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含参量反常积分一致收敛的判别法王 明 星（德州学院数学科学学院,山东德州 253023）摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握.关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法.1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念1.1 含参量无穷限反常积分设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分(,)cf x y dy +∞⎰都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有()(,)cI x f x y dy +∞=⎰,[],x a b ∈称(,)cf x y dy +∞⎰为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分.1.2 含参量无穷限反常积分收敛若含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰与函数()I x 对每一个固定的[],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有(,)()Mcf x y dy I x ε-<⎰,即(,)Mf x y dy ε+∞<⎰,则称含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[],a b 上收敛于()I x .1.3 含参量无穷限反常积分一致收敛若含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰与函数()I x 对任给的正数ε,存在某一实数N c >,使得M N >时,对一切[],x a b ∈,都有 (,)()Mcf x y dy I x ε-<⎰即(,)Mf x y dy ε+∞<⎰,则称含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[],a b 上一致收敛于()I x .1.4 含参量无穷限反常积分非一致收敛若含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰与函数()I x ,总存在正数0ε,对任意给定的实数N c >,总存在M N >及[]0,x a b ∈,使得 000(,)()Mcf x y dy I x ε-≥⎰,即00(,)Mf x y dy ε+∞≥⎰,则称含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[],a b 上非一致收敛于()I x .2 含参量无穷限反常积分一致收敛的判别法2.1 用定义法证明含参量反常积分一致收敛性和非一致收敛性用定义证一致收敛的关键在于寻找只与ε有关的共同的0A ,方法常常是采取适当放大的方法.例1 证明 无穷积分dx ye xy ⎰+∞-0在区间[),a +∞()0a >一致收敛,而在()0,+∞上非一致收敛.证明 Ay Ayt Axy e dt e xy t dx ye y -+∞-+∞-==+∞∈∀⎰⎰令),,0(,对0ε∀>,取yA ε1ln0=,则0A A >∀,有0A y xy Ay Aye dx e e ε+∞---=<<⎰,因此,dx ye Axy ⎰+∞-在（0,+∞）是收敛的.根据定义4,要想证明dx yeAxy⎰+∞-在),0(+∞∈y 是非一致收敛的,只需取0ε=e 21,,0>∀A 取),0(21,2''+∞∈=>=Ay A A A ,则01''''ε>==--+∞-⎰e e dx e y y A Axy . 但dx ye Axy ⎰+∞-在),[+∞a 一致收敛（其中0a >）,,取aA ε1ln0=,当0A A >时,对一切[)+∞∈,a y ,有ε=<=--+∞-⎰a A AyAxy e e dx ye 0. 所以,dx ye Axy ⎰+∞-在),[+∞∈a y （其中0>a ）上一致收敛.2.2 用柯西准则证明含参量无穷限反常积分一致收敛性和非一致收敛性定理1（柯西准则）反常积分dx y x f a⎰+∞),(在区间[]()d c y I ,∈一致收敛0ε⇔∀>,00A ∃>,10A A ∀>与20A A >,y I ∀∈,ε<⎰21),(A A dx y x f .例2 证明 若(),f x y 在[][),,a b c ⨯+∞上连续,又(),cf x y dy +∞⎰在[),a b 上收敛,但在x b =处发散,则(),cf x y dy +∞⎰在[),a b 上不一致收敛.证 用反证法.假若积分在[),a b 上一致收敛,则对于任给0ε>,总存在M c >,当1A ,2A M >时对一切[),x a b ∈恒有()21,A A f x y dy ε<⎰.由假设(),f x y 在[][]12,,a b A A ⨯上连续,所以()21,A A f x y dy ⎰是x 的连续函数.在上面不等式中令x b →,得到当21A A M >>时,()21,A A f b y dy ε≤⎰.而ε是任给的,因此(),cf x y dy +∞⎰在x b =处收敛,这与假设矛盾.