两直线所成的角(夹角)

两条直线的夹角一、 教学目的：1． 分清直线1l 到直线2l 的角与直线2l 到直线1l 的角以及两条直线1l 与2l 的夹角的区别与联系。

2． 掌握直线1l 到直线2l 的角的计算公式3． 掌握直线1l 与直线2l 的夹角的计算公式二、 情感目标：通过对两直线的倾斜角与夹角的关系探索，找出夹角的正切值与两直线斜率之间的关系；运用两角差的正切公式，进一步渗透解析几何的思想，即用代数运算解决几何图形问题；培养学生思维的缜密性、条理性、深刻性。

三、 教学重、难点：1．当一条直线斜率不存在时，如何求解两直线的夹角。

2．根据题意正确使用夹角，到角公式，注意根据图形进行舍解。

四、 教学过程：（一）引入：平面内两条直线的位置关系有平行、重合和相交。

我们分别用直线的代数形式去描述了它们的位置关系。

在相交直线中特殊的位置关系是垂直，即两条直线所成角为90。

因此，我们可以用两直线的夹角大小来描述两条相交直线的位置关系。

平面上，两条相交直线1l 和2l 构成四个角，它们是两对对顶角。

为了区别这些角，通常规定：直线1l 绕着交点M 按逆时针方向旋转到和2l 重合时所得到的角，叫做1l 到2l 的角。

直线2l 绕着交点M 按逆时针方向旋转到和1l 重合时所得到的角，叫做2l 到1l 的角。

2lM 1l当1l ⊥2l 时，即1l 到2l 的角为90。

=⇔21k k 1-或一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在。

通过这充要条件启发我们，1l 到2l 的角的大小是否也可以与1l 、2l 的斜率建立关系呢？（二）推导：设两条直线方程分别是1l ：11b x k y +=，2l ：22b x k y +=（1k ，2k 均存在），1l 到2l 的角θ如果121-=k k ，那么θ=90。

如果121-≠k k ，设1l 和2l 的倾斜角分别是1α和2α，则1k =1αtg ，2k =2αtg不论12ααθ-= 或 )(12ααπθ-+=，都有1212121)(ααααααθtg tg tg tg tg tg +-=-=， 即12121k k k k tg +-=θ 一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，如果只需要考虑不大于直角的角θ（叫做两条直线的夹角），那么有12121k k k k tg +-=θ （θ 90≠） 当两条直线平行或重合时，则它们的夹角是零度角，此时公式仍适用。

空间向量在立体几何中的应用一：两直线的夹角：1.当两条直线1l 与2l 共面时，我们把两条直线交角中，范围在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的角叫作两直线的夹角．当直线1l 与2l 是异面直线时，在直线1l 上任取一点A 作AB ∥2l ，我们把直线1l 和直线AB 的夹角叫作异面直线1l 与2l 的夹角．异面直线的夹角的范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦.2. 直线夹角的向量计算方法：已知空间两条直线a ，b ，且A ，C 是直线a 上不同的两点，B ，D 是直线b 上不同的两点，设直线a ，b 的夹角θ由向量AC BD ，确定，满足||cos ||||AC BD AC BD θ⋅=⋅.要点诠释：空间两直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角.例1. 如图所示，在四棱锥P ABCD －中，底面是矩形，⊥底面. 是的中点，已知，，，求异面直线与所成的角的大小．【变式2】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =2=，AC BC =，D 为1BB 的中点，若异面直线1AB 与CD 的夹角为，求AC 的长．要点二：平面间的夹角1. 平面间的夹角的定义：平面1π与2π相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面1π上作直线1l ⊥l ，在平面2π上作直线2l ⊥l ，则12l l =R 。

我们把直线1l 和2l 的夹角叫做平面1π与2π的夹角.2. 平面间夹角的向量计算方法：设平面1π与2π的法向量分别为1n 和2n ，平面1π与2π的夹角为θ，则121212cos =cos =.θ⋅n n n n n n ，两平面的夹角范围是02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角--a αβ或--AB αβ.（2）区别：平面间的夹角 二面角 构成 面-线-面半平面-线-半平面范围 02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， []0π，表示法语言叙述语言叙述或符号表示例2. 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，AF AB BC FE====12AD，求平面ACD和平面CDE的夹角的余弦值.变式：如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD DC=，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．(1)求证：PB⊥平面EFD；(2)求平面与平面的夹角的大小．三：直线和平面的夹角1.斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面的夹角.如图，l 是平面α的一条斜线，斜足为O ，OA 是l 在平面α内的射影，POA ∠就是直线l 与平面α的夹角.（1）直线和平面所成角的范围是02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.（2）最小角定理：斜线和射影所成的角，是斜线 和这个平面内所有直线所成角中最小的角；2. 线面角的向量计算方法设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的角为ϕ，则有||sin |cos |||||θϕ⋅==⋅a u a u .例3. 如图，在正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，求直线CE 与平面BCD 成的角．变式:四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，45ABC =∠，2AB =，22BC =，侧面SBC ⊥底面ABCD ．3SA SB ==． （Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值．DBCAS变式:如图，四棱锥P ABCD -中，AB AP =，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，4AB AD +=，CD =2，45CDA ∠=︒．若直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30，求线段AB 的长.习题1：如图，在ABC ∆中，ABC ∠︒=60，90,BAC ∠=︒AD BC 是上的高，沿AD 把ABD 折起，使090BDC ∠=. 设E 为BC 的中点，求AE与DB 夹角的余弦值.习题2：如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥AC ，D E 、分别为11AA B C 、的中点，DE ⊥平面1BCC ，若平面ABD 和平面BCD 为60°,求1B C 与平面BCD 的夹角的大小.。

