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含参量反常积分的一致收敛判别法及推广作者：蒋碧希 指导老师：张海摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用.关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛1 引言对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用.2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法 2.1 含参量无穷限反常积分的定义设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤≤+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，反常积分(,)cf x y dy +∞⎰(1)都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当这个函数为()I x 时，则有()(,),[,],cI x f x y dy x a b +∞=∈⎰(2)称(1)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分.2.2 含参量反常积分的一致收敛概念若含参量反常积分(1)与()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切[,]x a b ∈，都有(,)()Mcf x y dy I x ε-<⎰,即(,)Mf x y dy ε+∞<⎰，则称含参量反常积分(1)在],[b a 一致收敛于()I x ，或简单地说含参量积分(1)在[,]a b 上一致收敛.2.3含参量无穷限反常积分一致收敛的柯西准则含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛的充要条件是：对任給的正数ε，总存在某一实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有21(,)A A f x y dy ε<⎰, )3(证明 （必要性） 由于含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛，则 对0>∀ε,0>∃M ,M A A >∀21,时，使得],[b a x ∈∀时，有1(,)2A f x y dy ε+∞<⎰,且2(,)2A f x y dy ε+∞<⎰由2112(,)(,)(,)A A A A f x y dy f x y dy f x y dy+∞+∞=-⎰⎰⎰12(,)(,)A A f x y dy f x y dy +∞+∞≤+⎰⎰εεε=+<22可知：0,0>∃>∀M ε，当M A A >21,时， 有21(,)A A f x y dy ε<⎰.（充分性) 因为0ε∀>，总存在某一实数c M >，使得M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有21(,)A A f x y dy ε<⎰,当+∞→2A 时，有1(,)A f x y dy ε+∞<⎰成立.故⎰+∞1),(A dy y x f在),[],[1+∞⨯A b a 上是一致收敛的. 又因为⎰⎰⎰+∞+∞+=11),(),(),(A cA cdy y x f dy y x f dy y x f ,其中⎰1),(A cdy y x f 是含参量正常积分，故一致收敛.所以⎰+∞cdy y x f ),(在),[],[+∞⨯c b a 上是一致收敛的.2.4 含参量无穷限反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛的联系定理2.4.1 含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列}{n A （其中c A =1），函数项级数)(),(111x u dy y x f n A A n n n n∑⎰∑∞=∞=+= )4(在],[b a 上一致收敛.证明 (必要性）由)1(在],[b a 上一致收敛，故对任给0>ε，必存在c M >，使当M A A >>'"时，对一切],[b a x ∈，总有"'(,)A A f x y dy ε<⎰. )5(又由)(∞→+∞→n A n ，所以对正数M ,存在正整数N ,只要当N n m >>时，就有M A A n m >>.由)5(对一切],[b a x ∈，就有11()()(,)(,)m n m nA A n m A A u x u x f x y dy f x y dy ++++=++⎰⎰1(,)m nA A f x y dy ε+=<⎰.这就证明了级数)4(在],[b a 上一致收敛.(充分性) 用反证法.假若)1(在],[b a 上不一致收敛，则存在某个正数0ε，使得对于任何实数c M >，存在相应的M A A >>'"和],['b a x ∈，使得"''0(,)A Af x y dy ε≥⎰,现取},1m ax {1c M =，则存在112M A A >>及],[1b a x ∈，使得2110(,)A A f x y dy ε≥⎰一般的，取)2}(,m ax {12≥=-n A n M n n ，则有n n n M A A >>-122及],[b a x n ∈，使得2210(,)nn A n A f x y dy ε-≥⎰)6(由上述所得到的数列}{n A 是递增数列，且+∞=∞→n n A lim .现在考察级数∑⎰∑∞=∞=+=111),()(n A A n n n ndy y x f x u由)6(式知存在正数0ε，对任何正整数N ,只要N n >,就有某个],[b a x n ∈，使得21220()(,)n nA n n n A u x f x y dy ε+=≥⎰这与级数)4(在],[b a 上一致收敛的假设矛盾.故含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛2.5 含参量无穷限反常积分的一致收敛性判别法定理 2.5.1 （维尔斯特拉斯M 判别法）设有函数，使得(,)(),,f x y g y a x b c y ≤≤≤≤<+∞若⎰+∞cdy y g )(收敛，则⎰+∞cdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛.定理 2.5.2 （狄利克雷判别法）设)1( 对一切实数c N >，含参量正常积分⎰Ncdy y x f ),(对参量x 在],[b a 上一致有界，即存在正数M ,对一切c N >及一切],[b a x ∈，都有(,);Ncf x y dy M ≤⎰)2( 对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时，对参量),(,y x g x 一致的收敛于0，则含参量反常积分⎰+∞cdy y x g y x f ),(),(在],[b a 上一致收敛.定理 2.5.3 （阿贝尔判别法） 设)1(⎰+∞cdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛；)2( 对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 为y 的单调函数，且对参量),(,y x g x 在],[b a 上一致有界，则含参量反常积分⎰+∞cdy y x g y x f ),(),(在],[b a 上一致收敛.2.6 含参量无穷限反常积分的性质定理2.6.1 （连续性） 设(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续，若反常积分()(,)cI x f x y dy +∞=⎰)7(在[,]a b 上一致收敛，则()I x 在[,]a b 上连续.证明 由定理2.4.1，对任意递增且趋于∞+的数列}{n A )(1c A =，函数项级数∑⎰∑+∞=+∞=+==111)(),()(n A A n n n nx u dy y x f x I )8(在],[b a 上一致收敛.又由于),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上连续，故每个)(x u n 都在],[b a 上连续.根据函数项级数的连续性定理，函数)(x I 在],[b a 上连续.定理 2.6.2 （可微性） 设 ),(y x f 与),(y x f x 在区域),[],[+∞⨯c b a 上连续，若⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 上收敛，dy y x f cx ),(⎰+∞在],[b a 上一致收敛，则)(x I 在],[b a 上可微，且dy y x f x I cx ),()('⎰+∞=)9(证明 对任一递增且趋于∞+的数列)}({1c A A n =，令⎰+=1),()(n nA A n dy y x f x u则()dy y x f x u n nA A x n ),(1'⎰+=由()dy y x f cx ⎰+∞,在],[b a 上一致收敛及定理1，可得函数项级数dy y x f x u n A A x n n n n),()(11'1∑⎰∑+∞=+∞=+=在],[b a 上一致收敛，因此根据函数项级数的逐项求导定理，即得()()()()dy y x f dy y x f x u x I cx n A A x n n n n,,11''1⎰∑⎰∑∞+∞=∞====+定理2.6.3 （可积性） 设()y x f ,在),[],[+∞⨯c b a 上连续，若()()dy y x f x I c⎰+∞=,在],[b a 上一致收敛，则()x I 在],[b a 上可积，且()()⎰⎰⎰⎰+∞+∞=b accbadx y x f dy dy y x f dx ,,证明 由定理2.6.1知道()x I 在],[b a 上连续，从而()x I 在],[b a 上可积.