命题与逻辑联结词知识点

数学中的逻辑推理知识点总结一、引言逻辑推理是数学中重要的思维方式，它涉及到命题、推理规则和推理方法等方面知识。

本文将对数学中的逻辑推理知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用数学中的逻辑推理。

二、命题与逻辑符号命题是陈述性语句，可以判断为真或假。

在数学中，常用字母或字母组合表示命题，在逻辑推理过程中，可以使用逻辑符号对命题进行操作。

常见的逻辑符号包括：1. 否定符号（¬）表示取反；2. 合取符号（∧）表示逻辑与；3. 析取符号（∨）表示逻辑或；4. 条件符号（→）表示蕴含关系；5. 等价符号（↔）表示等价关系。

三、命题联结词及其真值表命题联结词是将多个命题组合成复合命题的符号。

常见的命题联结词有否定（¬）、合取（∧）、析取（∨）、条件（→）、双条件（↔）等。

通过构建命题联结词的真值表，可以确定复合命题的真假。

四、命题的等价关系等价关系是指两个命题在所有情况下都具有相同的真值。

在逻辑推理中，等价关系用双条件符号（↔）表示。

常见的等价关系有以下几种：1. 否定律：¬(p∧q)↔(¬p∨¬q)2. 交换律：(p∧q)↔(q∧p)3. 结合律：((p∧q)∧r)↔(p∧(q∧r))4. 分配律：(p∧(q∨r))↔((p∧q)∨(p∧r))5. 互补律：p∨¬p6. 同一律：p∨T↔T， p∧F↔F五、推理规则推理规则是指根据已知条件和逻辑关系进行推理得出新结论的规则。