所以积分(),cf x y dy +∞⎰在[),a b 上不一致收敛.2.3 用魏尔斯特拉斯判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理2（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数()g y ,使得()(),f x y g y ≤,a x b ≤≤,c y ≤<+∞若()cg y dy +∞⎰收敛,则反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在区间[],a b 一致收敛.例3 证明含参量反常积分()320cos a u tetdt +∞-+⎰,0a >在[)0,u ∈+∞上一致收敛.证 对于任何()[)[),0,0,u t ∈+∞⨯+∞,有()322cos a u tat et e -+-≤而20at e dt +∞-⎰在0a >时收敛,故由维尔斯特拉斯判别法知()320cos a u tetdt +∞-+⎰在[)0,u ∈+∞上一致收敛.使用维尔斯特拉斯判别法,关键在于将被积函数的绝对值(,)f x u 适当地放大,以找出函数()F x （优函数）,使()(,)(),f x u F x x a u I ≤∀≥∀∈且()⎰+∞adx x F收敛,则()⎰+∞adx u x f ,关于u 在I 上一致收敛.2.4 利用变上限积分的有界性判定含参量无穷限反常积分的一致收敛性维尔斯特拉斯判别法是判别某些反常积分一致收敛性的很简便的判别法,但这种方法有一定的局限性：凡能用维尔斯特拉斯判别法判别无穷积分是一致收敛,此无穷积分必然是绝对收敛；如果反常积分是一致收敛,同时又是条件收敛,那么就不能用维尔斯特拉斯判别法来判别.对于这种情况,有如下定理定理3 若函数),(y x f 在区间)0(),,(>∈+∞<≤a I y x a D 连续,且dt y t f y x F xa⎰=),(),(在D 有界,即,),(,0D y x C ∈∀>∃都有C dt y t f y x F xa≤=⎰),(),(,则当0>λ时,反常积分dx xy x f a⎰+∞λ),(在区间I 一致收敛.分析 )i dt y t f y x F xa⎰=),(),(在D 有界)ii 1xλ在0>λ时是单调递减的,明显的满足狄利克雷判别法的条件.证 )i 由已知dt y t f y x F xa⎰=),(),(在D 有界,即(),,C O x y D ∃>∀∈,都有C dt y t f y x F xa≤=⎰),(),(.)ii 对每一个y I ∈,1x λ关于x 是单调递减且当x →+∞时,对参变量y,1x λ一致收敛于0,则由狄利克雷判别法可知含参量反常积分dx x y x f a⎰+∞λ),( 在区间I 一致收敛.例4 证明反常积分dx xxe xy sin 0⎰+∞- 在区间),0[+∞一致收敛.证 由题可知tdt e y x F xyt sin ),(1⎰-=,)0,1(),(+∞<≤+∞<≤∈∀y x D y x 从而有)(01)1(2),(2+∞→→++≤-y e yy y x F y, 而1sin yt e tdt -⎰是定积分,必然有界.即存在C ,(),x y D ∀∈有sin xyt e tdt C -≤⎰ 又10λ=>,则由定理3可知反常积分dx xxe xy sin 0⎰+∞- 在区间),0[+∞一致收敛.2.5 用确界法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性和非一致收敛性在知道反常积分dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上的收敛值()y ϕ时,可应用下述定理定理4 含参量反常积分dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于()y ϕ的充要条件是0)(),(sup lim =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎰∈+∞→ξξφa Iy y dx y x f . (1)证 [必要性] 若dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于()y ϕ,则对任给的正数ε,存在不依赖于x 的正整数N ,当n N >时,有()(),af x y dx y ϕε+∞-<⎰,y I ∀∈.由上确界的定义,亦有()()sup,y Iaf x y dx y ϕε+∞∈-≤⎰.这就证明了(1)式成立.[充分性] 由假设,对任给的0ε>,存在正整数N ,使得当n N >时,有()()sup,y Iaf x y dx y ϕε+∞∈-<⎰ （2）因为对一切y I ∈,总有()()()(),sup ,y Iaaf x y dx y f x y dx y ϕϕ+∞+∞∈-≤-⎰⎰.故由（2）式得()(),af x y dx y ϕε+∞-<⎰.于是dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于()y ϕ.例 5 证明反常积分dx yx y⎰+∞+0221关于y 在)0(),,[>+∞c c 上的一致收敛性和),0(+∞内的非一致收敛性.解 显然dx yx y⎰+∞+0221关于y 在),0(+∞内收敛于2π （事实上22lim 1AA y dx x y →∞+⎰=()0lim arctan AA xy →∞∣=()lim arctan arctan 0A Ay →∞-=2π）. