线段的垂直平分线的性质和判定精选优秀练习

垂直平分线的性质·练习，AEC=__________ ，则AE=__________ ，∠，交BC 于E，BE=5 垂足为D的垂直平分＝8cm，AB ABC 1、如图1，在△中，BC。

AC=__________的周长等△BCE E AB 于点D，交边AC 于点，线交上作中，∠C ＝90°，用直尺和圆规在AC 6、在△ABC 的长等于18cm于，则AC ）（12cm．C．10cmD 8cmA ．6cm B．的距离相等（保留作图痕迹，不P 到 A 、B 点P，使．写作法和证明）ABCRt△E，90 ，DACB中，2、如图，在CE AC，DE，AB ．下列结论分别为连的中点，）中不一定正确的是（的垂直平AB BAC =120°，△7、如右图，在ABC 中，AB=AC ，BC=12 ，∠ACED⊥BC∥ED BA．．。

边于点N E 分线交BC 边于点，AC 的垂直平分线交BC AE ACE D．C CEBCE A．的周长。

△求AEN (1)－∠D，若∠BAD BC 的垂直平分线交直线°，、△3ABC 中，∠C=90AB 于的度数。

EAN 求∠(2)MD等于°，则∠DAC=22.5 B ）（的形状。

判断△AEN (3)C N B E无法确定67.5 A.37.5 °或°°B.67.5 °D.C.37.5 ABD，交于AC AC ABC △4、如图，在中，的垂直平分线交E BC ，△于D AB+BD+DC= AB+BD+AD=AC=5cm ，，则cm；cm 12的周长是。

ABC △cm；的周长是cm AOB AOB 和8、如图，已知、M内两点AOB 的两边距离相画一点N 使它到P 题4题5的距离相等。

和M 等，且到点N、如图，在5的垂直平分线，C=90中，∠ABC △Rt°，B=15°，∠是DE AB，BE 连接AE 、E ∥BC ，为CD ⊥OB ，垂足为 C ，的中点，、如图，在四边形12 ABCD 中，AD 的中点，、如图，在9 △OAB 中， E 是BC EC ⊥OA ，ED的延长线于点AD D，AC=BD ．求证：是△ABC 的角平分线 .AE 交BC BE ⊥AE ，延长．F；FC=AD 求证：（1）．（2）AB=BC+ADAB ABC BE C=90Rt 、如图，在10△ACB 中，∠°，平分∠，ED 垂直平分的度数？．求∠ A D于．平分∠AD=DC,BD BC>BA ABCD 、如图，在四边形13中，，ABC．作两条辅助线) ( BCD=180 BAD+ 求证：∠∠°，交D的垂直平分线交于AB AB AC=8ABC△、如图，等腰11中，．线段A D的周长。

专题1.4 线段的垂直平分线的判定与性质【九大题型】【北师大版】【题型1 利用线段垂直平分线的性质求长度】 (1)【题型2 利用线段垂直平分线的性质求最值】 (2)【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】 (3)【题型4 利用线段垂直平分线的性质探究角度之间的关系】 (4)【题型5 利用线段垂直平分线的性质证明】 (5)【题型6 线段垂直平分线的判定】 (7)【题型7 尺规作线段垂直平分线】 (8)【题型8 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】 (9)【题型9 线段垂直平分线的实际应用】 (10)【知识点1线段垂直平分线的性质】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【题型1利用线段垂直平分线的性质求长度】【例1】（2023春·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若△ABC的周长是20，AB=4，AC=7，则△AEF的周长为（）A．4B．7C．9D．11【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为．【变式1-2】（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB=5，AC=3，则AE=．【变式1-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为．【题型2利用线段垂直平分线的性质求最值】【例2】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是．【变式2-1】（2023春·江西九江·八年级统考开学考试）如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ）A．28B．18C．10D．7【变式2-2】（2023春·山东济南·八年级统考期中）如图，在△ABC 中，AB =AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若BC =2，△ABC 面积为3，则BM +MD 长度的最小值等于 ．【变式2-3】（2023春·山东青岛·八年级校考期末）如图，在△ABC 中，∠A ＝54°，∠C ＝76°，D 为AB 中点，点P 在AC 上从C 向A 运动；同时，点Q 在BC 上从B 向C 运动，当∠PDQ ＝时，△PDQ 的周长最小．【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】【例3】（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，在△ABC 中，点M ，N 为AC 边上的两点，AM =NM ，BM ⊥AC ，ND ⊥BC 于点D ，且NM =ND ，若∠A =α，则∠C =（ ）A ．32αB ．90°−12αC ．120°−αD ．2α−90°【变式3-1】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．若∠A =60°，∠ACF =48°，则∠ABC 的度数为 ．【变式3-2】（2023春·四川甘孜·八年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠B =32°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，若DE 垂直平分AB ，求∠C 的度数．【变式3-3】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC 中，AI 平分∠BAC ，BI 平分∠ABC ，点O 是AC 、BC 的垂直平分线的交点，连接AO 、BO ，若∠AOB =α，则∠AIB 的大小为（ ）A ．αB ．14α+90°C ．12α+90°D ．180°−12α【题型4 利用线段垂直平分线的性质探究角度、线段之间的关系】【例4】（2023春·福建三明·八年级统考期末）如图，四边形ABCD 是长方形，E 是边CD 的中点，连接AE 并延长交边BC 的延长线于F ，过点E 作AF 的垂线交边BC 于M ，连接AM ．（1）请说明 ΔADE ≌ ΔFCE ；（2）试说明AM = BC + MC ；（3）设S △AEM = S 1，S △ECM = S 2，S △ABM = S 3，试探究S 1，S 2，S 3三者之间的等量关系，并说明理由．【变式4-1】（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）△ABC 的两边AB 、AC 的中垂线交于边BC 上的P 点，则线段PA 和BC 的关系正确的是（ ）A ．PA <12BCB ．PA =12BC C ．PA >12BCD ．PA ≥12BC 【变式4-2】（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）如图，OF 是∠MON 的平分线，点A 在射线OM 上，P ，Q 是直线ON 上的两动点，点Q 在点P 的右侧，且PQ =OA ，作线段OQ 的垂直平分线，分别交直线OF ，ON 于点B ，点C ，连接AB ，P B ．(1)如图1，请指出AB 与PB 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当P ，Q 两点都在射线ON 的反向延长线上时，线段AB ，PB 是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．【变式4-3】（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图1，在直角△ABC 中，∠C=90°，分别作∠CAB 的平分线AP 和AB 的垂直平分线DP ，交点为P ．（1）如图2，若点P 正好落在BC 边上．①求∠B 的度数；②求证：BC=3PC ．（2）如图3，若点C 、P 、D 恰好在一条直线上，线段AD 、PD 、BC 之间的数量关系是否满足AD +PD=BC ？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．【题型5 利用线段垂直平分线的性质证明】【例5】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在四边形ABDC 中，AD 所在直线垂直平分线段BC ，过点C作CF∥BD交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：(1)CB平分∠ECF；(2)∠ACF=∠E．