在数学中常用的推理规则包括：1. 假言推理：如果p→q是真命题，且已知p为真，则可以推断q为真。

2. 拒取式：如果p→q是真命题，且已知q为假，则可以推断p为假。

3. 析取三段论：如果p∨q为真命题，且已知p为假，q为真，则可以推断q为真。

4. 假言三段论：如果p→q和q→r都是真命题，且已知p为真，则可以推断r为真。

六、数学证明中的逻辑推理逻辑推理在数学证明中起着重要的作用。

数学证明一般包括假设、证明主体和结论等部分，其中证明主体部分的推理过程需要严密的逻辑推理。

数理逻辑部分第1章命题逻辑命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。

简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧w)∨(v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并规定，p q为假当且仅当p 为真q 为假.p q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p q. 称作等价联结词.并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),, , , ,同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：, , , , ，组成一个联结词集合{, , , , }，联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.命题常项命题变项命题公式及分类命题变项与合式公式命题常项：简单命题命题变项：真值不确定的陈述句定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1是合式公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B), (A B)也是合式公式(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=B, B是n层公式；(b) A=B C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层p 1层p q 2层(p q)r 3层((p q) r)(r s) 4层公式的赋值定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定一组真值称为对A的一个赋值或解释成真赋值: 使公式为真的赋值成假赋值: 使公式为假的赋值说明：赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1.A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值12…n是指p1=1, p2=2, …, p n=nA中仅出现p,q, r, …, 给A赋值123…是指p=1,q=2 , r= 3 …含n个变项的公式有2n个赋值.真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q p) q p的真值表例 B = (p q) q的真值表例C= (p q) r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q p)q p，B =(p q)q，C= (p q)r等值演算等值式定义若等价式A B是重言式，则称A与B等值，记作A B，并称A B是等值式说明：定义中，A,B,均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p q) ((p q) (r r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p(q r) (p q) rp(q r) (p q) r基本等值式双重否定律 : A A等幂律：A A A, A A A交换律: A B B A, A B B A结合律: (A B)C A(B C)(A B)C A(B C)分配律: A(B C)(A B)(A C)A(B C) (A B)(A C)德·摩根律: (A B)A B(A B)A B吸收律: A(A B)A, A(A B)A零律: A11, A00同一律: A0A, A1A排中律: A A1矛盾律: A A0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A B, 则(B)(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p(q r) (p q)r证p(q r)p(q r) （蕴涵等值式，置换规则）(p q)r（结合律，置换规则）(p q)r（德摩根律，置换规则）(p q) r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p(q r) (p q) r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q(p q)解q(p q)q(p q) （蕴涵等值式）q(p q) （德摩根律）p(q q) （交换律，结合律）p0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p q)(q p)解 (p q)(q p)(p q)(q p) （蕴涵等值式）(p q)(p q) （交换律）1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1？(3) ((p q)(p q))r)解 ((p q)(p q))r)(p(q q))r（分配律）p1r（排中律）p r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A0A为重言式当且仅当A1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) A(p1,p2,…,p n) A* (p1, p2,…, p n) (2) A(p1, p2,…, p n) A* (p1,p2,…,p n) 定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A B，则A* B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, q, p q, p q r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, q, p q, p q r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单合取式合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单析取式范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p q r, p q r既是析取范式，又是合取范式(为什么?)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的, （若存在）(2) 否定联结词的内移或消去(3) 使用分配律对分配（析取范式）对分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去）p q r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去第一个）(p q)r（消去第二个）(p q)r（否定号内移——德摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p q)r(p r)(q r) （对分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1i n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i 表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: m i M i , M i m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(p q r)(p q r) m1m3是主析取范式(p q r)(p q r) M1M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p q)r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p q)r(p q)r , （析取范式）①(p q)(p q)(r r)(p q r)(p q r)m 6m7,r(p p)(q q)r(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m 1m3m5m7③②, ③代入①并排序，得(p q)r m1m3m5m6m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p q)r(p r)(q r) , （合取范式）①p rp(q q)r(p q r)(p q r)M 0M2,②q r(p p)q r(p q r)(p q r)M 0M4③②, ③代入①并排序，得(p q)r M0M2M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p q)r m1m3m5m6m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式A的主析取范式含2n个极小项A的主合取范式为1.A为矛盾式A的主析取范式为0A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p q)(2) (s u)(3) ((q r)(q r))(4) ((r s)(r s))(5) (u(p q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p q)(s u)((q r)(q r))((r s)(r s))(u(p q))④ A (p q r s u)(p q r s u)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A (p q)((q r)(q r))(s u)(u(p q)) ((r s)(r s)) （交换律) B1= (p q)((q r)(q r))((p q r)(p q r)(q r)) （分配律）B2= (s u)(u(p q))((s u)(p q s)(p q u)) （分配律）B 1B2(p q r s u)(p q r s u) (q r s u)(p q r s)(p q r u)再令B3 = ((r s)(r s))得A B1B2B3(p q r s u)(p q r s u)注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p r, r s结论：s q证明① s附加前提引入②p r前提引入③r s前提引入④p s②③假言三段论⑤p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。

第1 章命题逻辑第1 章命题逻辑授课内容知识点1：命题、联结词及命题符号化知识点2：命题公式、真值表及公式分类知识点3：等价式与等价演算知识点4：对偶式与蕴涵式知识点5：范式第1 章命题逻辑授课内容知识点6：主析取范式与主合取范式知识点7：命题演算的推理理论知识点8：有效结论证明方法知识点9：命题演算推理实例解析知识点1：命题、联结词及命题符号化一问题的引入命题逻辑是研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系。

