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函数的概念与表示 (学案)一、知识梳理：（阅读教材必修1第15页—第26页） 1、 函数 （1）、函数的定义： （2）、构成函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域A ，值域C ，对应法则f ，当定义域A ，对应法则f 相同时，两个函数表示是同一个函数，解决一切函数问题必须认真确定函数的定义域，函数的定义域包含四种形式： 自然型；限制型；实际型；抽象型；（3）函数的表示方法：解析式法，图象法，列表法 2、 映射映射的定义： 函数与映射的关系：函数是特殊的映射 3、分段函数分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x 的不同取值上的对应关系不同，则可以用向个不同的解析式表法该函数，这种形式的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是多个函数。
4、函数解析式求法求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5） 应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．二、题型探究探究一：求函数的定义域1.(郑州模拟)函数0( )A.{x|x<0}B.{x|x>0}C.{x|x<0且x ≠-1}D.{x|x ≠0且x ≠-1,x ∈R}2、若函数f(x+1)的定义域是[1,2],则函数)的定义域为________.3、函数y=253x x --的值域是{y|y ≤0或y ≥4},则此函数的定义域为________.探究二：求函数的解析式 例2．（1）已知3311()f x x xx +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．三、方法提升1、判断一个对应是否为映射关键在于是否“取值任意性，成象唯一性；判断是否为函数“一看是否为映射，二看A ，B 是否为非空的数集”2、函数是中学最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数的三要素基本内容与方法，由给定的函数的解析式求其定义域是这类问题的代表，实际上是求使函数有意义的x 有取值范围；求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域：①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出．求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．四、 反思感悟五、课时作业课时训练 函数的解析式与定义域【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题（每小题6分，共42分） 1.（2010江苏南京一模，2）函数y=322--x x +log 2(x+2)的定义域为（ ）A.（-∞,-1）∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪［3,+∞）C.(-2,-1]D.(-2,-1］∪［3,+∞) 2.若f(x+1)=21f(x),则下列函数中f(x)为（ ） A.2x B.x+21C.2-xD.21log x 3.g(x)=1-2x,f ［g(x)］=221x x -(x ≠0),则f(21)等于（ ）A.1B.3C.15D.30 4.设函数f(x)=lgx,g(x)=4x -2x+1-3,则函数f ［g(x)］的定义域是（ ） A.（-∞,2） B.(2,+∞) C.(log 23,+∞) D.(-∞,log 23)A.S=1+2t-3B.S=23log 2t C.S=21(t 2-1) D.S=-2t+5.5 6.已知函数y=f(x)的图象如下图,那么f(x)等于（ ）A.122+-x x B.1||22+-x x C.|x 2-1|D.x 2-2|x|+17.（2010全国大联，8）已知函数y=f(2x )的定义域是［-1，1］，则函数y=f(log 2x)的定义域是（ ）A.（0,+∞）B.(0,1)C.［1，2］D.［2，4］ 二、填空题（每小题5分，共15分） 8.函数f(x)=xx -++211的定义域为_______________. 9.已知f(x+1)的定义域是［1，2］，那么函数f(x )的定义域为___________________. 10.设函数f(x)=log a x(a>0且a ≠1),函数g(x)=-x 2+bx+c 且f(2+2)-f(2+1)=21,g(x)的图象过点A （4，-5）及B （-2，-5），则a=____________;函数f ［g(x)］的定义域为_______________.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分） 11.已知函数f(x+a)=|x-2|-|x+2|,且f ［f(a)］=3,求a 的值.12.已知函数f(x)=34723++-ax ax x 的定义域为R ,求a 的取值范围.13.如下图，用长为l 的木条围成上部分是半圆下部分是矩形的窗框，中间有2根横档，要使透光效果最好，应如何设计?.14.已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t 为参数). （1）写出函数f(x)的定义域和值域；（2）当x ∈［0，1］时，求函数g(x)解析式中参数t 的取值范围; （3）当x ∈［0，1］时，如果f(x)≤g(x),求参数t 的取值范围. 附加题：1．已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)xf 的定义域为2．函数1sin 21sin 2xy x +=-的定义域为3、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量a 3m 时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c 元；若用水量超过a3m 时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每3m 付b 元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．4．（2010山东理）(11)函数y =2x-的图像大致是 （ ）5．山东卷理)函数的图像大致为 ( ).2x x x x xe e ye e--+=-D。
