流体运动学和动力学基础(温习 习题)[指南
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工程流体力学课后习题答案
解：
注：
3-9相对密度为0.85的柴油，由容器A经管路压送到容器B。容器A中液面的表压力为3.6大气压，容器B中液面的表压力为0.3大气压。两容器液面差为20米。试求从容器A输送到容器B的水头损失?
解：列A、B两液面的伯努利方程：
3-10为测量输油管内流量，安装了圆锥式流量计。若油的相对密度为0.8，管线直径D=100毫米，喉道直径d=50毫米，水银压差计读数
解：
又 （2）
由（1）、（2）得
Q1＝0.0446m3/s＝44.6L/s
Q2＝0.0554 m3/s＝55.4L/s
5-88图示一管路系统，CD管中的水由A、B两水池联合供应。已知L1＝500m，L0＝500m，L2＝300m，d1＝0.2m，d0＝0.25m，λ1＝0.029，λ2＝0.026，λ0＝0.025，Q0＝100L/s。求Q1、Q2及d2
解：
5-1818水从固定液面的水箱，通过直径d＝0.03m的圆柱形外管嘴流出。已知管嘴内的真空度为1.5m水柱，求管嘴出流的流量。
解：
\5-2020水沿T管流入容器A，流经线型管嘴流入容器B，再经圆柱形管嘴流入容器C，最后经底部圆柱形管嘴流到大气中。已知d1＝0.008m，d2＝0.010m，d3＝0.006m。当H＝1.2m，h＝0.025m时，求经过此系统的流量和水位差h1与h2。
解：法一：h－hD> 0.4 m
h> 1.33 m
法二：
由题意：P1·（0.3－e1）≥P2·（0.2 +e2）
解得：h≥1.33m
流体运动学与动力学基础
6自水箱接出一个水龙头，龙头前有压力表。当龙头关闭时，压力表读数为0.8大气压；当龙头开启时，压力表读数降为0.6大气压。如果管子直径为12毫米，问此时的流量为多少?
注：
3-9相对密度为0.85的柴油，由容器A经管路压送到容器B。容器A中液面的表压力为3.6大气压，容器B中液面的表压力为0.3大气压。两容器液面差为20米。试求从容器A输送到容器B的水头损失?
解：列A、B两液面的伯努利方程：
3-10为测量输油管内流量，安装了圆锥式流量计。若油的相对密度为0.8，管线直径D=100毫米，喉道直径d=50毫米，水银压差计读数
解：
又 （2）
由（1）、（2）得
Q1＝0.0446m3/s＝44.6L/s
Q2＝0.0554 m3/s＝55.4L/s
5-88图示一管路系统，CD管中的水由A、B两水池联合供应。已知L1＝500m，L0＝500m，L2＝300m，d1＝0.2m，d0＝0.25m，λ1＝0.029，λ2＝0.026，λ0＝0.025，Q0＝100L/s。求Q1、Q2及d2
解：
5-1818水从固定液面的水箱，通过直径d＝0.03m的圆柱形外管嘴流出。已知管嘴内的真空度为1.5m水柱，求管嘴出流的流量。
解：
\5-2020水沿T管流入容器A，流经线型管嘴流入容器B，再经圆柱形管嘴流入容器C，最后经底部圆柱形管嘴流到大气中。已知d1＝0.008m，d2＝0.010m，d3＝0.006m。当H＝1.2m，h＝0.025m时，求经过此系统的流量和水位差h1与h2。
解：法一：h－hD> 0.4 m
h> 1.33 m
法二：
由题意：P1·（0.3－e1）≥P2·（0.2 +e2）
解得：h≥1.33m
流体运动学与动力学基础
6自水箱接出一个水龙头，龙头前有压力表。当龙头关闭时，压力表读数为0.8大气压；当龙头开启时，压力表读数降为0.6大气压。如果管子直径为12毫米，问此时的流量为多少?