那么，什么是命题？如何表示和构成？如何进行推理的？例如：已知：如果今天星期三，那么公鸡会下蛋。

今天是星期三。

问题：根据以上前提你能推出什么结论？二命题、联结词及命题符号化1 命题的概念定义1.1.1：能够判断真假的陈述句称作命题。

命题仅有两种可能的真值：真和假，且二者只能居其一。

真用1或T表示，假用0或F表示。

由于命题只有两种真值，所以称这种逻辑为二值逻辑。

例1.1.1 判断下列语句哪些是命题①-1是整数。

②地球是围绕月亮转的。

③3+5=8。

④木星的表面温度是20 F。

⑤不要讲话！⑥你吃饭了吗？⑦本命题是假的。

（他正在说谎。

等）解①-④都是命题，①和③的真值为真，②真值是假，④不知真和假，但真值是可以确定的。

⑤⑥都不是命题。

⑦无法确定它的真值，当它假时，它便真；当它真时，它便假。

这种断言叫悖论。

2 命题的分类与表示•命题分为两类，第一类是原子命题，它是由再也不能分解成更为简单的语句构成的命题，称为原子命题。

用英文字母P，Q，R，…或带下标Pi，Qi，Ri，…表示之。

例如，用P表示武汉是一座美丽的城市，记为P：武汉是一座美丽的城市。

冒号：代表表示的意思•第二类是复合命题，它由原子命题、命题联结词和圆括号组成。

3 联结词1.3.1 否定联结词﹁P定义1.1.2设P表示一个命题，由命题联结词⎤和命题P连接成⎤P，称⎤P为P的否定式复合命题，⎤P读“非P”。

称⎤为否定联结词。

⎤P是真当且仅当P为假；否定联结词“⎤”的定义可由表1-1表示。

数理逻辑部分第1章命题逻辑命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。

简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧w)∨(v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么4.蕴涵式与蕴涵联结词“”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并规定，p q为假当且仅当p 为真q 为假.p q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p q. 称作等价联结词.并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),, , , ,同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：, , , , ，组成一个联结词集合{, , , , }，联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.命题常项命题变项命题公式及分类命题变项与合式公式命题常项：简单命题命题变项：真值不确定的陈述句定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1是合式公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B), (A B)也是合式公式(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=B, B是n层公式；(b) A=B C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层p 1层p q 2层(p q)r 3层((p q) r)(r s) 4层公式的赋值定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定一组真值称为对A的一个赋值或解释成真赋值: 使公式为真的赋值成假赋值: 使公式为假的赋值说明：赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1.A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值12…n是指p1=1, p2=2, …, p n=nA中仅出现p,q, r, …, 给A赋值123…是指p=1,q=2 , r= 3 …含n个变项的公式有2n个赋值.真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q p) q p的真值表例 B = (p q) q的真值表例C= (p q) r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q p)q p，B =(p q)q，C= (p q)r等值演算等值式定义若等价式A B是重言式，则称A与B等值，记作A B，并称A B是等值式说明：定义中，A,B,均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p q) ((p q) (r r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p(q r) (p q) rp(q r) (p q) r基本等值式双重否定律 : A A等幂律：A A A, A A A交换律: A B B A, A B B A结合律: (A B)C A(B C)(A B)C A(B C)分配律: A(B C)(A B)(A C)A(B C) (A B)(A C) 德·摩根律: (A B)A B(A B)A B吸收律: A(A B)A, A(A B)A零律: A11, A00同一律: A0A, A1A排中律: A A 1矛盾律: A A0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A B, 则(B)(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p(q r) (p q)r证p(q r)p(q r) （蕴涵等值式，置换规则）(p q)r（结合律，置换规则）(p q)r（德摩根律，置换规则）(p q) r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p(q r) (p q) r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q(p q)解q(p q)q(p q) （蕴涵等值式）q(p q) （德摩根律）p(q q) （交换律，结合律）p0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p q)(q p)解 (p q)(q p)(p q)(q p) （蕴涵等值式）(p q)(p q) （交换律）1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1(3) ((p q)(p q))r)解 ((p q)(p q))r)(p(q q))r（分配律）p1r（排中律）p r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A0A为重言式当且仅当A 1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) A(p1,p2,…,p n) A* (p1, p2,…, p n)(2) A(p1, p2,…, p n) A* (p1,p2,…,p n)定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A B，则A* B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, q, p q, p q r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, q, p q, p q r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单合取式合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单析取式范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p q r, p q r既是析取范式，又是合取范式(为什么)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的, （若存在）(2) 否定联结词的内移或消去(3) 使用分配律对分配（析取范式）对分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去）p q r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去第一个）(p q)r（消去第二个）(p q)r（否定号内移——德摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p q)r(p r)(q r) （对分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1i n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: m i M i , M i m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(p q r)(p q r) m1m3是主析取范式(p q r)(p q r) M1M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p q)r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p q)r(p q)r , （析取范式）① (p q)(p q)(r r)(p q r)(p q r)m 6m7,r(p p)(q q)r(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m 1m3m5m7③②, ③代入①并排序，得(p q)r m1m3m5m6m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p q)r(p r)(q r) , （合取范式）①p rp(q q)r(p q r)(p q r)M 0M2,②q r(p p)q r(p q r)(p q r)M 0M4③②, ③代入①并排序，得(p q)r M0M2M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p q)r m1m3m5m6m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式A的主析取范式含2n个极小项A的主合取范式为1.A为矛盾式A的主析取范式为0A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p q)(2) (s u)(3) ((q r)(q r))(4) ((r s)(r s))(5) (u(p q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p q)(s u)((q r)(q r))((r s)(r s))(u(p q))④ A (p q r s u)(p q r s u) 结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A (p q)((q r)(q r))(s u)(u(p q)) ((r s)(r s)) （交换律) B1= (p q)((q r)(q r))((p q r)(p q r)(q r)) （分配律）B2= (s u)(u(p q))((s u)(p q s)(p q u)) （分配律）B 1B2(p q r s u)(p q r s u) (q r s u)(p q r s)(p q r u)再令B3 = ((r s)(r s))得A B1B2B3(p q r s u)(p q r s u) 注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p r, r s结论：s q证明① s附加前提引入②p r前提引入③r s前提引入④p s②③假言三段论⑤p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。

