°．3．(习题三第10题)已知直线l经过点P(2，1)，且和直线5x+2y+3=0的夹角为45o，求直线l的方程．即3x+7y-13=0或7x-3y-11=0．4．等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是2x-y+4=0，底面所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在的直线l3的方程．解：这是本课例3将l1与l3互换的变形题，解法与例3相同，所求方程为：x-2y-2=0．六、板书设计。

《空间两条直线所成的角》教学设计天长市工业学校单连智课题：空间两条直线所成的角一、教学目标：1、知识目标：进一步了解空间直线位置关系；理解异面直线；会求简单异面直线所成角2、能力目标：培养学生空间想象能力、动手操作、知识转化能力二、教学重点：异面直线所成的角概念三、教学难点：求两条异面直线所成的角四、教学方法：启发式+互动式教学五、课时安排：1课时六、教学过程：（一）温故知新承前启后空间两条直线位置关系【课件展示】拿两支笔分别代表两条直线,请你摆放它们的位置来表示空间两条直线位置。

（二）动脑思考探索新知1、两条相交直线的夹角【课件展示】图中三支不同颜色的圆珠笔（红黄白）中，红色的圆珠笔与黄色的、白色的圆珠笔都是相交的，但它们之间又有何区别?【课件展示】两条相交直线a 与b的形成4个夹角如图所示，直线a与b的夹角是α还是β？为什么？两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角。

【课件展示】一张纸上画有两条不相交的线段（但所在直线可以相交，交点在纸外）m、n 如图所示.现只给一副三角板和量角器，要求不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出m、n所成角的大小？看谁做的又快又好！2、异面直线所成的角(1)定义【做一做】拿两支笔分别代表两条直线,请你利用课桌面，摆放它们，使得它们的位置是异面直线关系。

【试一试】如图所示，如果红笔在桌上不动、蓝笔与桌面接触点不动，它们的相对位置如何？【思一思】两条异面直线不可能相交，如何形成夹角？经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．【悟一悟】★异面直线所成角的大小只和两条异面直线的位置有关，而和点O位置的选择无关。

★点O常取在两条异面直线中的一条上。

(2)范围【课件展示】请同学们看图，观察两条线（红、绿）是何特殊位置关系？【课件展示】请同学们看图，观察两支笔的位置关系，并自己模仿去摆一摆，分析它们的夹角大小。

直线与平面所成的角教学目标：1. 了解直线与平面所成角的概念及其几何特征。

2. 学会使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。

3. 能够运用直线与平面所成的角解决一些简单的问题。

教学重点：1. 直线与平面所成角的定义及其几何特征。

2. 测量直线与平面所成角的方法。

教学难点：1. 理解直线与平面所成角的定义，能够正确判断直线与平面所成的角。

2. 熟练使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。

教学准备：1. 三角板2. 量角器3. 教学课件或黑板教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入新课：回顾直线与平面的位置关系，思考直线与平面可以形成哪些角。

2. 提问：什么是直线与平面所成的角？它具有哪些几何特征？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所形成的角。

2. 讲解直线与平面所成角的几何特征：它是直线与平面相交的特殊角，具有大小和方向。

3. 讲解测量直线与平面所成角的方法：使用三角板和量角器。

三、实例演示（5分钟）1. 演示如何使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。

2. 让学生分组进行实践，测量不同直线与平面所成的角。

四、课堂练习（5分钟）1. 布置练习题：测量给定直线与平面所成的角。

2. 学生独立完成练习题，教师巡回指导。

五、总结与布置作业（5分钟）1. 总结本节课的主要内容：直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。

2. 布置作业：巩固测量直线与平面所成角的方法，解决一些简单的问题。

教学反思：本节课通过讲解和实例演示，让学生掌握了直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。

在实践环节，学生能够独立使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角，解决了实际问题。

但在教学过程中，要注意引导学生正确理解直线与平面所成角的定义，避免混淆。

可以增加一些拓展练习，提高学生的应用能力。

六、直线与平面所成角的计算教学目标：1. 理解直线与平面所成角的计算方法。

主备人：审核：包科领导：使用时间：§5.1直线间夹角导学案【学习目标】 1. 理解空间两直线夹角的定义。

2. 掌握两直线夹角的算法。

【学习重点】两直线夹角的计算。

【学习难点】公式的应用。

【使用说明与学法指导】1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。

2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。

3.带*号的为选做题。

【自主探究】1.当直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在内的角叫作两条直线的夹角.2.当两条直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作3.两条异面直线所成的夹角的取值范围是4.设直线l1,l2的方向向量为s1,s2，当0≤〈s1,s2〉≤π/2时，直线l1与l2的夹角等于；当π/2 <〈s1,s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于；即：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。

