指数运算与指数函数(学案)

指数与指数函数1．根式的性质(1)(n a )n ＝a .(2)当n 为奇数时n a n ＝a ；当n 为偶数时n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0). 2．有理数指数幂(1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n＝1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质：①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )；③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．3．指数函数的图像与性质y ＝a x a >1 0<a <1 图像定义域R 值域 (0，＋∞)性质 过定点(0,1)当x >0时，y >1；x <0时，0<y <1当x >0时，0<y <1；x <0时，y >1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.[试一试]1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为________．2．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．1．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(a 2x ＋b ·a x ＋c ≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决．2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论．[练一练]1．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x 的定义域为________．2．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.考点一指数幂的化简与求值 求值与化简：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12； (3)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5[类题通法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.考点二指数函数的图像及应用[典例] (1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图像交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过点A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图像于点C ，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________．(2)已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个[类题通法]指数函数图像的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．[针对训练]1．(2013·徐州摸底)已知直线y ＝a 与函数f (x )＝2x 及g (x )＝3·2x 的图像分别相交于A ，B 两点，则A ，B 两点之间的距离为________．2．方程2x ＝2－x 的解的个数是________．考点三 指数函数的性质及应用[典例] 已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)讨论f (x )的单调性．在本例条件下，当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围.[类题通法]利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．[针对训练]已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．[课堂练通考点]1．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于________．2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图像经过点(2,1)，则f(x)的值域是________．3．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．4．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝a x，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．5．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图像恒过点A ，则A 点的坐标为________．2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 2 的值域是________．3．(2014·南京二模)如图，过原点O 的直线与函数y ＝2x 的图像交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图像于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是________．4．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系为________．。

