10指数与指数函数(无答案)-山东省青岛志贤中学高考数学复习学案

第10课时 指数与指数函数【学习目标】1、熟悉指数式的概念；理解分数指数幂；2、理解指数函数的概念，理解指数函数的图象和性质；3、能够熟练地解决与指数函数有关的问题。

【学习重点】指数函数的性质及其应用 【预习内容】 1．根式的性质 (1)(na )n＝a .(2)当n 为奇数时na n＝a ； 当n 为偶数时nan＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a <0.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质y ＝a xa >10<a <1图像定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0,1)当x >0时，y >1；x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1；x <0时，y >1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1. 【基础练习】1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为________．答案：72．若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2) 3．函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为________． 答案：[0，＋∞)4．若函数f(x)＝a x－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.解析：当a>1时，f(x)＝a x－1在[0,2]上为增函数， 则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又∵a>1，∴a ＝ 3. 当0<a<1时，f(x)＝a x－1在[0,2]上为减函数又∵f(0)＝0≠2，∴0<a<1不成立． 综上可知，a ＝ 3. 答案： 35、设5.1348.029.0121,8,4-⎪⎭⎫ ⎝⎛===y y y ，则123,,y y y 的大小关系是。

江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习专题一第2讲函数的概念、图象与性质（1）教学案复备栏教学内容：函数的概念、图象与性质（1）教学目标：理解函数及其表示，掌握函数的图象；掌握函数的性质。

教学重点：一是识图，二是用图，通过数形结合的思想解决问题。

教学难点：单调性、奇偶性、周期性等综合应用．教学过程：一、知识点复习：1．必记的概念与定理(1)若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．(2)单调性：利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．由几个函数构成的函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(3)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(4)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．2．记住几个常用的公式与结论图象变换规则(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．(3)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．(4)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．(5)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(6)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．(7)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0时的图象．(8)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；(9)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．3．需要关注的易错易混点(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值集合的并集．(2)从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．(3)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．(4)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件．二、基础训练：1．(教材习题改编)若f(x)＝x2＋bx ＋c ，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝________. 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－4，c ＝3.即f(x)＝x2－4x ＋3.所以f(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8.答案：82．设集合M ＝{x|0≤x≤2}，N ＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着惟一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y|0≤y≤3}不合题意．答案：②3．(2014·常州模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋1，x≤1，2x ，x>1，则f(f(3))＝________.解析：f(3)＝23，f(f(3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139.答案：1394．已知f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a －1,2a]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．解析：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a －1,2a]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f(－x)＝f(x)，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.答案：13三、例题教学：例1 (2014·苏州调研)若函数y ＝f(x)的定义域是[0,8]，则函数g(x)＝f 2x ln x 的定义域是________．[解析] 由函数y ＝f(x)的定义域是[0,8]得，函数g(x)有意义的条件为0≤2x≤8且x>0，x≠1，故x ∈(0,1)∪(1,4][答案] (0,1)∪(1,4 [方法归纳] 求函数定义域的类型和相应方法(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可，函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b 解出([a ，b]为g(x)的值域)．(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．变式训练：若函数y ＝f(2x)的定义域是[0,8]，则函数g(x)＝f x2x 的定义域是________．解析：由函数y ＝f(2x)的定义域是[0,8]得，函数g(x)有意义的条件为0≤2x≤16，所以g(x)＝f x2x 的定义域是[0,16]．答案：[0,16]例2 (1)(2014·高考江苏卷)已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f(x)＝x2－2x ＋12 .若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．(2) (2014·南昌模拟)已知函数y ＝f(x)的周期为2，当x ∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝|lg x|的图象的交点共有________个．[解析] (1)作出函数y ＝f(x)在[－3,4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝12，观察图象可得0<a<12.(2)根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下：可验证当x ＝10时，y ＝|lg 10|＝1；1<x<10时，|lg x|<1；x>10时|lg x|>1.结合图象知y ＝f(x)与y ＝|lg x|的图象交点共有10个．[答案] (1)⎝⎛⎭⎫0，12 (2) 10[方法归纳] 作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f(x)与y ＝f(－x)、y ＝－f(x)、y ＝－f(－x)、y ＝f(|x|)、y ＝|f(x)|及y ＝af(x)＋b 的相互关系．识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．变式训练：(1)若本例(2)中y ＝f(x)变为f(x)＝|x|，其他条件不变，则交点个数为________．(2)如图，函数f(x)的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f 3的值等于________．解析：(1)根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下：由图象知共10个交点 (2)∵由图象知f(3)＝1，∴1f 3＝1.∴f ⎝⎛⎭⎫1f 3＝f(1)＝2.答案：(1)10 (2)2巩固练习：1．若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)－f(－x)＝3x ＋1，则f(x)＝________.解析：由题意知2f(x)－f(－x)＝3x ＋1.①将①中x 换为－x ，则有2f(－x)－f(x)＝－3x ＋1.②①×2＋②得3f(x)＝3x ＋3，即f(x)＝x ＋1.答案：x ＋1课后反思：2．(教材习题改编)已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(x ＋4)＝f(x)，则f(8)的值为________．解析：∵f(x)为奇函数且f(x ＋4)＝f(x)，∴f(0)＝0，T ＝4.∴f(8)＝f(0)＝0.答案：03．(2014·台州模拟)若函数y ＝|2x －1|在(－∞，m]上单调递减，则m 的取值范围是________．解析：画出图象易知y ＝|2x －1|的递减区间是(－∞，0]，依题意应有m≤0. 答案：(－∞，0]4．(2014·南京调研)若f(x)＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：设x1>x2>－2，则f(x1)>f(x2)，而f(x1)－f(x2)＝ax1＋1x1＋2－ax2＋1x2＋2＝2ax1＋x2－2ax2－x1x1＋2x2＋2＝x1－x22a －1x1＋2x2＋2>0，则2a －1>0.得a>12.答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞。

技能训练（六）集合序号：NO.6日期：2019.11.21【考纲传真】1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．【知识通关】1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、________、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为___和___.(3)集合的三种表示方法：________、________、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N_________ _________2.表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的_______都是集合B的元素x∈A⇒x∈B A⊆B或______ 真子集集合A是集合B的子集，但集合B中_____有一个元素不属于AA⊆B，∃x0∈B，x0∉A______或B______A表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于A___属于B的元素组成的集合{x|x∈A___x∈B}_____并集属于A___属于B的元素组成的集合{x|x∈A___x∈B}_____补集全集U中___属于A的元素组成的集合{x|x∈U，x__A} _____[常用结论]1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.【题型全通】[题型一]集合的含义与表示1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为( )A．3 B．4 C．5 D．62．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )A.92 B.98C．0 D．0或98[题型二]集合间的基本关系3.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则( )。

