浅论闭区间上连续函数的性质.doc

浅谈闭区间上连续函数的性质摘要：本文主要了解了闭区间上连续函数的一些性质，包括最值的可达性和有界性，介值性与根的存在性，并对这些性质在开区间上做相应推广。

关键词：闭区间；开区间；连续函数；最值的可达性；有界性；介值性；根的存在性定义1[1]若函数f（x）在开区间（a，b）上连续，在a点右连续，在b点左连续，我们就称函数f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数.连续函数所具有的局部有界性、局部保号性等性质，闭区间上的连续函数自然都具有，但它既然有闭区间这个特殊性，又具有哪些自己独特的性质呢？下面我们就来讨论闭区间上的连续函数所具有的几个基本性质及其在开区间上的简单推广，以提高大家对这些性质的认识，扩大应用范围。

一、最值的可达性和有界性定理1（有界性定理）若函数f（x）在闭区间[a，b]上连續，则f （x）在闭区间[a，b]上有界.定理2（最大、最小值定理）若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上一定有最大值与最小值.连续函数在闭区间上的有界性和最值可达性在很多问题的证明中都起到一个切入点的作用，比如积分第一中值定理和罗尔中值定理的证明。

这两个性质固然好，但两个硬性条件缺一不可，一个是闭区间，一个是连续函数。

我们自然会考虑，如果条件有所减弱，这两个性质是否成立呢？下面我们来看开区间上的连续函数在什么条件下也具备这两个性质。

推论1函数f（x）在开区间（a，b）上连续，且在a点存在右极限，在b点存在左极限，则f（x）在（a，b）上有界.证明：设f（x）在a点的右极限为A，在b点的左极限为B，补充定义f（a）=A，f（b）=B，则f（x）在a点右连续，在b点左连续，从而函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，由定理1知，f（x）在闭区间[a，b]上有界，因而在开区间（a，b）上有界。

推论2函数f（x）在[a，+∞）上连续，且存在，则f（x）在[a，+∞）上有界.证明：由函数极限的局部有界性知，存在正数M，当X大于M时，函数f（x）有界，而f（x）在闭区间[a，M]上连续，由定理1知，f（x）在[a，M]上有界，从而函数在区间[a，+∞）上有界。

浅谈闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数具有许多实战中有用的性质。

本文将深入剖析其细节并就众多特性作出阐述。

首先，闭区间上的连续函数在闭区间上连续，那么在这个区间内需要遍历所有可能的值，假设在某个区间内函数值符合连续性要求，那么在该区间内连续函数的值也就符合要求了。

另外，由于连续函数性质，我们可以求出函数在闭区间上的最大值和最小值，因为如果选择最值点，只要在它附近找到一个点即可满足函数的最大值和最小值的要求。

此外，由连续函数的性质我们知道，如果函数在闭区间上有最大值和最小值，那么在这个区间里必定存在函数取最大值和最小值的点，也就是极值点，而且可以通过求导来证明是极大值点还是极小值点。

再者，在闭区间上的连续函数的又一个重要性质就是在一个平滑的曲线上，若任一点处求得的导数为零意味着该点就是极值点。

在实践中，我们常常会遇到寻找极值的求解问题，那么利用这个性质，就可以证明某一点的函数值是极大值点还是极小值点了，再进一步确定该点的值，使得重要性质为我们提供很大的便利。

综上所述，闭区间上的连续函数有许多实战中有用的性质，不但可以证明某一点的函数值是最值点，也可以运用求导的方法来验证极大值和极小值的大小，用这些特性很容易解决求解问题，具有非常重要的实用价值。

浅析闭区间上连续函数的性质及其应用
关于闭区间上连续函数的性质，最主要或者最常考的是介值定理和零点定理，首先需要回顾一下相关的定理内容：
介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，M和m分别为f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，若c满足m≤c≤M，则∃ξ∈[a,b]，使fξ=c.
零点定理：设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，∃ξ∈(a,b)，使fξ=0.
对于介值定理，需要注意的是c使介于最大值和最小值之间的，也就是为一般意义上所说的介值，并且介值定理的ξ一定在闭区间取得；对于零点定理，要
明确它是介值定理的推论，也就是说只需令g(x)=f(x)-c，就可以得到零点定理的条件，而零点定理中的ξ一定是在开区间上取得的，原因在于端点处f(a)、f(b)一定不等于0，因此ξ取不到端点值，所以零点定理的结论一定是在开区间上取得，这个店里也用来证明方程有根。

