九年级下学期数学第一次月考试卷

数学本试卷分为A卷和B卷两部分。

A卷满分100分；B卷满分60分。

全卷满分160分，考试时间120分钟。

A卷（共100分）注意事项：1、答题前，考生务必将将自己的姓名学号班级等填写好。

2、答A卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。

）1、中国人使用负数最早可追溯到两千多年前的秦汉时期，则2024的相反数是（A）A、B、C、D、2、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5（）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响。

用科学记数法可表示为（　C　）A、B、C、D、3、下列运算中，正确的是（D）A、B、C、D、4、下列图形一定是轴对称图形但不是中心对称图形的是（C）A、矩形B、菱形C、正三角形D、圆5、下列说法正确的是（C）A、打开电视，它正在播天气预报是不可能事件B、要考察一个班级中学生的视力情况适合用抽样调查C、在抽样调查中，样本容量越大，对总体的估计就越准确D、甲、乙两人射中环数的方差分别为，说明甲的射击成绩比乙稳定6、在2024年体育中考中，某班乙学习小组6名学生的体育成绩如下表，则这组学生的体育成绩的众数，中位数，方差依次为（A）成绩（分）272830人数231A、28，28，1B、28，27.5，1C、3，2.5，5D、3，2，57、函数中，自变量x的取值范围是（B）A、B、且C、D、且8、在“双减政策”的推动下，我市某中学学生每天书面作业时长明显减少，2023年上学期每天书面作业平均时长为100min ，经过2023年下学期和2024年上学期两次调整后，2024年上学期平均每天书面作业时长为70min ，设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x ，则可列方程为（　C ）A 、B 、C 、D、9、实数m ，n 在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ D ）A 、B 、C 、D、10、如图，在中，，将绕点A 逆时针旋转，点B 经过的路径为BD ，则图中阴影部分的面积为（　D ）A 、B 、C 、D、11、如图，把放在直角坐标系内，其中，，点A 、B 的坐标分别为（1，0），（4，0）。

数学（试卷满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡；2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分；3．可直接用2B铅笔画图．一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分；每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1. 贴窗花是过春节时的一项重要活动，这项活动历史悠久，风格独特，深受国内外人士的喜爱．下列窗花作品为轴对称图形的是（）A. B. C. D.答案：A详解：解：A、该图形是轴对称图形，符合题意；B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；故选：A．2. 芯片制程指的是晶体管结构中的栅极的线宽，也就是纳米工艺中的数值，宽度越窄，功耗越低，14纳米就是米，数用科学记数法表示为（）A. B. C. D.答案：B解析：详解：∵，故选B．3. 下列运算正确的是（）A. B. C. D.答案：C解析：详解：解：A.，故A错误；B.，故B错误；C.，故C正确；D.，故D错误，故选：C．4. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（）A. B.C. D.答案：A解析：详解：解：该几何体的左视图如下：故选：A．5. 已知一个不透明的袋子里装有1个白球，2个黑球，3个红球，每个球除颜色外均相同，现从中任意取出一个球，则下列说法正确的是（）A. 恰好是白球是不可能事件B. 恰好是黑球是随机事件C. 恰好是红球是必然事件D. 恰好是红球是不可能事件答案：B解析：详解：解：A、恰好是白球是随机事件，故该选项错误，不符合题意；B、恰好是黑球是随机事件，故该选项正确，符合题意；C、恰好是红球是随机事件，故该选项错误，不符合题意；D、恰好是红球是随机事件，故该选项错误，不符合题意．故选：B．6. 在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是( )A1+ B. 2+ C. 2﹣1 D. 2+1答案：D解析：详解：设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有，解得．故选D．7. 某城市进行道路整改，需要重新铺设一段全长为6千米的道路，为尽量减少施工队对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划提高，结果提前25天完成这一任务，设原计划每天铺设道路x米，根据题意可列方程为（）A. B.C. D.答案：C解析：详解：解：实际施工时每天的工作效率比原计划提高，且原计划每天铺设管道x米，实际施工时每天铺设管道米，根据题意得：，故选：C．8. 如图，已知是的直径，点C、D分别在两个半圆上，若过点C的切线与的延长线交于点E，则与的数量关系是（ ）A. B.C. D.答案：C解析：详解：解：连接，，，∵是的直径，∴，∴，∵，，∴，∴，∵是的切线，∴，∴，∴，∴．故选：C．9. 西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）为．已知，冬至时石家庄市的正午日光入射角约为，则光线长约为（）A. B. C. D.答案：B解析：详解：解：在中，，，，∵，∴，故选：B．10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是（）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④答案：C解析：详解：解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，∴A，B关于原点对称，∴m＝4，n＝﹣1，∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得，∴，∴①②正确，符合题意，∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，∴，∴，∴﹣1＜a＜0，∴④正确，符合题意，∵a+c＝0，∴c＝﹣a，0＜c＜1，当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a，∵﹣1＜a＜0，∴﹣a＞0，∴a+b+c＝2﹣a＞2＞0，③错误，不符合题意．综上所述，结论正确的是①②④．故选：C．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11. （1）__________；（2）的相反数是__________．答案：①. ②.解析：详解：（1）解：，故答案为：；（2）解：由题意知，的相反数为，故答案为：．12. 如图，在正五边形中，的平分线交于点，连接，则________．答案：##18度解析：详解：解：∵五边形是正五边形，∴，，，∴，∵平分，∴，∴，故答案为：．13. 为了解家庭丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班研究性学习小组的六位同学记录了自己家中一周内丢弃塑料袋的数量，结果如下（单位：个）：30，27，23，15，22，33．若该班有50名学生，请你估算本周全班同学的家里共丢弃塑料袋________个．答案：1250解析：详解：解：六位同学家中平均一周丢弃塑料袋：（个），则（个）．∴全班同学家一周共丢弃塑料袋1250个．故答案为：125014. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______．答案：8解析：详解：解：∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∴∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，同理BE＝AB，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，∴AD＝BC＝8，故答案为：8．15. 如图，半径为5的扇形中，，点C在上，点E在上，点D在弧上，四边形是正方形，则图中阴影部分的面积为________．答案：解析：详解：如图，连接，交于点F．∵四边形是正方形，∴，，∴．故答案为：．16. 如图，矩形纸片，宽，长可无限长，把矩形纸片放置在平面直角坐标系中转动，顶点和原点重合，边在第一象限内，边与轴的交点为，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，再过点作轴的垂线，垂足为，交于点，则面积的最大值是________．答案：解析：详解：设，则，∵，∴，又∵∴∴∴解得：，∵，∴，即∴即面积的最大值是故答案为：．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17. 计算：．答案：解析：详解：解：．18. 如图，菱形中，过点分别作边上的高，求证：．答案：证明见解析解析：详解：证明：在四边形是菱形，，，，在和中，，∴．19. 先化简，再求值，其中．答案：解析：详解：原式，当时，原式20. 如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，点在边上，且．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由．（2）已知，，求的半径．答案：（1）直线与相切，理由见解析（2）的半径为解析：小问1详解：解：直线与相切，理由如下：如图，连接，，，，，，，，，，，是半径，直线与相切；小问2详解：解：如图，连接，，由（1）可得：，，设，则，，，，，，解得：，，的半径为．21. 为了缓解大气污染，贵阳市公交公司决定将某一条线路上的柴油公交车替换为新能公交车，计划购买A 型和B型两种新能公交车共10辆．若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需180万元；若购买A 型公交车2辆，B型公交车3辆，共需195 万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元；（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100 万人次，若该公司购买A 型和B型公交车的总费用不超过360万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680 万人次，则该公司有哪几种购车方案，哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少?答案：（1）购买每辆A型公交车需要30万元，每辆B型公交车需要45万元（2）三种购买方案，购进8辆A型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少费用330万元解析：小问1详解：设购买每辆A型公交车需要x万元，每辆B型公交车需要y万元，依题意，得：，解得：答：购买每辆A型公交车需要30万元，每辆B型公交车需要45万元．小问2详解：设购进A型公交车m辆，则购进B型公交车辆，依题意，得：，解得：，因为m为整数，所有，所以，该公司有三种购车方案，方案1：购进6辆A型公交车，4辆B型公交车；方案2：购进7辆A型公交车，3辆B型公交车；方案3：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车．该公司购买这10辆公交车的总费用为w元，则，因为，，w随m的增大而减小，当时，w取得最小值，最小值为330，答：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少费用为330万元．22. 如图，矩形中，，在边上取一点E，将沿折叠，使点C恰好落在边上点F处．连接与交于点G．（1）根据题目要求，尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）（2）若，求的长．答案：（1）见解析（2）解析：小问1详解：解：如图所示即为所求；小问2详解：解：由折叠的性质可知：，，设，在中，，，解得：，，四边形是矩形，，由折叠得：，，，，，，，解得：；连接交于点M，延长交的延长线于点T，如图，四边形是矩形，，，，，由折叠得：，和中，（），，，，，，，．23. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型数量105520155以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定．求某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的平均费用；（费用值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元；①若该销售商购进一辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该辆车是事故车概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的平均数．答案：（1）平均费用约为元；（2）①为事故车的概率为；②50万元解析：小问1详解：解：元，答：在第四年续保时的平均费用约为元；小问2详解：①解：由题意得到从辆已满三年的该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有辆，∴任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为；②一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，获得利润的平均数为：万元．24. 如图，在矩形中，点E，F分别为对边的中点，线段交于点O，延长于点G，连接并延长交于点Q，连结交于点P，连结．（1）求证：O是的中点；（2）求证：平分；（3）若，求．（结果用含m的代数式表示）答案：（1）见解析（2）见解析（3）解析：小问1详解：证明：四边形是矩形，，，点E，F分别为对边的中点，，，在和中，，，，O是的中点；小问2详解：证明：如图2，延长与的延长线交于点．点E，F分别为对边的中点，，，，四边形是平行四边形，，所以，；且，．，，．又，，，则，平分；小问3详解：解：因为，由，得，，同理，．作于点，于点，又由（2），得，，．即．25. 直线经过抛物线的顶点D，其中．（1）求m的值；（2）点A，B为抛物线上不同的两点，轴于点M，轴于点N，；①若直线、直线和抛物线交于同一点，求直线的解析式；②抛物线与y轴交于点C，直线AC解析式为，直线的解析式为，且，求的面积．答案：（1）（2）①直线的解析式为：或；②解析：小问1详解：解：，∴顶点，∵直线经过抛物线的顶点D，∴，解得：或（不符合题意，舍去）；小问2详解：①由（1）得，∴抛物线为，∵直线、直线和抛物线交于同一点，∴，解得：，，∴令交点为，∵点A，B为抛物线上不同的两点，轴于点M，轴于点N，，∴，令，当点A与点D重合时，，此时，，设直线的解析式为，代入得：，解得：，∴直线的解析式为；当点A与点T重合时，，∴，此时，，同理得：直线的解析式为；综上得：直线的解析式为：或；②抛物线，当时，，∴，∵直线的解析式为，直线BC的解析式为，∴直线的解析式为，直线BC的解析式为，当时，，∴，同理：，∴，∴，∵，解得：，∴，，∵，∴，，∴，，∴，设直线的解析式为：，代入得：，解得：，∴，当时，，∴，∴，∴．。