1《11.6零指数幂与负整指数幂 》【课程标准的相关陈述】1、了解整数指数幂的意义和性质【学习目标】了解零指数幂与负整指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题预习案（一）预习探索回顾：a m ÷a n = （0≠a ，m ，n 都是正整数，并且m>n ）1思考：在公式中要求 m ，n 都是正整数，并且m>n ，但如果m=n 或m<n 呢？计算：32÷32 103÷103 a m ÷a m （a ≠0）==÷22223333 =÷331010 = ==÷m mm m a a a a （a ≠0） 32÷32=3（ ） =3（ ） 103÷103=10（ ） =10（ ） a m ÷a m =a （ ） =a （ ）（a ≠0）（二）合作交流： a 0=？（a ≠0）最终结论：同底数幂相除：a m ÷a n =a m-n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ≥n ）为了使同底数幂的除法性质：a m ÷a n =am-n 当m=n 时也成立，规定a 0=1 2想一想： 10000=104 ， 16=241000=10（ ）， 8=2（ ）100=10 （ ） ， 4=2（ ）10=10 （ ）， 2=2（ ）猜一猜： 1=10（ ） 1=2（ ）0.1=10（ ） 21=2（ ） 0.01=10（ ） 41=2（ ） 0.001=10（ ） 81=2（ ） 负整数指数幂的意义：p p aa 1=-（0≠a ，p 为正整数）或p p a a )1(=-（0≠a ，p 为正整数） 探究案（三）精讲点拨例1（1）2x 0（x ≠0） （2）a 2÷a 0.a22例3 计算 43- （-1）3- （0.2）3-（四）巩固拓展1．若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？2．若0)52(-x 无意义，求x 的值3.若0.000 000 3＝3×x 10，则=x4.用小数或分数分别表示下列各数：___________________________________106.1)3(4=⨯-（五）小结达标提升案1若x 2＝＝，则x 321 2.若()()()＝则－－－x x x ,22223÷= 3若＝则x x ,9423=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 4．用小数或分数表示下列各数： （1）0118355⎪⎭⎫ ⎝⎛ ＝ （2）23-＝ （3）24- ＝ （4）365-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝ （5）4.2310-⨯＝ （6）325.0-＝ 5．已知2(1)1x x +-=,求整数x 的值。

某某赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第2讲 函数的概念、图象与性质（2）教学案教学内容：函数的概念、图象与性质（2）教学目标：理解函数及其表示，掌握函数的图象；掌握函数的性质。

教学重点：一是识图，二是用图，通过数形结合的思想解决问题。

教学难点：单调性、奇偶性、周期性等综合应用．教学过程：一、基础训练：1．若函数y ＝ax ＋b －1 (a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有________．答案 0<a<1且b<0解析 (1)当0<a<1时，不论上下怎样平移，图象必过第二象限；当a>1时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限．∵y ＝ax ＋b －1的图象经过第二、三、四象限，∴只可能0<a<1.(2)如图，这个图可理解为y ＝ax (0<a<1)的图象向下平移大于1个单位长度．∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1<0，|b －1|>1，解得b<0. 由(1)、(2)可知0<a<1且b<0.2．(2013·课标全国Ⅱ改编)设a ＝log36，b ＝log510，c ＝log714，则a ，b ，c 的大小顺序为________．答案 a>b>c解析 因为a ＝log36＝1＋log32＝1＋1log23，b ＝log510＝1＋log52＝1＋1log25，c ＝log714＝1＋log72＝1＋1log27，显然a>b>c.3．若函数f(x)＝logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝________.答案 24解析 ∵0<a<1，∴f(x)＝logax 在[a,2a]上为减函数，∴f(x)max ＝logaa ＝1，f(x)min ＝loga2a ＝1＋loga2，∴1＝3(1＋loga2)，即loga2＝－23，∴a ＝24.4．函数f(x)＝1－2log6x 的定义域为________．答案 (0，6]解析 要使函数f(x)＝1－2log6x 有意义，复备栏则⎩⎪⎨⎪⎧x>0，1－2log6x≥0.解得0<x≤ 6. 二、例题教学： 例1(1)(2014·某某模拟)设函数y ＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数fk(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，f x ≤k ，k ，f x ＞k ，取函数f(x)＝2－|x|.当k ＝12时，函数fk(x)的单调递增区间为______．(2)(2014·潍坊模拟)设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式f x ＋f －x x>0的解集为________． [解析] (1) 由f(x)>12，得－1<x<1.由f(x)≤12，得x≤－1或x≥1.所以f 12(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x≥1，12，－1＜x ＜1，2x ，x≤－1.故f 12(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．(2)∵f(x)为偶函数，∴f x ＋f －x x ＝2f x x >0，∴xf(x)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x>0，f x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，f x <0.又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数， 故x ∈(0,2)或x ∈(－∞，－2)．[答案] (1)(－∞，－1) (2)(－∞，－2)∪(0,2)[方法归纳] (1) 求函数的单调区间的常用方法①利用已知初等函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． ②定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解．③图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．④导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．(2)函数奇偶性与单调性分别是函数整体与局部的性质，它们往往在研究函数中“并驾”而行，解题时往往先通过函数奇偶性进行变形，再利用单调性求解．变式训练：(1)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x －1)>0，则x 的取值X 围是________．(2) 设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，若n≥2且n ∈N*，则f(－n)，f(1－n)，f(n －1)，f(n ＋1)的大小关系为________．解析：(1)∵f(x)是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x<3.(2)∵f(x)为偶函数，所以f(－n)＝f(n)，f(1－n)＝f(n －1)．又∵函数y ＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且0<n －1<n<n ＋1，∴f(n ＋1)<f(n)<f(n －1)．∴f(n ＋1)<f(－n)<f(n －1)＝f(1－n)．答案：(1)(－1,3)(2)f(n ＋1)<f(－n)<f(n －1)＝f(1－n)例2(2014·某某模拟)已知f(x)的图象如图，则f(12)＋f(32)的值为________．[解析] 由图象知每段为线段．设f(x)＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝32，b1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a2＝－32，b2＝3. 所以f(x)＝⎩⎨⎧32x ，0≤x≤1，3－32x ，1<x≤2.故f(12)＋f(32)＝32.[答案] 32 [方法归纳] 求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值的X 围求自变量值或自变量的取值X 围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或X 围是否符合相应段的自变量的取值X 围．变式训练：(2014·高考某某卷)设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x2＋2，－1≤x<0，x ， 0≤x<1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解析：函数的周期是2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，课后反思： 根据题意f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：1巩固练习：1．“lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”是“y2＝xz 成立”的________条件．答案 充分不必要解析 由lg x ，lg y ，lg z 成等差数列，可以得出2lg y ＝lg x ＋lg z ，根据对数函数的基本运算可得，y2＝xz ，但反之，若y2＝xz ，并不能保证x ，y ，z 均为正数，所以不能得出lg x ，lg y ，lg z 成等差数列．2．已知函数f(x)＝lg x ，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.答案 2解析 ∵f(x)＝lg x ，∴f(a2)＋f(b2)＝2lg a ＋2lg b ＝2lg ab.又f(ab)＝1，∴lg ab ＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝2.3．已知0<a<1，则函数f(x)＝ax －|logax|的零点个数为________．答案 2解析 分别画出函数y ＝ax(0<a<1)与y ＝|logax|(0<a<1)的图象，如图所示，图象有两个交点．4．若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x|＋m 的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值X 围是________．答案 [－1,0)解析 由题意得，函数y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫121－x ＋m ，x≤1⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ，x>1. 首先作出函数y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫121－x ，x≤1⎝⎛⎭⎫12x －1，x>1的图象，如图所示．由图象可知要使函数y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫121－x ＋m ，x≤1⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ，x>1的图象与x 轴有公共点，则m ∈[－1,0)．。

