平衡套误差分量回归模型方差分量的估计

【例10-4】如图10-1边角网，C B A 、、点为已知点，E D 、为待定点，同精度独立观测了12个角度和6条边长，据分别列于表10-1和表10-2。

先验测角中误差"±=5.1βσ，先验边长测量中误差为cm S 0.2±=σ。

试按间接平差法进行赫尔默特方差分量估计，并求出：（1）观测值的方差估值；（2）待定点坐标平差值及其方差估值。

表10-1基准数据表 表10-2 观测值数据表 设置本例题的目的：理解、熟悉赫尔默特方差分量估计方法的方差估计过程。

解：分析：此题为边角网，因此，将角度、边长作为两类观测值，按照赫尔默特方差分量估计模型进行估计即可。

1．第一次平差（预平差） （1）第一次定权设"±==5.10βσσ，则（无量纲）1220==ββσσP ，)(56.00.25.12222220秒===S s P σσ（2）计算近似坐标使用余切公式由A B 、和B C 、分别计算D 近似坐标，然后取平均值作为近似坐标；由D C 、和A D 、分别计算E 近似坐标，然后取平均值作为近似坐标。

计算结果为，，；，m Y m X m Y m X D E D D 055.2944969.663552.2475923.56560000==== （3）计算误差方程的b a 、系数（见表10-3、表10-4） 方位角改正数方程：j kj k j j kj k j i kj k j i kj k j k j yS x S y S x S ˆcos 65.2062ˆsin 65.2062ˆcos 65.2062ˆsin 65.206200000000ααααδα⨯+⨯-⨯-⨯=系数量纲为：厘米秒 边长误差方程：k j k j S j k j j k j j k j j k j S l y x y x V -++--=ˆsin ˆcos ˆsin ˆcos 0000αααα（系数无量纲）（4）误差方程组成（见表10-5）角度误差方程：设编号为i 的角度，测站点点号为j ，第一照准点点号为h ，第二照准点点号为k ，则角度误差方程按下式组成i k k j k k j h h j h h j j h j k j j h j k j i h j k j i l y b x a y b x a y b b xa a l v ---++-+-=--=ˆˆˆˆˆ)(ˆ)(δαδα 其中).(00ih ik i i L l αα--=组成结果列于表7-5 边长误差方程：设编号为i 的观测边长，两端点点号为j 和k ，则角度误差方程按下式组成i i S j k j j k j j k j j k j S l y x y x V -++--=ˆsin ˆcos ˆsin ˆcos 0000αααα（系数无量纲）.0i i i S S l -=表10-5 误差方程组成表根据表10-5，可得到⎪⎭⎪⎬⎫-=-=-=P l xB V P l x B V P l x B V ˆˆˆ22221111 其中12,12114,121,0.22-0.260.080.39-0.41-0.040.330.35-0.190.30-0.410.04--0.070.180.410.040.410.04-0.150.84--0.34-0.22-0.260.8000-0.080.39-000.640.6400-0.560.25-000.260.8-000.560.2500-0.820.55E P B =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，6,6224,6256.0,0.09-1.00-0.091.000.55-0.8300-0.77-0.640000-0.980.21000.410.91-000.950.31E P B =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=212,66,12118,182100,P P P B B B（5）法方程组及解利用表10-5中误差方程数据组成法方程 0ˆ=-W x N 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛== 1.0472 0.0647 -0.2019 0.3471- 0.0647 1.4168 0.0184 0.8618- -0.2019 0.0184 3.4667 0.2814- -0.3471-0.8618-0.2814 4.3548PB B N T⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛== 2.2917- 16.2824- 0.5436 4.0296Pl B W T ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0.99520.00510.06480.08450.00510.80270.00900.15980.06480.00900.29430.02600.08450.15980.02600.26971N ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==- 2.2917-16.2824- 0.5436 4.0296ˆ1W N x bb（6）改正数计算()3.562.332.09-0.660.89-1.130.471.98-0.311.660.61- 1.751=V() 0.161.07-3.91-2.73-0.27- 1.15-2=V（7）进行赫尔默特估计⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0.99520.00510.06480.08450.00510.80270.00900.15980.06480.00900.29430.02600.08450.15980.02600.26971N ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==0.99520.00510.06480.08450.00510.80270.00900.15980.06480.00900.29430.02600.08450.15980.02600.26971111B P B N T⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛== 0.5060 0.0301- 0.0045-0.0504 0.0301- 1.1752 0.05040.5600- 0.0045-0.0504 1.14190.2097- 0.05040.5600-0.2097- 1.10222222B P B N T组成估计方程θθW S =⨯⨯1222ˆ 式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=----------)()(2)()()()(21212122121112111111111N N N N tr N N tr n N N N N tr N N N N tr N N N N tr N N tr n S []T202201ˆˆˆσσθ= []TT T V P V V P V W 222111=θtr(N 1N -1)2.1012 tr(N 2N -1) 1.8988根据以上数据，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3417.37595.07595.01394.9S ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=18096.1442301.35111111V PV V P V W T T θ 估计方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛18096.1442301.35ˆˆ3417.37595.07595.01394.9202201σσ解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-42747.359103.318096.1442301.353417.37595.07595.01394.9ˆˆ12020S