又由定理 2.6.1的证明中可以看到，函数项级数()8在],[b a 上一致收敛，且各项()x u n 在],[b a 上连续，因此根据函数项级数逐项求积定理，有⎰∑⎰∑⎰⎰++∞=+∞===1),()()(11n nA A n ban ban bady y x f dx dx x u dx x I()∑⎰⎰+∞=+=11,n A A ban ndx y x f dy (10)这里最后一步是根据关于积分顺序的可交换性定理.(10)式又可写作()()⎰⎰⎰+∞=bacbadx y x f dy dx x I ,定理2.6.4设()y x f ,在),[),[+∞⨯+∞c a 上连续，若 (1)()⎰+∞adx y x f ,关于y 在任何闭区间],[d c 上一致收敛，()⎰+∞cdy y x f ,关于x 在任何闭区间],[b a 上一致收敛； (2)积分(),acdx f x y dy +∞+∞⎰⎰与(),cady f x y dx +∞+∞⎰⎰中有一个收敛， 则()()⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=accadx y x f dy dy y x f dx ,,3 含参量瑕积分一致收敛判别法 3.1 含参量瑕积分的定义设()y x f ,在区域),[],[d c b a ⨯上有定义，若对x 的某些值，d y =为函数()y x f ,的瑕点（以下的含参量瑕积分未加说明都同此）则称()⎰dcdy y x f , (11)为含参量x 的瑕积分.3.2 含参量瑕积分一致收敛定义对任给的正数ε，总存在某正数c d -<δ，使得当δη<<0时，对一切],[b a x ∈，都有(),dd f x y dy ηε-<⎰则称含参量瑕积分(11)在],[b a 上一致收敛.3.3 含参量瑕积分一致收敛性的判别法定理3.3.1（柯西收敛准则） 含参量瑕积分()⎰dcdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，存在不依赖于x 的0>δ，使得当δηη<<<'0时，对一切[]b a x ,∈，都有()',d d f x y dy ηηε--<⎰(12)证明 (必要性）由(11)在[]b a ,上一致收敛，故对任给的)(0c d -<>δε，存在0>δ，使得δηη<<<'0时，有 (),2dd f x y dy ηε-<⎰与'(,)2dd f x y dy ηε-<⎰同时成立，则有()()'',(,),d ddd d d f x y dy f x y dy f x y dy ηηηη----=-⎰⎰⎰'(,)(,)ddd d f x y dy f x y dy ηηε--≤+<⎰⎰（充分性）由所给条件知：对任给正数ε，存在不依赖于x 的)(0c d -<>δδ，使得当δηη<<<'0时，对一切],[b a x ∈，都有()',d d f x y dy ηηε--<⎰成立.令0'→η，则有(,)dd f x y dy ηε-<⎰成立.由定义知：含参量瑕积分)11(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.2 （魏尔斯特拉斯M 判别法）设有函数)(y g ，使得(),(),,f x y g y a x b c y d ≤≤≤≤≤ (13) 若⎰dcdy y g )(收敛，则含参量瑕积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛.证明 因为⎰dcdy y g )(收敛，所以由瑕积分的柯西收敛原理知：对于任给的0>ε，存在)(0c d -<>δδ，对于任意的',ηη，且δηη<<<'0，有 ⎰--<')(ηηεd d dy y g又由)13(可得⎰⎰⎰------<≤≤''')(|),(||),(|ηηηηηηεd d d d d d dy y g dy y x f dy y x f故由定理3.3.1知：含参量瑕积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.3 （海涅归结原则） 含参量瑕积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛的充要条件是：对任意递增数列)(),}({1+∞→→=n d A c A A n n 时，相应的函数项级数)(),(111x u dy y x f n n n A A n n∑∑⎰∞=∞==+ )14(在],[b a 上一致收敛.证明 （必要性）因为)11(在],[b a 上一致收敛，由定理5知：对任给的0>ε，必存在)(0c d -<>δδ，当δηη<<<'0时，对一切],[b a x ∈，总有εηη<⎰'--d d dy y x f ),( )15(成立.令n n A d -=η，由)(∞→→n d A n 且n A 递增，则)(0∞→→n n η且递减.由数列极限定义，对上述0>δ，存在正整数N ，只要N n m >>时，就有δηη<<<n m 0，于是)()()(1x u x u x u m n n ++++ ⎰⎰++++=11),(),(n n m mA A A A dy y x f dy y x f⎰+=1),(m nA A dy y x fεηη<=⎰+--1),(m nd d dy y x f根据函数项级数柯西一致收敛准则，函数项级数)14(在],[b a 上一致收敛.（充分性） 用反证法，假设)11(在],[b a 上非一致收敛，则存在某一正数00>ε，使得)(0c d -<>∀δδ，存在相应的δηη<<'<0和],[b a x ∈'，有0),(εηη≥'⎰'--d d dy y x f现取},1m in{1c d -=δ，则存在1120δηη<<<及],[1b a x ∈，使得121),(εηη≥⎰--d d dy y x f一般的取)2}(,1min{1≤-=-n nn n n ηηδ，则有n n n δηη<<<+10及],[b a x n ∈，使得01),(εηη≥⎰+--n nd d dy y x f )16(令n n d A η-=，则}{n A 是递增数列，且有d A n n =∞→lim .考察级数∑∑⎰∞=∞=+=111),()(n n A A n n ndy y x f x u )17(由)16(式知存在正数00>ε，对任意正整数N ，只要N n >就有某个],[b a x n ∈，使01),()(ε≥=⎰+n nA A n n dy y x f x u这与函数项级数)14(在],[b a 上一致收敛的条件矛盾，故)1(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.4（狄利克雷判别法）若含参量瑕积分⎰dcdy y x g y x f ),(),(满足：)1(对一切d d c <'<，含参量正常积分⎰'d cdy y x f ),(对参量x 在],[b a 上一有界，即存在正数M ，对任何d d c <'<及一切],[b a x ∈，有M y x f d c≤⎰'),()2(对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 关于y 单调且当d y →时，对参量),(,y x g x 一致收敛于0.则含参量瑕积分⎰dcdy y x g y x f ),(),(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.5 （阿贝尔判别法） 若含参量瑕积分⎰dcdy y x g y x f ),(),(满足：)1(含参量瑕积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛；)2(对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 为y 的单调函数，且对参量),(,y x g x 在],[b a 上一致有界，则含参量瑕积分⎰dcdy y x g y x f ),(),(在],[b a 上一致收敛.定理3.3.6 设),(y x f 在),[],[d c b a ⨯上连续，对任何⎰∈dcdy y x f b a x ),(],,[收敛，且⎰dcdy y b f ),(发散，则⎰dcdy y x f ),(在),[b a 上不一致收敛.证明 用反证法.若⎰dcdy y x f ),(在),[b a 上一致收敛，由柯西收敛准则：对任给的0>ε，存在)(0c d -<>δδ，当δηη<<'<0时，对一切),[b a x ∈有εηη<⎰'--d d y x f ),(根据假设),(y x f 在],[],[ηη'--⨯d d b a 上连续，对含参量正常积分应用连续性定理，令-→b x ，有εηη≤⎰'--d d dy y b f ),(这与假设含参量瑕积分⎰dcdy y b f ),(发散矛盾.故⎰dcdy y x f ),(在),[b a 上不一致收敛.4 典型例题例4.1 证明含参量反常积分dx x xy⎰+∞+021cos )18( 在),(+∞-∞上一致收敛.证明 由于对任何实数y 有22111cos x x xy +≤+，及反常积分⎰+∞+021xdx收敛，故由魏尔斯特拉斯M 判别法，含参量反常积分)18(在),(+∞-∞上一致收敛.例4.2 证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy)19( 在],0[d 上一致收敛.证明 由于反常积分dx xx⎰+∞sin 收敛（当然，对于参量y ，它在],0[d 上一致收敛），函数),(y x g xye-=对每个],0[d y ∈单调，且对任何0,0≥≤≤x d y 都有1),(≤=-xy e y x g故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分)19(在],0[d 上一致收敛.例4.3 证明含参量瑕积分dy xy xy ⎰-1sin ))1,0((∈x在)1,0(上一致收敛.