命题的知识点总结命题是逻辑学中的一个重要概念，也是数学、哲学等学科中的重要内容之一。

了解命题的知识点对于理解逻辑思维和解决问题具有重要意义。

下面将总结命题的相关知识点，希望对广大读者有所帮助。

1. 命题的定义命题是陈述句，它要么为真，要么为假。

可以通过简单句子或复合句子来描述一个命题。

例如，“今天是星期一”、“2加2等于4”都是命题。

而“请把门关上”、“明天下雨”则不是命题，因为它们既不为真也不为假。

2. 命题的种类命题有简单命题和复合命题之分。

简单命题是不能再分解为更小的命题的命题，而复合命题是由两个或多个简单命题通过逻辑联结词构成的命题，例如“如果今天下雨，我就留在家里”就是一个复合命题。

3. 命题的逻辑联结词逻辑联结词是用来连接命题的词语，包括合取（与）、析取（或）、蕴涵（如果……就……）和等价（当且仅当）等。

这些逻辑联结词能够体现命题之间的逻辑关系，是理解命题逻辑结构的关键。

4. 命题的真值表真值表是用来表示命题的真假情况的表格，其中列出了所有可能的真值组合和对应的命题值。

通过真值表可以清晰地了解命题之间逻辑关系。

例如，“p与q”、“p或q”、“如果p，则q”等命题都可以通过真值表来分析。

5. 命题的充分条件和必要条件充分条件指的是当某命题为真时，另一命题也为真；必要条件指的是当另一命题为真时，某命题也一定为真。

这两个概念是理解命题蕴涵关系的基础。

6. 命题的等价关系如果两个命题所表示的意思完全相同，那么它们是等价的。

等价关系是逻辑推理中的重要内容，能够帮助我们简化逻辑问题的推导。

7. 命题的逻辑运算逻辑运算是指对命题进行逻辑操作，包括否定、合取、析取、蕴涵、等价等。

了解命题的逻辑运算规则对于进行逻辑推理和解决问题有着重要的意义。

8. 命题的推理通过对命题的逻辑运算，可以进行推理过程。

推理是通过某些已知的命题推导出新的命题，是解决问题的基本思维方法之一。

以上就是命题的一些基本知识点总结。

第二讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词基本知识：一、命题及其关系⏹命题的概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.⏹四种命题的相互关系，如右图所示.(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题的真假关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件⏹“若p则q”是真命题，即p q⇒；⇒/.“若p则q”是假命题，则p q⏹在判断命题真假的问题中，一方面可以直接写出命题进行判断，也可以通过命题的等价性进行判断，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价.否命题与命题的否定不同。