对数与对数函数 B一、知识梳理：（阅读教材必修1第62页—第76页）1、对数与对数的运算性质（1）、一般地，如果(a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数，记做x=,其中a叫做对数的底，叫做对数的真数。
（2）、以10为底的对数叫做常用对数，并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数，并把记为lnN.（3）、根据对数的定义，可以得到对数与指数和关系：且（4）、零和负数没有对数；=1；=0；=N（5）、对数的运算性质：如果且，M>0,N>0，那么=+==n（n）另外我们还经常用换底公式=且且2、对数函数与对数函数的性质（1）、一般地，我们把函数f(x)=且)叫做对函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）。
（2）、对数函数的图象及性质图象的性质主要指①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a 1 与a<1两种情况。
3、反函数：对数函数f(x)=且)与指数函数f(x)=且)互为反函数。
原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。
互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x对称。
二、题型探究探究一：对数的运算例1：设a,b,c均为正数，且则有（A）、=+（B）=+（C）=+（D）=+例2：已知=a ，=b ，用a，b表示探究二：对数函数及其性质例3：求函数y=的最小值例4：已知，若函数y=的定义域为R，函数恒为正数，求实数a的取值范围。
例5：下列关系中，成立的是（A）、lo>> (B) >> lo(C) lo>> (D) lo>探究三、应用对数函数的单调性解方程、不等式问题例6：已知，，且<1,则x的取值范围是。
例7：解方程：x+=5三、方法提升：1、处理对数函数问题时要特别注意函数的定义域问题，尤其在大题中，一定要首先考虑函数的定义域，然后在定义域中研究问题，以避免忘记定义域造成麻烦。
2、在高考小题中，考察主要是针对对数的大小比较、指数与对数的关系、对数方程及不等式、对数函数与其它函数复合或运算后的函数的图象变换问题等，在解决问题时，抓住对数函数的性质（主要是单调性）和函数图象的变换即可。
课题：指数与指数函数编制人： 审核： 下科行政：【学习目标】1、了解指数函数模型的实际背景；2、理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；3、理解指数函数的概念，指数函数的图象和性质。
【课前预习案】一、基础知识梳理1、根式（1）n 次方根的定义：如果a x n =，那么x 叫做a 的其中*,1N n n ∈>,式子n a 叫做根式，叫做根指数，a 叫做被开方数。
（2）方根的性质：当n 为奇数时，n na =当n 为偶数时，n n a = =n n a )(= （n >1且*N n ∈）2、有理数指数幂（1）正分数指数幂：n m a = （)1*,,0>∈>n N n m a 且（2）负分数指数幂：n ma -= =（)1*,,0>∈>n N n m a 且（3）0的正分数指数幂是 ；0的负分数指数幂没有意义3、有理数指数幂的性质（1）=s r a a ),,0(Q s r a ∈>（2）=s r a )( ),,0(Q s r a ∈>（3）r ab )(= ),,0(Q s r a ∈>4、指数函数图象和性质二、练一练 1、化简)0,0(16448<<y x y x 得（ ）(A) y x 22 (B)xy 2 (C) y x 24 (D) y x 22-2、函数x a a a y )33(2+-=是指数函数，则有（ ）(A) 21==a a 或 (B) 1=a (C) 2=a (D) 10≠>a a 且3、设指数函数)10()(≠>=a a a x f x 且，则下列等式不正确的是（ ）(A) )()()(y f x f y x f ⋅=+ (B))()(])[(y f x f xy f n n n ⋅=(C) )()()(y f x f y x f =- (D) )()(x f nx f x = 4、函数)1()(322>+=-+a m a x f x x 恒过点（1，10），则m =【课内探究】 一、讨论、展示、点评、质疑探究一 指数幂的化简与求值例1、化简下列各式：(1))0,0()(3131421413223>>⋅-b a b a b a ab b a (2) ()012132)32()15(10002.0833-+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛----探究二、指数函数的图象与性质的应用例2、（1）函数x y 3=与x y --=3的图象关于（ ）(A) x 轴对称 (B) y 轴对称(C) 直线 y=x 对称 (D) 原点中心对称（2）函数)10(<<=a xxa y x的图象的大致形状是（ ）（3）设)()()(,,13)(b f a f c f a b c x f x >><<-=且，则下列关系式中一定成立的是（ ）(A) a c 33> (B)b c 33> (C) 233>+a c (D)233<+a c拓展1、（1）函数xx x f 214)(+=的图象（ ） (A) 关于原点对称 (B) 关于直线y=x 对称(C) 关于x 轴对称 (D) 关于y 轴对称（2）函数xx xx e e e e y ---+=的图象大致为（ ）探究三、指数函数综合应用例3（1）函数)10()(≠>--=a a a x a x f x 且有两个零点，则实数a 的取值范围是（2）已知093109≤+⋅-x x ，求函数2)21(4)41(1+⋅-=-x x y 的最大值和最小值二 