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线段垂直平分线的性质和判定

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13.1.2线段垂直平分线的性质和判定

13.1.2线段垂直平分线的性质和判定

？
)
∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P.
你能依据例1得到什么结论？ 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点， 这一点到三角形三个顶点的距离相等。
线段的垂直平分线
一、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 二、判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
E
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴ PA=PB 反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？
逆命题
到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线上。
P
成立吗？
A
C
B
继续探究，证明判定
证明：“到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。”
线段的垂直平分线
教学目标：
1.理解线段垂直平分线的性质和判定． 2.能运用线段垂直平分线的性质和判定
解决实际问题．
复习回顾：
什么是线段的垂直平分线？
经过线段中点并且垂直于这条线段
的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
探究1：线段的垂直平分线的性质
动手操作：作线段AB的垂直平分线l ， 垂足为C；在l上任取一点P，连结PA、PB；
l
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB P1A=P1B
P
……
由此你能得出什么结论？
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等。A 你能用验证这一结论吗？
P1 B
C
验证猜想，证明性质
证明：“线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等。”

垂直平分线性质与判定应用

垂直平分线性质与判定应用
（结合全等三角形来证明）
几何语言:如图，∵⊥AB，AC＝BC，点P在上，∴PA＝PB
例题讲解
如图，在△ 中，的垂直平分线分别交、于、两点，＝4，
△ 的周长是25，则△ 的周长为（ ）
. 13
. 15
. 17
. 19
解题方法
根据线段垂直平分线性质得出＝，＝＝4，求出＝8， +
上，作∠ = 90°，且 = ，过点作//，且 = ，
联结，CE．
（1）求证： ⊥ ；
（2）如果 = ，求证：点在线段的垂直平分线上
课堂小结
课堂大总结
垂直平分线性质：
垂直平分线判定：
帮助每一个孩子成就最好的自己！
∴∠ = ∠ = 70°，
∵是的垂直平分线，
∴ = ，
∴∠ = ∠ = 40°，
∴∠ = ∠ − ∠ = 30°
应用练习
如图，在△ 中，∠ = 90°，垂直平分，平分∠，
则∠ =
. 30°
. 35°
. 45°
. 60°
∠ = ∠
=
∴△ ≅△ ，
∴ = ，
∴点在线段的垂直平分线上．
应用练习
已知，如图， = ， = ， ⊥ 于点， ⊥ 于点，
（1）求证： = ．
（2）连接，求证：线段垂直平分线段．
应用练习
如图，已知在△ 中，∠ = 90°， = ，点在边
垂直平分线性质与判定
√
√
思维导图
课程目标
掌握并能运用垂直平分线性质求边长以及角度
掌握并能运用垂直平分线判定进行证明
能灵活应用判定和性质解决综合题
知识讲解
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

5.6几何证明举例(3)——线段的垂直平分线的性质和判定

5.6几何证明举例(3)——线段的垂直平分线的性质和判定
M P B N
A
性质：线段垂直平分线上的 点到线段两端的距离相等。
证明线段垂直平分线的性质
求证：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为M， P 是直线CD上任意一点 ． C 求证：PA =PB． P （1）当点P不与点M重合时 A M B D



如图，△ABC中，AB=AC，点P、Q、R分别 在AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC． 求证：点Q在PR的垂直平分线上．
A
R P B Q C
1.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂 直平分线MN交AC于D,则 1= 60o , A 2= 45o .
30o
M
D
30o
BB=120º ，AB， AC的垂直平分线分别交BC于点E、F， 则∠EAF等于（ ） A．40º B．50º C．60º D．80º
B
D
E
C
课堂练习
练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？ 解：∵ AD⊥BC，BD =DC， A ∴ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC． ∵ 点C 在AE 的垂直平分线上， ∴ AC =CE． D C ∴ AB =AC =CE．B ∵ AB =CE，BD =DC， ∴ AB +BD =CD +CE． 即 AB +BD =DE ．
当点P不在线段AB上时
P
当点P在线段AB上时
A
C
B
M P
A
N
B
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （到一条线段两个端点的 距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上）

