流体运动学

据拉格朗日法，当t＝t0时，x=a，y=b，z=c，则：
a=F1(c1,c2,c3,t0) b= F2(c1,c2,c3,t0)
（7）
c= F3(c1,c2,c3,t0)
所以
c1=Φ1(a,b,c,t0)
c2= Φ2(a,b,c,t0)
（8）
c3= Φ3(a,b,c,t0)
将（8）式代入（6）式就可得到拉格朗日表达式
一、拉格朗日法（跟踪法）Lagrangian method 研究确定的流体质点的物理量（运动要素，如位移、
速度、加速度等）随时间的变化规律；如果知道所有流体 质点的运动规律，则整个流体运动的状况也就清楚。
拉格朗日法位移函数 设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z) ，则：
x xa,b, c,t y ya,b, c,t z za,b, c,t
（包括线变形和角变形）
一、流体微团运动的分解
1、平动 2、纯线变形 3、角变形 4、转动
第三章 流体运动学
•流体的运动要素：凡表征流体运动的各种物理量， 如质量、表面力、速度、加速度、密度、动量、能 量等，都称为流体的运动要素。
•流体运动学：研究流体运动的规律（不涉及作用力 ），极其在工程中的应用；研究运动要素随时间和 空间的变化，并建立它们之间的关系式。
第一节描述流体流动的两种方法
ux
x t
aet
uy
y t
bet
由速度可得加速度的表达式
ax
u x t
aet
ay
u y t
bet
x aet y bet
上述式中消去a，b,可得速度和加速度得欧拉描述:
ux aet x uy bet y
ax aet x ay bet y
（3）流线方程为
dx dy x y
积分可得流线方程：
而由拉格朗日法：
ux u y uz
xa,b, c,t
t
ya,b, c,t
t
za,b, c,t
t
x
t y
t z
t
（4） （5）
将（4）式代入（5）式积分，可得
（6）
x=F1(c1,c2,c3,t) y= F2(c1,c2,c3,t) z= F3(c1,c2,c3,t)
c1,c2,c3是积分 积出的常数
t=1时，过质点（1,1）可得，
y c2et t 1
c1
3 e
,
c2 e
（2）流线方程为
积分可得
dx dy t 1 1
(x t)(y t) c1
过（1,1）点有
c1 (1 t)2
流线方程：
(x t)(y t) (1 t)2
三、流管、流束、总流
图流3管－8 流管
流束和总流
图 3－9 流束和总流
t x
y
z
t
ux
x
uy
y
uz
z
ux x
uy y
uz z
0
d divu 0
dt
说明：
✓ 物理意义：单位时间内，流体流经单位体积的流出
与流入之差与其内部质量变化的代数和为零。
✓ 对稳定流：
0
t
✓ 对于不可压流体、稳定流： 0, C
✓
t
✓
ux uy uz 0
✓
x y z
（2）
x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
由此看来，两种方法具有互换性。因此，都可采用。 采用欧拉法便于直接运用场论分析问题,对加速度，在欧 拉法中它是流速的一阶导数，在拉格朗日法中，是轨迹的 二阶导数，数学处理上欧拉法较方便。所以，采用欧拉法 研究问题。
第二节 流动的分类
将速度方程代入微分方程:
dx dy yx
解得: x2 y2 C
例2： 已知一拉格朗日描述：
求 (1) 迹线
x aet y bet
（2）速度和加速度的欧拉描述；
（3）流线方程。
解：（1）消去参数t，可得迹线方程
将速度方程代入微分方程:
xy ab
解得:
x2 y2 C
（2）依据速度的定义
迹线求法： 拉格朗日法：
欧拉法：
x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
ux=ux（x,y,z,t）
uy=uy（x,y,z,t）
uz=uz（x,y,z,t）
但
dx ux dt
dy uy dt
dz uz dt
则
dx dy dz dt
ux uy uz
——这就是迹线微分方程式。
dx
dt dy
dt dz
dt
x
t y
t z
t
xa, b, c, t ya, b, c, t za, b, c, t
（3）