两条相交直线所成的角的范围两条相交直线所成的角是初中几何中的基础知识，让我们先来回顾一下公式：垂直的两条直线所成的角为90度，而相邻的两个角互补，它们的和是180度。

那么，两条相交直线所成的角的范围是多少呢？下面，我们逐步来讲解这个问题。

1. 两条相交直线所成的角的定义及意义两条相交的直线，它们所交的交点处有一个角，这个角叫做两条直线所成的角。

在几何中，两条直线所成的角是一个基本图形，所有的角都可以通过两条直线所成的角来计算。

因此，掌握两条直线所成角的相关知识对学好几何非常重要。

2. 对称角和补角两条相交直线所成的角除了被称为相邻角，还可以分为对称角和补角。

两个角互为对称角，当且仅当它们的顶点相同，两边的方向相反。

而两个角互为补角，则它们的和等于90度。

3. 两条相交直线所成的角的度数范围两条相交直线所成的角的度数范围是0°~180°。

如果两条直线正交，它们所成的角是90度。

如果两条直线不是正交的，那么它们所成的角的度数则介于0度到180度之间。

其中，0度表示两条直线重合，而180度则表示两条直线是平行的。

对于直线所成的角度数有一个注意点：角度数的范围是不包括0度和180度的。

4. 两条相交直线所成的角的重要特性两条相交直线所成的角虽然是一个基本图形，但它有一些重要的特性。

其中，比较常见的有：（1）相邻角的和等于180度。

（2）对称角相等。

（3）补角互补。

除此之外，两条直线所成的角还有很多特性，需要我们进一步去探究。

5. 应用两条直线所成角的应用非常广泛，不仅是几何中的一个基本概念，也在物理、工程学中有着广泛的应用。

在建筑、机械等领域，需要考虑直线和角的关系，从而实现最优化的设计，提高生产效率和质量。

总之，掌握两条相交直线所成的角的度数范围及其重要特性，对学好几何非常重要。

在具体应用中，我们可以根据不同的情况，灵活选用各种性质，从而得到更优的解答。

平面上两直线的夹角求法解析一、容概述在2004年审定的人教A和B版教材中，平面两条直线的夹角概念与相应问题没有涉及到．但是，该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式：，平面向量中直线法向量夹角的余弦及直线方向向量夹角的余弦的应用来进行考查．二、基本概念①平面上直线方程的两种常用表示：直线的点斜式方程：；直线的一般式方程：不全为．②平面上两条相交直线夹角的概念：平面上两条相交直线，所成四个角中的最小角，叫做两条直线的夹角．③平面上两条直线所成角的围：如果两条直线平行或重合，规定它们所成的角为；如果两条直线垂直，规定它们的夹角为；如果两条直线相交且互不垂直，则两直线的夹角围为．④平面上直线的方向向量：基线与平面上一条直线平行或重合的向量，叫做直线的方向向量；直线点斜式方程的一个方向向量为．⑤平面上直线的法向量：基线与平面上一直线垂直的向量，叫做直线的法向量；直线的一般式方程不全为的一个法向量为．三、理论推导1.已知倾斜角，根据两角差的正切公式求两直线夹角.证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为．假设为直线，所成的一角，显然，则，由公式得：又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角围是，所以．从而得：即，平面上直线与直线的夹角．2.已知直线的一般式方程，运用直线法向量夹角余弦求平面上两直线夹角.证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的一般式方程为，一法向量；直线的一般式方程为，一法向量．假设为直线，所成的一角，显然（左图）或（右图）由法向量夹角的余弦得：又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角围是，所以．从而得：即，平面上直线与直线的夹角．3.已知直线的点斜式方程，利用直线方向向量夹角余弦求平面上两直线夹角.证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的点斜式方程为，一方向向量；直线的点斜式方程为，一方向向量．假设为直线，所成的角，显然（左图）或（右图），由方向向量夹角的余弦得：又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角围是，所以．从而得：即，平面上直线与直线的夹角．注意：可以求出直线一般式方程的某个方向向量，也可以求出直线点斜式方程的某个法向量．但是，无论利用哪一种方法，都必须谨记平面上两直线所成角与两直线夹角的区别：两直线夹角的围是，即的三角函数值一定是非负的．四、例题解析对于有关平面上两直线的夹角问题，理论简单，方法也易于掌握，该部分难点是如何根据题意选取恰当的理论和方法来解决问题．下面结合具体实例谈谈求解方法是如何选择的．例1已知直线，的斜率是二次方程的根，试求直线与的夹角．解析：设直线，的斜率分别为，，解二次方程得，，将代入公式得，．所以直线与的夹角．点评：本题结合二次方程求解问题考查第一种方法的运用，解决此类问题的时候，要理解直线倾斜角与直线斜率的关系，并能准确选择求直线夹角的方法．例2求直线与直线的夹角．解析：题目中的直线方程是一般式形式且互不垂直，因此我们选择法向量求夹角的方法．直线一法向量；直线一法向量．将代入公式得，．所以直线与的夹角．点评：本题主要考查对公式的选择及熟练程度，也可以尝试利用方向向量求解，鼓励一题多解．例3光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线线所在直线的方程．解析：联立得反射点的坐标为，由题意知直线过该点，则设的方程为（其中为直线的法向量，不同时为零）．由物理学中的反射原理可知：直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即：，解得或(舍去，否则与重合)．所以，直线的方程为．点评：本题首先应思考将问题转化为求过定点，且与所给直线夹角已知的直线方程；其次，在求直线方程时,往往采用待定系数法——先设出所求直线的方程，再利用直线的夹角求解方法列式求解．五、沉思提高已知直线过点，且与直线的夹角为，求直线方程．。