因此，在计算时公式可化简为。

【合作探究】1.如图1，在正方体中，直线AD1与B1C是______直线，所成角为_______.(图1) (图2) (图3)2.如图2，在棱长为2的正方体中，E为A1B1中点，求异面直线AE与B1C所成角的余弦值?3.如图3，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，B 1E 1=D 1F 1=41A 1B 1,求BE 1与DF 1所成角的余弦值?【巩固提高】1. 如图4，正四棱锥S-ABCD 的高SO=2，底边长AB =。

求异面直线BD 和SC 之间的夹角?※2．如图5，在三棱锥S —ABC 中，∠=∠=∠=︒SAB SAC ACB 90，AC =2，【课堂小结】__________________________________________________________________________________________________________________________。

空间两条直线所成的角教学设计教学目标：1.知识目标：了解空间中两条直线所成角的概念和性质，熟练掌握相关定理；2.能力目标：能够应用所学知识解决实际问题；3.情感目标：培养学生对数学学科的兴趣和自信心。

教学重点：1.掌握空间两条直线所成角的定义；2.理解并掌握空间两条直线所成角的性质和相关定理；3.能够应用所学知识解决实际问题。

教学难点：1.熟练掌握空间两条直线所成角的性质和相关定理；2.能够结合实际问题应用所学知识解决问题。

教学准备：1.教师准备：教学课件、黑板、粉笔、直尺、三角板等；2.学生准备：教材、笔记本、铅笔、橡皮等。

教学过程：Step 1 引入新知1.教师可以通过视频或图片等方式，引导学生观察空间中的两条直线相交的情况，并提问：两条直线的相交部分有什么特点？2.引导学生思考，激发学生的兴趣，然后告诉学生这两条直线的相交部分叫做角。