【变式5-1】（2023春·重庆綦江·八年级校联考期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM丄AB与M，DN丄AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．【变式5-2】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E、F在AB上，连接CE，CF，且CF=BF．已知∠A=50°，∠ACE=30°，试证明∠CFE=∠CEF．【变式5-3】（2023春·福建龙岩·八年级校考开学考试）已知（如图），在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连结EF．(1)求证：BG=CF．(2)试判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．【知识点2线段垂直平分线的判定】到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）【题型6线段垂直平分线的判定】【例6】（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．(1)求证：AD垂直平分EF；(2)若AB=3，AC=2，△ABC的面积是4，则DE=．【变式6-1】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图所示，已知AD⊥BC于点D，BD=DC，AB+BD=DE，求证：点C在AE的垂直平分线上．【变式6-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BE 平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F，过点E作EG∥CD，交AB于点G，连接CG．(1)求证：∠A+∠AEG=90°；(2)求证：EC=EG；(3)若CG=4，BE=5，求四边形BCEG的面积．【变式6-3】（2023春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，AD与BC相交于点O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，连接OE，BD，求证；OE垂直平分BD．【题型7尺规作线段垂直平分线】【例7】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，请用尺规作图法在AC上求作一点M，使MC+MB=AC，并连接MB．（保留作图痕迹，不写作法）【变式7-1】（2023春·湖南郴州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．(1)尺规作图：作边AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）；(2)在（1）作出的图形中，求△ABD的周长．【变式7-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳市福田区上步中学校考期中）如图，已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PB=BC，则下列选项正确的（）A．B．C．D．【变式7-3】（2023春·上海闵行·八年级校考期中）如图，点P在∠AOB外，点Q在边OA上，按要求画图，写出作图结论，并填空．(1)过点P分别画PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是E、F．(2)连接PQ，用尺规作线段PQ的垂直平分线MN．(3)过P、Q两点分别作OA、OB的平行线交于点G；若∠AOB=120°，则∠G=______________．【题型8线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】【例8】（2023春·广东河源·八年级校考期中）如图：在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC 边上，且DE⊥DF．(1)猜想：EF BE+CF（填上“<”、“=”或“>”）；(2)证明你的猜想．【变式8-1】（2023春·福建福州·八年级统考期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．(1)求证：∠ACB＝∠ACD；(2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．【变式8-2】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD；④若BF=2EC，则BC=AB．正确的结论序号是（）A．①②B．①②④C．②③④D．①③④【题型9线段垂直平分线的实际应用】【例9】（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）（1）图1是小正方形的边长均为1的方格纸，请你涂出一个图形（所有顶点都在格点上），使其满足如下条件：①图形的面积为7；②图形是轴对称图形．（2）如图2，一条笔直的公路MN同一侧有两个村庄A和B，现准备在公路MN上修一个公共汽车站点P，使站点P到两个村庄A和B的距离相等．请你用尺规作图找出点P的位置，不写作法，保留作图痕迹．【变式9-1】（2023春·河北秦皇岛·八年级校考开学考试）元旦联欢会上，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置。

13.1.2线段的垂直平分线的性质瞄准目标，牢记要点夯实双基，稳中求进线段垂直平分线的性质题型一：线段垂直平分线的性质【例题1】（2019·常熟市第一中学八年级月考）如图，ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，3cmAE=，ABC的周长为17cm，则ADC的周长是__________cm．【答案】11【分析】由DE垂直平分AB可知BD=AD，AB=2AE，从而发现ADC的周长即为BC AC+的长，然后求解即可．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∵BD=AD，AB=2AE，∵ABC的周长为17cm，∵17AB BC AC++=（cm），∵3cmAE=，∵26cmAB AE==，知识点管理归类探究1.线段的轴对称性:线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.2.线段垂直平分线的性质定理文字描述:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；几何语言:∵MN是线段AB的垂直平分线（或MN⊥AB于点D，且AD = BD），∴CA = CB.∵()17611cm BC AC +=-=ADC 的周长为AD DC AC BD DC AC BC AC ++=++=+，∵ADC 的周长是11cm ， 故答案为：11．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，发现ADC 的周长即为BC AC +的长，是解题的关键． 变式训练【变式1-1】（2020·吴江区盛泽第二中学九年级月考）在ABC 中，9BC =，AB 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，若BCE 的周长为17，则AC 的长为___________．【答案】8【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA =EB ，根据∵BCE 的周长等于17，求出AC 的长． 【详解】解：∵DE 是AB 的垂直平分线， ∵EA =EB ，由题意得，BC +CE +BE =17，则BC +CE +AE =17，即BC +AC =17，又BC =9， ∵AC =8， 故答案为：8．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【变式1-2】（2021·扬州市梅岭中学九年级一模）如图，根据图中尺规作图痕迹，计算1∠的度数是（ ）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．68︒【答案】A【分析】根据作图痕迹可知CD 是AB 的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：由尺规作图痕迹，可知：CD 是AB 的垂直平分线， ∵AC =BC ，∵∵1=∵ABC =90°-68°=22°， 故选A ．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质和尺规作图，掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，是解题的关键．【变式1-3】（2021·九年级一模）如图，在ABC 中，34A ∠=︒分别以点A 、C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧分别相交于点M 、N ，直线MN 与AC 相交于点E ．过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，CD 与BE 相交于点F ．