流体运动学和流体动力学基础
变化，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。 (2)按与空间的关系分：一维、二维、三维流动
在设定坐标系中，有关物理量依赖于一个坐标，称为一 维流动，依赖于二个坐标，称为二维流动，依赖于三个坐 标，则称为三维流动。平面运动和轴对称运动是典型的二 维运动。 (3)按运动状态分
有旋和无旋流动、层流和湍流、亚音速和超音速 (４)按流体性质分
解：（a）流线： dx dy
a bt
积分： y bt x c ——流线方程 a
y c=2
c=1
c=0
o
x
y c=2
c=1
c=0
o
x
c=2
y
c=1
c=0
o
x
t=0时流线
t=1时流线
t=2时流线
第四节 流管 流束 流量 水利半径
流管——在流场内作一本身不是流线 又不相交的封闭曲线，通过这样封闭 曲线上各点流线所构成的管状表面。
流线的几个性质： （1）对于非定常流场，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重合； 对于定常流场，流线与迹线重合。 （2）流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。 （3）流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分布。
迹线和流线的差别： 迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange观点对应； 流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与Euler观点对应； 速度为零的点为驻点，速度为无穷大的点为奇点。
第二节 流动的分类
一维流动 —— 二维流动 —— 三维流动 ——
B Bx, t 0
y z
B Bx, y, t Br, , t 0
z
B Bx, y, z, t
在设定坐标系中，有关物理量依赖于一个坐标，称为一 维流动，依赖于二个坐标，称为二维流动，依赖于三个坐 标，则称为三维流动。平面运动和轴对称运动是典型的二 维运动。 (3)按运动状态分
有旋和无旋流动、层流和湍流、亚音速和超音速 (４)按流体性质分
解：（a）流线： dx dy
a bt
积分： y bt x c ——流线方程 a
y c=2
c=1
c=0
o
x
y c=2
c=1
c=0
o
x
c=2
y
c=1
c=0
o
x
t=0时流线
t=1时流线
t=2时流线
第四节 流管 流束 流量 水利半径
流管——在流场内作一本身不是流线 又不相交的封闭曲线，通过这样封闭 曲线上各点流线所构成的管状表面。
流线的几个性质： （1）对于非定常流场，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重合； 对于定常流场，流线与迹线重合。 （2）流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。 （3）流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分布。
迹线和流线的差别： 迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange观点对应； 流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与Euler观点对应； 速度为零的点为驻点，速度为无穷大的点为奇点。
第二节 流动的分类
一维流动 —— 二维流动 —— 三维流动 ——
B Bx, t 0
y z
B Bx, y, t Br, , t 0
z
B Bx, y, z, t
武汉理工大学《流体力学》课件3 流体运动学和动力学基础1
2 d x (a, b, c, t ) dx(a, b, c, t ) a x 2 u x dt dt d dy(a, b, c, t ) d 2 y (a, b, c, t ) a y u y 2 dt dt dt dz(a, b, c, t ) d 2 z (a, b, c, t ) az u z 2 dt dt
因此，用这些方程就能描述所有液体质点的运动 （轨迹、速度和加速度），也就知道了液体整体的 运动。
问题
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
(a , b, c ) l i m i te d fl u i dpoi n ts
欧拉法把任何一个运动要素表示为 空间坐标（x，y，z）和时间t 的函数。
液体质点在t 时刻，通过任意空间固定点 (x,
y, z) 时的流速为
dx ( x , y , z , t ) u x dt dy ( x , y , z , t ) u y dt dz ( x , y , z , t ) uz dt
1. 2. 3.