关于这两个结论存在的区间的开闭是考生必须要关注的，这也是考试中用哪个定理的决定条件。

Eg1 f(x)在[0,1]上连续，满足对任意的xϵ[0,1]有f(x)ϵ(0,1)，证明∃ξ∈(0,1)，使fξ=ξ.
分析：这个题目的结论是开区间，根据前面那所说的，应该去用零点定理去证明，证明的时候需要注意零点定理的结论是fξ=0，所以对于要证明的结论如果不满足这个形式，就穾通过移项把要证明结论的右端变成0，所以杜宇这道题而言，就需要把结论变形为fξ−ξ=0，所以只构造辅助函数g(x)=f(x)-x，再验证条件就可以了。

闭区间连续函数的性质
有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

1、有界性
所谓有界就是指，存有一个正数m，使对于任一x∈[a,b]，都存有|f(x)|≤m。

证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。

2、最值性
所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。

最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反
向即可。

3、多值性
这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：
（1）零点定理。

也就是当f(x)在两端点处的函数值a、b异号时（此时存有0在a和
b之间），在开区间(a,b)上必存有至少一点ξ，并使f(ξ)=0。

（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。

闭区间上的连续函数在该区间上一致已连续。

所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间i上任
意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在i上是一致连续的。

对于连续性，在自然界中存有bai许多现象，例如气温du的变化，植物的`生长等都
就是已连续地zhi变化着的。

这种现象在函dao数关系上的充分反映，就是函数的连续性。

直观地说道，如果一个函数的图像你可以一笔画出，整个过程不必抬笔，那么这个函数就
是已连续的。

浅论闭区间上连续函数的性质中山大学数学与应用数学 04级数统基地班 黎俊彬摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨,从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性,最值定理,介值定理和一致连续性定理,并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比.关键字:闭区间 连续函数 实数的连续性和闭区间的紧致性实数的连续性和闭区间的紧致性,使闭区间上的连续函数有丰富的性质,而且可由实数的各等价命题推出.本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证.在论证过程中,严格地不出现微分学和积分学的内容,只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手.从直观上理解,连续函数的图像是一条连续不断的曲线,这对于一般初等函数来说都是成立的.而闭区间[]b a ,上的连续函数()x f 的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点()()()()()()()+∞<<∞-b f a f b f b a f a ,,,,上,形成一条封闭的曲线,即与直线0,,===y b x a x 形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确,但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质,某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的,的确存在一些连续函数,其图像并不能作出来.直观认识,在科学里面只是充当一个开路先锋的角色,到最后,一定要用严格的推理来证明.先看何谓闭区间上的连续函数.连续的定义首先是点连续的定义..)()(),[,0,0,)(.)()(],(,0,0,)(.)()(),(,0,0,)(),()(lim ,)(00000000000000εδδεεδδεεδδε<-+∈>∃>∀=<--∈>∃>∀=<-∈>∃>∀==→x f x f x x x x x x f x f x f x x x x x x f x f x f x U x x x f x f x f x x x f x x 时有当如果右连续在称时有当如果左连续在称时有当附近有定义在即如果连续在称若函数该点的极限值不等于函数值,经验告诉我们函数在该点必定断开,连续的定义与我们的直观认识相符合.而若函数在],[b a 连续,是指函数在区间的每点都连续,在左端点右连续,右端点左连续.