山东省济宁市泗水县泗水育才学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列方程中属于一元二次方程的是（ ）A ．()2211x x +=+B ．2110x x +=C ．20ax bx c ++=D ．()232x x x +=- 2．用配方法解方程2650x x --=时，配方后的方程是（ ）A ．2(3)4x -=B ．2(3)14x -=C ．2(3)31-=xD ．2(3)14x += 3．二次函数2(1)2y x =-++图象的顶点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程28150x x -+=的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ）A ．12B ．16C ．l2或16D ．155．将抛物线22(1)y x =+向右平移2个单位，向上平移3个单位得到的抛物线解析式是（ ） A ．22(3)2y x =++B ．2.2(3)2y x =+-C ．2y 2(x 1)3=-+ D ．22(1)3y x =-- 6．若关于x 的方程250x x a -+=有一个根是2，则另一个根是（ ）A ．6B ．3C ．3-D ．7-7．若点()13,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线22y x x =-+上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．231y y y >>C ．321y y y >>D ．213y y y >>8．一次函数()0y ax b a =+≠与二次函数()20y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．在长为30m ，宽为20m 的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为2468m ，求道路的宽度．设道路的宽度为(m)x ，则可列方程（ ）A ．(302)(20)468x x --=B ．(202)(30)468x x --=C ．302023020468x x ⨯-⋅-=D ．(30)(20)468x x --=10．如图，抛物线2y ax c =+经过正方形OABC 的三个顶点A ，B ，C ，点B 在y 轴上，则ac 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-11．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+9的值（ ）A ．总不小于4B ．总不小于9C ．可为任何实数D ．可能为负数12．下列图形都是由同样大小的小黑点按一定的规律组成，其中图1中有3个小黑点，图2中共有9个小黑点，图3中共有18个小黑点，……，则图n 中小黑点的个数是（ ）A ．()312n n + B ．221n + C ．()33257n + D ．2333n n +-二、填空题13．当函数21(1)23a y a x x +=-++是二次函数时，a 的值为．14．设a ，b 是方程2220170x x +-=的两个实数根，则23a a b --的值为 ．15．若抛物线2y x bx c =-++经过点()23-，，则2c b -的值是． 16．对于任意实数a ，b ，定义()2,5f a b a a b =+-，如()22,32523f =+⨯-，若(),24f x =，则实数x 的值是．17．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x 尺，根据题意，可列方程为．18．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②b ac <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+（1m ≠的实数）．其中正确的结论有个．三、解答题19．解下列方程：(1)29610x x ++=；(2)(8)25x x +=；(3)22350x x -+=；(4)2(3)2(3)0x x x -+-=．20．已知关于x 的一元二次方程2(4)10x k x k +++-=．(1)求证：一元二次方程2(4)10x k x k +++-=一定有两个不相等的实数根．(2)若12x x ，是方程2(4)10x k x k +++-=两个不相等的根，且22121213x x x x -=+，求k 的值？21．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？(2)市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 22．阅读下面的材料，回答问题：解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=（1），解得11y =，24y =，当1y =时，21x =，1x ∴=±；当4y =时，24x =，2x ∴=±；∴原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．在由原方程得到方程（1）的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．(1)试用上述方法解方程：42230x x --=，得原方程的解为 ___________．(2)解方程()()22223220x x x x ++++=．23．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线32x =-且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P 为抛物线上的一点，连接PA PC BC ，，．且使ABP V 的面积与ABC V 的面积相等，求出此时点P 的坐标；。

考试时间: 120分钟 满分: 150分一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．下列是3- 2023-2024学年第二学期第一次阶段测试九年级数学试卷的相反数是（ ）A ．3B ．13-C ．13D ．3-2．23-可表示为（ ）A ．()32-⨯B ．()33-⨯C ．()()33-+-D ．()()33-⨯-3．下列交通路口分流图案中，属于轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是（ ）A ．34a a a ÷=B ．()32626a a -=C ．236a a a ⋅=D ．2235a a a +=5．关于x 的方程220x x c ++＝有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-6．在平面直角坐标系中，将点()1,0A -先向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点B ，则点B 的坐标是（ ）A ．()2,2-B ．()2,2--C ．()4,2-D ．()4,2--7．在平面直角坐标系中，若将点()2,3P -绕原点O 顺时针旋转90︒得点Q ，则点Q 的坐标是（ ）A ．()2,3B ．()2,3--C ．()3,2D ．()3,2--8．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x 人，物品的价格为y 元，可列方程（组）为（ ）A ．8374x y x y -=⎧⎨+=⎩B ．8374x y x y +=⎧⎨-=⎩C ．3487x x +-=D ．3487y y -+=9．函数y 与自变量x 的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）x124y 421A ．()0y ax b a =+<B ．(0)a y a x =<C ．2(0)y ax bx c a =++>D ．2(0)y ax bx c a =++<10．如图所示的正八边形是用八个全等的等腰三角形拼成的，2OA OB ==，则正八边形的面积为（ ）A ．B ．C ．8D ．16二、填空题（每小题4分，共24分）11．平面直角坐标系中，点()1,3P -关于原点对称的点的坐标是 ．12．分解因式：x 2－9＝ ．13．计算：1132-⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ．14．若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中m ，k 为常数，则m ＋k＝ ．15．下列四个命题①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；④一组对边相等，另一组对边也相等的四边形是平行四边形．其中假命题的是 ．（只填序号）16．将一副三角板按如图方式放置在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为()1,0，斜边AB x ⊥轴，反比例函数(0)k y k x =>的图象恰好经过点B ，D ，则点C 的坐标为 ．三、解答题（本题共9小题，共86分）17．解不等式组：3482(1)6x x -≤⎧⎨->⎩．18．如图，在ABCD 中，点E ，F 在AC 上，AE CF =．求证：BE DF =．19．先化简，再求值：35222a a a a -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中a =3．20．如图，已知四边形ABCD 是矩形．（1）请用直尺和圆规在边AD 上作点E ，使得EB ＝EC ．（保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB ＝4，AD ＝6，求EB 的长．21．某厂在某车间全体员工中随机抽取40名进行生产技能测试，并绘制了这40名员工完成规定操作的用时t （单位：s ）的频数分布直方图，如图所示．(1)根据图，请估计这40名员工完成规定操作的平均用时；(2)按该厂的评定标准，此次测试中，仅最后一组（5557t <≤）被认定为生产技能不达标．在该车间随机抽取一名员工，估计事件“该员工的生产技能达标”的概率．22．如图，点C 是 AB 的中点，直线EF 与O 相切于点 C ，直线AO 与切线EF 相交于点E ，与O 相交于另一点D ，连接AB ，CD ．(1)求证： AB EF∥(2)若 3DEF D ∠=∠，求DCF ∠的度数．23．原地正面掷实心球是初中生体育训练科目之一，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()()20y a x h k a =-+<．小明进行了三次掷实心球训练．(1)第一次训练时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离/mx 0123456竖直高度/m y 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2根据上述数据，实心球竖直高度的最大值是__________m ；(2)第二次训练时，发现前方7m 处有一个高为1.1m 的障碍物，小明应该向__________（按图中方向填“左或右”）移动__________m 后进行投掷，才能使得投掷的实心球恰好越过障碍物．(3)第三次训练时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系()20.094y x n =--+（n 为常数，且2 3.5n <<），记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为1d ，第三次训练实心球的着陆点的水平距离为3d ，试比较1d 与3d 的大小．24．如图1，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，以点E 直角顶点的直角三角形EFG 的两边EF ，EG 分别过点B ，C ，∠F ＝30°.（1）求证：BE ＝CE（2）将△EFG 绕点E 按顺时针方向旋转，当旋转到EF 与AD 重合时停止转动.若EF ，EG 分别与AB ，BC 相交于点M ，N.（如图2）①求证：△BEM ≌△CEN ；②若AB ＝2，求△BMN 面积的最大值；③当旋转停止时，点B 恰好在FG 上（如图3），求sin ∠EBG 的值.25．已知直线()0y kx m k =+<与y 轴交于点M ，且过抛物线2y x bx c =++的顶点P 和抛物线上的另一点Q .（1）若点()2,2P -①求抛物线解析式；②若QM QO =，求直线解析式.（2）若2440,4b bc --<≤=，过点Q 作x 轴的平行线与抛物线的对称轴交于点E ，当2PE EQ =时，求OMQ ∆的面积S 的最大值.1．A【分析】本题考查的知识点是相反数的定义，解题关键是熟练掌握相反数．相反数：只有符号不同的两个数，根据此定义即可求解．【详解】解：根据相反数的定义可得：3-的相反数是3．故选：A ．2．B【分析】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解乘方的意义是解题的关键．根据乘方的意义求解即可．【详解】解：()2333-=-⨯．故选：B ．3．B【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】A 、不是轴对称图形，不符合题意；B 、是轴对称图形，符合题意；C 、不是轴对称图形，不符合题意；D 、不是轴对称图形，不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．A【分析】根据同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项的运算法则，逐项判断即可．【详解】解：A ．34a a a ÷=，原计算正确，故A 选项符合题意；B ．()32628a a -=-，原计算错误，故B 选项不符合题意；C ．235a a a ⋅=，原计算错误，故C 选项不符合题意；D ．235a a a +=，原计算错误，故D 选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．5．A【分析】根据判别式的意义得到22 40c ∆=-=，然后解方程即可．【详解】解：根据题意得22 40c ∆=-=，解得1c =．故选： A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当=0∆时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根．6．C【分析】坐标系中点的平移遵循：上加下减，左减右加，据此解答即可.【详解】解：将点()1,0A -先向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点B ，则点B 的坐标是()4,2-；故选：C.【点睛】本题考查了坐标系中点的平移，熟知平移的规律是解题的关键.7．C【分析】建立坐标系，根据旋转定义即可找到点Q 的坐标．【详解】解：如图所示，建立坐标系，点()2,3P -，将点()2,3P -绕原点O 顺时针旋转90︒得点Q ，则点Q 坐标为()3,2，故选：C ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，解题关键在于建立坐标系，利用旋转的性质求出相应的点的位置，再根据点的坐标特征确定点的坐标．8．A【分析】设有x 人，物品的价格为y 元，根据所花总钱数不变列出方程即可．【详解】设有x 人，物品的价格为y 元，根据题意，可列方程：8374x y x y-=⎧⎨+=⎩，故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．9．C【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．【详解】解：A 、若直线y ax b =+过点()()1422，，，，则422a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得26a b =-⎧⎨=⎩，所以26y x =-+，当4x =时，=2y -，故()41，不在直线y ax b =+上，故A 不合题意；B 、由表格可知，y 与x 的每一组对应值的积是定值为4，所以y 是x 的反比例函数，40a =>，不合题意；C 、把表格中的函数y 与自变量x 的对应值代入2y ax bx c =++得44221641a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得12727a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，符合题意；D 、由C 可知，不合题意．故选：C ．【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．10．A【分析】本题主要考查了正多边形和圆的有关计算；根据已知得出中心角45AOB ∠=︒是解题关键．过A 作AC OB ⊥于C ，求得90ACO ∠=︒，根据正八边形的性质得到45AOB ∠=︒，根据等腰直角三角形的性质得到OC 、AC 、与OA 的关系，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过A 作AC OB ⊥于C ，90ACO ∴∠=︒，360458AOB ︒∠==︒ ，OC AC ∴=∴正八边形的面积182=⨯⨯=，故选：A ．11．()1,3-【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．【详解】解：点()1,3P -关于原点对称的点的坐标是()1,3-，故答案为：()1,3-．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．12．(x ＋3)(x －3)【详解】解：x 2-9=（x +3）（x -3），故答案为：（x +3）（x -3）.13．5【分析】本题涉及负整数指数幂、绝对值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】1133252-⎛⎫-+=+= ⎪⎝⎭，故答案为：5．【点睛】本题考查了负整数指数幂和绝对值，正确运用运算法则是解题的关键．14．-3【分析】由完全平法公式结构可把223x x --化为()214x --，即可知道m 和k 的值，计算+m k 即可得出答案．【详解】解：()22223211314x x x x x --=-+--=--，1m ∴=，4k =-，143m k ∴+=-=-．故答案为：-3．【点睛】本题考查完全平方公式的变形，完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+，熟记公式的结构是解题的关键．15．②③【分析】根据平行四边形的判定，逐个判断即可．【详解】①由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，故命题正确；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形，故命题是假命题；③一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行，所以该四边形不一定是平行四边形，故命题假命题；④一组对边相等，另一组对边也相等的四边形是平行四边形，故命题正确；所以②③是假命题，故答案为：②③．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题关键是熟记平行四边形的判定定理．16．(1-【分析】作DE ⊥x 轴，CF ⊥AB ，如图，由题意可得30DAE ABD ∠=∠=︒，BC AC =，(1,)B k ，AB k =，由直角三角形的性质可得122k AD AB ==，124k DE AD ==，12CF AB AF ==，由勾股定理可得：AE =1,)4k D ，代入k y x =，求得k =，即AB =从而求得CF AF ==【详解】解：作DE ⊥x 轴，CF ⊥AB ，如图：由题意可得30DAE ABD ∠=∠=︒，BC AC =，(1,0)A ∴(1,)B k ，AB k =，由含30°的直角三角形的性质可得：122k AD AB ==，124k DE AD ==由等腰直角三角形的性质可得：12CF AB AF ==，由勾股定理可得：AE ==∴1OE =+，即1,)4k D ，代入k y x =可得1)4k k +⨯=，解得：k =∴12CF AF AB ===(1,F∴(1C -故答案为(1-【点睛】此题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是掌握直角三角形以及反比例函数的性质．17．x ＜-2【分析】求出不等式组中各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．【详解】3482(1)6x x -≤⎧⎨-⎩①＞②解不等式①，得4x ≤，解不等式②，得2x -＜，所以不等式组的解集为2x -＜．【点睛】本题考查了不等式组的求解问题，解题的关键是：掌握求解不等式组中各个不等式的解集的基本方法，取这些解集的公共部分即可．18．证明过程见解析【分析】根据平行四边形的性质可得AB CD =，AB CD ∥，可得BAE DCF ∠=∠，从而可证ABE CDF ≅ ，即可证明结论．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，AB CD ∥，∴BAE DCF ∠=∠，在ABE 和CDF 中，AB CD BAE DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE CDF SAS ≅△△，∴BE DF =．【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．19．13a +【分析】首先把括号内的分式进行通分相减，然后把除法转化为乘法，再进行约分化为最简形式，最后代入数值计算即可．【详解】解：原式2345222a a a a a ⎛⎫--=÷- ⎪---⎝⎭23922a a a a --=÷--()()32233a a a a a --=-+-13a =+，当a =3时，原式===【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算；结果化为最简形式．熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．（1）画图见解析；（2）5【分析】(1)作出BC 边的垂直平分线交边AD 与点E 即可．(2)根据垂直平分线的定义可得90BFE ∠= ，BF=12BC,再根据勾股定理，即可求出结论【详解】（1）解：如图，点E 即为所求．（2）如果，设线段BC 的中垂线l BC F 交于，190BC 2BFE BF ∴∠== ，. 四边形ABCD 是矩形，A ABF 90AD=BC ∴∠=∠=︒，.在四边形ABFE 中，A ABF BFE 90∠=∠=∠=︒，∴四边形ABFE 是矩形.EF AB 4∴==.在Rt BFE ∆中，EB =EB 5∴=【点睛】本题考查了垂直平分线的作图，以及它的定义和性质，矩形的性质和勾股定理，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．21．(1)52.5s (2)1720【分析】（1）分别用每组的中位数乘以每组的人数，再相加，最后除以总人数，即可求出平均用时；（2）用“生产技能达标”的人数除以总人数，即可求解．【详解】（1）解：由图可知，这40名员工完成规定操作的平均用时约为487504527541656640⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()52.5s =，答：这40名员工完成规定操作的平均用时约为52.5s ；（2）解：()4063417404020P -===该员工的生产技能达标．答：在该车间随机抽取一名员工，事件“该员工的生产技能达标”的概率估计为1720．【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，以及求概率，解题的关键是正确理解频数分布直方图，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比．22．(1)见解析；(2)72DCF ∠=︒．【分析】（1）根据垂径定理的推论得到OC AB ⊥，再根据切线的性质得到OC EF ⊥，即可证明AB EF ∥；（2）利用切线性质得到90DEF EOC ∠+=︒，根据圆周角定理得到2EOC D ∠=∠，结合3DEF D ∠=∠建立等式，算出D ∠，推出DEF ∠，根据DCF D DEF ∠=∠+∠求解，即可解题．【详解】（1）解： 点C 是 AB 的中点，OC 为半径，∴OC AB ⊥，直线EF 与O 相切于点 C ，OC EF ∴⊥，∴AB EF ∥；（2）解：OC EF ⊥ ，∴90OCE ∠=︒，90DEF EOC ∴∠+=︒，2EOC D ∠=∠，3DEF D ∠=∠，32590D D D ∴∠+∠=∠=︒，18D ∴∠=︒，∴54DEF ∠=︒，∴185472DCF D DEF ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理的推论、圆周角定理、三角形外角的性质，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．23．(1)3.6(2)左； 2(3)当 3.24n 2<<时，410<，31d d <；当 3.24n =时，410=，31d d =；当3.5n 3.24<<时，410>，31d d >．【分析】（1）根据表格数据直接得出结论．（2）根据表格数据求得第一次训练的抛物线解析式，再根据平移的性质，设平移后的抛物线解析式，将点()7,1.1代入即可求出所得答案．（3）先求出第一次训练时1d 的值，再求出第三次训练3d 值，根据n 的取值范围判断即可．【详解】（1）解： 根据表中的数据可知，抛物线的顶点坐标为()4,3.6，∴实心球竖直高度的最大值是3.6m ．故答案为：3.6．（2）解：设第一次训练时抛物线的解析式为：()24 3.6y a x =-+，将表格中的()0,2代入()24 3.6y a x =-+中，16 3.6 2.0a ∴+=，0.1a ∴=-，∴第一次训练时抛物线的解析式为：()20.14 3.6y x =--+．设小明移动向右m 米后的抛物线解析式为：()20.14 3.6y x m =---+，将()7,1.1代入()20.14 3.6y x m =---+中，()20.13 3.6 1.1m ∴--+=，2m ∴=-或8m =，要求实心球越过障碍物，8m ∴=舍去．∴小明向左移动2m ．故答案为：左； 2．（3）解： 第一次训练时抛物线的解析式为：()20.14 3.6y x =--+，∴令0y =，()20.14 3.60x ∴--+=，10x ∴=或2x =-（舍去），110m d ∴=．第三次训练的抛物线解析式为：()()20.0942 3.5y x n n =--+<<，∴令0y =，()20.0940x n ∴--+=，4x ∴=+4x =，34d ∴=2 3.5n << ，<<444∴+<+<当 3.24n 2<<时，410<，31d d <当 3.24n =时，410=，31d d =当 3.5n 3.24<<时，410>，31d d >故答案为：当 3.24n 2<<时，410<，31d d <，当 3.24n =时，410=，31d d =，当 3.5n 3.24<<时，410>，31d d >．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键在于读懂题意，列出函数关系式；解题的易错点在于要分析所求得值是否满足条件．24．（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；【分析】（1）只要证明△BAE ≌△CDE 即可；（2）①利用（1）可知△EBC 是等腰直角三角形，根据ASA 即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH ⊥BG 于H ．设NG=m ，则BG=2m ，，m ．利用面积法求出EH ，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=12•x（4-x）=-12（x-2）2+2，∵-12＜0，∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，，m．∴（m ，∵S △BEG =12•EG•BN=12•BG•EH ，∴EH=，在Rt △EBH 中，sin ∠EBH=EH EB =【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，25．（1）①242y x x =-+；②1y =；（2）1S =最大【分析】（1）根据顶点坐标求出b 、 c ，即可求出抛物线解析式，由直线与抛物线交于点P得y=kx-2k-2，联立22242y kx k y x x =--⎧⎨=-+⎩得Q 的横坐标为2k +，根据Q 点的纵坐标即可解决问题．（2）由题意可以假设直线PQ=-2x+b′，利用方程组求出点Q 坐标，分两种情形①-1≤b≤0时，②-4<b ∠-1时，构建二次函数，根据二次函数的性质即可解决问题．【详解】（1）①2y x bx c =++ （的顶点为()2,2P -），22422424b bc c b ⎧-=⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩，242y x x ∴=-+；②y kx m =+过()2,2P -，22y kx k ∴=--，联立22242y kx k y x x =--⎧⎨=-+⎩⇒ ()24240x k x k +--++=，()[]220x k x ⎡⎤-+-=⎣⎦，12x k ∴=+或2x =，()2,2P - ，Q ∴的横坐标为2k +，代入22y kx k =--，得22y k =-，()22,2Q k k ∴+-，又()0,22M k -- 且QM QO =，Q ∴的纵坐标为2212k k --=--，221k k ∴-=--，∴210k k +-=，12k ∴=-0k < ，k ∴=1y x ∴=+；（2）设2PQ x b =-+'，顶点,12bP ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入上式得1b b -=+'，1b b ∴'=--，:21PQ y x b ∴=---，∴点()0,1M b --，由22212414y x b b x b y x bx y =---⎧⎧=-⎪⎪⇒⎨⎨-=++⎪⎪=-⎩⎩或223b x y ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，2,32b Q ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，40b -<≤ ，① 10b -≤≤时，()12122OQM b S b ∆⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭,21516429b ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0x ∴=时，OQM ∆面积最大1=，② 41b -<<-时，()12122OQM b S b ⎛⎫=+⋅-+ ⎪⎝⎭,()1142b b b ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭,21594516b ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，104-< ，52b ∴=-时，OQM ∆面积最大为916，1S ∴=最大.故答案为（1）①242y x x =-+；②1y x =+；（2）1S =最大.【点睛】本题考查二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会利用方程组求交点坐标，学会分类讨论的思想，题目较难 .。