证明 因为dy xy xy dy y x xydy xy xy xx⎰⎰⎰-+-=-101sin sin sin所以对于含参量瑕积分dy yx xyx⎰-0sin ， 由于⎰⎰---≤-x x xx yx xy dy y x xy ηηsin sinηη21=-≤⎰-dy yx xx 故对于任给的0>ε，取421εδ=，当10δη<<时，即有εη<-⎰-xx yx xysin 因此，对于10<<x 它是一致收敛的. 对于积分dy xy xyx⎰-1sin 由于ηηη2sin =-≤-⎰⎰++x xx xxy dydy x y xy故对于任给的0>ε，取421εδ=，当10δη<<时，即有εη<-⎰+x xdy xy xysin 因此，对于10<<x 它是一致收敛的.于是积分dy xy xy ⎰-1sin对于)1,0(∈∀x 一致收敛.例4.4 证明含参量瑕积分⎰1)ln(dy xy 在],1[b b)0(>b 上一致收敛. 证明 由条件可知y x xy ln ln )ln(+=y x ln ln +≤y b ln ln -≤ 而⎰1)ln(dy xy收敛.所以由魏尔斯特拉斯M 判别法知：⎰1)ln(dy xy在)1](,1[>b b b上一致收敛.例4.5 证明含参量瑕积分dy ye xy11⎰- 在],0[d 一致收敛.证明 由于dy y⎰11 收敛（当然，对于参量x ，它在],0[d 上一致收敛）. 函数xyey x g -=),(，对每个],0[d x ∈单调，且对任何10,0≤≤≤≤y d x ，都有1),(≤=-xy e y x g ，故由阿贝尔判别法知dy ye xy11⎰- 在],0[d 上一致收敛.结束语本文首先介绍了含参量无穷限积分的定义,性质及其一致收敛性判别定理.然后参照含参量无穷限反常积分的方法建立了含参量瑕积分的一致收敛性判别定理.最后结合典型例题说明这些定理在实际解题中的运用.参考文献[1] 华东师范大学数学系编,数学分析[M],北京高等教育出版社,2001. [2] 复旦大学数学系编,数学分析[M],北京高等教育出版社,1985． [3] 钱吉林等主编,数学分析习题解精粹[M],上海崇文书局，2003． [4] 吉米多维奇数学习题集[M],北京人民教育出版社,1978．[5] 裴礼文,数学分析中典型问题与方法[M],北京高等教育出版社,1993.[6] Tom M. Apostol,Mathematical Analyses [M], Beijing China Machine Press, 2004.Uniform Convergence Criteria and Extention of the Parameter ImproperIntegralAuthor:Jiang Bixi Supervisor: Zhang HaiAbstract In this paper,we mainly show the concepts and properties of the parameter improperintegral,which contains the improper integral with parameters and the flaw integral with parameters .On the basis of improper integral with parameters,we develop the corresponding uniform convergence of the flaw integral with parameters.Finally,some typical examples are given to illuminate the applications of the theorems.Keywords improper integral with parameters flaw integral with parameters uniform convergence。
含参量反常积分一致收敛的判别法王 明 星（德州学院数学科学学院,山东德州 253023）摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握.关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法.1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念1.1 含参量无穷限反常积分设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分(,)cf x y dy +∞⎰都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有()(,)cI x f x y dy +∞=⎰,[],x a b ∈称(,)cf x y dy +∞⎰为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分.1.2 含参量无穷限反常积分收敛若含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰与函数()I x 对每一个固定的[],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有(,)()Mcf x y dy I x ε-<⎰,即(,)Mf x y dy ε+∞<⎰,则称含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[],a b 上收敛于()I x .1.3 含参量无穷限反常积分一致收敛若含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰与函数()I x 对任给的正数ε,存在某一实数N c >,使得M N >时,对一切[],x a b ∈,都有 (,)()Mcf x y dy I x ε-<⎰即(,)Mf x y dy ε+∞<⎰,则称含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[],a b 上一致收敛于()I x .1.4 含参量无穷限反常积分非一致收敛若含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰与函数()I x ,总存在正数0ε,对任意给定的实数N c >,总存在M N >及[]0,x a b ∈,使得 000(,)()Mcf x y dy I x ε-≥⎰,即00(,)Mf x y dy ε+∞≥⎰,则称含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[],a b 上非一致收敛于()I x .2 含参量无穷限反常积分一致收敛的判别法2.1 用定义法证明含参量反常积分一致收敛性和非一致收敛性用定义证一致收敛的关键在于寻找只与ε有关的共同的0A ,方法常常是采取适当放大的方法.例1 证明 无穷积分dx ye xy ⎰+∞-0在区间[),a +∞()0a >一致收敛,而在()0,+∞上非一致收敛.证明 Ay Ayt Axy e dt e xy t dx ye y -+∞-+∞-==+∞∈∀⎰⎰令),,0(,对0ε∀>,取yA ε1ln0=,则0A A >∀,有0A y xy Ay Aye dx e e ε+∞---=<<⎰,因此,dx ye Axy ⎰+∞-在（0,+∞）是收敛的.根据定义4,要想证明dx yeAxy⎰+∞-在),0(+∞∈y 是非一致收敛的,只需取0ε=e 21,,0>∀A 取),0(21,2''+∞∈=>=Ay A A A ,则01''''ε>==--+∞-⎰e e dx e y y A Axy . 但dx ye Axy ⎰+∞-在),[+∞a 一致收敛（其中0a >）,,取aA ε1ln0=,当0A A >时,对一切[)+∞∈,a y ,有ε=<=--+∞-⎰a A AyAxy e e dx ye 0. 所以,dx ye Axy ⎰+∞-在),[+∞∈a y （其中0>a ）上一致收敛.2.2 用柯西准则证明含参量无穷限反常积分一致收敛性和非一致收敛性定理1（柯西准则）反常积分dx y x f a⎰+∞),(在区间[]()d c y I ,∈一致收敛0ε⇔∀>,00A ∃>,10A A ∀>与20A A >,y I ∀∈,ε<⎰21),(A A dx y x f .例2 证明 若(),f x y 在[][),,a b c ⨯+∞上连续,又(),cf x y dy +∞⎰在[),a b 上收敛,但在x b =处发散,则(),cf x y dy +∞⎰在[),a b 上不一致收敛.证 用反证法.假若积分在[),a b 上一致收敛,则对于任给0ε>,总存在M c >,当1A ,2A M >时对一切[),x a b ∈恒有()21,A A f x y dy ε<⎰.由假设(),f x y 在[][]12,,a b A A ⨯上连续,所以()21,A A f x y dy ⎰是x 的连续函数.在上面不等式中令x b →,得到当21A A M >>时,()21,A A f b y dy ε≤⎰.而ε是任给的,因此(),cf x y dy +∞⎰在x b =处收敛,这与假设矛盾.所以积分(),cf x y dy +∞⎰在[),a b 上不一致收敛.2.3 用魏尔斯特拉斯判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理2（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数()g y ,使得()(),f x y g y ≤,a x b ≤≤,c y ≤<+∞若()cg y dy +∞⎰收敛,则反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在区间[],a b 一致收敛.例3 证明含参量反常积分()320cos a u tetdt +∞-+⎰,0a >在[)0,u ∈+∞上一致收敛.证 对于任何()[)[),0,0,u t ∈+∞⨯+∞,有()322cos a u tat et e -+-≤而20at e dt +∞-⎰在0a >时收敛,故由维尔斯特拉斯判别法知()320cos a u tetdt +∞-+⎰在[)0,u ∈+∞上一致收敛.