含参变量反常积分[优质课类]

含参变量的反常积分dini定理一、反常积分的基本概念反常积分也称为广义积分，是一种积分范围超越常规定积分的积分。

在定义上，反常积分可以看作是对定积分的推广，其积分区间可以是无穷区间，也可以是其他非正常区间。

反常积分具有广泛的应用，包括物理学、工程学、概率论等领域。

二、含参变量的反常积分含参变量的反常积分是指在积分过程中包含参数的积分。

这种积分在处理一些复杂问题时非常有用，例如物理中的热传导问题、弹性力学中的应变问题等。

含参变量的反常积分在处理这些问题的过程中，通过引入参数来简化问题，使问题得到更有效的解决。

三、Dini定理的背景和意义Dini定理是数学分析中的一个重要定理，它涉及到含参变量的反常积分。

Dini定理的背景可以追溯到19世纪末，当时数学家开始关注含参变量的反常积分。

Dini定理的意义在于，它提供了一种判断含参变量的反常积分收敛性的方法，从而为解决一系列相关问题提供了理论支持。

四、Dini定理的证明过程Dini定理的证明过程相对复杂，需要使用到实数性质、微积分基本定理等知识点。

在证明过程中，首先需要引入一个与被积函数有关的辅助函数，然后通过分析这个辅助函数的性质，逐步推导出Dini定理的结论。

具体证明过程可以参考数学分析教材或相关论文。

五、Dini定理的应用举例Dini定理的应用非常广泛，下面举几个具体的例子来说明其应用。

1. 在物理学中的应用：在研究波动方程时，Dini定理可以用来判断波动方程解的存在性和唯一性。

例如，在研究弦振动时，通过引入参数和利用Dini定理，可以证明弦振动方程解的存在性和唯一性。

2. 在工程学中的应用：在电气工程中，Dini定理可以用来判断电路中的电流和电压是否收敛。

例如，在分析交流电路时，通过引入角频率作为参数，并利用Dini定理判断电流和电压的收敛性，从而为电路的分析和设计提供依据。

3. 在概率论中的应用：在随机过程和概率论中，Dini定理可以用来判断随机过程的样本函数的收敛性。

第十二章 反常积分与含参变量的积分§12.1 .无穷积分一、无穷积分收敛和发散概念实例：设地球的质量为M ，地球的半径为R.若火箭距离地心为()b b R >，则将质量为m 的火箭，从地面发射到距离地心为b 处，§8.5例21给出了火箭克服地球引力22mgR F r=所作的功2222211.bb R R mgR dr W dr mgR mgR r r R b ⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰⎰ 为了使火箭脱离地球的引力范围，即b →+∞，火箭克服地球引力F 所作的功22211lim lim .bR b b mgR W dr mgR mgR r R b →+∞→+∞⎛⎫'==-= ⎪⎝⎭⎰ 定义 设函数()f x 在区间[,]a +∞（或(,],(,))b -∞-∞+∞有定义，符号()af x dx +∞⎰（或(),()bf x dx f x dx +∞-∞-∞⎰⎰）称为函数()f x 的无穷积分.设,,p R p a ∀∈>函数()f x 在［a,p ］可积，若极限lim()Pap f x dx →+∞⎰存在（不存在），则称无穷积分()af x dx +∞⎰收敛（发散），其极限称为无穷积分()af x dx +∞⎰（的值），即()lim()paap f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰.设,,q R q b ∀∈<函数()f x 在［q,b ］可积，若极限lim ()bqq f x dx →-∞⎰存在（不存在），则称无穷积分()bf x dx -∞⎰收敛（发散），其极限称为无穷积分()b f x dx -∞⎰（的值），即()lim ()bbqq f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰.若c R ∃∈，两个无穷积分()cf x dx -∞⎰与 ()cf x dx +∞⎰都收敛（至少由一个发散），则称无穷积分()f x dx +∞-∞⎰收敛（发散），且()()()ccf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰.显然，火箭脱离地球引力所作的功W '是函数22()mgR F r r=的无穷积分，即2222lim .bR R b mgR mgR W dr dr mgR r r+∞→+∞'===⎰⎰ 例1 . 求下列无穷积分2,x x e dx xe dx +∞+∞--⎰⎰.解 ：0limlim ()lim (1)1ppxxxp p p p e dx e dx e e +∞----→+∞→+∞→+∞==-=-=⎰⎰222201111limlim ()lim ()2222ppx xx p p p p xe dx xe dx e e +∞----→+∞→+∞→+∞==-=-=⎰⎰例2.