总结提升1、知识方面2、数学思想方面【课后训练案】1、若函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=],1,0[,4),0,1[,)41()(x x x f x z 则)3(log 4f 等于（ ） (A)31 (B)3 (C) 41 (D)4 2、函数x x x f 243)(-⋅=在),0[+∞∈x 上的最小值是（ ） (A)121- (B)0 (C)2 (D)10 3、函数)1(>=a a y x 的图象是（ ）4、设2.146.08.0)21(,8,4-===c b a ，则c b a ,,的大小关系为（ ）(A)c b a >> c a b >> (B) (C) b a c >> a b c >> (D) 5、设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线1=x 对称，且当1≥x时，13)(-=xx f ，则有（ ） (A))32()23()31(f f f << (B))31()23()32(f f f << (C))23()31()32(f f f << (D))31()32()23(f f f << 6、已知函数139)(++⋅-=m m x f x x 对),0(+∞∈x 的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是（ ） (A)322222+<<-m (B)2<m (C)222+<m (D)222+≥m7、已知215-=a ，函数x a x f =)(，若实数n m ,满足)()(n f m f >，则n m ,的大小关系为 8、已知)10()(≠>+=-a a a a x f x x 且，且3)1(=f ，则)2()1(0(f f f ++）的值是9、设函数21212)(-+=x x x f ，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数)]([x f y =的值域为 10、已知对任意R x ∈，不等式4222)21(21++-+>m mx x x x 恒成立，求实数m 的取值范围 11、已知函数)43lg(112x x xx y +-+-+=的定义域为M (1)求M (2)当M x ∈时，求)4(432)(3-<⨯+⋅=+a a x f x x 的最大值12、已知函数x x x f 212)(-=(1)若2)(=x f ,求x 的值；(2)若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围。
一参数方程(教案)、知识梳理：(阅读教材：选修4-4第21页至39页)1. 曲线的参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数x f(°①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M (x,y)都y g(t)在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程•2. 参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数得到普通方程•(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如x f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y g(t),那么x f(t)就是曲线的参数方程，在y g(t)参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致•注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3. 圆的参数方程设圆0(0为坐标原点)的半径为r,点M从初始位置M o出发，按逆时针方向在圆0上作匀速圆周运动，设M(x,y)，贝V X rc°S (为参数)。
y rsi n这就是圆心在原点0,半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是OM0转过的角度。
圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x a)2 (y b)2 r2,x a r cos它的参数方程为：(为参数)。
y b r sin4•椭圆的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为2 ）o注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处， 离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。
导数（1）一、 知识梳理：（阅读选修教材2-2第18页—第22页）1、 导数及有关概念：函数的平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的几何意义： 导数0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 即0()k f x ='， 要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．．，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00 说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x ' 4.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.5.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆ ()2求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ()3取极限，得导数y '=()f x '=xy x ∆∆→∆0lim 6.几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=7.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、 题型探究：【探究一】． 导数的几何意义例1:已知曲线 .(1)、求曲线在点P （2，4）处的切线方程；(y=4x-4)(2)、求过点P（2，4）的曲线的切线方程；(y=x+2,y=4x-4)（3）、求过点P（0，0）的曲线的切线方程；(y=x)（4）、求斜率为1的曲线的切线方程。