指数幂的拓展学习目标核心素养1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点)1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养．2．通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养.1．正分数指数幂的定义是什么？2．正分数指数幂有哪些性质？3．负分数指数幂的定义是什么？1．正分数指数幂(1)定义：给定正数a和正整数m，n，(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得b n＝a m，则称b为a的mn次幂，记作b＝a.这就是正分数指数幂．(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂a满足：a＝a.②a＝n a m.2．负分数指数幂给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义a＝1a＝1n a m.能否将3－27＝－3写成(－27)＝－3?[提示]不能．因为在指数幂的概念中，总有a>0.于是，尽管有3－27＝－3，但不可以写成(－27)＝－3的形式．1.把下列各式中的b(b>0)写成正分数指数幂的形式：(1)b4＝35；(2)b－3＝32.[解](1)∵b4＝35，∴b＝3.(2)∵b－3＝32，∴b＝32.2.计算：(1)8＝________； (2)27＝________.(1)2 (2)19 [(1)设b ＝8，由定义，得b 3＝8，b ＝2，所以8＝2.(2)由负分数指数幂的定义，得27＝127. 设b ＝27，由定义，得b 3＝272＝93，b ＝9，所以27＝19.]类型1 根式的化简与求值 【例1】 化简： (1)nx －πn(x ＜π，n ∈N *)；(2)4()x ＋24.[解] (1)∵x ＜π，∴x －π＜0. 当n 为偶数时，nx －πn＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，nx －πn＝x －π.综上可知，nx －πn＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.(2)4()x ＋24＝||x ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2－x －2，x <－2 .正确区分n a n 与⎝⎛⎭⎫n a n(1)n a n 表示a 的n 次方的n 次方根，而⎝⎛⎭⎫n a n表示a 的n 次方根的n 次方，因此从运算角度看，运算顺序不同．(2)运算结果不同①⎝⎛⎭⎫n a n ＝a .②n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.[跟进训练]1．若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( ) A ．x ＞0，y ＞0 B ．x ＞0，y ＜0 C ．x ≥0，y ≥0D ．x ＜0，y ＜0B [∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ，∴xy ≤0. 又∵xy ≠0，∴xy ＜0，故选B.] 2．若2a －12＝31－2a3，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 [2a －12＝|2a －1|，31－2a3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a ，故2a －1≤0，所以a ≤12.]类型2 根式与分数指数幂的互化 【例2】 (1)3可化为( ) A ． 2 B ．33 C ．327D ．27(2)5a －2可化为( ) A ．a B ．a C ．aD ．－a[思路点拨] 熟练应用na m＝a m n是解决该类问题的关键． (1)D (2)A [(1)3＝()33＝27.(2) 5a －2＝()a－2＝a .]根式与分数指数幂的互化规律 1．关于式子na m＝a 的两点说明 (1)根指数n 即分数指数的分母； (2)被开方数的指数m 即分数指数的分子． 2．通常规定a 中的底数a >0.[跟进训练]3．将下列各根式化为分数指数幂的形式： (1)13a；(2)4a －b3.[解] (1)13a＝1a＝a ；(2)4a －b3＝()a －b .类型3 求指数幂a mn 的值【例3】 求下列各式的值： (1)64；(2)81.[思路点拨] 结合分数指数幂的定义，即满足b n＝a m时，a ＝b (m ，n ∈ N ＋，a ，b >0)求解．[解] (1)设64＝x ，则x 3＝642＝4 096， 又∵163＝4 096， ∴64＝16. (2)设81＝x, 则x 4＝81－1＝181， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181，∴81＝13.解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．[跟进训练]4．求下列各式的值： (1)125；(2)128.[解] (1)设125＝x ，则x 3＝125， 又∵53＝125， ∴125＝5.(2)设128＝x ，则x 7＝128－1＝1128， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝1128，∴128＝12.1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1) 2表示23个2相乘．( )(2) a ＝ma n(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( ) (3) a＝1n a m(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ 2.3a －2可化为( ) A ．a B ．aC ．aD ．－a[答案] A3．计算243等于( ) A ．9 B ．3 C ．±3D ．－3B [由35＝243，得243＝3.] 4．若b－3n ＝5m(m ，n ∈N ＋)，则b ＝________.[答案] 55．用分数指数幂表示下列各式(式中a >0)， (1)a 3＝________； (2)13a 5＝________.。

