含参量反常积分的性质研究

§2 含参量反常积分与函数项级数相同, 含参量反常积分的重要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性. 在相应的一致收敛的条件下, 含参量反常积分具有连续性, 可微性,可积性. 含参量反常积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的一致收敛性的判别法类似.返回一、含参量反常积分的一致收敛性二、含参量反常积分一致收敛性的判别三、含参量反常积分的性质四、含参量无界函数的反常积分一．含参量反常积分一致收敛性(,)f x y [,)R J c =´+¥设函数定义在无界区域上, 其中J ,x J "Î是任意区间. 若反常积分()(,)d (1)c I x f x y y +¥=ò都收敛都收敛，，则()I x J 是上的函数.称(1)为定义在J 上的含参量x 的无穷限反常积分, 或称含参量反常积分.e+¥òA eM+¥+¥+¥sin sin sin uu uA n®+¥®¥A¢¢反常积分在J上一致收敛.注由定理19.8, 含参量反常积分可看作连续型的函函数项级数.下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法. 它它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿, 我们用柯西准则证明魏尔斯特拉斯M判别法和狄利克雷判别法.阿贝耳判别法的证明留给读者.N(,)(,)d cf x yg x y y +¥òJ由一致收敛的柯西准则,在上一致收敛.阿贝耳判别法设(i)(,)d cf x y y J +¥ò在上一致收敛；,x J Î(,)g x y (ii) 对每一个函数为y 的单调函数, 且(,)g x y J 对参量x ,在上一致有界,则含参量反常积分(,)(,)d cf x yg x y y +¥ò在J 上一致收敛.故由阿贝耳判别法即得含参量反常积分(11)在[0,]d 上一致收敛.例5 证明: 若(,)[,][,)f x y a b c ´+¥在上连续, 又(,)d cf x y y+¥ò(,)d cf x y y+¥ò在[,)a b 上收敛, 但在处发散, 则x b =在[,)a b 上不一致收敛.三、含参量反常积分的性质定理19.9(含参量反常积分的连续性)设(,)[,)f x y J c ´+¥在上连续, 若含参量反常积分()(,)d (12)cI x f x y y +¥=ò+¥{}n A 证由定理19.8, 对任一递增且趋于的数列在J 上一致收敛, 则I (x ) 在J 上连续. 1(),A c =函数项级数111()(,)d ()(13)n nA n A n n I x f x y y u x +¥¥====ååòJ (,)[,)f x y J c ´+¥在在上一致收敛.又由于上连续,故每个()n u x J 都在上连续. 根据函数项级数的连续性连续性定理定理, 函数I (x ) 在J 上连续.这个定理也证明了在一致收敛的条件下, 极限运算与积分运算可以交换:0lim (,)d (,)d cc x x f x y y f x y y+¥+¥®=òòlim (,)d .(14)cx x f x y y +¥®=ò定理19.10(含参量反常积分的可微性)(,)(,)x f x y f x y 与[,)J c ´+¥设在区域上连续. 若()(,)d cI x f x y y +¥=òJ (,)d x cf x y y +¥òJ在上收敛, 在上一致收敛, 则I (x ) 在J 上可微, 且()(,)d (15)x cI x f x y y+¥¢=ò+¥1{}(),n A A c =证对任一递增且趋于的数列令1()(,)d .n nA n A u x f x y y +=ò由定理19.3推得1()(,)d .n nA nx A u x f x y y +¢=ò+¥ò(,)d c f x y y 由在J 上一致收敛及定理19.8, 可得函数项级数111()(,)d n nA n x A n n u x f x y y+¥¥==¢=ååò在J 上一致收敛, 因此因此根据函数项级数的逐项求导根据函数项级数的逐项求导定理,即得¥¥+¥A[,][,)a b c ´+¥()(,)d cI x f x y y +¥=ò[,]a b 上连续,若在上一致收敛, 则I (x )在[,]a b 上可积, 且d (,)d d (,)d ,(16)bb accax f x y y y f x y x +¥+¥=òòòò[,]a b 上可积.又由定理19.9的证明中可以看到, 函数项级数(13)在[,]a b ()[,]n u x a b 在上一致收敛, 且各项上连续, 因此证由定理19.9知道在[,]a b 上连续, 从而I (x )在()I x 定理19.11(含参量反常积分的可积性)设在(,)f x y111()d ()d d (,)d n nbbbA n aaaA n n I x x u x x x f x y y+¥¥====ååòòòò11d (,)d ,(17)n nA bA an y f x y x +¥==åòò这里最后一步是根据定理19.6关于积分顺序的可交换性. (17)式又可写作+¥=òòò()d d (,)d .bbacaI x x y f x y x 这就是(16)式.根据函数项级数逐项求积定理,有(,)f x y[,)[,)+¥´+¥a c+¥例6计算+¥pxb b p+¥+¥四、含参量无界函数的反常积分设(,)[,)f x y R J c d 在区域=´上有定义. 若对x 的某些值, y = d 为函数(,)f x y 的瑕点, 则称(,)d (25)dcf x y y ò为含参量x 的无界函数反常积分, 或简称为含参量反常积分. 若对每一个,x J Î积分(25)都收敛, 则其积x J 在上取值的函数. 含参量反常积分(25)积分值是在上一致收敛的定义是:J,e,d<-使得d c函数反常积分.。

含参量反常积分的性质研究首先，让我们关注积分下限参量。

考虑以下形式的积分：\[I(a) = \int_{a}^{b} f(x) dx,\]其中\(a\)和\(b\)是任意常数。

性质1：积分下限参量的连续性如果函数\(f(x)\)在\(a\)附近连续，那么\(I(a)\)也是关于\(a\)的连续函数。

性质2：积分下限参量的可导性如果函数\(f(x)\)在\(a\)附近连续且存在连续导函数，那么\(I(a)\)在\(a\)附近是可导的，并且它的导数等于积分被积函数\(f(x)\)在下限\(a\)处的值。

接下来，我们来看看积分上限参量。

考虑以下形式的积分：\[J(b) = \int_{a}^{b} f(x) dx,\]其中\(a\)和\(b\)是任意常数。

性质3：积分上限参量的连续性如果函数\(f(x)\)在\(b\)附近连续，那么\(J(b)\)也是关于\(b\)的连续函数。

性质4：积分上限参量的可导性如果函数\(f(x)\)在\(b\)附近连续且存在连续导函数，那么\(J(b)\)在\(b\)附近是可导的，并且它的导数等于积分被积函数\(f(x)\)在上限\(b\)处的值。

以上是含参量反常积分的基本性质。

我们可以利用这些性质来解决实际问题，例如计算含有变化上限的积分。

例如，考虑以下问题：求解关于参数\(a\)的积分\[K(a) = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+x^2}.\]我们可以利用含参量反常积分的性质来求解这个问题。

根据性质3，当\(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\)在\(x = a\)附近连续时，\(K(a)\)也是关于\(a\)连续的。

由于\(f(x)\)是一个连续函数，它在任意区间上都是连续的。

因此，我们可以得出结论\(K(a)\)是关于\(a\)的连续函数。

接下来，我们利用性质4来计算\(K'(a)\)。

根据性质4，\(K'(a)\)等于\(f(a)\)在\(x=a\)处的值。

关于含参量反常积分的证明引言刚开始学习数学分析这门课时，老师就说过，在数学分析这门课中，极限的)(δεN -定义和积分等知识十分重要，可以说学好了它们就学好了数学分析这门课。

在第四版数学分析教材下册第十九章中向我们介绍了含参量积分的相关知识。

在本文中我将对含参量积分的性质的证明做一下归纳总结，希望与大家一同分享。

一、证明过程中用到的定理定理1（函数项级数的连续性定理）若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[]b a ,上也连续。

定理 2（函数项级数的逐项求积定理）若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上一致收敛，且每一项()x u n 都连续，则()∑⎰ban x u dx =()∑⎰x u nbadx .定理 3（函数项级数的逐项求导定理））若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上每一项都有连续的导函数，[]b a x n ,∈为∑nu ()x 的收敛点，且()∑x u n '在[]b a ,上一致收敛，则()()()∑∑=⎪⎭⎫⎝⎛x u dxd x u dx d nn .定理4 若()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则 ()()dx y x f dy dy y x f dx dcbabadc⎰⎰⎰⎰=,,.定理5 含参量反常积分()dy y x f c⎰+∞,在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数()()∑⎰∑∞=∞=+=111,n A A n nN Nx u dy y x f在I 上一致收敛。

二、证明思想由于直接从含参量反常积分入手不易证明，所以我们可以利用定理5将含参量反常积分转化为已解决的函数项级数问题，从而证得。

三、含参量反常积分性质的证明1、连续性 设()y x f ,在[]+∞⨯,c I 上连续，若含参量反常积分()()⎰+∞=Φcdy y x f x ,在I 上一致收敛，则()x Φ在[]b a ,上连续。