线段的垂直平分线

线段的垂直平分线

线段的垂直平分线知识要点分析1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

2. 三角形三条边的垂直平分线定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

(这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.)3. 尺规作图尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。

能写出尺规作图的步骤作已知线段的垂直平分线已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。

【典型例题】考点一：线段垂直平分线性质定理和判定定理例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点. 求证：PA=PB.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。

这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明：取AB的中点C，过PC作直线.APBC21这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.考点二：尺规作图例3、用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB（如图）. A B求作：线段AB的垂直平分线.现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：P点在AC的垂直平分线上.这就是我们今天学习的又一个定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

例5、边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h(先分析,作出示意图形,再按要求去作图.)考点三：三角形三条边的垂直平分线的性质例6. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的一条中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC.严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是证明者谨记和遵循的原则 一、选择题1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定*2、已知，如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC于点D 、E ，若BD+CE ＝5，则线段DE 的长为 （ ）A. 5 B. 6 C. 7D. 82题图 3题图3、如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A 、AB 、BC 两边高线的交点处B 、AC 、BC 两边中线的交点处C 、AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D 、∠A 、∠B 的平分线交点处 二、填空题4、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB的中垂线，AB=2AC ，BC=18cm ，则BE 的长度为4题图 7题图*5、锐角△ABC 中，∠A=60°，AB ，AC 两边的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数是 __________。

线段垂直平分线

线段垂直平分线

l公路村庄村庄线段垂直平分线知识要点： 一、线段垂直平分线1定义 2画法3性质 线段垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

4证明说明性质定理实质上“三线合一”定理的逆定理。

利用这一定理, 可以直接让线段等, 是让两条线段相等的重要依据。

5表示性质定理:∵P 为线段AB 的垂直平分线上一点, ∴PA = PB 规侓； 中垂线 想等线 6例题例1、如右图，两个盛产水果的村庄A 、B 位于公路的同侧，交通条件极为方便，他们想因地地制宜，在公路旁建一个现代化的食品加工厂，使它到两个村庄的距离相等，请画出符合条件的食品加工厂的位置。

练习；有特大城市A 及两个小城市B 、C ，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B 、C 两城市的距离相等，且使A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。

例。

(1)在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A ＝40°，求∠NMB 的大小； (2)如果将(1)中的∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小．(3)你发现了什么样的规律?试证明之；(4)将(1)中的∠A 改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改． 等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半．练习；已知：如图，DE 是△ABC 的AB 边的垂直平分线，分别交AB 、BC 于D 、E ，AE 平分∠BAC ，若∠B=300，求∠C 的度数。

例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.BAED11AB CDE图变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=？变式2：如图3，在Rt △ABC中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。

垂直平分线定义性质及判定

垂直平分线定义性质及判定
线段两个端点的距离相等．
2、如图; NM是线段AB的中垂线
下列说法正确的有：①②③&
①AB⊥MN,②AD=DB， ③
MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是
A
MN的垂直平分线
A
D
C
M
D
B
N
如图;若AC=12，BC=7，AB的垂直平分
线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长
A
& 解： ∵ED是线段AB的垂直平分线
在何处？你的方案是什么?
B
P30：7题
L
高速公路
7、如图;已知∠AOB和定点P、Q，求作：点M，使 PM=MQ，且点M到∠AOB两边的距离相等&
思考：生活中的数学
某区政府为了方便居民的生 活;计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等&
l是AB的垂直平分线;观察P1A和
P3
P1B，P2A和P2B，P3A和P3B之
P2
间的关系？
P1
A
B
l
求证：
线段垂直平分l 线上的点到这条线段两端的距离相等
P
A C
能不能写出已知求证并 B 证明呢？
已知：直线m是线段AB的垂直平分线;
P为直线m上的任意一点；
m
P
求证：PA=PB.
证明：通过证明两个三角形全等．
与一条线段两个端点距离相 等的点;在这条线段的垂直平分 线上&
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等（性质
点到线段两个 端点距离相等
PA=PB
P 与一条线段两个端点距离相 等的点;在这条线段的垂直平 分线上（判定