使用维尔斯特拉斯判别法,关键在于将被积函数的绝对值(,)f x u 适当地放大,以找出函数()F x （优函数）,使()(,)(),f x u F x x a u I ≤∀≥∀∈且()⎰+∞adx x F收敛,则()⎰+∞adx u x f ,关于u 在I 上一致收敛.2.4 利用变上限积分的有界性判定含参量无穷限反常积分的一致收敛性维尔斯特拉斯判别法是判别某些反常积分一致收敛性的很简便的判别法,但这种方法有一定的局限性：凡能用维尔斯特拉斯判别法判别无穷积分是一致收敛,此无穷积分必然是绝对收敛；如果反常积分是一致收敛,同时又是条件收敛,那么就不能用维尔斯特拉斯判别法来判别.对于这种情况,有如下定理定理3 若函数),(y x f 在区间)0(),,(>∈+∞<≤a I y x a D 连续,且dt y t f y x F xa⎰=),(),(在D 有界,即,),(,0D y x C ∈∀>∃都有C dt y t f y x F xa≤=⎰),(),(,则当0>λ时,反常积分dx xy x f a⎰+∞λ),(在区间I 一致收敛.分析 )i dt y t f y x F xa⎰=),(),(在D 有界)ii 1xλ在0>λ时是单调递减的,明显的满足狄利克雷判别法的条件.证 )i 由已知dt y t f y x F xa⎰=),(),(在D 有界,即(),,C O x y D ∃>∀∈,都有C dt y t f y x F xa≤=⎰),(),(.)ii 对每一个y I ∈,1x λ关于x 是单调递减且当x →+∞时,对参变量y,1x λ一致收敛于0,则由狄利克雷判别法可知含参量反常积分dx x y x f a⎰+∞λ),( 在区间I 一致收敛.例4 证明反常积分dx xxe xy sin 0⎰+∞- 在区间),0[+∞一致收敛.证 由题可知tdt e y x F xyt sin ),(1⎰-=,)0,1(),(+∞<≤+∞<≤∈∀y x D y x 从而有)(01)1(2),(2+∞→→++≤-y e yy y x F y, 而1sin yt e tdt -⎰是定积分,必然有界.即存在C ,(),x y D ∀∈有sin xyt e tdt C -≤⎰ 又10λ=>,则由定理3可知反常积分dx xxe xy sin 0⎰+∞- 在区间),0[+∞一致收敛.2.5 用确界法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性和非一致收敛性在知道反常积分dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上的收敛值()y ϕ时,可应用下述定理定理4 含参量反常积分dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于()y ϕ的充要条件是0)(),(sup lim =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎰∈+∞→ξξφa Iy y dx y x f . (1)证 [必要性] 若dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于()y ϕ,则对任给的正数ε,存在不依赖于x 的正整数N ,当n N >时,有()(),af x y dx y ϕε+∞-<⎰,y I ∀∈.由上确界的定义,亦有()()sup,y Iaf x y dx y ϕε+∞∈-≤⎰.这就证明了(1)式成立.[充分性] 由假设,对任给的0ε>,存在正整数N ,使得当n N >时,有()()sup,y Iaf x y dx y ϕε+∞∈-<⎰ （2）因为对一切y I ∈,总有()()()(),sup ,y Iaaf x y dx y f x y dx y ϕϕ+∞+∞∈-≤-⎰⎰.故由（2）式得()(),af x y dx y ϕε+∞-<⎰.于是dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于()y ϕ.例 5 证明反常积分dx yx y⎰+∞+0221关于y 在)0(),,[>+∞c c 上的一致收敛性和),0(+∞内的非一致收敛性.解 显然dx yx y⎰+∞+0221关于y 在),0(+∞内收敛于2π （事实上22lim 1AA y dx x y →∞+⎰=()0lim arctan AA xy →∞∣=()lim arctan arctan 0A Ay →∞-=2π）. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+⎰≥+∞→ξξπ02221sup lim dx y x y c y =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥+∞→ξπξy c y arctan 2sup lim=0)arctan 2(lim =-+∞→ξπξc ,而⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+⎰>+∞→ξξπ022021sup lim dx y x y y =⎭⎬⎫⎩⎨⎧->+∞→ξπξy y arctan 2sup lim 0=22limππξ=+∞→.由定理4,得dx yx y⎰+∞+0221 关于y 在),[+∞c ,()0c >上一致收敛于2π,在),0(+∞内非一致收敛. 定理 5 含参量反常积分dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于)(y φ的充要条件是：对任意{}[):,+∞∈a n ξ{}),2,1(:,lim =∈⊂+∞=∞→n I y I y n n n n ξ,都有 0)(),(lim=-⎰+∞→nan nn y dx yx f ξφ.例6 试证dx y x y⎰+∞+12)(关于y 在),0(+∞内非一致收敛. 证明 显然dx y x y⎰+∞+12)( 关于y 在),0(+∞内收敛于yy+1.取),,2,1(, ===n n y n n n ξ那么就有),,2,1)(,0(,lim =+∞∈+∞=+∞→n y n n n ξ但是2121lim lim 1)(lim12==+=+-+∞→∞→∞→⎰n n n n n n n n n n y y y y dx y x y nξξ由定理5,()dx y x y⎰+∞+12关于y 在()+∞,0内非一致收敛.2.6 用狄利克雷判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理6 （狄利克雷判别法）设 )i 对一切实数0>N ,含参变量反常积分()⎰Ncdx y x f ,对参变量y 在[]b a ,上一致有界,即存在正数M ,对一切c N >及一切[]b a y ,∈,都有()M dx y x f Nc≤⎰,；)ii 对每一个[]b a y ,∈,函数()y x g ,关于x 是单调递减且当+∞→x 时,对参变量y ,()y x g ,一致地收敛于0,则含参变量反常积分()()dx y x g y x f c,,⎰+∞在[]b a ,上一致收敛.例7 对于()0,1a ∀∈,讨论含参量反常积分sin 10a x xdx x +∞+⎰的一致收敛性.解 )i 对于0A ∀>,都有sin 2Axdx ≤⎰.)ii 因为()()'12101010a x a x x x x x -=+-⎡⎤⎣⎦++⎛⎫ ⎪⎝⎭,当101ax a>-时,'010x x <+⎛⎫ ⎪⎝⎭,即10ax x +在10,1a a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减,并且lim 010ax x x →+∞=+.因此由狄利克雷判别法可知,含参量反常积分101sin 10a a ax xdx x +∞-+⎰对()0,1a ∀∈是一致收敛的.而在100,1a a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦上是定积分,必收敛,则对()0,1a ∀∈是一致收敛的. 所以含参量反常积分sin 10a x xdx x +∞+⎰对()0,1a ∀∈是一致收敛的.2.7 用阿贝尔判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理7 （阿贝尔判别法）设)i ()dx y x f c⎰+∞,在[]b a ,上一致收敛;)ii 对每一个[]b a y ,∈,函数()y x g ,为x 的单调函数,且对参变量y ,()y x g ,在[]b a ,上一致有界,则含参变量反常积分()()⎰+∞cdx y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛.例8 证明含参变量反常积分dx xxe xy sin 0⎰+∞- 在[]d ,0上一致收敛.证明 由于反常积分dx x x⎰+∞sin 收敛,（当然,对于参变量y ,它在[]d ,0一致收敛）,函数()xy e y x g -=,对每一个[]d x ,0∈单调,且对任何d y ≤≤0,0≥x ,都有()1,≤=-xy e y x g ,故由阿贝尔判别法即得含参变量反常积分dx xxe xy⎰+∞-0sin在[]d ,0上一致收敛.推论 1 设函数(,)f x y 定义在无界区域[)[],,a c d +∞⨯上,且对y 的偏导数(,)y f x y 存在.若下列条件满足1）对每一个[],y c d ∈,反常积分(),af x y dx +∞⎰收敛；2）存在常数0M >,使得对任意0b >及所有的[],y c d ∈,恒有 (),by af x y dx M ≤⎰,即(),by af x y dx ⎰关于b 及[],y c d ∈一致有界.则含参量反常积分(),af x y dx +∞⎰在[],c d 上一致收敛.证明 由于[],c d 为有限闭区间.根据有限覆盖定理,对任给的0ε>,一定存在有限个点011n n c y y y y d -=<<⋅⋅⋅<<=,使得[][]11,,n i i i c d y y -==且1i i y y ε--<.