2020高考数学一轮复习2.4指数与指数函数学案

第5讲指数与指数函数[考纲解读］1。

理解有理指数幂的含义,掌握指数幂的运算，并能通过具体实例了解实数指数幂的意义．2。

理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性并掌握指数函数的图象及其通过的特殊点．(重点、难点)3。

通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景，并体会指数函数是一类重要的函数模型．［考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的命题热点．预测2020年高考主要与函数的图象、最值、比较大小、指数函数图象过定点为命题方向；也有可能与其他知识相结合进行考查.1．根式2．有理数指数幂（1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂：a错误!＝错误!（a>0，m,n∈N*且n〉1）．②正数的负分数指数幂：a－错误!＝错误!＝错误!（a〉0，m，n∈N＊且n〉1)．③0的正分数指数幂等于错误!0；0的负分数指数幂错误!没有意义．(2）有理数指数幂的性质①a r a s＝错误!a r＋s(a>0，r，s∈Q）；②（a r）s＝错误!a rs(a>0,r，s∈Q）；③（ab）r＝错误!a r b r（a〉0，b〉0，r∈Q）．3．指数函数的图象与性质y＝a x（a〉0且a≠1）a>10〈a〈1图象1．概念辨析(1）错误!与（错误!)n都等于a(n∈N＊)．（)(2）[（－2）6] 错误!＝（－2)6×错误!＝(－2）3＝－8.（)(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( ）(4）若a m〈a n(a〉0，且a≠1),则m〈n.( ）答案(1）×（2）×(3）√（4）×2．小题热身(1）函数y＝a x－a(a〉0，且a≠1)的图象可能是( )答案C解析函数y＝a x－a的图象过点（1，0),排除A，B，D。

(2）化简错误!的结果是________．答案－错误!解析由题意得x〈0，所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!。

第六讲 指数与指数函数知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念根式的概念符号表示备注 如果__x n ＝a __，那么x 叫做a 的n 次方根 n >1且n ∈N * 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个__正数__，负数的n 次方根是一个__负数__ n a零的n 次方根是零当n 为偶数时，正数的n 次方根有__两个__，它们互为__相反数__ ±na负数没有偶次方根①n a n＝⎩⎨⎧__a __，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧__a __(a ≥0)，__－a __(a <0)，n 为偶数.②(n a )n ＝__a __(注意a 必须使na 有意义)． 2．分数指数幂(1)正数的正分数指数幂是a mn ＝na m __(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a －mn ＝1n am (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．(3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3．有理指数幂的运算性质(1)a r ·a s ＝__a r ＋s __(a ＞0，r 、s ∈Q )； (2)(a r )s ＝__a rs __(a ＞0，r 、s ∈Q )； (3)(ab )r ＝__a r b r __(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 知识点二 指数函数图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)叫指数函数底数a >1 0<a <1图象性质函数的定义域为R ，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，恒有y >1；当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1；当x <0时，恒有y >1函数在定义域R 上为增函数函数在定义域R 上为减函数归纳拓展1．画指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a )，(0,1)．2．底数a 的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”．3．f (x )＝a x 与g (x )＝(1a)x (a >0且a ≠1)的图象关于y 轴对称．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a (a ∈N *)．( × ) (2)a －m n ＝－a mn (n ，m ∈N *)．( × )(3)函数y ＝3·2x ，与y ＝2x＋1都不是指数函数．( √ )(4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × ) (5)函数y ＝2－x 在R 上为单调增函数．( × )[解析] (1)n 为奇数时正确，n 为偶数时不一定正确；(2)不正确，a －mn ＝1a m n；(3)y ＝2x ×2与y ＝3×2x 都不是指数函数；(4)当a >1时m <n ，当0<a <1时m >n ；(5)y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数．题组二 走进教材2．(必修1P 59AT2改编)设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( C )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a 32[解析] 由题意得a 2a ·3a 2＝a 2－12 －13 ＝a 76 ，故选C ．3．(必修1P 60BT2改编)已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( B ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11[解析] f (2a )＝22a ＋2－2a ＝(2a ＋2－a )2－2＝[f (a )]2－2＝7.故选B ．4．(必修1P 82AT10改编)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，12，则f (－1)＝[解析] a 2＝12，∴a ＝22，f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1＝ 2.题组三 走向高考5．(2020·全国Ⅰ，8)设a log 34＝2，则4－a ＝( B ) A ．116B ．19C ．18D ．16[解析] 本题考查对数的运算和指数、对数的互化公式．因为a log 34＝log 34a ＝2，所以4a＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B ．另：a log 34＝2⇒log 34＝2a ，∴32a ＝4，∴4－a ＝⎝⎛⎭⎫32a －a ＝19. 6．(2017·北京，5分)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )( A ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数[解析] 因为f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－⎣⎡⎦⎤3x －⎝⎛⎭⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x在R 上是增函数，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数，故选A ．7．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243 ，b ＝425 ，c ＝2513 ，则( A ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b[解析] 因为a ＝243 ＝1613 ，b ＝425 ＝1615 ，c ＝2513 ，且幂函数y ＝x 13 在R 上单调递增，指数函数y ＝16x 在R 上单调递增，所以b <a <c .考点突破·互动探究考点一 指数与指数运算——自主练透例1 (1)下列命题中正确的是( B ) A ．na n ＝aB ．a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1C ．3x 4＋y 3＝x43 ·y D ．3－5＝6(－5)2(2)计算23×31.5×612＝__6__.(3)化简：(14)－12 ·(4ab －1)3(110)－1·(a 3·b －3)12 ＝__85__.(4)已知a 12 ＋a －12 ＝3，求下列各式的值． ①a ＋a －1；②a 2＋a －2；③a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1. [解析] (1)若n 是奇数，则na n＝a ；若n 是偶数，则na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，所以A 错误；因为a 2－a ＋1恒不为0，所以(a 2－a ＋1)0有意义且等于1，所以B 正确；3x 4＋y 3不能化简为x 43 ·y ，所以C 错误；因为3－5<0，6(－5)2>0，所以3－5≠6(－5)2，所以D 错误．故选B ．(2)原式＝2×312 ×⎝⎛⎭⎫3213 ×1216 ＝2×312 ×313 ×2－13 ×316 ×213 ＝2×312 ＋13 ＋16 ×2－13 ＋13 ＝6.(3)原式＝2×23·a32 ·b －32 10·a 32 ·b －32＝21＋3×10－1＝85.故填85.(4)①将a 12 ＋a －12 ＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7. ②将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，所以a 2＋a －2＝47. ③由①②可得a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1＝47＋17＋1＝6.名师点拨指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．考点二 指数函数图象与性质考向1 指数函数的图象及应用——师生共研例2 (1)(2021·秦皇岛模拟)函数f (x )＝21－x 的大致图象为( A )(2)(2021·湖北黄冈质检)函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与y ＝x b 的图象如图，则下列不等式一定成立的是( D )A ．b a >0B ．a ＋b >0C ．ab >1D ．log a 2>b(3)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是__[－1,1]__.[分析] (1)将函数化为f (x )＝2×⎝⎛⎭⎫12x 的形式，根据函数的性质及过定点，并结合选项判断； (2)由图确定a 、b 的范围求解；(3)分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，数形结合求解．[解析] (1)解法一：函数f (x )＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x ，单调递减且过点(0,2)，选项A 中的图象符合要求．解法二：(采用平移法)因为函数f (x )＝21－x ＝2－(x －1)，所以先画出函数y ＝2－x 的图象，再将y ＝2－x 图象的所有点的横坐标向右平移1个单位，只有选项A 符合．(2)由图可知，y ＝a x 单调递增，则a >1；y ＝x b 单调递减，则b <0， A ：b a >0不一定成立，如a ＝3，b ＝－1； B ：a ＋b >0不一定成立，如a ＝2，b ＝－3； C ：ab >1不成立，ab <0；故选D ．(3)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．[引申](1)f (x )＝a 1－x ＋3的图象过定点__(1,4)__.(2)(理)若将本例(3)中“|y |＝2x ＋1”改为“y ＝|2x －1|”，且与直线y ＝b 有两个公共点，b的取值范围是__(0,1)__.(3)(理)若将本例(3)改为：函数y ＝|2x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围是__(－∞，0]__.[解析] (1)当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝a 1－x ＋3过定点(1,4)．(2)(理)曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．(3)(理)因为函数y ＝|2x －1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k ≤0，即k 的取值范围为(－∞，0]．名师点拨指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，(－1，1a )．由函数解析式判断其图象一般取特殊点验证，从而作出判断．(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． 〔变式训练1〕(1)函数y ＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( D )(2)已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝(13)b，下列关系式中不可能成立的是( D ) A ．0<b <a B ．a <b <0 C ．a ＝bD ．b <0<a(3)若方程3|x |－1＝m 有两个不同实根，求m 的取值范围．[解析] (1)当a >1时，函数单调递增，且函数的图象恒过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a . 因为0<1－1a<1，所以A 、B 均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数的图象恒过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a ， 因为1－1a<0，所以选D ．(2)在同一坐标系内，作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x和y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象(如图)．如图：a >b >0时，⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b可能成立． a <b <0时，⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 可能成立． 当a ＝b ＝0时，⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b . 当a >0>b 时，⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫13b .综上可知：A 、B 、C 可能成立，D 不可能成立．故选D ．(3)作出函数y ＝3|x |－1与y ＝m 的图象如图所示，数形结合可得m >0.考向2 指数函数的性质及其应用——多维探究 角度1 比较指数幂的大小例3 已知a ＝⎝⎛⎭⎫1223 ，b ＝2－43 ，c ＝⎝⎛⎭⎫1213 ，则下列关系式中正确的是( B ) A ．c <a <b B ．b <a <c C ．a <c <bD ．a <b <c[解析] 把b 化简为b ＝⎝⎛⎭⎫1243 ，而函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上为减函数，43>23>13，所以⎝⎛⎭⎫1243 <⎝⎛⎭⎫1223 <⎝⎛⎭⎫1213 ，即b <a <c .角度2 利用指数函数的性质求解简单指数方程、不等式例4 (1)已知实数m ≠2，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≥0，9m －x ，x <0，若f (2－m )＝f (m －2)，则m 的值为__－3__.(2)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为__{x |x >4或x <0}__. [解析] (1)当m <2时，32－m －1＝9m －m ＋2，即3－m ＋1＝34，解得m ＝－3； 当m >2时，9m －(2－m )＝3m －2－1，即34m －4＝3m －3，解得m ＝13(舍)，故m ＝－3.(2)∵f (x )为偶函数，f (x )在[0，＋∞)上递增， 且f (2)＝0，∴|x －2|>2，解得x >4或x <0. 角度3 与指数函数有关的复合函数问题例 5 若函数f (x )＝a |2x－4|(a >0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( B )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2][解析] 由f (1)＝19得a 2＝19，又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. ∵y ＝⎝⎛⎭⎫13t 为减函数，∴f (x )的减区间为t ＝|2x －4|的递增区间[2，＋∞)， 所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．名师点拨(1)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性．要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．(3)解指数方程的方法①同底法：把方程化为a f (x )＝a g (x )的情形，然后得出f (x )＝g (x )． ②化为a x ＝b ，利用对数定义求解x ＝log a b .③把方程化为f (a x )＝0的情形，然后换元，即设a x ＝t ，然后解方程f (t )＝0，注意只要t >0的解．(4)解指数不等式的方法同底法：把方程化为a f (x )>a g (x )的情形，根据函数单调性建立f (x )和g (x )的不等式． 〔变式训练2〕(1)(角度1)下列各式比较大小不正确的是( D ) A ．1.72.5<1.73 B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1<1.250.2D ．1.70.3<0.93.1(2)(角度2)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为__12__(3)(角度3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是__(－3,1)__.(4)(角度3)已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是__(－∞，4]__.[解析] (1)对于A 、B 显然正确；对于C,0.8－0.1＝1.250.1，显然正确；对于D,1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，∴D 不正确，故选D ．(2)当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.(3)若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综合可得－3<a <1.(4)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．名师讲坛·素养提升指数函数中的分类与整合思想例6 已知函数f (x )＝a x2＋2x ＋b(a ，b 是常数且a >0，a ≠1)在区间⎣⎡⎦⎤－32，0上有最大值3和最小值52，试求a ，b 的值．[分析] 本题易出现的错误有两个，一个是二次函数t ＝x 2＋2x 在区间⎣⎡⎦⎤－32，0上的范围求错，直接将端点值代入，二是不分类讨论，直接认为f (x )是单调递增函数．[解析] 设t ＝x 2＋2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－32，0， 由图象得t ∈[－1,0]．①当a >1时，f (t )＝a t ＋b 在[－1,0]上为增函数，值域为⎣⎡⎦⎤1a ＋b ，1＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＋b ＝52，1＋b ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2. ②当0<a <1时，f (t )＝a t ＋b 在[－1,0]上为减函数，值域为⎣⎡⎦⎤1＋b ，1a ＋b ， ∴⎩⎨⎧ 1＋b ＝52，1a ＋b ＝3解得⎩⎨⎧ a ＝23b ＝32.综上所述，a ＝2，b ＝2或a ＝23，b ＝32.名师点拨分类与整合就是所给变量不能进行统一研究时，要分类研究，再整合得到的结论．指数函数的单调性与底数的取值有关，如果底数是字母时，常分情况讨论．解指数函数综合问题的两个注意点：(1)指数函数的底数不确定时，应分a >1和0<a <1两种情况讨论．(2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意新元的取值范围．〔变式训练3〕设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值．[解析] 设a x ＝t ，则a 2x ＝t 2，①当a >1时，t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，y ＝t 2＋2t －1，在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上为增函数， 当t ＝a 时，取得最大值，a 2＋2a －1，所以a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍)；②当0<a <1时，t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，y ＝t 2＋2t －1，在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数， 当t ＝1a时，取得最大值，⎝⎛⎭⎫1a 2＋2a －1， 所以⎝⎛⎭⎫1a 2＋2a －1＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍)． 综上所述，a ＝3或13.。