13.1.2 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定

13.1.2 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定

B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多
少个到线段AB 两端点距离相等的点？
这些点能组成什么几何图形？ 与A，B 的距离相等的点
都在直线l上，所以直线l 可 以看成与A、B两点 的距离 相等的一条直 应用格式： ∵ AB =AC，MB =MC， 线是线段的垂直
PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． A ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
C
B
知识要点
线段垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． P
应用格式：
∵
∴
PA =PB，
点P 在AB 的垂直平分线上． A
平分线的方法.
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直
平分线．
A
M B
D
C
例5 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，
EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线. 证明： ∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB, ∴DE=CE. 又∵OE=OE， ∴Rt△OED≌Rt△OEC. ∴DO=CO. ∴ OE是CD的垂直平分线. O C D B E
DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝ ∠AFD=90°. B
E
D
F C
又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，
∴AE＝AF，DE＝DF. ∴A、D均在线段EF的垂直平分线 上，即直线AD垂直平分线段EF.
拓展提升： 7.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂

第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定

第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的
距离相等. 思路分析：图中有两个直角三角形，△APC
和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可得
PA=PB.
写出已知，求 证.
已知：MN ⊥AB，垂足为点C，
AC=BC，点P是直线MN上任意一点.
求证：PA=PB.
探究新知
已知：MN ⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P
求证：P点在AB的垂直平分线上.
证法三 过P作∠APB的平分线.
在△APC和△BPC中
｛PA=PB ∠1= ∠2 △APC≌△BPC （SAS）
∴ AC=BC, ∠PCA=∠PCB (全等三角形对应边相等，
对应角相等）
又∵∠PCA+∠PCB=180° ∴ ∠PCA=∠PCB =90° ∴P点在AB的垂直平分线上.
小结： 线段垂直平分线上的点与
这条线段两个端点的距离相等.
探究新知
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 距离相等.
思考：上述问题用数学语言可以如何表示？
如右图，设直线MN是线段AB的 垂直平分线，点C是垂足，点P是直 线MN上任意一点，连接PA，PB，我 们要证明的是PA=PB.
如何证明呢？
探究新知
已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法演示：（超链接）
探究新知
思考:为什么直线CF 就是所求作的垂线？
证明：∵ CD=CE，DF=EF
∴C，F都在AB的垂直平分线上
（线段垂直平分线的判定）
∴CF就是线段AB的垂直平分线
（两点确定一条直线）
思考：我们除了用刻度尺找 线段的中点外，还有其他的 方法吗？
求证：P点在AB的垂直平分线上. 证法一 过点P作已知线段AB的垂线PC.

线段垂直平分线性质和判定的应用

线段垂直平分线性质和判定的应用

∵P是线段AB垂直平分线上的点， ∴PA=PB
依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
学练互助一 1
1.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有AB垂 直平分CD,请说出证明过程. 2.如图所示，CD是AB的垂直平分线，若 AC=1.6cm，BD=2.3cm，则四边形ABCD的周 长是多少?
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分 线上。
三、关系：互逆
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
与一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上
一、线段垂直平分线的性质:
证明: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 数学表达： ∵直线MN⊥AB于C，AC=CB，点P在MN上 ∴PA=PB 也可以说： ∵直线MN垂直平分AB，点P在MN上 ∴PA=PB 还可以说： A C N B P M
烟威 高 速 公 路
线段的垂直平分线
实际问题
2、如图，在直线L上求 作一点P，使PA=PB.
A
数学化
实 际 问 题
2
B
L
p
PA=PB
数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务
达标测试A:
如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的 垂直平分线交AB于点D,交AC于点 E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
ADຫໍສະໝຸດ EBC 小结：
这节课你有什么收获？ 与你的同学进行交流。
再 见
线段垂直平分线性质 与判定的应用
学习 目标：
1、掌握线段垂直平分线的性质 以及判定的简单应用。 2、了解数学和生活的紧密联系， 培养用数学的能力。 3、培养学生步步有据的推理意 识。

