高三数学一轮复习 指数与指数函数(第2课时)教师导学案 新人教版

第二章函数导数及其应用第五节指数与指数函数1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的定义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型．◆教材通关◆1．根式的概念(1)na n＝⎩⎨⎧a，n为奇数，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a<0)，n为偶数；(2)(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．[必记结论]在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．3．指数函数的图象与性质[1．画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2．底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．3．底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x 轴有交点，向上(或向下)平移a 个单位后，图象都在直线y ＝a (或y ＝－a )的上方．[小题诊断]1．化简的结果是( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9解析：＝－1＝23－1＝7.答案：B2．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象关于( )A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：∵g (x )＝21－x ＝f (－x )，∴f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称． 答案：A3．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．c >a >b C ．a >b >cD ．b >a >c解析：因为a ＝22.5>1，b ＝2.50＝1，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5<1，所以a >b >c . 答案：C4．(2018·邯郸质检)已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是( )解析：由函数y ＝kx ＋a 的图象可得k <0,0<a <1，又因为与x 轴交点的横坐标大于1，所以k >－1，所以－1<k <0.函数y ＝a x ＋k 的图象可以看成把y ＝a x 的图象向右平移－k 个单位得到的，且函数y ＝a x ＋k 是减函数，故此函数与y 轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，应该选B.答案：B5．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m,3)，则f (0)＋f (－m )＝________. 解析：设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，∴f (0)＝a 0＝1. 且f (m )＝a m ＝3.∴f (0)＋f (－m )＝1＋a －m ＝1＋1a m ＝43.答案：436．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)， 所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a ＞1，解得0＜a ＜1. 答案：(0,1)◆ 易错通关 ◆1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.[小题纠偏]1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)． (1)n a n ＝(na )n ＝a .( )(2)分数指数幂a m n 可以理解为mn个a 相乘．( )( )答案：(1)× (2)× (3)×2．若函数y ＝(a －1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 答案：(1,2)考点一 指数幂的运算 自主探究 基础送分考点——自主练透[题组练通]1．求值：解析：原式＝＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.2．化简：解析：原式＝－54·1ab 3＝－5ab4ab 2.3．化简：解析：.指数幂运算的4个原则(1)有括号的先算括号里面的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.考点二 指数函数的图象及应用 互动探究 重点保分考点——师生共研[典例] (1)函数y ＝a x －1a(a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：(1)函数y ＝a x －1a 由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到，A 项显然错误；当a ＞1时，0＜1a ＜1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0＜a ＜1时，1a＞1，平移距离大于1，所以C 项错误．故选D. (2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．故b 的取值范围是[－1,1]．答案：(1)D (2)[－1,1]与指数函数有关的图象问题的求解方法1．已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．2．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到，特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．3．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.[即时应用]1．(2018·唐山模拟)当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x (a ＞0)的图象有交点，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎭⎫12，1∪(]1，2 C.⎣⎡⎦⎤14，2D.⎣⎡⎦⎤14，2解析：当a ＞1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12×22≥a 2，即1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，如图②所示，需满足12×12 ≤a 1，即12≤a ＜1，综上可知，a ∈⎣⎡⎭⎫12，1∪(]1，2.答案：B2．若函数y ＝|3x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________．解析：函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k 的取值范围是(－∞，0]．答案：(－∞，0]考点三指数函数的性质及应用多维探究题点多变考点——多角探明[锁定考向]高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)与指数函数有关的函数值域问题；(3)探究指数型函数的性质．角度一比较指数式的大小1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5＞1.73B．0.6－1＞0.62C．0.8－0.1＞1.250.2D．1.70.3＜0.93.1解析：A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5＜3，∴1.72.5＜1.73.B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1＜2，∴0.6－1＞0.62.C中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1＜0.2，∴1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2.D中，∵1.70.3＞1,0＜0.93.1＜1，∴1.70.3＞0.93.1.答案：B比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小.角度二 与指数函数有关的函数值域问题2．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．角度三 探究指数函数性质的问题3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.答案：B4．已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．解析：令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减，而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用.[即时应用]1．设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝⎛⎭⎫12－1.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：∵a ＝21.6，b ＝21.38，c ＝21.2，函数y ＝2x 在R 上单调递增，且1.2＜1.38＜1.6，∴21.2＜21.38＜21.6，即c ＜b ＜a .答案：A2．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1解析：根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，∴K ≥1，故选D.答案：D3．(2018·皖南八校联考)对于给定的函数f (x )＝a x －a －x (x ∈R ，a >0，a ≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________(只需写出所有真命题的编号)．①函数f (x )的图象关于原点对称； ②函数f (x )在R 上不具有单调性； ③函数f (|x |)的图象关于y 轴对称； ④当0<a <1时，函数f (|x |)的最大值是0； ⑤当a >1时，函数f (|x |)的最大值是0.解析：∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，f (x )的图象关于原点对称，①真；当a >1时，f (x )在R 上为增函数，当0<a <1时，f (x )在R 上为减函数，②假；y ＝f (|x |)是偶函数，其图象关于y 轴对称，③真；当0<a <1时，y ＝f (|x |)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x ＝0时，y ＝f (|x |)的最大值为0，④真；当a >1时，f (x )在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x ＝0时，y ＝f (x )的最小值为0，⑤假，综上，真命题是①③④.答案：①③④课时作业单独成册 对应学生用书第201页A 组——基础对点练1．函数f (x )＝2|x －1|的大致图象是( )解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜1，所以f (x )的图象在[1，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)上为减函数．答案：B2．(2018·广州市模拟)设a ＝0.70.4，b ＝0.40.7，c ＝0.40.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a解析：∵函数y ＝0.4x 在R 上单调递减，∴0.40.7＜0.40.4，即b ＜c ，∵y ＝x 0.4在(0，＋∞)上单调递增，∴0.40.4＜0.70.4，即c ＜a ，∴b ＜c ＜a .答案：C 3．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )解析：故选C.答案：C4．设x >0，且1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b解析：∵1<b x ，∴b 0<b x ，∵x >0，∴b >1，∵b x <a x ，∴⎝⎛⎭⎫a b x >1，∵x >0，∴ab >1⇒a >b ，∴1<b <a .故选C. 答案：C5．已知函数f (x )＝a x ，其中a >0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2解析：∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A. 答案：A6．已知则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析：∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x 为减函数，35>25，∴b <c . 又∵y ＝在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a ，故选D. 答案：D7．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )解析：由函数f (x )的图象可知，－1<b <0，a >1，则g (x )＝a x ＋b 为增函数，当x ＝0时，g (0)＝1＋b >0，故选C.答案：C8．