两条直线的夹角直线是几何中最基础的概念之一，而直线之间的夹角则是我们常常会遇到的几何问题之一。

夹角的概念指的是两条直线在交汇处形成的角度，这个角度可以用来描述直线之间的关系和相对位置。

在本文中，我们将讨论两条直线的夹角以及它在几何学中的应用。

一、夹角的定义夹角是由两条直线在交汇处形成的角度，通常用字母α、β等来表示。

夹角的度量通常以角度的单位来表示，即使用度（°）来度量。

夹角的度量范围一般是0°到180°之间，若夹角大于180°则称之为反向夹角。

二、夹角的分类夹角可以根据角度的大小和两条直线的相对位置进行分类。

1.锐角：夹角的度数小于90°，两条直线在交汇处形成一个尖角。

2.直角：夹角的度数等于90°，两条直线在交汇处形成一个相互垂直的角。

3.钝角：夹角的度数大于90°，两条直线在交汇处形成一个较为开阔的角。

4.平角：夹角的度数等于180°，两条直线在交汇处形成一条直线。

三、夹角的计算方法在计算夹角时，我们可以利用几何学中的一些定理与公式来求解。

1.利用三角函数：当两条直线已知斜率时，可以通过求解斜率的差值并使用反三角函数计算夹角的度数。

2.利用向量：当两条直线已知方向向量时，可以利用向量的点积公式求解夹角的余弦值，然后通过反余弦函数计算夹角的度数。

3.利用坐标：当两条直线已知方程时，可以通过求解两条直线的斜率并使用斜率差值的反切函数计算夹角的度数。

四、夹角的应用夹角是几何学中一个非常重要的概念，它在很多领域都有广泛的应用。

1.几何推理：夹角可以用来推导和证明很多几何定理，例如余角定理、同位角定理、内错角定理等。

2.图像处理：在计算机视觉领域，夹角可以用来描述图像中两个线段的相对位置和方向关系，用于目标检测、图像匹配等应用。

3.工程测量：夹角在工程测量中起着重要的作用，可以用来测量建筑物的方向、查勘地形的坡度等。

4.物体运动：夹角可以用来描述物体的运动轨迹和方向，例如在物理学中用来描述质点的运动轨迹、在航空航天领域用来描述飞机的航向等。

11.3两条直线的夹角(2)教学目标理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角教学难点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角教学方法师生互动教学过程设计说明引入1．引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标（课本p16例1）．（1）01243:1=-+yxl，01127:2=--yxl；（2）01243:1=--yxl，3:2=xl；（3）01243:1=--yxl，0586:2=+-yxl．解：（参考课本p16~17）[说明]复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点坐标的方法.由此引出新的课题.思考并回答下列问题1．（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生观察这两条直线的关系.解答：两条直线的夹角.2．回顾旧知：在初中平面几何中“两直线夹角”的定义是什么？解答：角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形（如右图）．[说明]在复习旧知的基础上引人新课.概念分析关于两直线的夹角1、概念形成两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？怎样定义两条直线的夹角呢？平面上两条直线1l和2l相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，而两条相交直线夹角的取值范围是（]2,0π.现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？[说明]①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性；②提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲2、夹角公式的推导分析：直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角. [说明] 引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.通过类比，寻求思路. 设两条直线的方程分别为1l ：111=++c y b x a （11,b a 不全为零）2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）.设1l 与2l 的夹角为α，1l 与2l 的一方向向量分别为1d 与2d ，其夹角为θ，且1d =),(11a b -,2d =),(22a b -，当]2,0[πθ∈时，则θα=如图甲所示;当],2(ππθ∈时，则θπα-=,如图乙所示.于是得:2222212121212121|||||||||cos |cos b a b a b b a a d d d d +⋅++=⋅⋅==θα.即为直线1l 与2l 的夹角公式.特别地,当且仅当02121=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2π,即1l 与2l 垂直.也就是说:1l ⊥2l ⇔1d 垂直2d ⇔1n 垂直2n ⇔02121=+b b a a (其中1n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量)补角；③小题（2）,注意结合图形,正确取舍课堂练习练习11.3（2）----1,3课堂小结1．本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式的方法，要理解、体会其中的思想方法；2．会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题；3．熟练运用夹角公式求两条直线的夹角.注意不垂直的两条相交直线的夹角为锐角；4．进一步讨论了求直线方程的方法：运用待定系数法时，可设直线方程为点法向式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时，需要分类讨论.作业1、书面作业：练习11.3（2）----2,4习题11.3 A组----10,11,122、思考题：光线沿直线l1：022=-+yx照射到直线l2：022=++yx上后反射，求反射线所在直线3l的方程.解由)2,2(2222-⎩⎨⎧=++=-+，得反射点的坐标为yxyx.设3l的方程为0)2()2(=++-ybxa（其中),(ban=为一法向量，ba,不同时为零）由反射原理,直线1l与2l的夹角等于2l与3l的夹角，得babababa211252552222-==⇒+⋅+=⋅+或,舍去ba2=(否则与l1重合) ,所以ba112-=,得3l的方程为26112=--yx.3．思考题：在y轴的正半轴上给定两点A（0，a），B（0，b），点A在点B上方，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取到最大值. 答：abC=.[说明] ①作业1是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业2、3设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，学生可以根据实际情况选用.。