第五节指数与指数函数课标要求考情分析1.了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型.1.直接考查指数函数的图象及其性质或以指数与指数函数为知识载体，考查指数幂的运算和函数图象的应用或以指数函数为载体与函数方程、不等式等内容交汇命题．2．题型主要是选择题、填空题，难度中等.知识点一有理数指数幂1．幂的有关概念(1)正分数指数幂：amn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(2)负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．2．有理数指数幂的性质(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．知识点二指数函数的图象与性质(1)指数函数的图象与底数大小的比较在第一象限内，指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．(2)指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( × ) (2)2a ·2b ＝2ab .( × ) (3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( √ )(4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × )解析：(1)na n＝⎩⎪⎨⎪⎧|a |，n 为偶数，a ，n 为奇数，(n a )n ＝a .(2)2a ·2b ＝2a ＋b .(3)由指数函数的形式定义知应满足的条件：①系数为1，②指数为x ，③底数a >0且a ≠1. (4)当a >1时，由a m <a n ，得m <n ， 当0<a <1时，由a m <a n ，得m >n . 2．小题热身(1)化简416x 8y 4(x <0，y <0)得( D ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2yD ．－2x 2y(2)已知a ＝⎝⎛⎭⎫35－ 13 ，b ＝⎝⎛⎭⎫35－ 14 ，c ＝⎝⎛⎭⎫32－ 34 ，则a ，b ，c 的大小关系是( D ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．c <b <a(3)若x ＋x －1＝3，则x 2－x －2＝±3 5.(4)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫2，13，则f (－1)＝ 3. (5)函数的定义域是(0，＋∞)．解析：(1)因为x <0，y <0，所以416x 8y 4＝(16x 8·y 4) 14 ＝(16) 14 ·(x 8) 14 ·(y 4) 14 ＝2x 2|y |＝－2x 2y .(2)因为y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数，所以⎝⎛⎭⎫35－ 13 >⎝⎛⎭⎫35－ 14 >⎝⎛⎭⎫350，即a >b >1，又c ＝⎝⎛⎭⎫32－34 <⎝⎛⎭⎫320＝1，所以c <b <a .(3)由(x ＋x －1)2＝x 2＋x －2＋2＝9，得x 2＋x －2＝7.又(x －x －1)2＝x 2－2＋x －2＝5，所以x －x－1＝±5，所以x 2－x －2＝(x ＋x －1)(x －x －1)＝±3 5.(4)依题意可知a 2＝13，解得a ＝33，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫33x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫33－1＝ 3. (5)要使该函数有意义，则解得x >0，所以定义域为(0，＋∞)．考点一 指数幂的运算【例1】 (1)计算：8 23 －⎝⎛⎭⎫－780＋4(3－π)4＋[(－2)6] 12 ＝______. (2)已知x 12 ＋x － 12 ＝5，则x 2＋x －2－6x ＋x －1－5的值为_______________． 【解析】 (1)823 －⎝⎛⎭⎫－780＋4(3－π)4＋[(－2)6] 12 ＝23×23 －1＋(π－3)＋26×12 ＝22－1＋π－3＋23＝4＋π－4＋8＝π＋8.(2)由已知可得x ＋x －1＝(x 12 ＋x － 12)2－2＝3， 则x 2＋x －2＝(x ＋x －1)2－2＝7，故原式＝7－63－5＝－12.【答案】 (1)π＋8 (2)－12方法技巧指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.1．计算：2x － 13 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 13＋x 34 ＝( D ) A ．3 B ．2 C ．2＋xD ．1＋2x解析：原式＝2x － 13 ·12x 13 ＋2x － 13 ·x 43＝1＋2x .2．已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －b a ＋b ＝55. 解析：由已知得，a ＋b ＝6，ab ＝4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15. 因为a >b >0，所以a >b ，所以a －b a ＋b＝55.考点二 指数函数的图象及应用命题方向1 图象的识别【例2】 (2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a (x ＋12)(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )【解析】 解法1：若0<a <1，则函数y ＝1a x 是增函数，y ＝log a (x ＋12)是减函数且其图象过点(12，0)，结合选项可知，选项D 可能成立；若a >1，则y ＝1a x 是减函数，而y ＝log a (x ＋12)是增函数且其图象过点(12，0)，结合选项可知，没有符合的图象．故选D.解法2：分别取a ＝12和a ＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.【答案】 D命题方向2 图象的应用【例3】 函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．【解析】 f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，等价于⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|2x －2|，y ＝b有两个交点(如图)，可知0<b <2.【答案】 (0,2) 方法技巧指数函数图象的画法(判断)及应用方法,(1)画(判断)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a .(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数数形结合求解.1．(方向1)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( D )解析：当a >1时函数单调递增，且函数图象过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a ，因为0<1－1a <1，故A ，B 均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数恒过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a ，因为1－1a <0，所以知D 项正确．2．(方向2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是[－1,1]．解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]．3．(方向2)函数f (x )＝|a x ＋b |(a >0，且a ≠1，b ∈R )的图象如图所示，则a ＋b 的取值范围是(0，＋∞)．解析：根据图象得a >1，f ⎝⎛⎭⎫12＝0，b <0，所以a ＋b ＝0，所以a ＋b ＝a －a >1－1＝0.考点三 指数函数的性质及应用命题方向1 比较大小与解不等式【例4】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确；C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，错误．(2)当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1， 则2－a <8，解之得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1,0≤a <1.综上知，实数a 的取值范围是(－3,1)． 【答案】 (1)B (2)(－3,1)命题方向2 复合函数的单调性【例5】 (1)已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是递增的，则m的取值范围是________．(2)若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2＋2x ＋3 的值域是⎝⎛⎦⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________． 【解析】 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上是递增的，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m 2上是递减的．而y ＝2t 在R 上是增加的，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上是递增的，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．(2)令g (x )＝ax 2＋2x ＋3，由于f (x )的值域是⎝⎛⎦⎤0，19，所以g (x )的值域是[2，＋∞)． 因此有⎩⎨⎧a >0，12a －44a ＝2，解得a ＝1，这时g (x )＝x 2＋2x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2＋2x ＋3 . 由于g (x )的单调递减区间是(－∞，－1]， 所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]． 【答案】 (1)(－∞，4] (2)(－∞，－1]命题方向3 最值问题【例6】 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．【解析】 令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)．当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.【答案】 3或13方法技巧(1)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.1．(方向1)设函数f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a >1，且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1的大小关系是( D )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N解析：因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1，且a ≠2)在(0，＋∞)上具有不同的单调性．所以a >2.因此M ＝(a －1)0.2>1，M ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1<1.故M >N .2．(方向2)函数f (x )＝3x 2－5x ＋4的单调递增区间为[4，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]．解析：依题意知x 2－5x ＋4≥0，解得x ≥4或x ≤1，令u ＝x 2－5x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x －522－94，x ∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，所以当x ∈(－∞，1]时，u 是减函数，当x ∈[4，＋∞)时，u 是增函数．而3>1，所以由复合函数的单调性可知，f (x )＝3x 2－5x ＋4 在区间(－∞，1]上是减函数，在区间[4，＋∞)上是增函数．3．(方向3)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，则实数m 的最大值为56.解析：把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x ，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3， 结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x .要使⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x ≥m 在区间(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在区间(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在区间(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56.所以只需m ≤56即可．所以m 的最大值为56.。

§2.1.2指数函数及其性质【学习目标】：1．理解指数函数的概念；2．能画出具体指数函数的图象，根据函数图象掌握性质； 3．能运用指数函数图象与性质比较两个数的大小；4．体会从特殊到一般，数形结合，分类讨论等数学思想方法. 【学习重点】：指数函数的的概念和性质【学习难点】：借助图象，用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 【学习过程】：【问题情境】：发明者的请求相传，国际象棋是由古印度的一位宰相西萨所发明的，当时的国王非常开心，决定奖赏他，许他提出要求。