第二编 函数与基本初等函数Ⅰ§2.4指数与指数函数【基础自测】1. (2020九江市六校第三次联考文科)函数21()3x y =的值域是（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．(0,1]D ．[1,)+∞【答案】C2.已知集合{}111,1,|24,2x M N x x Z +⎧⎫=-=<<∈⎨⎬⎩⎭，则 M N =I （ ）A. {1,1}-B. {1,0,1}-C.{0,1}D. {1}- 【答案】D3.设指数函数()(0x f x a a =＞且1)a ≠，则下列等式中正确的是 （ ）①()()()·f x y f x f y +=， ②()()()·nn n f xy f x f y =，③()()()f x f x y f y -=， ④()()n f nx f x =. A. ①②④ B.①③④ C. ②③④ D. ①①③④ 【答案】B4.函数()x b f x a -=的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论不正确的有 （填序号）.①a >1，b <0 ， ②a >1，b >0 ， ③0<a <1，b >0 ， ④0<a <1，b <0 【答案】 ①②③5. 三个实数1113222,(),33-的大小顺序为 .【答案】11132223()3-<<6.关于函数()22()x x f x x R -=-∈，有下列三个结论： ①()f x 的值域为R ；②()f x 是R 上的增函数；③对任意x R ∈,有()()0f x f x -+=成立. 其中正确结论的序号是 . 答案 ①②③【范例导引】例1（2020湖南文8）已知函数()1x f x e =-，2()43g x x x =-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为 （ ）A ．[22,22]-+B ．(22,22)-+C ．[1,3]D ．(1,3)【解析】由题可知()11x f x e =->-，22()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤，若有()()f a g b =则()[1,1]g b ∈-，即231b bx -+->-，解得2222b -<<+. 例1已知19a =，b =9.求下列两式的值： （1）733338152a a a a --÷⋅；（2）111()a b ab ---+.【解析】（1）原式=7123a⨯.3123⨯-a÷［81()32a-⨯·21315⨯a］= 2167-a45()32--+=12a -.∵19a =，∴原式=3. （2）方法一 化去负指数后解.1111111()a b a b a b ab a b ab ab ab---+++===+，∵19a =，b =9，∴82.9a b += 方法二 利用运算性质解..11)(11111111111a b a b b a b b a a ab b a +=+=+=+-----------∵19a =，b =9，∴82.9a b +=例3设a ＞0，e ()ex x af x a =+是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）求证：()f x 在0+∞（，）上是增函数. （1）【解析】∵()f x 是R 上的偶函数，∴()()f x f x -=，∴x x x xe a e a a e a e --+=+，∴11()(e )0e x x a a --=对一切x 均成立，∴10a a-=，而a ＞0，∴1a =.（2）证明 在0+∞（，）上任取1212x x x x <、，且, 则()()12f x f x -=1x e +11x e -2x e-21x e =21()x x e e -121(1).x x e+-∵12x x ＜，∴12x x e e <，有210x x e e ->.∵12120,0,0x x x x ∴+＞＞＞，∴121x x e +>，12110x x e +-<.∴()()()()12120,f x f x f x f x -＜即＜, 故()f x 在0+∞（，）上是增函数. 【知能提升】1.化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1）;)(65312121132ba b a b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a【解析】（1）原式=111111111533220032623615661a b a b aba b a b--+-+-⋅=⋅=⋅=.（2）原式12111333363632255(4)()24a b a b a b a b ------=-÷⋅=-÷1322235515444aba b ab ab --=-⋅=-⋅=-.2.求下列函数的单调递增区间： （1）2621()2x x y +-=；(2)262xx y --=.【解析】（1）函数的定义域为R .令262u x x =+-，则1()2u y =.∵二次函数262u x x =+-的对称轴为14x =, 在区间［41，+∞）上，262u x x =+-是减函数，又函数1()2u y =是减函数，∴函数2621()2x x y +-=在［41，+∞）上是增函数. 故2621()2x x y +-=的单调递增区间为［41，+∞）. （2）令26u x x =--,则2u y =, ∵二次函数26u x x =--的对称轴是x=21, 在区间［21，+∞）上26u x x =--是增函数. 又函数2u y =为增函数， ∴函数262x x y --=在区间［21，+∞）上是增函数. 故函数262xx y --=的单调递增区间是［21，+∞）.3.已知定义在R 上的奇函数()f x 有最小正周期2，且当()0,1x ∈时，()241xx f x =+.（1）求()f x 在［-1，1］上的解析式； （2）证明：()f x 在（0，1）上是减函数. （1）【解析】当()1,0x ∈-时，()0,1x -∈.∵()f x 是奇函数，∴f x f x =--=-（）（）.142142+-=+--xx xx .由()()()000f f f =-=-，且()()()()1112 1f f f f =--=--+=-，得()()()0110f f f ==-=.∴在区间［-1，1］上，有f （x ）={}2(0,1)412()(1,0)4101,0,1xxxxx f x x x ⎧∈⎪+⎪⎪=-∈-⎨+⎪∈-⎪⎪⎩(2)证明 当()0,1x ∈时，2()41xx f x =+.设1201x x ＜＜＜,则()()12f x f x -=122112122122(22)(21)4141(41)(41)x x x x x x x x x x +---=++++, ∵1201x x ＜＜＜,∴22x 120x ->，12210x x +->,∴f(x 1)-f(x 2)＞0,即f(x 1)＞f(x 2), 故()f x 在（0，1）上单调递减.【课后作业】一、选择题1. 若0a <，则2a ，1()2a ，()0.2a的大小顺序为 （ ）A . ()0.2a >2a >1()2aB . 2a >1()2a >()0.2aC . 1()2a >2a >()0.2aD . 2a >()0.2a>1()2a【答案】B2.若()22f x x ax =-+与()()11xg x a -=+在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）A . [0,1)B . [0,1]C . (0,1)D .(0,1]【答案】D3.(2020常州二中期中)当函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有公共点时，实数m 的取值范围是 （ ）A . [0,1)B . (0,1]C . (0,1)D . [0,1] 【答案】B 二、填空题4. 当x ＞0时，函数()()21xf x a =-的值总大于1，则实数a 的取值范围是 . 【答案】a ＞2或a ＜-25.若函数() 1 (0,1)x f x a a a =-≠＞的定义域和值域都是［0，2］，则实数a 等于 . 【答案】36.函数0,1xy a a a =≠（＞且）在［1，2］上的最大值比最小值大2a，则a 的值是 .【答案】21或23三、解答题7. 要使函数124x x y a =++在1x ∈-∞（,］上y ＞0恒成立，求a 的取值范围.【解析】由题意得1240xxa ++>在1x ∈-∞（,］上恒成立，即124xx a +>-在1x ∈-∞（,］上恒成立.又∵-xx 421+=-(,4121)21()21()2122+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-x x x ∵x (],1,-∞∈∴(⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,21)21x .令t=(21111(),()(),,2242x t f t t t ⎡⎫==-++∈+∞⎪⎢⎣⎭则.则()f t 在［21,+∞）上为减函数，()(f t f ≤)21=-(21113)2244++=-， 即3(),4f t ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦.∵()a f t ＞,∴3(,)4a ∈-+∞. 8.已知函数311()().212x f x x =+-（1）求()f x 的定义域；（2）讨论()f x 的奇偶性； （3）证明：()f x ＞0.（1）【解析】由2100x x -≠⇒≠，∴定义域为（-∞,0）∪(0,+∞).（2）【解析】311()()212x f x x =+-可化为321()2(21)xx f x x +=⋅- 则332121()()().2(21)2(21)x x x x f x x x f x --++-=-==⋅-⋅- ∴311()()212xf x x =+-是偶函数. （3）【证明】 当0x >时，21x ＞，x 3＞0.∴311()0212x x +>-.∵()f x 为偶函数，∴当x ＜0时，()()0f x f x =-＞.综上可得()f x ＞0. 9.已知函数2()()1x xa f x a a a -=--(a ＞0，且a ≠1). (1)判断()f x 的单调性；（2）验证性质()()f x f x -=-,当()1,1x ∈-时，并应用该性质求满足()()2110f m f m -+-<的实数m 的范围.【解析】（1）设1212,0,1x x x x -+＜＜211x x a+＞0.若a ＞1,则21x x a a <,12-a a ＞0,所以()()12f x f x -=)11)((121212x x x x aa a a a++--＜0，即()()12f x f x ＜,()f x 在（-∞,+∞）上为增函数； 同理，若0＜a ＜1，则21x x a a >，12-a a ＜0, ()()12f x f x -=)(1212x x a a a a --(1+211x x a +)＜0,即()()12f x f x ＜,()f x 在（-∞,+∞）上为增函数. 综上，()f x 在R 上为增函数. （2）()f x 2()1x xa a a a -=--，则()f x -=)(12x x a a a a ---, 显然()()f x f x -=-.()()2110f m f m -+-＜,即()()211f m f m ---＜⇔()()211f m f m --＜,函数为增函数，且()1,1x ∈-，故解21111m m ---＜＜＜，可得1＜m ＜2.12.已知()f x =xx x x --+-10101010.（1）判断函数的奇偶性；（2）证明：()f x 是定义域内的增函数； （3）求()f x 的值域.（1）【解析】 ∵()f x 的定义域为R ， 且()f x -=xx x x 10101010+---()f x =-，∴()f x 是奇函数.（2）【证明】 方法一 22210101012()11010101101x x x x x x x f x ----===-+++. 令21x x >，则21f x f x -（）（） 212121222222221010(1)(1)2101101(101)(101)x x x x x x -=---=⋅++++ 当21x x >时，1022x -1012x ＞0.又∵1012x +1＞0，1022x +1＞0，故当21x x >时，21f x f x -（）（）＞0，即21f x f x >（）（）.所以()f x 是增函数. 方法二 考虑复合函数的增减性.由210102()1.1010101x x x x xf x ---==-++∵110x y =为增函数， ∴22101x y =+为增函数，322101x y =+为减函数，422101xy =-+为增函数，22()1101x f x =-+为增函数. ∴1010()1010x x x xf x ---=+在定义域内是增函数.（3）解 方法一 令y f x =（），由22101101x x y -=+，解得210x =y y-+11.∵2100x >，∴-1＜y ＜1.即f x （）的值域为(1,1)-. 方法二 ∵1f x =-（）11022+x ,∵2100x >，∴102x+1＞1.∴0＜11022+x ＜2，∴-1＜1-221101x<+，即值域为(1,1)-.。