什么是夹角如何计算夹角
夹角是指由两条相交的直线所围成的角度。

它常常在数学和几何学
中使用，用于描述和计算两条直线之间的相对方向或夹开的程度。

夹
角的计算方法根据两条直线的位置关系和角度类型的不同而有所不同。

夹角的计算方法如下：
1. 垂直夹角：当两条直线相交于一点，并且其中一条直线与水平方
向垂直时，这两条直线所夹的角度称为垂直夹角。

垂直夹角的计算方
法是通过测量两条直线之间的角度差来确定，一般使用量角器或角度
测量仪进行测量。

2. 对顶角：当两个直角三角形共享一个顶点时，其底边所对应的两
个角称为对顶角。

对顶角的计算方法通常利用三角函数，例如正弦、
余弦和正切函数，根据已知的边长或角度来计算对顶角的大小。

3. 夹脚问题：当两条直线互相平行，但不相交时，它们所夹的角称
为夹脚。

夹脚的大小可以通过测量两条平行线与两条相交线之间的夹
角来确定，同样可以使用量角器或角度测量仪进行测量。

4. 切线问题：在圆的几何中，当一条直线与圆相切时，直线和半径
之间的夹角称为切线角。

切线角的计算方法可以通过使用三角函数，
例如正切函数，根据已知的半径长度和切线长度来计算。

5. 平面夹角：在三维空间中，当两个平面相交时，它们所夹的角度
称为平面夹角。

平面夹角的计算方法一般使用向量的内积或相关的向
量运算来确定。

总结起来，夹角的计算方法根据不同的几何情况和所需精度而有所不同。

在实际应用中，我们可以根据具体的题目要求和几何形状来选择适当的计算方法，以准确地计算夹角的大小。

两直线所成的角（夹角）教学目标 (一) 知识教学点：一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题． (二) 能力训练点通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力． (三) 学科渗透点训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯． 二、教材分析1． 重点：前面研究了两条直线平行与垂直，本课时是对两直线相交的情况作定量的研究．两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到，教学时要讲请1l 、2l 的公式的推导方法及这一公式的应用． 2，难点：公式的记忆与应用．2． 疑点：推导1l 、2l 的角公式时的构图的分类依据． 三、活动设计分析、启发、讲练结合． 四、教学过程 学生活动答1：通过直线的斜率或从方程的特点来观察答2：通过它们相交所得到的角的大小。

教师活动前言：不重合的两条直线的位置关系，除了平行就是相交，在相交的情况下垂直关系是非常特殊的，那么还有那么多的一般的相交情况值得我们去研究。

一、提出问题、1． 解析几何中怎样判断两条直线的平行和垂直？2． 对于两条相交的直线，怎样来刻画它们之间的相交程度呢？二、新课、（出示图形）两条直线相交就构成了两对对顶角，同学们已经想到用角的大小来刻画两答：学生说出哪个角为2l 到1l 的角。

归纳：“到”角的三个要点：始边、终边和旋转方向。

就此提出“到”角实际上是一个“方向角”。

答：1l 到2l 的角与2l 到1l 的角的和是180° 答：“到”角的范围为：),0(π通过动画的演示由学生归纳出两直线的斜率变化的的确确导致了1l 到2l 的角的变化，增强信心推导公式。

条直线的相交程度。

（取个名字是很重要的） 1、 概念的建立：（1）“到”角：两直线相交，把直线1l 按逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角，叫做1l 到2l 的角。