西萨想了想，提出了他的请求：棋盘上的第一格放2粒麦子，第二格放4粒麦子，第三格放8粒麦子，以后每一格都比前一格的麦粒数增加一倍，再把所有的麦子赏给他。

(1)按照这位发明者的请求，第四格要放____粒麦子，以此类推，如果用y 表示第x 格所需放的麦粒数，那么你能写出y 与x 之间的关系式吗？ (2)y 是x 的函数吗？【画出图像】：1.在同一平面直角坐标系中画出函数2x y =与1()x y =图象；列表： 2x y =1()2x y =描点、连线：（一）指数函数的概念【概念】：一般地，函数 叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为 ．【例题1】：判断下列函数是否是指数函数？①4x y = ②(2)x y =- ③23x y = ④13x y += ⑤4x y -=【方法总结】：【例题2】：比较下列各小题中两数值的大小；(1) 2.51.5， 3.21.5 （2） 1.20.5-， 1.50.5-（3）0.31.5， 1.20.5 （4）)1,0(,5.06.0≠>a a a a且方法总结：（1)当底数相同时，________________________,__________________. （2）当底数不同时，___________________________________________.1.下列函数中为指数函数的是（ ）A.2y x =B. 23x y =-C. 21x y =-D. 23x y = 2.函数()2232x y a a a =-+是指数函数，则a 的取值为__________. 3.比较 3.30.99与 4.50.99的大小关系是_________. 4.不论a 为任何正实数，函数12x y a +=-恒过点（ ） A. ()1,1-- B. ()1,0- C. ()0,1- D. ()1,3--5.函数(0,1)x y a a a =>≠且在[]0,1上的最大值和最小值和为3，则a 的值为____.6.解不等式2542(0,1)x x aa a a ++<>≠且.必修一P59：7、8 微课程P40：基础过关这节课我的收获是什么？ 这节课我还有哪些疑惑？。

第五节指数与指数函数课标要求考情分析1.了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型.1.直接考查指数函数的图象及其性质或以指数与指数函数为知识载体，考查指数幂的运算和函数图象的应用或以指数函数为载体与函数方程、不等式等内容交汇命题．2．题型主要是选择题、填空题，难度中等.知识点一有理数指数幂1．幂的有关概念(1)正分数指数幂：amn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(2)负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．2．有理数指数幂的性质(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．知识点二指数函数的图象与性质(1)指数函数的图象与底数大小的比较在第一象限内，指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．(2)指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( × ) (2)2a ·2b ＝2ab .( × ) (3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( √ )(4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × ) 解析：(1)na n＝⎩⎪⎨⎪⎧|a |，n 为偶数，a ，n 为奇数，(n a )n＝a .(2)2a ·2b ＝2a ＋b .(3)由指数函数的形式定义知应满足的条件：①系数为1，②指数为x ，③底数a >0且a ≠1. (4)当a >1时，由a m <a n ，得m <n ， 当0<a <1时，由a m <a n ，得m >n . 2．小题热身(1)化简416x 8y 4(x <0，y <0)得( D ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2yD ．－2x 2y(2)已知a ＝⎝⎛⎭⎫35－ 13 ，b ＝⎝⎛⎭⎫35－ 14 ，c ＝⎝⎛⎭⎫32－ 34 ，则a ，b ，c 的大小关系是( D ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．c <b <a(3)若x ＋x －1＝3，则x 2－x －2＝±3 5.(4)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫2，13，则f (－1)＝ 3. (5)函数的定义域是(0，＋∞)．解析：(1)因为x <0，y <0，所以416x 8y 4＝(16x 8·y 4) 14 ＝(16) 14 ·(x 8) 14 ·(y 4) 14 ＝2x 2|y |＝－2x 2y .(2)因为y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数，所以⎝⎛⎭⎫35－ 13 >⎝⎛⎭⎫35－ 14 >⎝⎛⎭⎫350，即a >b >1，又c ＝⎝⎛⎭⎫32－34 <⎝⎛⎭⎫320＝1，所以c <b <a .(3)由(x ＋x －1)2＝x 2＋x －2＋2＝9，得x 2＋x －2＝7.又(x －x －1)2＝x 2－2＋x －2＝5，所以x －x －1＝±5，所以x 2－x －2＝(x ＋x －1)(x －x －1)＝±3 5.(4)依题意可知a 2＝13，解得a ＝33，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫33x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫33－1＝ 3. (5)要使该函数有意义，则解得x >0，所以定义域为(0，＋∞)．考点一 指数幂的运算【例1】 (1)计算：8 23 －⎝⎛⎭⎫－780＋4(3－π)4＋[(－2)6] 12 ＝______. (2)已知x 12 ＋x － 12 ＝5，则x 2＋x －2－6x ＋x －1－5的值为_______________． 【解析】 (1)823 －⎝⎛⎭⎫－780＋4(3－π)4＋[(－2)6] 12 ＝23×23 －1＋(π－3)＋26×12 ＝22－1＋π－3＋23＝4＋π－4＋8＝π＋8.(2)由已知可得x ＋x －1＝(x 12 ＋x － 12 )2－2＝3， 则x 2＋x －2＝(x ＋x －1)2－2＝7，故原式＝7－63－5＝－12.【答案】 (1)π＋8 (2)－12方法技巧指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.1．计算：2x － 13 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 13＋x 34 ＝( D ) A ．3 B ．2 C ．2＋xD ．1＋2x解析：原式＝2x － 13 ·12x 13 ＋2x － 13 ·x 43＝1＋2x .2．已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －b a ＋b ＝55. 解析：由已知得，a ＋b ＝6，ab ＝4， 所以⎝⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15. 因为a >b >0，所以a >b ，所以a －b a ＋b ＝55. 考点二 指数函数的图象及应用命题方向1 图象的识别【例2】 (2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a (x ＋12)(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )【解析】 解法1：若0<a <1，则函数y ＝1a x 是增函数，y ＝log a (x ＋12)是减函数且其图象过点(12，0)，结合选项可知，选项D 可能成立；若a >1，则y ＝1a x 是减函数，而y ＝log a (x ＋12)是增函数且其图象过点(12，0)，结合选项可知，没有符合的图象．故选D.解法2：分别取a ＝12和a ＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.【答案】 D命题方向2 图象的应用【例3】 函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．【解析】 f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，等价于⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|2x －2|，y ＝b 有两个交点(如图)，可知0<b <2.【答案】 (0,2) 方法技巧指数函数图象的画法(判断)及应用方法,(1)画(判断)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a .(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数数形结合求解.1．(方向1)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( D )解析：当a >1时函数单调递增，且函数图象过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a ，因为0<1－1a <1，故A ，B 均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数恒过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a ，因为1－1a <0，所以知D 项正确．2．(方向2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是[－1,1]．解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]．3．(方向2)函数f (x )＝|a x ＋b |(a >0，且a ≠1，b ∈R )的图象如图所示，则a ＋b 的取值范围是(0，＋∞)．解析：根据图象得a >1，f ⎝⎛⎭⎫12＝0，b <0，所以a ＋b ＝0，所以a ＋b ＝a －a >1－1＝0.考点三 指数函数的性质及应用命题方向1 比较大小与解不等式【例4】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确；C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D 中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，错误． (2)当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1， 则2－a <8，解之得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1,0≤a <1.综上知，实数a 的取值范围是(－3,1)． 【答案】 (1)B (2)(－3,1)命题方向2 复合函数的单调性【例5】 (1)已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是递增的，则m的取值范围是________．(2)若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2＋2x ＋3 的值域是⎝⎛⎦⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________． 【解析】 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上是递增的，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m 2上是递减的．而y ＝2t 在R 上是增加的，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上是递增的，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]． (2)令g (x )＝ax 2＋2x ＋3，由于f (x )的值域是⎝⎛⎦⎤0，19，所以g (x )的值域是[2，＋∞)． 因此有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －44a ＝2，解得a ＝1，这时g (x )＝x 2＋2x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2＋2x ＋3. 由于g (x )的单调递减区间是(－∞，－1]， 所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]． 【答案】 (1)(－∞，4] (2)(－∞，－1] 命题方向3 最值问题【例6】 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．【解析】 令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)．当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)．综上，a ＝3或a ＝13. 【答案】 3或13方法技巧(1)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.1．(方向1)设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1，且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1的大小关系是( D )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N解析：因为f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a >1，且a ≠2)在(0，＋∞)上具有不同的单调性．所以a >2.因此M ＝(a －1)0.2>1，M ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1<1.故M >N .2．(方向2)函数f (x )＝3x 2－5x ＋4的单调递增区间为[4，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]．解析：依题意知x 2－5x ＋4≥0，解得x ≥4或x ≤1，令u ＝x 2－5x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x －522－94，x ∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，所以当x ∈(－∞，1]时，u 是减函数，当x ∈[4，＋∞)时，u 是增函数．而3>1，所以由复合函数的单调性可知，f (x )＝3x 2－5x ＋4在区间(－∞，1]上是减函数，在区间[4，＋∞)上是增函数．3．(方向3)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，则实数m 的最大值为56. 解析：把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x .要使⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x≥m 在区间(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x在区间(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x在区间(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56.所以只需m ≤56即可．所以m 的最大值为56.。