每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点 数学上存在难以克服的困难 实用上不需要知道每个质点的运动情况
问题
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
( a , b, c ) l i m i te d fl u i dpoi n ts
x x (a, b, c, t ) d y y (a, b, c, t ) dt z z (a, b, c, t )
第2章流体运动学和动力学基础(复习习题)
第11页 共112页
§ 2.2.4 旋度和位函数
在数学上表示下列微分代表某个函数的全微分，即
d
V
dr
udx
vdy
wdz
V
dr
d
0
L
L
上式中这个函数称为速度势函数或速度位，其存在的充分必要条件是无涡
流动。
；
1
rotV
0
；
2
速度势函数仅是坐标位置和时间的函数。即
p z
9/11/2019 7:19 AM
沈阳航空工业学院飞行器设计教研室
第16页 共112页
§ 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义
如果上式右边项为零，有
V
ds
0
这样在曲线上，下V2 2
0
V 2 C(s) 2
s
场、定常与非定常
v
流管、流面、流量：
流量是单位时间内穿过指定截面的流体量（体积、质量或重量），例如穿过上述
流管中任意截面A的体积流量 Q 、质量流量
Q (V n)dA
m (V n)dA
m
和重量流量
G g(V
G 可分别表为
n)dA
A
A
A
dM dt
d dt
d
0
0
表示，在系统内不存在源和汇的情况下，系统的质量不随时间变化。
（2）动量方程
表示：系统的ddK动t 量 对ddt时间0 的V变d化0 率等F于外界0 作 用f d于 0系统S0上p的nd所S 有外力的合
3 流体运动学和动力学基础1
液体运动有两个特征。一个是“ 液体运动有两个特征。一个是“多”， 即液体是由众多质点组成的连续介质； 即液体是由众多质点组成的连续介质；另一 个是“不同” 个是“不同”，即不同液体质点的运动规律 各不相同。 各不相同。
因此， 因此，液体运动的描述方法与理 论力学中刚体运动的描述方法就不可能 相同。那么， 相同。那么，这就给液体运动的描述带 来了困难。 来了困难。
t
（a，b，c，t0） ， ，
z a x y
占据起始坐标（ ， ， ） 设某一液体质点 在 t = t0 占据起始坐标（a，b，c1 拉格朗日法
t
） （x，y，z，t） ， ， （a，b，c，t0） ， ，
z a x y
t0 ：质点占据起始坐标： 质点占据起始坐标：
图3.1.1 拉格朗日法
t z y
x = x ( a , b, c , t ) y = y ( a , b, c , t ) z = z ( a , b, c , t )
（a，b，c） 对应液体微团 或液体质点起始坐标 ， ， ）
z M t0 c O b x a x y
图3.1.1 拉格朗日法
问题
x = x(a , b, c , t ) y = y(a , b, c , t ) z = z(a , b, c , t )
( a , b , c ) ∈ limited fluid points
1. 2. 3.
每个液体质点的运动规律都不 同，很难跟踪足够多质点。 很难跟踪足够多质点。 数学上存在难以克服的困难。 数学上存在难以克服的困难。 实用上不需要知道每个质点运 动情况，只需要知道关键之处。 动情况，只需要知道关键之处。
d x ( a , b, c , t ) ux = dt x = x(a , b, c , t ) d d y ( a , b, c , t ) ⇒⇒ u y = y = y(a , b, c , t ) dt dt z(a , ， 速度对 =求导b, c , t ) z t 求导，得到液体质点的加速度, b, c , t ) d z(a uz = dt d 2 x ( a , b, c , t ) d x ( a , b, c , t ) a x = ux = d t2 dt d d y ( a , b, c , t ) d 2 y ( a , b, c , t ) ⇒⇒ a y = uy = dt dt d t2 d z ( a , b, c , t ) d 2 z ( a , b, c , t ) uz = az = dt d t2
第三章流体运动学与动力学基础(第1、2、3节)
ux=ux(x,y,z,t)，
uy=uy(x,y,z,t)， uz=uz(x,y,z,t)， p=p(x,y,z,t)。 式中（x，y，z）是液体质点在t时刻的位置坐标。对同一
液体质点来说，坐标（x，y，z）不是独立的，而是时间t的
函数。于是，加速度的三个坐标分量需要通过相应的三个速 度分量复合求导得到，即
为容器内设有充流体和溢流装置来保持流体位
恒定，液体经孔口出流的流速、压强及来自射流 的形状都不随时间变化，属于恒定流。
2.不稳（非恒）定流
如在流场中，液体质点通过任一空间位置时，只要有任何一