3．4指数与指数函数（1课时）一、课前检测1.化简：（1）11203217(0.027)()(2)1)79---+-= （2）121121333225()(3)(4)6a b a b a b -----÷=g （3）120.50.75163(12427162(8)--+-+-= ．2. 设0x >，且1x x a b <<（0a >，0b >），则a 与b 的大小关系是（ ）A. 1b a <<B. 1a b <<C. 1b a <<D. 1a b <<3. 下列函数中，值域为（0，+∞）的是（ ）A ．x y -=215 B ．x y -=1)31( C ．1)21(-=x y D ．x y 21-= 4．若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是 ．二、知识梳理：见《优化设计》三、典型例题分析例1． 19已知a=,b=9,求: （1（2）111()a b ab ---+变式练习：（1）已知11223x x-+=，求22332223x x x x --+-+-的值．变式训练：（2）：设2212,x x +=则x x 1+的值为 小结与拓展：1122x x -+，1x x -+，22x x -+三者之间的关系是解题的关键。

例2（《优化设计》例2改编）：已知函数c bx x x f ++=2)(，满足)1()1(x f x f --=+-且3)0(=f ，当0≠x 时，试比较)(xb f 与)(xc f 的大小。

变式训练：（1）设函数||()(0,1),(2)4,x f x a a a f -=>≠=且则：（ ）A ．(2)(1)f f ->-B ．(1)(2)f f ->-C ．(1)(2)f f >D ．(2)(2)f f ->（2）已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31xf x =-则有（ ） A ．132()()()323f f f << B ．231()()()323f f f <<C ．213()()()332f f f <<D ．321()()()233f f f << 例3：（见《优化设计例3》）P23已知函数|1|1()3x y += （1） 作出图象（2） 由图象指出其单调区间；（3） 由图象指出当x 取什么时有最值，并写出值域；（4） 若关于x 的方程|1|13x m +⎛⎫= ⎪⎝⎭有负根，求m 的取值范围。

2020年高考数学一轮复习《指数与指数函数》考纲解读1. 了解指数函数模型的实际背景.2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算及性质.3. 理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型. 命题趋势探究指数函数是中学数学中基本初等函数之一，这部分内容在高考中处于重要的地位.高考中往往以基础知识为主，主要考查指数函数的性质及应用，一般以选择题和填空题的形式出现，例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等，但有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中有加强考查的趋势. 知识点精讲一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ∈R)；(2)mm n n a a a -=( m ,n ∈R)(3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R)；(4)(ab )m=a m b m (m ∈R)；(5)pp a a-=1(p ∈Q)(6)mn a m ,n ∈N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数yx题型归纳及思路提示题型23 指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a =2，b =4的值；(2)若x x-+=11223，x x x x --+-+-33222232的值；(3)设nna --=11201420142(n ∈N +)，求)n a 的值.分析：利用指数运算性质解题.-=--1==.当a =2，b =4，原式===12. (2)先对所给条件作等价变形：()x x x x --+=+-=-=11122222327， ()()x xx x x x ---+=++-=⨯=33111222213618，x 2+x -2=(x +x -1)2-2=72-2=47. 故x x x x --+--==+--3322223183124723. (3)因为nna --=11201420142，所以()nna -++=11222014201412，nnnnna ---+-=-=111112014201420142014201422.所以)n a -=12014. 变式1 设2a =5b =m ，且a b+=112，则m =( ).A.B. 10C. 20D. 100解析 解法一： 2111111,55,22m m m m m m m m ba b a b b a a ==∙=⇒==⇒=+10),0(10522=>=⇒⨯=m m m 。