求下列无穷积分201dx dx x +∞+⎰；021dxdx x -∞+⎰；21dx dx x +∞-∞+⎰. 解： 22000lim lim arctan lim arctan 112p p p p p dx dx dx dx x p x x π+∞→+∞→+∞→+∞====++⎰⎰.00022lim lim arctan lim arctan 112q q q q q dx dx dx dx x p x x π-∞→-∞→-∞→-∞===-=++⎰⎰. 02220111dx dx dx dx dx dx x x x +∞+∞-∞-∞=++++⎰⎰⎰＝22πππ+=. 若函数()f x 在区间[,]a +∞存在原函数()F x ，则()lim()lim ()lim ()()()()()ppaaap p ap f x dx f x dx F x F p F a F F a F x +∞→+∞→+∞+∞→+∞===-=+∞-=⎰⎰其中符号()lim ().p F F p →+∞+∞=例3 .判别无穷积分adxdx xλ+∞⎰的敛散性(0)a > 解： 当1,λ≠有11,1111,1aaa dx dx x x λλλλλλλ-+∞+∞-⎧>⎪==-⎨-⎪+∞<⎩⎰当1,λ=有ln a adx dx x x+∞+∞==+∞⎰于是，当1λ>时，无穷积分adxdx x λ+∞⎰收敛，无穷积分的值是11a λλ--；当1λ≤时，无穷积分a dx dxx λ+∞⎰发散例4.判别无穷积分2(ln )dxx x λ+∞⎰的敛散性. 解：当1λ≠，有 22ln (ln )(ln )dx d x x x x λλ+∞+∞=⎰⎰121(1)(ln )x λλ+∞-=-11,1,(1)(ln 2), 1.λλλλ-⎧>⎪-=⎨⎪+∞<⎩当1λ=，有22ln ln ln dx d x x x x+∞+∞=⎰⎰2ln(ln ).x +∞==+∞二、无穷积分与级数上述三种形式的无穷积分：(),(),(),baf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰其中 ()()()c cf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，()lim ()bbq q f x dx f x dx-∞→-∞=⎰⎰lim()()x ybqq f y d y =---→-∞=--⎰令lim()().qbbq f y dy f y dy -+∞--→-∞=-=-⎰⎰于是，讨论三种形式的无穷积分的敛散性只须讨论无穷积分()af x dx +∞⎰的敛散性即可.无穷积分adx x λ+∞⎰与广义调和级数11n n λ∞=∑，对1λ>都收敛，对1λ≤都发散.这说明无穷积分与级数之间存在着内在的联系.定理 1 .无穷积分()af x dx +∞⎰收敛⇔对任意数列{},,n A n N +∀∈有[.),n A a ∈+∞而1,lim n n A a A →∞==+∞，级数11()k kA A k f x dx +∞=∑⎰收敛于同一个数，且11()()k kA aA k f x dx f x dx +∞+∞==∑⎰⎰.证明：必要性 已知无穷积分收敛，即11111()lim ()lim ()()n k k kknA A A aaA A n n k k f x dx f x dx f x dx f x dx +++∞+∞→∞→∞=====∑∑⎰⎰⎰⎰.充分性 已知对任意数列{}n A ，而1,lim n n A a A →∞==+∞时，级数11()k kA A k f x dx +∞=∑⎰收敛于同一个数，根据海涅极限定理，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，且.111()lim ()()n k kA A aaA n k f x dx f x dx f x dx ++∞+∞→∞===∑⎰⎰⎰三、无穷积分的性质假设函数()f x 在区间[,)a +∞有定义，且,p R p a ∀∈>，函数()f x 在),[p a 可积.由无穷积分定义，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛⇔当p →+∞时，函数()()()paF p f x dxa p =<⎰存在极限.定理2（柯西收敛准则） 无穷积分()af x dx +∞⎰收敛⇔120,,,,A a p A p A ε∀>∃>∀>∀>有21()p p f x dx ε<⎰.推论1.若无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，则lim ()0pp f x dx +∞→∞=⎰.证明：根据定理2，0,,,,A a p A q A ε∀>∃>∀>∀>有()q pf x dx ε<⎰令q →+∞，即lim()q pq f x dx ε→∞≤⎰或()pf x dx ε+∞≤⎰推论2 若无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，则无穷积分 ()af x dx +∞⎰也收敛.