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第五节指数与指数函数2019考纲考题考情1．根式(1)根式的概念①na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a＜0)(n为偶数)。
②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)。
2．有理数的指数幂(1)幂的有关概念③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义，0的零次幂无意义。
(2)有理数指数幂的运算性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)。
②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)。
③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)。
3．指数函数的图象与性质1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a 。
2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0。
由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大。
3．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究。
一、走进教材1．(必修1P 59A 组T 4改编)化简416x 8y 4(x <0，y <0)＝________。
解析 因为x <0，y <0，所以416x 8y 4＝|2x 2y |＝－2x 2y 。
答案 －2x 2y2．(必修1P 56例6改编)若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)＝________。
解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1＝2。
第五节 指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.了解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用. 知识梳理 1.根式 (1)根式的概念若 x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)a 的n 次方根的表示x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a 当n 为奇数且n ∈N *时，x ＝±n a 当n 为偶数且n ∈N *时(3)两个重要公式：①(na )n＝a (n >1，且n ∈N ＋)．②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数且n >1，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0，n 为偶数且n >1.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：mna ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；②负分数指数幂：m na－＝1m na＝na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a m·a n＝am ＋n(a ＞0，m ，n ∈Q )；②(a m )n ＝a mn(a ＞0，m ，n ∈Q )； ③(ab )m＝a m b m(a ＞0，b ＞0，m ∈Q )． 3.指数函数及其性质(1)概念；函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质知识拓展1．指数函数图像的画法画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .2.指数函数的图像与底数大小的比较判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图像，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b . 底数a 的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a ＞1，还是0＜a ＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．典型例题考点一 指数幂的运算【例1】 化简：(1) (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋0.002－12－10×(5－2)－1＋π0；(2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12.【答案】（1）－1679；（2）－5ab4ab2规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【变式训练1】 化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5；(2)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5.【答案】（1）1615；（2）1a【解析】 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .考点二 指数函数的图象及应用【例2】(1)若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过点(－1,3)，则f (2)＝________. 【答案】19【解析】依题意可知a －1＝3，解得a ＝13，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，所以f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19.(2)函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为________. 【答案】 [0，＋∞)【解析】要使函数有意义，需满足1－⎝⎛⎭⎪⎫12x≥0，得x ≥0.(3)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )【答案】A【解析】f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)的值域为(－∞，0]，因此排除B、C、D，只有A满足.(4)当k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？【答案】当k<0时，方程无解；当k＝0或k≥1时，方程有一解；当0<k<1时，方程有两解．【解析】函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．(5)[2017·河北衡水模拟]若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．【答案】[－1,1]【解析】曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示．由图象可得，如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则－1≤b≤1.故b的取值范围是[－1,1]．【题点发散1】若将本例(3)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．【解析】曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 的图象如图所示．由图象可得，如果曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)． 【题点发散2】 若将本例(3)改为：函数y ＝|2x－1|在(－∞，k ]上单调递减，求k 的取值范围． 【解析】因为函数y ＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k ≤0，即k 的取值范围为(－∞，0]． 规律方法(1)画指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. 【变式训练2】（1）函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有a ＝________. 【答案】2【解析】根据定义有a 2－3a ＋3＝1，解得a ＝2或a ＝1(舍去)． (2) 当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝a x －2－3的图像必过定点________．【答案】(2，－2)【解析】令x －2＝0，则x ＝2，此时f (x )＝1－3＝－2， 故函数f (x )＝ax －2－3的图像必过定点(2，－2)．(3)方程2x＝2－x 的解的个数是________. 【答案】1【解析】方程的解可看作函数y ＝2x和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.(4)(2017·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x的图象是( )【答案】A【解析】因为当x ≤0时，2x≤1；当x >0时，2x>1.则f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，1，x >0，图象A 满足.(5)[2017·陕西西安模拟]函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )A B C D【答案】 D【解析】 当a >1时1函数单调递增，且函数图象恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为0<1－1a<1，故A ，B 均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数图象恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为1－1a<0，故选D.考点三 指数函数的性质及应用【例3】（1）已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223 ，b ＝2－ 43 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 ，则下列关系式中正确的是( )A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c【答案】 B【解析】 把b 化简为b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 43 ，而函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，43>23>13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12 43 <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 23 <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 13，即b <a <c.（2）设函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝3x－9，则f (x －3)>0的解集是( ) A ．{x |x <－2或x >2} B ．{x |x <－2或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <1或x >5}【答案】 D【解析】 当x ≥0时，由f (x )＝3x－9>0得x >2，所以f (x )>0的解集为{x |x >2或x <－2}．将函数f (x )的图象向右平移3个单位，得到函数f (x －3)的图象，所以不等式f (x －3)>0的解集为{x |x <1或x >5}．选D.（3）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 【答案】 C【解析】 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，所以0≤a <1. 故实数a 的取值范围是(－3,1)，故选C.(4)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a ＞0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为( ) A.13 B ．1 C ．3 D ．13或3 【答案】 D当0＜a ＜1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋12－2＝14，解得a ＝13或－15(舍去)．综上知，a ＝3或a ＝13.(5)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值.【答案】①递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)；② a ＝1；③ a ＝0。
