含参变量反常积分35页PPT

一、含参量反常积分二、含参量反常积分三、含参量反常积分的性质*点击以上标题可直接前往对应内容含参量反常积分一致收敛性(,)f x y [,)R I c =⨯+∞设函数定义在无界区域上,其中I 是任意区间. ()(,)d (1)cx f x y y Φ+∞=⎰都收敛，称(1)为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分,或称含参量反常积分.后退前进目录退出,x I ∀∈反常积分若()x I Φ是区间上的函数.则定义1若含参量反常积分(1)与函数Φ(x )对0,ε∀>,N c ∃>M N >,x I ∈使得当时, 对一切都有(,)d (),Mcf x y y x εΦ-<⎰即(,)d ,Mf x y y ε+∞<⎰或简单地说含参量积分(1)在I 上一致收敛.则称含参量反常积分(1)在I 上一致收敛于(),x Φ()(,)d cx f x y y Φ+∞=⎰注1由定义, 在I 上一致收敛于充要条件是{}()sup(,)d 0().Ax JA f x y y A η+∞∈=→→+∞⎰的充要条件是000,,,M c A M x J ε'∃>∀>∃>∈及00(,)d .A f x y y ε+∞'≥⎰()(,)d cx f x y y Φ+∞=⎰注2由定义, 在I 上不一致收敛使得例1讨论含参量反常积分ed ,(0,)xyx y x +∞-∈+∞⎰的一致收敛性.解若0,,x u xy 令>=则e d e d e ,xy u xA AxAx y u +∞+∞---==⎰⎰于是(){}0()suped 1,xyAx A x y η+∞-∈+∞==⎰，因此, 含参量积分在(0,)+∞上非一致收敛.{}[,)()suped xyAx A x yδη+∞-∈+∞=⎰因此, 该含参量积分在[,)δ+∞上一致收敛.而对于任何正数, 有δe0(),AA δ-=→→+∞定理19.7（一致收敛的柯西准则）含参量反常积分一致收敛性的判别含参量反常积分(1)在[,]a b 上一致收敛的充要[,],x a b ∈对一切的都有21(,)d .(3)A A f x y y ε<⎰条件是:0,,N c ε∀>∃>12,A A N >使得当时,定理19.8+()=sup (,)d Ax IF A f x y y其中∞∈⎰充要条件是含参量反常积分在I 上一致收敛的(,)d cf x y y +∞⎰→∞lim ()=0,A F A证作变量代换,u xy =得sin sin d d , (5)A Ax xy uy u y u +∞+∞=⎰⎰0,A >其中0sin d uu u+∞⎰由于收敛, ,εA M '>总存在某一实数M , 当时就有sin d .A uu uε+∞'<⎰但在内[,)(0),δδ上一致收敛其中+∞>在+∞(0,)不一致收敛.例2证明含参量反常积分0sin d (4)xyy y+∞⎰故对任给的正数,MA M A δδ则当时,>>0,x δ对∀≥>取由(5) 式sin d ,A xyy yε+∞'<⎰所以(4)在0x δ≥>上一致收敛.又因为+0)sin sin lim d d A A u uu u u u+∞+∞→=⎰⎰++(0,+)(0,+)sin sin ()=sup d =sup d A Axx x xy uF A y uy u ∞∞∈∞∈∞⎰⎰+∞≥⎰0sin d =.2u u u π(在本节例6 中证明.)所以根据定理19.8，(4)在(0,)+∞上不一致收敛.若对任意[,],a b I ∈含参量积分(1) 在[a, b ]上一致收敛,则称(1)在I 上内闭一致收敛.所以，积分4在(0,+)∞上内闭一致收敛.定理19.9111(,)d ()(7)n nA n A n n f x y y u x +∞∞===∑∑⎰函数项级数+∞1{}(n A A 其中=对任一趋于的递增数列),c 在I 上一致收敛, 其中1()(,)d .n n A n A u x f x y y +=⎰收敛之间的联系有下述定理.