平陆中学高三年级理科数学学案《指数与指数函数》学习目标1. 能够准确熟练进行知识点梳理；2. 能够熟练进行指数运算，保证每一步骤的正确性；3. 会画指数函数及指数型函数的图象，并且会根据图象熟练总结指数函数的性质，进而可以运用性质解决几类问题；4. 能够分析与指数函数相关的复合函数的性质，达到解决问题的目的。

学习重点理解指数函数的图象和性质学习难点掌握指数函数的应用以及求解相关复合函数的性质的方法 学习过程一．知识梳理1．根式 (1)根式的概念①若 ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数． ②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒ x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn＝ (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a －m n ＝ ＝ (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ③0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ．(2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝ (a >0，r ，s ∈Q )． ②(a r )s ＝ (a >0，r ，s ∈Q )． ③(ab )r ＝ (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象及性质判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4（π－4）4＝π－4.( )(2)n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( ) (3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (4)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( )(5)若a m >a n ，则m >n .( )(教材习题改编)有下列四个式子： ① 3（－8）3＝－8；②（－10）2＝－10； ③4（3－π）4＝3－π；④2 018（a －b ）2 018＝a －b .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2018·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A ．y ＝1－x B ．y ＝|x －2| C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x )函数f (x )＝1－e x 的值域为________．(教材习题改编)若指数函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．三．典例分析例题一. 化简下列各式：(1)0.027－13－⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0； (2)⎝⎛⎭⎫56a 13b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)12·ab .【方法总结】例题二. 若方程|3x －1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________．【方法总结】1.指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．2. 指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)比较指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质． 例题三.(1) 比较指数幂的大小已知a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝2－43，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则下列关系式中正确的是( ) A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c(2) 解简单的指数方程或不等式设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(3)研究指数型函数的性质函数y ＝(12)x 2＋2x －1的值域是( )A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0，4]D ．[4，＋∞) 【方法总结】四．巩固练习1. 化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝⎛⎭⎫27125－13－⎝⎛⎭⎫2790.5； (2)⎝⎛⎭⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.2. (1) 函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2) 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．3．已知函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间[－2，2]上单调递减，则m 的取值范围为________．五．课堂小结六．作业㈠.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． ㈡基础达标1．化简4a 23·b －13÷⎝⎛⎭⎫－23a －13b 23的结果为( )A ．－2a 3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab2．(2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数3．(2018·湖北四市联考)已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )4．若2x 2＋1≤⎝⎛⎭⎫14x －2，则函数y ＝2x 的值域是( )A ．[18，2)B ．[18，2]C ．(－∞，18]D ．[2，＋∞)5．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]6．化简：⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5＝________． 7．(2018·陕西西安模拟)若函数f (x )＝a x －2－2a (a >0，a ≠1)的图象恒过定点⎝⎛⎭⎫x 0，13，则函数f (x )在[0，3]上的最小值等于________．8．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________． 9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．10．已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )． (1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件．1．(2018·河南濮阳检测)若“m >a ”是函数“f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．12．(2017·高考全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) 3．若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x<1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．5．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 6．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．。

指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *，式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)a 的n 次方根的表示x n ＝a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；②负分数指数幂： (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质R4.(1)na n与(na)n都等于a(n∈N*)．()(2)函数y＝a－x是R上的增函数．()(3)函数y＝a x2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．()(4)当x＞0时，y＝a x＞1.()(5)函数y＝2x－1＋1，过定点(0,1)．()考点一指数幂的运算[方法引航]指数幂的化简方法(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数.(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.1．化简－(－1)0的结果为()（易错）A．－9B．7C．－10 D．9考点二指数函数图象及应用命题点1.指数函数图象的变换2.指数函数图象的应用[例2](1)函数x b的是()A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？[方法引航](1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.1．函数f(x)＝2|x－1|的图象是()2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．考点三指数函数的性质命题点1.比较指数式的大小2.解指数方程或指数不等式[例3] (1)设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1.5，则( )A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2 (2)不等式2－x2＋2x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________． (3)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3①若f (x )有最大值3，求a 的值； ②若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．[方法引航] (1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小.(2)解决简单的指数方程或不等式问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(3)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.1．若本例(1)中的三个数变为y 1＝，y 2＝，y 3＝，则大小关系如何．2．在本例(3)中，若a ＝－1，求f (x )的单调区间．3．在本例(3)中，若a ＝1，求使f (x )＝1的x 的解．[方法探究]整体换元法，巧化指数式指数式的运算化简除了定义和法则外，根据不同的题目结构，可采用整体换元等方法．一、根据整体化为同指数[典例1] 计算(3－2)2 018·(3＋2)2 019的值为________．二、根据整体化为同底数[典例2] 若67x ＝27,603y ＝81，则3x －4y ＝________.期末考试第一题三、根据整体构造代数式 [典例3] 已知a 2－3a ＋1＝0，则＝________.四、根据整体构造常数a x ·a －x ＝1 [典例4] 化简4x4x ＋2＋41－x 41－x ＋2＝________.五、根据整体换元[典例5] 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．[高考真题体验]1．已知则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b2．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a3．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝3x C ．f (x )＝D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x4．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.5．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．课时规范训练 A 组 基础演练1．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )2．在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称3．函数y ＝2x －2－x 是( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x ＞0)，e x (x ≤0)，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为( )A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________．6．计算：＝________.7．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．8．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．B 组 能力突破1．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 在x ∈[0,4]上解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x ＞7是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，611C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，611 3．已知f (x )＝9x －13x ＋1，且f (a )＝3，则f (－a )的值为________．结论：4．设函数f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a ＞0，a ≠1) (1)讨论f (x )的单调性；(2)若m ∈R 满足f (m )＞f (m 2＋2m －2)，求m 的范围．。