个运动要素是随时间改变的，就称非恒定流。图2-4所示的容器，
由于液体经孔口出流时，容器中流体位逐渐下降，其流速、压
§3-2 流体运动的基本概念
（一）稳（恒）定流与不稳（非恒）定流
1.稳（恒）定流
如在流场中，液体质点通过任一空间位置 时，所有运动要素都不随时间而改变，即对时 间偏导数应等于零，如 等， 这种流动称为恒定流。恒定流时，流速、压强 等运动要素仅是随坐标位置改变，而与时间无 关，所以不存在当地加速度。如图2-3所示，
由于液体质点的运动轨
迹非常复杂，用这种方法
研究液体运动时，数学上 也会遇到很多困难，况且 实用上也不需要知道个别 质点的运动情况。所以除
了少数情况（如波浪运动）
外，在流体力学中通常不 采用这种方法，而采用较 简便的欧拉法 。
（二）欧拉法
欧拉法不是研究每个质点的运动过程，而是研究不同时
刻，在无数个给定空间位置上不同液体质点的运动情况，
强及射流形状都随时间变化，属于非恒定流。 在枯流体期，河道中的流体位、流速和流量随时间变化较小， 可近似认为是恒定流；而在洪流体期，河道中的流体位、流速 和流量随时间有显著变化，即为非恒定流。
第四章-流体运动学和流体动力学基础
流线
强调的是空间连续质点而不是某单个质点； 形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内； 表示的是质点的速度方向而不是空间位置连 线。
2、流线微分方程：
速度矢量 V xi y j zk
速度与坐标轴夹角的余弦
cosV, x x /V cosV, y y /V
该点流线微元的切线
dL dxi dyj dzk
t为变量。
3、t为常数，（a，b，c）为变量
某一时刻不同流体质点的位置分布
根据流体质点的运动方程，可得
速度： 加速度：
vx vy
ddtx ＝
dy
dt
x(a，b，c，t ) t
y (a，b，c，t ) t
vz
dz
dt
z (a，b，c，t ) t
d 2 x 2 x(a，b，c，t)
ax dt
欧拉法
微分方程
vx
dx
dt （ t为自变量，
dx
dy
dz
vy
dy
dt
x, y, z 为t
vx(x, y, z,t)
vy(x, y, z,t)
vz(x, y, z,t)
vz
dz dt
的函数 ）
(x,y,z为t的函数，t为参数）
第四节 流管 流束 流量 水力半径
一、 流管 流束 缓变流 急变流 流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过 该周线上的所有流线组成的管状表面。
一般公式
d
r
( )
dt t
全导数 随体导数
当地 导数
迁移 导数
压强的随体导数 密度的随体导数
dp p
r
p
dt t
d
第四章 流体运动学和流体动力学基础
V
r
f dV
A
r
pndA
t
CV
r
vdV
CS
r
v vn dA
CV
r
f dV
CS
r
pndA
积分形 式动量 矩方程
第七节 动量方程 动量矩方程
• 定常流动
r
v
vn
dA
dN d dV
dV dV
V
tt
V
t
lim dt dt V
t 0
t
dV dV
dV dV
• 连续性方程、动量方程以及能量方程
第一节 流体运动的描述
• １、欧拉法（ Euler法 ）
基本思想：考察空间每一点上的物理量及
其变化。所谓空间一点上的物理量是指占 据该空间点的流体质点的物理量。着眼于
某瞬时，整个流场各空间点处的状态。
独立变量：空间点坐标和时间的函数
vx vx x, y,z,t vy vy x, y,z,t
0 t
是否定常与所选取的参考系有关。
第二节 流动的分类
一维流动 —— 二维流动 —— 三维流动 ——
B Bx, t 0
y z
B Bx, y, t Br, , t 0
z
B Bx, y, z, t
第三节 迹线 流线
（１）迹线—— 是流体质点在空间运动时描绘的 轨迹。它给出了同一流体质点在不同时刻的空间 位置。
流体运动学及动力学基础练习题
第三章 流体运动学及动力学基础练习题一、 单项选择题1. 定常流动中，流体质点的加速度等于（ ）A ．等于零 B. 等于常量 C 随时间变化而变化 D 与时间无关2. 一维流动的连续性方程C VA =成立的必要条件是（ ）A 理想流体B 黏性流体C 可压缩流体D 不可压缩流体3. 均匀流是（ ）A 当地加速度为零B 迁移加速度为零C 向心加速度为零D 合加速度为零4. 均匀流过流断面上各点的（ ）等于常数A. PB. g p z ρ+C. g V g p 22+ρ D gV g p z 22++ρ 5. 用欧拉法研究流体运动时，流体质点的加速度a=( )A. 22dtr d B. t ∂∂U C )u u.∇( D )u u.U ∇+∂∂(t 6. 控制体是指相对于某个坐标系来说（ ）A 由确定的流体质点所组成的流体团B 有流体流过的固定不变的任何体积C 其形状、位置随时间变化的任何体积D 其形状不变而位置随时间变化的任何体积7. 恒定总流的连续方程、伯努利方程、动量方程中的流速为（ ）A 断面平均流速B 断面上的最大流速C 断面形心处的流速D 断面上压力中心处的流速8. 关于水流流向的正确说法是（ ）A 水一定是从高处往低处流B 水一定是从流速大处往流速小处流C 水一定是从机械能大处往机械能小处流D 水一定是从测压管水头高处往测压管水头低处流9. 非恒定流动中，流线与迹线( )A 一定重合B 一定不重合C 特殊情况下可能重合D 一定正交10. 在应用恒定总流的动量方程∑-=)(1122v v q F v ββρ解体时，∑F 中不应该包括（ ）A 重力B 压力C 阻力D 惯性力二 、思考题1. “均匀流和渐变流必为恒定流，急变流必为非恒定流”，这种说法对否？为什么？2. 在河道中，为什么自由航行的船只总是向水流较急的一侧河岸靠拢？三．计算题1.2.3.4.。