证明 ：根据定理2 120,,,,A a p A p A ε∀>∃>∀>∀>有 21(),p p f x dx ε<⎰从而，有2211()()p p p p f x dx f x dx ε≤<⎰⎰，即无穷积分()af x dx +∞⎰收敛.推论3.无穷积分()a f x dx +∞⎰收敛⇔b a ∀>，无穷积分()bf x dx +∞⎰也收敛定理3.无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，则无穷积分()acf x dx +∞⎰也收敛，其中c 是常数，且()()aacf x dx c f x dx +∞+∞=⎰⎰.定理4.若无穷积分()af x dx +∞⎰与()ag x dx +∞⎰都收敛，则无穷积分[()()]af xg x dx +∞±⎰也收敛，且[()()]()()aaaf xg x dx f x dx g x dx +∞+∞+∞±=±⎰⎰⎰.定理5 .若函数()f x 与()g x 在区间[,)a +∞存在连续导数，极限lim ()()x f x g x →∞存在，且无穷积分()()a f x g x dx +∞⎰收敛，则无穷积分()'()af xg x dx +∞⎰也收敛，有()'()lim ()()()()()()aax f x g x dx f x g x f a g a f x g x dx +∞+∞→∞'=--⎰⎰.或()()()()()().a aaf x dg x f x g x g x df x +∞+∞+∞=-⎰⎰这是无穷积分的分部积分公式.定理 6 .若函数()f x 在在区间[,)a +∞连续，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，且函数()x t ϕ=在[,)αβ严格增加，存在连续导数，而(),(0)a ϕαϕβ=-=+∞，则()af x dx +∞⎰＝[()]'()f t t dt βαϕϕ⎰.这是无穷积分的换元公式.例5 .求无穷积分0sin x K e xdx +∞-=⎰.解：根据定理5，有sin (cos )xx K e xdx e d x +∞+∞--==-⎰⎰00cos cos 1sin x x x e x e xdx e d x +∞+∞+∞---=--=-⎰⎰＝001(sin sin )1x x e x e xdx K +∞+∞---+=-⎰有21K =，或12K =，即 01sin 2x K e xdx +∞-==⎰. 例6. 求无穷积分2211sin dx x xπ+∞⎰.解： 设211,t dt dx x x==-，根据定理6，有 02222011sin sin sin dx tdt tdt x x πππ+∞=-=⎰⎰⎰ ＝20cos 1t π-=.另解：2221111sin sin dx d x x x x ππ+∞+∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰21cos x π+∞=1=.（凑微分法）四、无穷积分的敛散性判别法定理7 . 设[,),x a ∀∈+∞有 ()(),f x c x c ϕ≤是正常数. 1）若无穷积分()a x dx ϕ+∞⎰收敛，则无穷积分()af x dx +∞⎰也收敛；2）若无穷积分()af x dx +∞⎰发散，则无穷积分()ax dx ϕ+∞⎰也发散.推论 设[,),()0,0x a f x a ∀∈+∞≥>，且极限lim ()(0).x x f x dd λ→+∞=≤≤+∞. （3）1）若1,0,d λ>≤<+∞则无穷积分()a f x dx +∞⎰收敛. 2）若1,0,d λ≤<≤+∞则无穷积分()af x dx +∞⎰发散.★说明：应用此推论判别某些无穷积分()af x dx +∞⎰的敛散性比较简便，但要注意观察被积函数()f x ，从中找出合适的λ（利用无穷小阶的比较），使（3）式的极限存在，然后再由数λ确定无穷积分()af x dx +∞⎰的敛散性.例7.判别无穷积分2x e dx +∞-⎰的敛散性解：已知1,x ∀≥有20x x e e --<≤.由例1知，无穷积分1x e dx +∞-⎰收敛，根据定理7 ，无穷积分21x e dx +∞-⎰收敛，再根据定理2的推论3，无穷积分2x e dx +∞-⎰也收敛.例8.判别无穷积分1+∞⎰.解：已知极限23lim lim1x x x→+∞==，其中21,3λ=<则无穷积分1+∞⎰. 例9.判别无穷积分1+∞⎰的敛散性 解：已知[1,),x ∀∈+∞有≤，又 32lim lim 1x x x→+∞==，其中312λ=>，则无穷积分1⎰收敛，根据定理2的推论2 ，无穷积分1+∞⎰也收敛. 例10 .判别无穷积分11x x e dx α+∞--⎰的敛散性（α是参数）。