2.4指数与指数函数1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时na n ＝a ； 当n 为偶数时na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a <0.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1. 『试一试』1．化简『(－2)6』12－(－1)0的结果为________．『答案』72．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 『解析』由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. 『答案』(－2，－1)∪(1，2)1．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(a 2x ＋b ·a x ＋c ≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决．2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论． 『练一练』 1．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x 的定义域为________．『答案』『0，＋∞)2．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是『0,2』，则实数a ＝________. 『解析』当a >1时，f (x )＝a x －1在『0,2』上为增函数， 则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又∵a >1，∴a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x －1在『0,2』上为减函数又∵f(0)＝0≠2，∴0<a<1不成立．综上可知，a ＝ 3.『答案』3求值与化简：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5；(2)56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12；(3)a23·b－1－12·a－12·b136a·b5『解析』(1)原式＝1＋14×1249⎛⎫⎪⎝⎭－121100⎛⎫⎪⎝⎭＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a16－b－3÷(4a23·b－3)12＝－54a16－b－3÷(a13b32－)＝－54a－12－·b23－.＝－54·1ab3＝－5ab4ab2.(3)原式＝111133221566·a b a ba b--＝a－111326---·b115236-＋.『备课札记』『类题通法』指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.『典例』 (1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图像交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过点A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图像于点C ，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________． (2)已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有________个『解析』 (1)设A (x 0,3x 0)，由AC 平行于y 轴，则C (x 0,9x 0)．又因为BC 平行于x 轴，则B (2x 0,9x 0)．因为O ，A ，B 三点共线，所以x 0·9x 0＝2x 0·3x 0，得3x 0＝2，所以x 0＝log 32. (2)函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图像如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 得，a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立． 『答案』 (1)log 32 (2)2『备课札记』 『类题通法』指数函数图像的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．『针对训练』1．(2013·徐州摸底)已知直线y＝a与函数f(x)＝2x及g(x)＝3·2x的图像分别相交于A，B两点，则A，B两点之间的距离为________．『解析』由题意知A，B两点之间的距离与a无关，即为定值．不妨设a＝3，则由3·2x＝3知x B＝0.由2x＝3知x A＝log23，故AB＝x A－x B＝log23.『答案』log232．方程2x＝2－x的解的个数是________．『解析』方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．『答案』1『典例』已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0，且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性．『解析』(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a>1时，a2－1>0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a－x为增函数．所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0，y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．故当a>0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．『解析』由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间『－1,1』上为增函数．所以f (－1)≤f (x )≤f (1)． 所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a－1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1. 所以要使f (x )≥b 在『－1,1』上恒成立，则只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1』．『备课札记』 『类题通法』利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决． 『针对训练』已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 『解析』(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知， 要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)． 应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )． 故a 的值为0.『课堂练通考点』1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于________． 『解析』由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3， 两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.『答案』72．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域是________． 『解析』由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2在『2,4』上是增函数，f min (x )＝f (2)＝1，f max (x )＝f (4)＝9. 『答案』『1,9』3．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 『解析』∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴23－x ≤23＝8，∴8－23－x ≥0，∴函数y ＝8－23－x 的值域为『0，＋∞)． 『答案』『0，＋∞)4．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．『解析』∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 『答案』m >n5．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间『1,2』上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．『解析』当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈『1,2』上， f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈『1,2』上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.『答案』12或32。

第三章 函数与导数3.4 指数与指数函数（课前预习案）考纲要求：1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 基础知识梳理 1． 根式的性质：(1)(na )n＝a (n >1，且n ∈N ＋)． (2)当n 为奇数时na n＝a ；当n 为偶数时nan＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥0－a a <0.2． 分数指数幂： 正分数指数幂：mna ＝ (a >0，m 、n ∈N ＋，且m n为既约分数)．负分数指数幂：m na-＝ ＝ (a >0，m 、n ∈N ＋，且m n为既约分数)．(2)分数指数幂的运算法则设a >0，b >0，对任意有理数，α、β有a αa β＝a α＋β，(a α)β＝a αβ，(ab )α＝a αb α.3． 指数函数的图象与性质y ＝a x a >1 0<a <1图象定义域 (1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(4)当x >0时，y >1；x <0时，0<y <1 (5)当x >0时， ；x <0时， (6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是 函数预习自测1． 若a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，则(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值是( )A ．1 B.14 C.22 D.232． 设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则 ( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是________．4．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)，x ∈R 是偶函数，则实数a ＝________.5． 若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是__________． 6． 已知0≤x ≤2，则y ＝124x -－3·2x＋5的最大值为________．第三章 函数与导数 3.4 指数与指数函数典型例题考点一 指数幂的运算例1 化简：(1)a 3b 23ab 2111143342()a b a b-(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.【变式训练1】(1)化简416x 8y 4(x <0，y <0)得 ( )A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2y D ．－2x 2y(2)(14)12-·4ab－130.1－1·a 3·b－312＝________.考点二 指数函数的图象、性质 例2 (1)函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是 ( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 (2)若函数f (x )＝2(x )e μ--(e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m＋μ＝________.【变式训练2】(1)函数y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为( )(2)若函数f (x )＝a x－1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.考点三 指数函数的应用例3 (1)k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.①若f (x )＝32，求x 的值；②若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．【变式训练3】如果函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．当堂检测1．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )2．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0，12)3.已知函数y ＝(13)|x +1|.(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值．课后巩固 A 组一、选择题1． 函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )2． 若函数f (x )＝24x a- (a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]3． 若存在负实数使得方程2x－a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,2)D ．(0,1)4． 已知实数a ，b 满足等式2 014a＝2 015b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题 5． (0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0＝________.6． 若指数函数y ＝a x在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________. 7． 若函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．三、解答题8．设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．B 组1． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1xx >0，e x x ≤0，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为 ( )A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)2．若a >1，b >0，且a b＋a －b＝22，则a b－a －b的值为( )A. 6B ．2或－2C ．－2D ．23． 关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＝2＋3a 5－a有负数根，则实数a 的取值范围为__________．4．已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝2x4x＋1.(1)求函数f(x)在【－1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f(x)＝λ在(－1,1)上有实数解？。