第十九章 含参量积分 2含参量反常积分一、一致收敛性及其判别法概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分⎰+∞c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称⎰+∞c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分.定义1： 若含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f Mc Φ-⎰<ε, 即⎰+∞M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有⎰21),(A A dy y x f <ε.定理19.8：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：+∞→A lim F(A)=0, 其中F(A)=⎰+∞∈AIx dy y x f ),(sup .例1：证明含参量反常积分⎰+∞0sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛.解：令u=xy, 则⎰+∞A dy y xysin =⎰+∞Ax du uu sin (A>0). ∵⎰+∞Axdu uusin 收敛，∴∀ε>0, ∃M>0, 使当A ’>M 时，就有⎰∞+'A du u u sin <ε. 取A δ>M, 则当A>δM时，对一切x ≥δ>0，有xA>M, ∴⎰∞+Axdu uusin <ε, 即⎰∞+Ady y xysin <ε, ∴+∞→A lim F(A)=⎰∞++∞∈+∞→A x A dy y xy sin sup lim ),(δ=0, 由定理19.8知 ⎰+∞sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛. 又 F(A)=⎰∞++∞∈Ax dy yxysin sup ),0(=⎰∞++∞∈Ax x du u u sin sup ),0(≥⎰∞+0sin du u u =2π. ∴⎰+∞0sin dy yxy在(0,+∞)上不一致收敛.注：若对任意[a,b]⊂I, 含参量反常积分在[a,b]上一致收敛，则称在I 上内闭一致收敛.定理19.9：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{A n }(其中A 1=c), 函数项级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.证：[必要性]若⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛, 则∀ε>0, ∃M>c, 使 当A ”>A ’>M 时，对一切x ∈I, 总有⎰'''A A dy y x f ),(<ε.又A n →+∞(n →∞), ∴对正数M, ∃正整数N, 只要当m>n>N 时，就有 A m >A n >M. ∴对一切x ∈I, 就有|u n (x)+…+u m (x)|=⎰⎰+++⋯+11),(),(n nm mA A A Ady y x f dy y x f =⎰+1),(m nA Ady y x f <ε.∴∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.[充分性]若∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛, 而⎰+∞c dy y x f ),(在I 上不一致收敛,则存在某正数ε0, 使对任何实数M>c, 存在相应的A ”>A ’>M 和x ’∈I, 使得⎰''''A A dy y x f ),(≥ε0; 现取M 1=max{1,c}, 则存在A 2>A 1>M 1, 及x 1∈I, 使得⎰21),(1A A dy y x f ≥ε0; 一般地, 取M n =max{n,A 2(n-1)} (n ≥2), 则有A 2n >A 2n-1>M n , 及x n ∈I, 使得⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0.由上述所得数列{A n }为递增数列, 且∞→n lim A n =+∞, 而对级数∑∞=1)(n nx u=∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f , 存在正数ε0, 对任何正整数N,只要n>N, 就有某个x n ∈I, 使得|u 2n (x n )|=⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0,与级数∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛矛盾. ∴⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.魏尔斯特拉斯M 判别法：设函数g(y), 使得 |f(x,y)|≤g(y), (x,y)∈I ×[c,+∞). 若⎰+∞c dy y g )(收敛, 则⎰+∞cdy y x f ),(在I 上一致收敛.狄利克雷判别法：设(1)对一切实数N>c, 含参量正常积分⎰Nc dy y x f ),(对参量x 在I 上一致有界, 即存在正数M, 对一切N>c 及一切x ∈I, 都有⎰Nc dy y x f ),(≤M. (2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)关于y 是单调递减且当y →+∞时, 对参量x, g(x,y)一致收敛于0.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.阿贝尔判别法：设(1)⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.(2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)为y 的单调函数, 且对参量x, g(x,y)在I 上一致有界.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.例2：证明含参量反常积分⎰+∞+021cos dx xxy在(-∞,+∞)上一致收敛. 证：∵对任何实数y, 有21cos x xy +≤211x +, 又反常积分⎰+∞+021xdx收敛. 由魏尔斯特拉斯M 判别法知, 含参量反常积分⎰+∞+021cos dx x xy在(-∞,+∞)上一致收敛.例3：证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛. 证：∵反常积分⎰+∞sin dx xx收敛, ∴对于参量y, 在[0,+∞)上一致收敛. 又函数g(x,y)=e -xy 对每个y ∈[0,+∞)单调, 且对任何0≤y<+∞, x ≥0, 都有|g(x,y)|=|e -xy |≤1. 由阿贝尔判别法知, 含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛.例4：证明含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.证：若[a,b]⊂(0,+∞), 则对任意x ∈[a,b],⎰Naxydy sin =Nax xycos -≤a 2. 又'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21y y =()22211yy +-≤0, 即21y y +关于y 单调减, 且当y →+∞时, 21yy+→0(对x 一致), 由狄利克雷判别法知, 含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在[a,b]上一致收敛. 由[a,b]的任意性知, ⎰+∞+121sin dy yxyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.二、含参量反常积分的性质定理19.10：(连续性)设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若含参量反常积分φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上连续. 证：由定理19.9，对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)， 函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.又由f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，∴每个u n (x)都在I 上连续. 由函数项级数的连续性定理知，函数φ(x)在I 上连续.推论：设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上连续.注：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换，即：⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim0=⎰+∞c dy y x f ),(0=⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim 0.定理19.11：(可微性)设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.证：对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)，令u n (x)=⎰+1),(n nA A dy y x f .由定理19.3推得u n ’(x)=⎰+1),(n nA A x dy y x f .由⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛及定理19.9，可得函数项级数∑∞='1)(n n x u =∑⎰∞=+11),(n A A x n ndy y x f 在I 上一致收敛.根据函数项级数的逐项求导定理，即得：φ’(x) =∑∞='1)(n nx u =∑⎰∞=+11),(n A Ax n ndy y x f =⎰+∞cx dy y x f ),(.或写作⎰+∞c dy y x f dxd ),(=⎰+∞c x dy y x f ),(.推论：设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.定理19.12：(可积性)设f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛，则φ(x)在[a,b]上可积，且⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.证：由定理19.10知φ(x)在[a,b]上连续，从而在[a,b]上可积. 又函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛，且各项u n (x)在[a,b]上连续，根据函数项级数逐项求积定理，有⎰Φbadx x )(=∑⎰∞=1)(n ban dx x u =∑⎰⎰∞=+11),(n baA A n ndy y x f dx =∑⎰⎰∞=+1),(1n baA A dx y x f dy n n，即⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.定理19.13：设f(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)上连续，若(1)⎰+∞a dx y x f ),(关于y 在[c,+∞)上内闭一致收敛，⎰+∞c dy y x f ),(关于x 在[a,+∞)上内闭一致收敛；(2)积分⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|与⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy |),(|中有一个收敛. 则⎰⎰+∞+∞cady y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞acdx y x f dy ),(.证：不妨设⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|收敛，则⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(收敛. 当d>c 时，记Jd =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(| =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞dc a dy y x f dx ),(-⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|. 由条件(1)及定理19.12可推得：J d =|⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|≤|⎰⎰+∞d Aa dy y x f dx ),(|+⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|. 由条件(2)，∀ε>0, ∃G>a ，使当A>G 时，有⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|<2ε. 选定A 后，由⎰+∞c dy y x f ),(的一致收敛性知，∃M>a ，使得当d>M 时， 有|⎰+∞d dy y x f ),(|<)(2a A -ε. ∴J d <2ε+2ε=ε，即有+∞→d lim J d =0，∴⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy ),(.例5：计算：J=⎰+∞--0sin sin dx xaxbx e px (p>0,b>a). 解：∵xax bx sin sin -=⎰ba xydy cos ，∴J=⎰⎰+∞-0cos b a pxxydy dx e =⎰⎰+∞-0cos ba px xydy e dx .由|e -px cosxy|≤e -px 及反常积分⎰+∞-0dx e px 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知，含参量反常积分⎰+∞-0cos xydx e px 在[a,b]上一致收敛.又e -px cosxy[0,+∞)×[a,b]上连续，根据定理19.12交换积分顺序得： J=⎰⎰+∞-0cos xydx e dy px ba =⎰+bady y p p22=arctan p b - arctan p a .例6：计算：⎰+∞sin dx xax. 解：利用例5的结果，令b=0，则有F(p)=⎰+∞-0sin dx xaxe px=arctan p a (p>0).由阿贝尔判别法可知含参量反常积分F(p)在p ≥0上一致收敛， 又由定理19.10知，F(p)在p ≥0上连续，且F(0)=⎰+∞sin dx xax . 又F(0)=)(lim 0p F p +→=+→0lim p arctan p a =2πagn a. ∴⎰+∞0sin dx xax =2πagn a.例7：计算：φ(r)=⎰+∞-0.cos 2rxdx e x .解：∵|2x e -cosrx|≤2x e -对任一实数r 成立且反常积分⎰+∞-02dx e x 收敛， ∴含参量反常积分φ(r)=⎰+∞-0cos 2rxdx e x 在(-∞,+∞)上收敛. 考察含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x =⎰+∞--0sin 2rxdx xe x ，∵|-x 2x e -sinrx|≤x 2x e -对一切x ≥0, r ∈(-∞,+∞)成立且⎰+∞-02dx e x 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知， 含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x 在(-∞,+∞)上一致收敛.由定理19.11得φ’(r)=⎰+∞--0sin 2rxdx xex =⎰-+∞→-Ax A rxdxxesin lim2=⎪⎭⎫⎝⎛-⎰--+∞→A x Ax A rxdx e r rx e 00cos 2sin 21lim 22=⎰--A x rxdx e r 0cos 22=2r -φ(r). ∴φ(r)=c 42r e -. 又φ(0)=⎰+∞-02dx e x =2π=c. ∴φ(r)=422πr e-.