第4讲 指数与指数函数2023.9.14课标解读1. 通过认识有理数指数幂、实数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质；2. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3. 能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．必备知识 自主学习知|识|梳|理1．根式(1)如果x n ＝a ，那么 叫做a 的n 次方根．(2)式子n a 叫做 ，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (3)(n a )n ＝ .当n 为奇数时，n a n ＝ ， 当n 为偶数时，n a n ＝ ＝ . 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，n m a＝ (a >0，m ，n ∈N *，n >1)． 正数的负分数指数幂，n ma＝ ＝ (a >0，m ，n ∈N *，n >1)． 0的正分数指数幂为 ,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝ ；(a r )s ＝ ；(ab )r ＝ (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10＜a＜1图象定义域值域性质图象过定点，即x＝0时，y＝1当x>0时，；当x＜0时，当x＜0时，；当x>0时，在(－∞，＋∞)上是16在(－∞，＋∞)上是17基|础|自|测1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.( )(2)分数指数幂可以理解为mn个a相乘．( )(3)函数y＝2x－1是指数函数．( )(4)函数y＝(a>1)的值域是(0，＋∞)．( )2．化简：÷（13a）(a>0)＝()A．6a B．－a C．－9a D．9a2 3．函数f(x)＝2x－1的值域为．命题点1 指数幂的运算 例1 (1)某灭活疫苗的有效保存时间T (单位：小时h)与储藏的温度t (单位：℃)满足的函数关系为T ＝e kt ＋b (k ，b 为常数)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0 ℃时的有效保存时间是1 080 h ，在10 ℃时的有效保存时间是120 h ，则该疫苗在15 ℃时的有效保存时间为( )A ．15 hB ．30 hC ．40 hD ．60 h(2) 化简求值：＝ .(3) 已知a 2x ＝5，则a 3x －a －3x a x －a －x ＝ .针对训练1．(多选)下列运算正确的是( )A.(m n )7＝m 7·(m >0，n >0) B.12(－3)4＝1234＝33 C.4x 3＋y 3＝(x >0，y >0) D.39＝332．(2023·山西太原质检)计算：－(−17)−2＋－3－1＋(2－1)0＝ .命题点2 指数函数的图象及应用例2 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．[母题探究]1．(变条件)若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．针对训练1．(2023·山东济南摸底)已知函数y＝f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝1，当x>1时，f(x)＝2x－1，则f(x－1)<2的解集是．2．若直线y＝a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，则a的取值范围是．当堂小结课后作业：1、预习指数及指数函数的性质2、完成对应作业。
§2.6 指数与指数函数基础梳理：1．根式(1)根式的概念如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n >1，n ∈N ＋)，则x 叫做______________．求a 的n 次方根，叫做把__________，称作开方运算．式子 na 叫做________，这里n 叫做________，a 叫做被开方数．(2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号________表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a 的正的n 次方根用符号________表示，负的n 次方根用符号________表示．正负两个n 次方根可以合写为________(a ＞0)． ③(na )n ＝______. ④当n 为奇数时， n a n ＝______；当n 为偶数时，na n ＝|a |＝________________.⑤负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂(1)幂的有关概念 ①正整数指数幂：a n ＝···n a a a 个(n ∈N ＋)．②零指数幂：a 0＝______(a ≠0)． ③负整数指数幂：a －p ＝________(a ≠0，p ∈N ＋)．④正分数指数幂：a m n＝________(a >0，m 、n ∈N＋，且mn为既约分数)．⑤负分数指数幂：a －m n ＝__________＝1n a m(a >0，m 、n ∈N ＋，且mn 为既约分数)．⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂____________． (2)有理数指数幂的性质①a αa β＝________(a >0，α、β∈Q )；②(a α)β＝__________(a >0，α、β∈Q )； ③(ab )α＝________(a >0，b >0，α∈Q )． 