关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致含参量反常积分(1)在I 上一致收敛的充要条件是:0,ε∀>,M c ∃>上一致收敛, 故由(1)在I 又由(),n A n →+∞→∞所以对正数M , 存在正整数N ,m n N >>.m n A A M >>只要当时, 就有由(8)对一切,x I ∈就有11()()(,)d (,)d m n m nA A n m A A u x u x f x y y f x y y++++=++⎰⎰ 1(,)d .m nA A f x y y ε+=<⎰这就证明了级数(7)在I 上一致收敛.证必要性A A M '''>>时，,x J ∈使得当对一切总有(,)d .(8)A A f x y y ε'''<⎰0(,)d .A A f x y y ε''''≥⎰1211max{1,},M c A A M 则存在=>>1,x I 及∈现取使得2110(,)d .A A f x y y ε≥⎰一般地, 取-=≥2(1)max{,}(2),n n M n A n 则有221,n n n n A A M x I 及->>∈使得2210(,)d .(9)n n A n A f x y y ε-≥⎰*充分性00,ε∃>,M c ∀>A A M x I 和，''''∃>>∈对使得用反证法. 假若(1)在I 上不一致收敛,则{}n A lim n n A →∞=由上述所得到的数列是递增数列, 且+∞∞===∑∑⎰111()(,)d .n nA n A n n u x f x y y 0,ε,n N >由(9)式知存在正数对任何正整数N , 只要就有某个0,x I ∈使得+=≥⎰21220()(,)d .n nA n n n A u x f x y y ε这与级数(7)在I 上一致收敛的假设矛盾.现在考察级数.+∞反常积分在I 上一致收敛.故含参量注由定理19.9, 含参量反常积分可看作连续型的函函数项级数.魏尔斯特拉斯M 判别法设有函数g (y ), 使得(,)(),(,)[c,).f x y g y x y I ≤∈⨯+∞若()d (,)d ccg y y f x y y I 收敛,则在+∞+∞⎰⎰上一致收敛.()d c g y y 收敛,+∞⎰12,,,N c A A N ∃>∀>证由于21()d .A A g y y ε<⎰因此12,[,],A A N x c d 及∀>∈2211(,)d ()d .A A A A f x y x g y y ε≤<⎰⎰从而(,)d c f x y y I 在+∞⎰上一致收敛.狄利克雷判别法设(i) 对一切实数,N c >含参量正常积分(,)d N cf x y y ⎰对参量x 在I 上一致有界, ,N c >,x I ∈及一切都有(,)d ;N cf x y y M ≤⎰,x I ∈(,)g x y (ii)对每一个函数关于y 单调且当则含参量反常积分(,)(,)d cf x yg x y y+∞⎰在I 上一致收敛.时, 对参量x , (,)g x y 一致收敛于0,y →+∞即存在正数M , 对一切阿贝尔判别法设(i)(,)d cf x y y I 在上一致收敛；+∞⎰,x I ∈(,)g x y (ii) 对每一个函数为y 的单调函数, 且(,)g x y I 对参量x ,在上一致有界,则含参量反常积分(,)(,)d cf x yg x y y +∞⎰在I 上一致收敛.例3 证明含参量反常积分20cos d (10)1xyx x +∞+⎰在(,)-∞+∞上一致收敛.证由于对任何实数y 有2cos 1xy x +及反常积分20d 1xx+∞+⎰收敛, 别法, 故由魏尔斯特拉斯M 判21,1x≤+(,)-∞+∞上一致收敛.含参量反常积分(10)在证由于反常积分0sin d xx x+∞⎰收敛(当然, 对于参量y ,[0,]d 它在上一致收敛), 0sin e d (11)xy x x x+∞-⎰在[0,]d 上一致收敛.例4 证明含参量反常积分[0,]x d ∈个单调, (,)e1.xyg x y -=≤故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分(11)在[0,]d 上一致收敛.