含参变量反常积分共37页

|∫
d
d −η
f ( x, y )dy |< ε ，
则称含参量反常积分
∫
d
c
f ( x, y )dy 在 [a, b] 上一致收敛．
例6 证明 ∫
+∞
0
cos x 2 dx关于在上内闭一致收敛 p ( −1,1) p x
即证 ∀[ p0 , p1 ] ⊂ ( −1,1),
∫
+∞
0
∫
+∞
0
2 2 +∞ cos x 1 cos x cos x 2 dx = dx + ∫ dx = I1 + I 2 p p p ∫ 0 1 x x x
sin xy dy y
在，）上一致收敛（其中但在 [δ + ∞ δ > 0),
（，）内不一致收敛。 0 +∞
分析
A > A0 要证：∀ε > 0, ∃A0 > 0, 使得当时，
对一切，都有 x ∈ [δ , +∞ )
|∫
+∞ A
sin xy dy |< ε y
证
+∞
令 u=xy, 得
+∞ sin u sin xy ∫ A y dy = ∫ Ax u du 其中 A > 0. +∞ sin u 由于 ∫ du 收敛，故 0 u 就有 ∀ε > 0, ∃A0 > c，使得当时， A > A0 +∞ sin u |∫ du |< ε A u A0 取N = 时 则当A > N 时有 Aδ > A0， δ 对一切 x ∈ [δ，+ ∞ )， 有 Ax ≥ Aδ > A0， +∞ sin xy +∞ sin u 从而 | = ∫ A y dy | | ∫ Ax u du |< ε +∞ sin xy 所以 ∫ [δ + ∞ 一致收敛. dy 在，） 0 y

充分性 若 0, N c, M A1 , A2 N ,

则令 A2 , 得
A2 A1
f ( x , y )dy .


c
M
f ( x , y )dy .
这就证明了 I ( x )

f ( x , y )dy 在 J 上一致收敛.
*例2 证明含参量的反常积分
( y)
1
g( A1 , y ) A g( A1 , y ) A

魏尔斯特拉斯(Weierstrass) M 判别法
设有函数 F(x), 使得
f ( x , y ) F ( x ) , a x , y .
若 F ( x )dx 收敛, 则
对A, A a ,
A
A
f ( x , y )dx
a
A
f ( x , y )dx
a
A
f ( x , y )dx 2 M .
于是, A1 , A2 A, y , 由积分第二中值定理，
A
A2
1
f ( x , y ) g ( x , y )dx
或简单地说含参量积分(1)在 上一致收敛.
注1 由定义, I ( y ) 充要条件是

a
f ( x , y )dx 在 上一致收敛的
( A) sup
y

a

A
f ( x , y )dx 0 ( A ).

注2 由定义, I ( y )

f ( x , y )dx 在 上不一致收敛
若I ( y)

a
f ( x , y )dx 在 上一致收敛, 则

收敛，则
f ( x)dx 必收敛，并有
a
a
a f ( x)dx a | f ( x) | dx.
证
|
f
( x) | dx
收敛，则由Cauchy准则，
a
0,G a,u1 u2 G,有
u2 | f ( x) | dx u2 | f ( x) | dx .
u1
u1
又 u2 f ( x)dx u2 | f ( x) | dx .
dx收敛， xp
由比较判别法
1
cos x xp
dx收敛。
(2) 当0 p 1时，
u 1,
u
cos xdx sin u sin1 2,
1
1 xp
单调趋于0，(
x
)
由狄利克雷（Dirichlet)判别法， 1
coxspxdx收敛。
但： cos x xp
cos2 x x
1 cos 2x , x [1,), 2x 2x
而
eaxdx lim
0
u
u eaxdx
0
lim
u
1 a
e ax
|0u
1. a
eax sin bx dx 收敛. 反常积分收敛. 0
定理 （积分第二中值定理）
设函数f在[a,b]上可积，
（i）若函数g在[a,b]上减且，g( x) 0,则 [a,b],使
b
a f ( x)g( x)dx g(a)a f ( x)dx;
从而
u
|
f ( x) | dx
有上界,
|
f ( x) | dx
收敛.
a
a
例1
判断
1