下面讨论闭区间连续函数的相关性质,并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质.1.闭区间连续函数在其定义域上有界.闭区间连续函数的图像是封闭的连续不断的曲线,可以想象这条曲线不可能纵向(y 轴方向)无限延伸,而开区间上的连续函数可以在端点处无限延伸.若函数在某点有极限,则在某点附近有界,而连续函数每点的极限都存在,因而在每点的附近都有界.只要用有限覆盖定理,就可以知道只需要有限个有界的区间就可以把函数的定义域覆盖.因而函数在其定义域上也是有界的.{}{}..],[)(].,[,)(,...,max .),(],[),,,2,1(,),(,.],[],['),'(0,)(,],[),'(,)'()(lim ,'],[)(:.],[)(],[211''''''证完上有界在于是则有取使得由有限覆盖定理知的一个覆盖是又时当故证明上有界在的连续函数现在来证明定义于b a x f b a x M x f MM MM xU b a n i E x U b a b a x x U E MMx f b a x U x x f x f x b a C x f b a x f b a xix x ni x ix i x x x x x x x i i ∈∀≤=⊂=∈∃∈=>≤⋂∈∃=∀⇒∈=→ δδδδδ若命题条件改为开区间,有限覆盖定理的条件不充分,该命题的证明便进行不下去.由此可见闭区间的条件是必须的.而连续的条件可以减弱,令每一点的极限都存在,可以同样推出函数在闭区间上有界.闭区间上的连续函数有界,由确界定理知道该函数必有上下确界.由此可以联想到闭区间上连续函数总能取得最大最小值,分别对应于上下确界.2.闭区间连续函数必定在定义域上取得最大最小值.已经证明了上下确界的存在.只需要证明函数能够取到上下确界的值....)()(,)(,,)(1).(],,[},{],,[,)(1,1,,)(:证完最小值情况证明类似的连续性可得定理及由又有取极限两边令故有使存在子列又使都存在对由确界的性质可知的上确界为设函数证明M c f x f Heine c x M x f k M x f n M k b a c x x b a x M x f nM x nM x f k k k k k n n n kn n n n n n =→→+∞→≤<-+∞→∈→∈≤<-=ε分析条件在证明中的作用.由函数的连续性知)()(lim c f x f cx =→,这是连续函数的定义,也是一条重要的性质,求初等函数极限值采用直接代入函数值的方法就是以此为依据的.而闭区间的作用是令子列的极限值限制在闭区间],[b a 里面.因为在b x a nk <<两边取极限,可能得到).,(,b a c b c a c ∉==总之或即使是一个有界的函数,只要不是闭区间上的连续函数,都不能保证能在定义域上取得最值.可以想象将闭区间连续函数的图像的最大值点向下移动一段距离,得到一个有界的不连续函数0)( )( )()( )()(>⎩⎨⎧=-≠=εεc x c f c x x f x g 的图像(不妨设)(x f 有且只有一个最大值点),那么这个函数在定义域内就不可能取得最大值.而一个定义在开区间),(b a 且)(lim )(lim x f x f bx ax -+→→与存在单调连续函数,如)10()(2<<=x x x h ,虽然在定义域上有界,但都不能够取得最值.3.连续函数介值定理.这是一条重要的性质.连续函数在区间内必能取得介于端点函数值的值,称之为介值.从直观上看来,这是显然的.一条连续变化的曲线必会在某个时刻经过介值点.若连续函数的取值可正可负,那么此函数必定存在零点,称之为零点定理.而介值定理是零点定理的直接推论,只需在原函数加减一个常数即可.下面给出用到确界定理的证明.{}{}..0)(.inf .,.0)(),(,0.0)(.inf ,0)'(,'0.0)(),(,0],,[)(,,0)(.0)(:,,..0)(.0)(,0)().(,,.0)(],,[)(,.0)(),,[,inf ,,,,0)(],[:.0)(),,(,0)(,0)(],,[)(:01011证完即矛盾与使不存在取时有使必若矛盾与有取时有使故因有若往证如下用反证法来证明的集合可以同样构造一个这样证完故有两边取极限在使中自选取数列故可在因此有由于两边取极限故记为故必有下确界有下界由于易知记集合证明使得则必存在若若零点定理==-<∈<<∈∀>∃<=>-<<>∈∀>∃∈∈>==≥>∞→→∉≤∈→≤∈∀=∅≠>∈==∈><∈-ξξεξδεδξδξξδξδδδξδξξξξξξξξξξξξξf E x E x x f U x f E f x f U x b a C x f E f f E f f x f n x x E E f b a C x f x x f a x E a E E x f b a x E f b a b f a f b a C x f n nn两个证明除了用到确界定理外几乎没有用到其它性质,譬如第二个证明,只是用到函数极限的保号性.这根本在于用确界定理给出了数集的下确界ξ.确界定理是函数连续性的一个刻画,而介值性的结论可以由连续性从直观上得到,只要给出了连续性一个理论上的刻画,余下的证明就像从直观上得到一般简单.