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第三章流体运动学基础一、学习导引1、流体的速度流体的速度是一个矢量，记作V 。
x , y , z 方向的速度分量分别记作u , v , w ,即V ui vj wk ，流场的速度分布与空间坐标 x ，y ，z 以及时间t 有关，即u v r cos v sin ,v v r sin v cos v r u cos vsin ,v usinvcos3、连续性方程工程上常用的不可压缩流体的一元总流连续性方程为V 宀 V 2 A 2微分形式的连续性方程为_( u) ( V) ( w) 0t x yz对于不可压缩流体，连续性方程为V V(x,y,z,t)流体质点的加速度等于质点速度对时间的变化率，即dV V V dx V dy V dz adt t x dt y dtzdtt xyz投影形式：uuu ua x uv-w —— tx y z vv v v a y u — v- — w — tx y z www w a zuvw txy z2、流线微分方程在直角坐标中，流线方程为dx dy dzuv w在柱坐标中，流线方程为dr rddzv r vv zu —— v —— w 对于平面流动，这两种坐标系的速度分量的关系分别为u 12i 2j从而3.1 度, 3.2u v x yw0 z二、习题详解流体在等截面直圆管内作层流流动，过流断面上的流速分布为2U Umax 1—式中R 表示圆管的内半径，U max 和U 分别表示断面上的最大流速和断面上的分布速 R 。
求断面平均流速。
u ，则Ru 2 r dr0 r解：设管中平均速度为 R 2—Umax2流体在等截面直圆管中作湍流流动，过流断面上的流速分布为U U max式中n 为常数，R 、U max 及U 的意义与上题相同。
求平均流速；若n=7,平均流速为多少?解： U当n 7时：3.3已知速度场为U (2x 2y)i ( y x)j (x z)k求：(2,4,2 )点的速度(大小和方向)。
第三章流体运动学与动力学基础主要内容z基本概念z欧拉运动微分方程z连续性方程——质量守恒*z伯努利方程——能量守恒** 重点z动量方程——动量守恒** 难点z方程的应用第一节研究流体运动的两种方法z流体质点：物理点。
是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。
z空间点：几何点，表示空间位置。
流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x，y，z）上，具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。
拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。
一、拉格朗日法（跟踪法、质点法）Lagrangian method1、定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。
2、拉格朗日变数：取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置为（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
3、方程：设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z) ，则：x = x(a,b,c,t)y = y(a,b,c,t)z = z(a,b,c,t)4、适用情况：流体的振动和波动问题。
5、优点：可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。
缺点：不便于研究整个流场的特性。
二、欧拉法（站岗法、流场法）Eulerian method1、定义：以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。
2、欧拉变数：空间坐标（x ，y ，z ）称为欧拉变数。
3、方程：因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。
位置： x = x(x,y,z,t) y = y(x,y,z,t) z = z(x,y,z,t) 速度： u x =u x （x,y,z,t ） u y =u y （x,y,z,t ） u z =u z （x,y,z,t ）同理： p =p （x,y,z,t ） ，ρ=ρ(x,y,z,t) 说明： x 、y 、z 也是时间t 的函数。
第三章 流体运动学基础§3—1研究流体流动的方法一、基本概念场－设在空间的某个区域内定义了标量函数或矢量函数，则称定义了相应函数的空间区域为场。
如果研究的是标量函数则称此场为标量场；如果研究的是矢量函数，则称之为矢量场；如果同一时刻场内各点函数的值都相等，则称此场为均匀场，反之为不均匀场，如果场内函数不依于时间，即不随时间改变，则称此场为定常场，反之称为不定常场。
场的分类如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧密度场压力场标量场力场速度场矢量场 流场―充满运动流体的场称为流场。