3．指数函数的图象与性质基础自测： 1．用分数指数幂表示下列各式． ________；((a ＋b )>0)＝________；(3)m 3m＝________.2．化简[(－2)6]12－(－1)0的值为________．3．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是____________． 4．若函数f (x )＝a x －1 (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 5．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于 ( )A ．5B ．7C ．9D ．11典例精析题型一 指数式与根式的计算问题 例1 计算下列各式的值．(1)23278-⎛⎫- ⎪⎝⎭＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)15＋2－(3－1)0－9－45；1143342()a b a b- (a >0，b >0)．探究提高 根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．计算下列各式的值．(1)1.513-×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×3)6；(2)4133223384a a ba b +÷1⎛- ⎝(a >0，b >0)． 题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝xa x|x |(0<a <1)图象的大致形状是 ()(2)若函数y=a x +b-1 (a>0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a 、b 的取值范围是_____________. (3)方程2x=2-x 的解的个数是__________探究提高 (1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．(1)设12<⎝⎛⎭⎫12b <⎝⎛⎭⎫12a<1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a (2)k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？题型三 指数函数的性质及应用例3 设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．典型方法：已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．方法与技巧1．单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x 轴是函数图象的渐近线．当0<a <1时，x →＋∞，y →0；当a >1时，x →－∞，y →0；当a >1时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增的速度越快；当0<a <1时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快． 2．画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )、 (0,1)、⎝⎛⎭⎫－1，1a . 3．在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解． 失误与防范1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0<a <1来研究． 2．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．课后作业：基础训练一、选择题 1．函数y ＝2x的值域是 ( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．[2，＋∞) 2．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是 ( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12 3．函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正 确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 二、填空题 4．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________． 5．若函数f (x )＝e －(x －μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________. 6．函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为__________．7.已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则a ＋b 的值是________． 三、解答题8．(1)计算：[32833-⎪⎭⎫ ⎝⎛－⎝⎛⎭⎫5490.5＋32-(0.008)÷21-(0.02)×21(0.32)]÷0.062 50.25； (2)化简：323323134248a ab b ba a ++-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b a 3232-×533··2a a a a (式中字母都是正数)．课后作业：提升训练一、选择题1．函数y ＝2-+212x x⎛⎫⎪⎝⎭的值域是 ( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(2，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x (x >0)，e x (x ≤0)，F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R .F (x )的值域为 ( )A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 3．