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为{x |x ＜－1或x ＞12}，则f (10x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2}B ．{x |－1＜x ＜－lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}解析：因为一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－1或x ＞12，所以可设f (x )＝a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －12(a ＜0)，由f (10x )＞0可得(10x ＋1)·⎝⎛⎭⎫10x －12＜0，即10x ＜12，x ＜－lg 2，故选D. 答案：D9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2的值域为( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， 又y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上为减函数， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2≥⎝⎛⎭⎫121＝12， 即值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：A10．(2018·哈尔滨模拟)函数f (x )＝e 2x ＋1e x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称 解析：f (x )＝e 2x ＋1e x ＝e x ＋1e x ，∵f (－x )＝e －x ＋1e －x ＝e x ＋1e x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，∴函数f (x )的图象关于y 轴对称．答案：D11．(2018·北京丰台模拟)已知奇函数y ＝{ f (x )，x ＞0，g (x )，x <0.如果f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝( )A.⎝⎛⎭⎫12－x B ．－⎝⎛⎭⎫12xC ．2－xD ．－2x解析：由题图知f (1)＝12，∴a ＝12，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ， 由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝⎛⎭⎫12－x ＝－2x ，故选D. 答案：D12．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a 5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为________． 解析：由题意，得x ＜0，所以0＜⎝⎛⎭⎫32x ＜1， 从而0＜2＋3a 5－a ＜1，解得－23＜a ＜34.答案：⎝⎛⎭⎫－23，34 13．不等式2x 2－x ＜4的解集为________．解析：不等式2x 2－x ＜4可转化为2x 2－x ＜22，利用指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2－x ＜2，解得－1＜x ＜2，故所求解集为{x |－1＜x ＜2}．答案：{x |－1＜x ＜2}14．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．解析：设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0＜t ≤1，f (t )＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，14.∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－14，0.故函数的值域为⎣⎡⎦⎤－14，14.答案：⎣⎡⎦⎤－14，14 B 组——能力提升练1．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫23 B ．f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫32 D ．f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫13解析：∵函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )，∴f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫2－13＝f ⎝⎛⎭⎫53，f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫2－23＝f ⎝⎛⎭⎫43，又∵x ≥1时，f (x )＝3x －1为单调递增函数，且43＜32＜53，∴f ⎝⎛⎭⎫43＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫53， 即f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13.选B. 答案：B2．已知实数a ，b 满足等式2 017a ＝2 018b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：设2 017a ＝2 018b ＝t ，如图所示，由函数图象，可得若t >1，则有a >b >0；若t ＝1，则有a ＝b ＝0；若0<t <1，则有a <b <0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．答案：B3．(2018·莱西一中模拟)函数y ＝a x －a －1(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误，故选D.答案：D4．(2018·日照模拟)若x ∈(2,4)，a ＝2x 2，b ＝(2x )2，c ＝22x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >a >c解析：∵b ＝(2x )2＝22x ，∴要比较a ，b ，c 的大小，只要比较当x ∈(2,4)时x 2,2x,2x 的大小即可．用特殊值法，取x ＝3，容易知x 2>2x >2x ，则a >c >b .答案：B5．已知a ＞0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x .当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) B ．⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,2] C.⎝⎛⎦⎤0，14∪[4，＋∞) D ．⎣⎡⎭⎫14，1∪(1,4]解析：当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，即a x ＞x 2－12在(－1,1)上恒成立，令g (x )＝a x ，m (x )＝x 2－12，当0＜a ＜1时，g (1)≥m (1)，即a ≥1－12＝12，此时12≤a ＜1；当a ＞1时，g (－1)≥m (1)，即a －1≥1－12＝12，此时1＜a ≤2.综上，12≤a ＜1或1＜a ≤2.故选B.答案：B6．(2018·菏泽模拟)若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：∵f (x )＝1＋2·2x2x ＋1＋sin x＝1＋2·2x ＋1－12x ＋1＋sin x＝2＋1－22x ＋1＋sin x＝2＋2x －12x ＋1＋sin x .记g (x )＝2x －12x ＋1＋sin x ，则f (x )＝g (x )＋2，易知g (x )为奇函数，则g (x )在[－k ，k ]上的最大值与最小值互为相反数，∴m ＋n ＝4. 答案：D7．若x log 52≥－1，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．－1D ．0解析：∵x log 52≥－1，∴2x ≥15，则f (x )＝4x －2x ＋1－3＝(2x )2－2×2x －3＝(2x －1)2－4.当2x ＝1时，f (x )取得最小值－4.答案：A8．若x ＞1，y ＞0，x y ＋x －y ＝22，则x y －x －y 的值为( )A. 6 B ．－2 C ．2D ．2或－2解析：∵x ＞1，y ＞0，∴x y ＞1,0＜x －y ＜1，则x y －x －y ＞0.∵x y ＋x －y ＝22，∴x 2y ＋2x y ·x －y ＋x －2y ＝8，即x 2y ＋x －2y ＝6，∴(x y －x －y )2＝4，从而x y －x－y ＝2，故选C.答案：C9．已知实数a ，b 满足12＞⎝⎛⎭⎫12a ＞⎝⎛⎭⎫22b ＞14，则( )A ．b ＜2b －aB ．b ＞2b －aC ．a ＜b －aD ．a ＞b －a解析：由12＞⎝⎛⎭⎫12a，得a ＞1；由⎝⎛⎭⎫12a ＞⎝⎛⎭⎫22b ，得⎝⎛⎭⎫222a ＞⎝⎛⎭⎫22b ，进而2a ＜b ； 由⎝⎛⎭⎫22b ＞14，得⎝⎛⎭⎫22b ＞⎝⎛⎭⎫224，进而b ＜4. ∴1＜a ＜2,2＜b ＜4. 取a ＝32，b ＝72，得b －a ＝72－32＝2，有a ＞b －a ，排除C ；b ＞2b －a ，排除A ；取a ＝1110，b ＝3910，得b －a ＝3910－1110＝145，有a ＜b －a ，排除D.故选B.答案：B10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·，m ，n 为实数，则下列结论中正确的是( )A ．若－3≤m ＜n ，则f (m )＜f (n )B ．若m ＜n ≤0，则f (m )＜f (n )C ．若f (m )＜f (n )，则m 2＜n 2D ．若f (m )＜f (n )，则m 3＜n 3解析：∵f (x )的定义域为R ，其定义域关于原点对称，f (－x )＝＝＝f (x )，∴函数f (x )是一个偶函数，又x ＞0时，2x －12x 与是增函数，且函数值为正，∴函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·在(0，＋∞)上是一个增函数，由偶函数的性质知，函数f (x )在(－∞，0)上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值越小，函数值就越小，反之也成立．对于选项A ，无法判断m ，n 离原点的远近，故A 错误；对于选项B ，|m |＞|n |，∴f (m )＞f (n )，故B 错误；对于选项C ，由f (m )＜f (n )，一定可得出m 2＜n 2，故C 是正确的；对于选项D ，由f (m )＜f (n )，可得出|m |＜|n |，但不能得出m 3＜n 3，故D 错误．综上可知，选C.答案：C11．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13C.12D ．1解析：由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e －(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e －1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C.答案：C12．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．解析：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )关于直线x ＝1对称，所以a ＝1，所以函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示，因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1.答案：113．(2018·眉山模拟)已知定义在R 上的函数g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |，则满足g (2x －1)＜g (3)的x 的取值范围是________．解析：∵g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |，∴g (－x )＝2x ＋2－x ＋|－x |,2x ＋2－x ＋|x |＝g (x )，则函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝2x ＋2－x ＋x ，则g ′(x )＝(2x －2－x )·ln 2＋1＞0，则函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，而不等式g (2x －1)＜g (3)等价于g (|2x －1|)＜g (3)，∴|2x －1|＜3，即－3＜2x －1＜3，解得－1＜x ＜2，即x 的取值范围是(－1,2)．答案：(－1,2)14．(2018·信阳质检)若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x ＜1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x ＜1可变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2，设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则原条件等价于不等式m 2－m ＜t ＋t 2在t ≥2时恒成立，显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m ＜6，解得－2＜m ＜3.答案：(－2,3)。