第五节指数与指数函数[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式n 次方根概念 如果x n ＝a ，那么x 叫作a 的n 次方根，其中n ＞1，n ∈N *表示 当n 是奇数时，a 的n 次方根x ＝na当n 是偶数时，正数的n 次方根x ＝±n a ；负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作n0＝0根式概念 式子n a 叫作根式，其中n 叫作根指数，a 叫作被开方数性质 (na )n ＝a当n 为奇数时，na n ＝a当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0－a ，a ＜0(1)分数指数幂①正分数指数幂：a m n ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质(0,1) 过定点当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在R上是增函数在R上是减函数[常用结论]指数函数的图象与底数大小的关系如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4. ()(2)(－1)24＝(－1)12＝－1. ()(3)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(4)若a m ＜a n (a ＞0且a ≠1)，则m ＜n . ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9 B [原式＝(26) 12－1＝8－1＝7.]3．(教材改编)若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)等于( )A.22 B. 2C.14D ．4B [由题意知12＝a 2，所以a ＝22， 所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22-1＝ 2.]4．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )A B C DC [令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.]5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． (1,2) [由题意知0＜2－a ＜1， 解得1＜a ＜2.]指数幂的化简与求值1．(2019·济宁模拟)下列各式中成立的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B.12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34 D.39＝33D [39＝(913)12＝916＝313＝33，故选D.]2．若a ＞0，b ＞0，则化简＝________.ab －1 [原式＝＝＝ab －1.]3．化简－10(5－2)－1＋3π0＋59＝________.－16 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫82723＋50012－105－2＋3＋59 ＝49＋105－10(5＋2)＋3＋59 ＝－16.]4．若x 12＋x -12＝3，则＝________.25[由x 12＋x -12＝3得x ＋x －1＋2＝9. 所以x ＋x －1＝7.同理由x ＋x －1＝7可得x 2＋x －2＝47.x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)(x ＋x －1－1)＝3×6＝18. 所以[规律方法] 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解题.易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.指数函数的图象及应用【例1】 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0(2)已知函数f (x )＝3＋a 2x －4的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________． (3)若曲线y ＝|3x －1|与直线y ＝k 只有一个公共点，则实数k 的取值范围为________．(1)D(2)(2,4)(3){0}∪[1，＋∞)[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)令2x－4＝0得x＝2，且f(2)＝4，则点P的坐标为(2,4)．(3)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点．][规律方法]指数函数图象应用的4个技巧(1)画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.(1)函数y＝xa x|x|(a＞1)的图象大致是()A B C D(2)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )A B C D(3)已知a ＞0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)B (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 [(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＞0，－a x ，x ＜0，又a ＞1，故选B.(2)函数f (x )＝2|x －1|的图象可由y ＝2|x |的图象向右平移1个单位得到，故选B. (3)①当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜3a ＜2，即0＜a ＜23； ②当a ＞1时，如图②，而y ＝3a ＞1不符合要求．图① 图②所以0＜a ＜23.]指数函数的性质及应用►考法1 比较指数式的大小【例2】 已知a ＝343，b ＝925，c ＝12113，则( ) A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bA [因为a ＝343＝923＞925＝b ，c ＝12113＝1123＞923＝a ，所以c ＞a ＞b .故选A.]►考法2 解简单的指数方程或不等式 【例3】 (1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(1)C (2)12 [(1)当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．故选C.(2)当a ＜1时，41－a＝21，解得a ＝12；当a ＞1时，代入不成立．故a 的值为12.]►考法3 与指数函数有关的函数的值域或最值问题【例4】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.(2)已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．(1)－32 (2)52[(1)当a ＞1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.(2)y ＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x ，由0≤x ≤2得1≤t ≤4，又y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12， ∴当t ＝1时，y 有最大值，最大值为52.] ►考法4 复合函数的单调性、值域或最值【例5】 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间是________，值域是________．(－∞，1] ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ [令u ＝－x 2＋2x ＋1，则u ＝－(x －1)2＋2.又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上是减函数，则函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．由此函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1]．因为u ≤2，则f (x )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.][规律方法] 应用指数函数性质综合的常考题型及求解策略数的性质 等性质的方法一致易错警示：在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．(1)(2019·信阳模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＜a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a(2)(2019·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)(3)已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则a 的取值范围为________．(4)函数y ＝2－x 2＋2x的值域为________．(1)D (2)B (3)[6，＋∞) (4)(0,2] [(1)c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14，则⎝ ⎛⎭⎪⎫35-13＞⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14＞⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14，即a ＞b ＞c ，故选D. (2)y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1， 令t ＝2x ，则t ＞0，∴y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1，故选B.(3)由题意知，函数u ＝－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则a2≥3，即a ≥6.(4)－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，则0＜y ≤2. 即函数y ＝2－x 2＋2x 的值域为(0,2]．]。

§3.1.2指数函数（课前预习案）一、新知导学1．指数函数的概念：形如 的函数称为指数函数 2、指数函数的性质总结： 1a >01a <<图 象性 质二、课前自测1．比较下列各题中两个值的大小 （1）4233(0.1)(0.1)-- （2）553644()()332．函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，则a 的取值范围是（ ）（A ）12a a ==或 （B ）2a = （C ）1a = （D ）()0,12a a a ∈+∞≠≠且重点处理的问题（预习存在的问题）：§3.1.2指数函数（课堂探究案）教学目标：①理解指数函数的概念；②掌握指数函数的图象和性质③培养学生实际应用函数的能力教学重点：①理解指数函数的定义；掌握指数函数的图象和性质；②会用以上的知识解决有关问题。

教学难点：指数函数当1a>与01a<<时函数值的变化的不同情况及函数性质的应用。

典例分析：例1：同一坐标系中分别作出以下函数的图象1）y=2x和y=(12)x2）y=3x和y=(13)x例2 判断下列函数在（−∞，+∞）内是增函数，还是减函数？（1）4xy=（2）1()4xy=（3）32xy=例3. 比较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5 ，1.73（2）0.8－0.1，0.8 －0.2（3）1.70.3 ，0.93.1.跟进练习：三个数30202c)30(b)3(a...==-=，，，则a、b、c的关系是( )A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a备课札记学习笔记例4、 求下列函数的定义域和值域： （1）212x y -= （2）313xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭跟进练习：1、函数y =121+x 的值域是__________．2、求函数 23213x x y -+=() 的定义域和值域四、课堂检测 1.下列函数中指数函数的个数是 ( ). ① ② ③ ④0个1个 2个 3个 2．函数f （x ）=a x （a >0，a ≠1）满足f （2）=81，则f （－21）的值为( ) A ．±31 B ．±3 C ． 31 D ．3 3．y=（a 2－1）x在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是__________备课札记 学习笔记§3.1.2指数函数（课后拓展案）1．若集合M={y|y=2x，x∈R}，N={y|y=x2，x∈R}，则( )A．M∩N={2，4} B．M=N C．N M D．M N2．函数y=2－x与y=－（21）x的图象是( )A.关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于y=x对称3．已知nm770..>，则m、n的关系是( )A．1>m>n>0 B．1>n>m>0 C．m>n D．m<n4．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（ab）x的图象可能是( )5．函数f（x）=a x（a>0且a≠1）在区间［1，2］上的最大值比最小值大2a，则a等于( )A．2321或B．32C．23或2 D．2132或6.比较大小 2.531.7____1.7，0.10.20.8____1.25-，0.3 3.11.7___0.9，7.函数112xy-=的定义域是__________.8．若a > 0，则函数11xy a-=+的图象经过定点.教后反思（学后反思）备课札记学习笔记。