若函数f (x )＝a |2x －4| (a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 二、填空题4．函数f (x )＝ax 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝______.5．函数y ＝a 2x －2 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A ，则坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为________．6．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________． 三、解答题7．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值．(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．8．已知函数f (x )＝a a 2－1(a x －a －x ) (a >0，且a ≠1)．(1)判断f (x )的单调性；(2)验证性质f (－x )＝－f (x )，当x ∈(－1,1)时，并应用该性质求f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的范围．。
2018高考数学总复习----函数专题-抽象函数一、例题选讲1、已知f定义域是（1，2），则函数f的定义域是；2、若f(x)是奇函数，且（0，+）上增函数，又f(2)=0，则<0的解集是；3、已知f(x)是偶函数，并且对定义域内任意x，满足f(x+2)=,若当3<x<4时，f(x)=x,则f(2018.5)= ;4、已知f(x)是R上的偶函数，且f(x)有四个零点，则f(x+2)=0的所有实根之和为；5、定义在R上的函数f(x)，f(0) ,当x>0时, f(x)>1,且对任意的a、b，有f(a+b)=f(a)f(b).(1)求证：f(0)=1；(2)求证：对任意x，f(x)> 0；(3)证明：f(x)是R上的增函数。
6、已知f(x)是R上的不恒等于0的函数，且对任意a、b，有f(a b) = bf(a)+af(b).(1)求f(0)、f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明。
7、定义在上的函数，当x>1时, f(x)>0, 且对任意的a、b，都有f(a b)=f(a)f(b).(1) f(1)=0;(2)证明：f(x)是上的增函数；(3)证明：, f()=-f(x) (n).8、函数f(x)对任意a、b，有f(a-b) = f(a)-f(b)+1, 且x>0,时, f(x)> 1。
(1)证明：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)=5,解关于m的不等式f(3<2.9、函数f(x)的定义域为R，且对任意的a、b，有f(a+b) = f(a)+f(b)-1, 且x>0,时, f(x)> 1。
(1) 证明：f(x)是R上的增函数；(2)若f(3)=4,解关于a的不等式f(<2.(3)设F(x)=1- f(x)，试证：F(x)在R上是奇函数。
10、函数f(x)的定义域为R ，且对任意的a 、b ，f(a+b) = f(a)+f(b), 若x>0,时, f(x)<0. (1)判断f(x)的奇偶性，并证明。
对数与对数函数B一、知识梳理：（阅读教材必修1第62页—第76页）1、对数与对数的运算性质（1）、一般地，如果a x=N(a>0,且a≠1) 那么数x叫做以a为底N的对数，记做x=log a N,其中a叫做对数的底，N叫做对数的真数。
（2）、以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数，并把log e N记为lnN.（3）、根据对数的定义，可以得到对数与指数和关系：a x=N⟺x=log a N(a>0,且a≠1)（4）、零和负数没有对数；log a a=1；log a1=0；a log a N=N（5）、对数的运算性质：如果(a>0,且a≠1，M>0,N>0)，那么log a MN=log a M+log a Nlog a M=log a M−log a NNlog a M n=n log a M（n∈R）另外我们还经常用换底公式log a N=log c N(a>0,且a≠1,c>log c a0,且c≠1,N>0)2、对数函数与对数函数的性质（1）、一般地，我们把函数f(x)= log a x(a>0,且a≠1)叫做对函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。
（2）、对数函数的图象及性质图象的性质主要指①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a>1 与0<a<1两种情况。
3、 反函数：对数函数f(x)= log a x(a >0,且a ≠1)与指数函数f(x)= a x (a >0,且a ≠1)互为反函数。
原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。
互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x 对称。
二、题型探究探究一：对数的运算例1：设a,b,c 均为正数，且3a =4b =6c 则有（A ）、1c =1a +1b （B ）2c =2a +1b （C ）1c =2a +2b （D ）2c =1a +2b 例2：已知log 67=a ，log 34=b ，用a ， b 表示log 1421探究二：对数函数及其性质例3：求函数y=2lg (x −2)−lg (x −3)的最小值例4：已知0<a <1 ，若函数y=lo g a (x 2+x +a )−lo g a (3x 2+2x +1)的定义域为R ，函数恒为正数，求实数a 的取值范围。