优选第三章流体运动学和动力学基础()
二、Lagrange法（拉格朗日法）
3. 质点物理量：
(1) 流体质点的位置坐标：
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
(2) 速度：
vx vy
vx vy
(a，b，c，t )＝ (a，b，c，t)
x(a，b，c，t ) t
y (a，b，c，t ) t
二、Lagrange法（拉格朗日法）
“跟踪”的方法
✓1. 定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟 踪观察质点的运动轨迹及运动参数(速度、压力 等)随时间的变化关系，然后综合所有流体质点 的运动情况，得到整个流体的运动规律。
✓2. 拉格朗日变数：对直角坐标系来说，在某时 刻t＝t0，质点的空间坐标为(a,b,c)作为区别该质 点的标识，称为拉格朗日变数。由于质点的连续 存在，显然拉格朗日变数也是在坐标系上连续存 在的，不同的质点有不同的(a,b,c)值。
欧拉(Euler)：
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於瑞士的巴 塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家 庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕 业，16岁获硕士学位。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作 出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最 多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的 力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引 论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经 典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支 中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
vz
vz (a，b，c，t)
z (a，b，c，t ) t
第三章流体运动学与动力学基础主要内容基本概念欧拉运动微分方程
第三章流体运动学与动力学基础主要内容z基本概念z欧拉运动微分方程z连续性方程——质量守恒*z伯努利方程——能量守恒** 重点z动量方程——动量守恒** 难点z方程的应用第一节研究流体运动的两种方法z流体质点：物理点。
是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。
z空间点：几何点，表示空间位置。
流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x，y，z）上，具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。
拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。
一、拉格朗日法（跟踪法、质点法）Lagrangian method1、定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。
2、拉格朗日变数：取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置为（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
3、方程：设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z) ，则：x = x(a,b,c,t)y = y(a,b,c,t)z = z(a,b,c,t)4、适用情况：流体的振动和波动问题。
5、优点：可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。
缺点：不便于研究整个流场的特性。
二、欧拉法（站岗法、流场法）Eulerian method1、定义：以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。