若BD CE =，则BFC ∠的度数为（ ）A ．102︒B ．107︒C ．108︒D ．124︒【答案】B【分析】连接DE ，如图，利用基本作图得到AE =CE ，则DE 为斜边AC 的中线，所以DE =AE =CE ，则∵ADE =∵A =34°，接着证明BD =DE ，所以∵DBE =∵DEB =17°，然后利用三角形外角性质计算∵BFC 的度数． 【详解】解：连接DE ，如图，由作法得MN 垂直平分AC ， ∵AE =CE ， ∵CD ∵AB ，∵∵CDB =∵CDE =90°， ∵DE 为斜边AC 的中线， ∵DE =AE =CE ， ∵∵ADE =∵A =34°， ∵BD =CE ， ∵BD =DE ， ∵∵DBE =∵DEB=12∵ADE =17°， ∵∵BFC =∵DBF +∵BDF =17°+90°=107°． 故选：B ． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的性质定理文字描述:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上； 几何语言:∵CA = CB ，∴点C 在线段AB 的垂直平分线上.题型二：线段垂直平分线的判定【例题2】（2020·吴江区青云实验中学八年级月考）如图，DE=DF ，,DE AB DF AC ⊥⊥，垂足分别是,E F 连接,EF EF 与AD 相交于点G ．（1）求证：AD 是EF 的垂直平分线；（2）若3,5,2AB AC ED ===，求ABC 的面积． 【答案】（1）见解答；（2）8 【分析】（1）先证明Rt ∵ADE ∵Rt ∵ADF 得到AE =AF ，然后根据线段垂直平分线的判定定理得到结论； （2）先得到DF =DE =2，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：（1）证明：∵DE ∵AB ，DF ∵AC ， ∵AD =AD ，DE =DF ， ∵Rt ∵ADE ∵Rt ∵ADF （HL ）， ∵AE =AF ，∵AD 是EF 的垂直平分线； （2）∵DF =DE =2， ∵S ∵ABC =S ∵ABD +S ∵ACD =12×2×3+12×2×5 =8． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学定理证明三角形全等． 变式训练【变式2-1】（2020·吴江经济开发区实验初级中学八年级月考）三角形纸片ABC 上有一点P ，量得3cm PA =，3cm PB =，则点P 一定（ ）A ．是边AB 的中点 B ．在边AB 的中线上C ．在边AB 的高上D ．在边AB 的垂直平分线上【答案】D【分析】已知条件知道线段相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆定理可知点P 一定在边AB 的垂直平分线上． 【详解】解：∵PA ＝3cm ，PB ＝3cm ∵点P 一定在边AB 的垂直平分线上． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的逆定理；熟练掌握该知识是解答本题的关键．【变式2-2】（2020·南京市溧水区和凤初级中学八年级月考）已知：如图，AB ＝AC ，点D ，E 分别在AC ，AB 上，AD ＝AE ，BE ，CD 相交于点O ． 求证：点O 在线段BC 的垂直平分线上．【答案】详见解析 【分析】由SAS 得出∵ADB∵∵AEC ，得出∵ABD=∵ACE ，再根据AAS 证明∵BOE∵∵COD ，得出OB=OC ，由等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：在∵ADB 和∵AEC 中，AD AE A A AB AC ⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩∵∵ADB ∵∵AEC （SAS ）， ∵∵ABD ＝∵ACE ． ∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∵BE ＝CD ．在∵BOE 与∵COD 中，BOE COD BE CDOBE OCD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∵∵BOE ∵∵COD （AAS ）， ∵OB ＝OC ，∵点O 在线段BC 的垂直平分线上．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定．通过证明三角形全等得出OB=OC 是解题的关键．【变式2-3】（2019·盐城市·八年级期中）如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且AD ＝AE ，BE 、CD 交于点O ，求证：AO 垂直平分BC ．【分析】由SAS 得出∵ADC∵∵AEB ，得出∵ACD=∵ABE ，再根据AAS 证明∵BOD∵∵COE ，得出OB=OC ，由线段垂直平分线的判定得出结论． 【详解】证明：在∵ADC 和∵AEB 中，AD AE A A AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵ADC ∵∵AEB （SAS ）， ∵∵ACD ＝∵ABE ． ∵AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∵BD ＝CE ．在∵BOD 与∵COE 中，00BD CE BOD COE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵BOD ∵∵COE （AAS ）， ∵OB ＝OC ，∵点O 在线段BC 的垂直平分线上．同理AB ＝AC ，点A 在线段BC 的垂直平分线上 ∵AO 垂直平分BC ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定．通过证明两套三角形全等得出OB=OC 是解题的关键．线段垂直平分线的画法题型三：画线段垂直平分线【例题3】（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级月考）如图，在钝角ABC 中，90BAC ∠>︒．（1）作AC 的垂直平分线，与边BC ，AC 分别交于点D 、E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，过点B 作BH AC ⊥交CA 的延长线于点H ，连接AD ，求证ADE HBC ∠=∠． 【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）利用尺规作图法作AC 的垂直平分线即可；（2）在（1）的条件下，画出∵ABC的AC边上的高BH即可，进而可以写出∵ADE和∵HBC的大小关系．【详解】解：（1）如图，AC的垂直平分线DE即为所求；（2）在（1）的条件下，AC边上的高BH即为所求．∵ADE和∵HBC的大小关系为：相等．理由如下：∵DE是AC的垂直平分线，∵DA＝DC，AE＝EC，又∵DE＝DE，∵∵ADE∵∵CDE（SSS），∵∵ADE＝∵CDE，∵BH∵AC，DE∵AC，∵DE∵BH，∵∵CDE＝∵HBC，∵∵ADE＝∵HBC．【点睛】本题考查了作图−复杂作图、线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．变式训练【变式3-1】（2020·江阴市长寿中学八年级月考）如图，已知∵ABC（AC＜AB），用尺规在AB上确定一点P，使PB＋PC＝AB，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用PB+PC=AB，PB+PA=AB，得到PC=PA，根据线段垂直平分线的判定定理，得到点P在线段AC的垂直平分线上，由此可知选项C符合题意．【详解】解：∵点P在AB上，∵PB+PA=AB，又∵PB+PC=AB，∵PC=PA，∵点P在线段AC的垂直平分线上，且线段AC的垂直平分线交AB于点P．∵选项C符合要求，故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，结合几何图形的基本性质把AB拆成PA与PB之和进而得到PC=PA是解决本题的关键．【变式3-2】（2020·连云港市·八年级期中）题目：用直尺和圆规过直线l外一点P做直线l的垂线．作法：（1）在直线l上任取两点A、B；（2）以点A为圆心，AP的长为半径画弧，以点B为圆心，BP的长为半径画弧，两弧相交于Q，如图所示；（3）作直线PQ则直线PQ就是直线l的垂线．请你对这种作法加以证明．【分析】根据线段的垂直平分线的判定证明即可．【详解】由作法得AP＝AQ，BP＝BQ，∵点A 在PQ 的垂直平分线上．点B 在PQ 的垂直平分线上，∵直线AB 垂直平分PQ，∵直线PQ 就是直线l 的垂线．【点睛】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式3-3】（2021·山西吕梁市·九年级二模）如图，在Rt∵ABC中，∵C=90°，AC＜BC．（1）动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．∵作出AB 的垂直平分线MN ，MN 分别与AB 交于点D ，与BC 交于点E ．∵过点B 作BF 垂直于AE ，垂足为F ．（2）推理证明：求证AC =BF ．