九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内.每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分1．下列各数中，最小的数为（）A．2 B．﹣3 C．0 D．﹣22．下列运算正确的是（）A．a6÷a2=a3B．5a2﹣3a2=2a C．（﹣a）2a3=a5D．5a+2b=7ab3．雾霾天气影响着我国北方中东部地区，给人们的健康带来严重的危害．为了让人们对雾霾有所了解．摄影师张超通过显微镜，将空气中细小的霾颗粒放大1000倍，发现这些霾颗粒平均直径为10微米〜20微米，其中20微米（1米=1000000微米）用科学记数法可表示为（）A．2×105米B．0.2×10﹣4米C．2×10﹣5米D．2×10﹣4米4．分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≠1 C．x＜1 D．一切实数5．如图，下列说法错误的是（）A．若∠3=∠2，则b∥c B．若∠3+∠5=180°，则a∥cC．若∠1=∠2，则a∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c6．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．李明家一周内每天的用电量是（单位：kwh）：10，8，9，10，12，7，6，这组数据的中位数和众数分别是（）A．7和10 B．10和12 C．9和10 D．10和108．在同一直角坐标系中，函数y=﹣与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：110．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．﹣1 C．2﹣D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．我们规定[a]表示实数a的整数部分，如[2.35]=2；[π]=3，按此规定[2020﹣]=．12．分解因式：4a2﹣16b2=．13．据调查，某市2012年商品房均价为7250元/m2，2013年同比增长了8.5%，在国家的宏观调控下，预计2015年商品房均价要下调到7200元/m2．问2014、2015两年平均每年降价的百分率是多少？若设两年平均每年降价的百分率为x%，则所列方程为：．14．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②s=（0＜x＜2）；③当x=1时，四边形ABC1D1是正方形；④当x=2时，△BDD1为等边三角形；其中正确的是（填序号）．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a=﹣3．16．解不等式：1﹣＞．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC 于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．18．如图，马路边安装的路灯由支柱上端的钢管ABCD支撑，AB=25cm，CG⊥AF，FD⊥AF，点G、点F分别是垂足，BG=40cm，GF=7cm，∠ABC=120°，∠BCD=160°，请计算钢管ABCD的长度．（钢管的直径忽略不计，结果精确到1cm．参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．某景点的门票价格规定如下表购票人数1﹣50人51﹣100人100人以上每人门票价12元10元8元某校八年（一）、（二）两班共100多人去游览该景点，其中（一）班不足50人，（二）班多于50人，如果两班都以班为单位分别购票，则一共付款1126元．如果以团体购票，则需要付费824元，问：（1）两班各有多少名学生？（2）如果你是学校负责人，你将如何购票？你的购票方法可节省多少钱？20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．六、（本题满分12分）21．某中学对本校学生每天完成作业所用时间的情况进行抽样调查，随机调查了九年级部分学生每天完成作业所用的时间，并把统计结果制作成如图所示的频数分布直方图（时间取整数，图中从左至右依次为第一、二、三、四、五组）和扇形统计图．请结合图中信息解答下列问题．（1）本次调查的学生人数为人；（2）补全频数分布直方图；（3）根据图形提供的信息判断，下列结论正确的是（只填所有正确结论的代号）；A．由图（1）知，学生完成作业所用时间的中位数在第三组内B．由图（1）知，学生完成作业所用时间的众数在第三组内C．图（2）中，90～120数据组所在扇形的圆心角为108°D．图（1）中，落在第五组内数据的频率为0.15（4）学生每天完成作业时间不超过120分钟，视为课业负担适中．根据以上调查，估计该校九年级560名学生中，课业负担适中的学生约有多少人？七、（本题满分12分）22．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜50 50≤x≤90售价（元/件）x+40 90每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．八、（本题满分14分）23．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？2015-2016学年安徽省池州市九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内.每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分1．下列各数中，最小的数为（）A．2 B．﹣3 C．0 D．﹣2【考点】有理数大小比较．【分析】根据有理数比较大小的法则进行比较即可．【解答】解：∵|﹣3|=3，|﹣2|=2，3＞2，∴﹣3＜﹣2，∴﹣3＜﹣2＜0＜2，∴最小的数是﹣3．故选B．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键．2．下列运算正确的是（）A．a6÷a2=a3B．5a2﹣3a2=2a C．（﹣a）2a3=a5D．5a+2b=7ab【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项的定义，进行逐项分析解答，用排除法找到正确的答案．【解答】解：A、原式=a6﹣2=a4，故本选项错误，B、原式=（5﹣3）a2=2a2，故本选项错误，C、原式=a2a3=a5，故本选项正确，D、原式中的两项不是同类项，不能进行合并，故本选项错误，故选C．【点评】本题主要考查同底数幂的乘除法法则，合并同类项的定义，关键在于根据相关的法则进行逐项分析解答．3．雾霾天气影响着我国北方中东部地区，给人们的健康带来严重的危害．为了让人们对雾霾有所了解．摄影师张超通过显微镜，将空气中细小的霾颗粒放大1000倍，发现这些霾颗粒平均直径为10微米〜20微米，其中20微米（1米=1000000微米）用科学记数法可表示为（）A．2×105米B．0.2×10﹣4米C．2×10﹣5米D．2×10﹣4米【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：20微米=20÷1 000 000米=0.00002米=2×10﹣5米，故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≠1 C．x＜1 D．一切实数【考点】分式有意义的条件．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：由分式有意义，得x﹣1≠0．解得x≠1，故选：B．【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．5．如图，下列说法错误的是（）A．若∠3=∠2，则b∥c B．若∠3+∠5=180°，则a∥cC．若∠1=∠2，则a∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c【考点】平行线的判定与性质．【分析】直接利用平行线的判定方法分别进行判断得出答案．【解答】解：A、若∠3=∠2，则d∥e，故此选项错误，符合题意；B、若∠3+∠5=180°，则a∥c，正确，不合题意；C、若∠1=∠2，则a∥c，正确，不合题意；D、若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．6．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】一次函数的应用．【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，∴①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，把（5，300）代入可求得k=60，∴y甲=60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n，把（1，0）和（4，300）代入可得，解得，∴y乙=100t﹣100，令y甲=y乙可得：60t=100t﹣100，解得t=2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，∴③不正确；令|y甲﹣y乙|=50，可得|60t﹣100t+100|=50，即|100﹣40t|=50，当100﹣40t=50时，可解得t=，当100﹣40t=﹣50时，可解得t=，又当t=时，y甲=50，此时乙还没出发，=250；当t=时，乙到达B城，y甲综上可知当t的值为或或或t=时，两车相距50千米，∴④不正确；综上可知正确的有①②共两个，故选B．【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．7．李明家一周内每天的用电量是（单位：kwh）：10，8，9，10，12，7，6，这组数据的中位数和众数分别是（）A．7和10 B．10和12 C．9和10 D．10和10【考点】众数；中位数．【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列：6、7、8、9、10、10、12，最中间的数是9，则这组数据的中位数是9；10出现了2次，出现的次数最多，则众数是10；故选C．【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数8．在同一直角坐标系中，函数y=﹣与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】由于a≠0，那么a＞0或a＜0．当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限，利用这些结论即可求解．【解答】解：∵a≠0，∴a＞0或a＜0．当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限．A、图中直线经过直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故A选项错误；B、图中直线经过第第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，故B选项正确；C、图中直线经过第二、三、四象限，故C选项错误；D、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．直线y=kx+b、双曲线y=，当k＞0时经过第一、三象限，当k＜0时经过第二、四象限．9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．﹣1 C．2﹣D．【考点】解直角三角形；等腰直角三角形．【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC=AC，DE=EC=DC，然后通过解直角△DBE来求tan∠DBC的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．又∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=AC．∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=DC=AC．∴tan∠DBC===．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．我们规定[a]表示实数a的整数部分，如[2.35]=2；[π]=3，按此规定[2020﹣]=2015．【考点】估算无理数的大小．【分析】先求出的范围，再求出2020﹣的范围，即可得出答案．【解答】解：∵4＜＜5，∴﹣4＞﹣5，∴2016＞2020﹣＞2015，∴[2020﹣]=2015，故答案为：2015．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出2016＞2020﹣＞2015，难度不是很大．12．分解因式：4a2﹣16b2=4（a+2b）（a﹣2b）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】根据提取公因式，再运用公式法，可分解因式．【解答】解：原式=4（a2﹣4b2）=4（a+2b）（a﹣2b），故答案为：4（a+2b）（a﹣2b）．【点评】本题考查了因式分解，先提取公因式，再运用公式，分解到不能再分解为止．13．据调查，某市2012年商品房均价为7250元/m2，2013年同比增长了8.5%，在国家的宏观调控下，预计2015年商品房均价要下调到7200元/m2．问2014、2015两年平均每年降价的百分率是多少？若设两年平均每年降价的百分率为x%，则所列方程为：7250（1+8.5%）（1﹣x%）2=7200．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】设2014、2015两年平均每年降价的百分率是x，那么2014年的房价为7250（1+8.5%）（1﹣x%），2015年的房价为7250（1+8.5%）（1﹣x%）2，然后根据2015年的7200元/m2即可列出方程解决问题．【解答】解：设设两年平均每年降价的百分率为x%，根据题意得：7250（1+8.5%）（1﹣x%）2=7200；故答案为：7250（1+8.5%）（1﹣x%）2=7200．【点评】本题是一道一元二次方程的运用题，是一道降低率问题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．14．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②s=（0＜x＜2）；③当x=1时，四边形ABC1D1是正方形；④当x=2时，△BDD1为等边三角形；其中正确的是①②④（填序号）．【考点】几何变换综合题．【分析】①根据矩形的性质，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质，可得出∠A1=∠ACB，A1D1=CB，从而证出结论；②易得△AC1F∽△ACD，根据面积比等于相似比平方可得出s与x的函数关系式③根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形．④当x=2时，点C1与点A重合，可求得BD=DD1=BD1=2，从而可判断△BDD1为等边三角形．【解答】解：①∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD，BC∥AD∴∠DAC=∠ACB∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，记分1=CC1，在△A1AD1与△CC1B中，，∴△A1AD1≌△CC1B（SAS），故①正确；②易得△AC1F∽△ACD，∴解得：S△AC1F=（x﹣2）2（0＜x＜2）；故②正确；③∵∠ACB=30°，∴∠CAB=60°，∵AB=1，∴AC=2，∵x=1，∴AC1=1，∴△AC1B是等边三角形，∴AB=D1C1，又AB∥BC1，∴四边形ABC1D1是菱形，故③错误；④如图所示：则可得BD=DD1=BD1=2，∴△BDD1为等边三角形，故④正确．综上可得正确的是①②④．故答案为：①②④【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形的知识，解答本题需要我们熟练掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质，有一定难度．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a=﹣3．【考点】分式的化简求值．【分析】先算减法通分，再算除法，由此顺序化简，再进一步代入求得数值即可．【解答】解：原式===．当a=﹣3时，原式=．【点评】此题考查分式的化简求值，掌握运算顺序，化简的方法把分式化到最简，然后代值计算．16．解不等式：1﹣＞．【考点】解一元一次不等式．【分析】根据解不等式的基本步骤，依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集．【解答】解：去分母，得：6﹣（x﹣3）＞2x，去括号，得：6﹣x+3＞2x，移项，得：﹣x﹣2x＞﹣6﹣3，合并同类项，得：﹣3x＞﹣9，系数化为1，得：x＜9．【点评】本题主要考查解不等式的能力，熟知解不等式的基本步骤是基础，去分母和系数化为1时注意不等号的方向是解不等式易错点．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC 于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据PQ∥BC可得，进而得出，再解答即可．【解答】解：∵PQ∥BC，∴，，∴MN∥BC，∴==，∴，∴，∵AP=AQ ， ∴PQ=3．【点评】此题考查了平行线段成比例，关键是根据平行线等分线段定理进行解答．18．如图，马路边安装的路灯由支柱上端的钢管ABCD 支撑，AB=25cm ，CG ⊥AF ，FD ⊥AF ，点G 、点F 分别是垂足，BG=40cm ，GF=7cm ，∠ABC=120°，∠BCD=160°，请计算钢管ABCD 的长度．（钢管的直径忽略不计，结果精确到1cm ．参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【考点】解直角三角形的应用．【分析】根据直角三角形的解法分别求出BC ，CD 的长，即可求出钢管ABCD 的长度．【解答】解：在△BCG 中，∠GBC=30°，BC=2BG=80cm ，CD=≈41.2，钢管ABCD 的长度=AB+BC+CD=25+80+41.2=146.2≈146cm ．答：钢管ABCD 的长度为146cm ．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．某景点的门票价格规定如下表购票人数1﹣50人51﹣100人100人以上每人门票价12元10元8元某校八年（一）、（二）两班共100多人去游览该景点，其中（一）班不足50人，（二）班多于50人，如果两班都以班为单位分别购票，则一共付款1126元．如果以团体购票，则需要付费824元，问：（1）两班各有多少名学生？（2）如果你是学校负责人，你将如何购票？你的购票方法可节省多少钱？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】（1）设八年级（一）班有x人、（二）班有y人，根据两个班的购票费之和为1126元和824元建立方程组求出其解即可；（2）根据单独购票的费用大于团体购票的费用确定选择团体购票，可以节省的费用为1126﹣824元．【解答】解：（1）设八年级（一）班有x人、（二）班有y人，由题意，得，解得：．答：八年级（一）班有48人、（二）班有55人；（2）∵1126＞824，∴选择团体购票．团体购票节省的费用为：1126﹣824=302元．∴团体购票节省的费用302元．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时建立方程组求出各班的人数是关键．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据折叠的性质得出∠C=∠AED=90°，利用∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可；（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，∴∠C=∠AED=90°，∴∠DEB=∠C=90°，又∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC；（2）由勾股定理得，AB=10．由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+BE2=BD2，即CD2+42=（8﹣CD）2，解得：CD=3，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即32+62=AD2，解得：AD=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．六、（本题满分12分）21．某中学对本校学生每天完成作业所用时间的情况进行抽样调查，随机调查了九年级部分学生每天完成作业所用的时间，并把统计结果制作成如图所示的频数分布直方图（时间取整数，图中从左至右依次为第一、二、三、四、五组）和扇形统计图．请结合图中信息解答下列问题．（1）本次调查的学生人数为60人；（2）补全频数分布直方图；（3）根据图形提供的信息判断，下列结论正确的是ACD（只填所有正确结论的代号）；A．由图（1）知，学生完成作业所用时间的中位数在第三组内B．由图（1）知，学生完成作业所用时间的众数在第三组内C．图（2）中，90～120数据组所在扇形的圆心角为108°D．图（1）中，落在第五组内数据的频率为0.15（4）学生每天完成作业时间不超过120分钟，视为课业负担适中．根据以上调查，估计该校九年级560名学生中，课业负担适中的学生约有多少人？【考点】扇形统计图；条形统计图．【专题】数形结合．【分析】（1）根据完成课外作业时间低于60分钟的学生数占被调查人数的10%．可求出抽查的学生人数；（2）根据总人数，现有人数为补上那12人，画图即可；（3）根据中位数、众数、频率的意义对各选项依次进行判断即可解答；（4）先求出60人里学生每天完成课外作业时间在120分钟以下的人的比例，再按比例估算全校的人数．【解答】解：（1）6÷10%=60（人）．（2）补全的频数分布直方图如图所示：（3）A．由图（1）知，学生完成作业所用时间的中位数在第三组内，正确；B．由图（1）知，学生完成作业所用时间的众数不在第三组内，错误；C．图（2）中，90～120数据组所在扇形的圆心角为108°．正确；D．图（1）中，落在第五组内数据的频率为0.15，正确．故答案为：60；ACD．（4）==60%，即样本中，完成作业时间不超过120分钟的学生占60%．∴560×60%=336．答：九年级学生中，课业负担适中的学生约为336人．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位数、众数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．七、（本题满分12分）22．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜50 50≤x≤90售价（元/件）x+40 90每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，综上所述：y=；（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，=﹣2×452+180×45+2000=6050，当x=45时，y最大当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，=6000，当x=50时，y最大综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．【点评】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．八、（本题满分14分）23．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题；压轴题．【分析】（1）根据有界函数的定义和函数的边界值的定义进行答题；（2）根据函数的增减性、边界值确定a=﹣1；然后由“函数的最大值也是2”来求b的取值范围；（3）需要分类讨论：m＜1和m≥1两种情况．由函数解析式得到该函数图象过点（﹣1，1）、（0，0），根据平移的性质得到这两点平移后的坐标分别是（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）；最后由函数边界值的定义列出不等式≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，易求m取值范围：0≤m≤或≤m≤1．。