技能训练（十一） 对数与对数函数 序号：NO.11日期：2019.12.26【考纲传真】1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．【知识通关】1．对数概念 如果a x ＝N(a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的______，记作__________，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式性质 对数式与指数式的互化：a x ＝N ⇔_____________log a 1＝0，log a a ＝1，alog a N ＝___定义 函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数图象a ＞10＜a ＜1图象特征 在y 轴_______，过定点(1,0)运算法则 log a (M·N)＝_______________a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0log a M N ＝_______________log a M n ＝_________ (n ∈R )换底公式 换底公式：log a b ＝log c b log c a (a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)当x逐渐增大时，图象是______的当x逐渐增大时，图象是_____的性质定义域________值域___性质单调性在(0，＋∞)上是________在(0，＋∞)上是_______函数值变化规律当x＝1时，_______当x＞1时，______；当0＜x＜1时，_______当x＞1时，________；当0＜x＜1时，_______指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数__________ (a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线_______对称．【题型全通】[题型一]对数式的化简与求值1．(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.2．2log23＋log43＝________.3．log23·log38＋(3)log34＝________.4．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________.[题型二]对数函数的图像与应用5.(2019·大连模拟)函数y＝lg|x－1|的图象是( )A B C D6.(2019·厦门模拟)当0＜x≤12时，4x＜log a x，则a的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1C．(1，2) D．(2，2)7.函数y＝log a(x－2)＋2恒过定点P，则点P的坐标为________．。

山东省青岛市志贤中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1<S2<S3B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1D．S3<S2<S1参考答案：B略2. 已知△ABC中，∠C=90°，CB=CA=3，△ABC所在平面内一点M满足：=+，则?=( )A．﹣1 B．﹣3 C．3D．3参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】根据条件便可得出，由便可得到，这样进行数量积的计算便可求出．【解答】解：如图，根据条件知，△ABC为等腰直角三角形，；∴，；∴===5﹣4﹣2=﹣1．故选：A．【点评】考查直角三角形边的关系，向量减法的几何意义，向量的数乘运算、数量积的运算，以及数量积的计算公式．3.已知为平面内的一个区域．命题甲：点；命题乙：点．如果甲是乙的充分条件，那么区域的面积的最小值是（）．A． B．C． D．参考答案：答案:B4. 如图1，风车起源于周，是一种用纸折成的玩具。

它用高粱秆，胶泥瓣儿和彩纸扎成，是老北京的象征，百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图2是用8个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B5. 若函数同时满足下列三个性质:①最小正周期为π;②图像关于直线对称;③在区间上是增函数，则的解析式可以是（）A. B.C. D.参考答案：A6. 函数为增函数的区间是( )A. B. C. D.参考答案：C因为，由，解得，即函数的增区间为，所以当时，增区间为，选C.7. 双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】在双曲线的标准方程中，利用渐近线方程的概念直接求解．【详解】双曲线的渐近线方程为：，整理，得y2＝2x2，解得故选：C．【点睛】本题考查双曲线的渐近线的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．8. 若，则实数的取值范围是（）参考答案：D略9. 若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为A．B．C．D．参考答案：B平移后函数解析式为，令，则，．故选B．10. 设定义在R上的函数满足任意都有，且时，，则的大小关系（）A．B．C．D．参考答案：C函数f（x）满足可得f（t+4）=，∴f（x）是周期为4的函数．f（2016）=f （4），4f（2017）=4f（1），2f（2018）=2f（2）．令g（x）=，x∈（0，4]，则∵x∈（0，4]时，f′(x)＞∴g′（x）＞0，g（x）在（0，4]递增，∴f（1）＜＜可得：4f（1）＜2f（2）＜f（4），即．故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为3，则m=．参考答案：考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合z=2x﹣y的最大值为3，利用数形结合即可得到结论．．解答：解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z取得最大值3，由，解得，即A（，）．将A的坐标代入x﹣y+m=0，得m=y﹣x=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．12. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为__________．参考答案：5作出可行域如图：由解得，由得，平移直线，结合图象知，直线过点A时，，故填5.13. （几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切点，切点为A，PA＝2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R=________.参考答案：【解析】依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。