【答案】（1）∵见解析；∵见解析；（2）见解析【分析】（1）∵根据垂直平分线的作法得出即可；∵延长AE ，再根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法得出即可；（2）根据垂直平分线的性质得到AE =BE ，再加上90BFE ACE ∠=∠=︒，BEF AEC ∠=∠，证得：BEF AEC △≌△，根据全等的性质得AC BF =．【详解】（1）∵∵：如图直线MN ，BF 就是所要求的作的图形．（2）证明：∵MN 垂直平分AB ，∵AE =BE ．∵BF ∵AE ，垂足为F ，∵90BFE ACE ∠=∠=︒．∵BEF AEC ∠=∠，∵BEF AEC △≌△．∵AC =BF ．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的作法、过直线外一点作已知直线的垂线的作法、垂直平分线性质以及全等三角形的应用，根据已知得出AE 与BE 的关系是解题关键．【变式3-4】（2021·贵州贵阳市·）如图，已知线段6AB =，利用尺规作AB 的垂直平分线，步骤如下：∵分别以点,A B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．∵作直线CD．直线CD就是线段AB 的垂直平分线．则b的长可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】利用基本作图得到b＞12AB，从而可对各选项进行判断．【详解】解：根据题意得：b＞12 AB，即b＞3，故选：D．【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．题型四：线段垂直平分线的实际应用【例题4】（2020·扬州市·八年级月考）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．∵ABC三边的垂直平分线的交点B．∵ABC的三条中线的交点C．∵ABC三条角平分线的交点D．∵ABC三条高所在直线的交点【答案】A【分析】由于凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，所以根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可知是∵ABC三条边垂直平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∵凉亭选择∵ABC三边的垂直平分线的交点．故选：A．【点睛】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．变式训练A B C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置【变式4-1】（2020··八年级月考）在联欢晚会上，有、、上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在ABC的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点【答案】D【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．故选：D．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．【变式4-2】（2020·常州市第二十四中学八年级期中）如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．∵A、∵B两内角的平分线的交点处B．AC、AB两边高线的交点处C．AC、AB两边中线的交点处D．AC、AB两边垂直平分线的交点处【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．【变式4-3】（2020·昆山高新区汉浦中学八年级月考）在元旦联欢会上，三个小朋友分别站在三角形的三个顶点的位置上，他们玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁就获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．【详解】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，∵为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，故选：D．【点睛】本题主要考查游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，并熟练掌握三角形内心、外心、垂心和重心的性质．【变式4-4】（2020·磴口县诚仁中学八年级期中）如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请用尺规作图，将上述两种情况下的自来水厂厂址分别在图（1）（2）中标出，并保留作图痕迹．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）作出AB的垂直平分线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等.（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB 最小.【详解】（1）根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等知，作出AB的垂直平分线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等.（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+BP是最小的.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称的性质和距离之和最短问题，熟悉性质及距离之和最短问题的作法是关键．链接中考【真题1】（2012·无锡市·中考真题）如图，梯形ABCD中，AD∵BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（）A．17B．18C．19D．20【答案】A【解析】梯形和线段垂直平分线的性质．【分析】由CD 的垂直平分线交BC 于E ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，即可得DE=CE ，即可由已知AD=3，AB=5，BC=9求得四边形ABED 的周长为：AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A ．【真题2】（2010·无锡市·中考真题）如图，∵ABC 中，DE 垂直平分AC 交AB 于E ，∵A=30°，∵ACB=80°，则∵BCE=_____ °．【答案】50【分析】根据∵ABC 中DE 垂直平分AC ，可求出AE=CE ，再根据等腰三角形的性质求出∵ACE=∵A=30°，再根据∵ACB=80°即可解答．【详解】∵DE 垂直平分AC ，∵A=30°，∵AE=CE ，∵ACE=∵A=30°，∵∵ACB=80°，∵∵BCE=80°-30°=50°．故答案为：50．【真题3】（2019·泰州市·中考真题）如图，ABC ∆中，90C =∠，4AC =，8BC =．用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）【分析】分别以A ，B 为圆心，大于12AB 为半径画弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 即可．． 【详解】如图直线MN 即为所求．【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【拓展1】（2020·南京市·中考真题）如图，线段AB、BC的垂直平分线1l、2l相交于点O，若1∠=39°，则AOC∠=__________．【答案】78︒【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∵AOC=∵2+∵3=2(∵A+∵C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∵AOG =51︒-∵A，∵COF =51︒-∵C，利用平角的定义得到∵AOG+∵2+∵3+∵COF+∵1=180︒，计算即可求解．【详解】如图，连接BO并延长，满分冲刺∵1l 、2l 分别是线段AB 、BC 的垂直平分线，∵OA=OB ，OB=OC ，∵ODG=∵OEF=90︒，∵∵A=∵ABO ，∵C=∵CBO ，∵∵2=2∵A ，∵3=2∵C ，∵OGD=∵OFE=90︒-39︒=51︒，∵∵AOC=∵2+∵3=2(∵A+∵C)，∵∵OGD=∵A+∵AOG ，∵OFE=∵C+∵COF ，∵∵AOG =51︒-∵A ，∵COF =51︒-∵C ，而∵AOG+∵2+∵3+∵COF+∵1=180︒，∵51︒-∵A+2∵A+2∵C+51︒-∵C+39︒=180︒，∵∵A+∵C=39︒，∵∵AOC=2(∵A+∵C)=78︒，故答案为：78︒．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．【拓展2】（2018·南通市启秀中学八年级期中）如图，在Rt GMN 中，90M P ∠=︒，为MN 的中点 ∵用直尺和圆规在GN 边上求作点Q ，使得GQM PQN ∠=∠(保留作图痕迹，不要求写作法)； ∵在∵的条件下，如果60G ∠=︒，那么Q 是GN 的中点吗？为什么？【答案】∵作图见详解，∵Q是GN的中点，证明见详解.【分析】∵利用尺规进行作图即可，注意要保留作图痕迹.∵证明Q是GN的中点，根据∵的条件大胆猜想综合运用等角和等边转换，从而分析证明.【详解】解：∵∵ 在∵的条件下，如果∵G=60°，那么Q是GN的中点，理由如下：设PP'交GN于点K，∵∵G=60°，∵GMN=90°，∵∵N=90°─60°=30°，∵点P关于GN的对称点是点P'，∵PK∵KN，PK=12P P'，∵∵PKN=90°，又∵∵N=30°，∵PK=12PN，PP'=PN，∵P为MN的中点，∵PM=PN，PP'=PM，∵∵PР'M=∵PMР'，∵∵PK N=90°，∵N=30°，∵∵NРK=90°-30°=60°，又∵∵PP'M+∵PMP’=∵NPK，∵∵PM P'=12×60°=30°，又∵∵N=30°，∵∵PM P'=∵N，QM=QN，∵∵GMN=90°，∵PM P'=30°，∵∵GMQ=90°-30°=60°，又∵∵G=60°，∵∵GMQ=∵G，∵QG=QM，又∵QM=QN，∵QG=QN，Q是GN的中点。