16线段的垂直平分线性质及判定

16线段的垂直平分线性质及判定

一、课题名称线段的垂直平分线性质及判定 二、学习目标1、掌握角线段的垂直平分线的性质及判定定理；2、能利用线段的垂直平分线的性质及判定解决问题。

三、教学过程 1、“顾”——知识回顾。

1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.m图1DABCm图2DABCj ik图3O B CA2、“析”——例题辨析。

13.5.2线段垂直平分线的性质和判定

13.5.2线段垂直平分线的性质和判定
P
A N
C
B
试一试：
如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易 的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保 持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
A
O
P
B
基础闯关
1、如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上 的一点,如果EC=7cm,那么ED= 7 cm;如果 0. ∠ECD=600,那么∠EDC= 60
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
二、线段垂直平分线的判定性质:
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三、关系：互逆
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
与一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上
C
二、线段垂直平分线的判定:
如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”， “箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木 棒垂直呢？为什么？
A
答：当PA=PB时，射出的箭 的方向与木棒垂直
O
P
与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。
B
二、线段垂直平分线的判定:
线段垂直平分线的性质和判定
垂直平分线:
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段 的垂直平分线。
图形轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 对应点所连线段的垂直平分线。 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

2、线段垂直平分线的性质与判定

2、线段垂直平分线的性质与判定
(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ）. ∴PA=PB(？ ) 同理 PB=PC.
A
M
M’ P
你能依据例1得到什么结论？ 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点， 这一点到三角形三个顶点的距离相等。
B C ∴PA=PC. N 到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) ∴点P在AC的垂直平分线上(; N’ ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点 P.
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
任何图形都是有点组成的。因 三、 此我们可以把图形看成点的集 线段的垂直平分线的集合定义： 合。由上述定理和逆定理，线 线段的垂直平分线可以看作是到线 段的垂直平分线可以看作符合 段两上端点距离相等的所有点的集合 什么条件的点组成的图形？
烟威 高 速 公 路
线段的垂直平分线
动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂
足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB； M P
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB P1A=P1B ……
由此你能得出什么规律
命题：线段垂直平分线上的
点到这条线段两个端点的距 离相等。
A C P1 B
N
线段的垂直平分线
A
实际问题2
在烟威高速公路L的同侧，有两个化 工厂A、B，为了便于两厂的工人看病 市政府计划在公路边上修建一所医院， 使得两个工厂的工人都没意见，问医 B 院的院址应选在何处？
烟威 高 速 公 路
线段的垂直平分线
实际问题
2、如图，在直线L上求 作一点P，使PA=PB.