第五节指数与指数函数知识点一指数与指数幂的运算1．根式(1)根式的概念：(2)两个重要公式：①(na)n＝a(n>1，且n∈N＋)．②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a n为奇数，|a| n为偶数.2．有理指数幂(1)分数指数幂的含义：③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算法则：设a>0，b>0，对任意有理数α，β，有以下运算法则aαaβ＝aα＋β，(aα)β＝aαβ，(ab)α＝aαbα.上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂也适用．1．判断正误(1)(4－2)4＝－2.(×)(2)na n＝a.(×)2．(必修1P59A组第1题改编)化简416x8y4(x<0，y<0)得(D)A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y解析：因为x<0，y<0，所以416x8y4＝(16x8·y4)14＝(16)14·(x8)14·(y4)14＝2x2|y|＝－2x2y.3．若x＋x－1＝3，则x2－x－2＝±3 5.解析：由(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2＝9，得x2＋x－2＝7.又(x－x－1)2＝x2－2＋x－2＝5，所以x－x－1＝±5，所以x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±3 5.知识点二指数函数的图象与性质4．函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为[0，＋∞)． 解析：要使函数有意义，需1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1，∴x ≥0，即定义域为[0，＋∞)．5．(必修1P56例6改编)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝ 3. 解析：依题意可知a 2＝13，解得a ＝33，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝ 3. 6．(必修1P58第2题改编)函数的定义域是(0，＋∞)．解析：要使该函数有意义，解得x >0，所以定义域为(0，＋∞)．1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究．考向一指数与指数幂的运算【例1】化简、求值：幂的运算的一般规律及要求(1)分数指数幂与根式根据a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)可以相互转化．(2)分数指数幂中的指数不能随便约分，例如要将a 24写成a12必须认真考查a的取值才能决定，如(－1)24＝4(－1)2＝1，而(－1)12＝－1无意义．(3)在进行幂的运算时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再利用幂的运算性质进行运算．(4)结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．已知a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a <b ，求： (1)a －1＋b －1(ab )－1；解：因为a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a <b ， 所以a ＝19，b ＝9， (1)a －1＋b－1(ab )－1＝1a ＋1b 1ab＝a ＋b＝19＋9＝829.考向二 指数的图象及应用【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为()(2)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2【解析】 (1)解法1：因为f (x )的定义域关于原点对称且f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数，排除A 选项；由f (2)＝e 2－1e 24>1，排除C 、D 选项．故选B.解法2：当x <0时，因为e x －e －x <0， 所以此时f (x )＝e x －e －xx 2<0， 故排除A 、D ；又f (1)＝e －1e >2，故排除C，选B.(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.【答案】(1)B(2)D函数图象的识辨方法(1)由函数的定义域判断图象的左右位置，由函数的值域判断图象的上下位置；(2)由函数的单调性判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性判断图象的对称性；(4)由函数的周期性识辨图象；(5)由函数图象上的特征点排除不符合要求的图象．(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(D)A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0(2)已知实数a，b满足等式2 018a＝2 019b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：(1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1，函数f (x )＝a x －b 的图象是在y ＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)如图，观察易知，a ，b 的关系为a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.考向三 指数函数的性质及应用方向1 指数函数的单调性【例3】 (1)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－ 13，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－ 14 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－ 34 ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <b <a(2)已知函数f (x )＝(13)ax 2－4x ＋3 .①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值． 【解析】 (1)因为－13<－14<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫35－13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫35－14 >⎝ ⎛⎭⎪⎫350＝1，即a >b >1，且⎝ ⎛⎭⎪⎫32－34 <⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1，所以c <1，综上，c <b <a .(2)①当a ＝－1时，f (x )＝(13)－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝(13)t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．②令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝(13)h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.【答案】 (1)D (2)见解析 方向2 指数函数性质的综合应用【例4】 (1)函数f (x )＝a ＋be x ＋1(a ，b ∈R )是奇函数，且图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫ln3，12，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)(2)若不等式1＋2x ＋4x ·a >0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)函数f (x )为奇函数，则f (0)＝a ＋b2＝0①，函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫ln3，12，则f (ln3)＝a ＋b 4＝12②.结合①②可得a ＝1，b ＝－2，则f (x )＝1－2e x＋1.因为e x >0，所以e x ＋1>1，所以0<2e x ＋1<2，所以－1<1－2e x ＋1<1，即函数f (x )的值域为(－1,1)．(2)从已知不等式中分离出实数a ，得a >－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上都是减函数，∴当x ∈(－∞，1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≥14，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥14＋12＝34，从而得－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤－34.故实数a 的取值范围为a >－34. 【答案】 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞1.比较指数式大小的问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1，0等中间量进行比较.2.解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解.要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.3.对于指数函数性质的综合应用，应首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解，关键是指数型函数的单调性要抓住“同增异减”.1．(方向1)(2019·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是(B)A．1.72.5>1.73B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2D．1.70.3<0.93.1解析：A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73.B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2.∴0.6－1>0.62.C中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2.∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1.2．(方向2)(2019·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( B )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2} 解析：∵f (x )为偶函数， 当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x －4.∴f (x )＝{ 2x－4，x ≥0，2－x －4，x <0，若f (x －2)>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0，解得x >4或x <0. 3．(方向2)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( B )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.。

第4讲 指数与指数函数2023.9.14课标解读1. 通过认识有理数指数幂、实数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质；2. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3. 能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．必备知识 自主学习知|识|梳|理1．根式(1)如果x n ＝a ，那么 叫做a 的n 次方根．(2)式子n a 叫做 ，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (3)(n a )n ＝ .当n 为奇数时，n a n ＝ ， 当n 为偶数时，n a n ＝ ＝ . 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，n m a＝ (a >0，m ，n ∈N *，n >1)． 正数的负分数指数幂，n ma＝ ＝ (a >0，m ，n ∈N *，n >1)． 0的正分数指数幂为 ,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝ ；(a r )s ＝ ；(ab )r ＝ (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10＜a＜1图象定义域值域性质图象过定点，即x＝0时，y＝1当x>0时，；当x＜0时，当x＜0时，；当x>0时，在(－∞，＋∞)上是16在(－∞，＋∞)上是17基|础|自|测1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.( )(2)分数指数幂可以理解为mn个a相乘．( )(3)函数y＝2x－1是指数函数．( )(4)函数y＝(a>1)的值域是(0，＋∞)．( )2．化简：÷（13a）(a>0)＝()A．6a B．－a C．－9a D．9a2 3．函数f(x)＝2x－1的值域为．命题点1 指数幂的运算 例1 (1)某灭活疫苗的有效保存时间T (单位：小时h)与储藏的温度t (单位：℃)满足的函数关系为T ＝e kt ＋b (k ，b 为常数)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0 ℃时的有效保存时间是1 080 h ，在10 ℃时的有效保存时间是120 h ，则该疫苗在15 ℃时的有效保存时间为( )A ．15 hB ．30 hC ．40 hD ．60 h(2) 化简求值：＝ .(3) 已知a 2x ＝5，则a 3x －a －3x a x －a －x ＝ .针对训练1．(多选)下列运算正确的是( )A.(m n )7＝m 7·(m >0，n >0) B.12(－3)4＝1234＝33 C.4x 3＋y 3＝(x >0，y >0) D.39＝332．(2023·山西太原质检)计算：－(−17)−2＋－3－1＋(2－1)0＝ .命题点2 指数函数的图象及应用例2 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．[母题探究]1．(变条件)若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．针对训练1．(2023·山东济南摸底)已知函数y＝f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝1，当x>1时，f(x)＝2x－1，则f(x－1)<2的解集是．2．若直线y＝a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，则a的取值范围是．当堂小结课后作业：1、预习指数及指数函数的性质2、完成对应作业。