2020—2021八年级下学期专项冲刺卷（北师大版）专项1.5线段垂直平分线的性质与判定姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟满分：120分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，在△ABC中，∠ACD＝20°，∠B＝45°，BC的垂直平分线分别交AB、BC 于点D、E，则∠A的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°【答案】C解：∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴∠BCD=∠B=45°，∵∠ACD=20°，∴∠ACD=65°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACD=180°﹣45°﹣65°=70°，故选：C．2．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于C，∠ABC=∠EDC=74°，∠EBD=118°．则∠AEB=（）A．72°B．74°C．86°D．88°【答案】C连结CE，∵线段AB，DE的垂直平分线交于C，∴CA=CB，CE=CD，∴∠CAB=∠ABC=∠CED=∠EDC=74º，∴∠ACB=∠ECD=32º，∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB=∠BCD，∴△CAE≌△CBD(SAS)，∴∠CEA=∠CDB，∵∠EBD=118°，∴∠BED+∠BDE=180º-∠EBD=62º，∴∠CEB+∠CDB=180º-∠ECD-∠BED-∠BDE=180º-32º-62º=86º，∴∠AEB=∠AEC+∠CEB=∠BDC+∠CEB=86º，故选择：C．3．如图，在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ，若3CE =，则BC 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B ∵AB AC =，36A ∠=︒，∴∠B=∠ACB=72︒,∵DE 垂直平分AC ，∴AE=CE ，∴∠ACE=36A ∠=︒，∴∠BEC=2∠A=72︒，∴∠B=∠BEC ，∴BC=3CE =，故选：B ．4．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 是BC 边的中点，分别以B ．C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC 上方的交点为P ，直线PD 交AC 于点E ，连接BE ，则下列结论：①ED ⊥BC ；②∠A ＝∠EBA ；③EB 平分∠AED ；④EB ＝EC 中，其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B由作法得DE 垂直平分BC ，即ED ⊥BC ，所以①正确；∴EB ＝EC ，所以④正确；∴∠EBC ＝∠C ，∵∠A ＋∠C ＝90°，∠EBA ＋∠EBC ＝90°，∴∠A ＝∠EBA ，所以②正确；∵点D 是BC 边的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ，DE ∥AB ， ∴∠ABE ＝∠BED ，只有当∠A ＝60°时，∠ABE ＝∠AEB ，BE 平分∠AED ，所以③不一定正确．故选：B ．5．如图，等腰ABC 中，10AB AC ==，16BC =，ABD △是等边三角形，点P 是BAC ∠的角平分线上一动点，连接PC 、PD ，则PC PD +的最小值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．16【答案】B 解：如图，连接BP ，∵点P 是∠BAC 的角平分线上一动点，AB=AC ，∴AP 垂直平分BC ，∴CP=BP ，∴PD+PC=PD+PB ，∴当B，P，D在在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，又∵△ABD是等边三角形，AB=BD=10，∴PD+PC的最小值为10，故选：B．6．如图，在ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若5AB=，7AC=，则ABD△的周长为（）A．10B．11C．12D．13【答案】C解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，∴BD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=7∵AB=5，∴ABD△的周长=AB+BD+AD=AB+AC=5+7=12，故选：C．7．如图，在ABC∆中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又BEG∆的周长为16，且1GE=，则AC的长为()A．16B．15C．14D．13【答案】C DE 是AB 边的垂直平分线，EB EA ∴=， FG 是BC 边的垂直平分线，GB GC ∴=，BEG ∆的周长为16，16GB GE EB ∴++=，16AE GE GC ∴++=，16AC GE GE ∴++=，1GE =，16214AC ∴=-=，故选：C ．8．如图，ABC 中，AB 4.5cm =，AC 6.5cm =，BC 的垂直平分线l 与AC 相交于点D ，则ABD 的周长为( )A ．10cmB ．11cmC ．12cmD ．13cm【答案】B 解：∵BC 的垂直平分线l 与AC 相交于点D ，∴DB DC =，∴ABD 的周长()AB AD DB AB AD DC AB AC 4.5 6.511cm =++=++=+=+=．故选：B ．9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，DE 是斜边AB 的垂直平分线，与BC 相交于点D 连接AD ，若AC ＝5，△ACD 的周长为17，则斜边AB 的长为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 【答案】C解：DE 是AB 的垂直平分线，DA DB ∴=，ACD ∆的周长为17，17AC CD AD ∴++=，17AC CD DB AC BC ∴++=+=，5AC =，17512BC ∴=-=，由勾股定理得，13AB =，故选：C ． 10．如图，在△ABC 中，∠BAC =100°，MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，则∠P AQ 的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．80°【答案】A ∵MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC∴BP=PA ，CQ=QA ，∴∠BAP=∠B ，∠CAQ=∠C ，∵180B BAC C ∠+∠+∠=︒又∵∠BAC=100°∴18010080B C ∠+∠=︒-︒=︒∴80BAP CAQ ∠+∠=︒∴1008020PAQ BAC BAP CAQ ∠=∠-∠-∠=︒-︒=︒故选A ．11．如图，在ABC 中，5AB =，7AC =，9BC =，DE 垂直平分BC ，点P 为直线DE 上的任一点，则ABP △的周长的最小值是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】A 解：∵ED 垂直平分BC ，∴B 、C 关于ED 对称，∴当P 和D 重合时，AP+BP 的值最小，最小值等于AC 的长，∵AB=5，AC=7，∴△ABP 周长的最小值是AB+AC=5+7=12．故选：A ．12．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，12cm AB =，10cm BC =，则BCD △的周长为（ ）A ．22cmB ．16cmC ．26cmD ．