2019-2020年高三数学一轮复习讲义指数与指数函数教案新人教A版高考要求：（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

重点难点：对分数指数幂含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质；指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题．知识梳理1．根式的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a ( n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做__a的n次方根___，其中n>1且n∈N*.式子na叫做__根式__，这里n叫做_根指数__，a叫做__被开方数______．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a 的n次方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________(a>0)．负数没有偶次方根______(_____(0)||(_____(0)naa na⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪<⎩⎩为奇数）为偶数）;__________（须使有意义）.④零的任何次方根都是零．2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：N*).n个②零指数幂：③负整数指数幂： Q a≠0，).④正分数指数幂：a=（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.⑤负分数指数幂：=（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂___无意义_____.(2)有理指数幂的运算性质①a r a s＝________(a>0，r，s∈Q)．②(a r)s＝________(a>0，r，s∈Q)．③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．（注）上述性质对r、R均适用。

2.5 指数与指数函数考纲要求1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象．4．体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式(1)根式的概念(2)两个重要公式①na n ＝⎩⎨⎧n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧，a ≥0， ，a <0n 为偶数；②(na )n＝______(n ＞1且n ∈N *)(注意a 必须使na 有意义)．2．实数指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂的意义是m na ＝______(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．②正数的负分数指数幂的意义是m na-＝______＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．③0的正分数指数幂是____，0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 ①a r a s＝____(a ＞0，r ，s ∈Q )；②(a r )s＝____(a ＞0，r ，s ∈Q )；③(ab )r＝____(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． (3)无理指数幂一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个____的实数，有理指数幂的运算法则__________________于无理指数幂．3．指数函数的图象和性质函数 y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)图象0＜a ＜1 a ＞1图象特征在x 轴______，过定点________当x 逐渐增大时，图象逐渐下降 当x 逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域 __________ 值域 __________单调性 在R 上__________ 在R 上__________函数值变化规律当x ＝0时，__________当x ＜0时，__________； 当x ＞0时，__________ 当x ＜0时，__________； 当x ＞0时，__________1．化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)得( )．A ．2x 2yB ．2xyC ．4x 2yD ．－2x 2y2．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有( )． A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ＞0且a ≠13．把函数y ＝f (x )的图象向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y ＝2x的图象，则( )．A ．f (x )＝2x ＋2＋2B ．f (x )＝2x ＋2－2C ．f (x )＝2x －2＋2D ．f (x )＝2x －2－24．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)图象的大致形状是( )．5．函数f (x )＝323x x a+-＋m (a ＞1)恒过点(1,10)，则m ＝__________.一、指数式与根式的计算【例1】 计算下列各式的值．(1)23278-⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12(0.002)-－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)15＋2－(3－1)0－9－45；(3)3322111143342()a b ab a b a b-(a ＞0，b ＞0)．方法提炼指数幂的化简与求值(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．请做演练巩固提升4二、指数函数的图象与性质的应用【例2－1】在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象之间的关系是( )．A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称【例2－2】已知函数f (x )＝24313ax x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．【例2－3】 k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？ 方法提炼1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系及规律如下：图中直线x ＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1＞d 1＞1＞a 1＞b 1，∴c ＞d ＞1＞a ＞b ，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤： (1)求复合函数的定义域；(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性；(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．4．函数y ＝a f (x )的值域的求解，先确定f (x )的值域，再根据指数函数的单调性确定y ＝a f (x )的值域．请做演练巩固提升2三、指数函数的综合应用 【例3】已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a ＞0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 方法提炼1．利用指数函数的性质解决相关的综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．2．解决恒成立问题，一般需通过分离变量，通过转化为求函数的最值来实现． 请做演练巩固提升5忽略0＜a ＜1或弄错x 的范围而致误【典例】(12分)已知函数y ＝b ＋22x xa+(a ，b 是常数且a ＞0，a ≠1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0上有y max ＝3，y min ＝52，试求a ，b 的值．分析：先确定t ＝x 2＋2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0上的值域，再分a ＞1，0＜a ＜1两种情况讨论，构建关于a ，b 的方程组求解．规范解答：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0， ∴t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，值域为[－1,0]，即t ∈[－1,0]．(2分)(1)若a ＞1，函数y ＝a t在[－1,0]上为增函数，∴a t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1，则b ＋22x x a +∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1a，b ＋1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(7分)(2)若0＜a ＜1，函数y ＝a t在[－1,0]上为减函数，∴a t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a ，则b ＋22x xa +∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1，b ＋1a ，(9分)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.