指数与指数函数教案教案标题：指数与指数函数教案教案目标：1. 理解指数的概念和基本性质；2. 掌握指数运算的基本法则；3. 理解指数函数的定义和特点；4. 能够应用指数函数解决实际问题。

教学重点：1. 指数的定义和基本性质；2. 指数运算的基本法则；3. 指数函数的定义和特点。

教学难点：1. 指数函数的应用问题解决。

教学准备：1. 教材：包含有关指数和指数函数的相关知识的教材；2. 教具：计算器、白板、彩色粉笔等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入指数的概念，通过实例解释指数的含义和作用；2. 提问学生对指数的了解程度，激发学生的学习兴趣。

二、讲解指数的定义和基本性质（15分钟）1. 讲解指数的定义，包括底数、指数和幂的概念；2. 介绍指数的基本性质，如指数为0时的计算规则、指数为正数时的计算规则等；3. 通过例题演示指数运算的基本法则。

三、指数运算练习（15分钟）1. 给学生分发练习题，要求他们完成指数运算的计算和简化；2. 引导学生互相讨论解题思路和方法；3. 随堂检查学生的练习成果，及时纠正错误。

四、讲解指数函数的定义和特点（15分钟）1. 介绍指数函数的定义，包括指数为变量的函数形式；2. 解释指数函数的特点，如增长率、图像特征等；3. 通过图像展示指数函数的变化规律。

五、指数函数应用实例分析（15分钟）1. 给学生提供一些实际问题，要求他们运用指数函数解决；2. 引导学生分析问题，建立数学模型；3. 鼓励学生互相交流和分享解题思路。

六、小结与拓展（10分钟）1. 总结指数与指数函数的重点内容和学习要点；2. 提出一些拓展问题，激发学生进一步思考；3. 鼓励学生自主学习相关知识，拓宽数学视野。

教学反馈：1. 教师及时纠正学生在课堂上的错误，解答学生提出的问题；2. 教师评价学生的参与度和学习成果；3. 学生填写教学反馈表，反馈课堂教学的效果和自身的学习感受。

教学延伸：1. 布置相关练习作业，巩固学生的学习成果；2. 鼓励学生使用计算器和其他工具进行指数函数的实际计算；3. 推荐相关参考书籍和网站，供学生进一步学习。

3.1.2 指数函数学习目标：1、理解指数函数的概念，明确其图象形状。

2、通过指数函数的图象，研究指数函数的性质。

3、应用指数函数的性质解决简单的问题。

B 案使用说明：认真阅读课本，完成以下题目，做好疑难标记准备讨论。

1、认真阅读课本P85左边的“百万富翁”和“细胞分裂”的故事，体会“指数爆炸”的事实。

2、一般地，函数叫做指数函数。

思考：什么样的函数才是指数函数？ 训练1：判断下列函数是否为指数函数 ①y=4x ②y=x 4 ③y=—4x④y=（—4）x⑤y=πx⑥y=xx⑦y=2x+22、a 为何值时，y=（a 2—3）·a x 是指数函数？3、在同一坐标系中作出y=2x 与y=（21）x 的图象。

x … —3 —2 —1 0 1 2 3 … y=2x… … y=x21……C 案使用说明：1、将自学中遇到的问题组内交流标记好疑难点。

2、组内解决不了的问题直接提出来作为全班展示。

[合作探究一] 在B 案第3个问题中已作出y=2x和y=(21)x 的图象，请在此基础上再做出y=3x和y=(31)x 的图象。

总结：根据图象总结指数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质（1）定义域 值域 （2）图象经过定点（3）x>0时y x<0时y x>0时y x<0时y （4）单调性1、当a>0且a ≠1时，y=a x 与y=（a1）X 的图象对称。