湖南省长沙市华益中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数中属于无理数的是（）A ．3.14159265 BC ．227D 2．2024中国甲辰（龙）年金银纪念币共13枚，其中15克圆形银质纪念币为精制币，成色99.9%，最大发行量300000枚，数字300000用科学记数法表示为（ ） A ．5310⨯ B ．6310⨯ C ．4310⨯ D ．43010⨯ 3．第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ）A ．B ．C ．D ．4．高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（ ）A ．两点之间线段最短B ．两点确定一条直线C ．平行线之间的距离最短D ．平面内经过一点有无数条直线5．不等式组 137315x x -≤⎧⎨<-⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．6．如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，不能判定ABC ADC △≌△的是（ ）A ．CB CD = B ．BAC DAC ∠=∠ C ．BCA DCA ∠=∠D ．90B D ∠=∠=︒ 7．下列说法正确的是（ ）A ．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件B ．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.7，则他投10次一定可以投中7次C ．调查全国数学老师对初中数学核心素养的了解情况，应采用全面调查D ．数据9，7，2，6，3，4的中位数是58．已知圆弧的度数为120︒，弧长为12π，则圆的半径为（ ）A ．2B ．6C ．8D ．189．如图，已知ABC V 与DEF V 位似，位似中心为点O ，若ABC V 的周长与DEF V 的周长之比为3:2，则:OA OD 是（ ）A ．9:4B ．3:5C ．3:2D ．5:210．长沙市体育中考由三个项目组成，田径项目15分，基础项目10分，球类项目15分．①田径运动：1000米跑（男）、800米跑（女）、分值15分．②基础项目：引体向上（男）或一分钟仰卧起坐（女）、实心球、立定跳远、一分钟跳绳（学生自选其中一项，报考前确定），分值10分，③球类项目，篮球运球、足球运球、排球向上垫球、200米游泳（学生自选其中一项，报考前确定），分值15分．比如：男生小益选择了“1000米跑（男），实心球，排球”作为中考体育项目．请问，对于2024年参加体育中考的小华（女）而言，她总共可以有（ ）种不同选择．A ．8B ．10C ．16D ．32二、填空题11．分解因式：mn 2﹣m=．12．对甲、乙两个小麦品种各100株小麦的株高x （单位：m ）进行测量，算出平均数和方差为：0.95x =甲，2 1.01s =甲，0.95x =乙，2 1.35s =乙，于是可估计株高较整齐的小麦品种是．13．若菱形的两条对角线长分别是6cm ，8cm ，则该菱形的面积是cm 2．14．已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是2A ，那么此用电器的电阻是Ω．15．如图，CD 为Rt ABC △斜边AB 上的中线，E 为AC 的中点．若8AC =，5CD =，则DE =．16．如图，无人机在空中A 处测得某校旗杆顶部B 的仰角为30o ，底部C 的俯角为60o ，无人机与旗杆的水平距离AD 为6m ，则该校的旗杆高约为m ．1.≈，结果精确到0.1）三、解答题17．计算：()0π20241tan60-+︒．18．先化简，再求值：()()()2(2)5x y x y x y x x y ++-+--，其中1x =，1y ．19．阅读材料，完成下面问题：如图，点A 是直线EF 外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图．(1)利用MBC NBC △≌△，可得到BC 平分ABF ∠，请根据作图过程，直接写出这两个三角形全等的判定依据______；A ．SASB ．SSSC ．AASD ．ASA(2)求证：AD EF P ．20．随着新课程标准的颁布，为落实立德树人根本任务，我省各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某中学为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了A ．“青少年科技馆”，B ．“渡江战役纪念馆”，C ．“徽文化园”，D ．“长江白紧豚保护研究所”四个研学基地进行研学．为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：(1)在本次调查中，一共抽取了________名学生，并将条形统计图补充完整；(2)学校想从选择研学基地D 的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地D 的学生中恰有两名女生，请用列表法或画树状图的方法求出所选两人中恰有一名男生和一名女生的概率．21．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点D 作DE AC∥交AB 于点E ，F 是AC 上的一点，且CF AE =，连接EF ．(1)求证：四边形CDEF 是矩形．(2)若2,30AF B =∠=︒，求ABD △的面积．22．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A ，B 两种型号的机器人模型．A 型机器人模型单价比B 型机器人模型单价多200元，用2000元购买A 型机器人模型和用1200元购买B 型机器人模型的数量相同．(1)求A 型，B 型机器人模型的单价分别是多少元?(2)学校准备再次购买A 型和B 型机器人模型共40台，购买B 型机器人模型不超过A 型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A 型和B 型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?23．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，O 为AC 边上一点，连结OB ，以OC 为半径的半圆与AB 边相切于点D ，交AC 边于点E ．(1)求证：BC BD =；(2)若OB OA =，2AE =，①求半圆O 的半径；②求图中阴影部分的面积．24．我们不妨约定：若点Q 的横纵坐标分别是点P 横纵坐标的k 倍()1k ≠，则把点Q 称为点P 的“k 阶位似点”．若一个函数的图象上至少存在这样的一组不重合的P Q -两点，则称该函数为“k 阶位似函数”．例如，点()2,4Q -是()1,2P -的“2阶位似点”，点P ，点Q 均在函数2y x =-图象上，所以一次函数2y x =-可以叫做“2阶位似一次函数”，仔细审题，认真回答下列问题：(1)下列说法，正确的打“√”，错误的打“⨯”．①点()1,3P 的“3阶位似点”在二次函数225y x x =-+的图象上．（ ）②无论k 取何值()1k ≠，一次函数31y x =+都不可能是“k 阶位似一次函数”．（ ） ③若反比例函数()0m y m x=≠是一个“k 阶位似反比例函数”，则k 的值只能等于1-．（ ）(2)已知点Q 是点01,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的“k 阶位似点”，且均在“k 阶位似二次函数”224y x x c =-+的图象上，点(),M k c 在反比例函数8y x=的图象上，且点M 在第一象限，求0y 的值； (3)已知关于x 的“k 阶位似二次函数”()2212y t x t x t =-++-（其中k ，t 是常数，0k <）的顶点为M ，与y 轴交于点C ，直线MC 与坐标轴围成的三角形的面积为S ，若关于x 的一次函数320242y t x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭随x 的增大而减小，求S 的取值范围． 25．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知点B 的坐标为()0,2-，点A 是x 轴正半轴上一点，M e 是AOB V 的外接圆，点C 是劣弧OA 的中点，M e 的半径是2．(1)求AOB V 的周长；(2)如图2．连接AC ，BC ．BC 与x 轴交于点D ，记BOD V 的面积为1S ，ACD V 的面积为2S ，求12S S 的值； (3)如图3，连接OM 交BC 于点K ，点P 为线段BM 上一点，连接PK 交OC 于点E ，交y 轴于点Q ，记BP 的长度为()02m m <<，BQ 的长度为n ，请求出n 关于m 的函数关系式．。