综上，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.(12分)答题指导：1．在解答本题时，有两大误区：(1)误将x 的范围当成x 2＋2x 的范围，从而造成失误．(2)误认为a ＞1，只按第(1)种情况求解，而忽略了0＜a ＜1的情况，从而造成失误． 2．利用指数函数的图象、性质解决有关问题时，还有以下几个误区，在备考中要高度关注：(1)忽视函数的定义域而失误；(2)未能将讨论的结果进行整合而失误； (3)利用幂的运算性质化简指数式时失误； (4)在用换元法时忽视中间元的范围而失误．1．(2012天津高考)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a2．在同一个坐标系中画出函数y ＝a x，y ＝sin ax 的部分图象，其中a ＞0且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )．3．类比“两角和与差的正、余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S (x )＝a x －a －x2，C (x )＝a x ＋a －x2，其中a ＞0且a ≠1，下面正确的运算公式是( )． ①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )； ②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )； ③C (x －y )＝C (x )C (y )－S (x )S (y )； ④C (x ＋y )＝C (x )C (y )＋S (x )S (y )．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①②③④4．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷12100-＝__________.5．若函数y ＝a ·2x －1－a2x－1为奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数的定义域； (3)讨论函数的单调性．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)x n＝a 正数 负数 两个 相反数 (2)①a a －a ②a2．(1)①na m②1m na③0 (2)①ar ＋s②a rs③a r b r(3)确定 同样适用 3．上方 (0,1) R (0，＋∞) 递减递增 y ＝1 y ＞1 0＜y ＜1 0＜y ＜1 y ＞1 基础自测1．D 解析：416x 8y 4＝(16x 8y 4)14＝[24·(－x )8·(－y )4]14＝1442⨯·184()x ⨯-·144()y ⨯-＝2(－x )2(－y )＝－2x 2y .2．C 解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a >0且a ≠1.∴a ＝2.3．C 解析：因为将函数y ＝2x 的图象向上平移2个单位长度得到函数y ＝2x＋2的图象，再向右平移2个单位长度得到函数y ＝2x －2＋2的图象，所以，函数f (x )的解析式为f (x )＝2x －2＋2.4．D 解析：当x ＞0时，y ＝a x ；当x ＜0时，y ＝－a x.故选D. 5．9 解析：f (x )＝223x x a +-＋m 在x 2＋2x －3＝0时过定点(1,1＋m )或(－3,1＋m )，∴1＋m ＝10，解得m ＝9. 考点探究突破【例1】 解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝5－2－1－（5－2）2＝(5－2)－1－(5－2)＝－1. (3)原式＝12323311233()a b a b ab a b-＝3111111226333ab +-++--＝ab －1.【例2－1】A 解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2－x，∴它与函数y ＝2x的图象关于y 轴对称．【例2－2】解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝24313x x --+⎛⎫ ⎪⎝⎭，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )在R 上单调递减．所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )． 由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.【例2－3】解：函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＜0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0＜k ＜1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解． 【例3】解：(1)函数定义域为R ，关于原点对称．又∵f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(2)当a ＞1时，a 2－1＞0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x为增函数， ∴f (x )为增函数．当0＜a ＜1时，a 2－1＜0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x为减函数，∴f (x )为增函数．故当a ＞0且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， ∴f (x )在区间[－1,1]上为增函数． ∴f (－1)≤f (x )≤f (1)．∴f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a －1－a ) ＝aa 2－1·1－a2a＝－1. ∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]． 演练巩固提升1．A 解析：a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，∵21.2＞20.8＞1，∴a ＞b ＞1，c ＝2log 52＝log 54＜1.∴c ＜b ＜a .2．D 解析：若a ＞1，则y ＝ax 是增函数，且y ＝sin ax 的周期T ＝2πa＜2π；若0＜a ＜1，则y ＝ax 是减函数，且y ＝sin ax 的周期T ＝2πa＞2π.3．A 解析：∵S (x ＋y )＝a x ＋y －a －(x ＋y )2，S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝a x －a －x 2·a y ＋a －y2＋a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＝a x ＋y ＋a x －y －a y －x －a －(x ＋y )4＋a x ＋y －a x －y ＋a y －x －a －(x ＋y )4＝2a x ＋y －2a －(x ＋y )4＝a x ＋y －a －(x ＋y )2＝S (x ＋y )，故①正确；同理可知③也正确．故选A. 4．－20 解析：(lg 14－lg 25)÷12100-＝lg(14×125)÷121100＝lg 1100÷1100＝lg 10－2×100＝－2×10＝－20.5．解：∵函数y ＝a ·2x －1－a2x－1， ∴y ＝a －12x －1.(1)由奇函数的定义， 可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x －1＋a －12x －1＝0，∴2a ＋1－2x1－2x ＝0，∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x－1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则y 1－y 2＝2121x -－1121x - ＝122122(21)(21)x x x x ---. ∵0＜x 1＜x 2， ∴1＜12x＜22x.∴12x－22x＜0,12x－1＞0,22x－1＞0.∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－12－12x －1在(0，＋∞)上单调递增．同样可以得出y ＝－12－12x －1在(－∞，0)上单调递增．。

3．4指数与指数函数（第2课时）一、学习目标：1．掌握指数函数的概念、图象和性质；2．能利用指数函数的性质解题．3.指数型复合函数的问题研究。

二、自主学习：1. 函数y =（21）222+-x x 的递增区间是(,1]-∞ ，最大值为12 2.已知01a <<，且10,x y >>>则下列不等式中正确的是（ B ）A. x y a a >B. a a x y >C. x aa x > D. a y y a <3. 满足条件m 2m ＞（m m ）2的正数m 的取值范围是：m ＞2或0＜m ＜1 解析：∵m ＞0，∴当m ＞1时，有m 2＞2m ，即m ＞2；当0＜m ＜1时，有m 2＜2m ，即0＜m ＜1.综上所述，m ＞2或0＜m ＜1.答案：4. 已知函数3234+⋅-=x x y 的值域为[]7,1，则x 的范围是 （ D ）A.[]4,2B.)0,(-∞C.[]4,2)1,0(⋃D.(][]2,10,⋃∞- 三、合作探究例1．见《优化设计》例4 P23 ：11()()4()542x x g x =-++已知，求该函数的定义域、值域、和单调区间。

例2（《优化设计》例5 P23）：已知函数2()()(0a 1)1x x a f x a a a a -=->≠-且 （1）判断()f x 的单调性 （2）判断()f x 奇偶性；（3）当(1,1)x ∈-时，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围；变式训练：（1）要使函数124x x y a =++在(,1]x ∈-∞上0y >恒成立，求a 的取值范围。

答案：见《优化设计》教师用书40页（2）《优化设计》P24已知函数1()(01)1x x a f x a a a -=>≠+且（1）求函数()f x 值域 （2）判断()f x 奇偶性； （3）判断()f x 的单调性 答案：见《优化设计教师用书》P40四、要点整合：1.与指数函数有关的复合函数性质问题：（1）型如：“()f x y a =”定义域与f(x)定义域相同，值域问题可先确定f(x)的值域，再根据指数函数的单调性，可确定。