概念2：设f(x,y)在区域R=[a,b]×[c,d)上有定义，若对x 的某些值，y=d 为函数f(x,y)的瑕点，则称⎰dc dy y x f ),(为含参量x 的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分. 若对每一个x ∈[a,b]，⎰dc dy y x f ),(都收敛，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数.定义2：对任给正数ε, 总存在某正数δ<d-c, 使得当0<η<δ时, 对一切x ∈[a,b], 都有⎰-dd dy y x f η),(<ε, 则称含参量反常积分⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛.习题1、证明下列各题 (1)⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛；(2)⎰+∞-02dy eyx 在[a,b] (a>0)上一致收敛；(3)⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛； (4)⎰+∞-0dy xe xy (i)在[a,b] (a>0)上一致收敛，(ii)在[0,b]上不一致收敛； (5)⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛；(6)⎰1px dx(i)在(-∞,b] (b<1)上一致收敛，(ii)在(-∞,1]内不一致收敛； (7)⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.证：(1)∵22222)(y x x y +-≤22222)(y x x y ++≤21x ，且⎰+∞12x dx 收敛，∴⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛. (2)∵当0<a ≤x ≤b 时，yx e2-=yx e21≤ya e21，且⎰+∞12ya edy 收敛，∴⎰+∞-02dy e y x 在[a,b] (a>0)上一致收敛.(3)对任何N>0，∵⎰-Nt atdt e 0sin ≤⎰-Nt dt e 0≤1，即⎰-Nt atdt e 0sin 一致有界. 又t1关于在(0,+∞)单调，且t1→0 (t →∞)，由狄利克雷判别法知，⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛. (4)(i)∵当0<a ≤x ≤b 时，|xe -xy|≤be -ay，且⎰+∞0ay -be 收敛， ∴⎰+∞-0dy xe xy 在[a,b] (a>0)上一致收敛. (ii)方法一：取ε0=21e<0, 则对任何M>0, 令A 1=M, A 2=2M, x 0=M 1, 有 ⎰-2100A A y x dy e x =MM yx e 20-=21e e ->21e=ε0，∴⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛. 方法二：∵⎰+∞-0dy xe xy =⎩⎨⎧≤<=bx x 0,10,0，且xe -xy 在[0,b]×(0,+∞)内连续，由连续性定理知⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛.(5)∵在[b1,b]×(0,1] (b>1)内, |ln(xy)|=|lnx+lny|≤|lnx|+|lny|≤lnb-lny, 且⎰-10)ln (ln dy y b 收敛, ∴⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛.(6)(i)∵当p ≤b<1, x ∈(0,1]时，p x 1≤b x 1，又⎰10b xdx 收敛，∴⎰1px dx在(-∞,b] (b<1)上一致收敛.(ii)当p=1时，⎰1xdx发散，∴对任何A<1，在[A,1]内不一致收敛，即 ⎰1p xdx在(-∞,1]内不一致收敛. (7)记⎰---1011)1(dx x xq p =⎰---21011)1(dx x xq p +⎰---12111)1(dx x x q p =I 1+I 2.对I 1在0≤x ≤21, 0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上， ∵|x p-1(1-x)q-1|≤1100)1(---q p x x且⎰---210110)1(dx x x q p 收敛，∴I 1在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛； 同理可证I 2在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛. ∴⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.2、从等式⎰-ba xydy e =x e e by ay ---出发，计算积分⎰∞+---0dx xe e byay (b>a>0). 解：∵⎰-ba xy dy e=x e e by ay ---，∴⎰∞+---0dx xe e byay=⎰⎰-+∞b a xy dy e dx 0. 又 e -xy 在[0,+∞)×[a,b]内连续，由M 判别法知, ⎰+∞-0dx e xy 在[a,b]内一致收敛.∴⎰∞+---0dx x e e by ay =⎰⎰+∞-0dx e dy xyb a =⎰b a dy y 1=ln ab .3、证明函数F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续. (提示：利用⎰+∞-02dx e x =2π) 证：令x-y=u, 则F(y)=⎰+∞-yu du e2=⎰-02yu du e+⎰+∞-02du eu =⎰-02yu du e +2π. ∵关于y 的积分下限函数⎰-02y u du e 在(-∞,+∞)上连续， ∴F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续.4、求下列积分： (1)⎰∞+---022222dx x e e xb xa(提示：利用⎰+∞-02dx ex =2π)； (2)⎰+∞-0sin dt t xt e t；(3)⎰+∞--02cos 1dx x xye x . 解：(1)∵22222x e e xbxa---=⎰-ba x y dy ye 222，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222bax y dy ye dx ，由M 判别法知⎰+∞-0222dx ye x y 在[a,b]内一致收敛，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222dx yedy x y ba=⎰⎰+∞-0)(222xy d edy x y ba =⎰bady π=(b-a)π.(2)利用例5结果：⎰+∞--0sin sin dt tatbt e pt=arctan p b - arctan p a . (p>0,b>a).当p=1, a=0, b=x 时，有⎰+∞-0sin dt txte t=arctanx. (3)∵2cos 1x xy e x --=⎰-y x dt x xt e 0sin ，∴⎰⎰-+∞yx dt x xt e dx 00sin . 由x xt e x x sin lim 0-→=t 知, x=0不是xxte x sin -的瑕点，又 含参量非正常积分⎰+∞-0sin dx xxte x 在t ∈[0,M]上一致收敛, ∴由(2)有2cos 1x xy e x--=⎰⎰+∞-00sin dx xxt e dt x y =⎰y tdt 0arctan =yarctany-21ln(1+y 2).5、回答下列问题： (1)对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 能否运用极限与积分运算顺序的交换求解？(2)对⎰⎰+∞--132)22(dx e xy y dy xy 能否运用积分顺序交换来求解？(3)对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？ 解：(1)∵F(x)=⎰+∞-022dy xye xy =⎩⎨⎧=>0,00,1x x , ∴F(x)lim 0+→x =1，但⎰+∞-→+022lim dy xye xy x =0，即交换运算后不相等，∴对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 不能运用极限与积分运算顺序的交换求解.注：⎰+∞-022dy xye xy =⎰+∞-0du xe xu 在[0,b]上不一致收敛，并不符合连续性定理的条件.(2)∵⎰⎰+∞--10032)22(dx exy y dy xy =⎰∞+-122dy xyexy =⎰10dy =0；⎰⎰-+∞-1032)22(dy exy y dx xy =⎰+∞-0122dx ey xy =⎰-1dx e x =1；∴对⎰⎰+∞--10032)22(dx e xy y dy xy 不能运用积分顺序交换来求解.注：⎰+∞--032)22(dx e xy y xy =0且⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=-2My 2My e -. 对ε0=1，不论M 多大，总有y 0=M1∈[0,1]，使得⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=2M e 1->1,∴⎰+∞--032)22(dx e xy y xy 在[0,1]不一致收敛，不符合可积性定理的条件. (3)∵F(x)=⎰+∞-032dy e x y x =x, x ∈(-∞,+∞)，∴F ’(x)≡1. 但y x e x x23-∂∂=(3x 2-2x 4y)y x e 2-, 而当x=0时，⎰+∞--0422)23(dy e y x x y x =0. ∴对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 不能运用积分与求导运算顺序交换来求解. 注：∵⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx =⎩⎨⎧=≠0,00,1x x ，∴⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx 在[0,1]上不一致收敛,不符合可微性定理的条件.6、应用：⎰+∞-02dx e ax =212π-a (a>0)，证明： (1)⎰+∞-022dt e t at=234π-a ；(2)⎰+∞-022dt e t at n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n .证：(1)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛， ∴⎰+∞-02dt e da d at =⎰+∞-02dt e dad at =-⎰+∞-022dte t at . 又⎰+∞-02dt e da d at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa da d =-234π-a . ∴⎰+∞-02dx e ax =234π-a . 方法二：⎰+∞-022dt et at =-⎰+∞-0221at tdea =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞-∞+-02221dt ete a at at=⎰+∞-0221dt e aat =234π-a .(2)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at n 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞+-02dt eda d at nn=⎰∞+-02dt e da d at nn =(-1)n ⎰+∞-022dt e t at n . 又⎰∞+-02dt e dad atnn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa dad nn=(-1)n ⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n . ∴⎰+∞-022dt e t atn =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn nan . 方法二：记I n =⎰+∞-022dt e t at n , n=0,1,2,…，(1)中已证I 1=⎪⎭⎫⎝⎛+--⨯2112)112(2πa=a 2)112(-⨯I 0. 可设I k =a k 2)12(-⨯I k-1，则 I k+1=⎰+∞-+0)1(22dt e t at k =-⎰+∞-+012221at k de t a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞+-∞+-+0120122221k at at k dt e e t a=⎰+∞-+022212dt e t a k at k =ak 21)1(2-+I k=2)2()12](1)1(2[a k k --+I k-1=…= 1)2(!]!1)1(2[+-+k a k I 0=211)2(!]!1)1(2[2π-+-+a a k k .当n=k+1时，有I n =⎰+∞-022dt e t at n =21)2(!)!12(2π--a a k n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn na n . 7、应用⎰+∞+022a x dx =a2π，求()⎰+∞++0122n a x dx.解：记A=a 2, ∵()⎰+∞++012n Axdx在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞++02A x dx dA d nn =⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+021dx A x dA d n n=(-1)nn!()⎰+∞++012n A x dx . 又⎰∞++02A x dx dAd nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛A dA d n n 2π=(-1)n 212!)!12(2π---n n A n . ∴()⎰+∞++012n Axdx=212!!)!12(2π---n n A n n =12!)!2(!)!12(2π---n a n n .8、设f(x,y)为[a,b]×[c,+∞)上连续非负函数，I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(在[a,b]上连续，证明：I(x)在[a,b]上一致收敛.证：任取一个趋于的∞递增数列{A n } (其中A 1=c)，考察级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u .∵f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上非负连续, ∴u n (x)在[a,b]上非负连续. 由狄尼定理知，∑∞=1)(n n x u 在[a,b]上一致收敛，从而∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f 在[a,b]上一致收敛. 又I(x)=dy y x f ⎰+∞),(在[a,b]上连续.∴I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(=∑⎰∞=∞→+11),(lim n A An n ndy y x f [a,b]上一致收敛.9、设在[a,+∞)×[c,d]内成立不等式|f(x,y)|≤F(x,y). 若dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，证明：dx y x f ⎰+∞),(在y ∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.证：∵dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，∴∀ε>0, ∃M>0，对任何A2>A1>M和一切y∈[c,d]，都有⎰21) , (A AdxyxF<ε.∵|f(x,y)|≤F(x,y)，∴⎰21) , (A Adxyxf≤⎰21),(AAdxyxf≤⎰21),(AAdxyxF<ε，∴dxyxf⎰+∞0),(在y∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.。