吉林省吉林市第九中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在下列交通标志图中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．二次函数()21232y x =++的顶点坐标是（ ） A ．()23， B ．()23-， C ．()3-2， D ．()23--，3．如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．4．反比例函数()0k y k x=≠的图象如图所示，AB y ∥轴，若ABC V 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．3-B ．32-C ．6-D ．9- 5．如图，菱形OABC 的顶点A ，B ，C 都在O e 上，点D 为O e 上一点，且点D 在优弧»AC上，则ADB ∠的大小为（ ）A ．25︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒6．如图，在ABC V 中，中线CD BE 、交于点F ，连接DE ，则下列结论错误的是（ ）A ．DE BC ∥B ．2BC DE = C ．ADE ABC △△∽D ．ADE V 的面积与四边形BCED 的面积比为14：二、填空题7．已知α是锐角，如果1sin 2α=，那么α＝． 8．关于x 的一元二次方程240x x m -+=的根的判别式的值为4-，则m 的值为． 9．如图，在平面直角坐标系中，点()0,8A ，()2,0B ，以点B 为中心，把线段BA 顺时针旋转90︒得到线段BC ，则点C 的坐标为．10．如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶边缘的小孔插入桶内，测得木棒插入部分的长为100cm ，木棒上沾油部分的长为60cm ，桶高为80cm ，那么桶内油面的高度是．11．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 是AC 边的中点，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，如果26AD AB =，=，那么cos ADE ∠=．12．在对某物体做功一定的情况下，力(F 牛1与此物体在力的方向上移动的距离(S 米)成反比例函数关系，其图象如图所示．当30S <米时，F 的取值范围是．13．如图，在ABC V 中，9034ABC AB AC ∠=︒==，，，点D 是AC 的中点，以点A 、C 为圆心，以AD CD 、的长为半径画圆弧，交AB 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的周长为 （结果保留π）．14．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点在线段AB 上移动，与x 轴交于C 、D 两点，若()()2,34,3A B ---、，当四边形ABDC 是矩形时，此时抛物线的解析式是 ．三、解答题15．计算：sin60tan 453cos60tan30︒⋅︒+︒⋅︒．16．在庆祝龙年的元旦联欢会上，九年级1班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌（纸牌反面完全相同）洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张纸牌，若抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个寓意美好的成语，则参与者可获得奖品．丽丽决定参加游戏，请用画树状图或列表的方法求丽丽获得奖品的概率．17．阅读材料，并回答问题：佳佳解一元二次方程2640x x +-=的过程如下：解：2640x x +-=6 4........x x +=①269 4...x x ++=②2(3) 4...x +=③11x =，25x =-K ④(1)上述解答过程中，从第 步开始出现了错误（填序号）；(2)在下面的空白处，写出正确的解答过程．18．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+经过点()1,4A 和点()2,4B -．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；(2)求这条抛物线的对称轴．19．如图，在77⨯的正方形网格中，A 、B 、C 均为小正方形的顶点，请用无刻度的直尺按下列要求画图．(1)如图①，在BC 上画一点D ，使1tan 3BAD ∠=； (2)如图②，过点C 画AB 的平行线CE ；(3)如图③，画线段CG ，使2CG BF =． 20．某商场销售某种品牌的台灯，1月份销售400个，2、3月份这种台灯的销售量持续增加，3月份的销售量达到576个，设2、3这两个月该品牌台灯销售量的月平均增长率不变，求2、3这两个月该品牌台灯销售量的月平均增长率．21．小明和小强决定利用所的知识测量本校综合楼上安装的电信信号塔的高度，在操场上选取一点A ，测得信号塔顶点B 的仰角为60︒，测得这栋楼的顶部C 的仰角为45︒，又知B ，F ，E 三点在一条直线上，水平距离为30m AD =，4m DE =，A ，D ，E 三点在一条直线上且BE AE ⊥，CD AE ⊥，求信号塔本身的高BF 1.7≈）．22．如图，直线122y x =-+与双曲线的一个分支交于点()3A m ，，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ．(1)求双曲线的解析式；(2)点M 在x 轴上，若9AMB S =△，求点M 的坐标．23．如图，O e 的直径AB 垂直于弦DC 于点F ，点P 在AB 的延长线上，PCB PAD ∠=∠．(1)求证：PC 是O e 的切线；(2)若O e 的直径为4，弦DC 平分半径OB ，求图中阴影部分的面积．24．【探究】如图①，在矩形ABCD 中，点E 在边DC 上，连接AE ，过点D 作DF AE ⊥于点G ，交边BC 于点F ．若6AB =，8BC =，求DF AE的值； 【应用】（1）如图②，在ABC V 中，90BAC ∠=︒，点F 为边BC 的中点，连结AF ，过点B 作BD AF ⊥于点E ，交边AC 于点D ．若3tan 4C =，则AF BD 的值为 ； （2）如图③，在90BAC ∠=︒，点D 为AC 的中点，连结BD ，过点A 作AE BD ⊥于点E ，交边BC 于点F ，若3tan 4C =，则AF BD 的值为 ．25．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，6BC =，8AC =，点D 是AB 边的中点，动点P 从点D 出发，沿折线DA AC -以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，到点C 停止．以点P 为旋转中心，将PD 逆时针旋转45°，得射线PQ ，PQ 交边AC 或边BC 或边AB 于点Q ，连接PQ （即45DPQ ∠=︒），设点P 的运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)直接写出AD 的长；(2)用含t 的代数式表示PA 的长；(3)连接DQ ，当DPQ V 是等腰直角三角形时，求t 的值；(4)作点D 关于PQ 的对称点E ，当点E 落在ABC V 的边上时，直接写出t 的值．26．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()10-，、()30，，与y 轴交于点A ，点P 是抛物线上的一点，横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式和顶点B 的坐标；(2)过点P 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点Q （点P 在点Q 的右边），以PQ 为底边作等腰直角PQR V ，当点R 在x 轴上时，求m 的值；(3)将抛物线在P、A两点间的部分记为图象G（包含P、A两点），设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值；(4)过点B作x轴的垂线，交x轴于点C，以CP CB、为邻边作平行四边形PCBD，当平行四边形PCBD的面积被x轴分成13：的两部分时，直接写出m的值．。