由于反常积分(),af x y dx +∞⎰收敛,于是对任给的()1,2,,i y i n =⋅⋅⋅,都存在()0,i A y ε,使得对任给的()10,,i A A A y ε>有()1,,1,2,,A i Af x y dx i n ε<=⋅⋅⋅⎰（3）另一方面,对任意的[],y c d ∈,一定存在一点i y ,使得i y y ε-<.令(){}00max ,,1,2,,i A A y i n ε==⋅⋅⋅,则0A 只与ε有关.同时对任意的10,A A A >,式（3）必然成立.于是根据微分学中值定理及式（3）有()1,A Af x y dx⎰()()()()1,,,A iiAf x y f x y f x y dx =-+⎰()()()()11,,,A A i i A Af x y f x y dx f x y dx ≤-+⎰⎰()()()11,,A A y i i AAf x y y dx f x y dx ξ=-+⎰⎰()()()1,,21AA y y i aaf x dx f x dx y y M ξξεε⎛⎫≤+-+≤+⎪⎝⎭⎰⎰即含参量反常积分(),af x y dx +∞⎰在[],c d 上一致收敛.如果将推论1中的条件1）变弱,则条件2）会变强.得如下推论推论 2 设函数(,)f x y 定义在无界区域[)[],,a c d +∞⨯上,且关于[],y c d ∈可微.若满足如下条件1）存在一点[]0,y c d ∈,使得反常积分()0,af x y dx +∞⎰收敛；2）反常积分(),y af x y dx +∞⎰于[],y c d ∈一致收敛. 则含参量反常积分(),af x y dx +∞⎰在[],c d 上一致收敛.例9 判断含参量反常积分22cos2xe xydx α+∞-⎰在(),y ∈-∞+∞范围上的一致收敛性,其中0α>.解 由于对固定的y R ∈,当x →+∞时,222222cos 2cos 20x x x x exy xy eαα-=→,于是对固定的y R ∈,广义积分22cos2xe xydx α+∞-⎰收敛.另一方面,考虑积分()22,2sin 2xy f x y dx xe xydx α+∞+∞-=-⎰⎰,这里()22,cos 2xf x y e xy α-=.由于当x →+∞时,()222232,sup sin 20x x y x x xexy eαα-∈-∞+∞⋅=→.从而有(),y af x y dx +∞⎰在(),y ∈-∞+∞上一致收敛,由推论2知,22cos2xe xydx α+∞-⎰在(),y ∈-∞+∞范围上的一致收敛.总之,判断含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法多种多样,关键在于理解它们各自应用的范围及其相互联系,以达到灵活应用.参考文献:[1]贺自树.一致收敛教学的探讨[J].重庆师范学院学报（自然科学版）,1998(15)：66-78.[2]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1992.[3]华东师范大学数学系编. 数学分析第三版下册[M].北京:高等教育出版社,2001. 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§2 含参量反常积分一 一致收敛性及其判别法设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y x I c y =∈≤<+∞上，其中I 为一区间，若对固定的x I ∈，反常积分(,)cf x y dy +∞⎰（1）都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数，当记这个函数为()x φ时，则有()(,),cx f x y dy x I φ+∞=∈⎰， （2）称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。
如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。
首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。
定义1 若含参量反常积分（1）与函数()x φ对任何的正数ε。
总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切x I ∈。
都有(,)()cf x y dy x φε+∞-<⎰，即(,)cf x y dy ε+∞<⎰则称含参量反常积分（1）在I 上一致收敛于()x φ，或简单地说含参量积分（1）在I 上一致收敛。
定理19.7（一致收敛的柯西准则） 含参量反常积分（1）在I 撒谎能够一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在某一实数M c >，使得当12,M A A>时，对一切x I ∈，都有12(,)A f x y dy Aε<⎰. （3）由定义1，我们还有以下含参量积分一致收敛的判别准则. 定理19.8 含参量积分(,)cf x y dy +∞⎰在I 上一致收敛的充分且必要条件是lim ()0,A F A →+∞=其中()(,).Ax I F A SUPf x y dy +∞∈=⎰例1 证明含参量反常积分sin cxydy y+∞⎰在[],δ+∞上一致收敛（其中0δ>），但在()0,+∞内不一致收敛。
证 作变量代换u xy =，得sin sin ,x Axyu dy du y uA +∞+∞=⎰⎰ 其中0A >.由于0sin u du u+∞⎰收敛，故对任给正数ε，总存在正数M ，使当'A M >时，就有'sin .udu u A ε+∞<⎰取A M δ>,则当MA δ>时，对一切0x δ≥>，由（5）式有sin Axydy yε+∞<⎰， 因此lim ()0,A F x →+∞=从而由定理19.8，（4）式在[),δ+∞上一致收敛，又因为0sin sin lim ,0AA uu du du u u++∞+∞→=⎰⎰(0,)(0,)sin sin sin ()supsup 2x Ax x xyu u F A dy du du y uu A π+∞+∞+∞∈+∞∈+∞==≥=⎰⎰⎰（其中sin 2u dy u π+∞=⎰将在本节例6中证明），所以由定理19.8，（4）式在()0,+∞上不一致收敛。
第十九章 含参量积分 2含参量反常积分一、一致收敛性及其判别法概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分⎰+∞c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称⎰+∞c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分.定义1： 若含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f Mc Φ-⎰<ε, 即⎰+∞M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有⎰21),(A A dy y x f <ε.定理19.8：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：+∞→A lim F(A)=0, 其中F(A)=⎰+∞∈AIx dy y x f ),(sup .例1：证明含参量反常积分⎰+∞0sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛.解：令u=xy, 则⎰+∞A dy y xysin =⎰+∞Ax du uu sin (A>0). ∵⎰+∞Axdu uusin 收敛，∴∀ε>0, ∃M>0, 使当A ’>M 时，就有⎰∞+'A du u u sin <ε. 取A δ>M, 则当A>δM时，对一切x ≥δ>0，有xA>M, ∴⎰∞+Axdu uusin <ε, 即⎰∞+Ady y xysin <ε, ∴+∞→A lim F(A)=⎰∞++∞∈+∞→A x A dy y xy sin sup lim ),(δ=0, 由定理19.8知 ⎰+∞sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛. 又 F(A)=⎰∞++∞∈Ax dy yxysin sup ),0(=⎰∞++∞∈Ax x du u u sin sup ),0(≥⎰∞+0sin du u u =2π. ∴⎰+∞0sin dy yxy在(0,+∞)上不一致收敛.注：若对任意[a,b]⊂I, 含参量反常积分在[a,b]上一致收敛，则称在I 上内闭一致收敛.定理19.9：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{A n }(其中A 1=c), 函数项级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.证：[必要性]若⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛, 则∀ε>0, ∃M>c, 使 当A ”>A ’>M 时，对一切x ∈I, 总有⎰'''A A dy y x f ),(<ε.又A n →+∞(n →∞), ∴对正数M, ∃正整数N, 只要当m>n>N 时，就有 A m >A n >M. ∴对一切x ∈I, 就有|u n (x)+…+u m (x)|=⎰⎰+++⋯+11),(),(n nm mA A A Ady y x f dy y x f =⎰+1),(m nA Ady y x f <ε.∴∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.[充分性]若∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛, 而⎰+∞c dy y x f ),(在I 上不一致收敛,则存在某正数ε0, 使对任何实数M>c, 存在相应的A ”>A ’>M 和x ’∈I, 使得⎰''''A A dy y x f ),(≥ε0; 现取M 1=max{1,c}, 则存在A 2>A 1>M 1, 及x 1∈I, 使得⎰21),(1A A dy y x f ≥ε0; 一般地, 取M n =max{n,A 2(n-1)} (n ≥2), 则有A 2n >A 2n-1>M n , 及x n ∈I, 使得⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0.