第四节 指数与指数函数突破点一 指数幂的运算[基本知识]1．根式 (1)根式的概念若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的表示x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝ n a当n 为奇数且n >1时，x ＝±n a当n 为偶数且n >1时2．有理数指数幂一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)4－a4＝－a .( )(2)(－a )＝(－a )＝－a .( ) (3)(na )n＝a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．计算：π0＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214＝________.答案：1182．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是________．解析：a 2a ·3a 2＝a 2a ·a23＝a 2a53＝a 2a51×32＝a 2·a ＝a ＝a .答案：a 3．若a －2＝3－2a3，则实数a 的取值范围为________．解析：a －2＝|2a －1|，3－2a3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a . 故2a －1≤0，所以a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12指数幂的运算规律(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．[典例] (1)a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．aD ．a(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2 350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2 14－(0.01)0.5＝________. [解析] (1)a 3a ·5a 4＝a 3a 12·a45＝a ＝a .故选D.(2)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.[答案] (1)D (2)1615[方法技巧]化简指数幂常用的技巧(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b p(ab ≠0)； (2)a ＝()a 1mm，a ＝(a )n (式子有意义)；(3)1的代换，如1＝a －1a,1＝aa 等；(4) 乘法公式的常见变形，如(a ＋b )(a －b )＝a －b ，(a ±b )2＝a ±2ab ＋b ，(a ±b )(a ∓ab ＋b )＝a ±b .[针对训练]1．化简a 23·b－1-12·a-12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：选D 原式＝a 1-3b 12a-12b13a 16b56＝a ·b ＝1a.2．(2019·江西百校联盟联考)已知14a ＝7b ＝4c＝2，则1a －1b ＋1c＝________.解析：由题设可得2＝14,2＝7,2＝4， 则2＝147＝2，∴2＝2×4＝23， ∴1a －1b ＋1c＝3.答案：33．若x >0，则(2x ＋3)(2x －3)－4x (x －x )＝________.解析：因为x >0，所以原式＝(2x )2－(3)2－4x ·x ＋4x ·x ＝4x －3－4x ＋4x ＝4x －33－4x ＋4x 0＝－27＋4＝－23.答案：－23突破点二 指数函数的图象及应用[基本知识]1．指数函数的图象画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a . 3．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)y ＝2x －1是指数函数．( )(2)y ＝ax ＋1的图象恒过定点(－1,1)．( )(3)要得到y ＝3x ＋2的图象只需将y ＝3x的图象向左平移2个单位即可．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题 1．函数y ＝ax －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象过定点________．解析：因为指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中，令x －3＝0，得x ＝3，此时y ＝1＋3＝4，即函数y ＝ax －3＋3的图象过定点(3,4)．答案：(3,4) 2．函数y ＝2x ＋1的图象是________(填序号)．解析：由y ＝2x 的图象向左平移1个单位可得y ＝2x ＋1的图象．答案：①3．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －4x 的图象与指数函数y ＝a x 的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是________．解析：由两函数的图象关于y 轴对称，可知12a －4与a 互为倒数，即a2a －4＝1，解得a＝4.答案：4[全析考法]考法一 与指数函数有关的图象辨析 [例1] (2019·河北武邑中学调研)函数y ＝e－|x －1|的大致图象是( )[解析] 因为－|x －1|≤0，所以0<e －|x －1|≤e 0，即0<y ＝e－|x －1|≤1，故选B.[答案] B考法二 指数函数图象的应用一些指数方程、不等式问题，往往利用相应指数型函数的图象数形结合求解．[例2] (2019·西安八校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)>1的x 的取值范围是________．[解析] 画出函数f (x )的大致图象如图所示，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．又x >x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1， 所以要使f (x )＋f (x －1)>1成立， 结合函数f (x )的图象知只需x －1>－1， 解得x >0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)． [答案] (0，＋∞)[方法技巧]有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A 由f (x )＝1－e |x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D.又e |x |≥1，所以f (x )的值域为(－∞，0]，排除C.2.[考法二]函数y ＝a x－b (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．无法确定解析：选C 因为函数y ＝a x－b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y ＝a x－b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x ＝0，则y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，1－b <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b >1，故a b∈(0,1)，故选C.3.[考法二]若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]突破点三 指数函数的性质及应用[基本知识]指数函数的性质(1)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意分a >1与0<a <1两种情况来研究．(2)对可化为a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的取值范围．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)，当x >0时，y >1.( )(2)若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值为2，则a 为 2.( ) (3)若a m>a n(a >0，且a ≠1)，则m >n .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调递增区间为________．答案：(－∞，＋∞)2．若－1<x <0，a ＝2－x，b ＝2x ，c ＝0.2x，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：因为－1<x <0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x <1,2－x >1,0.2x>1，又因为0.5x <0.2x，所以b <a <c .答案：b <a <c 3．函数y ＝3x 2－2x 的值域为________．解析：设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ，u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以y ＝3u ≥3－1＝13，所以函数y ＝3x 2－2x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞[全析考法]考法一 比较指数式大小或解不等式[例1] (1)已知f (x )＝2x －2－x，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a )(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析] (1)易知f (x )＝2x －2－x在R 上为增函数，又a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97>⎝ ⎛⎭⎪⎫97＝b >0，c ＝log 279<0，则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )．(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，故a 的取值范围是(－3,1)． [答案] (1)B (2)C[方法技巧]有关指数不等关系的常见题型及求解思路(1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．考法二 与指数函数有关的函数最值问题[例2] (2019·昆明第一中学月考)已知集合A ＝{x |(2－x )(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x－ 2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4[解析] 由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.[答案] D [方法技巧]形如y ＝a 2x＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．考法三 与指数函数有关的函数单调性问题 [例3] (1)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2](2)若函数f (x )＝a x(a x－3a 2－1)(a >0，且a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1C ．(1， 3 ]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ [解析] (1)由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.(2)令t ＝a x (t >0)，则原函数转化为y ＝t 2－(3a 2＋1)t ，其图象的对称轴为直线t ＝3a 2＋12. 若a >1，则t ＝a x≥1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数， 则3a 2＋12≤1，解得－33≤a ≤33，与a >1矛盾；若0<a <1，则0<t ≤1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数，则3a 2＋12≥1，解得a ≥33或a ≤－33，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.故选B.[答案] (1)B (2)B [方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．[集训冲关]1.[考法一]已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >aD ．c >a >b解析：选D a ＝0.80.7>0.80.9＝b ，a ＝0.80.7<0.80＝1，∴b <a <1，而c ＝1.20.8>1.20＝1，∴c >a >b .2.[考法二]函数y ＝16－2x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)D ．(0,4)解析：选C 函数y ＝16－2x 中，因为16－2x≥0，所以2x≤16.因为2x∈(0,16]，所以16－2x∈[0,16)．故y ＝16－2x∈[0,4)．故选C.3.[考法三]函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选D 令x －x 2≥0，得0≤x ≤1，所以函数f (x )的定义域为[0,1]，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 是减函数，所以函数f (x )的增区间就是函数y ＝－x 2＋x 在[0,1]上的减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，故选D.4.[考法一、三]已知函数f (x )＝a|x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是______________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a|x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1)。

