命题与逻辑联结词第一课时

第1 章命题逻辑第1 章命题逻辑授课内容知识点1：命题、联结词及命题符号化知识点2：命题公式、真值表及公式分类知识点3：等价式与等价演算知识点4：对偶式与蕴涵式知识点5：范式第1 章命题逻辑授课内容知识点6：主析取范式与主合取范式知识点7：命题演算的推理理论知识点8：有效结论证明方法知识点9：命题演算推理实例解析知识点1：命题、联结词及命题符号化一问题的引入命题逻辑是研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系。

那么，什么是命题？如何表示和构成？如何进行推理的？例如：已知：如果今天星期三，那么公鸡会下蛋。

今天是星期三。

问题：根据以上前提你能推出什么结论？二命题、联结词及命题符号化1 命题的概念定义1.1.1：能够判断真假的陈述句称作命题。

命题仅有两种可能的真值：真和假，且二者只能居其一。

真用1或T表示，假用0或F表示。

由于命题只有两种真值，所以称这种逻辑为二值逻辑。

例1.1.1 判断下列语句哪些是命题①-1是整数。

②地球是围绕月亮转的。

③3+5=8。

④木星的表面温度是20 F。

⑤不要讲话！⑥你吃饭了吗？⑦本命题是假的。

（他正在说谎。

等）解①-④都是命题，①和③的真值为真，②真值是假，④不知真和假，但真值是可以确定的。

⑤⑥都不是命题。

⑦无法确定它的真值，当它假时，它便真；当它真时，它便假。

这种断言叫悖论。

2 命题的分类与表示•命题分为两类，第一类是原子命题，它是由再也不能分解成更为简单的语句构成的命题，称为原子命题。

用英文字母P，Q，R，…或带下标Pi，Qi，Ri，…表示之。

例如，用P表示武汉是一座美丽的城市，记为P：武汉是一座美丽的城市。

冒号：代表表示的意思•第二类是复合命题，它由原子命题、命题联结词和圆括号组成。

3 联结词1.3.1 否定联结词﹁P定义1.1.2设P表示一个命题，由命题联结词⎤和命题P连接成⎤P，称⎤P为P的否定式复合命题，⎤P读“非P”。

称⎤为否定联结词。

⎤P是真当且仅当P为假；否定联结词“⎤”的定义可由表1-1表示。

命题与基本逻辑连接词知识讲解一、命题及其关系1.命题的定义定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫假命题．注意：并不是任何语句都是命题，只有能判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问句，祈使句，感叹句都不是命题，但是反义疑问句是命题．如：a．“这是一棵大树”；b．“2x<”；c．“三角函数是周期函数吗？”，“但愿每一个三次方程都有三个根”，“指数函数的图像真漂亮！”d．125>“”，“6=2”，“π”是无理数；e．“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和”（歌德巴赫猜想）；“在2010年前，将有人登上火星”2.命题的结构结构：数学中，具有“若p，则q”这种形式的命题是常见的，我们把这种命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论．3.命题的四种形式形式：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p⌝和q⌝来表示p和q的否定，⌝，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：如果p⌝．则q⌝；逆否命题：如果q⌝，则p注意：关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以如下表述：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题．如：同位角相等，两直线平行．它的逆命题就是：两条直线平行，同位角相等．(2) 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题如上例的否命题是：同位角不相等，两直线补平行．(3) 交换原命题的条件个结论，并同时否定，所得的命题是逆否命题．如上例：两条直线不平行，同位角不相等．4.四种命题的相互关系(1).四种命题以及它们之间的关系1).原命题为真，它的逆命题不一定为真；如：原命题“若0a=，则0ab=”是真命题，它的逆命题“若0a=”是假命题．ab=，则02) .原命题为真，它的否命题不一定为真；如：原命题“若0a=，则0ab=”是真命题，它的否命题“若0ab≠”是假命题．a≠，则03) .原命题为真，它的逆否命题一定为真；如：原命题“若0a=，则0ab=”是真命题，它的否命题“若0ab≠，则0a≠”是假命题．4) .互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，综上所述：在一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0个，要么是2个，要么是4个．四种情况：(2)四种命题它们之间的等价关系关系：互为逆否命题是互为等价命题（即真假相同），而其它的命题不是互为等价命题（即真假不一定相等）．这一等价性，可以从集合的角度来解释：设{}=，即使命题p为A x p x()真的对象所组成的集合，{}B=()x q x ，因此由p q ⇒可知A B ⊆， U U C A C B ∴⊆,即p q ⌝⌝⇒，反过来，若p q ⌝⌝⇒，即U U C A C B ⊆，∴A B ⊆，即p q ⇒5.命题的否定与否命题的区别(1) 若命题为“若p ，则q ”，则其命题的否定：“若p ，则q ⌝”，而其否命题是：“若p ⌝，则q ⌝”．(2) 常见的一些词语和它的否定词语对照表二、基本逻辑连接词1． “且”“或”“非”的概念(1) 且定义：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题，记作p q ∧，读作“p 且q ”．逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当．可以用“且”定义集合的交集：{|()()}A B x x A x B =∈∧∈． 判断命题p q ∧的真假:当p q 、都为真命题，p q ∧就为真命题；当p q 、两个命题中只要有一个命题为假命题，p q ∧ 就为假命题． (2) 或定义：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p 或q 联结起来，就得到一个新命题，记作p q ∨，读作“p 或q ”．逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”相当．