11.3(2) 两条直线的夹角教学目标设计理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点及难点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角.教学用具准备多媒体设备教学流程设计一、复习引入1．引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标（课本p16例1）．（1）01243:1=-+y x l ， 01127:2=--y x l ； （2）01243:1=--y x l ， 3:2=x l ； （3）01243:1=--y x l ， 0586:2=+-y x l ．解：（参考课本p16~17）[说明]复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点坐标的方法.由此引出新的课题. 思考并回答下列问题1．（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生观察这两条直线的关系. 解答：两条直线的夹角.2．回顾旧知：在初中平面几何中“两直线夹角”的定义是什么？解答：角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形（如右图）．[说明]在复习旧知的基础上引人新课.二、学习新课关于两直线的夹角 1、概念形成 两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？怎样定义两条直线的夹角呢？它们平面上两条直线1l 和2l 相交构成四个角，是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π ，而两条相交直线夹角的取值范围是（]2,0π.现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？[说明]①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性；②提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲2、夹角公式的推导分析：直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角. [说明] 引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.通过类比，寻求思路.设两条直线的方程分别为1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零） 2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）.设1l 与2l 的夹角为α，1l 与2l 的一方向向量分别为1与2，其夹角为θ，且1d =),(11a b -,2d =),(22a b -，当]2,0[πθ∈时，则θα=如图甲所示;当],2(ππθ∈时，则θπα-=,如图乙所示.于是得:2222212121212121|||||||||cos |cos b a b a b b a a d d +⋅++=⋅==θα.即为直线1l 与2l 的夹角公式.特别地,当且仅当02121=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2π,即1l 与2l 垂直.也就是说:1l ⊥2l ⇔1d 垂直2d ⇔1n 垂直2n ⇔02121=+b b a a (其中1n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量)而由02121=+b b a a ,易得当0,021≠≠b b 时,有12211-=⋅b a b a ,即当两条直线的斜率都存在时, 1l 与2l 垂直的充要条件是,121-=k k 其中21,k k 分别为直线1l 与2l 的斜率.[说明]①培养学生周密分析，严格论证的能力.由于直线的夹角与两个向量的夹角有区别,前者的范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π.后者的范围是],0[π,因此必须考虑两种情况]2,0[πθ∈与],2(ππθ∈;② 允许学生从斜率的角度考虑,但是不作为本课的重点,可留做课后探讨.3、例题分析例1：（回到引例）求下列各组直线的夹角：（1）01243:1=-+y x l ， 01127:2=--y x l ； （2）01243:1=--y x l ， 3:2=x l ；解：设1l 与2l 的夹角为α，则由两条直线的夹角公式得(1),9651932712743|)12(473|cos 2222=+⋅+-⨯+⨯=α 96519327arccos =∴α即为所求;(2) 53arccos ,530143|0)4(13|cos 2222=∴=+⋅+⨯-+⨯=αα即为所求.[说明]①解决本课开头提出的问题, 本环节的设计目的是使学生熟悉夹角公式的初步应用;②鼓励学生一题多解,对于小题(2),由于直线2l 的斜率不存在,还可以数形结合(图略)，求得1l 的倾斜角43arctan =θ,得出1l 与2l 的夹角为43arctan 2-π）． 例2：若直线1l ：313--=x a y 与2l ：01)1(2=+++y a x 互相垂直，求实数a的值.（补充）解：先把直线1l 的方程化为一般形式1l ：013=++y ax . ∵两直线垂直,∴0)1(32=++a a ，∴53-=a 为所求．[说明] 通过练习强调两条直线垂直的充要条件，指出公式适合的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，以便确定系数．