2、欧拉变数：空间坐标（x ，y ，z ）称为欧拉变数。
3、方程：因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。
位置： x = x(x,y,z,t) y = y(x,y,z,t) z = z(x,y,z,t) 速度： u x =u x （x,y,z,t ） u y =u y （x,y,z,t ） u z =u z （x,y,z,t ）同理： p =p （x,y,z,t ） ，ρ=ρ(x,y,z,t) 说明： x 、y 、z 也是时间t 的函数。
流体动力学基础
第3章 流体动力学基础一、单项选择题1、当液体为恒定流时，必有（ ）等于零。
A ．当地加速度 B.迁移加速度 C.向心加速度 D.合加速度2、均匀流过流断面上各点的（ ）等于常数。
A.p B.z+g p ρ C. g p ρ+g u 22 D. z+g p ρ+gu 223、过流断面是指与（ ）的横断面。
A ．迹线正交 B.流线正交 C.流线斜交 D.迹线斜交4、已知不可压缩流体的流速场为Ux=f(y,z),Uy=f(x),Uz=0,则该流动为（ ）。
A.一元流B.二元流C.三元流D.均匀流5、用欧拉法研究流体运动时，流体质点的加速度a=( ). A. 22dtr d B.t u ∂∂ C.(u ·▽)u D. t u ∂∂+(u ·▽)u 6、在恒定流中，流线与迹线在几何上（ ）。
A.相交B.正交C.平行D.重合7、控制体是指相对于某个坐标系来说,( ).A .由确定的流体质点所组成的流体团 B.有流体流过的固定不变的任何体积 C.其形状,位置随时间变化的任何体积 D.其形状不变而位置随时间变化的任何体积.8、渐变流过流断面近似为( ).A.抛物面B.双曲面C.对数曲面D.平面9、在图3.1所示的等径长直管流中,M-M 为过流断面,N-N 为水平面,则有( ).A.p1=p2B.p3=p4C.z1+g p ρ1 =z2+g p ρ2D.z3+g p ρ3 =z4+gp ρ4 10、已知突然扩大管道突扩前后管段的管径之比21d d =0.5, 则突扩前后断面平均流速之比v1:v2=( ).A. 4B.2C.1D.0.511、根据图3.2 所示的三通管流，可得（ ）。
A ．qv 1+qv 2=qv 3 B.qv 1-qv 2=qv 3 C.qv 1=qv 2+qv 3 D.qv 1+qv 2+qv 3=0 12、根据图3.3 所示的三通管流，可得（ ）。
A ．qv 1+qv 2=qv 3 B.qv 1-qv 2=qv 3 C.qv 1=qv 2+qv 3 D.qv 1+qv 2+qv 3=0 13、测压管水头坡度Jp=（ ）。
第三章流体运动学与动力学基础
第三章 流体运动学与动力学基础
掌握
四、有效断面、流量和断面平均流速
有效断面：流束或总流上，垂直于流线的断面。
所有流线都垂直于有效断面，因此沿有效断面上没有流体流动。 有效断面可以是平面，也可以是曲面。
第三章 流体运动学与动力学基础
流量：单位时间内流过有效断面的流体量。
流量的表达方法：
意义：流线形象的描绘了流场中各质点的瞬时流动方向。 第三章 流体运动学与动力学基础
第三章 流体运动学与动力学基础
方程：以空间点为研究对象，基于欧拉 法推导流线方程：在M点沿流线方向取
有向微元长d s dxi dy j dzk ，质
点M速度为 u ux i uy j uz k 。因为：
掌握
欧拉法及其加速度表达式
第三章 流体运动学与动力学基础
基本概念
流体质点：一个物理点，即流体微团，是构成连续介质的流体的基
本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观 上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学 特性）。
空间点：一个几何点，表示空间位置。 质点与空间点之间的关系：流体质点是流体的组成部分，在运
第三章 流体运动学与动力学基础
i 总流过流断面上，流体速度、流量、压力等运动要素通常不相等； 微小流束过流断面上，认为流体运动要素相等。因此：可以对微小流 束进行数学积分求解相应的总流断面上的运动要素——元流分析法。
如：圆管内部层流的流速分布为旋转抛物面
u2 u1 umax
u2 u1 umax
图3-5 管流总流断面流 ux uy uz
第三章 流体运动学与动力学基础
流线：
定义：某一瞬时流场中的一条曲线，其上各质点的运动方向均与曲线 相切。
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5/19/2019 沈阳航空工业学院飞行器 第10页
流体§微2.团2.4绕自旋身度轴和的位旋函转数角速度的三个分量为ωx
，ωy，ωx，合角速度可用矢量表示为
xi
y
j
z k
1 2
rotV
1 2
V
这个值在向量分析里记为（1/2）rotV，称为V的旋
度2。
5/19/2019 沈阳航空工业学院飞行器 第5页 共
流线: 流场中的瞬时光滑曲线，在曲线上流体质点的