sin
bx
x
sin
ax
abcosxydy，故
I 0 e px(abcosxydy)dx 0 dxabe pxcosxydy.
由于e pxcosxy e px及0 e pxdx收敛,根据魏尔斯特拉斯M判别法,
0 e pxcosxydx在区间[a,b]上一致收敛.
又e pxcosxy在[0,) [a,b]上连续,故由定理19.11,积分换序值不变,
(x,
y)dx
c
dyab
f
(x,
y)dx.
证毕
定理 19.12 设f (x, y)在区域[a,) [c,)上连续, 若
(i) a f (x, y)dx对于y在任何闭区间[c, d ]上一致收敛, c f (x, y)dy 对于x在任何闭区间[a, b]上一致收敛.
(ii) 下列积分有一个收敛 :
0
e
px
sin ax x
dx
arctan
a p
（p 0）.
e px
sin ax 在0 x
p
连续, 0 e px
sin ax x
dx一致收敛(0
sin ax x
dx
在0 p 上一致收敛, e px关于x单减且 | e px | 1,阿贝尔判别法)
0 e px
sin ax dx在0 x
p
上连续, 从而
0
sin ax dx x
lim
p0
0
e
px
sin ax x
dx
lim
p0
arctan
a p
2
sgn
a.
练习4
计算
I
0
ex

|e
x
sin x | e
0 x
而积分
所以


0
e0 x dx 收敛，


0
e x sin x dx 在 [0 ,) (0 0) 内一致收敛
狄利克雷判别法;
若 (i) N c, 含参量反常积分 f ( x, y)dy 对参数x在[a, b] c
sin ydy 关于 x [0,) 不一致收敛.
在上式两端对 y 求导，得
d ( y ) f ( x, y ) dx dy a
定理证毕。
含参量反常积分的性质
• 连续性
设f ( x, y)在[a, b] [c,)上连续， 含参量反常积分
I ( x)
c
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛, 则I ( x)在[a, b]上连续.

A2
A1
f ( x, y )dy .
一致收敛的充要条件; 含参量反常积分
c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要
条件是:对任一趋于 的递增数列 An (其中 A1 c ),函数
项级数

n 1

An1
An
f ( x, y )dy un ( x) 在 [a, b] 一致收敛.



M
f ( x, y )dy ,
则称含参量反常积分 c f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛于 I ( x) .
3 、 含参量反常积分一致收敛的判别方法
一致收敛的柯西准则: 含参量反常积分
c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要

使得 : f ( x1, y)dy 0 .
一般地, 取M n max n, A2 n1 , (n 2), 则有


A2 n A2 n1 M n及xn [a, b], 使得 :

A2 n
A2 n 1
f ( xn , y)dy 0
()
由上述所得到的数列 An 是递增的,且 lim An n
n
f ( x, y)dy A
n 1
An 1
An 1 逐项求导 I ( x) f ( x, y )dy n1 An n 1
An 1 An
An
注: 其中 un ( x)
f ( x, y )dy
Ak 1 Ak

n 1

An 1 An
f ( x, y )dy lim
n
n
f ( x, y )dy
c
lim
k 1 An 1
n c
f ( x, y )dy
f ( x, y)dy
cos xy dx 在 (, ) 上一致收敛. 例 2 证明 0 1 x 2

证 : y (, ), 有 :
1 而 dx收敛, 2 0 1 x
由M 判别法,

cos xy 1 , 2 2 1 x 1 x
cos xy dx在(, )内一致收敛. 0 1 x 2

sin u du u

取A0 N 1 N , 取x0


2( N 1)
(0, ), 使 :
sin u p A0 x0 u du 2 0 . A0 (此时,0 A0 x0 ) 2 所论积分在(0, )非一致收敛.

A
g(A, y) A f (x, y)dx g(A, y) f (x, y)dx 2L,
存在。如果对于任意 0，存在与 y 无关的 0 ，使得当 0 时， 对所有 y [c, d] 成立
b f (x, y)dx I ( ， b
则称
b
a
f
(x,
y)dx
关于
y
在[c, d ] 上一致收敛（于
I ( y)
）。在参变量明确时，
也常简称
dx
在[0,)
上一
致收敛。
定理 15.2.3 设函数 f (x, y) 和 g(x, y) 满足以下两组条件之一，则含
参变量的反常积分
a f (x, y)g(x, y)dx
关于 y 在[c, d ] 上一致收敛。
1．（Abel 判别法）
（1）
a
f
(x,
y)dx
关于
y
在[c,
d
]
上一致收敛；
（2） g(x, y) 关于 x 单调，即对每个固定的 y [c, d] ， g 关于 x 是单
y)dx
在[c,
d ] 上一致收敛。
证
因为
a
F ( x)dx
收敛，由反常积分的
Cauchy
收敛原理，对于任
意给定的 0，存在正数 A0 ，使得对于任意的 A, A A0 ，成立
A F(x)dx 。 A
因此当 A, A A0 时，对于任意 y [c, d] ，不等式
A
A
A f (x, y)dx A F(x)dx
y 无关的正数 A0 ，使得对于任意的 A, A A0 ，成立
A f (x, y)dx ， y [c, d] 。 A