例3：已知直线l 过点)1,4(-P ，且与直线013:=+-y x m 的夹角为10103arccos，求直线l 的方程.(补充) 解：（方法一）设l 的方程为0)1()4(=-++y b x a （其中),(b a n =为l 的一法向量），则,10103)1(3|3|2222=-++-b a b a 即|3|322b a b a -=+ 化简为0)43(=+b a b 解方程，得b a b 43,0-== 当0=b 时，则0≠a ，此时方程为4-=x当043≠-=b a 时，方程为0)1(3)4(4=--+y x ，即01934=+-y x综上, l 的方程是4-=x 或01934=+-y x .（方法二）设点斜式，按直线l 的斜率是否存在分两类讨论 ① 若直线l 的斜率不存在，则过点)1,4(-P 直线l 的方程为4-=x ，设它与直线013:=+-y x m 的夹角α，则10103arccos,101030113|0)1(13|cos 2222=∴=+⋅+⨯-+⨯=αα，满足题意. ②若直线l 的斜率存在，那么设直线l 的方程为)4(1+=-x k y ,即014=++-k y kx ,设它与直线013:=+-y x m 的夹角α，则则,10103)1(3)1(|13|2222=-+-++k k 即|13|132+=+k k ,解得34=k , 所以直线l 的方程为)4(341+=-x y ,化简得 01934=+-y x , 由①②可知, l 的方程是4-=x 或01934=+-y x .[说明] ①启发学生探讨“求过某定点P ，且与已知直线夹角为α的直线方程”这类基本问题的处理方法；②一般地, 求直线方程时,往往采用待定系数法:先设出的直线方程，再利用直线的夹角公式列式，求解；③分析思路，启发学生一题多解.若设点斜式，学生可能只求出一条直线，启发学生从平面几何分析，应有两条直线.但为什么有的学生求到只有一条呢？让学生在矛盾中顿悟：需要按斜率是否存在分两类讨论，而且利用直线的夹角公式时，都必须先化为直线方程的一般形式.④例3类同于教材中的例4，教材中例4给出的夹角为特殊值3π，本例为10103arccos，目的让学生熟悉反三角的表示. 例4：已知ABC ∆的三个顶点为)5,5(),1,6(),1,2(C B A(1)求ABC ∆中A ∠的大小;(2)求A ∠的平分线所在直线的方程. （补充）解:（1）方法一:直线AB 的方程为:1=y ，直线AC 的方程为:0534=--y x ,设它们的夹角为α,又A ∠为锐角,所以A ∠=α， 则53arccos ,53cos =∴=A A 即为所求;方法二:数形结合,因为34arctan ,34,0=∠∴==A k k AC AB 即为所求. （2）方法一：设角平分线所在直线方程0)1()2(=-+-y b x a ，即02=--+b a by ax .由角平分线与两边AC AB ,成等角，运用夹角公式得|,34|||55|34|||2222b a b ba b a ba b -=⇒+-=+解得 b a b a =-=22或,由题意,舍b a 2= 所以角平分线的方程为：02=-y x .方法二: 数形结合,利用半角公式先求角平分线所在直线的斜率为212(2122tan=∴--==k A k ），舍或, 又已知它过点（2，1）， 所以，角平分线的方程为：02=-y x[说明]①巩固提高.因为本题中,直线AB 的方程为:1=y ,因此采用方法二更简洁些.但是方法一却是解决此类问题的基本方法.②小题（1）,求三角形的内角,一般先求过A 的两条边所在直线方程，由夹角公式可求得.需要注意夹角公式所得的角是三角形内角或其补角；③小题（2）,注意结合图形,正确取舍.三、巩固练习练习11.3（2） ----1,3四、课堂小结1．本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式的方法，要理解、体会其中的思想方法；2．会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题； 3．熟练运用夹角公式求两条直线的夹角.注意不垂直的两条相交直线的夹角为锐角；4．进一步讨论了求直线方程的方法：运用待定系数法时，可设直线方程为点法向式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时，需要分类讨论.五、作业布置1、书面作业：练习11.3（2） ----2,4习题11.3 A 组----10,11,122、思考题：光线沿直线l 1：022=-+y x 照射到直线l 2：022=++y x 上后反射，求反射线所在直线3l 的方程. 解 由)2,2(022022-⎩⎨⎧=++=-+，得反射点的坐标为y x y x .设3l 的方程为0)2()2(=++-y b x a （其中),(b a =为一法向量，b a ,不同时为零） 由反射原理,直线1l 与2l 的夹角等于2l 与3l 的夹角，得b a b a ba ba 211252552222-==⇒+⋅+=⋅+或,舍去b a 2=(否则与l 1重合) ,所以b a 112-=,得3l 的方程为026112=--y x .3．思考题：在y 轴的正半轴上给定两点A （0，a ），B （0，b ），点A 在点B 上方，试在x 轴正半轴上求一点C ，使∠ACB 取到最大值. 答：ab C =.[说明] ①作业1是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业2、3设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，学生可以根据实际情况选用.。