2、指数函数中为何规定a>0且a ≠1？ 例1 求下列函数的定义域 （1）y=33－x（2）y=x5－11变式训练：解不等式 （1）（31）8—2x>3—2x（2）a 2x —7>a 4x —1（a>0且a ≠1）小结：（1）解指数不等式，需化为a f(x)<ag(x)形式。

（2）正确运用指数函数单调性（3）要有分类讨论的意识[合作探究二] 例2 比较大小：（1）1.7321.743（2）0.8-1 0.8-2（3）1.70.30.93.1 （4）1.70.31.50.3小结：（1）灵活运用“0，1”作辅助，比较大小（2）同一坐标系中y=a x，a 取不同值时图象的变化规律变式：根据下图比较大小则a 、b 、c 、d 、l 的大小关系为当堂检测：1、函数y=（a 2—3a+3）·a x 是指函数，则有A 、a=1或2B 、a=1C 、a=2D 、a>0且a ≠12、如果函数f(x)=(1—2a)x在实数集R 上是减函数，则a 的取值范围是A 、（21，+∞）B 、（0，21） C 、（—∞，21） D 、（—21，21）3、函数y=a x在[0，1]上最大值与最小值和为3，则a 等于A 、21 B 、2 C 、4 D 、414、比较大小：（1）0.9a 0.9a-1 1.1a-2 1.1a-2.1（2）已知a=0.80.7，b=0.80.9，c=1.20.8则a 、b 、c 大小关系是A 案1、求定义域 （1）y=x3—1（2）y=x)21(—12、已知f （x ）定义域为（0，1），则函数f （3—x）的定义域为 。

函数一轮复习学案五（指数与指数函数）知识梳理一．指数的概念与分数指数幂1、根式的概念：一般地，如果一个数的n 次方等于)1(*N n n a ∈>且,那么这个数叫做a 的n 次方根。

也就是说，若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根，其中*1N n n ∈>且。

式子n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。

2、根式的性质：（1）当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的n 次方根用符号n a 表示。

（2）当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时正数的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示。

正负两个n 次方根能够合写为)0(>±a a n 。

此时，负数没有n 次方根。

（3）()a a nn=；（4）当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a a a a n n（5）零的任何次方根都是零。

3、分数指数幂的意义： （1）)1,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm 且，；（2）)1,,0(1≥∈>=⨯-n N n m a aanm nm ，且4、指数的运算法则： （1）),,0(Q s Q r a aa a sr sr∈∈>=⋅+；（2））（Q s Q r a a a a sr sr∈∈>=÷-,,0 （3）()),,0(Q s Q r a a a rs sr∈∈>=；（4）()),,0(Q s Q r a a a ab sr r∈∈>⋅=二．指数函数的图像和性质1、指数函数的概念：一般地，函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量， 的定义域是R 。

3、深化：（1）指数函数的定义必须符合xa y =才能够，如函数xy 32⨯=不是指数函数。

指数函数教案（优秀5篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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指数与指数函数教学目标：掌握指数运算（高考要求A ）及指数函数的有关概念（高考要求B ）. 教学重难点：熟悉指数运算，掌握指数函数图像性质及其应用。

教学过程： 一.知识要点： 1．指数运算(1) 根式的定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。

即若a x n =，则x 称a 的n 次方根（)1*∈>N n n 且， ① 当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；②当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。

（2）根式性质：①a a n n =)(；②当n 为奇数时，a a n n =；③当n(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩。

（3）幂运算法则：①∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *) ②)0(10≠=a a ；n 个 ③∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N *且)1>n 。

（4）幂运算性质： ①r a a a a sr s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）；②r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）； ③∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。

（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。

2.指数函数：(1) 指数函数定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，函数的定义域为R ；函数的值域为),0(+∞； (2)函数图像及性质：①指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；②当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数。

③指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；④对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称。