(,)e xyg x y -=对每一函数0,0y d x ≤≤≥都有且对任何例5 证明: 若(,)[,][,)f x y a b c ⨯+∞在上连续, 又(,)d c f x y y +∞⎰(,)d cf x y y+∞⎰在[,)a b 上收敛, 但在处发散, 则x b =在[,)a b 上不一致收敛.0,ε>,M c >任给总存在,A A M '>当时对一切[,)x a b ∈恒有(,)d .A Af x y y ε'<⎰证用反证法. [,)a b 上一致收敛, 假若积分在则对于(,)[,][,]f x y a b A A '⨯在(,)d A Af x y y'⎰因上连续, 所以x 是的连续函数. A A M '>>时,,x b -→得到当在上面不等式中令(,)d .A Af b y y ε'≤⎰ε(,)d cf x y y +∞⎰x b =而是任给的, 因此在处收敛,这与假设矛盾. 不一致收敛.(,)d c f x y y +∞⎰[,)a b 在上所以积分证若[,](0,+),a b ⊂∞21sin d (12)1y xy yy +∞+⎰在[0,+)∞上内闭一致收敛.例6 证明含参量积分则对任意[,]x a b ∈，cos sin d =NNaa xy y xy y x -⎰2a≤而21y y+关于y 单调递减,且2lim 0(,1y y x y 对一致）→∞=+因此, 根据狄利克雷判别法，含参量积分(12)在[,]a b 上一致收敛.[0,+)∞也即在上内闭一致收敛.定理19.10（含参量反常积分的连续性）含参量反常积分的性质设(,)[,)f x y I c ⨯+∞在上连续, ()(,)d (13)cx f x y y Φ+∞=⎰在I 上一致收敛, 在I 上一致收敛.+∞{}n A 证由定理19.9, 对任一递增且趋于的数列1(),A c =函数项级数111()(,)d ()(14)n nA n A n n x f x y y u x Φ+∞∞====∑∑⎰若含参量反常积分则在I 上连续.()x Φ()n u x I 都在上连续. 定理, (,)[,)f x y I c ⨯+∞在上连续, 又由于根据函数项级数的连续性故每个知在I 上连续.()x Φ设(,)[,)f x y I c ⨯+∞在上连续, ()(,)d (13)cx f x y y Φ+∞=⎰在I 上一致收敛, 若含参量反常积分则在I 上连续. ()x Φ推论这个定理也证明了在一致收敛的条件下, 极限运算与积分运算可以交换:0lim (,)d (,)d cc x x f x y y f x y y+∞+∞→=⎰⎰lim (,)d .(15)cx x f x y y +∞→=⎰设(,)[,)f x y I c ⨯+∞在上连续, ()(,)d cx f x y yΦ+∞=⎰在I 上内闭一致收敛, 若则在I 上连续. ()x Φ定理19.10（含参量反常积分的可微性）(,)(,)x f x y f x y 与[,)I c ⨯+∞设在区域上连续.()(,)d cx f x y y Φ+∞=⎰在I 上收敛,(,)d x c f x y y +∞⎰在I上一致收敛, ()(,)d (16)x cI x f x y y+∞'=⎰若+∞1{}(),n A A c =证对任一递增且趋于的数列令1()(,)d .n nA n A u x f x y y +=⎰则在I 上可微，且()x Φ由定理19.3推得1()(,)d .n nA nx Au x f x y y +'=⎰+∞⎰(,)d cf x y y 由在I 上一致收敛及定理19.9, 项级数111()(,)d n nA n x A n n u x f x y y +∞∞=='=∑∑⎰在J 上一致收敛,可得函数()x Φ'于是d (,)d (,)d ,d cc f x y y f x y y x x +∞+∞∂=∂⎰⎰111()(,)d n nA nx A n n u x f x y y +∞∞=='==∑∑⎰(,)d ,x cf x y y +∞=⎰或写成推论(,)(,)x f x y f x y 与[,)I c ⨯+∞设在区域上连续.