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§2 含参量反常积分与函数项级数相同, 含参量反常积分的重要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性. 在相应的一致收敛的条件下, 含参量反常积分具有连续性, 可微性,可积性. 含参量反常积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的一致收敛性的判别法类似.返回一、含参量反常积分的一致收敛性二、含参量反常积分一致收敛性的判别三、含参量反常积分的性质四、含参量无界函数的反常积分一．含参量反常积分一致收敛性(,)f x y [,)R J c =´+¥设函数定义在无界区域上, 其中J ,x J "Î是任意区间. 若反常积分()(,)d (1)c I x f x y y +¥=ò都收敛都收敛，，则()I x J 是上的函数.称(1)为定义在J 上的含参量x 的无穷限反常积分, 或称含参量反常积分.e+¥òA eM+¥+¥+¥sin sin sin uu uA n®+¥®¥A¢¢反常积分在J上一致收敛.注由定理19.8, 含参量反常积分可看作连续型的函函数项级数.下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法. 它它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿, 我们用柯西准则证明魏尔斯特拉斯M判别法和狄利克雷判别法.阿贝耳判别法的证明留给读者.N(,)(,)d cf x yg x y y +¥òJ由一致收敛的柯西准则,在上一致收敛.阿贝耳判别法设(i)(,)d cf x y y J +¥ò在上一致收敛；,x J Î(,)g x y (ii) 对每一个函数为y 的单调函数, 且(,)g x y J 对参量x ,在上一致有界,则含参量反常积分(,)(,)d cf x yg x y y +¥ò在J 上一致收敛.故由阿贝耳判别法即得含参量反常积分(11)在[0,]d 上一致收敛.例5 证明: 若(,)[,][,)f x y a b c ´+¥在上连续, 又(,)d cf x y y+¥ò(,)d cf x y y+¥ò在[,)a b 上收敛, 但在处发散, 则x b =在[,)a b 上不一致收敛.三、含参量反常积分的性质定理19.9(含参量反常积分的连续性)设(,)[,)f x y J c ´+¥在上连续, 若含参量反常积分()(,)d (12)cI x f x y y +¥=ò+¥{}n A 证由定理19.8, 对任一递增且趋于的数列在J 上一致收敛, 则I (x ) 在J 上连续. 1(),A c =函数项级数111()(,)d ()(13)n nA n A n n I x f x y y u x +¥¥====ååòJ (,)[,)f x y J c ´+¥在在上一致收敛.又由于上连续,故每个()n u x J 都在上连续. 根据函数项级数的连续性连续性定理定理, 函数I (x ) 在J 上连续.这个定理也证明了在一致收敛的条件下, 极限运算与积分运算可以交换:0lim (,)d (,)d cc x x f x y y f x y y+¥+¥®=òòlim (,)d .(14)cx x f x y y +¥®=ò定理19.10(含参量反常积分的可微性)(,)(,)x f x y f x y 与[,)J c ´+¥设在区域上连续. 若()(,)d cI x f x y y +¥=òJ (,)d x cf x y y +¥òJ在上收敛, 在上一致收敛, 则I (x ) 在J 上可微, 且()(,)d (15)x cI x f x y y+¥¢=ò+¥1{}(),n A A c =证对任一递增且趋于的数列令1()(,)d .n nA n A u x f x y y +=ò由定理19.3推得1()(,)d .n nA nx A u x f x y y +¢=ò+¥ò(,)d c f x y y 由在J 上一致收敛及定理19.8, 可得函数项级数111()(,)d n nA n x A n n u x f x y y+¥¥==¢=ååò在J 上一致收敛, 因此因此根据函数项级数的逐项求导根据函数项级数的逐项求导定理,即得¥¥+¥A[,][,)a b c ´+¥()(,)d cI x f x y y +¥=ò[,]a b 上连续,若在上一致收敛, 则I (x )在[,]a b 上可积, 且d (,)d d (,)d ,(16)bb accax f x y y y f x y x +¥+¥=òòòò[,]a b 上可积.又由定理19.9的证明中可以看到, 函数项级数(13)在[,]a b ()[,]n u x a b 在上一致收敛, 且各项上连续, 因此证由定理19.9知道在[,]a b 上连续, 从而I (x )在()I x 定理19.11(含参量反常积分的可积性)设在(,)f x y111()d ()d d (,)d n nbbbA n aaaA n n I x x u x x x f x y y+¥¥====ååòòòò11d (,)d ,(17)n nA bA an y f x y x +¥==åòò这里最后一步是根据定理19.6关于积分顺序的可交换性. (17)式又可写作+¥=òòò()d d (,)d .bbacaI x x y f x y x 这就是(16)式.根据函数项级数逐项求积定理,有(,)f x y[,)[,)+¥´+¥a c+¥例6计算+¥pxb b p+¥+¥四、含参量无界函数的反常积分设(,)[,)f x y R J c d 在区域=´上有定义. 若对x 的某些值, y = d 为函数(,)f x y 的瑕点, 则称(,)d (25)dcf x y y ò为含参量x 的无界函数反常积分, 或简称为含参量反常积分. 若对每一个,x J Î积分(25)都收敛, 则其积x J 在上取值的函数. 含参量反常积分(25)积分值是在上一致收敛的定义是:J,e,d<-使得d c函数反常积分.。
含参量反常积分的性质研究首先，让我们关注积分下限参量。
考虑以下形式的积分：\[I(a) = \int_{a}^{b} f(x) dx,\]其中\(a\)和\(b\)是任意常数。
性质1：积分下限参量的连续性如果函数\(f(x)\)在\(a\)附近连续，那么\(I(a)\)也是关于\(a\)的连续函数。
性质2：积分下限参量的可导性如果函数\(f(x)\)在\(a\)附近连续且存在连续导函数，那么\(I(a)\)在\(a\)附近是可导的，并且它的导数等于积分被积函数\(f(x)\)在下限\(a\)处的值。
接下来，我们来看看积分上限参量。
考虑以下形式的积分：\[J(b) = \int_{a}^{b} f(x) dx,\]其中\(a\)和\(b\)是任意常数。
性质3：积分上限参量的连续性如果函数\(f(x)\)在\(b\)附近连续，那么\(J(b)\)也是关于\(b\)的连续函数。
性质4：积分上限参量的可导性如果函数\(f(x)\)在\(b\)附近连续且存在连续导函数，那么\(J(b)\)在\(b\)附近是可导的，并且它的导数等于积分被积函数\(f(x)\)在上限\(b\)处的值。
以上是含参量反常积分的基本性质。
我们可以利用这些性质来解决实际问题，例如计算含有变化上限的积分。
例如，考虑以下问题：求解关于参数\(a\)的积分\[K(a) = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+x^2}.\]我们可以利用含参量反常积分的性质来求解这个问题。
根据性质3，当\(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\)在\(x = a\)附近连续时，\(K(a)\)也是关于\(a\)连续的。
由于\(f(x)\)是一个连续函数，它在任意区间上都是连续的。
因此，我们可以得出结论\(K(a)\)是关于\(a\)的连续函数。
接下来，我们利用性质4来计算\(K'(a)\)。
根据性质4，\(K'(a)\)等于\(f(a)\)在\(x=a\)处的值。