重点：充分条件与必要条件的判别步骤一：理清题干中的条件和结论如：A是B成立的××条件；其中A是条件，B是结论A成立的××条件是B；其中B是条件，A是结论步骤二：是的充要条件（1）充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q；（2）必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p.学前练习：1.已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”的否命题是 （A ）若a+b+c ≠3，则222a b c ++<3 （B ）若a+b+c=3，则222a b c ++<3 （C ）若a+b+c ≠3，则222a b c ++≥3 （D ）若222a b c ++≥3，则a+b+c=3 2命题P ：a ∈A ，则b ∈B ，那么命题┐P 是（ ）A 若 a ∈A 则b ∉B B 若a ∉A 则b ∉ BC 若 a ∉A 则b ∈BD 若b ∉ B 则a ∈A3设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）A 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4. 已知集合A ＝{x ∈R|12＜2x ＜8}，B ＝{x ∈R|－1＜x ＜m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是 (C )A .m ≥2 B.m ≤2 C .m ＞2 D.－2＜m ＜25.若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件例题讲解3、逻辑联结词与量词一．简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p 和命题q ，记作p ∧q ，读作“p 且q ”． (2)用联结词“或”联结命题p 和命题q ，记作p ∨q ，读作“p 或q ”． (3)对一个命题p 全盘否定记作綈p ，读作“非p ”或“p 的否定”． (4)命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断p ∧q 中p 、q 有一假为假，p ∨q 有一真为真，p 与非p 必定是一真一假．二、全称量词与存在量词：命题中的“对所有”、“任意一个”等短语叫做全称量词，用符号“∀”表示，“存在”、“至少有一个”等短语叫做存在量词，用符号“∃”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题，全称命题：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为,()x M p x ∀∈.含有存在量词的命题叫做特称命题，特称命题：“存在M 中任意一个x ，使()p x 成立”可用符号简记为,()x M p x ∃∈.练习： 1已知命题P ：n ∈N ，2 A ∀n ∈N ，2n ≤1000 B ．∀n ∈N ，2n ＞1000C ．∃n ∈N ，2n ≤1000D ．∃n ∈N ，2n ＜10002下列特称命题中，假命题是 ( )A .∃x ∈R ，x 2－2x －3＝0 B.至少有一个x ∈Z ，x 能被2和3整除 C.存在两个相交平面垂直于同一直线 D.∃x ∈{x |x 是无理数}，使x 2是有理数例题讲解例1．命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0，命题q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0，且P ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围.例2.设P ：关于x 的不等式1xa >的解集是{}0x x <，Q ：函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R，若“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围.。

高一数学逻辑联结词与四种命题通用版【本讲主要内容】逻辑联结词与四种命题含有“或”、“且”、“非”复合命题的概念及其构成形式；四种命题的关系，充分、必要条件。

【知识掌握】【知识点精析】1、命题：可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。

3、简单命题和复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。

简单命题是不含其他命题作为其组成部分（在结构上不能再分解成其他命题）的命题。

由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。

4、真值表：非或且真真假真真真假真假假真真真假假假假假为了正确判断复合命题的真假，首先应该确定复合命题的形式，然后指出其中简单命题的真假，再根据真值表判断这个复合命题的真假。

5、四种命题的形式：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。

一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。

把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。

一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。

把其中一个命题叫做原命题，另一个命题就叫做原命题的逆否命题。

原命题：若则；逆命题：若则；否命题：若则；逆否命题：若则。

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：①原命题为真，它的逆命题不一定为真；②原命题为真，它的否命题不一定为真；③原命题为真，它的逆否命题一定为真；④原命题的逆命题为真，原命题的否命题一定为真。