两条直线所成的角教学目标1.使学生理解两条直线夹角的概念，掌握夹角公式的推导及运用.2.通过夹角公式推导过程的教学，培养学生周密分析、严格论证的能力.3.使学生进一步体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法.教学重点与难点夹角公式的推导与解析法的运用.教学过程一、复习提问师：请同学们回忆一下，平面内不重合的两条直线的位置关系有几种?分别是什么?生：两条直线的位置关系有平行和相交两种.(学生有可能答平行和垂直两种位置关系，教师应注意纠正.)师：相交这种位置关系中有一种非常特殊的情况，即两条直线垂直，在解析几何中是利用什么来判定两条直线垂直的呢?生：利用两条直线的方程.师：对!直线方程是直线这一平面图形的代数化，通过对直线方程的性质的研究就可以得到相应的图形——直线的性质，那么两条直线l1和l2的方程有什么性质，两条直线便垂直了?生：如果两条直线的斜率都存在，而且斜率互为负倒数，两条直线互相垂直.反之，若两条直线互相垂直，斜率互为负倒数.师：如果两条直线斜率都不存在呢?生：因为这两条直线都垂直于x轴，所以根本不可能互相垂直.师：如果一条直线l1的斜率存在，而另一条直线l2斜率不存在呢?生：关键是看l1的斜率k1是不是等于零，如果k1=0，那么l1垂直于l2，如果k1≠0，l1与l2肯定不垂直.(如果学生答不出来，可以画出l2帮助思考.)师：好，通过以上这些问题，综合起来才是完整的，同学们在考虑直线的问题时，一定要注意直线的斜率是否存在.另外，直线间的位置关系与直线的斜率密切相关，斜率又由倾斜角来确定，所以研究直线的位置关系就离不开倾斜角这一几何图形的帮助，这一点同学们在推导两条直线平行垂直的判定方法就应该注意到了.然而两条直线相交更一般的情况是不垂直，那用什么来刻画两条直线的相对位置呢?(用两支铅笔演示两条直线相交成角变化，学生一般能回答出来用角来刻画.)二、讲授新课师：请同学们看，两条直线相交，一共构成几个角?它们之间有什么关系?生：一共构成4个角，它们是两对对顶角.师：如果这4个角全相等，我们称这两条直线垂直.如果这4个角不全相等，为统一也为研究方便，我们研究哪对对顶角更好呢?生：愿意研究锐角.师：我们给出定义.(板书)1.两条直线所成的角两条直线相交，称不大于直角的角叫做两条直线所成的角，简称夹角.师：由夹角定义，能否得到夹角θ的取值范围呢?生：θ∈(0, )，(随着学生说，将结果写在定义后面.)师：如果只研究两条直线斜交的位置关系，有两条直线的夹角就足够了，但是要研究多条直线时，夹角就有局限性，比如图1-24中，l1与l3的夹角等于l2与l3的夹角，但l1与l2的位置关系并不确定，所以最好让“角”也具有方向.(板书)2.l1到l2的角把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角，简称到角.师：如图1-25，l1到l2的角为θ1，l2到l1的角为θ2，θ1和θ2有什么关系?生：θ1与θ2和为180°.师：可以看出，到角是有顺序的，它具有指向性，我们现在关心的是l1到l2的角是多大，如何用解析几何的方法来求证?生：应该对两条直线方程进行研究.师：为了具有一般性，我们设出直线的方程.(板书)设l1： y=k1x+b1，或x=x1；l2： y=k2x+b2，或x=x2， (k1≠k2)师：可以看到，l1、l2的方程情况很多，先研究简单、特殊的情况——有一条直线斜率不存在.(1) 若l1： y=k1x+b1,l2： x=x2，那么l1到l2的角可通过图形来观察.显然θ与l1、l2的倾斜角α1、α2相关，根据图1-26(1)可以看出θ=α2-α1=90°-α1；根据图1-26(2)则有θ=α2+180°-α1=270°-α1，由于这种情况特殊，所以画出图来帮助分析就可以了，我们研究的重点是两条直线斜率都存在时，l1到l2的角如何计算.(2) 若l1： y=k1x+b1,l2： y=k2x+b2,且1+k2k1≠0(因为要研究两直线斜交的情况).设l1到l2的角为θ.师：请同学们思考θ与直线方程的关系，明确地说，由什么量决定θ?生：两条直线所成的角应该和这两条直线的方向有关(教师追问直线方向的代数化是什么).直线的方向的代数化是直线的斜率，所以l1到l2的角应该和这两条直线的斜率有关.师：我们现在想找θ与k1、k2的关系，应该怎么办呢?生：θ是角，k1，k2是实数，不太容易找关系.生：k1、k2也是和角有关的，是不是可以间接找关系?生：试试先找θ和l1、l2的倾斜角的关系，然后再转化为k1、k2的关系.师：很好,l1,l2的倾斜角α1、α2是联系θ与k1、k2的纽带了，能不能凭空想出θ与α1、α2的联系?生：应该画图帮助思考.师：请一位同学在黑板上画出图形，反映两直线斜交的情况，其他同学在笔记本上画.(教师巡视学生作图情况，根据黑板上作出的图形，另外挑一位同学上黑板画图，两个图形分别代表α1＜α2，α1＞α2的情况，如图1-27.＝师：两幅图有什么区别?生：图(1)中α1＜α2，图(2)α1＞α2.师：l1、l2相以位置不同，θ与α1、α2的关系可能不一样，我们先研究图(1)中的情况.由于l1与l2相交，α2为三角形的外角，α1为这个三角形的内角，故有(板书)θ=α2-α1.师：得到了θ与α1、α2的关系，如何转化为斜率呢?生：取角的正切.师：为什么?生：因为斜率是倾斜角的正切值，取了角的正切，就把这个倾斜角转化为斜率了.师：等式两边取正切，有(板书)tanθ=tan(α2-α1)= (转化为倾斜角的正切)＝ (化为斜率).师：由于k1、k2存在且1+k2k1≠0，所以这个关系式有意义，对于图(2)是否有相同的结论呢?可以看到，α1是三角形的外角，α2是三角形的内角，α1=α2+(180°-θ)，所以有(板书)θ＝180°+α2-α1.生：仿照上面的做法，等式两边取正切，然后利用两角差的正切公式，转化为单角的正切.