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+⎰≥+∞→ξξπ02221sup lim dx y x y c y =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥+∞→ξπξy c y arctan 2sup lim=0)arctan 2(lim =-+∞→ξπξc ,而⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+⎰>+∞→ξξπ022021sup lim dx y x y y =⎭⎬⎫⎩⎨⎧->+∞→ξπξy y arctan 2sup lim 0=22limππξ=+∞→.由定理4,得dx yx y⎰+∞+0221 关于y 在),[+∞c ,()0c >上一致收敛于2π,在),0(+∞内非一致收敛. 定理 5 含参量反常积分dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于)(y φ的充要条件是：对任意{}[):,+∞∈a n ξ{}),2,1(:,lim =∈⊂+∞=∞→n I y I y n n n n ξ,都有 0)(),(lim=-⎰+∞→nan nn y dx yx f ξφ.例6 试证dx y x y⎰+∞+12)(关于y 在),0(+∞内非一致收敛. 证明 显然dx y x y⎰+∞+12)( 关于y 在),0(+∞内收敛于yy+1.取),,2,1(, ===n n y n n n ξ那么就有),,2,1)(,0(,lim =+∞∈+∞=+∞→n y n n n ξ但是2121lim lim 1)(lim12==+=+-+∞→∞→∞→⎰n n n n n n n n n n y y y y dx y x y nξξ由定理5,()dx y x y⎰+∞+12关于y 在()+∞,0内非一致收敛.2.6 用狄利克雷判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理6 （狄利克雷判别法）设 )i 对一切实数0>N ,含参变量反常积分()⎰Ncdx y x f ,对参变量y 在[]b a ,上一致有界,即存在正数M ,对一切c N >及一切[]b a y ,∈,都有()M dx y x f Nc≤⎰,；)ii 对每一个[]b a y ,∈,函数()y x g ,关于x 是单调递减且当+∞→x 时,对参变量y ,()y x g ,一致地收敛于0,则含参变量反常积分()()dx y x g y x f c,,⎰+∞在[]b a ,上一致收敛.例7 对于()0,1a ∀∈,讨论含参量反常积分sin 10a x xdx x +∞+⎰的一致收敛性.解 )i 对于0A ∀>,都有sin 2Axdx ≤⎰.)ii 因为()()'12101010a x a x x x x x -=+-⎡⎤⎣⎦++⎛⎫ ⎪⎝⎭,当101ax a>-时,'010x x <+⎛⎫ ⎪⎝⎭,即10ax x +在10,1a a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减,并且lim 010ax x x →+∞=+.因此由狄利克雷判别法可知,含参量反常积分101sin 10a a ax xdx x +∞-+⎰对()0,1a ∀∈是一致收敛的.而在100,1a a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦上是定积分,必收敛,则对()0,1a ∀∈是一致收敛的. 所以含参量反常积分sin 10a x xdx x +∞+⎰对()0,1a ∀∈是一致收敛的.2.7 用阿贝尔判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理7 （阿贝尔判别法）设)i ()dx y x f c⎰+∞,在[]b a ,上一致收敛;)ii 对每一个[]b a y ,∈,函数()y x g ,为x 的单调函数,且对参变量y ,()y x g ,在[]b a ,上一致有界,则含参变量反常积分()()⎰+∞cdx y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛.例8 证明含参变量反常积分dx xxe xy sin 0⎰+∞- 在[]d ,0上一致收敛.证明 由于反常积分dx x x⎰+∞sin 收敛,（当然,对于参变量y ,它在[]d ,0一致收敛）,函数()xy e y x g -=,对每一个[]d x ,0∈单调,且对任何d y ≤≤0,0≥x ,都有()1,≤=-xy e y x g ,故由阿贝尔判别法即得含参变量反常积分dx xxe xy⎰+∞-0sin在[]d ,0上一致收敛.推论 1 设函数(,)f x y 定义在无界区域[)[],,a c d +∞⨯上,且对y 的偏导数(,)y f x y 存在.若下列条件满足1）对每一个[],y c d ∈,反常积分(),af x y dx +∞⎰收敛；2）存在常数0M >,使得对任意0b >及所有的[],y c d ∈,恒有 (),by af x y dx M ≤⎰,即(),by af x y dx ⎰关于b 及[],y c d ∈一致有界.则含参量反常积分(),af x y dx +∞⎰在[],c d 上一致收敛.证明 由于[],c d 为有限闭区间.根据有限覆盖定理,对任给的0ε>,一定存在有限个点011n n c y y y y d -=<<⋅⋅⋅<<=,使得[][]11,,n i i i c d y y -==且1i i y y ε--<.