由上述所得数列{A n }为递增数列, 且∞→n lim A n =+∞, 而对级数∑∞=1)(n nx u=∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f , 存在正数ε0, 对任何正整数N,只要n>N, 就有某个x n ∈I, 使得|u 2n (x n )|=⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0,与级数∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛矛盾. ∴⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.魏尔斯特拉斯M 判别法：设函数g(y), 使得 |f(x,y)|≤g(y), (x,y)∈I ×[c,+∞). 若⎰+∞c dy y g )(收敛, 则⎰+∞cdy y x f ),(在I 上一致收敛.狄利克雷判别法：设(1)对一切实数N>c, 含参量正常积分⎰Nc dy y x f ),(对参量x 在I 上一致有界, 即存在正数M, 对一切N>c 及一切x ∈I, 都有⎰Nc dy y x f ),(≤M. (2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)关于y 是单调递减且当y →+∞时, 对参量x, g(x,y)一致收敛于0.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.阿贝尔判别法：设(1)⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.(2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)为y 的单调函数, 且对参量x, g(x,y)在I 上一致有界.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.例2：证明含参量反常积分⎰+∞+021cos dx xxy在(-∞,+∞)上一致收敛. 证：∵对任何实数y, 有21cos x xy +≤211x +, 又反常积分⎰+∞+021xdx收敛. 由魏尔斯特拉斯M 判别法知, 含参量反常积分⎰+∞+021cos dx x xy在(-∞,+∞)上一致收敛.例3：证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛. 证：∵反常积分⎰+∞sin dx xx收敛, ∴对于参量y, 在[0,+∞)上一致收敛. 又函数g(x,y)=e -xy 对每个y ∈[0,+∞)单调, 且对任何0≤y<+∞, x ≥0, 都有|g(x,y)|=|e -xy |≤1. 由阿贝尔判别法知, 含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛.例4：证明含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.证：若[a,b]⊂(0,+∞), 则对任意x ∈[a,b],⎰Naxydy sin =Nax xycos -≤a 2. 又'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21y y =()22211yy +-≤0, 即21y y +关于y 单调减, 且当y →+∞时, 21yy+→0(对x 一致), 由狄利克雷判别法知, 含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在[a,b]上一致收敛. 由[a,b]的任意性知, ⎰+∞+121sin dy yxyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.二、含参量反常积分的性质定理19.10：(连续性)设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若含参量反常积分φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上连续. 证：由定理19.9，对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)， 函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.又由f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，∴每个u n (x)都在I 上连续. 由函数项级数的连续性定理知，函数φ(x)在I 上连续.推论：设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上连续.注：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换，即：⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim0=⎰+∞c dy y x f ),(0=⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim 0.定理19.11：(可微性)设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.证：对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)，令u n (x)=⎰+1),(n nA A dy y x f .由定理19.3推得u n ’(x)=⎰+1),(n nA A x dy y x f .由⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛及定理19.9，可得函数项级数∑∞='1)(n n x u =∑⎰∞=+11),(n A A x n ndy y x f 在I 上一致收敛.根据函数项级数的逐项求导定理，即得：φ’(x) =∑∞='1)(n nx u =∑⎰∞=+11),(n A Ax n ndy y x f =⎰+∞cx dy y x f ),(.或写作⎰+∞c dy y x f dxd ),(=⎰+∞c x dy y x f ),(.推论：设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.定理19.12：(可积性)设f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛，则φ(x)在[a,b]上可积，且⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.证：由定理19.10知φ(x)在[a,b]上连续，从而在[a,b]上可积. 又函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛，且各项u n (x)在[a,b]上连续，根据函数项级数逐项求积定理，有⎰Φbadx x )(=∑⎰∞=1)(n ban dx x u =∑⎰⎰∞=+11),(n baA A n ndy y x f dx =∑⎰⎰∞=+1),(1n baA A dx y x f dy n n，即⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.定理19.13：设f(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)上连续，若(1)⎰+∞a dx y x f ),(关于y 在[c,+∞)上内闭一致收敛，⎰+∞c dy y x f ),(关于x 在[a,+∞)上内闭一致收敛；(2)积分⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|与⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy |),(|中有一个收敛. 则⎰⎰+∞+∞cady y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞acdx y x f dy ),(.证：不妨设⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|收敛，则⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(收敛. 当d>c 时，记Jd =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(| =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞dc a dy y x f dx ),(-⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|. 由条件(1)及定理19.12可推得：J d =|⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|≤|⎰⎰+∞d Aa dy y x f dx ),(|+⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|. 由条件(2)，∀ε>0, ∃G>a ，使当A>G 时，有⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|<2ε. 