第六讲 指数与指数函数知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念根式的概念符号表示备注 如果__x n ＝a __，那么x 叫做a 的n 次方根 n >1且n ∈N * 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个__正数__，负数的n 次方根是一个__负数__ n a零的n 次方根是零当n 为偶数时，正数的n 次方根有__两个__，它们互为__相反数__ ±na负数没有偶次方根①n a n＝⎩⎨⎧__a __，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧__a __(a ≥0)，__－a __(a <0)，n 为偶数.②(n a )n ＝__a __(注意a 必须使na 有意义)． 2．分数指数幂(1)正数的正分数指数幂是a mn ＝na m __(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a －mn ＝1n am (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．(3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3．有理指数幂的运算性质(1)a r ·a s ＝__a r ＋s __(a ＞0，r 、s ∈Q )； (2)(a r )s ＝__a rs __(a ＞0，r 、s ∈Q )； (3)(ab )r ＝__a r b r __(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 知识点二 指数函数图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)叫指数函数底数a >1 0<a <1图象性质函数的定义域为R ，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，恒有y >1；当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1；当x <0时，恒有y >1函数在定义域R 上为增函数函数在定义域R 上为减函数归纳拓展1．画指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a )，(0,1)．2．底数a 的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”．3．f (x )＝a x 与g (x )＝(1a)x (a >0且a ≠1)的图象关于y 轴对称．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a (a ∈N *)．( × ) (2)a －m n ＝－a mn (n ，m ∈N *)．( × )(3)函数y ＝3·2x ，与y ＝2x＋1都不是指数函数．( √ )(4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × ) (5)函数y ＝2－x 在R 上为单调增函数．( × )[解析] (1)n 为奇数时正确，n 为偶数时不一定正确；(2)不正确，a －mn ＝1a m n；(3)y ＝2x ×2与y ＝3×2x 都不是指数函数；(4)当a >1时m <n ，当0<a <1时m >n ；(5)y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数．题组二 走进教材2．(必修1P 59AT2改编)设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( C )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a 32[解析] 由题意得a 2a ·3a 2＝a 2－12 －13 ＝a 76 ，故选C ．3．(必修1P 60BT2改编)已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( B ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11[解析] f (2a )＝22a ＋2－2a ＝(2a ＋2－a )2－2＝[f (a )]2－2＝7.故选B ．4．(必修1P 82AT10改编)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，12，则f (－1)＝[解析] a 2＝12，∴a ＝22，f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1＝ 2.题组三 走向高考5．(2020·全国Ⅰ，8)设a log 34＝2，则4－a ＝( B ) A ．116B ．19C ．18D ．16[解析] 本题考查对数的运算和指数、对数的互化公式．因为a log 34＝log 34a ＝2，所以4a＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B ．另：a log 34＝2⇒log 34＝2a ，∴32a ＝4，∴4－a ＝⎝⎛⎭⎫32a －a ＝19. 6．(2017·北京，5分)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )( A ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数[解析] 因为f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－⎣⎡⎦⎤3x －⎝⎛⎭⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x在R 上是增函数，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数，故选A ．7．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243 ，b ＝425 ，c ＝2513 ，则( A ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b[解析] 因为a ＝243 ＝1613 ，b ＝425 ＝1615 ，c ＝2513 ，且幂函数y ＝x 13 在R 上单调递增，指数函数y ＝16x 在R 上单调递增，所以b <a <c .考点突破·互动探究考点一 指数与指数运算——自主练透例1 (1)下列命题中正确的是( B ) A ．na n ＝aB ．a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1C ．3x 4＋y 3＝x43 ·y D ．3－5＝6(－5)2(2)计算23×31.5×612＝__6__.(3)化简：(14)－12 ·(4ab －1)3(110)－1·(a 3·b －3)12 ＝__85__.(4)已知a 12 ＋a －12 ＝3，求下列各式的值． ①a ＋a －1；②a 2＋a －2；③a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1. [解析] (1)若n 是奇数，则na n＝a ；若n 是偶数，则na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，所以A 错误；因为a 2－a ＋1恒不为0，所以(a 2－a ＋1)0有意义且等于1，所以B 正确；3x 4＋y 3不能化简为x 43 ·y ，所以C 错误；因为3－5<0，6(－5)2>0，所以3－5≠6(－5)2，所以D 错误．故选B ．(2)原式＝2×312 ×⎝⎛⎭⎫3213 ×1216 ＝2×312 ×313 ×2－13 ×316 ×213 ＝2×312 ＋13 ＋16 ×2－13 ＋13 ＝6.(3)原式＝2×23·a32 ·b －32 10·a 32 ·b －32＝21＋3×10－1＝85.故填85.(4)①将a 12 ＋a －12 ＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7. ②将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，所以a 2＋a －2＝47. ③由①②可得a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1＝47＋17＋1＝6.名师点拨指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．考点二 指数函数图象与性质考向1 指数函数的图象及应用——师生共研例2 (1)(2021·秦皇岛模拟)函数f (x )＝21－x 的大致图象为( A )(2)(2021·湖北黄冈质检)函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与y ＝x b 的图象如图，则下列不等式一定成立的是( D )A ．b a >0B ．a ＋b >0C ．ab >1D ．log a 2>b(3)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是__[－1,1]__.[分析] (1)将函数化为f (x )＝2×⎝⎛⎭⎫12x 的形式，根据函数的性质及过定点，并结合选项判断； (2)由图确定a 、b 的范围求解；(3)分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，数形结合求解．[解析] (1)解法一：函数f (x )＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x ，单调递减且过点(0,2)，选项A 中的图象符合要求．解法二：(采用平移法)因为函数f (x )＝21－x ＝2－(x －1)，所以先画出函数y ＝2－x 的图象，再将y ＝2－x 图象的所有点的横坐标向右平移1个单位，只有选项A 符合．(2)由图可知，y ＝a x 单调递增，则a >1；y ＝x b 单调递减，则b <0， A ：b a >0不一定成立，如a ＝3，b ＝－1； B ：a ＋b >0不一定成立，如a ＝2，b ＝－3； C ：ab >1不成立，ab <0；故选D ．(3)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．[引申](1)f (x )＝a 1－x ＋3的图象过定点__(1,4)__.(2)(理)若将本例(3)中“|y |＝2x ＋1”改为“y ＝|2x －1|”，且与直线y ＝b 有两个公共点，b的取值范围是__(0,1)__.