四川省德阳市中江县2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2024-的绝对值是（ ） A ．2024B ．2024-C ．12024D ．12024-2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列事件中，是必然事件的是（ ） A ．乘坐公共汽车恰好有座位 B ．小明期末考试会考满分 C ．西安明天会下雪D ．三角形的内角和是180︒4．在平面直角坐标系中，点()2 20241P m +-，一定在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．不等式组2052x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列运算正确的是（ ） A ．4312x x x ⋅= B ．()()2364a a a ÷= C ．()23410a a a ⋅=D ．()()3224ab ab ab ÷-=-7．关于一次函数23y x =-+，下列结论正确的是（ ） A ．图象过点()1,1-B ．其图象可由2y x =-的图象向上平移3个单位长度得到C ．y 随x 的增大而增大D ．图象经过一、二、三象限8．若关于x 的一元二次方程220x x k --+=有实数根，则k 的值可以是（ ）A ．2B ．52C ．D ．39．如图，点D ，E 分别在ABC V 的边AB ，AC 上，且DE BC ∥，若:2:3AD DB =，15AC =，则CE =（ ）A ．4.5B ．6C ．8D ．910．如图，点P ，Q 在反比例函数4y x=的图象上，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，下列说法正确的是（ ）A ．图1、图2中阴影部分的面积分别为2，4B ．图1、图2中阴影部分的面积分别为1，2C ．图1、图2中阴影部分的面积之和为8D ．图1、图2中阴影部分的面积之和为311．如图，已知AB 是O e 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，22.5ACD ∠=︒，1AE =，则CD 的长为（ ）A ．B 2+C ．1D ．212．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD AB 、上，AF DE =，:1:2AF FB =，DF 与CE 交于点M ，AC 与DF 交于点N ．有如下结论：①ADF DCE ≌△△；②CE DF ⊥；③:1:9ANF CNFB S S =四边形△；④:3:1CM DM =．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题13．据报道，2023年“十一”假期，襄阳A 级旅游景区共接待游客151100人次，数字151100用科学记数法表示是．14．甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是1.68m ，身高的方差分别是20.15s =甲，20.12s =乙，20.10s =丙，20.12s =丁，则身高比较整齐的游泳队是．15．已知12,x x 是方程2310x x +-=的两个根，则211252x x x ++的值是．16．如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，点B ，点A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内弧OB 上一点，∠BMO ＝120°，则⊙C 的半径为.17．已知26m -≤≤，若关于x 的分式方程2122x m x x-+=---有正整数解，则整数m 的值是．18．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，点E 在AD 上，射线BE 交AC 于点F ．若12AE ED =，10AB =，则AF 的长是．三、解答题19．计算：()02202412--⨯- 20．2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A 表示“从未听说过”，B 表示“不太了解”，C 表示“比较了解”，D 表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．(1)参加这次调查的学生总人数为____________人；(2)扇形统计图中，B 部分扇形所对应的圆心角是__________； (3)将条形统计图补充完整；(4)在D 类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 21．已知一次函数5y x =-+与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为()4,m ．(1)求m 的值及反比例函数的解析式；(2)连接OA ，OB ，求AOB V 的面积； (3)观察图象，请直接写出5kx x-+>的解集． 22．如图，在菱形ABCD 中，P 是它对角线上面的一个点，连接CP 后并延长，交CD 于点E ，交BA 的延长线于点F ．(1)求证：DCP DAP ∠=∠；(2)如果4PE =，7EF =，求线段PC 的长．23．某商场购进了A ，B 两种商品，若销售10件A 商品和20件B 商品，则可获利280元；若销售20件A 商品和30件B 商品，则可获利480元． (1)求A ，B 两种商品每件的利润；(2)已知A 商品的进价为24元/件，目前每星期可卖出200件A 商品，市场调查反映：如调整A 商品价格，每降价1元，每星期可多卖出20件，如何定价才能使A 商品的利润最大？最大利润是多少？24．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ︒∠=，以AB 为直径作O e ，过点C 作直线CD 交AB 的延长线于点D ，使BCD A ∠=∠．（1）求证：CD 为O e 的切线；（2）若DE 平分ADC ∠，且分别交,AC BC 于点,E F ，当2CE =时，求EF 的长． 25．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，点C 在直线AB 上，过点C 作CD x ⊥轴于点()1,0D ，将ACD V 沿CD 所在直线翻折，使点A 恰好落在抛物线上的点E 处．(1)求抛物线解析式；V的面积；(2)连接BE，求BCE(3)拋物线上是否存在一点P，使PEA BAE∠=∠？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．。