Step 2 规定1.教师向学生传达定义：空间中的两条直线相交，在所在面上形成一个角。

这个角是由两条直线的公共点和这两条直线所在面上相对的两条线段组成的，其中一条线段是两条直线的公共部分，另一条线段是两条直线在同一侧的两条线段。

2. 示意图 on the board: 正确描述和画出一个角。

3.引导学生形成两条直线所成角的概念。

Step 3 规定和练习1.教师向学生介绍两条直线所成角的性质：两条直线所成角的大小只与两条直线所在面上相对的两条线段有关，与这两条直线在空间中的位置无关。

2. 通过示意图 on the board 以及具体的例子，引导学生进行实际测量。

3.教师出示一组图形，让学生观察并说出是否为两条直线所成角，如果是，说明成立的理由是什么。

引导学生发现两条直线所成角的一些特殊情况。

a)两条直线重合；b)两条直线平行；c)两条直线互相垂直。

Step 4 相关定理1.学生先自学教材相关定理，然后教师给出例题，引导学生运用相关定理解答问题。

Step 5 拓展练习1.教师布置一些拓展练习，要求学生运用所学的知识解决实际问题。

【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角【教学目标】知识目标：（1）了解两条异面直线所成的角的概念；（2）理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念，二面角及其平面角的概念．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念．【教学难点】两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定．【教学设计】两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系，它是本节教学的难点．学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念．例1是求异面直线所成的角的巩固性题目，一般来说，这类题目要先画出两条异面直线所成的角，然后再求解．斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．两个平面相交时，它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定．教材从观察建筑房屋、修筑河堤两个实例，结合实验引入二面角的概念，二面角的概念可以与平面几何中的角的概念对比进行讲解．二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置有关，而与平面角的顶点在棱上的位置无关．因此二面角的大小可以用它的平面角来度量．规定二面角的范围为[0,180]．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角*创设情境 兴趣导入在图9−30所示的长方体中，直线1BC 和直线AD 是异面直线，度量1CBC ∠和1DAD ∠，发现它们是相等的．如果在直线AB 上任选一点P ，过点P 分别作与直线1BC 和直线AD 平行的直线，那么它们所成的角是否与1CBC ∠相等？图9−30介绍 质疑引导 分析了解 思考启发 学生思考0 5 *动脑思考 探索新知我们知道，两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角．经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．如图9−31（1）所示，m '∥m 、n '∥n ，则m '与n '的夹角θ就是异面直线m 与n 所成的角．为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点O （如图9−31（2））(1)讲解 说明 引领 分析思考 理解带领 学生 分析nm'm'noθ过 程行为 行为 意图 间*运用知识 强化练习在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数：（1）1DD 与BC ； （2）1AA 与1BC ．提问 指导思考 解答领会知识21 *创设情境 兴趣导入正方体1111ABCD A B C D -中（图9−33），直线1BB 与直线AB 、BC 、CD 、AD 、AC 所成的角各是多少？可以发现，这些角都是直角．图9−33质疑 引导 分析思考启发 学生思考26*动脑思考 探索新知如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l 与平面α垂直，记作α⊥l ．直线l 叫做平面α的垂线，垂线l 与平面α的交点叫做垂足.画表示直线l 和平面α垂直的图形时，要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直（如图9−34所示），其中交点A 是垂足．图9−34讲解说明引领 分析思考 理解带领 学生 分析309.3.1题图过程行为行为意图间*创设情境兴趣导入将一根木棍P A直立在地面α上，用细绳依次度量点P与地面上的点A、B、C、D的距离（图9−35），发现P A最短．质疑思考带领学生分析32*动脑思考探索新知如图9−35所示，PAα⊥，线段P A叫做垂线段，垂足A 叫做点P在平面α内的射影．直线PB与平面α相交但不垂直，则称直线PB与平面α斜交，直线PB叫做平面α的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线段．过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影．如图9−35中，直线AB是斜线PB在平面α内的射影．从上面的实验中可以看到，从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，垂线段最短．因此，将从平面外一点P到平面α的垂线段的长叫做点P到平面α的距离．讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析40*创设情境兴趣导入如图9−36所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标，需要调整好炮筒与地面的角度．图9−36质疑思考带领学生分析42图9−35过程行为行为意图间*动脑思考探索新知斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角，叫做直线l与平面α所成的角．如图9−37所示，PBA∠就是直线PB与平面α所成的角．规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直线与平面所成角的取值范围是[0,90]．【想一想】如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？图9−37讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析47*巩固知识典型例题例2如图9−38所示，等腰∆ABC的顶点A在平面α外，底边BC在平面α内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面α的垂线段AD=10．求（1）等腰∆ABC的高AE的长；（2）斜线AE和平面α所成的角的大小（精确到1º）．分析三角形AEB是直角三角形，知道斜边和一条直角边，利用勾股定理可以求出AE的长；AED∠是AE和平面α所成的角，三角形ADE是直角三角形，求出AED∠的正弦值即可求出斜线AE和平面α所成的角．解(1) 在等腰∆ABC中，AE BC⊥，故由BC=16可得BE=8.在Rt∆AEB中，∠AEB=90°，因此222217815AE AB BE=-=-=.（2）联结DE.因为AD是平面α的垂线，AE是α的斜线，所以DE是AE在α内的射影.因此AED∠是AE和平面α所成说明强调引领观察思考主动求解通过例题进一步领会图9−38过 程行为 行为 意图 间的角. 在Rt ∆ADE 中，102sin 153AD AED AE ∠===， 所以42AED ∠≈︒.即斜线AE 和平面α所成的角约为42︒. 【想一想】为什么这三条连线都画成虚线？讲解 说明思考注意 观察 学生 是否 理解 知识 点55*运用知识 强化练习长方体ABCD −1111A B C D 中，高DD 1=4cm ，底面是边长为3cm 的正方形，求对角线D 1B 与底面ABCD 所成角的大小（精确到1′）.练习9.3.2图提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况60 *创设情境 兴趣导入在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图9−39（1））；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图9−39（2））．在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察．质疑引导 分析思考启发 思考63 *动脑思考 探索新知平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫做一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面讲解（2）图9−39（1）过 程行为 行为 意图 间角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．以直线l （或CD ）为棱，两个半平面分别为αβ、的二面角，记作二面角l αβ--（或CD αβ--）（如图9−40）．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角．如图9−41所示，在二面角α−l −β的棱l 上任意选取一点O ，以点O 为垂足，在面α与面β内分别作OM l ⊥、ON l ⊥，则MON ∠就是这个二面角的平面角． 说明引领 分析 仔细 分析 讲解 关键 词语思考 理解 记忆带领 学生 分析70 *创设情境 兴趣导入用纸折成一个二面角，在棱上选择不同的点作出二面角的平面角，度量它们是否相等，想一想是什么原因． 质疑 思考 启发 思考 72 *动脑思考 探索新知二面角的平面角的大小由αβ、的相对位置所决定，与顶点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定．因此，二面角的大小用它的平面角来度量．当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角．因此二面角取值范围是[0,180]．平面角是直角的二面角叫做直二面角．例如教室的墙壁与地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直．平面α与平面β垂直记作αβ⊥ 讲解 说明 引领 分析 思考 理解 记忆 带领 学生 分析76 *巩固知识 典型例题例3 在正方体1111ABCD A B C D -中（如图9−42），求二面角1D AD B --的大小．说明 强调观察通过图9−40CD图9−41loNM βαCD过 程行为 行为 意图 间图9−42解 AD 为二面角的棱， 1AA 与AB 是分别在二面角的两个面内并且与棱AD 垂直的射线，所以1A AB ∠为二面角1D AD B --的平面角．因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1A AB ∠是直角．所以二面角1D AD B --为90°. 引领 讲解 说明思考 主动 求解例题进一步领会81*运用知识 强化练习在正方体1111ABCD A B C D -中，求二面角1A DD B --的大小.提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况86 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：异面直线所成的角、二面角的平面角的概念？ 结论：经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角． 质疑 归纳强调 回答 及时了解学生知识掌握情况 87 *归纳小结 强化思想引导回忆练习9.3.3题继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例【教师教学后记】“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/。