由于反常积分(),af x y dx +∞⎰收敛,于是对任给的()1,2,,i y i n =⋅⋅⋅,都存在()0,i A y ε,使得对任给的()10,,i A A A y ε>有()1,,1,2,,A i Af x y dx i n ε<=⋅⋅⋅⎰（3）另一方面,对任意的[],y c d ∈,一定存在一点i y ,使得i y y ε-<.令(){}00max ,,1,2,,i A A y i n ε==⋅⋅⋅,则0A 只与ε有关.同时对任意的10,A A A >,式（3）必然成立.于是根据微分学中值定理及式（3）有()1,A Af x y dx⎰()()()()1,,,A iiAf x y f x y f x y dx =-+⎰()()()()11,,,A A i i A Af x y f x y dx f x y dx ≤-+⎰⎰()()()11,,A A y i i AAf x y y dx f x y dx ξ=-+⎰⎰()()()1,,21AA y y i aaf x dx f x dx y y M ξξεε⎛⎫≤+-+≤+⎪⎝⎭⎰⎰即含参量反常积分(),af x y dx +∞⎰在[],c d 上一致收敛.如果将推论1中的条件1）变弱,则条件2）会变强.得如下推论推论 2 设函数(,)f x y 定义在无界区域[)[],,a c d +∞⨯上,且关于[],y c d ∈可微.若满足如下条件1）存在一点[]0,y c d ∈,使得反常积分()0,af x y dx +∞⎰收敛；2）反常积分(),y af x y dx +∞⎰于[],y c d ∈一致收敛. 则含参量反常积分(),af x y dx +∞⎰在[],c d 上一致收敛.例9 判断含参量反常积分22cos2xe xydx α+∞-⎰在(),y ∈-∞+∞范围上的一致收敛性,其中0α>.解 由于对固定的y R ∈,当x →+∞时,222222cos 2cos 20x x x x exy xy eαα-=→,于是对固定的y R ∈,广义积分22cos2xe xydx α+∞-⎰收敛.另一方面,考虑积分()22,2sin 2xy f x y dx xe xydx α+∞+∞-=-⎰⎰,这里()22,cos 2xf x y e xy α-=.由于当x →+∞时,()222232,sup sin 20x x y x x xexy eαα-∈-∞+∞⋅=→.从而有(),y af x y dx +∞⎰在(),y ∈-∞+∞上一致收敛,由推论2知,22cos2xe xydx α+∞-⎰在(),y ∈-∞+∞范围上的一致收敛.总之,判断含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法多种多样,关键在于理解它们各自应用的范围及其相互联系,以达到灵活应用.参考文献:[1]贺自树.一致收敛教学的探讨[J].重庆师范学院学报（自然科学版）,1998(15)：66-78.[2]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1992.[3]华东师范大学数学系编. 数学分析第三版下册[M].北京:高等教育出版社,2001. 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含参量积分一致收敛及其应用1 引言无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分, 又名反常积分. 在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。
但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件. 因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分, 这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分.广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛. 但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了. 在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序. 于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要.1. 含参量的广义积分和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。
从形式上讲，含参量的广义积分也应有两种形式：无穷限形式的广义积分和无界函数的广义积分，由于二者之间可以相互转化，我们仅以无穷限广义积分为例讨论其性质。
1.1无穷限广义积分的定义定义1：设f (x , y ) 为定义在D =[a , +∞)⨯I （I 为某区间，有界或无界）的二元函数，形如⎰+∞af (x , y ) dx 的积分称为含参变量y 的广义积分。
从定义形式决定研究内容：广义积分是否存在-----收敛性问题与一元函数广义积分相区别的是：由于含参量积分的结果不再是一个单纯的数值，而是一个函数，这就决定了含参量广义积分的收敛性问题中，不仅要有收敛性而且还必须讨论收敛性与参量之关系，由此形成一致收敛性。