25cm【答案】A 解：∵DE 垂直平分AC ，∴CD=AD ，又AB=12，BC=10，∴△BCD 的周长为BD+DC+BC=AD+DB+BC=AB+BC=12+10=22，故选：A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．如图，在四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，90D B ∠=∠=︒，点M ，N 分别是CD ，BC 上两个动点，当AMN 的周长最小时，AMN ANM ∠+∠的度数为_________．【答案】100°解：如图，作点A 关于BC 的对称点A′，关于CD 的对称点A″，连接A′A″与BC 、CD 的交点即为所求的点M 、N ，∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°，由轴对称的性质得：A′N= AN ，A″M=AM∴∠A′=∠A′AN ，∠A″=∠A″AM ，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．故答案为：100°14．如图，在ABC 中，AB AC =，120A ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于D ，E ，3BE =，则EC 的长为_____．【答案】6解：连接AE ，∵ AB=AC ，∵A=120︒ ， ∵ ∵B=∵C=()1180120302︒-︒=︒， ∵ED 垂直平分AB ，∵AE=BE ，∵EAD=30︒ ，∵BE=3， ∵DE=1322BE =∵BD ==∵AB=AC=2BD=∵ ∵A=120︒ ，∵ ∵EAC=90︒ ，∵6CE ==，故答案为：6．15．如图，DF 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC ，若110BAC ∠=︒，则DAE =∠__________°．【答案】40︒解：∵在△ABC 中，∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵DF 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC ，∴AD=BD ，AE=CE ，∴∠B=∠BAD ，∠C=∠CAE ，∴∠BAD+∠CAE=70°，∴∠ADE=∠BAC ﹣（∠BAD+∠CAE ）=110°﹣70°=40°，故答案为：40°．16．如图，在ABC 中，点D 是BC 上一动点，BD ，CD 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ，在点D 的运动过程中，EDF ∠与A ∠的大小关系是EDF ∠______A ∠（填“＞”“＝”或“＜”）．【答案】＝解：∵BD 、CD 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点E 、F ，∴EB=ED ，FD=FC ，∴∠EDB=∠B ，∠FDC=∠C ，∴∠EDB+∠FDC=∠B+∠C ，∵∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC ），∠A=180°-（∠B+∠C ），∴∠EDF=∠A ．故答案为：=．17．如图，点P 是AOB ∠外的一点，点M ，N 分别是AOB ∠两边上的点，点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上，点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上．若3PM cm =，4PN cm =， 5.5MN cm =，则线段QR 的长为__．【答案】6.5cm 解：点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上，OA ∴垂直平分PQ ，3QM PM cm ∴==，5.53 2.5()QN MN QM cm ∴=-=-=，点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上，OB ∴垂直平分PR ，4RN PN cm ∴==，2.54 6.5()QR QN RN cm ∴=+=+=．故答案为：6.5cm ．18．如图，在ABC 中，ACB ∠的平分线CD 与BC 的垂直平分线交于点D.连接BD ，若A 65∠=︒，ABD 16∠=︒，则BDC ∠的度数为______.︒【答案】114解：ACB ∠的平分线CD 与BC 的垂直平分线交于点D ，BD CD ∴=，ACD BCD ∠=∠，DBC BCD ACD ∠∠∠∴==，A 65∠=︒，ABD 16∠=︒，ACD BCD DBC 180A ABD 99∠∠∠∠∠∴++=︒--=︒，ACD BCD DBC 33∠∠∠∴===︒，BDC 114∠∴=︒，故答案为114．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB=AC ，点D ，E 分别在边AB 、AC 上，且AD=AE ，连接BE 、CD ，交于点F ．（1）判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A 、F 的直线垂直平分线段BC ．【答案】（1）∠ABE=∠ACD ，理由见解析；（2）见解析．(1)ABE ACD ∠=∠理由：在△ABE 和△ACD 中∵ AB AC A A AD AE ⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩∴△ABE ≌△ACD （SAS ）∴ABE ACD ∠=∠(2) ∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠.又∵ABE ACD ∠=∠，∴ FBC FCB ∠=∠，∴ FB FC =.又∵AB AC =，∴点A 、F 均在线段BC 的垂直平分线上，即直线AF 垂直平分线段BC .20．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，点D 是△ABC 内一点，DB ＝DC ，∠DCB ＝30°，点E 是BD 延长线上一点，AE ＝AB ．（1）直接写出∠ADE 的度数 ；（2）求证：DE ＝AD ＋DC ；（3）作BP 平分∠ABE ，EF ⊥BP ，垂足为F ，（如图2），若EF ＝3，求BP 的长．【答案】（1）60︒；（2）证明见解析；（3）6.解：（1）∵△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=30°，∴∠ABC=∠ACB=18030752，∵DB=DC ，∠DCB=30°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ABC -∠DBC=45°，∵AB=AC ，DB=DC ，∴AD 所在直线垂直平分BC ，∴AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=12∠BAC=15°， ∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°；故答案为：60.︒（2）如图1，在线段DE 上截取DM=AD ，连接AM ，∵∠ADE=60°，DM=AD ，∴△ADM 是等边三角形，∴∠ADB=∠AME=120°∵AE=AB ，∴∠ABD=∠E ，在△ABD 和△AEM 中，ADB AME ABD EAB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△AEM （AAS ），∴BD=ME ，∵BD=CD ，∴CD=ME ，∵DE=DM+ME ，∴DE=AD+CD ；（3）延长EF 交BA 的延长线与点N ，由（2）及图1得△ABD≌△AEM，△ADM是等边三角形，1560MAE BAD DAM∠=∠=︒∠=︒，，90BAE BAD DAM MAE∴∠=∠+∠+∠=︒，EF⊥BP，90BAE PFE∴∠=∠=︒，,APB FPE∠=∠∴∠ABF=∠NEA，又AB=AE，∴Rt△ANE≌Rt△APB（AAS），∴BP=EN，∵BF既是△BEN的角平分线又是高，,N BEN∴∠=∠∴BF是△BEN的中线，即：1,2EF EN=3EF=，6.BP EN∴==21．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB（1）若∠ABC=65°，则∠NMA的度数为（2）若AB=10cm，△MBC的周长是18cm①求BC的长度②若点P为直线MN上一点，则△PBC周长的最小值为cm【答案】（1）40°；（2）①8cm；②18解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C∵∠ABC=65°，∴∠C=65°，∴∠A=50°，∵MN是AB的垂直平分线，∴∠ANM＝90°，∴∠NMA=90°-50°=40°；（2）∠∠MN是线段AB的垂直平分线，∠AM=MB．∠∠MBC的周长是18cm ，AB=10cm，∠BM+MC+BC=AM+MC+BC=AC+BC=AB+BC=18cm ，∠BC=18-AB=18-10=8cm；②∵MN是线段AB的垂直平分线，∴点A和点B关于直线MN对称，∴当点P与点M重合时，∠PBC周长的值最小，∴∠PBC的周长的最小值为18cm．