(3)(理)若将本例(3)改为：函数y ＝|2x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围是__(－∞，0]__.[解析] (1)当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝a 1－x ＋3过定点(1,4)．(2)(理)曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．(3)(理)因为函数y ＝|2x －1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k ≤0，即k 的取值范围为(－∞，0]．名师点拨指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，(－1，1a )．由函数解析式判断其图象一般取特殊点验证，从而作出判断．(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． 〔变式训练1〕(1)函数y ＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( D )(2)已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝(13)b，下列关系式中不可能成立的是( D ) A ．0<b <a B ．a <b <0 C ．a ＝bD ．b <0<a(3)若方程3|x |－1＝m 有两个不同实根，求m 的取值范围．[解析] (1)当a >1时，函数单调递增，且函数的图象恒过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a . 因为0<1－1a<1，所以A 、B 均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数的图象恒过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a ， 因为1－1a<0，所以选D ．(2)在同一坐标系内，作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x和y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象(如图)．如图：a >b >0时，⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b可能成立． a <b <0时，⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 可能成立． 当a ＝b ＝0时，⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b . 当a >0>b 时，⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫13b .综上可知：A 、B 、C 可能成立，D 不可能成立．故选D ．(3)作出函数y ＝3|x |－1与y ＝m 的图象如图所示，数形结合可得m >0.考向2 指数函数的性质及其应用——多维探究 角度1 比较指数幂的大小例3 已知a ＝⎝⎛⎭⎫1223 ，b ＝2－43 ，c ＝⎝⎛⎭⎫1213 ，则下列关系式中正确的是( B ) A ．c <a <b B ．b <a <c C ．a <c <bD ．a <b <c[解析] 把b 化简为b ＝⎝⎛⎭⎫1243 ，而函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上为减函数，43>23>13，所以⎝⎛⎭⎫1243 <⎝⎛⎭⎫1223 <⎝⎛⎭⎫1213 ，即b <a <c .角度2 利用指数函数的性质求解简单指数方程、不等式例4 (1)已知实数m ≠2，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≥0，9m －x ，x <0，若f (2－m )＝f (m －2)，则m 的值为__－3__.(2)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为__{x |x >4或x <0}__. [解析] (1)当m <2时，32－m －1＝9m －m ＋2，即3－m ＋1＝34，解得m ＝－3； 当m >2时，9m －(2－m )＝3m －2－1，即34m －4＝3m －3，解得m ＝13(舍)，故m ＝－3.(2)∵f (x )为偶函数，f (x )在[0，＋∞)上递增， 且f (2)＝0，∴|x －2|>2，解得x >4或x <0. 角度3 与指数函数有关的复合函数问题例 5 若函数f (x )＝a |2x－4|(a >0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( B )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2][解析] 由f (1)＝19得a 2＝19，又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. ∵y ＝⎝⎛⎭⎫13t 为减函数，∴f (x )的减区间为t ＝|2x －4|的递增区间[2，＋∞)， 所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．名师点拨(1)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性．要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．(3)解指数方程的方法①同底法：把方程化为a f (x )＝a g (x )的情形，然后得出f (x )＝g (x )． ②化为a x ＝b ，利用对数定义求解x ＝log a b .③把方程化为f (a x )＝0的情形，然后换元，即设a x ＝t ，然后解方程f (t )＝0，注意只要t >0的解．(4)解指数不等式的方法同底法：把方程化为a f (x )>a g (x )的情形，根据函数单调性建立f (x )和g (x )的不等式． 〔变式训练2〕(1)(角度1)下列各式比较大小不正确的是( D ) A ．1.72.5<1.73 B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1<1.250.2D ．1.70.3<0.93.1(2)(角度2)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为__12__(3)(角度3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是__(－3,1)__.(4)(角度3)已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是__(－∞，4]__.[解析] (1)对于A 、B 显然正确；对于C,0.8－0.1＝1.250.1，显然正确；对于D,1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，∴D 不正确，故选D ．(2)当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.(3)若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综合可得－3<a <1.(4)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．名师讲坛·素养提升指数函数中的分类与整合思想例6 已知函数f (x )＝a x2＋2x ＋b(a ，b 是常数且a >0，a ≠1)在区间⎣⎡⎦⎤－32，0上有最大值3和最小值52，试求a ，b 的值．[分析] 本题易出现的错误有两个，一个是二次函数t ＝x 2＋2x 在区间⎣⎡⎦⎤－32，0上的范围求错，直接将端点值代入，二是不分类讨论，直接认为f (x )是单调递增函数．[解析] 设t ＝x 2＋2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－32，0， 由图象得t ∈[－1,0]．①当a >1时，f (t )＝a t ＋b 在[－1,0]上为增函数，值域为⎣⎡⎦⎤1a ＋b ，1＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＋b ＝52，1＋b ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2. ②当0<a <1时，f (t )＝a t ＋b 在[－1,0]上为减函数，值域为⎣⎡⎦⎤1＋b ，1a ＋b ， ∴⎩⎨⎧ 1＋b ＝52，1a ＋b ＝3解得⎩⎨⎧ a ＝23b ＝32.综上所述，a ＝2，b ＝2或a ＝23，b ＝32.名师点拨分类与整合就是所给变量不能进行统一研究时，要分类研究，再整合得到的结论．指数函数的单调性与底数的取值有关，如果底数是字母时，常分情况讨论．解指数函数综合问题的两个注意点：(1)指数函数的底数不确定时，应分a >1和0<a <1两种情况讨论．(2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意新元的取值范围．〔变式训练3〕设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值．[解析] 设a x ＝t ，则a 2x ＝t 2，①当a >1时，t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，y ＝t 2＋2t －1，在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上为增函数， 当t ＝a 时，取得最大值，a 2＋2a －1，所以a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍)；②当0<a <1时，t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，y ＝t 2＋2t －1，在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数， 当t ＝1a时，取得最大值，⎝⎛⎭⎫1a 2＋2a －1， 所以⎝⎛⎭⎫1a 2＋2a －1＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍)． 综上所述，a ＝3或13.。