6、一般地，如果已知，那么我们就说是成立的充分条件；q是p成立的必要条件；如果既有，又有q p 那么我们就说是成立的充分必要条件。

【解题方法指导】例1. “已知、、、是实数，若，，则。

”写出上述命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假。

点拨：“已知，，，是实数”是大前提，写四种命题时应该保留。

命题与基本逻辑连接词知识讲解一、命题及其关系1.命题的定义定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫假命题．注意：并不是任何语句都是命题，只有能判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问句，祈使句，感叹句都不是命题，但是反义疑问句是命题．如：a．“这是一棵大树”；b．“2x<”；c．“三角函数是周期函数吗？”，“但愿每一个三次方程都有三个根”，“指数函数的图像真漂亮！”d．125>“”，“6=2”，“π”是无理数；e．“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和”（歌德巴赫猜想）；“在2010年前，将有人登上火星”2.命题的结构结构：数学中，具有“若p，则q”这种形式的命题是常见的，我们把这种命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论．3.命题的四种形式形式：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p⌝和q⌝来表示p和q的否定，⌝，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：如果p⌝．则q⌝；逆否命题：如果q⌝，则p注意：关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以如下表述：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题．如：同位角相等，两直线平行．它的逆命题就是：两条直线平行，同位角相等．(2) 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题如上例的否命题是：同位角不相等，两直线补平行．(3) 交换原命题的条件个结论，并同时否定，所得的命题是逆否命题．如上例：两条直线不平行，同位角不相等．4.四种命题的相互关系(1).四种命题以及它们之间的关系1).原命题为真，它的逆命题不一定为真；如：原命题“若0a=，则0ab=”是真命题，它的逆命题“若0a=”是假命题．ab=，则02) .原命题为真，它的否命题不一定为真；如：原命题“若0a=，则0ab=”是真命题，它的否命题“若0ab≠”是假命题．a≠，则03) .原命题为真，它的逆否命题一定为真；如：原命题“若0a=，则0ab=”是真命题，它的否命题“若0ab≠，则0a≠”是假命题．4) .互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，综上所述：在一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0个，要么是2个，要么是4个．四种情况：(2)四种命题它们之间的等价关系关系：互为逆否命题是互为等价命题（即真假相同），而其它的命题不是互为等价命题（即真假不一定相等）．这一等价性，可以从集合的角度来解释：设{}=，即使命题p为A x p x()真的对象所组成的集合，{}B=()x q x ，因此由p q ⇒可知A B ⊆， U U C A C B ∴⊆,即p q ⌝⌝⇒，反过来，若p q ⌝⌝⇒，即U U C A C B ⊆，∴A B ⊆，即p q ⇒5.命题的否定与否命题的区别(1) 若命题为“若p ，则q ”，则其命题的否定：“若p ，则q ⌝”，而其否命题是：“若p ⌝，则q ⌝”．(2) 常见的一些词语和它的否定词语对照表二、基本逻辑连接词1． “且”“或”“非”的概念(1) 且定义：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题，记作p q ∧，读作“p 且q ”．逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当．可以用“且”定义集合的交集：{|()()}A B x x A x B =∈∧∈． 判断命题p q ∧的真假:当p q 、都为真命题，p q ∧就为真命题；当p q 、两个命题中只要有一个命题为假命题，p q ∧ 就为假命题． (2) 或定义：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p 或q 联结起来，就得到一个新命题，记作p q ∨，读作“p 或q ”．逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”相当．可以用“或”定义集合的并集：{|()()}A B x x A x B =∈∨∈． 判断命题p q ∨的真假:当p q 、两个命题中，只要有一个命题为真命题时，p q ∨为真命题；当p q 、两个命题都为假命题，p q ∨为假命题 (3) 非定义：一般地，对命题p 加以否定，得到一个新的命题，记作p ⌝，读作“非p ”或“p 的否定”．逻辑联结词“非”（也称为“否定”）的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来．有()p p ⌝⌝=成立．可以用“非”来定义集合A 在全集U 中的补集：{|()}{|}U A x U x A x U x A =∈⌝∈=∈∉ð．