可以用“或”定义集合的并集：{|()()}A B x x A x B =∈∨∈． 判断命题p q ∨的真假:当p q 、两个命题中，只要有一个命题为真命题时，p q ∨为真命题；当p q 、两个命题都为假命题，p q ∨为假命题 (3) 非定义：一般地，对命题p 加以否定，得到一个新的命题，记作p ⌝，读作“非p ”或“p 的否定”．逻辑联结词“非”（也称为“否定”）的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来．有()p p ⌝⌝=成立．可以用“非”来定义集合A 在全集U 中的补集：{|()}{|}U A x U x A x U x A =∈⌝∈=∈∉ð．判断p ⌝命题的真假： p ⌝和p 不能同真同假，其中一个为真，另一个必定为假．2.复合问题的真值表：三、量词1、全称量词定义：短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题的否定：全称命题 q ：x A ∀∈，()q x ；它的否定是 q ⌝：x A ∃∈，()q x ⌝．将全称量词变为存在量词，再否定它的性质．2、存在量词定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常用叫做参在量词，用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．存在性命题的否定：存在性命题 p ：x A ∃∈，()p x ；它的否定是 p ⌝：x A ∀∈，()p x ⌝． 将存在量词变为全称量词，再否定它的性质．3、全称命题与存在性命题不同的表达方法典型例题一．选择题（共8小题）1．（2018•三明模拟）已知下列命题：①命题p：∀x∈（0，+∞），x＞sinx的否定是￢p：∃x0∈（0，+∞），x0≤sinx0；②函数f（x）=sin（x+φ）为奇函数的充要条件是φ=0；③若两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k越大，则这两个分类变量有关系的把握性越大；④已知m，n是两条直线，α，β是两个不同平面，若m⊂α，n⊂β，α∩β=l，则m与n不可能平行．其中正确的个数有（）A．1 B．2C．3 D．42．（2018•二模拟）已知p：∀x＞0，＜1恒成立，若￢p为真命题，则实数a的最小值为（）A．2 B．3C．4 D．53．（2018•泉州二模）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，M，N分别为B1C1，BB1的中点．现有下列四个结论：p1：AC1∥MN；p2：A1C⊥C1N；p3：B1C⊥平面AMN；p4：异面直线AB与MN所成角的余弦值为．其中正确的结论是（）A．p1p2B．p2，p3C．p2，p4D．p3，p44．（2018•四川模拟）在等差数列{a n}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为S n（n∈N*），有下列命题：①若S1=S14．则必有S19＜0；②若a3+a13＞0，则必有S15＞0；③若S10＞S11，则必有S11＞S12．其中所有真命题的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③5．（2018•历城区校级一模）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”现有墙厚5尺，如下说法：①小鼠第二天穿垣半尺；②两鼠相遇需四天；③若大鼠穿垣两日卒，则小鼠至死方休．则以上说法错误的个数是（）个．A．0 B．1C．2 D．36．（2018•上城区校级模拟）等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体ABCD侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得AE⊥BD；（3）设二面角D﹣AB﹣E的平面角为θ，则θ≥∠DAE；（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆．其中，正确说法的个数是（）A．1 B．2C．3 D．47．（2018•长沙一模）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．，C．（1，e]D．，8．（2018•绵阳模拟）对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y∈[﹣1，4]，使得y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[，）B．（0，]C．[，e2﹣）D．[，e2﹣）二．填空题（共2小题）9．设函数f（x）=lg的定义域为A，若命题p：3∈A与q：5∈A有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．10．（2016秋•驻马店期中）已知a＞0，集合A={x|ax2﹣2x+2a﹣1=0}，B={y|y=log2（x+﹣4）}，p：A=∅，q：B=R．（1）若p∧q为真，求a的最大值；（2）若p∧q为为假，p∨q为真，求a的取值范围．三．解答题（共5小题）11．（2016秋•牡丹区校级期中）已知m∈R，设p：对∀x∈[﹣1，1]，x2﹣2x﹣4m2+8m﹣2≥0恒成立；q：∃x∈[1，2]，＜成立．如果“p ∨q”为真，“p∧q”为假，求m的取值范围．12．写出下列命题非的形式：（1）p：函数f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴有唯一交点；（2）q：若x=3或x=4，则方程x2﹣7x+12=0．13．（2013•崂山区校级三模）已知两函数f（x）=8x2+16x﹣m，g（x）=2x3+5x2+4x，（m∈R）若对∀x1∈[﹣3，3]，∃x2∈[﹣3，3]，恒有f（x1）＞g（x2）成立，求m的取值范围．14．（2017秋•铁东区校级期中）已知函数f（x）是定义R在上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，研究不等式f（log22x+alog2x+b）≤f（2）（a，b∈R）．（1）当b=3时，对任意x∈[，4]，上述不等式成立，求a的取值范围．（2）若上述不等式对任意x∈[m，n]成立，求的最大值．15．（2015秋•澄城县校级月考）已知实数a＞0，且满足以下条件：①∃x∈R，|sinx|＞a有解；②∀x∈[，]，sin2x+asinx﹣1≥0；求实数a的取值范围．。