第二编 函数与基本初等函数Ⅰ§2.4指数与指数函数【基础自测】1. (2011九江市六校第三次联考文科)函数21()3x y =的值域是（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．(0,1]D ．[1,)+∞【答案】C2.已知集合{}111,1,|24,2x M N x x Z +⎧⎫=-=<<∈⎨⎬⎩⎭，则 MN = （ ）A. {1,1}-B. {1,0,1}-C.{0,1}D. {1}-【答案】D3.设指数函数()(0x f x a a =＞且1)a ≠，则下列等式中正确的是 （ ） ①()()()·f x y f x f y +=， ②()()()·nn n f xy f x f y =， ③()()()f x f x y f y -=， ④()()n f nx f x =. A. ①②④ B.①③④ C. ②③④ D. ①①③④ 【答案】B4.函数()x b f x a -=的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论不正确的有 （填序号）.①a >1，b <0 ， ②a >1，b >0 ， ③0<a <1，b >0 ， ④0<a <1，b <0 【答案】 ①②③5. 三个实数1113222,(),33-的大小顺序为 .【答案】11132223()3-<<6.关于函数()22()x x f x x R -=-∈①()f x 的值域为R ②()f x 是R③对任意x R ∈,有()()0f x f x -+=成立. 其中正确结论的序号是 . 答案 ①②③【范例导引】例1（2011湖南文8）已知函数()1x f x e =-，2()43g x x x =-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为 （ ）A．[2 B．(2 C ．[1,3] D ．(1,3)【解析】由题可知()11x f x e =->-，22()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤，若有()()f a g b =则()[1,1]g b ∈-，即231b bx -+->-，解得22b < 例1已知19a =，b =9.求下列两式的值： （1（2）111()a b ab ---+.【解析】（1）原式=7123a⨯.3123⨯-a÷［81()32a-⨯·21315⨯a= 2167-a45()32--+=12a -.∵19a =，∴原式=3. （2）方法一 化去负指数后解.1111111()a b a ba b ab a b ab ab ab---+++===+，∵19a =，b =9，∴82.9a b += 方法二 利用运算性质解..11)(1111a b a bba b ba a ab b a +=+=+=+----∵19a =，b =9，∴82.9a b +=例3设a ＞0，e ()e x xaf x a =+是R 上的偶函数. （1）求a 的值；（2）求证：()f x 在0+∞（，）上是增函数.（1）【解析】∵()f x 是R 上的偶函数，∴()()f x f x -=，∴x x x xe a e aa e a e --+=+， ∴11()(e )0e x x a a --=对一切x 均成立，∴10a a-=，而a ＞0，∴1a =.（2）证明 在0+∞（，）上任取1212x x x x <、，且, 则()()12f x f x -=1x e +11x e -2x e -21x e=21()x x e e -121(1).x x e+-∵12x x ＜，∴12x x e e <，有210x x e e ->.∵12120,0,0x x x x ∴+＞＞＞，∴121x x e +>，12110x x e +-<.∴()()()()12120,f x f x f x f x -＜即＜,故()f x 在0+∞（，）上是增函数.【知能提升】1.化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1）;)(65312121132ba b a b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a【解析】（1）原式=111111111533220032623615661a b a b aba b a b--+-+-⋅=⋅=⋅=.（2）原式12111333363632255(4)()24a b a b a b a b ------=-÷⋅=-÷13225544a b --=-⋅=-=. 2.求下列函数的单调递增区间： （1）2621()2x x y +-=；(2)262xx y --=.【解析】（1）函数的定义域为R . 令262u x x =+-，则1()2u y =.∵二次函数262u x x =+-的对称轴为14x =, 在区间［41，+∞）上，262u x x =+-是减函数，又函数1()2u y =是减函数， ∴函数2621()2x x y +-=在［41，+∞）上是增函数.故2621()2x x y +-=的单调递增区间为［41，+∞）.（2）令26u x x =--,则2u y =, ∵二次函数26u x x =--的对称轴是x=21, 在区间［21，+∞）上26u x x =--是增函数. 又函数2u y =为增函数， ∴函数262x x y --=在区间［21，+∞）上是增函数. 故函数262xx y --=的单调递增区间是［21，+∞）.3.已知定义在R 上的奇函数()f x 有最小正周期2，且当()0,1x ∈时，()241xx f x =+.（1）求()f x 在［-1，1］上的解析式； （2）证明：()f x 在（0，1）上是减函数. （1）【解析】当()1,0x ∈-时，()0,1x -∈.∵()f x 是奇函数，∴f x f x =--=-（）（） .142142+-=+--xx xx .由()()()000f f f =-=-，且()()()()1112 1f f f f =--=--+=-，得()()()0110f f f ==-=.∴在区间［-1，1］上，有f （x ）={}2(0,1)412()(1,0)4101,0,1xxxxx f x x x ⎧∈⎪+⎪⎪=-∈-⎨+⎪∈-⎪⎪⎩(2)证明 当()0,1x ∈时，2()41xx f x =+.设1201x x ＜＜＜,则()()12f x f x -=122112122122(22)(21)4141(41)(41)x x x x x x x x x x +---=++++, ∵1201x x ＜＜＜,∴22x 120x ->，12210x x +->,∴f(x 1)-f(x 2)＞0,即f(x 1)＞f(x 2), 故()f x 在（0，1）上单调递减.【课后作业】一、选择题1. 若0a <，则2a ，1()2a ，()0.2a的大小顺序为 （ ） A . ()0.2a>2a >1()2a B . 2a >1()2a >()0.2aC . 1()2a>2a >()0.2a D . 2a >()0.2a >1()2a【答案】B2.若()22f x x ax =-+与()()11xg x a -=+在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）A . [0,1)B . [0,1]C . (0,1)D .(0,1]【答案】D3.(2009常州二中期中)当函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有公共点时，实数m 的取值范围是 （ ）A . [0,1)B . (0,1]C . (0,1)D . [0,1] 【答案】B 二、填空题4. 当x ＞0时，函数()()21xf x a =-的值总大于1，则实数a 的取值范围是 . 【答案】a ＞2或a ＜-25.若函数() 1 (0,1)x f x a a a =-≠＞的定义域和值域都是［0，2］，则实数a 等于 .6.函数0,1xy a a a =≠（＞且）在［1，2］上的最大值比最小值大2a，则a 的值是 .【答案】21或23三、解答题7. 要使函数124x x y a =++在1x ∈-∞（,］上y ＞0恒成立，求a 的取值范围.【解析】由题意得1240xxa ++>在1x ∈-∞（,］上恒成立，即124xx a +>-在1x ∈-∞（,］上恒成立.又∵-xx 421+=-(,4121)21()21()2122+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-x x x∵x (],1,-∞∈∴(⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,21)21x .令t=(21111(),()(),,2242x t f t t t ⎡⎫==-++∈+∞⎪⎢⎣⎭则.则()f t 在［21,+∞）上为减函数，()(f t f ≤)21=-(21113)2244++=-，即3(),4f t ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦.∵()a f t ＞,∴3(,)4a ∈-+∞.8.已知函数311()().212x f x x =+-（1）求()f x 的定义域；（2）讨论()f x 的奇偶性；（3）证明：()f x ＞0.（1）【解析】由2100x x -≠⇒≠，∴定义域为（-∞,0）∪(0,+∞). （2）【解析】311()()212x f x x =+-可化为321()2(21)x x f x x +=⋅-则332121()()().2(21)2(21)x x x x f x x x f x --++-=-==⋅-⋅- ∴311()()212xf x x =+-是偶函数.（3）【证明】 当0x >时，21x ＞，x 3＞0.∴311()0212x x +>-.∵()f x 为偶函数，∴当x ＜0时，()()0f x f x =-＞.综上可得()f x ＞0. 9.已知函数2()()1x xa f x a a a -=--(a ＞0，且a ≠1). (1)判断()f x 的单调性； （2）验证性质()()f x f x -=-,当()1,1x ∈-时，并应用该性质求满足()()2110f m f m -+-<的实数m 的范围.【解析】（1）设1212,0,1x x x x -+＜＜211x x a +＞0.若a ＞1,则21x x a a <,12-a a ＞0,所以()()12f x f x -=)11)((121212x x x x aa a a a++--＜0，即()()12f x f x ＜,()f x 在（-∞,+∞）上为增函数；同理，若0＜a ＜1，则21x x a a >，12-a a ＜0, ()()12f x f x -=)(1212x x a a a a --(1+211x x a +)＜0,即()()12f x f x ＜,()f x 在（-∞,+∞）上为增函数. 综上，()f x 在R 上为增函数.（2）()f x 2()1x xa a a a -=--，则()f x -=)(12x x a a a a ---, 显然()()f x f x -=-.()()2110f m f m -+-＜,即()()211f m f m ---＜⇔()()211f m f m --＜,函数为增函数，且()1,1x ∈-，故解21111m m ---＜＜＜，可得1＜m ＜2.12.已知()f x =x x -+-10101010.（1）判断函数的奇偶性；（2）证明：()f x 是定义域内的增函数； （3）求()f x 的值域.（1）【解析】 ∵()f x 的定义域为R ，且()f x -=xx x x 10101010+---()f x =-，∴()f x 是奇函数.（2）【证明】 方法一 22210101012()11010101101x x x x x x x f x ----===-+++.令21x x >，则21f x f x -（）（） 212121222222221010(1)(1)2101101(101)(101)x x x x x x -=---=⋅++++ 当21x x >时，1022x -1012x ＞0.又∵1012x +1＞0，1022x +1＞0，故当21x x >时，21f x f x -（）（）＞0，即21f x f x >（）（）.所以()f x 是增函数.方法二 考虑复合函数的增减性.由210102()1.1010101x x xx xf x ---==-++∵110x y =为增函数， ∴22101x y =+为增函数，322101x y =+为减函数，422101xy =-+为增函数，22()1101xf x =-+为增函数.∴1010()1010x x x xf x ---=+在定义域内是增函数.（3）解 方法一 令y f x =（），由22101101x x y -=+，解得210x =y y-+11.∵2100x >，∴-1＜y ＜1.即f x （）的值域为(1,1)-.方法二 ∵1f x =-（）11022+x ,∵2100x >，∴102x+1＞1.∴0＜11022+x ＜2，∴-1＜1-221101x<+，即值域为(1,1)-.。