判断p ⌝命题的真假： p ⌝和p 不能同真同假，其中一个为真，另一个必定为假．2.复合问题的真值表：三、量词1、全称量词定义：短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题的否定：全称命题 q ：x A ∀∈，()q x ；它的否定是 q ⌝：x A ∃∈，()q x ⌝．将全称量词变为存在量词，再否定它的性质．2、存在量词定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常用叫做参在量词，用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．存在性命题的否定：存在性命题 p ：x A ∃∈，()p x ；它的否定是 p ⌝：x A ∀∈，()p x ⌝． 将存在量词变为全称量词，再否定它的性质．3、全称命题与存在性命题不同的表达方法典型例题一．选择题（共9小题）1．（2018•马鞍山三模）命题p：若a＞b，则a﹣1＞b﹣1，则命题p的否命题为（）A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a≥b，则a﹣1＜b﹣1C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1【解答】解：根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q．否命题为：若┐p，则┐q．∵原命题为“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”∴否命题为：若a≤b，则a﹣1≤b﹣1故选：C．2．（2018•郑州二模）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣3x+2≤0”的否定是（）A．∀x∈[1，2]，x2﹣3x+2＞0 B．∀x∉[1，2]，x2﹣3x+2＞0C．，，＞ D．，，＞【解答】解：命题：“∀x∈[1，2]，x2﹣3x+2≤0的否定是，，＞，故选：C．3．（2018•河西区一模）命题p：“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+1≤0 B．x0∈R，使得x02+2x0+1≤0C．x0∈R，使得x02+2x0+1＞0 D．x0∈R，使得x02+2x0+1＜0【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题p：“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是“x0∈R，使得x02+2x0+1≤0”，故选：B．4．（2018•成都模拟）设有下面四个命题P1：若z满足z∈C，则z∈R；P2：若虚数a+bi（a∈R，b∈R）是方程x3+x2+x+1=0的根，则a﹣bi也是方程的根：P3：已知复数z1，z2则z1=的充要条件是z1z2∈R：P4；若复数z1＞z2，则z1，z2∈R．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：P1：若z满足z∈C，设z=a+bi，a，b∈R，则z=（a+bi）（a﹣bi）=a2﹣（bi）2=a2+b2∈R；故命题为真命题，P2：由x3+x2+x+1=0得x2（x+1）+x+1=（1+x2）（x+1）=0，则x=﹣1或x=±i，若虚数a+bi（a∈R，b∈R）是方程x3+x2+x+1=0的根，则a﹣bi也是方程的根正确：P3：已知复数z1，z2，则设z1==a+bi，a，b∈R，则z2=a﹣bi，a，b∈R，则z1z2=（a+bi）（a﹣bi）=a2﹣（bi）2=a2+b2∈R成立，即充分性成立，设z1=2i，z2=i，满足：z1z2=2i•i=﹣2∈R，但z1=不成立，即必要性不成立，故此命题为假命题．P4；若复数z1＞z2，则z1，z2∈R．正确．其中真命题的个数为3个，故选：C．5．（2017春•邹平县校级期中）已知命题p：x∈A∪B，则非p是（）A．x不属于A∩B B．x不属于A或x不属于BC．x不属于A且x不属于B D．x∈A∩B【解答】解：由x∈A∪B知x∈A或x∈B．非p是：x不属于A且x不属于B．故选：C．6．（2017春•历城区校级期中）命题“方程x2﹣4=0的解是x=±2”中，使用的逻辑联结词的情况是（）A．没有使用联结词 B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“非”【解答】解：x=±2是指x=2或x=﹣2．∴使用了使用了逻辑联结词“或”，故选：B．7．（2012秋•临夏市校级期末）命题：“方程X2﹣2=0的解是X=”中使用逻辑联系词的情况是（）A．没有使用逻辑连接词B．使用了逻辑连接词“且”C．使用了逻辑连接词“或”D．使用了逻辑连接词“非”【解答】解：命题：“方程X2﹣2=0的解是X=”可以化为：“方程X2﹣2=0的解是X=，或X=﹣”故命题：“方程X2﹣2=0的解是X=”中使用逻辑联系词为：或故选：C．8．（2010秋•景洪市校级期末）命题“方程x2=1的解是x=±1”中，使用逻辑词的情况是（）A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“或”与“且”【解答】解：命题的等价条件是方程x2=1的解是x=1或x=﹣1，使用了逻辑连接词“或”，故选：B．9．（2018•商丘三模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是（）A．AB1∥平面BDC1B．A1C⊥平面BDC1C．直三棱柱的体积V=4D．