一学习要点：n 次方根、n 次根式及其性质二．复习什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？ 三．新课学习1．类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念.n 次方根：一般地，若 ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊, 当n 为偶数时，a 的n 次方根中，正数用 表示，如果是负数，用 表示， 叫做根式.n 为奇数时，a 的n 次方根用符号 表示，其中n 称为 ，a 为 .类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？))n a n a n a n ⎧⎨⎩为奇数, 的次方根有一个,为(为正数:为偶数, 的次方根有两个,为(n a n a n a n ⎧⎨⎩为奇数, 的次方根只有一个,为()为负数:为偶数, 的次方根(). 2．根式的性质零的n 次方根为零，记为举例：16的次方根为2±，527527--的次方根为等等，而27-的4次方根不存在. 小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是 ，还要分清n 为 两种情况.根据n 次方根的意义，可得：()n n a =通过探究得到：n 为奇数，n n a =n 为偶数, n n a =如34334(3)273,(8)|8|8-=-=--=-=小结：当n 为偶数时，n n a 化简得到结果先取 ，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误：例题：求下列各式的值（1）33(1)(8)- 2(2)(10)- 44(3)(3)π- 2(4)()a b -()n n n n a a =是否成立，举例说明.课堂练习：1. 求出下列各式的值 473473(1)(2)(2)(33)(1)(3)(33)a a a --≤- 2．若2211,a a a a -+=-求的取值范围.3．计算343334(8)(32)(23)-+---3．作业：P 59习题2.1 A 组 第1题。
3．1．2指数函数（一）
一.学习要点:指数函数的图象及其性质
二.学习过程:
1.指数函数的定义：
2.指数函数的图像和性质：
①通过描点画函数图像：
首先我们来画y=2x的图象。
再来研究0<a<1 的情况，例如，我们来画y=2-x的图象。
可得x,y的对应值，用描点法画出图象。
也可根据y=2-x的图象与y=2x的图象关于y轴对称，由y=2x的图象对称得到y=2-x，如图
②由于图象是形的特征,所以先从几何角度看它们有什么特征.然后总结：
a>1 0<a<1
图象
性质
(1)定义域：（2）值域：（3）值域分布:
（4）单调性:
3.例题:
1、比较下列各组数的大小:
(1)和; (2)和;
(3)和; (4)和,
2、(1)指数函数①②满足不等式,则它们的图象是( ).
(2)曲线分别是指数函数
,和的图象,则与1的大小关系是 ( ).
课堂练习：教材P92——P93的联系及习题
课后作业：见作业（26）。
随机数与几何概型(学案)B一、 知识梳理：(必修3教材135-142页)1、 几何概型的概念:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这种概率模型为几何概率模型,简称 .2、 几何概型的特点（1）无限性：即在一次试验中，基本事件中的个数可以是 ；（2）等可能性：即每个基本事件发生的可能性 。
因此，用几何概型求解概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”。
即随机事件A 的概率可以用“事件A 所包含的基本事件所占的图形面积（体积或长度）” 与“试验基本事件所占的图形面积（体积或长度）”之比来表示。
3、 几何概率的计算公式： 设几何概型的基本事件空间可以表示成度量的区域,事件A 所对的区域用A 表示(A ),则P(A)= .4、 几何概型与古典概型的区别与联系共同点： 。
不同点：基本事件的个数一个是无限的，一个是有有限 的，基本事件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限 的，但是它们所占据的区域却是有限的，根据等或能性，这个点落在区域内的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关。
5、 均匀随机数在一定范围内随机产生的数，其中 每一个数产生的机会 是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率。
一般地，利用计算机可计算器的rand （ ）函数就可以产生0—1之间的均匀随机数。
6、a-b 之间的均匀随机数产生：利用计算机可计算器的rand （x ）函数就可以产生0-1之间的均匀随机数x=rand （ ），然后利用伸缩和平移变换x= rand （ ）*（b-a ）+a ，就可以产生[a ，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a-b 之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的。
6、均匀随机数的应用（1） ；（2）二、题型探究[探究一]与长度有关的几何概型例1：在区间[]1,1-上随机取一个数x ,cos 2x π的值介于0到12之间的概率为 （ ）A ．13 B ．2πC ． 12D ． 23 [探究二]与面积（体积）有关的几何概型例2： ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 （ ）A ．4πB ．14π-C ．8πD ．18π- 例3：假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？[探究三]：会面问题中的概率： 例4：两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00之间各个时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定的时间内相见的概率。