22．如图，在ABC中，边AB的垂直平分线1l交BC于点D，边AC的垂直平分线2l交BC 于点E，1l与2l相交于点O，连接AD，AE，ADE的周长为12cm．（1）求BC 的长；（2）分别连接OA ，OB ，OC ，若OA 的长为8cm ，求OBC 的周长．【答案】（1）12cm ；（2）28cm ．解：（1）∵1l 垂直平分AB ，∴DB DA =，同理EA EC =．∠ADE 的周长为12cm ，∴12DA DE EA cm ++=，∴12BC BD DE EC DA DE EA cm =++=++=，即BC 的长为12cm ．（2）如图，连接OA ，OB ，OC ．∵1l 垂直平分AB ，∴OB OA =，同理OA OC =．∵OA 的长为8cm ，8OA OB OC cm ===．由（1）可知，12BC cm =，∴OBC 的周长为()881228OB OC BC cm ++=++=．23．如图，在ABC 中，60B ∠=︒，22.5C ∠=︒，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，CD =，AE BC ⊥ 于点E ，求BE 的长．连接AD ，∵AC 的垂直平分线交BC 于点D ，∴DA=CD =，∴∠DAC=22.5C ∠=︒，∴∠ADE=45°，∵AE BC ⊥ 于点E ，∴∆ADE 是等腰直角三角形，∴AE=DA ，在直角∆ABE 中，60B ∠=︒，∴∠BAE=30°，∴设BE=x ，则AB=2x ，∴，=3，解得：∴24．如图，△ABC 中，BC 的垂直平分线DE 分别交AB 、BC 于点D 、E ，且BD 2﹣DA 2＝AC 2．（1）求证：∠A ＝90°；（2）若AB ＝8，AD ：BD ＝3：5，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）4（1）证明：连接CD ，∵BC 的垂直平分线DE 分别交AB 、BC 于点D 、E ，∴CD ＝DB ，∵BD 2﹣DA 2＝AC 2，∴CD 2﹣DA 2＝AC 2，∴CD 2＝AD 2+AC 2，∴△ACD 是直角三角形，且∠A ＝90°；（2）解：∵AB ＝8，AD ：BD ＝3：5，∴AD ＝3，BD ＝5，∴CD ＝BD ＝5，∴在Rt ACD △中，4AC ==．。

备战中考数学专题练习-线段垂直平分线的性质（含解析）一、单选题1.如果一个三角形的两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定2.如图，在△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法错误的是（ ）A. ∠BAD=∠CADB. 点D到AB边的距离就等于线段CD的长C. S△ABD=S△ACDD. AD垂直平分MN3.如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDEF，点P沿直线AB从右向左移动，当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线AB 上会发出警报的点P有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个4.如图，用尺规法作∠DEC=∠BAC，作图痕迹的正确画法是（）A.以点E为圆心，线段AP为半径的弧B.以点E为圆心，线段QP为半径的弧C.以点G为圆心，线段AP为半径的弧D.以点G为圆心，线段QP为半径的弧5.数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（）A. B. C. D.6.如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB．①作射线OC．②在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．③分别以D、E为圆心，以大于二分之一DE长为半径，在∠AOB内作弧，两弧交于点C．作法合理的顺序是（ ）A. ①②③B. ②①③C. ③②①D.②③①7.如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC=6，AD=4，则BD等于（ ）A. 1.5B. 2C. 2.5D. 38.如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，如果边BC长为8cm，则△ADE的周长为（ ）A. 16cmB. 8cmC. 4cmD. 不能确定二、填空题9.如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC=________°．10.数学活动课上，同学们围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”其中一位同学作出了如图所示的图形．你认为他的作法的理由有________．11.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若BC=4cm，则△AEG的周长是________ cm．12.已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=________．13.如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．14.已知：∠AOB，求作∠AOB的平分线；如图所示，填写作法：①________．②________．③________．15.在△ABC中，BC=12cm，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，且DE=4cm，则AD+AE=________cm．16.已知CD垂直平分AB，若AC=4cm，AD=5cm，则四边形ADBC的周长是________ cm．17.在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为________ ．三、解答题18.如图，已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点F，求∠A的度数．19.如图，△ABC中，∠C=60°，AB的垂直平分线交BC于点D，DE=6，BD=6 ，AE⊥BC于E，求EC的长．四、综合题20.如图，点M在∠AOB的边OB上．（1）过点M画线段MC⊥AO，垂足是C；（2）过点C作∠ACF=∠O．（尺规作图，保留作图痕迹）答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：如图，CA、CB的中点分别为D、E，CA、CB的垂直平分线OD、OE 相交于点O，且点O落在AB边上，连接CO，∵OD是AC的垂直平分线，∴OC=OA，同理OC=OB，∴OA=OB=OC，∴A、B、C都落在以O为圆心，以AB为直径的圆周上，∴C是直角．故选C．【分析】根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质解答．2.【答案】C【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解：根据题意可得AD平分∠CAB，∵AD平分∠CAB，∴∠BAD=∠CAD，故A说法正确；∵AD平分∠CAB，∴点D到AB边的距离就等于线段CD的长，故B说法正确；∵点D到AB边的距离就等于线段CD的长，AB＞AC，∴S△ABD＞S△ACD，故C说法错误；在△AMO和△ANO中，，∴△AMO≌△ANO（SAS），∴MO=NO，∠MOA=∠NOA，∵∠MOA+∠NOA=180°，∴∠MOA=90°，∴AO⊥MN，∴AD垂直平分MN，故D说法正确．故选：C．【分析】根据作图方法可得AD平分∠CAB，由角平分线的定义和性质可得A、B说法正确，根据三角形的面积公式可得C错误，根据题目所给条件可证明△AMO≌△ANO，进而可得MO=NO，∠MOA=∠NOA，从而证得D选项说法正确．3.【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【分析】先根据正六边形的特点，判断出此六边形中相互平行的边及对角线，再根据线段垂直平分线的性质确定不同的点即可．【解答】如图，分别以一顶点为定点，连接其与另一顶点的连线，在此图形中根据平行线分线段成比例定理可知，CD∥BE∥AF，ED∥FC∥AB，EF∥AD∥BC，EC∥FB，AE∥BD，AC∥FD，根据垂直平分线的性质及正六边形的性质可知，相互平行的一组线段的垂直平分线相等，在这五组平行线段中，AE、BD与AB垂直，其中垂线必与AB平行，故无交点．故直线AB上会发出警报的点P有：CD、ED、EF、EC、AC的垂直平分线与直线AB的交点，共五个．故答案为C．4.【答案】D【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解：先以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点Q，P；再以点E为圆心，AQ的长为半径画弧，交AC于点G，再以点G为圆心，PQ的长为半径画弧．故答案为：D．【分析】根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．5.