但不连续的函数,就未必具有介值性.至于闭区间的条件并没有用到,原因是任何一个连续函数都可以截出某一个闭区间,在这个闭区间上讨论介值的问题.在这里自然引出一个问题,具有介值性,即其值域为连续系的函数是否连续?如果不连续,要补充什么条件才能保证函数连续?如下面一个处处不连续的函数,其值域是[]1,1-.这说明具有介值性的函数不一定连续.)11( 1 00 1 1,0, )(≤≤-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-≠=x x x x x x x x x g 是无理数且是有理数只要加强条件,令函数在定义域上单调,就一定有函数连续.有以下命题:].,[)(,],[)()(],[],,[],,[)(,],[)(b a C x f b a x f x f b a x B A B A x f b a x f y ∈=∈∃∈∀∈=则上单调在且使且上定义在若函数λλ这个命题的正确性在直观上很显然.证明也只需要简单的说明.用反证法,设函数不连续.由于单调函数只能有第一类间断点,并且间断点的取值要么是左极限,要么是右极限.那么只要通过极限保号性,说明函数不能取得间断点左极限和右极限之间的值便可.有界性,最值定理和介值定理合起来,说明了闭区间上的连续函数其值域也是闭区间,并且函数值能够取遍值域.用映射的语言来说,连续映射)(:x f x f →把],[b a 映射成],[M m .反过来,这个命题说明了闭区间连续函数的这三条性质.4.闭区间上的连续函数必定一致连续. 先给出一致连续的定义:.)''()'(,''','',',0,0,)(,)(εδδε<-<-∈>>x f x f x x I x x I x f I x f 都有时只要当使对任意都存在则对任意上有定义在区间如果上一致连续在区间称一致连续的直观意义,就是函数的图像不会在很小的区间内变化任意大,图像每处切线的斜率不至于任意大.规定一个因变量的变化幅度,则自变量对应的变化幅度不能任意小.由于一致连续的函数必定连续,故闭区间上的函数,连续跟一致连续是等价的.下面给出闭区间上的连续函数必定一致连续的证明:{}..],[)(.)''()'(]),,['','(''',0,0.sup .)''()'(,'''')',['','),'','min('.)''()'(,''''],',['',',0'],,'('.)''()'(),','('',')'(',,,...sup ,.)''()'(,],,('','],,['',','''],,['','),,min(.)''()'(,'''],,['',',0],,(.)''()'(,'''],,[],('',',0,),,()(.,,,].,[sup .,..)(.)''()'(,'''],,['',',],(.)''()'(,'''],,[),['',',0,0,)(:.],[)(],,[)()(证完上一致连续在故都有只要都这就说明了故矛盾这与都有只要可知只需要取有只要且又有对上述若用反证法进行讨论现在同样只对上述的的上确界往证每一个所确定的这就说明了对每一个都有无论如何或者或者只要则取有只要且由上确界的定义知且有对上述则左连续若连续在因进行讨论现在只针对某一个是不同的对不同的要注意到故都有又故由上述论证知便有只要令且此时便有故右连续在证明一致连续在证明已知定理b a x f x f x f b a x x x x b E x f x f x x a x x x f x f x x a x x x f x f x x b b E b E E E E x f x f x x a x x x x a x x x f x f x x a x x x f x f x x b a x x b x x f E E b a E b x E x E E a x f x f x x x a x x b a x E x f x f x x b a a a x x a x x f b a x f b a C x f Cantor a a εδδεααεδδαδαβδδεδβδαδαβεδαδααδδεαααεεαδαβδαδαβδδεδβδαδαβεδαδαδεααεαδδδεδδεδδδεααβββαααααααβββαααα<-∈<->∃>∀==<-<-+∈∀+-=<-<-∈∀>∃-∈∃<-+-∈∀-<∃<=∈=<--∈∈<-∈∀+-=<-<-∈∀>∃-∈∃<-<-⊂-∈∀>∃==∈=∃≤∈∀∅≠∈<+<-<-∈∀∃∈=<-<-⊂+∈∀>∃>∀=∈对Cantor 定理的证明,可以通过函数的点连续,把附近的点联系起来,使函数在一个小的区间里面有类似一致连续定义的性质.然后通过闭区间的条件,把这种类似的性质拓展开去,变成整个区间上真正的一致连续.这个用确界定理的证明用到类似的思想,通过确界的定义找出β,通过β描述],[αa 的性质.最后得出b =α的结论.确界定理的运用,与零点定理的证明一样,篇幅不多,但却是最主要的部分.而闭区间条件在证明中的反映,则是在“处连续在α=x x f )(”处体现,若不是闭区间,“处连续在α=x x f )(”未必成立.这引出了闭区间的条件是否能够削弱的问题,后面将会讨论到.下面给出用区间套定理的证明.