一．课题：指数函数（2）二．教学目标：1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域；3.掌握比较同底数幂大小的方法；4. 培养学生数学应用意识。

三．教学重点，难点：指数函数性质的运用四．教学过程：（一）复习：（提问）1．指数函数的概念、图象、性质2．练习：（1）说明函数34x y --=图象与函数4xy -=图象的关系； （2）将函数21()3x y =图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是 ；（3）画出函数1()2xy =的草图。

（二）新课讲解：例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。

分析：通过恰当假设，将剩留量y 表示成经过年数x 的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。

解：设这种物质量初的质量是1，经过x 年，剩留量是y .经过1年，剩留量y =1×84%=0.841；经过2年，剩留量y =1×84%=0.842；……一般地，经过x 年，剩留量0.84x y =，根据这个函数关系式可以列表如下： x 01 2 3 4 5 6 y 1 0.840.71 0.59 0.50 0.42 0.35 用描点法画出指数函数0.84y =的图象。

从图上看出0.5y =，只需4x ≈.答：约经过4年，剩留量是原来的一半。

例2．比较下列各题中两个值的大小：（1） 2.5 2.31.7,1.7（2）0.10.20.8,0.8-- （3）0.3 3.11.7,0.9 . （答案略）练习：习题2.6 第2题（口答）．例3．求下列函数的定义域、值域：（1）1218x y -= （2）11()2x y =- （3）3x y -= （4）1(0,1)1x x a y a a a -=>≠+．解：（1）210x -≠Q ∴12x ≠原函数的定义域是1{,}2x x R x ∈≠， 令121t x =- 则0,t t R ≠∈ ∴8(,0)t y t R t =∈≠得0,1y y >≠， 所以，原函数的值域是{0,1}y y y >≠．（2）11()02x -≥Q ∴0x ≥ 原函数的定义域是[)0,+∞， 令11()2x t =-(0)x ≥ 则01t ≤<，y =Q [)0,1是增函数 ∴01y ≤<，所以，原函数的值域是[)0,1．（3）原函数的定义域是R ， 令t x =- 则0t ≤，3t y =Q 在(],0-∞是增函数， ∴01y <≤，所以，原函数的值域是(]0,1．（4）原函数的定义域是R ， 由1(0,1)1x x a y a a a -=>≠+得11x y a y +=--， 0x a >Q ∴101y y +->-， ∴11y -<<， 所以，原函数的值域是()1,1-．说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。

第五节 指数与指数函数[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式的性质 (1)(na )n＝a .(2)当n 为奇数时，n a n＝a . (3)当n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a，－a a＜(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂①正分数指数幂：a mna ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；②负分数指数幂：a－m n＝1am n ＝1(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q)；②(a r )s＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q)； ③(ab )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．3．指数函数的图象与性质[1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大． 3．指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)na n＝(na )n＝a .( ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( )(4)若a m＜a n (a ＞0且a ≠1)，则m ＜n .( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．函数y ＝a x －1＋2(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点的坐标为( )A ．(2,2)B ．(2,4)C ．(1,2)D ．(1,3)D [令x －1＝0得x ＝1，此时y＝1＋2＝3，故选D.]3．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜aC [y ＝0.6x在R 上是减函数，又0.6＜1.5， ∴0.60.6＞0.61.5，又y ＝x 0.6为R 上的增函数， ∴1.50.6＞0.60.6， ∴1.50.6＞0.60.6＞0.61.5. 即c ＞a ＞b .]4．(教材改编)函数f (x )＝21－x的大致图象为()A [f (x )＝21－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，又f (0)＝2，f (1)＝1，故排除B ，C ，D ，故选A.]5．(教材改编)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 23b 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－6a 12b 13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 16b 56＝________. 4a [原式＝－－3×a 23＋12－16b 12＋13－56＝4a 1b 0＝4a.]指数幂的运算1．化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)的正确结果是( ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2yD ．－2x 2yD [∵x ＜0，y ＜0，∴416x 8y 4＝－2x 2y ，选D.]2．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)12＝________.1615 [原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫322×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫11001213 ＝1＋14×23－110＝1615.] 3.56a 13b －2(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)12·ab ＝________. －54b[原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52a －16b －3÷2a 13b －32·a 12b 12＝－54a －12b －32·a 12b 12＝－54b .]有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数若是根式，指数函数的图象及应用【例1】 (1)函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0(2)若曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围为________． (1)D (2)(0,1) [由f (x )＝a x －b的图象可以观察出，函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0＜a ＜1，函数f (x )＝ax －b的图象是在y ＝a x的基础上向左平移得到的，所以b ＜0.](2)曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点， 则b 的取值范围是(0,1)．与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解 (1)A B C D(2)已知实数a ，b 满足等式2 018a＝2 019b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(1)A (2)B [(1)易知f (x )是偶函数，且f (0)＝0，从而排除选项B ，C ，D ，故选A. (2)作出y ＝2 018x及y ＝2 019x的图象如图所示，由图可知a ＞b ＞0，a ＝b ＝0或a ＜b ＜0时，有2 018a ＝2 019b，故③④不可能成立，故选B.]指数函数的性质及应用【例2】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5＞1.73B ．0.6－1＞0.62C ．0.8－0.1＞1.250.2D ．1.70.3＜0.93.1(2)(2019·承德模拟)若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋2x ＋3的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________． (3)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x ，若f (a )＝2，则f (－a )＝________.(1)B (2)(－∞，－1] (3)2 [(1)A 中，因为函数y ＝1.7x在R 上是增函数，2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.B 中，因为y ＝0.6x在R 上是减函数，－1＜2， 所以0.6－1＞0.62. C 中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． 因为y ＝1.25x在R 上是增函数，0.1＜0.2， 所以1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2.D 中，因为1.70.3＞1,0＜0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1.(2)令g (x )＝ax 2＋2x ＋3，由于f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19，所以g (x )的值域为[2，＋∞)．因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＞012a －44a＝2，解得a ＝1.∴g (x )＝x 2＋2x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋2x ＋3，由于g (x )在(－∞，－1]上是减函数，故f (x )的单调递增区间为(－∞，－1]． (3)令g (x )＝12＋12x －1，则g (－x )＝12＋12－x －1＝12＋2x1－2x ＝12＋2x－1＋11－2x ＝12－1＋11－2x ＝－12＋11－2x ＝－g (x )，即g (x )为奇函数，∴f(x)＝xg(x)为偶函数，又f(a)＝2，∴f(－a)＝f(a)＝2.]比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数(1)么a的值为( )A.13B．1C．3 D.13或3(2)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．(1)D (2)(－1,2)[(1)令a x＝t，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a＞1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a，又函数y＝(t＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a上单调递增，所以y max＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3.当0＜a＜1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a，1a，又函数y＝(t＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a，1a上单调递增，则y max＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋12－2＝14，解得a＝13.综上知a＝3或a＝13.(2)∵(m2－m)4x－2x＜0在(－∞，－1]上恒成立，∴m2－m＜⎝⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上恒成立．由于f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，且f(x)min＝⎝⎛⎭⎪⎫12－1＝2.故由m2－m＜2得－1＜m＜2.]。