含参量积分的分析性质及其应用班级：11数学与应用数学一班成绩：日期： 2012年11月5日含参量积分的分析性质及其应用1. 含参量正常积分的分析性质及应用1.1含参量正常积分的连续性定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续,则函数()x ϕ=⎰dcdy y x f ),(在[a,b]上连续.例1 设)sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积分⎰=10),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续.解 因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.-1,x<y 则⎰==101)(dx y F .当10≤≤y 时, f(x,y)= 0,x=y,1,x>y则⎰⎰-=+-=yyy dx dx y F 01.21)1()(1, y<0当y>1时, f(x,y)=-1,则⎰-=-=101)1()(dx y F ,即F(x)= 1-2y,0≤y<0-1 y>1又因).1(1)(lim ),0(1lim 1F y F F y y =-===→→F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)在),(+∞-∞上连续.例2 求下列极限：（1）dx a x ⎰-→+11220limα; (2)⎰→220cos lim xdx x αα.解 （1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=[-1,1]⨯[-1.1]上连续,则由连续性定理得dx a x ⎰-+1122在[-1,1]上连续.则⎰⎰⎰--→-→==+=+1122110112201lim lim dx x dx a x dx a x αα.（2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2,2[]2,0[ππ-⨯=R 上连续,由连续性定理得,函数⎰202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.38cos lim 2020220==⎰⎰→dx x axdx x α例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ⎰+122)(的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解 对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数22)(yx x yf +在],[]1,0[00δδ+-⨯=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因dx yx x yf dx y x x yf y F ⎰⎰+-=+-=-1022122)()()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0.y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(1022122=+-≥+=⎰⎰,从而04)(lim 0>≥+→πm y F y ,但 F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞ 上连续,在y=0处不连续.定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续.例4 求⎰+→++αααα12201limx dx. 解 记⎰+++αααα1221)(x dx I .由于2211,1,ααα+++x 都是α和x 的连续函数,由定理2知)(αI 在0=α处连续,所以41)0()(lim 1020παα=+==⎰→x dx I I .例5 证明函数dx e y F y x ⎰-∞--=0)(2)(在),(+∞-∞上连续.证明 对),(+∞-∞∈∀y ,令x-y=t,可推得⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-----∞+--+=+===0)(2)(22222yyt t t t y x dt e dt e dt e dt e dx e y F π.对于含多量正常积分⎰--02yt dt e ,由连续性定理可得⎰--02yt dt e 在),(+∞-∞上连续,则dx e y F y x ⎰+∞--=0)(2)(在),(+∞-∞上连续.1.2含参量正常积分的可微性定理3 若函数f ()y x ,与其偏导数x∂∂f ()y x ,都在矩形区域R=[a,b]*[c,d]上连续,则()x ϕ=dy y x f d c⎰),(在[a,b]上可微,且dy y x f xdy y x f dx d d c dc ),(),(⎰⎰∂∂=.定理 4 设f ()y x ,,x f ()y x ,在R=[a,b]*[p,q]上连续,c ()x ,d ()x 为定义在[a,b]上其值含于[p,q]內的可微函数,则函数F ()x =⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微,且).())(,()())(,(),()('')()('x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x -+=⎰定理5 若函数f ()y x ,及x f ()y x ,都在[a,b;c,d]上连续,同时在[c,d]上)('y a 及)('y b 皆存在,并且a ≤a(y)≤b,a ≤b(y)≤b (c ≤y ≤d),则⎰⎰-+==)()('')()(')(]),([)(]),([),(),()(y b y a y y b y a y a y y a f y b y y b f dx y x f dx y x f dy d y F . 证明 考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数,由于)()()(),(),(),()(3)()(21)()()()(000y F y F y F dx y x f dx y x f dx y x f y F y a y a y b y b y b y a o -+=-+=⎰⎰⎰.现在分别考虑)3,2,1)((=i y F i 在点0y 处得导数.由定理5可得⎰=)()(00'100),()(y b y a y dx y x f y F .由于0)(02=y F ,所以dx y y y x f y y y F y y y F y F y F y b y b y y y y o y y o⎰-=-=--=→→→)()(0020220;'2000),(lim )(lim )()(lim)(.应用积分中值定理),()()(lim)(000'20y f y y y b y b y F y y ξ⨯--=→.这里ξ在)(y b 和)(0y b 之间.再注意到f ()y x ,的连续性及b(y)的可微性,于是得到]),([)()(000'0'2y y b f y b y F =.同样可以证明]),([)()(000'0'3y y a f y a y F =于是定理得证.例6 设,sin )(2dx xyxy F y y ⎰=求)('y F .解 应用定理5有 y y yy y yxdx y F y y223'sin 1sin 2cos )(2⋅-⋅+=⎰yy y y yyxy y23sin sin 2sin 2-+=yy y 23sin 2sin 3-=.例7 设)(x f 在0=x 的某个邻域U 上连续,验证当U x ∈时,函数dt t f t x n x n x )()()!1(1)(10-⎰--=ϕ （1）的n 阶导数存在,且).()()(x f x n =ϕ解 由于（1）中被积函数)()(),(1t f t x t x F n --=及其偏导数),(t x F x 在U 上连续,于是由定理4可得⎰----+---=x n n x f x x n dt t f t x n n x 012')()()!1(1)())(1()!1(1)(ϕ ⎰---=x n dt t f t x n 02.)()()!2(1同理⎰----+---=x n n x f x x n dt t x n n x 013'')()()!1(1))(2()!2(1)(ϕ ⎰---=x n dt t f t x n 03.)()()!3(1如此继续下去,求得k 阶导数为⎰-----=x k n k dt t f t x k n x 01)(.)()()!1(1)(ϕ特别当1-=n k 时有⎰=-xn dt t f x 0)1(,)()(ϕ于是).()()(x f x n =ϕ例8 计算积分.1)1ln(12dx xx I ⎰++=.解 考虑含参量积分.1)1ln()(102dx xx ⎰++=ααϕ 显然,)1(,0)0(I ==ϕϕ且函数21)1ln(xx ++α在R=[0,1]⨯[0,1]上满足定理3的条件,于是⎰++=102'.)1)(1()(dx x x xααϕ.因为),11(11)1)(1(222x xx x x x ααααα+-+++=++ 所以)('αϕ)111(11101010222⎰⎰⎰+-++++=dx x dx xx dx x αααα ])1ln()1ln(21arctan [1110102102x x x ααα+-+++= )].1ln(2ln 214[112απαα+-+⋅+=因此⎰10')(ααϕd ⎰+-++=102)]1ln(2ln 214[11αααπαd )1(arctan 2ln 21)1ln(810102ϕααπ-++= )1(2ln 82ln 8ϕππ-+=)1(2ln 4ϕπ-=.另一方面⎰=-=10'),1()0()1()(ϕϕϕααϕd 所以.2ln 8)1(πϕ==I1.3含参量正常积分的可积性定理6 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()x ϕ和()x ψ分别在[]b a ,和[]d c ,上可积.其中()x ϕ=()⎰d c y x f ,dy,x ∈[]b a ,,()x ψ=()⎰ba y x f ,dy.这就是说：在f ()y x ,连续性假设下,同时存在求积顺序不同的积分：()dx dy y x f ba d c ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡,与()dy dx y x f dcb a ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡,,简便记为()dyy x f dx b adc⎰⎰,与()dx y x f dy dcba⎰⎰,,前者表示f ()y x ,先对y 求积然后对x 求积,后者则表示先对x 求积再对y 求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.由可积性的定理进一步指出,在f ()y x ,连续性假设下,累次积分与求积顺序无关,即若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()dy y x f dx bad c⎰⎰,=()dx y x f dy d cba⎰⎰,.定理7 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,g ()x 在[]b a ,上可积,则作为y 的函数()()dx x g y x f ba⎰,在[]d c ,上连续,且()()dy y x f dx x g d ccba⎰⎰,=()()dx x g y x f dy d cba⎰⎰,.注意 推论中闭区间[]d c ,可以换成开区间或无穷区间,因为可积性定理是由连续性推得的,连续性是局部性质.例9 求I=dx xx x ab ⎰-1ln （b>a>0）. 解 由xx x dy x ab bayln -=⎰得I=dx dy x b a y ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛10=⎰⎰10b a y dy x dx ,因为()y x y x f =,在矩形区域[][]b a ,1,0⨯上连续,由定理可得I=dx x dy b ay ⎰⎰1=dy y ba ⎰+11=ln ab ++11. 例10 试求累次积分()dy yxy x dx ⎰⎰+-10122222与()⎰⎰+-10122222dx yxy x dy ,并指出它们为什么与定理的结果不符.解：()dy y xy x dx ⎰⎰+-101022222=()dx dy y x y x ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++101022222=()()dx y x y x d y y x dy ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+1010102222222=dx y x yd y x dy ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++10101022221=dx x ⎰+10211=0arctan 1arctan -=4π. ()⎰⎰+-1122222dx y xy x dy =()dx x y x y dy ⎰⎰+--10122222,由()dy y xy x dx ⎰⎰+-1122222=4π,同理可得()dx x yx y dy ⎰⎰+-10122222=4π,所以()⎰⎰+-101022222dx y x y x dy =–4π.即()dy yxy x dx⎰⎰+-10122222≠()⎰⎰+-10122222dx yxy x dy ,这与定理不符.因为()()()222220,0,limyxy x y x +-→=()()()2222220,0,2limy xy y x y x +-+→=()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+→2222220,0,21lim y x y y x y x 不存在, 所以()()22222,yxy x y x f +-=在点()0,0处极限不存在,即在矩形区域[][]1,01,0⨯上不连续,不满足定理的条件.