条件是: 对任一趋于 的递增数列{ An } (其中A1
c), 函数项级数
n1
An1 An
f ( x , y)dy
un ( x)
n1
(7)
在 J 上一致收敛,
其中 un( x)
An1 An
f ( x, y)dy.
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证 必要性 由(1)在 J 上一致收敛, 故 0, M c,
或称含参量反常积分.
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定义1 若含参量反常积分(1)与函数 I(x)对 0 ,
N c, 使得当 M N 时, 对一切 x J, 都有
M
c f ( x, y)dy I( x) ,
即
M f ( x, y)dy ,
则称含参量反常积分(1)在 J上一致收敛于I(x), 或简 单地说含参量积分(1)在 J 上一致收敛.
因此, 含参量积分在 (0, ) 上非一致收敛.
而对于任何正数 , 有
( A) sup xexydy e A 0 ( A ), x[ ,) A
因此, 该含参量积分在 [ , ) 上一致收敛.
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二．含参量反常积分一致收敛性的判别
定理19.7 (一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分(1)
在[a, b]上一致收敛的充要条件是: 0,N c,
使得当 A1, A2 N 时, 对一切的 x [a, b], 都有
A2 f ( x, y)dy . A1
(3)
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证 必要性
若I( x) f ( x, y)dy 在 J 上一致收敛, 则 c 0, N c, A N 及 x J , 有
使得当 A A M时，对一切 x J, 总有

(ii) x [a,b],函数g( x, y)为y的单调函数， 且对参量x,
g( x, y)在[a,b]上一致有界， 则含参量反常积分

c f ( x, y)g( x, y)dy
在[a, b]上一致收敛.
二、一致收敛积分的性质
1. 连续性定理
设 f (x, y) 在 {(x, y) | a x , c y d} 上连续，
解 因为 | e x sin x | e0x
而积分 e0 x dx 收敛， 0
所以 e x sin x dx 在 [0,) (0 0) 内一致收敛 0
狄利克雷判别法;
若 (i) N c,含参量反常积分 N f (x, y)dy c
d


f (x, y) dx
f (x, y) dx
dy a
a y
证明 因为 f y (x, y) 在 [a, ; c, d] 连续，由连续性定理

( y) a
f y (x, y) dx 在
[c, d ]连续，
沿区间 [c, y] (c y d) 积分 ( y) ，由积分顺序交
证 （1）用分段处理的方法.
A 1， y 0 ， 令 yx t 得

| eyx2 sin ydx |
| sin y

et2 dt |
A
y yA
|
sin
y
|

et2 dt

| sin y |
y0
2
y
因为 lim sin y 0 y y0
则 0， 0 ，当 0 y 时，有
y)dy
在[a, b]上一

知 难
设 f (x, y)定义在无界区域 R(x, y) a x b,c y
而
若对每一个固定的
x [a,b], 反常积分

c f (x, y)dy
进
,
都收敛,则它的值是 x 在区间 [a,b] 上取值的函数,
记作: I(x)

f (x, y)dy,
x [a,b]
第十八章 含参变量的反常积分
知
本节研究形如
难

a f (x, y) dx
而 进
,
b
f (x, y) dx,
( b为瑕点 )
a
无
的含参变量广义积分(无穷限积分，无界
坚
函数的积分)的连续性、可微性与可积性。
不
摧
2020年2月12日星期三
1
第1页/共36页
第十八章 含参变量的反常积分
一.含参量反常积分及一致收敛定义
的柯西c 准则，有
进
,
A
0,
A0 c,
A, A A0,
| F( y) dy | A
从而 x [a, b]
无 坚
A
A
A f (x, y)dy A F( y)dy

不 摧
所以 f (x, y) dy 关于 x [a, b] 一致收敛。 c
A f (x, y)dy 或

f (x, y)dy ,
A
A
无 坚
则称含参量反常积分 f (x, y)dy在 [a,b] c
不 摧
上一致收敛于I (x).
2020年2月12日星期三
3
第3页/共36页
第十八章 含参变量的反常积分