区间套套出的点r ,就是所谓的“联络点”..],[)(.],[,)''()'(],,['',').,(],[,,),(,.)''()'(),,('',',0,,)(].,[],[.],[,],[,,],[],,[],[.],[.22)()()()()()()',(,,)()(],,[,],,[,,],,[,),',,min(2)()(),',(,0',2,)(.)''()'(,'''],,['',',0.)''()'(,'''],,['',',0,.],[,],[,],[.,.)''()'('''],,['',',0,0,],[)(,:.],[)(],,[)(00000012211000210022*******上一致连续在故矛盾与都有此时时当故由于便有只要故对处连续在一的由区间套定理知存在唯其中间套如此下去构造出一个区记为性质则至少有一个区间满足二等分将记即则有又或者有或者或者只要令都有故对连续在又有只要有只要即对则先证明若记为满足这样的性质对固定的若区间时有当即不一致连续在若用反证法证明一致连续在求证已知b a x f P b a x f x f b a x x r U b a N n N n r b a x f x f r U x x r x x f b a b ar P b a b a P b a b a b a P b a c f y f c f x f y f x f c U y x y f x f b c y x c a y x y x b a y x c f x f c U x c x x f y f y f y y b c y y x f x f x x c a x x P b a P b c P c a P I I x f x f x x b a x x b a x f b a x f b a C x f n n n n n n n n i i in n ∈<-∈∀⊂>∃∞→→<-∈>∃=⊂∈∈=∉=+<-+-≤-∈<-∈∈<-∈∀=<-∈∀>∃==<-<-∈∀>∃<-<-∈∀>∃∉∉∉∈≥-<-∈∃>∀>∃∈∞=εδεδδεεεεδεδδδδδεδδεεεδδεδδεεεδδε闭区间上的连续函数有紧致性,即直观理解上的封闭性,所以具有一些开区间上连续函数不具有的性质.反过来,开区间连续函数多了一些不可控的性质,譬如函数图像在端点可以纵向无限延伸,如函数xx f 1)(=,或者如函数xx f 1sin)(=般,其图像在端点处无限折曲.这些性质都是由于在自变量很小的变化下,因变量产生了不可控制的变化.这是一致连续的其中一个反面.开区间上一致连续的函数,除了端点外,能不能产生与闭区间连续函数相似的整体性质呢?先讨论导致连续函数在开区间和闭区间上有相异性质的根本原因.开区间上的连续函数跟闭区间上的连续函数的根本差别在于,其左端点的右极限和右端点的左极限是否存在(开区间函数在端点没有定义,所以只从极限是否存在角度讨论,而不是从是否连续的角度).开区间的连续函数在端点不存在左(右)极限,所以端点附近的性质如此“顽劣”:可以无限“延伸”,或无限“折曲”. 在上文对有界性和介值定理的讨论里面,特别强调了闭区间条件所起的作用.闭区间有紧致性,可以通过相关的几个命题来刻画.而这些性质在开区间函数上不成立的原因,就在于端点处的左(右)极限不存在.因为只要加强开区间连续函数的条件,令左端点的右极限,右端点的左极限都存在,这时补充端点处的定义,令端点处的函数值与极限值相等,就得出一个闭区间的连续函数.这样的开区间连续函数就会在除端点外与闭区间连续函数有相似的整体性质,如有界性,证明和闭区间的几乎一样.而最值对应确界,要么能取得,要么就等于端点的极限值.回到一开始的讨论,左右端点的极限是否存在和一致连续有什么关系?可以证明,两者之间是等价的.有以下命题:..),()(,],[)(],,[)( )(lim )( )(lim )(,:""..)(lim ,)(lim .)''()'(,'''),,('','.)''()'(),,('',',''',0,0,),()(:":".)(lim )(lim ),()(),,()(充分性证完一致连续在可知一致连续在故显然令补充端点处的定义必要性证完存在同理可知存在收敛原理知由故有于是都有只要故一致连续在证明都存在与一致连续当且仅当的则若b a x f b a x g b a C x g b x x f bx a x f a x x f x g x f x f Cauchy x f x f x x a a x x x f x f b a x x x x b a x f x f x f b a x f b a C x f b x a x bx ax bx ax ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<<==⇐<-<-+∈∀<-∈<->∃>∀⇒∈-+-+-+→→→→→→εδδεδδε从直观上理解,一致连续把开区间的连续函数的两端给“封闭”了,由此可以看出一致连续和闭区间的紧致性紧密相连.参考文献:邓东皋、尹小玲编著，数学分析简明教程，高等教育出版社，1999年版 裘兆泰等编，数学分析学习指导，科学出版社，2004年版同济大学应用数学系编，微积分（上册），高等教育出版社，2002年版。