把（2）式代入（3）式就可得到欧拉法表示的流动 参量表达式。
欧拉法
拉格朗日法
由欧拉法：
ux=ux（x,y,z,t）
uy=uy（x,y,z,t）
uz=uz（x,y,z,t）
✓
即：div u＝0，流体的体积膨胀率等于零。
例：已知 ux 6(x y2),uy 2y z3,uz x y 4z
试判断流动是否可压缩？ 解：由已知条件可得
divu ux uy uz 12 0 x y z
流动为可压缩流动。
第五节 流体微团运动分析
流体与刚体的主要不同在于具有流动性且极易变形。 刚体运动：转动、直线运动 流体运动：平移运动 旋转运动 变形运动
du u dt u dx u dy u dz dt t dt x dt y dt z dt
u t
ux
u x
uy
u y
uz
u z
因为质点在流场内是连续的，则加速度
各分量：
a du u (u )u dt t
ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
u y t
ux
u y x
三、拉格朗日法和欧拉法表达式的转换
拉格朗日法
欧拉法
x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
（1）
可求出用x，y，z，t 表达的a，b，c的关系式：
a=f1(x,y,z,t) b=f2(x,y,z,t) c=f3(x,y,z,t)
（2）
因为：
ux
u y
uz
例：设有一流场，其表达式为：
dx x t dt
dy y t dt
dz 0 dt
求此流场的迹线方程。 解：首先对以上三式积分(换元法)：
x A1et t 1 y A2et t 1 z A3
t＝t0 0 t0 1 b A2et0 t0 1 c A3
增量＝流入质量－流出质量
二、一元流动连续性方程
假设：流体的运动是连续的一元流动
1A1u1dt 2 A2u2dt
可压缩流体沿微小流束稳定流的连 续性方程。
1u1dA1 2u2dA2
总流的连续性方程
A1 1u1dA1 A2 2u2dA2
1V1 A1 2V2 A2
图 3－9 流束和总流
三、空间运动的连续性方程
取 t=t0 时，以每个质点的空间坐标位置为 （a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
速度和加速度
ux
xa,b, c,t
t
uy
ya,b, c,t
t
za,b, c,t
uz
t
ax
ux a,b, c,t
t
2xa,b, c,t
t 2
ay
uy a,b, c,t
t
2 ya,b, c,t
t 2
az
xy C
[例3]不定常流场的迹线与流线
已知：给定的二元流动速度场为：
ux x t,
uy y t
求： （1）t = 1时过（1,1）点的质点的迹线；
（2）过（1,1）点的流线方程。
解：(1) 迹线方程组为
dx x t, dt
dy y t dt
由上两式分别积分可得
x c1et t 1,
u=iux+juy+kuz 因为 u //dS 所以 u×dS=0 则：
dx dy dz ux uy uz
——证毕。
流线的绘制方法： 采用微元长切线方法
例1：已知一平面流场，其分速度为：
ky ux x2 y2
uy
kx x2 y2
uz 0
求流线形状。 解：流线微分方程
dx dy ux uy
流线的特性： （1）不稳定流时，流线的空间方位形状随 时间变化； （2）稳定流时，流线的形状不随时间变化， 并与迹线重合。 （3）流线是一条光滑曲线，既不能相交， 也不能转折。
流线微分方程：
dx dy dz ds ux uy uz u
证明：在M点沿流线方向取有向微元长dS 设dS=idx+jdy+kdz，M点质点速度为u，
up u x, y, z,t
P’点流体速度为:
up' u x dx, y dy, z dz,t dt
流体速度差为:
du u x dx, y dy, z dz,t dt u x, y, z,t
u dt u dx u dy u dz t x y z
加速度定义:
uz a,b, c,t
t
2za,b, c,t
t 2
➢ 拉格朗日方法的优点： 描述各个质点在不同时间参量变化，流体运动轨迹上各
流动参量的变化。 ➢ 拉格朗日方法的缺点：
不便于研究整个流场的特性。 ➢ 拉格朗日方法的适用情况：