速度方向与各该点的切线方向重合。
迹线： s 流体质点在一定时间内所经过的所有空间点的
集v 合。
流量是单位时间内穿过场指定、截面定的常流体与量非（体定积常、质量或重量），例如穿过上述
流管中任Q意截(面V A的n)d体流A积管流量、m Q流 、面(V质 、量n流)流d量A 量m ：G和重量流g(量V
x
1 2
w y
v z
,y
1 2
u z
w x
,
z
1 2
v x
u y
5/19/2019 沈阳航空工业学院飞行器 第8页 共
§ 2.2.2 流体微团速度分解定理
按速度泰勒级数展开有
u(x x, y y, z z,t) u(x, y, z,t) u x u y u z x y z
§2.1 描述流体运动的方法
§2.1.1 拉格朗日 方法与欧拉方法
1、Lagrange方法 （拉格朗日方法， 质点法）
着眼于流场
中每一个运动着的
流体质点，跟踪观
察每一个流体质点
的运动轨迹以及运
动参数（速度、压
一个速度场
5/19/2019 沈阳航空工业学院飞行器
第2页 共
§2.1 描述流体运动的方法 5/19/2019 沈阳航空工业学院飞行器 第3页 共
L
A
如果是无涡流场，那么其旋度V为零dr，由0此得到
L
5说/19明/2速01度9 场的沈曲阳线航积空分工与业路学径院无飞关行，器仅是坐第标11位页
w(x x, y y, z z,t) w(x, y, z,t) w x w y w z x y z
w(x, y, z,t) (xy yx) yx xy zz
5/19/2019 沈阳航空工业学院飞行器 第9页 共
一个流场即，有如cur旋l果 度各 vy为处z 旋的vzy 转ωi +都角 v等z速x 于度vxz 零的j +，二 v这x倍y 样：vyx的k 流。场称
为场无，旋其流流场动，称V其有流 d旋动r流称。为根无r据o旋t数V流学 d。上A否S则tok为e有s定旋律流
流体微团平动u(速x, y度, z：,t),v(x, y, z,t),w(x, y, z,t)
流体微团线变形x 速ux率, ：y
v y
,
z
பைடு நூலகம்
w z
流体x 微12 团 wy角变vz 形, 速y 率12 （uz 剪 切wx 变, z形 12速 率xv ）uy：
vx x
vy
vx y
vz
vx z
ay
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
az
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
表示速度对时间的偏导数，是由流场
的非定常性引起的，称为局部加速度，或当
第二章 流体运动学和动力学基
础
△ 流场(流场及其描述方法,迹线、流线和流管) ★流体微团运动的分析(散度、旋度和速度位)
★连续方程和流函数(连续方程、流函数) △ 旋涡运动(涡线、涡管及旋涡强度、环量诱
导速度及相关定理) ★欧拉运动方程及其积分(欧拉运动方程、伯努
利方程) ※本流章体作力业学：中习的题动1量,3,定6,8理,9(一,10般,1原1,理13及,15例子)
G 可分别表为
n)dA
其中，A 是局部速度A 向量， 是A 密度，
是
V
微元面积
的n 法线向量dA
2.1.2 流线微分方程
dx dy dz ds 或 u v wV
dx dy dz vx vy vz
5/19/2019 沈阳航空工业学院飞行器 第7页 共
§ 2.2.1 流体微团的基本运动形式
u(x, y, z,t) (yz zy) xx zy yz
v(x x, y y, z z,t) v(x, y, z,t) v x v y v z x y z
v(x, y, z,t) (zx xz) zx yy xz
加速度描述
du u u u v u w u dt t x y z
dv v u v v v w v dt t x y z
dw w u w v w w w
dt t
x y
z
右边第1项：
ax
vx t
vx
地加速度；
右边其他项：
5/19/2019 沈阳航空工业学院飞行器 第4页 共
推广 d u 算子v w
dt t x y z
表示随流体质点运动的导数，称随体导数。除速 度外，对流dd场pt 中其pt 它u变，px量有也v成py立。w 如pz对于压强p
§ 2.2.3 散度及其意 义
三个相互垂直方向的线变形率之和在向量分析中 称为速度Vd的ivV散 度V， 符u 号v为 dwivV，即
x y z
散度在流体力学里表示流体微团的相对体积膨胀 率（单位时间单位体积的增长量）。
度不变的不可压流动里，微团的体积不变，其速度的散度必为
流体§微2.团2.4绕自旋身度轴和的位旋函转数角速度的三个分量为ωx
，ωy，ωx，合角速度可用矢量表示为
xi
y
j
z k
1 2
rotV
1 2
V
这个值在向量分析里记为（1/2）rotV，称为V的旋
度2。
5/19/2019 沈阳航空工业学院飞行器 第5页 共
流线: 流场中的瞬时光滑曲线，在曲线上流体质点的
速度方向与各该点的切线方向重合。
迹线： s 流体质点在一定时间内所经过的所有空间点的
集v 合。
流量是单位时间内穿过场指定、截面定的常流体与量非（体定积常、质量或重量），例如穿过上述