第五节指数与指数函数[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式n 次方根概念 如果x n ＝a ，那么x 叫作a 的n 次方根，其中n ＞1，n ∈N *表示 当n 是奇数时，a 的n 次方根x ＝na当n 是偶数时，正数的n 次方根x ＝±n a ；负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作n0＝0根式概念 式子n a 叫作根式，其中n 叫作根指数，a 叫作被开方数性质 (na )n ＝a当n 为奇数时，na n ＝a当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0－a ，a ＜0(1)分数指数幂①正分数指数幂：a m n ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质(0,1) 过定点当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在R上是增函数在R上是减函数[常用结论]指数函数的图象与底数大小的关系如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4. ()(2)(－1)24＝(－1)12＝－1. ()(3)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(4)若a m ＜a n (a ＞0且a ≠1)，则m ＜n . ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9 B [原式＝(26) 12－1＝8－1＝7.]3．(教材改编)若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)等于( )A.22 B. 2C.14D ．4B [由题意知12＝a 2，所以a ＝22， 所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22-1＝ 2.]4．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )A B C DC [令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.]5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． (1,2) [由题意知0＜2－a ＜1， 解得1＜a ＜2.]指数幂的化简与求值1．(2019·济宁模拟)下列各式中成立的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B.12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34 D.39＝33D [39＝(913)12＝916＝313＝33，故选D.]2．若a ＞0，b ＞0，则化简＝________.ab －1 [原式＝＝＝ab －1.]3．化简－10(5－2)－1＋3π0＋59＝________.－16 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫82723＋50012－105－2＋3＋59 ＝49＋105－10(5＋2)＋3＋59 ＝－16.]4．若x 12＋x -12＝3，则＝________.25[由x 12＋x -12＝3得x ＋x －1＋2＝9. 所以x ＋x －1＝7.同理由x ＋x －1＝7可得x 2＋x －2＝47.x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)(x ＋x －1－1)＝3×6＝18. 所以[规律方法] 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解题.易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.指数函数的图象及应用【例1】 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0(2)已知函数f (x )＝3＋a 2x －4的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________． (3)若曲线y ＝|3x －1|与直线y ＝k 只有一个公共点，则实数k 的取值范围为________．(1)D(2)(2,4)(3){0}∪[1，＋∞)[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)令2x－4＝0得x＝2，且f(2)＝4，则点P的坐标为(2,4)．(3)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点．][规律方法]指数函数图象应用的4个技巧(1)画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.(1)函数y＝xa x|x|(a＞1)的图象大致是()A B C D(2)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )A B C D(3)已知a ＞0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)B (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 [(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＞0，－a x ，x ＜0，又a ＞1，故选B.(2)函数f (x )＝2|x －1|的图象可由y ＝2|x |的图象向右平移1个单位得到，故选B. (3)①当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜3a ＜2，即0＜a ＜23； ②当a ＞1时，如图②，而y ＝3a ＞1不符合要求．图① 图②所以0＜a ＜23.]指数函数的性质及应用►考法1 比较指数式的大小【例2】 已知a ＝343，b ＝925，c ＝12113，则( ) A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bA [因为a ＝343＝923＞925＝b ，c ＝12113＝1123＞923＝a ，所以c ＞a ＞b .故选A.]►考法2 解简单的指数方程或不等式 【例3】 (1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(1)C (2)12 [(1)当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．故选C.(2)当a ＜1时，41－a＝21，解得a ＝12；当a ＞1时，代入不成立．故a 的值为12.]►考法3 与指数函数有关的函数的值域或最值问题【例4】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.(2)已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．(1)－32 (2)52[(1)当a ＞1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.(2)y ＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x ，由0≤x ≤2得1≤t ≤4，又y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12， ∴当t ＝1时，y 有最大值，最大值为52.] ►考法4 复合函数的单调性、值域或最值【例5】 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间是________，值域是________．(－∞，1] ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ [令u ＝－x 2＋2x ＋1，则u ＝－(x －1)2＋2.又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上是减函数，则函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．由此函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1]．因为u ≤2，则f (x )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.][规律方法] 应用指数函数性质综合的常考题型及求解策略数的性质 等性质的方法一致易错警示：在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．(1)(2019·信阳模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＜a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a(2)(2019·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)(3)已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则a 的取值范围为________．(4)函数y ＝2－x 2＋2x的值域为________．(1)D (2)B (3)[6，＋∞) (4)(0,2] [(1)c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14，则⎝ ⎛⎭⎪⎫35-13＞⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14＞⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14，即a ＞b ＞c ，故选D. (2)y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1， 令t ＝2x ，则t ＞0，∴y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1，故选B.(3)由题意知，函数u ＝－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则a2≥3，即a ≥6.(4)－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，则0＜y ≤2. 即函数y ＝2－x 2＋2x 的值域为(0,2]．]。

高三数学一轮复习学案：指数与指数函数一、考试要求： 1）理解分数指数幂的概念。

（2）理解有理指数幂的含义；了解实数指数幂的意义；掌握幂运算。

（3）理解指数函数的概念与意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数单调性与特殊性。

二、知识梳理：=0.1a __________( 0≠a ) =-n a __________( +∈≠N n a ,0 )2． =n n a )(_________( +∈>N n n ,1 ) ⎩⎨⎧=为偶数）（为奇数）（n _____________________n a n n 3．=n m a _________ = ________(n m ,0，+∈N n m a 为即约分数) =-n ma ________（n m ,,0+∈N n m a 为即约分数） 4．=⨯βαa a __________=βα)(a ____________ =α)(ab _________ （Q ∈βα,）5．一般地____________________________叫做指数函数。

61、函数x a y =在[0，1]上的最大值与最小值的和是3，则a 等于（ ）A 21 B.2 C.4 D.41 2、 函数x e y -=的图像（ ）A ．与x e y =的图像关于y 轴对称B ．与x e y =的图像关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图像关于y 轴对称D ．与x e y -=的图像关于坐标原点对称3、（07山东）已知集合{}1,1-=M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<∈=+42211x Z x N ，则=N M （ ） A.{}1,1- B. {}1- C. {}0 D.{}0,1-4、已知：9.014=y ，48.028=y ， 5.13)21(-=y 则（ ） A.213y y y >> B. .312y y y >> C. .321y y y >> D. .231y y y >>5、为得到x y )31(3⨯=的图像，可以把函数x y )31(=的图像（ ） A. 向左平移3个单位长度 B. 向右平移3个单位长度C. 向左平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度6、(11、山东)若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan 6a π的值为( ) （A ）0 （B ）3（C ）1 （D7、(07重庆)若函数()1222-=--a ax xx f 的定义域为R ，则[]0,1-实数a 的取值范围 。

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§２.4 指数与指数函数考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计201320１4201520１62017指数与指数函数1。

了解指数函数模型的实际背景．2。

理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.3。

理解指数函数的概念,会解决与指数函数性质有关的问题.理解3,5分１2,4分9（文）,3分７(文）,5分２0(1),约3分分析解读1．指数函数是重要的基本初等函数，也是高考的常考内容．2。

考查指数的计算、指数函数值的求法、比较大小等(例:2０1５浙江12题)。

3。

考查指数函数与函数的基本性质、二次函数、不等式等相结合的题目（例：201６浙江文7题)。

4.预计2019年高考中,仍会对指数函数及其性质进行考查,特别是指数函数的图象在复习时应引起重视。

五年高考考点指数与指数函数1。

（２０16浙江文,７,5分)已知函数f(ｘ）满足:f（x）≥｜ｘ｜且ｆ(x)≥２ｘ,x∈R。

（)A。

若f(a)≤｜b|,则a≤bﻩＢ.若f（a)≤2b,则a≤bC。

若f(a）≥｜b|,则a≥b D.若ｆ（a）≥2b,则a≥b答案Ｂ2.(20１7北京文，5,5分）已知函数ｆ（ｘ）＝3x —,则f(x）（ )A。

第五节 指数与指数函数[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式(1)分数指数幂①正分数指数幂：a m n ＝a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质 ①a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质，＋∞) (0,1)指数函数的图象与底数大小的关系如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4(－4)4＝－4.( ) (2)(－1) 24＝(－1) 12＝－1. ( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(4)若a m ＜a n (a ＞0且a ≠1)，则m ＜n . ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9 B [原式＝(26) 12－1＝8－1＝7.]3．(教材改编)若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)等于( )A.22 B. 2C.14D ．4B [由题意知12＝a 2，所以a ＝22， 所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22-1＝ 2.]4．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )A B C DC [令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.]5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． (1,2) [由题意知0＜2－a ＜1， 解得1＜a ＜2.]指数幂的化简与求值1A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B.12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34 D.39＝33D [39＝(913)12＝916＝313＝33，故选D.]2．若a ＞0，b ＞0，则化简＝________.ab －1 [原式＝＝＝ab －1.]3．化简－10(5－2)－1＋3π0＋59＝________.－16 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫82723＋50012－105－2＋3＋59 ＝49＋105－10(5＋2)＋3＋59 ＝－16.]4．若x 12＋x -12＝3，则＝________.25[由x 12＋x -12＝3得x ＋x －1＋2＝9. 所以x ＋x －1＝7.同理由x ＋x －1＝7可得x 2＋x －2＝47.x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)(x ＋x －1－1)＝3×6＝18. 所以指数函数的图象及应用【例1】(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)已知函数f(x)＝3＋a2x－4的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．(3)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝k只有一个公共点，则实数k的取值范围为________．(1)D(2)(2,4)(3){0}∪[1，＋∞)[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)令2x－4＝0得x＝2，且f(2)＝4，则点P的坐标为(2,4)．(3)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点．](1)函数y ＝xa |x |(a ＞1)的图象大致是( )A B C D(2)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )A B C D(3)已知a ＞0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)B (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 [(1)y ＝⎩⎨⎧a x ，x ＞0，－a x ，x ＜0，又a ＞1，故选B.(2)函数f (x )＝2|x －1|的图象可由y ＝2|x |的图象向右平移1个单位得到，故选B. (3)①当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜3a ＜2，即0＜a ＜23； ②当a ＞1时，如图②，而y ＝3a ＞1不符合要求．图① 图②所以0＜a ＜23.]指数函数的性质及应用►考法1 比较指数式的大小【例2】 已知a ＝343，b ＝925，c ＝12113，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bA [因为a ＝343＝923＞925＝b ，c ＝12113＝1123＞923＝a ，所以c ＞a ＞b .故选A.]►考法2 解简单的指数方程或不等式【例3】 (1)设函数f (x )＝错误!若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(1)C (2)12 [(1)当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．故选C.(2)当a ＜1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a ＞1时，代入不成立．故a 的值为12.]►考法3 与指数函数有关的函数的值域或最值问题【例4】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.(2)已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．(1)－32 (2)52[(1)当a ＞1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.(2)y ＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x ，由0≤x ≤2得1≤t ≤4，又y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12， ∴当t ＝1时，y 有最大值，最大值为52.] ►考法4 复合函数的单调性、值域或最值【例5】 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间是________，值域是________．(－∞，1] ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ [令u ＝－x 2＋2x ＋1，则u ＝－(x －1)2＋2.又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上是减函数，则函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．由此函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1]．因为u ≤2，则f (x )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.][规律方法] 应用指数函数性质综合的常考题型及求解策略时，要分类讨论．(1)(2019·信阳模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＜a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a(2)(2019·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)(3)已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则a 的取值范围为________．(4)函数y ＝2－x 2＋2x的值域为________．(1)D (2)B (3)[6，＋∞) (4)(0,2] [(1)c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14，则⎝ ⎛⎭⎪⎫35-13＞⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14＞⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14，即a ＞b ＞c ，故选D. (2)y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1，令t＝2x，则t＞0，∴y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2＞1，故选B.(3)由题意知，函数u＝－x2＋ax＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则a2≥3，即a≥6.(4)－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，则0＜y≤2.即函数y＝2－x2＋2x的值域为(0,2]．]。