§1.2 逻辑联结词与四个命题（一）【复习目标】1．了解命题、复合命题等概念；2．理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，会根据《真值表》判断复合命题的真假；3．掌握四个命题及其相互关系，理解“否命题”与“命题的否定”的不同含义。

【重点难点】掌握四个命题及其相互关系，理解“否命题”与“命题的否定”的不同含义【知识回顾】1、命题的定义：。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做；不含有逻辑联结词的命题是；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是。

构成复合命题的形式：p或q(记作“” )；p且q(记作“” )；非p(记作“” ) 。

3、“或”、“且”、“非”的真值判断（1）“非p”形式复合命题的真假与P的真假；（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．4、常用正面词语的否定如下表：原命题：若P则q；逆命题：；否命题：；逆否命题：。

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．6、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题 逆否命题)原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

7、如果已知p ⇒q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件，记为p ⇔q.【课前预习】1． 下列语句是否命题？如果是，判断真假：（1）上课！ ； （2）22x + ； （4）对顶角难道不相等吗？ ；（42． 有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程21x =的解1x =±。

第二讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词基本知识：一、命题及其关系⏹命题的概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.⏹四种命题的相互关系，如右图所示.(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题的真假关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件⏹“若p则q”是真命题，即p q⇒；⇒/.“若p则q”是假命题，则p q⏹在判断命题真假的问题中，一方面可以直接写出命题进行判断，也可以通过命题的等价性进行判断，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价.否命题与命题的否定不同。

重点：充分条件与必要条件的判别步骤一：理清题干中的条件和结论如：A是B成立的××条件；其中A是条件，B是结论A成立的××条件是B；其中B是条件，A是结论步骤二：是的充要条件（1）充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q；（2）必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p.学前练习：1.已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”的否命题是 （A ）若a+b+c ≠3，则222a b c ++<3 （B ）若a+b+c=3，则222a b c ++<3 （C ）若a+b+c ≠3，则222a b c ++≥3 （D ）若222a b c ++≥3，则a+b+c=3 2命题P ：a ∈A ，则b ∈B ，那么命题┐P 是（ ）A 若 a ∈A 则b ∉B B 若a ∉A 则b ∉ BC 若 a ∉A 则b ∈BD 若b ∉ B 则a ∈A3设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）A 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4. 已知集合A ＝{x ∈R|12＜2x ＜8}，B ＝{x ∈R|－1＜x ＜m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是 (C )A .m ≥2 B.m ≤2 C .m ＞2 D.－2＜m ＜25.若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件例题讲解3、逻辑联结词与量词一．简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p 和命题q ，记作p ∧q ，读作“p 且q ”． (2)用联结词“或”联结命题p 和命题q ，记作p ∨q ，读作“p 或q ”． (3)对一个命题p 全盘否定记作綈p ，读作“非p ”或“p 的否定”． (4)命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断p ∧q 中p 、q 有一假为假，p ∨q 有一真为真，p 与非p 必定是一真一假．二、全称量词与存在量词：命题中的“对所有”、“任意一个”等短语叫做全称量词，用符号“∀”表示，“存在”、“至少有一个”等短语叫做存在量词，用符号“∃”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题，全称命题：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为,()x M p x ∀∈.含有存在量词的命题叫做特称命题，特称命题：“存在M 中任意一个x ，使()p x 成立”可用符号简记为,()x M p x ∃∈.练习： 1已知命题P ：n ∈N ，2 A ∀n ∈N ，2n ≤1000 B ．∀n ∈N ，2n ＞1000C ．∃n ∈N ，2n ≤1000D ．∃n ∈N ，2n ＜10002下列特称命题中，假命题是 ( )A .∃x ∈R ，x 2－2x －3＝0 B.至少有一个x ∈Z ，x 能被2和3整除 C.存在两个相交平面垂直于同一直线 D.∃x ∈{x |x 是无理数}，使x 2是有理数例题讲解例1．命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0，命题q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0，且P ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围.例2.设P ：关于x 的不等式1xa >的解集是{}0x x <，Q ：函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R，若“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围.。