例11 应用积分号下的积分法求积分,dx x xx x ab ln 1ln sin 10-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ ()0>>a b . 解 令()xx x x x g ab ln 1ln sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛=,x x x dy x a b b a yln -=⎰.因为()()()(),01,00,0lim ,0lim 1====→→+g g x g x g x x 所以()x g 在[]1,0上连续.所以dx x xx x a b ln 1ln sin 10-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰=()⎰10x g =dx dy x x b a y ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin . 令()y x f ,= yx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛1lnsin , 10≤<x , 0 , 0=x .则()y x f ,在矩形区域[][]b a ,1,0⨯上连续,由定理可知dx dy x x b ay ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin =dx x x dy yba ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛101ln sin =()⎰⎰+∞+-baty tdte dy 01sin =()()()a b dy y ba +-+=++⎰1arctan 1arctan 1112.2. 含参量反常积分的分析性质及应用2.1含参量反常积分的连续性定理8 设),(y x f 在⨯I [+,c ∞）上连续,若含参量反常积分)(x φ=⎰+∞c dyy x f ),(在I 上一致连续,则Φ（x ）在I 上连续.推论 ),(y x f 在⨯I [+,c ∞）上连续,若dy y x f x c⎰+∞=Φ),()(在I 上內闭一致收敛,则Φ（x ）在I 上连续.这个定理也表明,在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换：dy y x f x dy y f dy y x f x c x c o c x ox ),(lim ),(),(lim 0⎰⎰⎰+∞→+∞+∞→==例12 证明⑴dy x e xy⎰+∞-0⑴在[a,b]（a>0）上一致收敛;⑵ 在[0,b]上不一致收敛.证明 ⑴∀ x ),(b a ∈,y ),0[+∞∈,有bexeayxy--≤≤0,而dybe xy ⎰+∞-0收敛（a>0）,由M 判别法,知反常积分dy x e xy⎰+∞-0在[a,b]（a>0）上一致收敛.⑵因Φ（x ）=dy x e xy ⎰+∞-0= 0,0=x ，1,0b x ≤≤.在x=0处不连续,而xe xy -在0≤ x ≤ b,0≤y ≤ +∞ 內连续,由连续性定理知dy x e xy⎰+∞-0在0≤ x ≤ b 上不一致连续.例13 回答对极限dy xy xy e x ⎰+∞→-+220lim 能否施行极限与积分运算顺序的变换来求解？ 解110lim ][0lim lim22222lim ==--=-=-++++→+∞→∞+→∞+→⎰⎰x x x x xy xyexyee dxy dy xyo . 而0002lim 2==-⎰⎰∞+∞+→+dy dy xyxyex 运算顺序不能交换,是因为dy xyxye⎰∞+-022在[0,b]（b>0）上不一致收敛,故不满足含参量反常积分连续性条件.定理9 如果函数),(u x f 在[a,+∞）×[βα,]上连续,而且积分⎰+∞adxu x f ),(在[βα,]上一致收敛,那么由Φ（x ）=⎰+∞adx u x f ),(所确定的函数Φ在[βα,]上连续.证明 由于⎰+∞adx u x f ),(在[βα,]上一致连续,故对任意ε>0,存在A 0>a,使得不等式︱⎰+∞A dx u x f 0),(︱<3ε对[βα,]中所有的u 成立.因为函数),(u x f 在[βα,]上连续,⎰+∞A dx u x f 0),(是[βα,]中的连续函数,因而对任意0u ∈[βα,],任意ε>0,存在δ>0 , 当u ∈[βα,]且δ<-0u u 时,︱⎰A dx u x f a),(-⎰A dx u x f a),(0︱<3ε.于是当u ∈[βα,]且︱u -0u ︱<δ时, ︱()u ϕ-()0u ϕ︱=︱⎰+∞adxu x f ),(-⎰+∞adxu x f ),(0︱≤︱⎰A dxu x f a),(-⎰A dxu x f a),(0︱+︱⎰+∞Adx u x f 0),(︱+︱⎰+∞Adx u x f 0),(0︱<3ε+3ε+3ε=ε.这就证明了ϕ在0u 处是连续的.由于0u 是[βα,]中的任意点,所以ϕ在[βα,]上连续.这个定理也可以写成：⎰⎰⎰+∞→+∞+∞→=a u aau dx u x f u dx x f dx u x f u u )),(lim (),(),(00lim 即在积分一致收敛的条件下,极限号与积分号可以交换.例14 讨论函数=)(αϕdx x x x)2(arctan 3+⎰+∞α的连续性区间.解 先看函数)(αϕ的定义域是什么,即上述积分在什么范围内收敛.在x=0附近,x x x dx x 13121~)2(arctan -+αα.所以当α<2时,积分dx xx x)2(arctan 3+⎰+∞α收敛.当x +∞→时,dx x x x )2(arctan 3+α～x312+απ,所以积分dx xx x)2(arctan 31+⎰+∞α当α>-2时收敛.由此得知)(αϕ的定义域是（-2,2）.我们只需证明ϕ在任意[a,b]⊂（-2,2）上连续.根据定理9只要证明上面的积分在[a,b]上一致收敛.当x )1,0(∈时,设a ≤b<2,这时存在常数c 使得dx x x x a )2(arctan 3+≤x a c 1-≤xb c 1-而b-1<1,故由比较判别法,积分dx xx x a )2(arctan 31+⎰在（+∞,b]一致收敛.当x ∈[1,+∞）时,设-2<a ≤α,xxx xa a dx x3331212)2(arctan ++≤≤+ππα.而a+3>1,故有比较判别法,积分dx xx x)2(arctan 31+⎰∞+α在[a,+∞）上一致收敛,把积分合在一起,即知dx xx x)2(arctan 3+⎰+∞α在[a,b]⊂（-2,2）上一致收敛,故ϕ在（-2,2）上连续.注意 与级数的情形一样,积分的一致收敛只是保证ϕ连续的一个充分不必要条件.但在f 非负的条件下,积分的一致收敛便是ϕ连续的必要条件. 2.2含参量反常积分的可微性定理10 设),(y x f 与),(y x f x 在区域I ⨯[,c )∞+上连续.若dy y x f x c⎰+∞=Φ),()(在I 上收敛,dy y x f cx ),(⎰+∞在I 上一致收敛,则)(x Φ在I 上可微,且dy y x f x cx ),()('⎰+∞=Φ.例15 求积分dx x xye x2cos -⎰+∞-. 解 记J(y)= dx xxy e x 20cos -⎰+∞-,有参量反常积分可微性定理推得)('y J = dx xxye xsin 0⎰+∞-=y arctan ,而0)0(=J ,所以dx xxye x20cos 1-⎰+∞-=)(y J =⎰y dt t J 0)(', )1ln(21arctan arctan 20y y y tdt I y +-==⎰.例16 对dy e x x F y x 23)(-+∞⎰=能否运用积分与求导运算顺序变换求解.逻辑推理 验证函数dy e x x F y x 23)(-+∞⎰=是否满足可微性定理条件,若不满足条件,则不能变换顺序. 1,0≠x ,解 由于⎰⎰+∞--+∞-=∂∂0420322)23()(dy e y x x dy e x xy x yx = 0,0=x .因而dy e x xyx )(203-+∞⎰∂∂在[]1,0上不一致收敛,故不能运用含参量反常积分可微性定理.实际上,因dy e x x F y x 23)(-+∞⎰==x ,()+∞∞-∈,x ,则,1)('=x f 而⎰⎰+∞--+∞-=∂∂0420322)23()(dy e y x x dy e x x yx y x 在x =0处为零.故积分与求导运算不能交换顺序.定理11（积分号下求导定理） 设),(y x f 与),(y x f x 在⨯I [,c )∞+上连续.若dy y x f x c⎰+∞=Φ),()(在I 上收敛,而dy y x f cx ),(⎰+∞在I 上内闭一致收敛,则)(x Φ在I 上可微,且dy y x f x cx ),()('⎰+∞=Φ.证明 设｛n C ｝()c C o =为一递增且趋于∞+的数列,记dy y x f x u nn c c n ⎰-=1),()(,n=1,2···,且有)(x I =)(1x u n n ∑∞=.由正常积分的连续性定理得)(x u n （n=1,2···,）在[]b a ,上可微,且dy y x f x u nn c c n ⎰-=1),()(',n=1,2···,由已知条件dy y x f cx ),(⎰+∞在[]b a ,上一致收敛,又因若含参变量反常积分dy y x f c),(⎰+∞关于[]b a x ,∈一致收敛,则函数项级数)('1x u n n ∑∞=关于[]b a x ,∈一致收敛.从而函数项级数==⎰∑∑-∞=∞=dy y x f x u nn c c x n n n 1),()('11dy y x f cx ),(⎰+∞也在[]b a ,上一致收敛,根据函数项级数的逐项求导定理,即得)(x I 在[]b a ,上可微,且==∑∞=)(')('1x u x I n n dy y x f cx ),(⎰+∞.上述定理的结果也可记成dy y x f x dy y x f dx d c c),(),(⎰⎰+∞+∞∂∂=. 定理12 如果函数f 和u f ∂∂都在[)[]βα,,⨯+∞a 上连续,积分dx uu x f a ⎰+∞∂∂),(在[]βα,上一致收敛,那么⎰+∞=adx u x f u ),()(ϕ在[]βα,上可微,而且βαϕ≤≤∂∂=⎰+∞u dx uu x f u a,),()('. 证明 对于任意正整数a n >,令⎰=n an dx u x f x ),()(ϕ.又因为若函数f 及其偏导数uf∂∂都在闭矩形[][]βα,,⨯=b a I 上连续,那么函数⎰=b a dx u x f x ),()(ϕ在[]βα,上可微,而且dx u x f ux du d ba)),(()(⎰∂∂=ϕ.所以n ϕ在[]βα,上有连续的导函数dx uu x f u nan ⎰∂∂=),()('ϕ. 由于.),(dx uu x f a⎰+∞∂∂在[]βα,上一致收敛,所以函数列{})('u ϕ在[]βα,上一致收敛,且因{}n ϕ在[]βα,上收敛于ϕ,故ϕ在[]βα,上连续可微,且βαϕ≤≤∂∂=⎰+∞u dx uu x f u a,),()(' 成立.例17 利用对参数的微分法,计算微分a dx xe e bxax ,0222⎰∞+---﹥0,b ﹥0.解 把a 看作参数,记上面的积分为),(a I 那么dx e a I ax ⎰+∞--=02)('.为了说明微分运算和积分运算的交换是允许的,我们把a 限制在区间[)+∞,δ中,这里δ是任意一个正数.于是.2ax 2x e e δ-≤-由于.02dx e x ⎰+∞-δ收敛,故由Weierstrass 判别法知道,积分.02dx e ax ⎰+∞-对[)+∞∈,δa 中一致收敛,故由上述定理可知上面的运算成立.由于δ﹥0是任意的,故.)('02dx ea I ax ⎰+∞--=在()+∞,0中成立.计算得aa I 2)('π-=, 所以.)(c a a I +-=π由于,,0)(b c b I π==故最后得).()(a b a I -=π 2.3含参量反常积分的可积性定理13设),(y x f 在[a,b]⨯[c, )∞+上连续,若dy y x f x c⎰+∞=Φ),()(在[a,b]上一致收敛,则)(x Φ在[a,b]上可积,且dy y x f dx cb a⎰⎰+∞),(=dx y x f dy bac⎰⎰+∞),(.定理14 设),(y x f 在[a,b]⨯[c, )∞+上连续,若（1）⎰+∞adx y x f ),(关于y在[c, )∞+上内闭一致收敛,⎰+∞cdy y x f ),(关于x 在[a,)∞+上内闭一致收敛；（2）积分⎰⎰+∞+∞a cdy y x f dx ),(与⎰⎰+∞+∞cadx y x f dy ),(中有一个收敛.则⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ),(=dx y x f dy ac⎰⎰+∞+∞),(.例18 等式dy e baxy⎰-=xee bxax---出发,计算积分dx xe e bx ax ⎰∞+---0（b>a>0）.解 因为xy e -在[0,)∞+⨯[ a,b]上连续,且xy ≥ax,则有0<ax xy e e --≤而dx e ax ⎰+∞-0=-∞+-01ax e a=a1收敛,由M 判别法可推断含参量反常积分dx e ax ⎰+∞-0在[ a,b]（a>0）上一致收敛.由可积性定理知()=I y ⎰+∞-0dx e xy 在[ a,b]上可积.且dy e dx b axy ⎰⎰-+∞=dx x e e bx ax ⎰∞+---0=dx e dy xyb a ⎰⎰+∞-0=⎰+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a xy dy e y 01=⎰bady y 1=ab ln . 例19 对dx e xy y dy xy ⎰⎰+∞--03103)22(能否运用积分顺序交换来求解？解：令u=x 2y ,则dx exy y dy xy ⎰⎰+∞--03103)22(=[]dy ue yu∞+-⎰0102=⎰10dy =0而[]x xu ux xy xy e ue xdu e u x dxy e xy x dy e xy y -----==-=-=-⎰⎰⎰02102131)1(1)1(1)22(22.则dy e xy y dx xy ⎰⎰-+∞-1303)22(=dx e x ⎰+∞-0=1. 所以积分运算顺序不能变换.原因是dx e xy y xy⎰+∞--033)22(在[0,1]上不一致收敛,故不满足参量反常积分可积性定理条件.。