(学生叙述，教师板书)tanθ=tan(180°+α2-α1)=tan(α2-α1) (诱导公式)==.师：比较两种情况的结果发现，无论l1与l2的相对位置如何，l1到l2的角的正切的表达式是一致的.(板书)3.“l1到l2的角”公式，设θ是l1到l2的角，则有tanθ=.师：同学们要注意，公式的分子是角的终边所在直线l2的斜率减去角的始边所在直线l1的斜率，绝不能颠倒.由tanθ的取值情况，能否判定θ的取值?生：当tanθ＞0时，θ是锐角，当tanθ＜0时，θ是钝角.师：这个公式该怎么证呢?生：利用两角差的正切公式.生：记公式的推导过程，只记图(1)中的3个角的关系.(这时不必强求一致)师：怎么求l2到l1的角呢?.师：同学们在利用这一公式求“到角”时，一定要注意哪条直线是l1，哪条直线是l2，还需要条件l1与l2不垂直，即1+k2k1≠0.接下来的一个问题是：tanθ和tanθ′有什么关系?说明了什么?生：tanθ和tanθ′互为相反数.说明θ和θ′二个角中，一个是锐角，一个是钝角，正切值的绝对值相等，所以θ+θ′=180°.师：两条直线的夹角φ要么等于l1到l2的角θ，要么是l2到l1的角θ′，那么tanφ如何计算?生：两条直线的夹角的正切一定是正的，tanφ=｜tanθ｜=｜tanθ′｜.(板书)4.夹角公式tanφ＝师：显然φ是锐角了，我们现在有两种角，一个是到角，有方向的，可能是锐角，可能是钝角；另一个是夹角，无方向，只能是锐角，求角时要注意求的是夹角还是到角，弄清角的类型再调动相应的公式.师：我们来利用所学的知识解决一些问题.(板书，或找出投影)例1 求直线l1： y=-2x+1和l2： y=x-的夹角.师：这里已知两直线方程，要求两条直线的夹角，如何处理?生：由已知直线方程就可以知道两条直线的斜率，再利用夹角公式就能求出夹角了.师：求夹角不必考虑始边与终边，直接代入夹角公式计算结果.解直线l1的斜率为k1=-2，l2的斜率为k2=1，所以l1与l2的夹角θ有：tanθ=.因为θ是锐角，所以θ=arctan3.师：如果再求l1到l2的角，这个角多大?，l2到l1的角又多大?生：那需用到角公式，求出l1到l2的角的正切为-3，这个角是钝角，所以l1到l2的角是π-arctan3，l2到l1的角是arctan3.师：答案正确，从这道题的求解我们可以总结些什么规律?明确地说，是该如何选择公式?结果是正不是负?生：如果所求是两条直线的夹角，就用夹角公式，求出的值必是正值，如果求一条直线到另一条直线的角，就得用到角公式，它不带绝对值符号，求出的值可能是正的，也有可能是负的.师：归纳得很好，之所以求夹角时选用带有绝对值符号的公式，是因为不必区分两条直线中的哪一条是始边，哪一条是终边；而“到角”具有方向性，所以公式中的分子是终边的斜率减去始边的斜率，由正切值判断这个角是锐角还是钝角，当难以区分夹角还是到角时应画出图形帮助分析，判断.(板书)例2 等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程.师：要求直线l3的方程，已知点(-2，0)在l3上，故只需求出l3的斜率k3，要求k3，运用方程思想，要建立关于k3的一元方程.那么就需从题目中挖掘等量关系，从而转化为一个含k3的等式，显然“等腰三解形”这一条件十分重要，它能推出两腰长相等，两底角相等.那么与k3有关的条件是底角相等，所以要用已知的直线方程表示等腰三角形的底角，通过等腰三角形两底角相等建立关于k3的等式.(由学生列等式，教师巡视，从中发现不当的解法，加以展示.)生：因为l3、l1是三角形的二腰所在的直线，所以l3与l2的夹角等于l1与l2的夹角，所以有(板书)，解得k=,或k=2.生：k3=是增根，因为l3的斜率等于l1的斜率，所以l3和l1平行，不可能构成三角形，这个解法有问题.师：这就是我们刚才说的，两个夹角相等，二直线位置并不确定，所以应用到角，为避免错误，结合直纲图形加以判断.(只需画出三线相对位置，如图1-28.)生：由图可以看出，l2到l1的角θ1等于l3到l2的角θ2，列式(板书)，解得 k3=2.因为 l3过点(-2，0)，所以直线l3的方程为y=2(x+2)，即2x-y+4=0.师：通过这两道例题，我们可以看到，恰当地调用公式是十分重要的，角度与两条直线的先后顺序没有关系时，应选用夹角公式，运算可变得简捷一些，但一定要加以判断：角是否与直线顺序无关；若角度与直线的先后顺序有关，或是出现多条直线时，通常要用“到角”公式，且要画图以助分析.三、小结师：本节课研究的是两条直线斜交所在的角、有关公式及应用，从公式推导过程，同学们要体会其中的数学思想：如转化思想，方程思想，分类讨论思想，数形结合思想，体会研究解析几何问题的基本方法，此外要掌握公式并能灵活运用.四、作业(1) 复习课本中“两条直线所成的角”一节.(2) 课本习题(略).设计说明直线是最基本、最简单的平面图形，学生在初中就已研究过许多有关直线的理论，如两条直线平行、相交的位置关系，成角与距离等数量关系，但在解析几何中，解析法这种方法对学生来说是陌生的，所以课本要通过直线这一学生熟悉的图形、学生熟知的性质来使学生理解并掌握解析几何的基本思想和方法.对于两直线成角，学生并不难理解与接受，因为他们已经有了研究两条直线平行和垂直位置关系的经验.其实平行和垂直都是两直线成角的问题，都是通过两条直线的斜率(如果存在)来研究的，因而利用斜率讨论两条直线斜交的成角就十分自然了，在研究过程中，都离不开斜角这个中间环节，学生不难想到研究新问题的手段与方法，所以在教学中应多启发学生，让学生参与到问题的研究中来，通过类比、归纳、推证得出结论.在教学中要注意解析几何思想方法的渗透，时刻提醒学生，我们是用代数方法研究几何图形，同时注意思考上要严密，表述上要规范，学好这一章的知识能为进一步研究圆锥曲线作好知识上方法上的准备，也为今后灵活运用解析几何的基本思想方法打下坚实的基础.。