流管中任Q意截(面V A的n)d体流A积管流量、m Q流 、面(V质 、量n流)流d量A 量m ：G和重量流g(量V
x
1 2
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1 2
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5/19/2019 沈阳航空工业学院飞行器 第8页 共
§ 2.2.2 流体微团速度分解定理
按速度泰勒级数展开有
u(x x, y y, z z,t) u(x, y, z,t) u x u y u z x y z
§2.1 描述流体运动的方法
§2.1.1 拉格朗日 方法与欧拉方法
1、Lagrange方法 （拉格朗日方法， 质点法）
着眼于流场
中每一个运动着的
流体质点，跟踪观
察每一个流体质点
的运动轨迹以及运
动参数（速度、压
一个速度场
5/19/2019 沈阳航空工业学院飞行器
第2页 共
§2.1 描述流体运动的方法 5/19/2019 沈阳航空工业学院飞行器 第3页 共
L
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如果是无涡流场，那么其旋度V为零dr，由0此得到
L
5说/19明/2速01度9 场的沈曲阳线航积空分工与业路学径院无飞关行，器仅是坐第标11位页
w(x x, y y, z z,t) w(x, y, z,t) w x w y w z x y z
w(x, y, z,t) (xy yx) yx xy zz
5/19/2019 沈阳航空工业学院飞行器 第9页 共
一个流场即，有如cur旋l果 度各 vy为处z 旋的vzy 转ωi +都角 v等z速x 于度vxz 零的j +，二 v这x倍y 样：vyx的k 流。场称
为场无，旋其流流场动，称V其有流 d旋动r流称。为根无r据o旋t数V流学 d。上A否S则tok为e有s定旋律流
流体微团平动u(速x, y度, z：,t),v(x, y, z,t),w(x, y, z,t)
流体微团线变形x 速ux率, ：y
v y
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பைடு நூலகம்
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流体x 微12 团 wy角变vz 形, 速y 率12 （uz 剪 切wx 变, z形 12速 率xv ）uy：
vx x
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ay
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az
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vx
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表示速度对时间的偏导数，是由流场
的非定常性引起的，称为局部加速度，或当
第二章 流体运动学和动力学基
础
△ 流场(流场及其描述方法,迹线、流线和流管) ★流体微团运动的分析(散度、旋度和速度位)
★连续方程和流函数(连续方程、流函数) △ 旋涡运动(涡线、涡管及旋涡强度、环量诱
导速度及相关定理) ★欧拉运动方程及其积分(欧拉运动方程、伯努
利方程) ※本流章体作力业学：中习的题动1量,3,定6,8理,9(一,10般,1原1,理13及,15例子)
G 可分别表为
n)dA
其中，A 是局部速度A 向量， 是A 密度，
是
V
微元面积
的n 法线向量dA
2.1.2 流线微分方程
dx dy dz ds 或 u v wV
dx dy dz vx vy vz
5/19/2019 沈阳航空工业学院飞行器 第7页 共
§ 2.2.1 流体微团的基本运动形式
u(x, y, z,t) (yz zy) xx zy yz
v(x x, y y, z z,t) v(x, y, z,t) v x v y v z x y z
v(x, y, z,t) (zx xz) zx yy xz
加速度描述
du u u u v u w u dt t x y z
dv v u v v v w v dt t x y z
dw w u w v w w w
dt t
x y
z
右边第1项：
ax
vx t
vx
地加速度；
右边其他项：
5/19/2019 沈阳航空工业学院飞行器 第4页 共
推广 d u 算子v w
dt t x y z
表示随流体质点运动的导数，称随体导数。除速 度外，对流dd场pt 中其pt 它u变，px量有也v成py立。w 如pz对于压强p
§ 2.2.3 散度及其意 义
三个相互垂直方向的线变形率之和在向量分析中 称为速度Vd的ivV散 度V， 符u 号v为 dwivV，即
x y z
散度在流体力学里表示流体微团的相对体积膨胀 率（单位时间单位体积的增长量）。
度不变的不可压流动里，微团的体积不变，其速度的散度必为