数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答．【详解】解：，则信号最强的是，故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，负数比较大小时，绝对值大的反而小，熟知比较法则是解题的关键．2. 银农科技董事长钱炫舟公开宣布：银农科技的终极目标——做真正的纳米农药，发挥更好的药效，创造更多的价值！银农的粒径新标准达到纳米（1纳米米），也标志着银农产品正式步入纳米时代．将600纳米用科学记数法表示为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】D【解析】【分析】首先把600纳米化成以米为单位的量；然后根据：绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，将600纳米用科学记数法表示即可．【详解】解：∵1纳米米，∴600纳米=米．故选：D ．dBm 50-60-70-80-50607080-<-<-<- 50-600900-910-=110.610-⨯90.610-⨯9610-⨯7610-⨯10n a -⨯n 910-=9760010610--⨯=⨯【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3. 如图所示，一个长方体的平面展开图是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将各选项侧面展开图折叠即可解答．【详解】解：选项经过折叠均能围成长方体，选项经过折叠均不能围成长方体，所以不能表示长方体平面展开图．故选：．【点睛】本题考查了长方体侧面展开图，掌握立体图形与侧面展开图的关系是解题的关键．4. 如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出a 的范围即可．【详解】解：∵不等式的解集为，∴，∴，故选D ．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式两边同时乘以或除以一个负数不等号要改变方向是解题的关键．5. 如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依的10n a -⨯110a ≤<n A B C D ，，A ()33a x a -<-1x >a 0a >3a >3a ≠3a <()33a x a -<-1x >30a -<3a <ABC据是（ ）A. 同旁内角互补，两直线平行B. 两直线平行，同旁内角互补C. 同位角相等，两直线平行D. 两直线平行，同位角相等【答案】C【解析】【分析】根据和是三角板中的同一个角，得，根据平行线的判定，即可．【详解】∵，∴（同位角相等，两直线平行），∴C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定．6. 如图，一个钟摆的摆长的长为a ，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角为，点C 是的中点，与交于点D ，则的长为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，由点C 是的中点，为，可得的度数，已知的长为a ，用余弦公式可表示，根据，可得的长．【详解】解：点C 是的中点，，1∠2∠12∠=∠12∠=∠a b OA AOB ∠2x ABOC AB CD 2sin a x 2cos a x ()1sin a x -()1cos a x -ABAOB ∠2x AOC ∠OA OD CD OC OD =-CD ABAC BC∴=，，，，，，故选：D ．7. 尺规作图：如图，在中，．（1）以点B 为圆心，BA 的长为半径画弧，在左侧交BC 所在的直线于点E ；（2）以点C 为圆心，CA 的长为半径画弧，在右侧交BC 所在的直线于点F ；（3）作线段EF 的垂直平分线交BC 于点D ，接连AD ．根据以上作图描述及作图痕迹，下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. 与的周长相等D. 与的面积相等【答案】C【解析】【分析】根据作图及线段的垂直平分线的定义进行推导即可．【详解】解：如图，连接AE ，AF，12AOC BOC AOB x ∴∠=∠=∠=OD OD OA OB == ，()SAS OAD OBD ∴ ≌90ODA ODB ∴∠=∠=︒cos cos OD OA AOC a x ∴=⋅∠=()cos 1cos CD OC OD a a x a x ∴=-=-=-ABC AC AB >BD CD=BAD CAD ∠=∠ABD △ACD ABD △ACD由作图可知，AB =B E ，AC =CF ，ED =FD ，∴的周长=AB +AD +BD =BE +BD +AD =ED +AD ，的周长=AC +AD +CD =CD +CF +AD =DF +AD ，∵ED =FD ，∴与的周长相等，故选：C ．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．8. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象上有两点A 、C ，点A 在第二象限，点C 在第四象限，以为对角线作矩形，其中轴．若点B 在函数的图象上，且矩形的面积50，则m 的值为（ ）A. B. C. 6 D. 3【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例，矩形的性质等知识，设，根据反比例函数点的坐标特点求出，ABD △ACD ABD △ACD 2m y x=-AC ABCD AB y ⊥()30m y x x =>ABCD 252254(),A a b 3,2B a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后根求出，，然后根据矩形的面积求解即可．【详解】解∶ 设，则，∴∵矩形，轴，∴轴，轴，∴B 的纵坐标为b ，又B 在图象上，∴B 的横坐标为，∴C 的横坐标为，又C 在的图象上，∴C 的纵坐标为，∴，∴，，∵矩形的面积50，∴，∴，即∴，故选∶C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9. 分解因式：_______．【答案】【解析】32,23C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭52AB a =-53BC b =(),A a b 2ab m =-332m ab =-ABCD AB y ⊥AB x ∥BC y ∥()30m y x x=>3322ab a b -=-32a -2m y x=-2332ab b a =-3,2B a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭32,23C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭3522AB a a a =--=-2533BC b b b ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ABCD 055352a b ⋅=-12ab =-212m -=-6m =226m m -=2(3)m m -【分析】提公因式法因式分解．【详解】．【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法是关键．10. 已知关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则k 的值为_____．【答案】－1【解析】【分析】由关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得判别式Δ＝0，继而可求得k 的值．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2−4ac ＝（−2）2−4×1×（－k ）＝4＋4k ＝0，解得：k ＝－1，故答案为：－1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2−4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．11. 用一张等宽纸条折成如图所示的图案．若，则∠1的太小为_________度．【答案】15【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，翻折的性质等知识，先利用平行线的性质与对顶角的性质求出的度数，然后利用翻折的性质求解即可．【详解】解∶如图，∵，∴，的226m m -=2(3)m m -220--=x x k 220--=x x k 220--=x x k 2150∠=︒ABC ∠2150∠=︒32150∠=∠=︒∵纸条的对边互相平行，即，∴，∵翻折，∴，故答案为：15．12. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，连结、，得到平行四边形．则平行四边形的面积为_________．【答案】36【解析】【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点A 、C 的横坐标，点B 、D 的纵坐标确定出平移规律，再根据平移规律求出C 、D 的坐标，然后利用割补法求解即可．【详解】解∶∵线段平移到线段，点A 的对应点为C ，点B 的对应的为D ，，，，，∴平移规律为向左平移3个单位，向上4个单位，∴的对应点C 的坐标为，的对应点D 的坐标为，如图，过D 、A 作x 轴的平行线，过C 、B 作y 轴的平行线，两两相交于M 、N 、F 、E ，∴平行四边形的面积为，故答案为：36．13. 如图，在中，，点D 为边的中点，点E 为线段的中点．若，a b ∥180330ABC ∠=︒-∠=︒11152ABC ==︒∠AB CD AC BD ACDB ACDB AB CD ()1,2A --()4,C b -()5,2B (),6D a ()1,2A --()4,2-()5,2B ()2,6ACDB 11119834643464362222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=ABC 90BAC ∠=︒AC BD 3AB =，则边的长为___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理等知识，先利用直角三角形斜边上中线的性质求出，然后利用勾股定理求出，最后利用线段中点定义求解即可．【详解】解∶ ，点E 为线段的中点， ，∴，又，∴∵点D 为边的中点，∴故答案为：14. 点，，均在抛物线上，且C 为抛物线的顶点．若，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，由可得抛物线开口向上，根据点A ，B 到对称轴的距离大小关系求解．【详解】解：由题意得：抛物线对称轴，∵点C 为抛物线的顶点，且，∴抛物线开口向上，∴，2AE =AC BD AD 90BAC ∠=︒BD 2AE =24BD AE ==3AB =AD ==AC 2AC AD ==()11,A a y -()22,B a y +()00,C x y 221y ax ax =-+021y y y ≤<a 102a <<021y y y ≤<212a x a-=-=021y y y ≤<0a >当，即时，∵，∴，解得：，即此时，当，即时，点B 在点A 的右侧，不符合题意；综上分析可知：．故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15. 先化简，再求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式进行化简，然后整体代入求值即可．【详解】解：，∵，∴．16. 一个布袋中有2个红球和2个白球，它们除颜色外都相同．若从袋中随机摸出一个球，不放回，再随机摸出第二个球，用画树状图或列表的方法，求摸到一个红球一个白球的概率．【答案】【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画出树状图然后根据概率公式列式即可得解．【详解】解：根据题意画出树状图，如图所示：11a -<2a <21y y <()1121a a -->+-12a <102a <<11a -≥2a ≥21y y >102a <<102a <<()()()2443x x x +-+-231x x -=2267x x --5-()()()2443x x x +-+-221669x x x =-+-+2267x x =--231x x -=()222672372175x x x x --=--=⨯-=-23=∵共有12种等可能的结果，其中摸到一个红球一个白球的结果有8种，∴摸到一个红球一个白球的概率为．17. 某文化用品商店用1000元购进一批“晨光”套尺，很快销售一空；商店又用1500元购进第二批该款套尺，购进时单价是第一批的倍，所购数量比第一批多100套，求第一批套尺购进时单价是多少？【答案】2元/套．【解析】【分析】设第一批套尺购进时单价是x 元/套，则设第二批套尺购进时单价是x 元/套，根据题意可得等量关系：第二批套尺数量-第一批套尺数量=100套，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：（1）设第一批套尺购进时单价是x 元/套．由题意得：即解得：x=2．经检验：x=2是所列方程的解．答：第一批套尺购进时单价是2元/套．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意要检验．18. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O ，点E 为边的中点，于点F ，点G 在边上，且．（1）求证：四边形为矩形；（2）若平行四边形的面积为28，，则矩形的周长为__________．【答案】（1）见解析（2）11【解析】82123=54541500100010054x x -=12001000100x x-=ABCD AC BD CD OF AD ⊥AD EG OF ∥OEGF ABCD 7BC =OEGF【分析】（1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；（2）过点C 作于点H ，根据平行四边形面积公式求出，证明，得出，求出，根据中位线求出，根据矩形的性质求出周长即可．【小问1详解】证明：∵四边形为平行四边形，∴，∵点E 为边的中点，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形为矩形；【小问2详解】解：过点C 作于点H ，如图所示：∵四边形为平行四边形，∴，，∵平行四边形的面积为28，∴，∵，，∴，∴，OE ACD OE AD ∥OEGF 90OFG ∠=︒CH AD ⊥2847ABCD S CH AD === AOF ACH ∽12OF OA CH AC ==122OF CH ==1722OE AD ==ABCD AO CO =CD OE AD ∥EG OF ∥OEGF OF AD ⊥90OFG ∠=︒OEGF CH AD ⊥ABCD AO CO =7AD BC ==ABCD 2847ABCD S CH AD === OF AD ⊥CH AD ⊥OF CH ∥AOF ACH ∽∴，∴，∵，点E 为边的中点，∴，∵四边形为矩形，∴，故答案为：11．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．19. 在祖国植物的百花园中，云南素有“植物王国”之称，云南枸杞的主要产区为禄劝县和景东县，某枸杞种植改良试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析．下面给出了部分信息：甲品种：2.0，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9．乙品种：如折线图所示．甲、乙品种产量统计表品种平均数中位数众数方差甲品种 3.163.20.2912OF OA CH AC ==122OF CH ==AO CO =CD 1722OE AD ==OEGF ()722247112OEGF C OE OF ⎛⎫=+=⨯+=+= ⎪⎝⎭矩形a乙品种 3.163.30.15根据以上信息，完成下列问题：（1）____________，__________；（2）若乙品种种植2000棵，估计其产量不低于3.16千克的棵数；（3）请结合以上统计量中的某一个方面简要说明哪个品种更好．【答案】（1）3.2，3.5（2）1200棵 （3）见解析【解析】【分析】本题考查了中位数、众数、方差、利用样本估计总体以及选择合适的统计量作决策等知识，熟练掌握统计的相关知识是解题的关键．（1）根据中位数和众数的定义解答即可；（2）利用样本估计总体的方法解答；（3）从平均数和方差两个角度进行分析即可．【小问1详解】解：将甲品种的10个数据从小到大排列为：2.0，2.5，3.1，3.1，3.2，3.2，3.2，3.6，3.8，3.9，排在第5、6位的数是3.2，3.2，所以中位数；乙品种的10个数据中，数据3.5出现了3次，出现的次数最多，所以众数；故答案为：3.2，3.5；【小问2详解】解：答：估计乙品种的产量不低于3.16千克的有1200棵；【小问3详解】解：从甲、乙两品种产量的平均数来看，都是3.16千克，两者相当；从方差来看：甲品种的方差是0.29，乙品种的方差是0.15，所以乙品种的产量更为稳定，乙品种要更好一些（答案不唯一）．20. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，点B 在b =a b = 3.2 3.2 3.22a +== 3.5b =62000120010⨯=22⨯AO格线上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．（1）在图1中，作出点A 关于点O 的对称点C ，连结．（2）在图2中，作出线段关于点O 的成中心对称线段．（3）在图3中，已知点F 是线段上的任意一点，作出一条线段，使得．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】本题考查作图−对称变换，熟知图形对称的性质是解题的关键．（1）根据中心对称的性质即可解决问题．（2）分别画出点A 和点B 关于点O 的对称点即可解决问题．（3）先画出关于点O 的对称线段，再延长与之相交即可解决问题．【小问1详解】解：连接并延长，与网格交点即为点C ，连接，如图所示，点C 即为所求作的点．【小问2详解】分别连接，并延长，与网格分别交于点D 和点E ，如图所示，线段即为所求作的线段．【小问3详解】分别连接，并延长，与网格分别交于点D 和点E ，连接，连接并延长与交于点G，的AC AB DE AB OG OG OF AB FO AO AC AO BO DE AO BO DE FO DE如图所示，即为所求作的线段．21. 甲、乙两人先后由A 地沿同一路线前往B 地，甲先出发，1小时后乙再出发，乙出发后半小时后在离A 地9千米处追上甲，此时两人正好到达AB 两地正中间．然后两人各自保持原速不变，先后到达B 地．若甲由A 地出发的行驶时间为x 小时，甲、乙离A 地的距离为千米和千米，、与x 之间的函数图象如图所示．（1）甲的速度是__________千米/小时；（2）求与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）乙到达B 地后立即从原路返回A 地．乙离A 地的距离（千米）关于x （小时）的函数图象如图所示．则乙在返回途中与甲相遇时离A 地___________千米．【答案】（1）6（2） （3）【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）利用待定系数法求出函数关系式；（3）令，求出的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，观察函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．（1）根据“速度路程时间”即可算出甲车的速度；（2）设乙车离地的距离与时间的函数关系式，观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法即可求出函数关系式；（3）根据题意得到（千米）关于（小时）的函数解析式为：，关于的函数关系式为：的OG 1y 2y 1y 2y 2y 3y ()2181812y x x =-≤≤72513y y =x =÷A y x 3y x 3936y x =-+1y x，解方程组即可得到结论．【小问1详解】甲的速度千米小时；故答案为：6；【小问2详解】设，把，代入得，，，；【小问3详解】乙出发后半小时后在离A 地9千米处追上甲，此时两人正好到达AB 两地的正中间．所以乙出发后1小时后到达B 地，A 地与B 地之间的路程为18千米，设（千米）关于（小时）的函数解析式为：，把，代入得，，，；设，将代入得：，解得：，关于的函数关系式为：，联立方程组得解，解得，，乙在返回途中与甲相遇时离A 地千米．故答案为：．16y x =961.5==/2y kx b =+(1)0，(1.5,9)01.59k b k b +=⎧⎨+=⎩∴1818k b =⎧⎨=-⎩()2181812y x x ∴=-≤≤ ∴3y x 3y mx n =+(2,18)(4,0)21840m n m n +=⎧⎨+=⎩∴936m n =-⎧⎨=⎩()393624y x x ∴=-+<≤1y tx =(1.5,9)9 1.5t =6t =1y ∴x 16y x =6936y x y x =⎧⎨=-+⎩125725x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴72572522. 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做如下研究：（1）如图①，在中，分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连结、．试猜想与的大小关系，并说明理由；（2）如图②，在中，分别以、为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，连结、．若，，，则线段的长为____________；（3）如图③，在中，，以为边向外作等边，连结．若，，则的面积为______________．【答案】（1），理由见解析（2（3【解析】【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是：（1）利用证明，即可得出结论；（2）类似（1）证明，得出，然后利用勾股定理求解即可；（3）以为边，在的左上方作等边，类似（1）证明，得出，然后利用勾股定理求出，过A 作于H ，利用含的直角三角形的性质求出，最后根据三角形面积公式求解即可．【小问1详解】解：理由：∵，∴，ABC AB AC ABE ACD AE AB =AD AC =BAE CAD ∠=∠BD CE BD CE ABC AB AC ABE ACD 90EAB CAD ∠=∠=︒BD CE 3AB =2BC ==45ABC ∠︒BD ABC 30ABC ∠=︒AC ACD BD 8BD =5BC =ABC BD CE =SAS BAD EAC ≌BAD EAC ≌BD EC =AB AB ABE BAD EAC ≌BD EC =AB BE ==AH BC ⊥30︒AH BD CE=BAE CAD ∠=∠BAD EAC ∠=∠∵，，∴，∴；【小问2详解】解：∵，是等腰直角三角形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，又，∴；【小问3详解】解：如图，以为边，在的左上方作等边，∵，是等边三角形，∴，，，∴，∴，∴，∵，，AE AB =AD AC =BAD EAC ≌BD EC =ABE ACD AB AE =AC AD ==45ABE ∠︒90EAB CAD ∠=∠=︒BAD EAC ∠=∠BAD EAC ≌BD EC ==45ABE ∠︒=45ABC ∠︒90EBC ∠=︒3AB AE ==90BAE ∠=︒22218BE AB AE =+=2BC =BD CE ===AB AB ABE ABE ACD AB AE =AC AD =60ABE BAE CAD ∠=∠=∠=︒BAD EAC ∠=∠BAD EAC ≌8BD EC ==90ABC ∠=︒60ABE ∠=︒∴，又，∴，过A 作于H ，则，∴，23. 如图，在中，，，．动点P 从点C 出发，沿CA 以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，同时动点Q 从点B 出发，沿BC 以相同的速度向终点C 运动，当点P 到点A 时，点Q 同时停止运动．连结，以、为边作平行四边形．设点P 的运动时间为t 秒．（1）边的长为____________．（2）当点H 落在边上时，求的值．（3）当平行四边形是轴对称图形时，求的值．（4）沿过点Q 且垂直于的直线将平行四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．直接写出所有符合上述条件的值．【答案】（1）（2）（3）或， （4）或【解析】90EBC ∠=︒5BC =AB BE ===AH BC ⊥12AH AB ==152ABC S =⨯= ABC 90BAC ∠=︒3AB =4AC =PQ BQ PQ BQPH ()0t >BC AB AH BHBQPH t BC BQPH t 545259251325195023【分析】（1）在中，根据勾股定理，即可求解，（2）用含的代数式，依次表示出，，，由平行四边形，表示出，当点在边上时，得到，，代入，即可求，根据，依次求出、即可求解，（3）①当平行四边形为矩形时，，，解得：，②当平行四边形为菱形时，作，由，，解得：，则，在，中，根据勾股定理，表示出、，由，代入，即可求解，（4）作， ①当在线段上时，由，只有当，时，可以拼成三角形，用含的代数式表示出，，代入，即可求解，②当在线段延长线上时，由，只有当，时，可以拼成三角形，用含的代数式表示出，，代入，即可求解，本题考查了，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，解题的关键是：【小问1详解】解：∵，，，在中，，故答案为：，【小问2详解】解：Rt BAC t PC BQ AP BQPH HP H AB AHP ABC ∽AP HP AC BC =t AH HP AB BC=AH BH BQPH ABC QPC △△∽BC PCAC QC =259t =BQPH PD BC ⊥ABC DPC ∽BC PC AC DC =45DC t =22955QD t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Rt DPC Rt PQD △PD PQ BQ PQ =QF BC ⊥G BH BQG HFG ∽BQ HF =BQG HFG ≌t BQ HF G BH GHF QPF ∽HF PF =GHF QPF ≌t HF PF 90BAC ∠=︒3AB =4AC =Rt BAC 5BC ===5根据题意得：，，则，∵平行四边形，∴，，当点在边上时，，∴，即：，解得：，则：，∵，即：，解得：，则：，∴，故答案为：，【小问3详解】解：①当平行四边形为矩形时，是轴对称图形，∵是矩形，∴，∴，∴，即：，解得：，②当平行四边形为菱形时，是轴对称图形，过点作，交于点，1PC t t =⋅=1BQ t t =⋅=4AP AC PC t =-=-5QC BC BQ t =-=-BQPH HP BQ t ==HP BC ∥H AB AHP ABC ∽AP HP AC BC =445t t -=259t =209HP t ==AH HP AB BC =20935AH =43AH =45333BH AB AH =-=-=443553AH BH ==45BQPH BQPH 90PQC ∠=︒ABC QPC △△∽BC PC AC QC =545t t=-259t =BQPH P PD BC ⊥BC D∵，∴，∴，即：，解得：，则，或，∴，∴在中，，在中，，∵菱形，∴，∴，解得：（舍）或，故答案为：或，【小问4详解】解：过点作，与直线交于点与直线交于点，①当在线段上时，90PDC ∠=︒ABC DPC ∽BC PC AC DC =54t DC =45DC t =495555QD BC BQ DC t t t =--=--=-495555QD BQ DC BC t t t =--=+-=-22955QD t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Rt DPC 35PD t ===Rt PQD △PQ ===BQPH BQ PQ =t =5t =2513t =2592513Q QF BC ⊥HP F BH G G BH∵，∴，只有当，时，可以拼成三角形，∴，，∴，解得：，②当在线段延长线上时，∵，∴，只有当，时，可以拼成三角形，∴，，∴，解得：，故答案为：或．HP BQ ∥BQG HFG ∽BQ HF =BQG HFG ≌BQ t =9145555HF FP HP QD BQ t t t =-=-=--=-1455t t =-2519t =G BH BH QP ∥GHF QPF ∽HF PF =GHF QPF ≌11112222HF HP BQ t t ===⨯=955PF QD t ==-19525t t =-5023t =2519502324. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，抛物线上有两点A 、B （点B 在点A 的右侧），设点A 的横坐标为m ，点B 的横坐标为．（1）______________，____________；（2）过点A 作y 轴的垂线，与抛物线另交于M 点，与y 轴交于N 点．当时，求线段的长；（3）将此抛物线上A 、B 两点之间的部分（包括A 、B 两点）记为图象G ．①当图象G 对应函数值y 随x 的增大而先减小后增大时，设图象G 对应函数值最大值与最小值的差为d ，求d 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；②以点为中心作正方形，正方形的边与坐标轴垂直，正方形边长为，设图象G 在正方形内部（包括边界）的左侧最高点到y 轴的距离为，最低点到x 轴的距离为（最高点和最低点不重合），当时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1），（2）或 （3）①②或或【解析】【分析】（1）直接写出顶点式，即可得出结论；（2）根据作图可知关于对称轴对称，进而得到的横坐标为，分和两种情况，进行讨论求解即可；（3）①根据图象G 对应函数值y 随x 的增大而先减小后增大，得到在对称轴两侧，进而得到最小值为顶点的纵坐标，分和两种情况，进行讨论求解即可；②分和两种情况，分别画出图象，进行讨论求解即可．【小问1详解】解：∵抛物线的顶点为，∴抛物线的解析式为：，∴；2y x bx c =++()2,2-32m -b =c =4MN AN =MN ()1,02m 1h 2h 12h h =4-2163MN =165MN =()22144124411m m m d m m m ⎧⎛⎫-+-<<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+≤-⎩112m -≤<12m =-14m =-,A M M 4m -01m <<0m <,A B 432m m -≤-432m m ->-01m <<0m <2y x bx c =++()2,2-()222242y x x x =--=-+4,2b c =-=故答案为：；【小问2详解】∵点A 的横坐标为m ，点B 的横坐标为，且点B 在点A 的右侧，∴，∴，∵，∴对称轴为直线，∵过点A 作y 轴的垂线，与抛物线另交于M 点，与y 轴交于N 点∴关于对称轴对称，∴的横坐标为，当时，，，∵，∴，∴，∴；当时，，，∴，∴，∴；综上：或；4,2-32m -32m m <-1m <()222y x =--2x =,A M M 4m -01m <<AN m =4MN m =-4MN AN =44m m -=45m =165MN =0m <AN m =-4MN m =-44m m -=-43m =-416433MN =+=163MN =165MN =【小问3详解】①∵图象G 对应函数值y 随x 的增大而先减小后增大，∴在对称轴的两侧，∴，∴，∵，，在对称轴的两侧，∴当时，图象上的最小函数值为，由（2）知，点的对称点的横坐标为，∴当时，即：时，图象上最大函数值为，∴；当，即：时，图象上的最大函数值为，∴；∴；②∵以点为中心作正方形，正方形的边与坐标轴垂直，正方形边长为，的,A B 322m ->12m <()222y x =--32m x m ≤≤-,A B 2x =G 2-A 4m -432m m -≤-1m ≤-G ()223222441m m m ---=--224412441d m m m m =--+=-+432m m ->-112m -<<G ()2222244242m m m m m --=-+-=-+2242244d m m m m =-++=-+()22144124411m m m d m m m ⎧⎛⎫-+-<<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+≤-⎩()1,02m∴正方形关于轴对称，正方形平行于轴的边上的点到轴的距离为，∵∴，当时，如图： 则：，，当点在正方形内部时，此时，，∴，解得：；当，图象与正方形的边有交点时如图：x x x m ()222242y x x x =--=-+()()22,42,32,441A m m m B m m m -+---01m <<()()1,,1,D m m E m m ---C y m =A 12,C h m h y m ===12h h =2142m m m m m m ≥-⎧⎨-<-+<⎩112m -≤<0m <G ,DE EF此时：，∴，当时，则：，解得：；当图象交于点时，此时，∴点的纵坐标为，∴，解得：，()()1,,1,D m m E m m +-+121,D c h x m h y m ==+==-12h h =1m m +=-12m =-G DG H ()1,D m m +-H m -242m x x -=-+2x =±∴，∴，为抛物线顶点到轴的距离为2，当，解得：；综上：或或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，正方形的性质等知识点，综合性强，难度大，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．2H x =12H h x ==-2h x 12h h =22-=14m =-112m -≤<12m =-14m =-。

