最新人教版高中数学必修2第二章《直线与平面垂直的性质》课堂导学
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课堂导学
三点剖析
一、利用线面垂直的性质证明线线平行或面面平行
【例1】
如图，正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1. 思路分析：证明BD1⊥AC，BD1⊥A1D.
证明：如图所示，连结AB1、B1C、BD，
∵DD1⊥面ABCD，AC 面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，∴AC⊥面BDD1B1，∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥面AB1C.
∴EF⊥AC，
EF⊥A1D，又A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.
∴EF⊥面AB1C，∴EF∥BD1.
温馨提示
（1）证明线线平行的方法有：
①定义法及平面几何知识；
②公理4的应用；
③线面平行的性质定理；
④线面垂直的性质；
⑤面面平行的性质.
（2）证明面面平行的方法有：
①面面平行的定义；
②面面平行的判定；
③线面垂直的性质.
各个击破
类题演练1
设a、b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且都相交的直线），若a、b 分别垂直于平面α、β，且α∩β=c，则AB∥c.
证明：如图，过B作BB′⊥α，则BB′∥a，则AB⊥BB′.
又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB′确定的平面.
∵b⊥β，∴b⊥c,BB′⊥α,∴BB′⊥c.
∴c也垂直于由BB′和b确定的平面.故c∥AB.
变式提升1
如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′中，面对角线AB′、BC′上分别有两点E、F，且B′E=C′F.求证：平面ACD′∥平面A′BC′.
证法一：（由线线平行证面面平行）
∵正方体ABCD-A′B′C′D′中，
AD′∥BC′，CD′∥BA′，又AD′∩CD′=D′，
BC′∩BA′=B，∴平面ACD′∥平面A′BC.
证法二：（由线面垂直证面面平行）
连结B′D，∵A′B′⊥平面AD′，A′D⊥AD′，
∴AD′⊥平面A′B′D.
∴B′D⊥AD′，同理B′D⊥CD′，又AD′∩CD′=D′，∴B′D⊥平面ACD′.
同理，B′D⊥平面A′BC′，∴平面ACD′∥平面A′BC.
二、线面位置关系的判定及性质的综合应用
【例2】如图，已知平面α∩平面β=a,a⊥平面γ，又知直线b∥α,b∥β，求证：b⊥γ.
证明：在平面α内任取一点A，且A∉a，过点A和直线b作平面θ，使θ∩α=c，同理在平面β内任取一点B，且B∉a,过点B和直线b作平面δ，使γ∩α=d.
∵b∥α,b⊂θ,θ∩α=c,
∴b∥c,同理b∥d,∴c∥d.
∵c⊄β，d⊂β，c∥d,∴c∥β.
又c⊂α，α∩β=a，
∴c∥a.又b∥c,∴a∥b.
又∵a⊥平面γ,故b⊥γ.
温馨提示
在空间位置关系的论证过程，如何由条件向所证过渡，这必须遵循以下规律：
（1）已知位置关系--想性质.例如，凡发现线面平行，就过线作辅助面与已知面相交，则交线与已知线平行；若已知面面平行，就作辅助面与两面都相交，则两交线平行.
（2）论证位置关系--想判定定理.
类题演练2
已知：a∥平面α，b⊥α.
求证：a⊥b.
证明：如图，过直线a作平面β∩α=a′,∵a∥α,∴a∥a′,又b⊥α,∴b⊥a′,∴a⊥b.
变式提升2
已知：a与b异面，a∥平面α，b∥平面α，c⊥a,d⊥a,c⊥b,d⊥b.
求证：c∥d.
证明：过a、b分别作平面β，γ，使β∩α=a′，
γ∩α=b′,∵a∥α,b∥α,∴a∥a′,b∥b′
又∵a,b异面，∴a′与b′必相交.
∵c⊥a,c⊥b,∴c⊥a′,c⊥b′.
∴c⊥α.
同理可证d⊥α,故c∥d.
三、线面垂直的性质定理的论证方法
【例3】已知：a⊥α，b⊥α，求证：a∥b.
证明：假定b a，设b∩a=O，如图b′是经过O点与直线a平行的直线，
∵a∥b′,a⊥α,
∴b′⊥α.
即经过同一点O的两条直线b、b′都垂直于平面α，而这是不可能的.
因此b∥a.
温馨提示
立体几何中位置关系的论证有两种基本方法：
一是直接法：由条件或由已知的定理、公理、定义等直接证出结论.
二是间接法：当直接法不易论证时，可用间接法，即反证法和同一法.
（1）反证法的一般步骤是：
①假设结论的反面成立；②据理推出矛盾；③从而断定原结论正确.
（2）同一法的一般步骤是：
①作出与结论相符的直线（点，面等）.
②利用有关唯一性的公理、定理证明所作的直线（点、面等）与题中的直线（点、面等）重合.
类题演练3
求证：过一点与已知直线垂直的平面只有一个.
已知：点A∈平面α，直线l⊥α.
求证：平面α唯一.
证明：不失一般性，A l,也易知若A∈l，类似可证.
过点A作AB∥l，∵l⊥α,∴AB⊥α.
过点A作一个平面β⊥AB.（如图）
设α∩β=AE,过A作平面γ,
使α∩γ=AC，β∩γ=AD.
∵AB⊥α,AB⊥β，
∴AB⊥AC,AB⊥AD.
又∵AB⊂γ,AC⊂γ,AD⊂γ.
且AC与AD有一个公共点，∴AC与AD重合.
∴平面α与β内都有两条相交直线AC与AE，由平面的基本性质知α与β重合，故α唯一. 变式提升3
已知：AA′⊥α，AA′⊥β，
求证：α∥β.
证明：如图，设经过直线AA′的两个平面γ、γ分别与平面α、β相交于直线b、b′和a、a′.
∵AA′⊥α，AA′⊥β，
∴AA′⊥a′,AA′⊥a.
又知AA′，a′,a都在平面γ内，∴a∥a′.
又a′⊂β，a⊄β，∴α∥β，同理可证b∥β.
又∵a⊂α,b⊂α,a∩b=A,故α∥β.。