σσβ 两者之比：0.9544532第二次平差（1）计算测角和测边的方差估值由第一次平差求得的角度和边长对应的单位权方差估值，计算角度观测值和边长观测值的方差，公式为SSS P P 1ˆˆ1ˆˆ202202σσσσβββ==， 如果为不等精度观测值，则计算式为12020,12020,ˆˆˆˆ2211--====S P Q D P Q D S SS S n n SS n n σσσσβββββββ，从而求得12048.656.0142747.31ˆˆ59103.31ˆ1ˆˆ20220202=⨯===⨯==S SS P P σσσσσββββ，（2）第二次定权令220ˆβσσ=则59.012048.659103.3ˆ1ˆ220220=====S S P P σσσσββ，（3）求第二次平差的法方程、V 1T P 1V 1、V 2TP 2V 2解得V 1TP 1V 1=35.9089，V 2TP 2V 2=13.70754 （7）进行赫尔默特估计根据以上数据，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2988.37627.07627.01757.9S ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7075.139089.35111111V P V V P V W T T θ 估计方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7075.139089.35ˆˆ2988.37627.07627.01757.9202201σσ 解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4729723.35718162.37075.139089.352988.37627.07627.01757.9ˆˆ12020S σσβ 两者之比为：1：0.9723273.第三次平差（1）计算测角和测边的方差估值由第二次平差求得的角度和边长对应的单位权方差估值，计算角度观测值和边长观测值的方差，公式为SSS P P 1ˆˆ1ˆˆ202202σσσσβββ==， 从而求得886393729.559.014729723.31ˆˆ5718162.31ˆ1ˆˆ20220202=⨯===⨯==S SS P P σσσσσββββ，（2）第三次定权 令220ˆβσσ=则61.0886393729.55718162.3ˆ1ˆ220220=====S S P P σσσσββ，（3）求第三次平差的法方程、V 1T P 1V 1、V 2TP 2V 2解得111222（7）进行赫尔默特估计根据以上数据，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2715.37646.07646.01993.9S ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41716.1321996.36111111V P V V P V W T T θ V 1T P 1V 1 V 2T P 2V 236.21996 13.41716V 1T P 1V 1=36.21996，V 2T P 2V 2=13.41716估计方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛41716.1321996.36ˆˆ2715.37646.07646.01993.9202201σσ 解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-502829.355947.341716.1321996.362715.37646.07646.01993.9ˆˆ12020S σσβ 即502829.3ˆ55947.3ˆ2020==S σσβ，两者之比为：0.9840871ˆˆ2020：：=S σσβ4．第四次平差（1）计算测角和测边的方差估值由第三次平差求得502829.3ˆ55947.3ˆ2020==S σσβ， 742342623.561.01502829.31ˆˆ55947.31ˆ1ˆˆ20220202=⨯===⨯==S SS P P σσσσσββββ，（2）第四次定权 令220ˆβσσ=则62.0742342623.555947.3ˆ1ˆ220220=====S S P P σσσσββ，（3）求第四次平差的法方程、V 1TP 1V 1、V 2TP 2V 2解得V 1TP 1V 1=36.37183，V 2TP 2V 2=13.27887 （7）进行赫尔默特估计根据以上数据，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 3.25820.76550.76559.2109S ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13.2788736.37183111111V P V V P V W T T θ 估计方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13.2788736.37183ˆˆ3.25820.76550.76559.2109202201σσ 解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 3.5176053.5534413.2788736.371833.25820.76550.76559.2109ˆˆ12020S σσβ 即3.517605ˆ3.55344ˆ2020==S σσβ， 两者之比为：0.9899150.9899151ˆˆ2020：：=S σσβ 5．第五次平差（1）计算测角和测边的方差估值由第四次平差求得673556452.562.013.5176051ˆˆ3.553441ˆ1ˆˆ20220202=⨯===⨯==S SS P P σσσσσββββ，（2）第四次定权 令220ˆβσσ=则63.0673556452.53.55344ˆ1ˆ220220=====S S P P σσσσββ，（3）求第五次平差的法方程、V 1TP 1V 1、V 2TP 2V 2解得111222（7）进行赫尔默特估计S -1 W 0.1106 -0.0261 35.42301 -0.0261 0.3143 14.18096S9.2224 0.7662 0.7662 3.2451根据以上数据，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 3.24510.76620.76629.2224 S ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=14.1809635.42301111111V P V V P V W T T θ 估计方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14.1809635.42301ˆˆ3.24510.76620.76629.2224 202201σσ 解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 3.5322813.54750214.1809635.423013.24510.76620.76629.2224 ˆˆ12020S σσβ 即3.532281ˆ3.547502ˆ2020==S σσβ， 两者之比为：0.9899150.9957091ˆˆ2020：：=S σσβ 6．第六次平差（1）计算测角和测边的方差估值由第五次平差求得606795238.563.013.5322811ˆˆ3.5475021ˆ1ˆˆ20220202=⨯===⨯==S SS P P σσσσσββββ，（2）第wu 次定权令220ˆβσσ=则63.0606795238.53.547502ˆ1ˆ220220=====S S P P σσσσββ，可以看出，经过5次迭代计算，权已稳定，因此，可取第5次平差结果作为最后结果，已没有必要再继续做下去。