含参量积分的分析性质及其应用班级：11数学与应用数学一班成绩：日期： 2012年11月5日含参量积分的分析性质及其应用1. 含参量正常积分的分析性质及应用1.1含参量正常积分的连续性定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续,则函数()x ϕ=⎰dcdy y x f ),(在[a,b]上连续.例1 设)sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积分⎰=10),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续.解 因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.-1,x<y 则⎰==101)(dx y F .当10≤≤y 时, f(x,y)= 0,x=y,1,x>y则⎰⎰-=+-=yyy dx dx y F 01.21)1()(1, y<0当y>1时, f(x,y)=-1,则⎰-=-=101)1()(dx y F ,即F(x)= 1-2y,0≤y<0-1 y>1又因).1(1)(lim ),0(1lim 1F y F F y y =-===→→F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)在),(+∞-∞上连续.例2 求下列极限：（1）dx a x ⎰-→+11220limα; (2)⎰→220cos lim xdx x αα.解 （1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=[-1,1]⨯[-1.1]上连续,则由连续性定理得dx a x ⎰-+1122在[-1,1]上连续.则⎰⎰⎰--→-→==+=+1122110112201lim lim dx x dx a x dx a x αα.（2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2,2[]2,0[ππ-⨯=R 上连续,由连续性定理得,函数⎰202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.38cos lim 2020220==⎰⎰→dx x axdx x α例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ⎰+122)(的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解 对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数22)(yx x yf +在],[]1,0[00δδ+-⨯=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因dx yx x yf dx y x x yf y F ⎰⎰+-=+-=-1022122)()()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0.y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(1022122=+-≥+=⎰⎰,从而04)(lim 0>≥+→πm y F y ,但 F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞Y 上连续,在y=0处不连续.定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续.例4 求⎰+→++αααα12201limx dx. 解 记⎰+++αααα1221)(x dx I .由于2211,1,ααα+++x 都是α和x 的连续函数,由定理2知)(αI 在0=α处连续,所以41)0()(lim 1020παα=+==⎰→x dx I I .例5 证明函数dx e y F y x ⎰-∞--=0)(2)(在),(+∞-∞上连续.证明 对),(+∞-∞∈∀y ,令x-y=t,可推得⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-----∞+--+=+===0)(2)(22222yyt t t t y x dt e dt e dt e dt e dx e y F π.对于含多量正常积分⎰--02yt dt e ,由连续性定理可得⎰--02yt dt e 在),(+∞-∞上连续,则dx e y F y x ⎰+∞--=0)(2)(在),(+∞-∞上连续.1.2含参量正常积分的可微性定理3 若函数f ()y x ,与其偏导数x∂∂f ()y x ,都在矩形区域R=[a,b]*[c,d]上连续,则()x ϕ=dy y x f d c⎰),(在[a,b]上可微,且dy y x f xdy y x f dx d d c dc ),(),(⎰⎰∂∂=.定理 4 设f ()y x ,,x f ()y x ,在R=[a,b]*[p,q]上连续,c ()x ,d ()x 为定义在[a,b]上其值含于[p,q]內的可微函数,则函数F ()x =⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微,且).())(,()())(,(),()('')()('x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x -+=⎰定理5 若函数f ()y x ,及x f ()y x ,都在[a,b;c,d]上连续,同时在[c,d]上)('y a 及)('y b 皆存在,并且a ≤a(y)≤b,a ≤b(y)≤b (c ≤y ≤d),则⎰⎰-+==)()('')()(')(]),([)(]),([),(),()(y b y a y y b y a y a y y a f y b y y b f dx y x f dx y x f dy d y F . 证明 考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数,由于)()()(),(),(),()(3)()(21)()()()(000y F y F y F dx y x f dx y x f dx y x f y F y a y a y b y b y b y a o -+=-+=⎰⎰⎰.现在分别考虑)3,2,1)((=i y F i 在点0y 处得导数.由定理5可得⎰=)()(00'100),()(y b y a y dx y x f y F .由于0)(02=y F ,所以dx y y y x f y y y F y y y F y F y F y b y b y y y y o y y o⎰-=-=--=→→→)()(0020220;'2000),(lim )(lim )()(lim)(.应用积分中值定理),()()(lim)(000'20y f y y y b y b y F y y ξ⨯--=→.这里ξ在)(y b 和)(0y b 之间.再注意到f ()y x ,的连续性及b(y)的可微性,于是得到]),([)()(000'0'2y y b f y b y F =.同样可以证明]),([)()(000'0'3y y a f y a y F =于是定理得证.例6 设,sin )(2dx xyxy F y y ⎰=求)('y F .解 应用定理5有 y y yy y yxdx y F y y223'sin 1sin 2cos )(2⋅-⋅+=⎰yy y y yyxy y23sin sin 2sin 2-+=yy y 23sin 2sin 3-=.例7 设)(x f 在0=x 的某个邻域U 上连续,验证当U x ∈时,函数dt t f t x n x n x )()()!1(1)(10-⎰--=ϕ （1）的n 阶导数存在,且).()()(x f x n =ϕ解 由于（1）中被积函数)()(),(1t f t x t x F n --=及其偏导数),(t x F x 在U 上连续,于是由定理4可得⎰----+---=x n n x f x x n dt t f t x n n x 012')()()!1(1)())(1()!1(1)(ϕ ⎰---=x n dt t f t x n 02.)()()!2(1同理⎰----+---=x n n x f x x n dt t x n n x 013'')()()!1(1))(2()!2(1)(ϕ ⎰---=x n dt t f t x n 03.)()()!3(1如此继续下去,求得k 阶导数为⎰-----=x k n k dt t f t x k n x 01)(.)()()!1(1)(ϕ特别当1-=n k 时有⎰=-xn dt t f x 0)1(,)()(ϕ于是).()()(x f x n =ϕ例8 计算积分.1)1ln(12dx xx I ⎰++=.解 考虑含参量积分.1)1ln()(102dx xx ⎰++=ααϕ 显然,)1(,0)0(I ==ϕϕ且函数21)1ln(xx ++α在R=[0,1]⨯[0,1]上满足定理3的条件,于是⎰++=102'.)1)(1()(dx x x xααϕ.因为),11(11)1)(1(222x xx x x x ααααα+-+++=++ 所以)('αϕ)111(11101010222⎰⎰⎰+-++++=dx x dx xx dx x αααα ])1ln()1ln(21arctan [1110102102x x x ααα+-+++= )].1ln(2ln 214[112απαα+-+⋅+=因此⎰10')(ααϕd ⎰+-++=102)]1ln(2ln 214[11αααπαd )1(arctan 2ln 21)1ln(810102ϕααπ-++= )1(2ln 82ln 8ϕππ-+=)1(2ln 4ϕπ-=.另一方面⎰=-=10'),1()0()1()(ϕϕϕααϕd 所以.2ln 8)1(πϕ==I1.3含参量正常积分的可积性定理6 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()x ϕ和()x ψ分别在[]b a ,和[]d c ,上可积.其中()x ϕ=()⎰d c y x f ,dy,x ∈[]b a ,,()x ψ=()⎰ba y x f ,dy.这就是说：在f ()y x ,连续性假设下,同时存在求积顺序不同的积分：()dx dy y x f ba d c ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡,与()dy dx y x f dcb a ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡,,简便记为()dyy x f dx b adc⎰⎰,与()dx y x f dy dcba⎰⎰,,前者表示f ()y x ,先对y 求积然后对x 求积,后者则表示先对x 求积再对y 求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.由可积性的定理进一步指出,在f ()y x ,连续性假设下,累次积分与求积顺序无关,即若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()dy y x f dx bad c⎰⎰,=()dx y x f dy d cba⎰⎰,.定理7 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,g ()x 在[]b a ,上可积,则作为y 的函数()()dx x g y x f ba⎰,在[]d c ,上连续,且()()dy y x f dx x g d ccba⎰⎰,=()()dx x g y x f dy d cba⎰⎰,.注意 推论中闭区间[]d c ,可以换成开区间或无穷区间,因为可积性定理是由连续性推得的,连续性是局部性质.例9 求I=dx xx x ab ⎰-1ln （b>a>0）. 解 由xx x dy x ab bayln -=⎰得I=dx dy x b a y ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛10=⎰⎰10b a y dy x dx ,因为()y x y x f =,在矩形区域[][]b a ,1,0⨯上连续,由定理可得I=dx x dy b ay ⎰⎰1=dy y ba ⎰+11=ln ab ++11. 例10 试求累次积分()dy yxy x dx ⎰⎰+-10122222与()⎰⎰+-10122222dx yxy x dy ,并指出它们为什么与定理的结果不符.解：()dy y xy x dx ⎰⎰+-101022222=()dx dy y x y x ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++101022222=()()dx y x y x d y y x dy ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+1010102222222=dx y x yd y x dy ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++10101022221=dx x ⎰+10211=0arctan 1arctan -=4π. ()⎰⎰+-1122222dx y xy x dy =()dx x yx y dy ⎰⎰+--10122222,由()dy y xy x dx ⎰⎰+-1122222=4π,同理可得()dx x yx y dy ⎰⎰+-10122222=4π,所以()⎰⎰+-101022222dx y x y x dy =–4π.即()dy yxy x dx⎰⎰+-10122222≠()⎰⎰+-10122222dx yxy x dy ,这与定理不符.因为()()()222220,0,limyxy x y x +-→=()()()2222220,0,2limy xy y x y x +-+→=()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+→2222220,0,21lim y x y y x y x 不存在, 所以()()22222,yxy x y x f +-=在点()0,0处极限不存在,即在矩形区域[][]1,01,0⨯上不连续,不满足定理的条件.