二、研究流体运动的欧拉法欧拉法―欧拉法是通过下列两个方面来描述整个流场情况的：（1）在空间固定点上流体的各种物理量（如速度、压力）随时间的变化。
（2）在相邻的空间点上这些物理量的变化 1、速度表示法欧拉法是以流场中每一空间位置作为描述对象，描述在这些位置上流体的物理参数随时间的变化。
显然，同一时刻，流体内部各空间点上流体质点的速度可以是不同的，即V ρ是（x, y, z ）的函数。
同一空间点上，不同时刻，流体质点的速度也是不同的。
即V ρ又是t 的函数。
另一方面x , y , z 又可以看作是流体质点的坐标，而流体质点的坐标又是时间的函数。
因此： x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t )),,,(),,,(),,,(t z y x w w t z y x t z y x u u ===υυ故：V ρ=V ρ(x , y , z, t )同理：),,,(t z y x p p =),,,(t z y x ρρ=2、流体质点的加速度流体质点的加速度为：tVa d d ρρ=则：z u w y u x u u t u t z z u t y y u t x x u t u t u a x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==υd d z w y x u t t a y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==υυυυυυd d zw w y w x w u t w t w a z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==υd d 用矢量表示为： V V tVt V a ρρρρϖ)(d d ∇⋅+∂∂==其中yk y j x i ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϖϖϖ 为哈密顿算式。
对于密度有： ρρρ)(d d ∇⋅+∂∂=V tt ρzw y x u t ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ρρυρρ显然⎪⎩⎪⎨⎧≠=0d d 0d d t t ρρ对可压缩流体对不可压流体三、研究流体运动的拉格郎日法拉格郎日法—着眼于个别流体质点运动的研究（既跟踪流体质点），研究流体内个别流体质点在不同时间，其位置、流速、压力的变化，综合所有流体质点的运动，即可得到整个流场的运动规律（在研究流体的波动与震动时用到）。
令流体质点的矢径为),,,(t c b a r r ϖϖ=，其中a 、b 、c 代表初始时刻（t=t 0时）流体质点的坐标。
显然，不同的a 、b 、c 代表不同的流体流点，则在直角坐标系中，流体质点的坐标为：x=x (a 、b 、c 、t ) y=y (a 、b 、c 、t ) z=z (a 、b 、c 、t )a 、b 、c 、t 又称为拉格朗日变数。
若固定a 、b 、c 而令t 变，得某一流体质点的运动规律；若固定t ，令a 、b 、c 变，则得到某一时刻，不同流体质点的位置分布函数。
注意，r ϖ的定义域不是场，因它不是空间坐标x 、y 、z 的函数，而是质点标号a 、b 、c 的函数。
§３—2系统与控制体一、系统系统的特点：1、从流体中取出的一定质量的流体；2、与周围流体无质量交换（即运动过程始终包含这些确定的流体质点）0d d =tm； 3、系统的体积和形状可以随时间改变，例如研究某一班同学。
4、在系统的边界上可以有能量交换。
二、控制体控制体的特点：1、从该场中取出某一固定的空间区域，该体积称为控制体，其表面为控制面。
2、控制体的形状可根据研究的需要任意选定，但一旦选定以后，其形状位置均不变。
（例如研究某教室）3、在控制面上可以存在质量及能量交换。
三、欧拉法中物理量对时间的全导数设N 为t 瞬时，系统内流体具有的某种物理量；η表示单位质量流体具有的这种物理量。
在流场中任选一控制体（实线）II 在t 瞬时，系统与所选的控制体相重合，系统所占的空间体积为II 。
在这里用v 代表体积，V 代表速度。
t+δt 瞬时，由于系统内流体的流动，系统所占的空间体积为III ＋II ’，则δt 时间间隔内，系统内某种物理量η的增量为：II III’It t tt t t tt v v v N N N )d ()d d (II III II ⎰⎰⎰-+=-='ηρηρηρδδ△式中v d 为微元体积，上式右边加上并减去t tt δνηρ)d (I ⎰，用δt 通除再取极限得：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰'→+→t v t v t v v v t N N t tt t tt t t tt t t t t t δηρδηρδηρηρηρδδδδδδδ)d ()d ()d ()d d (lim lim 00ⅠⅢⅡⅠⅡ(a)对（a ）式左端取极限为：t N t N N t t tt t d d lim =-→δδδ (b)上式称为系统导数或系统内某种物理量对时间的变化率。
下面分析（a ）右端各项的物理意义。