1 赫尔默特方差分量估计我们知道，平差前观测值向量的方差阵一般是未知的，因此平差时随机模型都是使用观测值向量的权阵。

而权的确定往往都是采用经验定权，也称为随机模型的验前估计，对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权方法定权；对于不同类的观测值，就很难合理地确定各类观测值的权。

为了合理地确定不同类观测值的权，可以根据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这种平差方法称为验后方差分量估计。

此概念最早由赫尔默特（F.R.Helmert ）在1924年提出，所以又称为赫尔默特方差分量估计。

一、赫尔默特方差分量估计公式为推导公式简便起见，设观测值由两类不同的观测量组成，不同类观测值之间认为互不相关，按间接平差时的数学模型为222111~~∆-=∆-=X B L X B L （函数模型） （8-4-1） 0),(()()()()(2121122022112011=∆∆==∆==∆=--D L L D P D L D P D L D ），σσ （随机模型）（8-4-2）其误差方程为111ˆl xB V -= 权阵1P （8-4-3） 222ˆl xB V -= 权阵2P （8-4-4） 作整体平差时，法方程为0ˆ=-W xN （8-4-5） 式中2222111121B P B N B PB N N N N TT==+=，， 2222111121l P B W l PB W W W W TT ==+=，，一般情况下，由于第一次给定的权1P 、2P 是不恰当的，或者说它们对应的单位权方差是不相等的，设为201σ和202σ，则有122022112011)()(--==P L D P L D σσ （8-4-6）但只有20202201σσσ==才认为定权合理。

联合平差中的方差分量估计问题的探讨摘要：联合平差是一种常用的测量数据处理方法，其优点在于可以同时处理多种测量数据，提高了精度和可靠性。

然而，在实际应用中，由于各种测量数据的误差来源和特点不同，联合平差中的方差分量估计问题一直是一个难点。

本文通过对方差分量的概念和估计方法的分析，提出了一种基于加权方差分量估计的方法，并通过实例分析验证了该方法的有效性。

关键词：联合平差；方差分量；加权方差分量估计一、引言联合平差是一种常用的测量数据处理方法，其优点在于可以同时处理多种测量数据，提高了精度和可靠性。

联合平差的基本思想是将各种测量数据联合起来，通过最小二乘法求解所有未知参数，从而达到数据处理的最优化。

然而，在实际应用中，由于各种测量数据的误差来源和特点不同，联合平差中的方差分量估计问题一直是一个难点。

本文将对方差分量的概念和估计方法进行探讨，提出一种基于加权方差分量估计的方法，并通过实例分析验证其有效性。

二、方差分量的概念在联合平差中，方差分量是指各种测量数据误差的方差或协方差。

方差分量是测量数据精度的一个重要指标，直接影响到联合平差结果的精度和可靠性。

在联合平差中，方差分量通常分为内部方差分量和外部方差分量两类。

内部方差分量是指同一种测量数据的误差方差或协方差，例如，水准测量中的同一测高仪的读数误差方差。

内部方差分量是由测量仪器和人为误差引起的，可以通过实验和理论分析进行估计。

外部方差分量是指不同种测量数据之间的误差方差或协方差，例如，水准测量中的高差测量和距离测量之间的误差协方差。

外部方差分量是由地形和气象等自然因素引起的，通常无法通过实验和理论分析进行估计，只能通过实际测量数据进行估计。

三、方差分量的估计方法在联合平差中，方差分量的估计方法有很多种，常用的有最小二乘估计法、极大似然估计法、加权最小二乘估计法等。

最小二乘估计法是指在满足最小二乘原理的前提下，对方差分量进行估计。

最小二乘估计法的优点在于简单易行，但是对于外部方差分量的估计存在一定的困难。