例11 应用积分号下的积分法求积分,dx x xx x ab ln 1ln sin 10-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ ()0>>a b . 解 令()xx x x x g ab ln 1ln sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛=,x x x dy x a b b a yln -=⎰.因为()()()(),01,00,0lim ,0lim 1====→→+g g x g x g x x 所以()x g 在[]1,0上连续.所以dx x xx x a b ln 1ln sin 10-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰=()⎰10x g =dx dy x x b a y ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin . 令()y x f ,= yx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛1lnsin , 10≤<x , 0 , 0=x .则()y x f ,在矩形区域[][]b a ,1,0⨯上连续,由定理可知dx dy x x b ay ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin =dx x x dy yba ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛101ln sin =()⎰⎰+∞+-baty tdte dy 01sin =()()()a b dy y ba +-+=++⎰1arctan 1arctan 1112.2. 含参量反常积分的分析性质及应用2.1含参量反常积分的连续性定理8 设),(y x f 在⨯I [+,c ∞）上连续,若含参量反常积分)(x φ=⎰+∞c dyy x f ),(在I 上一致连续,则Φ（x ）在I 上连续.推论 ),(y x f 在⨯I [+,c ∞）上连续,若dy y x f x c⎰+∞=Φ),()(在I 上內闭一致收敛,则Φ（x ）在I 上连续.这个定理也表明,在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换：dy y x f x dy y f dy y x f x c x c o c x ox ),(lim ),(),(lim 0⎰⎰⎰+∞→+∞+∞→==例12 证明⑴dy x e xy⎰+∞-0⑴在[a,b]（a>0）上一致收敛;⑵ 在[0,b]上不一致收敛.证明 ⑴∀ x ),(b a ∈,y ),0[+∞∈,有bexeayxy--≤≤0,而dybe xy ⎰+∞-0收敛（a>0）,由M 判别法,知反常积分dy x e xy⎰+∞-0在[a,b]（a>0）上一致收敛.⑵因Φ（x ）=dy x e xy ⎰+∞-0= 0,0=x ，1,0b x ≤≤.在x=0处不连续,而xe xy -在0≤ x ≤ b,0≤y ≤ +∞ 內连续,由连续性定理知dy x e xy⎰+∞-0在0≤ x ≤ b 上不一致连续.例13 回答对极限dy xy xy e x ⎰+∞→-+220lim 能否施行极限与积分运算顺序的变换来求解？ 解110lim ][0lim lim22222lim ==--=-=-++++→+∞→∞+→∞+→⎰⎰x x x x xy xyexyee dxy dy xyo . 而0002lim 2==-⎰⎰∞+∞+→+dy dy xyxyex 运算顺序不能交换,是因为dy xyxye⎰∞+-022在[0,b]（b>0）上不一致收敛,故不满足含参量反常积分连续性条件.定理9 如果函数),(u x f 在[a,+∞）×[βα,]上连续,而且积分⎰+∞adxu x f ),(在[βα,]上一致收敛,那么由Φ（x ）=⎰+∞adx u x f ),(所确定的函数Φ在[βα,]上连续.证明 由于⎰+∞adx u x f ),(在[βα,]上一致连续,故对任意ε>0,存在A 0>a,使得不等式︱⎰+∞A dx u x f 0),(︱<3ε对[βα,]中所有的u 成立.因为函数),(u x f 在[βα,]上连续,⎰+∞A dx u x f 0),(是[βα,]中的连续函数,因而对任意0u ∈[βα,],任意ε>0,存在δ>0 , 当u ∈[βα,]且δ<-0u u 时,︱⎰A dx u x f a),(-⎰A dx u x f a),(0︱<3ε.于是当u ∈[βα,]且︱u -0u ︱<δ时, ︱()u ϕ-()0u ϕ︱=︱⎰+∞adxu x f ),(-⎰+∞adxu x f ),(0︱≤︱⎰A dxu x f a),(-⎰A dxu x f a),(0︱+︱⎰+∞Adx u x f 0),(︱+︱⎰+∞Adx u x f 0),(0︱<3ε+3ε+3ε=ε.这就证明了ϕ在0u 处是连续的.由于0u 是[βα,]中的任意点,所以ϕ在[βα,]上连续.这个定理也可以写成：⎰⎰⎰+∞→+∞+∞→=a u aau dx u x f u dx x f dx u x f u u )),(lim (),(),(00lim 即在积分一致收敛的条件下,极限号与积分号可以交换.例14 讨论函数=)(αϕdx x x x)2(arctan 3+⎰+∞α的连续性区间.解 先看函数)(αϕ的定义域是什么,即上述积分在什么范围内收敛.在x=0附近,x x x dx x 13121~)2(arctan -+αα.所以当α<2时,积分dx xx x)2(arctan 3+⎰+∞α收敛.当x +∞→时,dx x x x )2(arctan 3+α～x312+απ,所以积分dx xx x)2(arctan 31+⎰+∞α当α>-2时收敛.由此得知)(αϕ的定义域是（-2,2）.我们只需证明ϕ在任意[a,b]⊂（-2,2）上连续.根据定理9只要证明上面的积分在[a,b]上一致收敛.当x )1,0(∈时,设a ≤b<2,这时存在常数c 使得dx x x x a )2(arctan 3+≤x a c 1-≤xb c 1-而b-1<1,故由比较判别法,积分dx xx x a )2(arctan 31+⎰在（+∞,b]一致收敛.当x ∈[1,+∞）时,设-2<a ≤α,xxx xa a dx x3331212)2(arctan ++≤≤+ππα.而a+3>1,故有比较判别法,积分dx xx x)2(arctan 31+⎰∞+α在[a,+∞）上一致收敛,把积分合在一起,即知dx xx x)2(arctan 3+⎰+∞α在[a,b]⊂（-2,2）上一致收敛,故ϕ在（-2,2）上连续.注意 与级数的情形一样,积分的一致收敛只是保证ϕ连续的一个充分不必要条件.但在f 非负的条件下,积分的一致收敛便是ϕ连续的必要条件. 2.2含参量反常积分的可微性定理10 设),(y x f 与),(y x f x 在区域I ⨯[,c )∞+上连续.若dy y x f x c⎰+∞=Φ),()(在I 上收敛,dy y x f cx ),(⎰+∞在I 上一致收敛,则)(x Φ在I 上可微,且dy y x f x cx ),()('⎰+∞=Φ.例15 求积分dx x xye x2cos -⎰+∞-. 解 记J(y)= dx xxy e x 20cos -⎰+∞-,有参量反常积分可微性定理推得)('y J = dx xxye xsin 0⎰+∞-=y arctan ,而0)0(=J ,所以dx xxye x20cos 1-⎰+∞-=)(y J =⎰y dt t J 0)(', )1ln(21arctan arctan 20y y y tdt I y +-==⎰.例16 对dy e x x F y x 23)(-+∞⎰=能否运用积分与求导运算顺序变换求解.逻辑推理 验证函数dy e x x F y x 23)(-+∞⎰=是否满足可微性定理条件,若不满足条件,则不能变换顺序. 1,0≠x ,解 由于⎰⎰+∞--+∞-=∂∂0420322)23()(dy e y x x dy e x xy x yx = 0,0=x .因而dy e x xyx )(203-+∞⎰∂∂在[]1,0上不一致收敛,故不能运用含参量反常积分可微性定理.实际上,因dy e x x F y x 23)(-+∞⎰==x ,()+∞∞-∈,x ,则,1)('=x f 而⎰⎰+∞--+∞-=∂∂0420322)23()(dy e y x x dy e x x yx y x 在x =0处为零.故积分与求导运算不能交换顺序.定理11（积分号下求导定理） 设),(y x f 与),(y x f x 在⨯I [,c )∞+上连续.若dy y x f x c⎰+∞=Φ),()(在I 上收敛,而dy y x f cx ),(⎰+∞在I 上内闭一致收敛,则)(x Φ在I 上可微,且dy y x f x cx ),()('⎰+∞=Φ.证明 设｛n C ｝()c C o =为一递增且趋于∞+的数列,记dy y x f x u nn c c n ⎰-=1),()(,n=1,2···,且有)(x I =)(1x u n n ∑∞=.由正常积分的连续性定理得)(x u n （n=1,2···,）在[]b a ,上可微,且dy y x f x u nn c c n ⎰-=1),()(',n=1,2···,由已知条件dy y x f cx ),(⎰+∞在[]b a ,上一致收敛,又因若含参变量反常积分dy y x f c),(⎰+∞关于[]b a x ,∈一致收敛,则函数项级数)('1x u n n ∑∞=关于[]b a x ,∈一致收敛.从而函数项级数==⎰∑∑-∞=∞=dy y x f x u nn c c x n n n 1),()('11dy y x f cx ),(⎰+∞也在[]b a ,上一致收敛,根据函数项级数的逐项求导定理,即得)(x I 在[]b a ,上可微,且==∑∞=)(')('1x u x I n n dy y x f cx ),(⎰+∞.上述定理的结果也可记成dy y x f x dy y x f dx d c c),(),(⎰⎰+∞+∞∂∂=. 定理12 如果函数f 和u f ∂∂都在[)[]βα,,⨯+∞a 上连续,积分dx uu x f a ⎰+∞∂∂),(在[]βα,上一致收敛,那么⎰+∞=adx u x f u ),()(ϕ在[]βα,上可微,而且βαϕ≤≤∂∂=⎰+∞u dx uu x f u a,),()('. 证明 对于任意正整数a n >,令⎰=n an dx u x f x ),()(ϕ.又因为若函数f 及其偏导数uf∂∂都在闭矩形[][]βα,,⨯=b a I 上连续,那么函数⎰=b a dx u x f x ),()(ϕ在[]βα,上可微,而且dx u x f ux du d ba)),(()(⎰∂∂=ϕ.所以n ϕ在[]βα,上有连续的导函数dx uu x f u nan ⎰∂∂=),()('ϕ. 由于.),(dx uu x f a⎰+∞∂∂在[]βα,上一致收敛,所以函数列{})('u ϕ在[]βα,上一致收敛,且因{}n ϕ在[]βα,上收敛于ϕ,故ϕ在[]βα,上连续可微,且βαϕ≤≤∂∂=⎰+∞u dx uu x f u a,),()(' 成立.例17 利用对参数的微分法,计算微分a dx xe e bxax ,0222⎰∞+---﹥0,b ﹥0.解 把a 看作参数,记上面的积分为),(a I 那么dx e a I ax ⎰+∞--=02)('.为了说明微分运算和积分运算的交换是允许的,我们把a 限制在区间[)+∞,δ中,这里δ是任意一个正数.于是.2ax 2x e e δ-≤-由于.02dx e x ⎰+∞-δ收敛,故由Weierstrass 判别法知道,积分.02dx e ax ⎰+∞-对[)+∞∈,δa 中一致收敛,故由上述定理可知上面的运算成立.由于δ﹥0是任意的,故.)('02dx ea I ax ⎰+∞--=在()+∞,0中成立.计算得aa I 2)('π-=, 所以.)(c a a I +-=π由于,,0)(b c b I π==故最后得).()(a b a I -=π 2.3含参量反常积分的可积性定理13设),(y x f 在[a,b]⨯[c, )∞+上连续,若dy y x f x c⎰+∞=Φ),()(在[a,b]上一致收敛,则)(x Φ在[a,b]上可积,且dy y x f dx cb a⎰⎰+∞),(=dx y x f dy bac⎰⎰+∞),(.定理14 设),(y x f 在[a,b]⨯[c, )∞+上连续,若（1）⎰+∞adx y x f ),(关于y在[c, )∞+上内闭一致收敛,⎰+∞cdy y x f ),(关于x 在[a,)∞+上内闭一致收敛；（2）积分⎰⎰+∞+∞a cdy y x f dx ),(与⎰⎰+∞+∞cadx y x f dy ),(中有一个收敛.则⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ),(=dx y x f dy ac⎰⎰+∞+∞),(.例18 等式dy e baxy⎰-=xee bxax---出发,计算积分dx xe e bx ax ⎰∞+---0（b>a>0）.解 因为xy e -在[0,)∞+⨯[ a,b]上连续,且xy ≥ax,则有0<ax xy e e --≤而dx e ax ⎰+∞-0=-∞+-01ax e a=a1收敛,由M 判别法可推断含参量反常积分dx e ax ⎰+∞-0在[ a,b]（a>0）上一致收敛.由可积性定理知()=I y ⎰+∞-0dx e xy 在[ a,b]上可积.且dy e dx b axy ⎰⎰-+∞=dx x e e bx ax ⎰∞+---0=dx e dy xyb a ⎰⎰+∞-0=⎰+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a xy dy e y 01=⎰bady y 1=ab ln . 例19 对dx e xy y dy xy ⎰⎰+∞--03103)22(能否运用积分顺序交换来求解？解：令u=x 2y ,则dx exy y dy xy ⎰⎰+∞--03103)22(=[]dy ue yu∞+-⎰0102=⎰10dy =0而[]x xu ux xy xy e ue xdu e u x dxy e xy x dy e xy y -----==-=-=-⎰⎰⎰02102131)1(1)1(1)22(22.则dy e xy y dx xy ⎰⎰-+∞-1303)22(=dx e x ⎰+∞-0=1. 所以积分运算顺序不能变换.原因是dx e xy y xy⎰+∞--033)22(在[0,1]上不一致收敛,故不满足参量反常积分可积性定理条件.。