选定A 后，由⎰+∞c dy y x f ),(的一致收敛性知，∃M>a ，使得当d>M 时， 有|⎰+∞d dy y x f ),(|<)(2a A -ε. ∴J d <2ε+2ε=ε，即有+∞→d lim J d =0，∴⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy ),(.例5：计算：J=⎰+∞--0sin sin dx xaxbx e px (p>0,b>a). 解：∵xax bx sin sin -=⎰ba xydy cos ，∴J=⎰⎰+∞-0cos b a pxxydy dx e =⎰⎰+∞-0cos ba px xydy e dx .由|e -px cosxy|≤e -px 及反常积分⎰+∞-0dx e px 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知，含参量反常积分⎰+∞-0cos xydx e px 在[a,b]上一致收敛.又e -px cosxy[0,+∞)×[a,b]上连续，根据定理19.12交换积分顺序得： J=⎰⎰+∞-0cos xydx e dy px ba =⎰+bady y p p22=arctan p b - arctan p a .例6：计算：⎰+∞sin dx xax. 解：利用例5的结果，令b=0，则有F(p)=⎰+∞-0sin dx xaxe px=arctan p a (p>0).由阿贝尔判别法可知含参量反常积分F(p)在p ≥0上一致收敛， 又由定理19.10知，F(p)在p ≥0上连续，且F(0)=⎰+∞sin dx xax . 又F(0)=)(lim 0p F p +→=+→0lim p arctan p a =2πagn a. ∴⎰+∞0sin dx xax =2πagn a.例7：计算：φ(r)=⎰+∞-0.cos 2rxdx e x .解：∵|2x e -cosrx|≤2x e -对任一实数r 成立且反常积分⎰+∞-02dx e x 收敛， ∴含参量反常积分φ(r)=⎰+∞-0cos 2rxdx e x 在(-∞,+∞)上收敛. 考察含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x =⎰+∞--0sin 2rxdx xe x ，∵|-x 2x e -sinrx|≤x 2x e -对一切x ≥0, r ∈(-∞,+∞)成立且⎰+∞-02dx e x 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知， 含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x 在(-∞,+∞)上一致收敛.由定理19.11得φ’(r)=⎰+∞--0sin 2rxdx xex =⎰-+∞→-Ax A rxdxxesin lim2=⎪⎭⎫⎝⎛-⎰--+∞→A x Ax A rxdx e r rx e 00cos 2sin 21lim 22=⎰--A x rxdx e r 0cos 22=2r -φ(r). ∴φ(r)=c 42r e -. 又φ(0)=⎰+∞-02dx e x =2π=c. ∴φ(r)=422πr e-.概念2：设f(x,y)在区域R=[a,b]×[c,d)上有定义，若对x 的某些值，y=d 为函数f(x,y)的瑕点，则称⎰dc dy y x f ),(为含参量x 的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分. 若对每一个x ∈[a,b]，⎰dc dy y x f ),(都收敛，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数.定义2：对任给正数ε, 总存在某正数δ<d-c, 使得当0<η<δ时, 对一切x ∈[a,b], 都有⎰-dd dy y x f η),(<ε, 则称含参量反常积分⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛.习题1、证明下列各题 (1)⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛；(2)⎰+∞-02dy eyx 在[a,b] (a>0)上一致收敛；(3)⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛； (4)⎰+∞-0dy xe xy (i)在[a,b] (a>0)上一致收敛，(ii)在[0,b]上不一致收敛； (5)⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛；(6)⎰1px dx(i)在(-∞,b] (b<1)上一致收敛，(ii)在(-∞,1]内不一致收敛； (7)⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.证：(1)∵22222)(y x x y +-≤22222)(y x x y ++≤21x ，且⎰+∞12x dx 收敛，∴⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛. (2)∵当0<a ≤x ≤b 时，yx e2-=yx e21≤ya e21，且⎰+∞12ya edy 收敛，∴⎰+∞-02dy e y x 在[a,b] (a>0)上一致收敛.(3)对任何N>0，∵⎰-Nt atdt e 0sin ≤⎰-Nt dt e 0≤1，即⎰-Nt atdt e 0sin 一致有界. 又t1关于在(0,+∞)单调，且t1→0 (t →∞)，由狄利克雷判别法知，⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛. (4)(i)∵当0<a ≤x ≤b 时，|xe -xy|≤be -ay，且⎰+∞0ay -be 收敛， ∴⎰+∞-0dy xe xy 在[a,b] (a>0)上一致收敛. (ii)方法一：取ε0=21e<0, 则对任何M>0, 令A 1=M, A 2=2M, x 0=M 1, 有 ⎰-2100A A y x dy e x =MM yx e 20-=21e e ->21e=ε0，∴⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛. 方法二：∵⎰+∞-0dy xe xy =⎩⎨⎧≤<=bx x 0,10,0，且xe -xy 在[0,b]×(0,+∞)内连续，由连续性定理知⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛.(5)∵在[b1,b]×(0,1] (b>1)内, |ln(xy)|=|lnx+lny|≤|lnx|+|lny|≤lnb-lny, 且⎰-10)ln (ln dy y b 收敛, ∴⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛.(6)(i)∵当p ≤b<1, x ∈(0,1]时，p x 1≤b x 1，又⎰10b xdx 收敛，∴⎰1px dx在(-∞,b] (b<1)上一致收敛.(ii)当p=1时，⎰1xdx发散，∴对任何A<1，在[A,1]内不一致收敛，即 ⎰1p xdx在(-∞,1]内不一致收敛. (7)记⎰---1011)1(dx x xq p =⎰---21011)1(dx x xq p +⎰---12111)1(dx x x q p =I 1+I 2.对I 1在0≤x ≤21, 0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上， ∵|x p-1(1-x)q-1|≤1100)1(---q p x x且⎰---210110)1(dx x x q p 收敛，∴I 1在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛； 同理可证I 2在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛. ∴⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.2、从等式⎰-ba xydy e =x e e by ay ---出发，计算积分⎰∞+---0dx xe e byay (b>a>0). 解：∵⎰-ba xy dy e=x e e by ay ---，∴⎰∞+---0dx xe e byay=⎰⎰-+∞b a xy dy e dx 0. 又 e -xy 在[0,+∞)×[a,b]内连续，由M 判别法知, ⎰+∞-0dx e xy 在[a,b]内一致收敛.∴⎰∞+---0dx x e e by ay =⎰⎰+∞-0dx e dy xyb a =⎰b a dy y 1=ln ab .3、证明函数F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续. (提示：利用⎰+∞-02dx e x =2π) 证：令x-y=u, 则F(y)=⎰+∞-yu du e2=⎰-02yu du e+⎰+∞-02du eu =⎰-02yu du e +2π. ∵关于y 的积分下限函数⎰-02y u du e 在(-∞,+∞)上连续， ∴F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续.4、求下列积分： (1)⎰∞+---022222dx x e e xb xa(提示：利用⎰+∞-02dx ex =2π)； (2)⎰+∞-0sin dt t xt e t；(3)⎰+∞--02cos 1dx x xye x . 解：(1)∵22222x e e xbxa---=⎰-ba x y dy ye 222，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222bax y dy ye dx ，由M 判别法知⎰+∞-0222dx ye x y 在[a,b]内一致收敛，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222dx yedy x y ba=⎰⎰+∞-0)(222xy d edy x y ba =⎰bady π=(b-a)π.