空间两条直线及所成的角教学设计教学目标：1.了解空间两条直线及所成角的概念和性质。

2.能够判断空间两条直线是否平行、垂直、相交，并能解释原因。

3.能够应用所学知识解决与空间两条直线相关的问题。

教学准备：1.教师准备：教学课件、黑板、粉笔、直尺、量角器等。

2.学生准备：课本、笔和纸。

教学步骤：Step 1 引入新知识（10分钟）1.教师向学生展示一张平面图，其中有两条直线，并问学生这两条直线是否平行、垂直或相交。

2.引导学生观察直线的方向、角度等特点，帮助他们理解直线的性质。

3.教师给出空间两条直线和所成角的定义，并提出学习空间两条直线及所成角的重要性。

Step 2 探索性学习（20分钟）1.学生分组，每组3-4人，给每组发放一张纸和一支笔。

2.要求学生在纸上画出两条直线，并标注两线的特性（平行、垂直、相交），以及所成角的类型（锐角、钝角、直角）。

3.学生相互讨论、比较作图结果，并在纸上写下自己的观察和感悟。

4.随机抽取几组学生进行展示，并邀请他们解释自己的作图解释。

Step 3 知识巩固（30分钟）1.教师在黑板上继续讲解空间两条直线及所成角的性质和判断方法。

2.教师通过例题演示如何判断两条直线的关系，并让学生用直尺和量角器进行实践操作。

3.学生跟随教师一起完成几道练习题，检验自己对空间两条直线及所成角的理解程度。

4.教师将学生的答案进行批改，给予必要的指导和讲解。

Step 4 拓展应用（20分钟）1.教师给学生提供一个拓展问题：已知两条直线，线段CD横穿于直线AB，且相邻的两个角ACD和BCE的度数分别为60°和120°，求直角ACE的度数。

2.学生在纸上画出示意图，并设法找到解题思路。

3.学生互相讨论和解题，找出正确的答案，并解释解题过程。

4.随机抽取几名学生进行解题展示，并请他们上前讲解自己的思路和答案。

Step 5 总结归纳（15分钟）1.教师总结和强调空间两条直线及所成角的重要性和应用价值。