第2课时　指数函数及其性质的应用课程标准(1)掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．(2)能借助指数函数图象及单调性比较大小．(3)会解简单的指数方程、不等式．(4)会判断指数型函数的奇偶性．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一　比较大小❶1．对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的________来判断；2．对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的______的变化规律来判断；3．对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断．要点二　解指数方程、不等式(1)形如a f(x)＞a g(x)的不等式，可借助y＝a x的________求解❷；(2)形如a f(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x的_ _______求解；(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x，y＝b x的图象求解．要点三　指数型函数的单调性❸一般地，有形如y＝a f(x)(a>0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有________的定义域．(2)当a>1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有________的单调性；当0<a<1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性________．助学批注批注❶　注意区别指数函数与幂函数的比较大小．批注❷　如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．批注❸　与复合函数的单调性“同增异减”一致，即内外两个函数单调性相同，则复合函数为增函数；内外两个函数单调性相反，则复合函数为减函数．基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若0.3a>0.3b，则a>b.( )(2)函数y＝3x2在[0，＋∞)上为增函数．( )(3)函数y＝21x在其定义域上为减函数．( )(4)若a m>1，则m>0.( )2．设a＝1.20.2，b＝0.91.2，c＝0.3－0.2，则a，b，c大小关系为( ) A.a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a3．已知2m>2n>1，则下列不等式成立的是( )A．m>n>0B．n<m<0C．m<n<0D．n>m>04．函数f(x)＝2|x|的递增区间是________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1　利用指数函数的单调性比较大小例1　若a＝(12)32，b＝(34)14，c＝(34)34，则a，b，c的大小关系是( ) A．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a方法归纳底数与指数都不同的两个数比较大小的策略巩固训练1　下列选项正确的是( )A.0.62.5>0.63B.1.7−13<1.7−12C.1.11.5<0.72.1D.212>313题型 2　解简单的指数不等式例2　(1)不等式3x －2＞1的解集为________．(2)若a x ＋1＞(1a )5−3x(a ＞0且a ≠1)，求x 的取值范围．方法归纳利用指数函数单调性解不等式的步骤巩固训练2　已知集合M ＝{－1，1}，N ＝{x |12<2x ＋1<4，x ∈Z }，则M ∩▒N ＝ ()A ．{－1，1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1，0}题型 3　指数型函数的单调性例3　求函数f (x )＝(13)x 2－2x 的单调区间．方法归纳指数型函数单调区间的求解步骤巩固训练3　函数f (x )＝2x2－1的单调减区间为________.题型 4　指数函数性质的综合问题例4　已知函数f (x )＝e x －mex 是定义在R 上的奇函数．(1)求实数m 的值；(2)用单调性定义证明函数f (x )是R 上的增函数；(3)若函数f (x )满足f (t －3)＋f (2t 2)<0，求实数t 的取值范围．方法归纳有关指数函数性质的综合问题的求解策略是奇函数．巩固训练4　已知函数f(x)＝2x−a2x+a(1)求实数a的值；(2)求f(x)的值域．第2课时　指数函数及其性质的应用新知初探·课前预习[教材要点]要点一单调性　图象　中间值要点二单调性　单调性要点三相同　相同　相反[基础自测]1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．解析：∵a＝1.20.2>1.20＝1，b＝0.91.2<0.90＝1，∴b<a，又y＝x0.2在(0，＋∞)上单调递增，∴1<a＝1.20.2<0.3－0.2＝(103)0.2，∴b<a<c.答案：C3．解析：因为2m>2n>1，所以2m>2n>20；又函数y＝2x是R上的增函数，所以m>n>0.答案：A4．解析：因为f(x)＝2|x|＝{2x，x>0(12)x，x≤0，故函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)题型探究·课堂解透例1　解析：因为b＝(34)14，c＝(34)34，函数y＝(34)x在R上单调递减，所以(34)14>(34)34，即b>c；又a＝(12)32＝(14)34，c＝(34)34，函数y＝x34在(0，＋∞)上单调递增，所以(14)34<(34)34，即a<c，所以b>c>a.答案：C巩固训练1　解析：对于A：y＝0.6x在定义域R上单调递减，所以0.62.5>0.63，故A正确；对于B：y＝1.7x在定义域R上单调递增，所以1.7−13>1.7−12，故B错误；对于C：因为1.11.5>1.10＝1，0<0.72.1<0.70＝1，所以1.11.5>0.72.1，故C错误；对于D：因为¿)6＝23＝8，¿)6＝32＝9，即(212)6<¿)6，所以212<313，故D错误．答案：A例2　解析：(1)3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解集为(2，＋∞)．(2)因为a x＋1＞(1a)5−3x，所以当a＞1时，y＝a x为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.当0＜a＜1时，y＝a x为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．答案：(1)(2，＋∞)　(2)见解析巩固训练2　解析：∵12＜2x＋1＜4，∴2－1＜2x＋1＜22，∴－1＜x＋1＜2，∴－2＜x＜1.又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，即N＝{0，－1}，∴M∩N＝{－1}．答案：B例3　解析：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝(1 3 )u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝( 13)u在(－∞，＋∞)上单调递减，∴y＝(13)x2－2x单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是[1，＋∞)．巩固训练3　解析：令t＝x2，则y＝2t－1为增函数，当x∈(－∞，0)时，t＝x2为减函数，所以f(x)＝2x2－1在x∈(－∞，0)上是减函数．答案：(－∞，0)例4　解析：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，得m＝1；(2)设x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝e x1−1e x1−e x2+1e x2＝(e x1−e x2)¿)∵x1<x2，∴0<e x1<e x2，因此f(x1)<f(x2)，即f(x)是R上的增函数；(3)∵f(x)是奇函数，∴f(2t2)<－f(t－3)＝f(3－t)，又f(x)在R上为增函数，∴2t2<3－t，解得－32<t<1.巩固训练4　解析：(1)因为f(x)＝2x−a2x+a，f(－x)＝2−x−a2−x+a ＝1−a·2x 1+a·2x由f(－x)＝－f(x)，可得1−a·2x1+a·2x ＝－2x−a2x+a，(1－a·2x)(2x＋a)＝(1＋a·2x)(a－2x)，2x－a·2x·2x＋a－a2·2x＝a＋a2·2x－2x－a·2x·2x，整理得2x(a2－1)＝0，于是a2－1＝0，a＝±1.当a＝1时，f(x)定义域为R，f(x)是奇函数．当a＝－1时，f(x)定义域为{x|x≠0}，f(x)是奇函数．因此a＝±1.(2)当a＝1时，f(x)＝1－22x+1，定义域为R，所以2x>0，于是2x＋1>1，0<22x+1<2，因此－1<1－22x+1<1，故f(x)的值域为(－1，1)．当a＝－1时，f(x)＝1＋22x−1，定义域为{x|x≠0}，所以2x>0，且2x≠1，于是2x－1>－1，且2x－1≠0，所以22x−1<－2，或22x−1>0.因此1＋22x−1<－1或1＋22x−1>1，故f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，+∞)．。