()(,)d cx f x y y Φ+∞=⎰在I 上收敛,(,)d x c f x y y +∞⎰在I上内闭一致收敛, +∞'=⎰()(,)d .x cI x f x y y 若则在I 上可微，且()x Φ最后结果表明在定理条件下, 求导运算和积分运算可以交换.定理19.12（含参量反常积分的可积性）()(,)d cx f x y y +∞=⎰Φ[,]a b 在上一致收敛,+∞+∞=⎰⎰⎰⎰d (,)d d (,)d .(17)bbaccax f x y y y f x y x [,]a b 在上可积.又由定理19.10 的证明中可以看到, 函数项级数(14)在[,]a b ()[,]n u x a b 在上一致收敛, 且各项上连续,证由定理19.10知道在[,]a b 上连续, ()x Φ[,][,)a b c ⨯+∞上连续, 若设在(,)f x y [,]a b 上可积, 且则在()x Φ()x Φ从而1()d ()d bbn a an x x u x x Φ∞==∑⎰⎰+∞==∑⎰⎰11d (,)d .(18)n nA bA an y f x y x 这里最后一步是根据定理19.6关于积分顺序的可交换性. ()d d (,)d .b bacax x y f x y x Φ+∞=⎰⎰⎰这就是(17)式.因此根据函数项级数逐项求积定理, 有(18)式又可写作11d (,)d n nbA aA n x f x y y+∞==∑⎰⎰定理19.13(,)d a f x y x y +∞⎰关于[,)c +∞(i) 在内闭上一致收敛,(,)d cf x y y +∞⎰[,)a +∞关于x 在内闭上一致收敛;(ii)积分d (,)d d (,)d (19)acc ax f x y y y f x y x 与+∞+∞+∞+∞⎰⎰⎰⎰中有一个收敛.d (,)d d (,)d (20)accax f x y y y f x y x .+∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰(,)f x y [,)[,)a c +∞⨯+∞设在上连续, 且则必有d (,)d acx f x y y +∞+∞⎰⎰也收敛. d c >当时,d (,)d d (,)d dd c a a cI y f x y x x f x y y+∞+∞+∞=-⎰⎰⎰⎰d (,)d d (,)d ddcaacy f x y x x f x y y+∞+∞=-⎰⎰⎰⎰d (,)d adx f x y y+∞+∞-⎰⎰证不妨设(19) 中第一个积分收敛,由此推得根据条件(i)及定理19.12,有d (,)d d a dI x f x y y+∞+∞=⎰⎰d (,)d d (,)d .(21)AadAdx f x y y x f x y y +∞+∞+∞≤+⎰⎰⎰⎰由条件(ii), 对于任给的0,,G a A G ε>>>有使当时,+∞+∞<⎰⎰d (,)d .2A d x f x y y ε有(,)d .2()df x y y A a ε+∞<-⎰把这两个结果应用到(21)式, 得到,22d I εεε<+=使得当时有d M >选定A 后, 由(,)d cf x y y +∞⎰的一致收敛性, 存在M >c ,即lim 0,d d I →∞=这就证明了(20)式.例6计算0sin sin e d (0,).pxbx axI x p b a x+∞--=>>⎰解因为sin sin cos d ,b a bx axxy y x-=⎰所以sin sin ed pxbx axI xx+∞--=⎰()0ecos d d b pxaxy y x+∞-=⎰⎰0d ecos d .(22)bpxax xy y +∞-=⎰⎰ecos epxpxxy --≤0ed pxx +∞-⎰由于及反常积分收敛, 据M 判定法, 含参量反常积分ecos d pxxy x+∞-⎰[,]a b 在区间上一致收敛.[0,)[,]a b +∞⨯上连续, 的顺序, 积分I 的值不变. ecos pxxy -在由于于是d e cos d b pxaI y xy x +∞-=⎰⎰arctan arctan .b ap p=-根根据定理19.12交换积分(22)22d b apy p y=+⎰例7 计算0sin d .axx x+∞⎰解在上例中, 令b = 0, 0sin ()e d arctan (0).