(2)利用例5结果：⎰+∞--0sin sin dt tatbt e pt=arctan p b - arctan p a . (p>0,b>a).当p=1, a=0, b=x 时，有⎰+∞-0sin dt txte t=arctanx. (3)∵2cos 1x xy e x --=⎰-y x dt x xt e 0sin ，∴⎰⎰-+∞yx dt x xt e dx 00sin . 由x xt e x x sin lim 0-→=t 知, x=0不是xxte x sin -的瑕点，又 含参量非正常积分⎰+∞-0sin dx xxte x 在t ∈[0,M]上一致收敛, ∴由(2)有2cos 1x xy e x--=⎰⎰+∞-00sin dx xxt e dt x y =⎰y tdt 0arctan =yarctany-21ln(1+y 2).5、回答下列问题： (1)对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 能否运用极限与积分运算顺序的交换求解？(2)对⎰⎰+∞--132)22(dx e xy y dy xy 能否运用积分顺序交换来求解？(3)对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？ 解：(1)∵F(x)=⎰+∞-022dy xye xy =⎩⎨⎧=>0,00,1x x , ∴F(x)lim 0+→x =1，但⎰+∞-→+022lim dy xye xy x =0，即交换运算后不相等，∴对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 不能运用极限与积分运算顺序的交换求解.注：⎰+∞-022dy xye xy =⎰+∞-0du xe xu 在[0,b]上不一致收敛，并不符合连续性定理的条件.(2)∵⎰⎰+∞--10032)22(dx exy y dy xy =⎰∞+-122dy xyexy =⎰10dy =0；⎰⎰-+∞-1032)22(dy exy y dx xy =⎰+∞-0122dx ey xy =⎰-1dx e x =1；∴对⎰⎰+∞--10032)22(dx e xy y dy xy 不能运用积分顺序交换来求解.注：⎰+∞--032)22(dx e xy y xy =0且⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=-2My 2My e -. 对ε0=1，不论M 多大，总有y 0=M1∈[0,1]，使得⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=2M e 1->1,∴⎰+∞--032)22(dx e xy y xy 在[0,1]不一致收敛，不符合可积性定理的条件. (3)∵F(x)=⎰+∞-032dy e x y x =x, x ∈(-∞,+∞)，∴F ’(x)≡1. 但y x e x x23-∂∂=(3x 2-2x 4y)y x e 2-, 而当x=0时，⎰+∞--0422)23(dy e y x x y x =0. ∴对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 不能运用积分与求导运算顺序交换来求解. 注：∵⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx =⎩⎨⎧=≠0,00,1x x ，∴⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx 在[0,1]上不一致收敛,不符合可微性定理的条件.6、应用：⎰+∞-02dx e ax =212π-a (a>0)，证明： (1)⎰+∞-022dt e t at=234π-a ；(2)⎰+∞-022dt e t at n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n .证：(1)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛， ∴⎰+∞-02dt e da d at =⎰+∞-02dt e dad at =-⎰+∞-022dte t at . 又⎰+∞-02dt e da d at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa da d =-234π-a . ∴⎰+∞-02dx e ax =234π-a . 方法二：⎰+∞-022dt et at =-⎰+∞-0221at tdea =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞-∞+-02221dt ete a at at=⎰+∞-0221dt e aat =234π-a .(2)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at n 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞+-02dt eda d at nn=⎰∞+-02dt e da d at nn =(-1)n ⎰+∞-022dt e t at n . 又⎰∞+-02dt e dad atnn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa dad nn=(-1)n ⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n . ∴⎰+∞-022dt e t atn =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn nan . 方法二：记I n =⎰+∞-022dt e t at n , n=0,1,2,…，(1)中已证I 1=⎪⎭⎫⎝⎛+--⨯2112)112(2πa=a 2)112(-⨯I 0. 可设I k =a k 2)12(-⨯I k-1，则 I k+1=⎰+∞-+0)1(22dt e t at k =-⎰+∞-+012221at k de t a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞+-∞+-+0120122221k at at k dt e e t a=⎰+∞-+022212dt e t a k at k =ak 21)1(2-+I k=2)2()12](1)1(2[a k k --+I k-1=…= 1)2(!]!1)1(2[+-+k a k I 0=211)2(!]!1)1(2[2π-+-+a a k k .当n=k+1时，有I n =⎰+∞-022dt e t at n =21)2(!)!12(2π--a a k n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn na n . 7、应用⎰+∞+022a x dx =a2π，求()⎰+∞++0122n a x dx.解：记A=a 2, ∵()⎰+∞++012n Axdx在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞++02A x dx dA d nn =⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+021dx A x dA d n n=(-1)nn!()⎰+∞++012n A x dx . 又⎰∞++02A x dx dAd nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛A dA d n n 2π=(-1)n 212!)!12(2π---n n A n . ∴()⎰+∞++012n Axdx=212!!)!12(2π---n n A n n =12!)!2(!)!12(2π---n a n n .8、设f(x,y)为[a,b]×[c,+∞)上连续非负函数，I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(在[a,b]上连续，证明：I(x)在[a,b]上一致收敛.证：任取一个趋于的∞递增数列{A n } (其中A 1=c)，考察级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u .∵f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上非负连续, ∴u n (x)在[a,b]上非负连续. 由狄尼定理知，∑∞=1)(n n x u 在[a,b]上一致收敛，从而∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f 在[a,b]上一致收敛. 又I(x)=dy y x f ⎰+∞),(在[a,b]上连续.∴I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(=∑⎰∞=∞→+11),(lim n A An n ndy y x f [a,b]上一致收敛.9、设在[a,+∞)×[c,d]内成立不等式|f(x,y)|≤F(x,y). 若dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，证明：dx y x f ⎰+∞),(在y ∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.证：∵dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，∴∀ε>0, ∃M>0，对任何A2>A1>M和一切y∈[c,d]，都有⎰21) , (A AdxyxF<ε.∵|f(x,y)|≤F(x,y)，∴⎰21) , (A Adxyxf≤⎰21),(AAdxyxf≤⎰21),(AAdxyxF<ε，∴dxyxf⎰+∞0),(在y∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.。