吉林省长春市长春力旺实验初级中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个实数中，无理数的是（ ）A ．227B ．13032003.C ．3πD 2．台湾是中国不可分割的一部分．两岸同胞同根同源、同文同种，台湾省，简称“台”，纵跨温带与热带，面积约36013.73km ．数据36013.73用科学记数法表示为（ ） A ．336.0137310⨯ B ．33.60137310⨯C ．43.60137310⨯D ．30.360137310⨯ 3．下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⨯=B ．235a a a +=C ．22(2)4a a -=-D ．642a a a ÷= 4．如图是一个粉笔盒的表面展开图，若字母A 表示粉笔盒的上盖，B 表示侧面，则底面在表面展开图中的位置是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④5．如图，ABC V 中，AB AC BC <<，用尺规作图在BC 上确定一点P ，使PA PB BC +=，那么符合要求的作图痕迹是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB 的长为（ ）AB ．2C ．D ．47．2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A 滑行到点B ．若500m AB =，则这名滑雪运动员水平方向BC 滑行了多少米（ ）A ．500sin m αB ．500cos m αC ．500tan m αD ．500m tan α8．如图，正方形ABCD 的顶点B 在x 轴上，点A ，点C 在反比例函数(0,0)ky k x x =>>图象上.若直线BC 的函数表达式为122y x =-，则反比例函数表达式为（ ）A ．6y x =B ．12y x =C ．16y x =D ．24y x=二、填空题9．分解因式：228x -=．10．已知关于x 的方程260x bx -+=的一个根是3-，则方程另一根是．11．小灵为了测量操场边上一棵树的高度，她在树AB 前方20米E 点处放置一面小镜子，然后她沿BE 方向继续往前走8米到D 点处，转身刚好在镜子里看到树梢，小灵眼睛距地面1.44米，根据这些信息请你算出树的高度是米．12．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF ，如图所示，若边心距OM =，则这个正六边形的面积是2mm ．13．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且:1:2O F O B =，则四边形EFGH 与四边形ABCD 的面积比值是．14．掷实心球是中考体育必考项目，体育老师给出标准示范，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y （米）与飞行的水平距离x （米）之间具有函数关系21251233y x x =-++，则小明这次实心球训练的成绩为．三、解答题15．先化简，再求值：2(1)(3)(3)a a a +-+-，其中52a =. 16．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，赵星在了解甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A ，B ，C ，D 表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．赵星从中随机抽取一张卡片不放回，张涵再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．17．2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为300元/时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．18．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A 、B 均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．(1)在图①中以线段AB 为边画ABC V ，使点C 在格点上，且tan 1A =；(2)如图②中以线段AB 为边画ABD △，2tan 3A =； (3)如图③中以线段AB 为边画ABE V ，使92ABE S =△，tan 1A =． 19．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，延长DC 到点E ，使C E C D =．过点E 作EF AD ∥交AC 的延长线于点F ，连接AE ，DF ．(1)求证：四边形ADFE 是平行四边形；(2)过点E 作EG DF ⊥于点G ，若2BD =，6AE =，求EG 的长．20．2022年北京冬奥会的举办促进了冰雪旅游，小明为了解寒假期间冰雪旅游的消费情况，从甲、乙两个滑雪场的游客中各随机抽取了50人，获得了这些游客当天消费额（单位：元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：a ．甲滑雪场游客消费额的数据的频数分布直方图如下（数据分成6组：0200x ≤<，200400x <≤，400600x ≤<，600800x ≤<，8001000x ≤<，10001200x ≤<）：b ．甲滑雪场游客消费额的数据在400600x ≤<这一组的是：410 430 430 440 440 440 450 450 520 540c ．甲、乙两个滑雪场游客消费额的数据的平均数、中位数如下：根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m 的值；(2)一名被调查的游客当天的消费额为380元，在他所在的滑雪场，他的消费额超过了一半以上的被调查的游客，那么他是哪个滑雪场的游客？请说明理由；(3)若乙滑雪场当天的游客人数为500人，估计乙滑雪场这个月（按30天计算）的游客消费总额．21．甲、乙两车分别从M ，N 两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达N ，M 两地后即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为s （单位：km ），乙车行驶的时间为t （单位：h ），s 与t 的函数关系如图所示．(1)M ，N 两地之间的公路路程是____________km ，乙车的速度是____________km/h ，m 的值为____________；(2)求线段EF 的解析式．(3)直接写出甲车出发多长时间，两车相距140km ．22．如图1，点E 为正方形ABCD 内一点，2AE =，4BE =，90AEB ∠=︒，将直角三角形ABE 绕点A 逆时针方向旋转α度（0180α≤≤︒）点B 、E 的对应点分别为点B '、E '．【感知】如图2，在旋转的过程中，点B '落在了AC 上，求此时CB '的长；【探究】若90α=︒，如图3，得到ADE '△（此时B '与D 重合），延长BE 交DE '于点F ，试判断四边形AEFE '的形状，并说明理由；【应用】在直角三角形ABE 绕点A 逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE '长度的取值范围．23．如图①，在平行四边形ABCD 中，2AB =，BC =45B ∠=︒，点E 为BC 中点，动点P 从点E 出发，沿折线EB BA -90PEQ ∠=︒，EQ 交边AD 或边DC 于点Q ，连接PQ ．当点P 与点A 重合时，点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（0t >）(1)当P 在AB 上运动时，用含t 的式子表示出线段BP 的长______；(2)当Q 落在CD 的中点时，求t 的值；(3)若Q 不与顶点重合，当Q 落在平行四边形ABCD 的某一内角平分线上时，求tan BEP ∠的值；(4)作点E 关于直线PQ 的对称点F ，连接PF QF 、，当四边形EPFQ 和平行四边形ABCD 重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t 的取值范围．24．在平面直角坐标系中，抛物线22y x bx =++（b 为常数）经过点()3,1-，点A 的坐标为(),1m m -，过点A 作AB x ⊥轴交抛物线于点B ，点C 为抛物线对称轴上一点，且AC x ∥轴，连接BC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当05x ≤≤时，y 的取值范围是______；(3)A 、B 两点之间的距离为d ，当134d =时，求m 的值； (4)已知点P 的坐标为()1,0，当直线AP 将ABC V 的面积分成1:2两部分且0m >时，直接写出m 的值．。