直三棱柱的外接球的表面积为4π【解答】解：取A1C1中点O，连接OB1，AO，∵D为AC的中点，∴四边形DAOC1为平行四边形，∴AO∥C1D，又四边形BDOB1为平行四边形，∴BD∥OB1，∴平面AOB1∥平面BDC1，AB1⊂平面AOB1，∴AB1∥平面BDC1．∵由三视图知A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，CB1⊥BC1∴BC1⊥平面A1B1C，∴BC1⊥A1C；∵由侧视图知△ABC为等腰直角三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC1A1，∴A1C⊥BD，又BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面BDC1．故B正确；由三视图知：直三棱柱的高为2，底面是直角边长为2的等边三角形，∴体积V=×2×2×2=4，∴C正确；由直三棱柱的结构特征知，直三棱柱为正方体的一半，∴外接球的半径R==，∴外接球的表面积S=4π×3=12π，∴D错误；故选：D．二．填空题（共5小题）10．（2017春•启东市期末）命题：∀x∈A，均有x∈B的否定是x∈A，则x ∉B．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，对于集合A，B，命题：“∀x∈A，则x∈B”的否定形式为：命题：“x∈A，则x ∉B”．故答案为：x∈A，则x∉B．11．（2017•南京一模）已知命题p：x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，1] ．【解答】解：若命题p：x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则判别式△=4﹣4a≥0，即a≤1，故答案为：（﹣∞，1]．12．（2016春•泰兴市校级期中）“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，则a的取值范围是a≥4．【解答】解：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，故a≥（x2）max=4在x∈[1，2]恒成立，则a的取值范围是a≥4，故答案为；a≥4．13．（2015•宿豫区校级模拟）若命题“x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是（﹣4，0）．【解答】解：命题“x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命题，它的否定命题是“∀x∈R，有x2﹣mx﹣m＞0”，是真命题，即m2+4m＜0；解得﹣4＜m＜0，∴m的取值范围是（﹣4，0）．故答案为：（﹣4，0）．14．（2013•江阴市校级模拟）命题“∀x∈R，有x2+1≥x”的否定是x∈R，使x2+1＜x．【解答】解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥x”∴命题“∀x∈R，有x2+1≥x”的否定是：x∈R，使x2+1＜x．故答案为：x∈R，使x2+1＜x．三．解答题（共3小题）15．（2017秋•林芝县校级期末）写出下列命题的否定．（1）命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”（2）命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”【解答】（本小题（10分），每小题5分）解：（1）特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定是所有三角形，内角和都等于180°．（2）全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是：x∈R，|x|+x2＜0．16．（2017秋•湖北期中）已知p：“实数m满足：（m﹣2a）（m﹣3a）＜0（a＞0）”；q：“实数m满足：方程表示双曲线”；若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：p真则2a＜m＜3a，q真则（m﹣1）（4﹣m）＜0，解得m＞4或m＜1，p是q的充分不必要条件，则p⇒q，而q不能推出p，或＜或的取值范围是，，17．判断下列命题的真假：（1）已知a，b，c，d∈R，若a≠c，或b≠d，则a+b≠c+d．（2）∀x∈N，x3＞x2（3）若m＞1，则方程x2﹣2x+m=0无实数根．（4）存在一个三角形没有外接圆．【解答】解：（1）为假命题，反例：1≠4，或5≠2，而1+5=4+2（2）为假命题，反例：x=0，x3＞x2不成立（3）为真命题，因为m＞1⇒△=4﹣4m＜0⇒无实数根（4）为假命题，因为每个三角形都有唯一的外接圆．。

1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单
命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。

3、“或”、“且”、“非”的真值判断
（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；
（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；
（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
4、四种命题的形式：
原命题：若P则q；逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p⇔q.
7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。