§2.6指数函数考情考向分析直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题以及实际应用问题，题型一般为填空题，中低档难度．1．指数函数的定义一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R.2．指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质(1)图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1(2)当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1(2)当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1(3)在(－∞，＋∞)上是单调增函数(3)在(－∞，＋∞)上是单调减函数概念方法微思考1．如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为________．提示c>d>1>a>b>02．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质说明a x >1(a >0，a ≠1)的解集跟a 的取值有关．提示 当a >1时，a x >1的解集为{x |x >0}；当0<a <1时，a x >1的解集为{x |x <0}．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( √ )(2)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × ) (3)函数y ＝2－x 在R 上为单调减函数．( √ )(4)函数y ＝a x 与y ＝a －x (a >0，a ≠1)的图象关于y 轴对称．( √ )题组二 教材改编2．[P71习题T11]若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，12，则f (－1)＝________. 答案2解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1＝ 2. 3．[P70习题T4]已知113344333,,,552a b c＝＝则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <b <a解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数，11034333,555即a >b >1，又304331,22c∴c <b <a .4．[P70习题T8]设2323420.5xx －－，则实数x 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－13，1 解析223234324320.522x x xx －－－－，，∴3－2x <4－3x 2，∴3x 2－2x －1<0，∴－13<x <1.题组三 易错自纠5．若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝______. 答案 2解析 由指数函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3＝1，a >0，a ≠1，解得a ＝2.6．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________．答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2.7．已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．答案 12或32解析 当0<a <1时，a －a 2＝a2，∴a ＝12或a ＝0(舍去)．当a >1时，a 2－a ＝a2，∴a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或32.题型一指数型函数的图象例1 (1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是________．答案①解析f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)≤0.符合条件的图象只有①.(2)若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________．答案(－∞，0]解析函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练1 方程2x＝2－x的解的个数是________．答案1解析 方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．题型二 指数函数的性质命题点1 比较指数式的大小例2 (1)已知4213532,4,25,a b c ＝＝＝则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“<”连接) 答案 b <a <c解析 由a 15＝4153(2)＝220，b 15＝4155(2)＝212，c 15＝255>220，可知b 15<a 15<c 15，所以b <a <c . (2)若－1<a <0，则3a ，13a ，a 3的大小关系是__________．(用“>”连接) 答案 3a>a 3>13a解析 易知3a >0，13a <0，a 3<0，又由－1<a <0，得0<－a <1，所以(－a )3<13()a ， 即－a 3<13a ，所以a 3>13a ，因此3a>a 3>13a .命题点2 解简单的指数方程或不等式例3 (1)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______．答案 12解析 当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.(2)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________________． 答案 {x |x >4或x <0} 解析 ∵f (x )为偶函数，当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x －4，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ≥0，2－x －4，x <0，当f (x －2)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0，解得x >4或x <0.∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}．思维升华 指数函数的单调性和底数大小有关，应用函数的单调性最重要的是“同底”原则．跟踪训练2 (1)已知f (x )＝2x －2－x ，114579,,97a b则f (a )，f (b )的大小关系是__________． 答案 f (b )<f (a )解析 易知f (x )＝2x －2－x 在R 上为增函数，又111445799,977ab∴f (a )>f (b )．(2)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是________． 答案 f (b x )≤f (c x )解析 ∵f (x ＋1)＝f (1－x )， ∴f (x )关于x ＝1对称， 易知b ＝2，c ＝3，当x ＝0时，b 0＝c 0＝1，∴f (b x )＝f (c x )， 当x >0时，3x >2x >1，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(b x)<f(c x)，当x<0时，3x<2x<1，又f(x)在(－∞，1)上单调递减，∴f(b x)<f(c x)，综上，f(b x)≤f(c x)．题型三 指数函数图象性质的综合应用例4 (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，4]解析 令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t 在R 上单调递增，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]． (2)函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是________．答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x (t >0)，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，又y ＝2x 在R 上单调递增，所以函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞)．(3)若函数2431()3ax x f x 有最大值3，则a ＝________.答案 1解析 令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.思维升华 求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3 (1)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________． 答案 e解析 f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥1，e |x －2|，x <1，当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ； 当x <1时，f (x )>e. 故f (x )的最小值为f (1)＝e.(2)若不等式1＋2x ＋4x ·a ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－34，＋∞ 解析 从已知不等式中分离出实数a ，得a ≥－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x . ∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x在R 上是减函数， ∴当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≥14＋12＝34，从而得－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≤－34. 故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－34，＋∞.1．若指数函数f (x )＝(a 2－3)x 满足f (2)<f (3)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 由题意知，指数函数f (x )为增函数，从而a 2－3>1，即a 2>4，得a <－2或a >2. 2．已知函数f (x )＝5x ，若f (a ＋b )＝3，则f (a )·f (b )＝________. 答案 3解析 ∵f (x )＝5x ，∴f (a ＋b )＝5a ＋b ＝3， ∴f (a )·f (b )＝5a ×5b ＝5a ＋b ＝3.3．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“<”连接) 答案 b <a <c解析 因为函数y ＝0.6x 在R 上单调递减， 所以b ＝0.61.5<a ＝0.60.6<1. 又c ＝1.50.6>1，所以b <a <c . 4．不等式242122x x x －＋的解集为________．答案 (－1,4)解析 原不等式等价于22422x xx －＋－－，又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2＋2x >－x －4， 即x 2－3x －4<0，∴－1<x <4.5．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为________． 答案 [1,9]解析 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2， 因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数， f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．答案 [2，＋∞)解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0)解析 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－12a ，－1，所以⎣⎡⎭⎫－12a ，－1[－8,1]，即－8≤－12a <－1，即－3≤a <0. 所以实数a 的取值范围是[－3，0)．8．若“m >a ”是“函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为________．答案 －1解析 f (0)＝m ＋23，∴函数f (x )的图象不过第三象限等价于m ＋23≥0，即m ≥－23，∵“m >a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，∴a <－23，则实数a 能取的最大整数为－1.9．已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________． 答案 0解析 当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0； 当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x ＝12x －2x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0， 所以函数g (x )的最小值是0.10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,2)解析 原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.11．已知9x －10·3x ＋9≤0，求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4⎝⎛⎭⎫12x ＋2的最大值和最小值．解 由9x －10·3x ＋9≤0，得(3x －1)(3x －9)≤0，解得1≤3x ≤9，即0≤x ≤2.令⎝⎛⎭⎫12x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4⎝⎛⎭⎫t －122＋1. 当t ＝12，即x ＝1时，y min ＝1； 当t ＝1，即x ＝0时，y max ＝2.12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)因为f (x )的图象过A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x －m ≥0恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上均为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56，所以m ≤56，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 解析 令f (a )＝t ，则f (t )＝2t .当t <1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，则g ′(t )＝3－2t ln 2，当t <1时，g ′(t )>0，g (t )在(－∞，1)上单调递增，即g (t )<0，则方程3t －1＝2t 无解．当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1，得a <1，且3a －1≥1，解得23≤a <1；a ≥1，且2a ≥1，解得a ≥1.综上可得a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞. 14．若函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是______________． 答案 (0,4]解析 因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝－1， 所以f (x )＝2|x －1|.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．由题意知n－m>0.当m<1<n时，函数f(x)在区间[m，n]上的最大值与最小值的差为f(x)max－f(x)min＝2|±2|－20＝3，则n－m取得最大值(2＋1)－(－2＋1)＝4，所以n－m的取值范围是(0,4]．15．设f (x )＝|2x －1－1|，a <c 且f (a )>f (c )，则2a ＋2c ______4.(选填“>”“<”“＝”) 答案 <解析 f (x )在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a <1. 若c ≤1，则2a <2,2c ≤2，故2a ＋2c <4；若c >1，则由f (a )>f (c )，得1－2a －1>2c －1－1，即2c －1＋2a －1<2，即2a ＋2c <4.综上知，总有2a ＋2c <4.16．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋4(－1≤x ≤2)． (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若方程f (x )＝0有解，求实数λ的取值范围．解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋4＝⎝⎛⎭⎫122x －2λ·⎝⎛⎭⎫12x ＋4(－1≤x ≤2)． 设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋4⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋4＝⎝⎛⎭⎫t －322＋74⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 所以g (t )max ＝g ⎝⎛⎭⎫14＝5316，g (t )min ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝74. 所以f (x )max ＝5316，f (x )min ＝74， 故函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤74，5316.(2)方程f (x )＝0有解可转化为λ＝2·2x ＋12·12x (－1≤x ≤2)． 设φ(x )＝2·2x ＋12·2x ⎝⎛⎭⎫12≤2x ≤4， 当2x ＝12，即x ＝－1时，φ(x )min ＝2； 当2x ＝4，即x ＝2时，φ(x )max ＝658.∴函数φ(x )的值域为⎣⎡⎦⎤2，658. 故实数λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，658.。