2、1、2 、2 指数函数及其性质习题课学案编写者：黄冈实验学校数学教师孟凡洲【注意】：这一部分我分了两节课时来处理，第一课时讲1、3、4部分，第二课时讲2、5部分，各位老师可以根据自己学生的实际情况进行取舍.作业第一课时留的是第2题后的练习题，第二课时是这节课最后的作业规定.（教师注意：这一节课是一节习题课，根据实际情况可以分为两个课时，若用多媒体，可以用一个课时来学习）（教师注意：这节课是非常重要的一节课，是学生们第一次接触真正意义上的函数后的第一节习题课，要让学生明白，我们以后研究函数都要从研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性有时候甚至是周期性、对称性等方面来研究函数，当然研究函数的时候，还有函数模型这一方面，所以函数的意义是很广泛的，也是很能让人回味的，只有我们老师先沉浸其中，才能让学生沉浸其中）一、【学习目标】（约2分钟）（自学引导：课下完成预习是学习好这节课的关键）1、会初步解决函数的定义域值域问题；能认知函数图像平移的初步知识.2、初步了解复合函数的构成；能解决复合函数的单调性、奇偶性问题；【教学效果】：教学目标的出示有利于学生把握总体课堂的学习.二、【自学内容和要求及自学过程与巩固练习】（自学引导：这节课的五大块内容是我们以后做函数问题的模板，希望同学们能认真的完成自学）基本方法、基本解体工具的总结1、请同学们复习、回忆下列内容<1>指数函数有哪些性质?<2>利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些?<3>如何判断函数的奇偶性,判断、证明函数的奇偶性有哪些方法?结论：<1>一般地,指数函数y=a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：<2>依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：①取值.即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形.即求f（x2）－f（x1）,通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.③定号.根据给定的区间和x2－x1的符号确定f（x2）－f（x1）的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论.④判断.根据单调性定义作出结论.简称为：“去、比、赛”，其中第②③步为比较的过程.<3>判断函数的奇偶性:一是利用定义法,即首先是定义域关于原点对称,再次是考察式子f(x)与f(-x)的关系,最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图象或从已知图象观察,若图象关于原点或y轴对称,则函数具有奇偶性.（作图法只适用于选择填空题目，而不能用于大题的解答，这一点请同学们注意）.【教学效果】：这一部分学生都能回忆起来，老师讲解过后学生的印象更为深刻，这些知识老师要反复的说，学生才能记得牢固.指数类（指数函数模型）复合函数定义域、值域问题（教师注意：第2题主要渗透数形结合的思想，第2题的第<4>小题不要求全体学生都会，建议把答案写在黑板上，让有能力的同学自己去做.题目有难易，部分同学不会做是正常现象.第<4>小题要涉及分离常数法和有界性解题，这两种方法老师要单独的给基础好、悟性好的同学点明.并且这一部分还设计复合函数，这是一个难点，也是一个考点，第3题就讲了复合函数单调性问题，在第2题，老师要提出这个名词，并稍加解释，但是不宜过于深入，若过于深入，就本末倒置了.）2、求下列函数的定义域、值域：<1>y=0.411-x ；<2>y=315-x ；<3>y=2x+1；<4>y=1222+-x x . 结论：<1>由x-1≠0得x ≠1,所以所求函数定义域为{x|x ≠1}.由x ≠1得y ≠1,即函数值域为{y|y>0且y ≠1}；<2>由5x-1≥0得x ≥51,所以所求函数定义域为{x|x ≥51}.由1-5x ≥0得y ≥1,所以函数值域为{y|y ≥1}；<3>所求函数定义域为R ，由2x >0可得2x +1>1,所以函数值域为{y|y>1}；<4>由已知得：函数的定义域是R ,且(2x +1)y=2x -2,即(y-1)2x =-y-2.因为y ≠1,所以2x =12---y y .又x ∈R ,所以2x >0,12---y y >0.解之,得-2<y<1.因此函数的值域为{y|-2<y<1}.【教学效果】：通过学习学生基本上都能掌握住学习方法，教学效果很不错.第<4>个作为思考题给基础好的同学讲解，效果也很不错.这一部分特别渗透了数形结合的思想，用函数的单调性这一工具解题，收到了良好的效果. 归纳：通过此例题的训练,学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域,还应注意书写步骤与格式的规范性. 练习：求函数y=(21)31+x 的定义域和值域. 结论：要使函数有意义,必须x+3≠0,即x ≠-3，即函数的定义域是{x|x≠-3}.因为31+x ≠0,所以y=(21)31+x ≠(21)0=1.又因为y>0,所以值域为(0,1)∪(1,+∞).【教师注意】：第一题实际上是一类简单的求定义域值域问题，中间还涉及到了复合函数，新课标对复合函数的定义域值域的要求还不明朗，但是还是要讲一讲，不挖深即可. 指数类（指数函数模型）复合函数单调性问题3、（约10分钟）求函数y=(21)x x 22-的单调区间,并证明. 结论：设u=x 2-2x,则y=(21)u ,对任意的1<x 1<x 2,有u 1<u 2,又因为y=(21)u 是减函数,所以y 1<y 2,所以y=(21)x x 22-在［1,+∞）是减函数.对任意的x 1<x 2≤1,有u 1>u 2,又因为y=(21)u 是减函数,所以y 1<y 2.所以y=(21)x x 22-在（-∞,1］上是增函数.引申：求函数y=(21)x x 22-的值域（0<y ≤2）. 引申：求函数y=(21)x x 22-的值域（0<y ≤2）. 【小知识】：对于复合函数y=f(g(x))可以总结为:当函数f(x)和g(x)的单调性相同时,复合函数y=f(g(x))是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时,复合函数y=f(g(x))是减函数；又简称为口诀“同增异减”.【教学效果】：应该说高考对于复合函数的单调性的证明要求不高，但是对于复合函数的单调区间的判断要求比较高，在选择题、填空题和计算题目中都有所涉及.这一部分我没有在证明过程上过度的纠缠，而是讲明白讲清楚即可.我重点讲解了复合函数单调性的判断，即怎样判断函数的单调性，取得了良好的效果.【教师注意】：总结一些口诀，对于学生的学习很有利的.譬如平移的法则我总结为“正减负加”，单调性总结为“步调一致增函数，步调不一致减函数”，单调性的证明步骤总结为“去比赛”，复合函数的单调性总结为“正减负加”等等. 指数类（指数函数模型）奇偶性问题（教师注意：第4题事实上是属于抽象类函数，是高考的考点，抽象类函数学生不是很好理解，老师要通过教学逐步的深入，循序渐进，遵循学生的认知规律，才能把这一部分讲好，才能使学生掌握好.）4、已知奇函数)(x f ，偶函数)(x g 满足)(x f +)(x g =x a （1,0≠>a a ），求证：).().(2)2(x g x f x f = 提示：根据题目所给条件求出)(x f 和)(x g ，代入即可证明.【教学效果】：这个题目属于比较抽象的题目，由于前边有类似的题目，所以这个题目学生还是能接受的. 指数类（指数函数模型）图像（主要是平移）问题5、在同一坐标系中作出下列函数的图象,讨论它们之间的联系.（约10分钟）<1>①y=3x ,②y=3x +1,③y=3x -1；<2>①y=(21)x ,②y=(21)x -1,③y=(21)x +1. 结论：如下图：可以看出,y=3x ,y=3x+1,y=3x-1的图象间有如下关系:y=3x+1的图象由y=3x 的图象左移1个单位得到；y=3x-1的图象由y=3x 的图象右移1个单位得到；y=3x-1的图象由y=3x+1的图象向右移动2个单位得到.y=(21)x ,y=(21)x-1,y=(21)x+1的图象间有如下关系:y=(21)x+1的图象由y=(21)x 的图象左移1个单位得到；y=(21)x-1的图象由y=(21)x 的图象右移1个单位得到；y=(21)x-1的图象由y=(21)x+1的图象向右移动2个单位得到. 引申：你能推广到一般的情形吗?同学们留作思考.【教学效果】：对于函数的平移，初中我们已经学习过，而且暑期补课的时候也讲过一些，所以学生们还是很能理解的.这里只是举出了左右平移，上下平移在以后的讲解过程中还会进一步的体现.这一部分学生的学习效果是很好的.三、【作业】1、第一次作业：教材第59页习题2.1A 组第7题、第8题；2、第二次作业：学案第二部分练习，第三部分引申.【注】：本学案需要两个课时讲解，第一课时讲1、2、4题，第二课时讲5、3题，所以作业也分为了两次.四、【小结】这一部分主要学习了指数类复合函数的单调性、值域、定义域、奇偶性、图像平移等问题，渗透了数形结合的数学思想，运用了变量代换的数学方法，老师们在讲解题目的时候不单单要讲这个题目，还要注意思想方法的总结，这样才能提高学生的学习成绩.五、【反思】台上一分钟，台下十年功.老师们要想教好自己的课，是很不容易的.这节课我做了大量的充分的准备，进行了分层教学，教学效果和预期的一样，达到了自己预期的教学目标.其中题目要分层次，譬如第二部分的四个题目，第三个是每个学生都要会的，第<1>、<2>个是中等学生要掌握的，第<4>个是尖子生要掌握的.进行了这些分层，教学就有针对性了，给了每一个学生一个台阶，给他们都能上去的台阶，事实上，这才是我们教师的职业操守.我们的老师都在抱怨我们的学生怎么怎么差，说起来义愤填膺，事实上你有没有站在学生的角度来看一看？差有差的教法，现实摆在我们眼前，我们不说怎么去解决它，而是去抱怨他，是很没有道理的.最差的一名学生也有闪光点，你看到了吗？当你骂这个学生是“垃圾，蠢货，他妈的王八蛋”的时候，有没有想过怎样才能使他们变得不是“垃圾，蠢货，他妈的王八蛋”？我们教学的时候有没有给这些学生哪怕是一丁点儿的希望？有没有顾及他们的自尊心？有没有顾及他们的感受，归根结底，我们有没有给他们一个他们能上得去的台阶？我觉得，这是我们每个老师应该思考的问题，也是我们每个教师的职业操守.今天我说了这么多，其实也是对自己的反省.我觉得，我的每一个学生——即使是再调皮的学生，即使是欺骗过我的学生，他们都是可爱的，因为他们毕竟是孩子，孩子，是可爱的.。