线段垂直平分线的性质和判定课件

线段垂直平分线的性质和判定课件
线段垂直平分线的性质表明，线段垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等。这一性质通过几何证明得到了验证，同时引出了垂直平分线的判定方法，即如果一个点到线段两端点的距离相等，那么这个点必定在线段的垂直平分线上中证明某条线是垂直平分线，或在四边形中利用垂直平分线的性质求解相关问题。通过多个例题的分析与解答，可以深入理解和掌握垂直平分线的性质与判定方法，提高解决几何问题的能力。
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二、重点、难点 1. 重点：线段垂直平分线定理、逆定理. 2. 难点：线段垂直平分线定理、逆定理的正 确理解和应用. 3. 难点的突破方法：利用多媒体手段直观引 入，引导学生自主研究发现规律，加深对定 理的理解。
.
通过演示可以发现，点P,P,到点A的距离与它
们到点B的距离分别相等。由此我们可以得
AB 、 BC 于 D 、 E ， 若 AC=4 ， BC=5 ， 求
△AEC的周长
解：∵DE是△ABC边AB的垂直平分线
∴EB=EA ∴△AEC的周长
=AC+CE+EA
C E
=AC+CE+EB
=AC+BC
B
=4+5 =9
D A
.
2. 已知线段AB （1）若CA=CB，问：过C点的直线是 不是线段AB的垂直平分线？若不是，请找出 反例. （2）若CA=CB，DA=DB，问过C和D两点 的直线是不是线段AB的垂直平分线？为什么？
距离相等的所有点的集合
l
P
∵PA=PB,DA=DB ∴PD⊥AB,AC=CB
A
.
C
B
D
1. 已知：如图，△ABC中，边AB、BC的垂
直平分线相交于点P.
A
求证：PA=PB=PC
证明：∵△ABC中，
边 AB 、 BC 的 垂 直 平 分
P
线
B
C
相交于点P
∴PA=PB，PB=PC
∴PA=PB=PC
.
如图，DE是△ABC边AB的垂直平分线，交
DB
线段AB的垂直平分线 .
小结：
1. 了解轴对称图形中，对应点所连线段被对 称轴垂直平分的性质；
2. 理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段 的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 相等，到线段两端点的距离相等的点在线段 的垂直平分线上的定理；
3. 初步理解线段的垂直平分线的集合定义， 会用线段的垂直平分线定理进行简单的证明
出：
线段垂直平分线上的点与这条l线段两个端
点的距离相等
P
∵PC⊥AB,AC=CB
∴PA=PB
注意：文字叙述题要
A
根据题意画出图形写 出已知求正
.
C
B
已知：PC⊥AB,AC=CB 求证：PA=PB
证明：∵ PC⊥AB
∴ ∠ACP=∠BCP
在△ACP和△BCP中，
AC=CB
∠ACP=∠BCP
PC=PC
A
∴△ACP≌△BCP(SAS)
∴PA=PB .
l P
C
B
反过来，如果PA=PB，那麽点P是否在线段 AB的垂直平分线上呢？
通过探究可以得到：
ห้องสมุดไป่ตู้
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条 l
线段的垂直平分线上。
∵PA=PB
P
∴点P在线段AB的垂直平分线上
A
C
B
.
已知：PA=PB
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
C
.
A
DB
答：（1）过C点的直线不一定是线段
AB的垂直平分线，
反例：如图，CA=CB，但直线CD不是
线段AB的垂直平分线.
（2）过C和D两点的直线是
C
线段AB的垂直平分线。因
为点C、点D到线段AB的两
端点距离相等，它们一定都
在线段AB的垂直平分线上，
由“两点确定一条直线”可
知过C和D两点的直线必是 A
线段垂直平分线的性质和判定
.
一、教学目标 1. 了解轴对称图形中，对应点所连线段被对 称轴垂直平分的性质； 2. 理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段 的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 相等，到线段两端点的距离相等的点在线段 的垂直平分线上的定理； 3. 初步理解线段的垂直平分线的集合定义， 有意识渗透数学的研究方法，渗透集合思想 ，促进学生数学认知的科学建构 4. 从运动变化的角度加深对平面图形的认识 ，发展几何直觉，增进. 对数学的理解。
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证明：作PC⊥AB,垂足为C
l
∴∠ACP=∠BCP= 9 0
在Rt△ACP和Rt△BCP中
PAPB PC PC
A
C
B
∴Rt△ACP≌Rt△BCP（HL)
P
∴AC=BC ∴点P在线段AB的垂直平分线上
.
在线段AB垂直平分线l上的点与A、B距离都
相等；反过来，与两点A 、B的距离相等的
点都在l上,所以直线l可以看成与两点A、B的