其中（a ）式右端第一项的物理意义，对（a ）式右端第一项取极限为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎰⎰⎰'→t t t tt t δνηρνηρνηρδδ)d ()d d (II I I I 0lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎰⎰→t t t tt t δνηρνηρδδ)d ()d (II II 0lim νηρd II ⎰∂∂=t νηρd cv ⎰∂∂=t(c)（c ）式表示控制体内流体所具有的某种物理量对时间的变化率。
νηρd II ⎰这一项既是时间的函数，又是所取积分体积的函数，所以用偏导数。
并且cv=Ⅱ，而cv 表示对控制体的积分。
（a ）式右端第二项的物理意义νρd ⎰Ⅲ是δt 时间内从控制体Ⅱ流出的流体质量，νηρd ⎰Ⅲ是δt 时间内从控制体Ⅱ流出的流体所具有的某种物理量。
tttt δνηρδ)d (⎰Ⅲ则表示单位时间内从控ρ如上图，在面积A 2上取微元面积A ϖd ，其上流速为V ρ，单位时间从微元面积上流出的流体质量为A V ϖρd ⋅ρ，单位时间从微元面积上流出的流体所具有的某种物理量为A V ϖρd ⋅ηρ，则单位时间为从A 2流出的物理量应是⎰⋅2d A A V ϖρηρ。
而⎰⎰⋅=→2d )d (limA ttt t AV tv ϖρηρδηρδδⅢ（a ）右端第三项的物理意义：t tt dv δηρ)(⎰Ⅰ表示δt 时间间隔内流进控制体的流体具有的某种物理量。
同理，单位时间内从A 1流进的这种物理量应是：⎰→ttt t tv ϖρ)d (lim 0δηρδδⅠ“－”号是因为在流入条件下，A V ϖρd ⋅或（cos α）为负值。
其中A ϖd 表示控制面的微元面积矢量，n A A ϖϖd d =，n ϖ为d Ａ的法向单位矢量，垂直于控制面，规定向外为“＋”。
经过整个控制面的某种物理量的通量为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰→t v t v A V A V t tt t tt t A A δηρδηρηρηρδδδ)d ()d (d d III 0lim 12Ⅰϖρϖρ 而： A V A V A V cs A A ϖρϖρϖρd d d 12⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰ηρηρηρ(d)其中A 1+A 2 =CS （控制面），对(1)取极限，将 (b)、(c)、(d)代入(a)则；⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰'→→t v t v t v v v t N N t t tt t t tt t t t tt t δηρδηρδηρηρηρδδδδδδ)d ()d ()d ()d d (lim lim 00ⅠⅢⅡⅠⅡ A V v t t N cs cv ϖρd d d d ⋅+∂∂=⎰⎰ηρηρ (e)或A V v t t N n cs cv d d d d ⋅+∂∂=⎰⎰ηρηρ (f)式中：V n ―为控制面法线方向的分速度。
式(e)表明：控制体内部Ｎ对时间的变化率＝控制体内Ｎ对时间的变化率＋单位时间经过控制面的Ｎ的净通量对定常流动 0d =∂∂⎰v t cv ηρ 则： A V t Nn cs d d d ⋅=⎰ηρ(g)即在定常流动的条件下，整个系统内部的流体所具有的某种物理量的变化只与通过控制面的流动有关。
§３—3流体流动的几个基本概念一、迹线、流线1、迹线―某一流体质点在一段时间内运动的轨迹。
对应拉格朗日方法。
2、流线―流线是这样一条空间曲线，在某一瞬时，此曲线上每一点的速度矢量总是在该点与此曲线相切。
下面推导流线微分方程：设流线上某点Ｍ（x 、y 、z ）处的速度为V ρ，在坐标轴上的投影为u 、υ、w ，而ds 为过Ｍ点的微元流线段，在三个坐标轴的分量为d x 、d y 、d z 。
根据流线定义。
V ρ与d s 相切则：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⇒===⇒===⇒==w z V s s V w z V y V s s V y V ux V s s x V u x V d d d d )ˆ,cos(d d d d )ˆ,cos(d d d d )ˆ,cos(ωυυυρρρ 得流线微分方程：Vs w z y u x d d d d ===υ或由 0d d 0d d 0d d d d d =-=-=-⇒=⨯z u y w y w z x y u z y x w u k j i s d V υυυϖϖϖϖρ在定常流动中，由于流场中任意点速度的大小、方向均不随时间而变。
所以，流线也不随时间变化。
换言之，流线的形状始终不变。
此外在定常流动条件下，任意一流体质点总有自己确定的轨迹，且流线上质点的迹线与流线重合，或者说，流线上的质点沿流线运动。
流线不能相交，因为在同一瞬时，同一空间点上不可能有几个流动方向。
但对驻点（υ＝0）、奇点（υ=∞）例外。
总结上述归纳为：1．常流动时，流线与迹线重合，且流线形状及位置始终不变。
而在非定常流动时，流线要随时间变化。
2．一般情况下，流线不能相交。
3．实际管道的边界线以及潜体的边界，也就是一系列的流线，在固体边界上，不存在与该边界正交的速度分量。
二、流管、流束、流量流管―在流场内任取一不是流线的封闭周线（曲线），通过封闭曲线上各点的流线所构成的管状表面称为流管。