第十九章 含参量积分 2含参量反常积分一、一致收敛性及其判别法概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分⎰+∞c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称⎰+∞c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分.定义1： 若含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f Mc Φ-⎰<ε, 即⎰+∞M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有⎰21),(A A dy y x f <ε.定理19.8：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：+∞→A lim F(A)=0, 其中F(A)=⎰+∞∈AIx dy y x f ),(sup .例1：证明含参量反常积分⎰+∞0sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛.解：令u=xy, 则⎰+∞A dy y xysin =⎰+∞Ax du uu sin (A>0). ∵⎰+∞Axdu uusin 收敛，∴∀ε>0, ∃M>0, 使当A ’>M 时，就有⎰∞+'A du u u sin <ε. 取A δ>M, 则当A>δM时，对一切x ≥δ>0，有xA>M, ∴⎰∞+Axdu uusin <ε, 即⎰∞+Ady y xysin <ε, ∴+∞→A lim F(A)=⎰∞++∞∈+∞→A x A dy y xy sin sup lim ),(δ=0, 由定理19.8知 ⎰+∞sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛. 又 F(A)=⎰∞++∞∈Ax dy yxysin sup ),0(=⎰∞++∞∈Ax x du u u sin sup ),0(≥⎰∞+0sin du u u =2π. ∴⎰+∞0sin dy yxy在(0,+∞)上不一致收敛.注：若对任意[a,b]⊂I, 含参量反常积分在[a,b]上一致收敛，则称在I 上内闭一致收敛.定理19.9：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{A n }(其中A 1=c), 函数项级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.证：[必要性]若⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛, 则∀ε>0, ∃M>c, 使 当A ”>A ’>M 时，对一切x ∈I, 总有⎰'''A A dy y x f ),(<ε.又A n →+∞(n →∞), ∴对正数M, ∃正整数N, 只要当m>n>N 时，就有 A m >A n >M. ∴对一切x ∈I, 就有|u n (x)+…+u m (x)|=⎰⎰+++⋯+11),(),(n nm mA A A Ady y x f dy y x f =⎰+1),(m nA Ady y x f <ε.∴∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.[充分性]若∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛, 而⎰+∞c dy y x f ),(在I 上不一致收敛,则存在某正数ε0, 使对任何实数M>c, 存在相应的A ”>A ’>M 和x ’∈I, 使得⎰''''A A dy y x f ),(≥ε0; 现取M 1=max{1,c}, 则存在A 2>A 1>M 1, 及x 1∈I, 使得⎰21),(1A A dy y x f ≥ε0; 一般地, 取M n =max{n,A 2(n-1)} (n ≥2), 则有A 2n >A 2n-1>M n , 及x n ∈I, 使得⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0.由上述所得数列{A n }为递增数列, 且∞→n lim A n =+∞, 而对级数∑∞=1)(n nx u=∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f , 存在正数ε0, 对任何正整数N,只要n>N, 就有某个x n ∈I, 使得|u 2n (x n )|=⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0,与级数∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛矛盾. ∴⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.魏尔斯特拉斯M 判别法：设函数g(y), 使得 |f(x,y)|≤g(y), (x,y)∈I ×[c,+∞). 若⎰+∞c dy y g )(收敛, 则⎰+∞cdy y x f ),(在I 上一致收敛.狄利克雷判别法：设(1)对一切实数N>c, 含参量正常积分⎰Nc dy y x f ),(对参量x 在I 上一致有界, 即存在正数M, 对一切N>c 及一切x ∈I, 都有⎰Nc dy y x f ),(≤M. (2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)关于y 是单调递减且当y →+∞时, 对参量x, g(x,y)一致收敛于0.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.阿贝尔判别法：设(1)⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.(2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)为y 的单调函数, 且对参量x, g(x,y)在I 上一致有界.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.例2：证明含参量反常积分⎰+∞+021cos dx xxy在(-∞,+∞)上一致收敛. 证：∵对任何实数y, 有21cos x xy +≤211x +, 又反常积分⎰+∞+021xdx收敛. 由魏尔斯特拉斯M 判别法知, 含参量反常积分⎰+∞+021cos dx x xy在(-∞,+∞)上一致收敛.例3：证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛. 证：∵反常积分⎰+∞sin dx xx收敛, ∴对于参量y, 在[0,+∞)上一致收敛. 又函数g(x,y)=e -xy 对每个y ∈[0,+∞)单调, 且对任何0≤y<+∞, x ≥0, 都有|g(x,y)|=|e -xy |≤1. 由阿贝尔判别法知, 含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛.例4：证明含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.证：若[a,b]⊂(0,+∞), 则对任意x ∈[a,b],⎰Naxydy sin =Nax xycos -≤a 2. 又'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21y y =()22211yy +-≤0, 即21y y +关于y 单调减, 且当y →+∞时, 21yy+→0(对x 一致), 由狄利克雷判别法知, 含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在[a,b]上一致收敛. 由[a,b]的任意性知, ⎰+∞+121sin dy yxyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.二、含参量反常积分的性质定理19.10：(连续性)设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若含参量反常积分φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上连续. 证：由定理19.9，对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)， 函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.又由f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，∴每个u n (x)都在I 上连续. 由函数项级数的连续性定理知，函数φ(x)在I 上连续.推论：设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上连续.注：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换，即：⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim0=⎰+∞c dy y x f ),(0=⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim 0.定理19.11：(可微性)设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.证：对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)，令u n (x)=⎰+1),(n nA A dy y x f .由定理19.3推得u n ’(x)=⎰+1),(n nA A x dy y x f .由⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛及定理19.9，可得函数项级数∑∞='1)(n n x u =∑⎰∞=+11),(n A A x n ndy y x f 在I 上一致收敛.根据函数项级数的逐项求导定理，即得：φ’(x) =∑∞='1)(n nx u =∑⎰∞=+11),(n A Ax n ndy y x f =⎰+∞cx dy y x f ),(.或写作⎰+∞c dy y x f dxd ),(=⎰+∞c x dy y x f ),(.推论：设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.定理19.12：(可积性)设f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛，则φ(x)在[a,b]上可积，且⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.证：由定理19.10知φ(x)在[a,b]上连续，从而在[a,b]上可积. 又函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛，且各项u n (x)在[a,b]上连续，根据函数项级数逐项求积定理，有⎰Φbadx x )(=∑⎰∞=1)(n ban dx x u =∑⎰⎰∞=+11),(n baA A n ndy y x f dx =∑⎰⎰∞=+1),(1n baA A dx y x f dy n n，即⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.定理19.13：设f(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)上连续，若(1)⎰+∞a dx y x f ),(关于y 在[c,+∞)上内闭一致收敛，⎰+∞c dy y x f ),(关于x 在[a,+∞)上内闭一致收敛；(2)积分⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|与⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy |),(|中有一个收敛. 则⎰⎰+∞+∞cady y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞acdx y x f dy ),(.证：不妨设⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|收敛，则⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(收敛. 当d>c 时，记Jd =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(| =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞dc a dy y x f dx ),(-⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|. 由条件(1)及定理19.12可推得：J d =|⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|≤|⎰⎰+∞d Aa dy y x f dx ),(|+⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|. 由条件(2)，∀ε>0, ∃G>a ，使当A>G 时，有⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|<2ε. 选定A 后，由⎰+∞c dy y x f ),(的一致收敛性知，∃M>a ，使得当d>M 时， 有|⎰+∞d dy y x f ),(|<)(2a A -ε. ∴J d <2ε+2ε=ε，即有+∞→d lim J d =0，∴⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy ),(.例5：计算：J=⎰+∞--0sin sin dx xaxbx e px (p>0,b>a). 解：∵xax bx sin sin -=⎰ba xydy cos ，∴J=⎰⎰+∞-0cos b a pxxydy dx e =⎰⎰+∞-0cos ba px xydy e dx .由|e -px cosxy|≤e -px 及反常积分⎰+∞-0dx e px 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知，含参量反常积分⎰+∞-0cos xydx e px 在[a,b]上一致收敛.又e -px cosxy[0,+∞)×[a,b]上连续，根据定理19.12交换积分顺序得： J=⎰⎰+∞-0cos xydx e dy px ba =⎰+bady y p p22=arctan p b - arctan p a .例6：计算：⎰+∞sin dx xax. 解：利用例5的结果，令b=0，则有F(p)=⎰+∞-0sin dx xaxe px=arctan p a (p>0).由阿贝尔判别法可知含参量反常积分F(p)在p ≥0上一致收敛， 又由定理19.10知，F(p)在p ≥0上连续，且F(0)=⎰+∞sin dx xax . 又F(0)=)(lim 0p F p +→=+→0lim p arctan p a =2πagn a. ∴⎰+∞0sin dx xax =2πagn a.例7：计算：φ(r)=⎰+∞-0.cos 2rxdx e x .解：∵|2x e -cosrx|≤2x e -对任一实数r 成立且反常积分⎰+∞-02dx e x 收敛， ∴含参量反常积分φ(r)=⎰+∞-0cos 2rxdx e x 在(-∞,+∞)上收敛. 考察含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x =⎰+∞--0sin 2rxdx xe x ，∵|-x 2x e -sinrx|≤x 2x e -对一切x ≥0, r ∈(-∞,+∞)成立且⎰+∞-02dx e x 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知， 含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x 在(-∞,+∞)上一致收敛.由定理19.11得φ’(r)=⎰+∞--0sin 2rxdx xex =⎰-+∞→-Ax A rxdxxesin lim2=⎪⎭⎫⎝⎛-⎰--+∞→A x Ax A rxdx e r rx e 00cos 2sin 21lim 22=⎰--A x rxdx e r 0cos 22=2r -φ(r). ∴φ(r)=c 42r e -. 又φ(0)=⎰+∞-02dx e x =2π=c. ∴φ(r)=422πr e-.概念2：设f(x,y)在区域R=[a,b]×[c,d)上有定义，若对x 的某些值，y=d 为函数f(x,y)的瑕点，则称⎰dc dy y x f ),(为含参量x 的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分. 若对每一个x ∈[a,b]，⎰dc dy y x f ),(都收敛，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数.定义2：对任给正数ε, 总存在某正数δ<d-c, 使得当0<η<δ时, 对一切x ∈[a,b], 都有⎰-dd dy y x f η),(<ε, 则称含参量反常积分⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛.习题1、证明下列各题 (1)⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛；(2)⎰+∞-02dy eyx 在[a,b] (a>0)上一致收敛；(3)⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛； (4)⎰+∞-0dy xe xy (i)在[a,b] (a>0)上一致收敛，(ii)在[0,b]上不一致收敛； (5)⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛；(6)⎰1px dx(i)在(-∞,b] (b<1)上一致收敛，(ii)在(-∞,1]内不一致收敛； (7)⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.证：(1)∵22222)(y x x y +-≤22222)(y x x y ++≤21x ，且⎰+∞12x dx 收敛，∴⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛. (2)∵当0<a ≤x ≤b 时，yx e2-=yx e21≤ya e21，且⎰+∞12ya edy 收敛，∴⎰+∞-02dy e y x 在[a,b] (a>0)上一致收敛.(3)对任何N>0，∵⎰-Nt atdt e 0sin ≤⎰-Nt dt e 0≤1，即⎰-Nt atdt e 0sin 一致有界. 又t1关于在(0,+∞)单调，且t1→0 (t →∞)，由狄利克雷判别法知，⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛. (4)(i)∵当0<a ≤x ≤b 时，|xe -xy|≤be -ay，且⎰+∞0ay -be 收敛， ∴⎰+∞-0dy xe xy 在[a,b] (a>0)上一致收敛. (ii)方法一：取ε0=21e<0, 则对任何M>0, 令A 1=M, A 2=2M, x 0=M 1, 有 ⎰-2100A A y x dy e x =MM yx e 20-=21e e ->21e=ε0，∴⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛. 方法二：∵⎰+∞-0dy xe xy =⎩⎨⎧≤<=bx x 0,10,0，且xe -xy 在[0,b]×(0,+∞)内连续，由连续性定理知⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛.(5)∵在[b1,b]×(0,1] (b>1)内, |ln(xy)|=|lnx+lny|≤|lnx|+|lny|≤lnb-lny, 且⎰-10)ln (ln dy y b 收敛, ∴⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛.(6)(i)∵当p ≤b<1, x ∈(0,1]时，p x 1≤b x 1，又⎰10b xdx 收敛，∴⎰1px dx在(-∞,b] (b<1)上一致收敛.(ii)当p=1时，⎰1xdx发散，∴对任何A<1，在[A,1]内不一致收敛，即 ⎰1p xdx在(-∞,1]内不一致收敛. (7)记⎰---1011)1(dx x xq p =⎰---21011)1(dx x xq p +⎰---12111)1(dx x x q p =I 1+I 2.对I 1在0≤x ≤21, 0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上， ∵|x p-1(1-x)q-1|≤1100)1(---q p x x且⎰---210110)1(dx x x q p 收敛，∴I 1在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛； 同理可证I 2在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛. ∴⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.2、从等式⎰-ba xydy e =x e e by ay ---出发，计算积分⎰∞+---0dx xe e byay (b>a>0). 解：∵⎰-ba xy dy e=x e e by ay ---，∴⎰∞+---0dx xe e byay=⎰⎰-+∞b a xy dy e dx 0. 又 e -xy 在[0,+∞)×[a,b]内连续，由M 判别法知, ⎰+∞-0dx e xy 在[a,b]内一致收敛.∴⎰∞+---0dx x e e by ay =⎰⎰+∞-0dx e dy xyb a =⎰b a dy y 1=ln ab .3、证明函数F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续. (提示：利用⎰+∞-02dx e x =2π) 证：令x-y=u, 则F(y)=⎰+∞-yu du e2=⎰-02yu du e+⎰+∞-02du eu =⎰-02yu du e +2π. ∵关于y 的积分下限函数⎰-02y u du e 在(-∞,+∞)上连续， ∴F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续.4、求下列积分： (1)⎰∞+---022222dx x e e xb xa(提示：利用⎰+∞-02dx ex =2π)； (2)⎰+∞-0sin dt t xt e t；(3)⎰+∞--02cos 1dx x xye x . 解：(1)∵22222x e e xbxa---=⎰-ba x y dy ye 222，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222bax y dy ye dx ，由M 判别法知⎰+∞-0222dx ye x y 在[a,b]内一致收敛，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222dx yedy x y ba=⎰⎰+∞-0)(222xy d edy x y ba =⎰bady π=(b-a)π.(2)利用例5结果：⎰+∞--0sin sin dt tatbt e pt=arctan p b - arctan p a . (p>0,b>a).当p=1, a=0, b=x 时，有⎰+∞-0sin dt txte t=arctanx. (3)∵2cos 1x xy e x --=⎰-y x dt x xt e 0sin ，∴⎰⎰-+∞yx dt x xt e dx 00sin . 由x xt e x x sin lim 0-→=t 知, x=0不是xxte x sin -的瑕点，又 含参量非正常积分⎰+∞-0sin dx xxte x 在t ∈[0,M]上一致收敛, ∴由(2)有2cos 1x xy e x--=⎰⎰+∞-00sin dx xxt e dt x y =⎰y tdt 0arctan =yarctany-21ln(1+y 2).5、回答下列问题： (1)对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 能否运用极限与积分运算顺序的交换求解？(2)对⎰⎰+∞--132)22(dx e xy y dy xy 能否运用积分顺序交换来求解？(3)对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？ 解：(1)∵F(x)=⎰+∞-022dy xye xy =⎩⎨⎧=>0,00,1x x , ∴F(x)lim 0+→x =1，但⎰+∞-→+022lim dy xye xy x =0，即交换运算后不相等，∴对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 不能运用极限与积分运算顺序的交换求解.注：⎰+∞-022dy xye xy =⎰+∞-0du xe xu 在[0,b]上不一致收敛，并不符合连续性定理的条件.(2)∵⎰⎰+∞--10032)22(dx exy y dy xy =⎰∞+-122dy xyexy =⎰10dy =0；⎰⎰-+∞-1032)22(dy exy y dx xy =⎰+∞-0122dx ey xy =⎰-1dx e x =1；∴对⎰⎰+∞--10032)22(dx e xy y dy xy 不能运用积分顺序交换来求解.注：⎰+∞--032)22(dx e xy y xy =0且⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=-2My 2My e -. 对ε0=1，不论M 多大，总有y 0=M1∈[0,1]，使得⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=2M e 1->1,∴⎰+∞--032)22(dx e xy y xy 在[0,1]不一致收敛，不符合可积性定理的条件. (3)∵F(x)=⎰+∞-032dy e x y x =x, x ∈(-∞,+∞)，∴F ’(x)≡1. 但y x e x x23-∂∂=(3x 2-2x 4y)y x e 2-, 而当x=0时，⎰+∞--0422)23(dy e y x x y x =0. ∴对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 不能运用积分与求导运算顺序交换来求解. 注：∵⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx =⎩⎨⎧=≠0,00,1x x ，∴⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx 在[0,1]上不一致收敛,不符合可微性定理的条件.6、应用：⎰+∞-02dx e ax =212π-a (a>0)，证明： (1)⎰+∞-022dt e t at=234π-a ；(2)⎰+∞-022dt e t at n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n .证：(1)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛， ∴⎰+∞-02dt e da d at =⎰+∞-02dt e dad at =-⎰+∞-022dte t at . 又⎰+∞-02dt e da d at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa da d =-234π-a . ∴⎰+∞-02dx e ax =234π-a . 方法二：⎰+∞-022dt et at =-⎰+∞-0221at tdea =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞-∞+-02221dt ete a at at=⎰+∞-0221dt e aat =234π-a .(2)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at n 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞+-02dt eda d at nn=⎰∞+-02dt e da d at nn =(-1)n ⎰+∞-022dt e t at n . 又⎰∞+-02dt e dad atnn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa dad nn=(-1)n ⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n . ∴⎰+∞-022dt e t atn =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn nan . 方法二：记I n =⎰+∞-022dt e t at n , n=0,1,2,…，(1)中已证I 1=⎪⎭⎫⎝⎛+--⨯2112)112(2πa=a 2)112(-⨯I 0. 可设I k =a k 2)12(-⨯I k-1，则 I k+1=⎰+∞-+0)1(22dt e t at k =-⎰+∞-+012221at k de t a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞+-∞+-+0120122221k at at k dt e e t a=⎰+∞-+022212dt e t a k at k =ak 21)1(2-+I k=2)2()12](1)1(2[a k k --+I k-1=…= 1)2(!]!1)1(2[+-+k a k I 0=211)2(!]!1)1(2[2π-+-+a a k k .当n=k+1时，有I n =⎰+∞-022dt e t at n =21)2(!)!12(2π--a a k n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn na n . 7、应用⎰+∞+022a x dx =a2π，求()⎰+∞++0122n a x dx.解：记A=a 2, ∵()⎰+∞++012n Axdx在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞++02A x dx dA d nn =⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+021dx A x dA d n n=(-1)nn!()⎰+∞++012n A x dx . 又⎰∞++02A x dx dAd nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛A dA d n n 2π=(-1)n 212!)!12(2π---n n A n . ∴()⎰+∞++012n Axdx=212!!)!12(2π---n n A n n =12!)!2(!)!12(2π---n a n n .8、设f(x,y)为[a,b]×[c,+∞)上连续非负函数，I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(在[a,b]上连续，证明：I(x)在[a,b]上一致收敛.证：任取一个趋于的∞递增数列{A n } (其中A 1=c)，考察级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u .∵f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上非负连续, ∴u n (x)在[a,b]上非负连续. 由狄尼定理知，∑∞=1)(n n x u 在[a,b]上一致收敛，从而∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f 在[a,b]上一致收敛. 又I(x)=dy y x f ⎰+∞),(在[a,b]上连续.∴I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(=∑⎰∞=∞→+11),(lim n A An n ndy y x f [a,b]上一致收敛.9、设在[a,+∞)×[c,d]内成立不等式|f(x,y)|≤F(x,y). 若dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，证明：dx y x f ⎰+∞),(在y ∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.证：∵dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，∴∀ε>0, ∃M>0，对任何A2>A1>M和一切y∈[c,d]，都有⎰21) , (A AdxyxF<ε.∵|f(x,y)|≤F(x,y)，∴⎰21) , (A Adxyxf≤⎰21),(AAdxyxf≤⎰21),(AAdxyxF<ε，∴dxyxf⎰+∞0),(在y∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.。