(23)px ax a F p x p x p+∞-==>⎰由阿贝尔判别法可得上述含参量反常积分在0p ≥上一致收敛. 0sin (0)d .axF x x+∞=⎰又由(23)式00(0)lim ()lim arctan sgn .2p p a F F p a p ++→→π===则有()0F p p ≥在上连续, 且于是由定理19.10,例8 计算20()e cos d .(24)x r rx x ϕ+∞-=⎰()22e cos d e sin d .(25)x x rrx x x rx x +∞+∞--'=-⎰⎰由于---≤≥-∞<<+∞22esin e0,x x x rx x x r 对一切参量反常积分(25)在-∞+∞(,)上一致收敛.解考察含参量反常积分成立2ed x x x +∞-⎰收敛, 及反常积分根据M 判定法, 含综合上述结果由定理19.11即得2()esin d xr x rx x ϕ+∞-'=-⎰--→+∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰220011lim e sin e cos d 22A Ax x A rx r rx x +∞-=-=-⎰20e cos d ().22x r rrx x r ϕ于是有2ln ()ln ,4r r c ϕ=-+-=24()e .r r c ϕ20π(0)e d ,2x x ϕ+∞-==⎰(0),c ϕ=从而又由(25)式,24π()e .2r r ϕ-=π,2c =因此得到所以20limesin d Ax A x rx x-→+∞=-⎰含参量无界函数的反常积分设(,)[,][,)f x y R a b c d 在区域=⨯上有定义. 某些值, y = d 为函数(,)f x y 的瑕点, (,)d (26)dcf x y y ⎰为含参量x 的无界函数反常积分, 常积分. [,]x a b 在上取值的函数. 积分值是若对x 的则称[,],x a b ∈积分(25)都收敛, 则其若对每一个含参量反常积分或简称为含参量反(25)在上一致收敛的定义是:[,]a b定义2,ε,d c δ<-对任给正数总存在某正数使得(,)d ,dd f x y y ηε-<⎰则称含参量反常积分(25)在[,]a b 上一致收敛．参量无界函数反常积分的一致收敛性判别法, 并讨读者可以参照无穷限反常积分的办法建立相应的含论它们的性质.都有0ηδ<<[,],x a b ∈时, 对一切当*例9讨论含参量无界函数反常积分1011sin d xx x α⎰的一致收敛区间.解作变换1,t x =得1201111sin d =sin d .x t t x x t αα+∞-⎰⎰2110,sin dt t t αδ+∞-∀>⎰(,2]δ-∞-(1)在上一致收敛.(i)1(,2]1,sin dt 2;N N t αδ∀∈-∞->≤⎰及有(ii) 211(,2],0,.t t tαδαδ-∀∈-∞-≤→→+∞21t α-0,单调一致趋于由狄利克雷判别法,1201111sin d =sin d x t t x x tαα+∞-⎰⎰(,2]δ-∞-在上一致收敛.因此(2)F 因为不存在,所211()sin dt ,F t t αα+∞-=⎰为此设+∞-<⎰2112,sin dt b t tα[,2)b (2)任取在上不一致收敛.211sin dt t t α+∞-⎰[,2)b 在上不一致收敛.以复习思考题(,)()g x y g y =x +c (,)d g x y y ∞⎰1. 若与无关, 在区间I 上收敛, 则+c (,)d g x y y ∞⎰在任何区间上一致收敛,对吗?()(,)d c x f x y y ϕ+∞=⎰(,)a b 2. 若在上一致收敛, 且(,)f x y [,][,)a b c ⨯+∞在上连续, 是否一定有()(,)d c x f x y y ϕ+∞=⎰[,]a b 在上一致收敛.。