【答案】A【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解：根据分析可知，选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q；选项A不能够得到PQ⊥l于点Q．故选：A．【分析】A、根据作法无法判定PQ⊥l；B、以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧，交直线l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；C、根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断．6.【答案】D【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解：角平分线的作法是：在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C；作射线OC．故其顺序为②③①．故选：D．【分析】根据角平分线的作法进行解答．　7.【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AC，∴DC=DA=4，∴BD=BC﹣DC=2，故选：B．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DA=4，计算即可．8.【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵DF是AB的垂直平分线，∴AD=BD，同理AE=EC，∴△ADE的周长是AD+AE+ED=BD+CE+DE=BC=8cm，故选B．【分析】根据线段垂直平方根性质得出BD=AD，AE=CE，求出△ADE的周长=BC，代入即可求出答案．二、填空题9.【答案】8【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：连接OA，∵∠BAC=82°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣82°=98°，∵AB、AC的垂直平分线交于点O，∴OB=OA，OC=OA，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∴∠OBC+∠OCB=100°﹣（OBA+∠OCA）=16°，∴∠OBC=8°，故答案为：8．【分析】连接OA，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，根据三角形内角和定理计算即可．10.【答案】到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解：他的作法的理由有到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．故答案为到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【分析】把过一点作已知直线的垂线转化为作已知线段的垂直平分线．11.【答案】4【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：因为AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，所以AE=BE，因为AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，所以AG=GC，△AEG的周长为AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC=4cm．故填4．【分析】要求周长，首先要求线段的长，利用垂直平分线的性质计算．12.【答案】6【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，∴PB=PA=6．故答案为：6．【分析】直接根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．13.【答案】13【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案为：13．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．14.【答案】以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N；别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；画射线OC，射线OC即为所求【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解：①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N．②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．③画射线OC，射线OC即为所求．15.【答案】8或16【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+AE=BD+CE，∵BC=12cm，DE=4cm，∴如图1，AD+AE=BD+CE=BC﹣DE=12﹣4=8cm，如图2，AD+AE=BD+CE=BC+DE=12+4=16cm，综上所述，AD+AE=8cm或16cm．故答案为：8或16．【分析】作出图形，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，AE=CE，然后分两种情况讨论求解．16.【答案】18【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵CD垂直平分AB，若AC=4cm，AD=5cm，∴AC=BC=4cm，AD=BD=5cm，∴四边形ADBC的周长为AD+AC+BD+BC=18cm．故填空答案：18．【分析】由于CD垂直平分AB，所以AC=BC，AD=BD，而AC=4cm，AD=5cm，由此即可求出四边形ADBC的周长．17.【答案】105°【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，∴CD=BD，∵∠B=25°，∴∠DCB=∠B=25°，∴∠ADC=50°，∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，∴∠ACD=80°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°，故答案为：105°．【分析】首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．三、解答题18.【答案】解：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=①，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴∠A=∠ABE，∵CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点可知△BCE是等腰三角形，∴BF是∠EBC的平分线，∴（∠ABC﹣∠A）+∠C=90°，即（∠C﹣∠A）+∠C=90°②，①②联立得，∠A=36°．故∠A=36°．【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，再由垂直平分线的性质得出∠A=∠ABE，根据CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点可知△BCE是等腰三角形，故BF是∠EBC的平分线，故（∠ABC﹣∠A）+∠C=90°，把所得等式联立即可求出∠A的度数．19.【答案】解：连接AD，∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴BD=AD，∵DE=6，BD=6 ，∴AD=6 ，∴∠ADE=45°，∴∠B=22.5°，∵∠C=60°，∴∠BAC=97.5°，∵∠ADE=∠B+∠DAB=45°，AE⊥BC，∴DE=AE=6，∵∠C=60°，∴∠CAE=90°﹣60°=30°，∴AC=2CE，在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2，即4CE2=62+CE2，∴CE2=12，解得EC=2 ．【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【分析】首先作出辅助线连接AD，再利用线段垂直平分线的性质计算．四、综合题20.【答案】（1）解：如图，MC为所作（2）解：如图，∠ACF为所作【考点】作图—基本作图【解析】【分析】（1）利用基本作图（过一点作已知直线的垂线）作CM⊥OA于C；（2）利用基本作图（作一个角等于已知角）作∠ACF=∠O．。

1/3垂直平分线（一）的性质·练习1、如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 2、如图，在Rt ABC△中，90ACB D E ∠=，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，．下列结论中不一定正确的是 （ ）A ．ED BC ∥B ．ED AC ⊥C ．ACE BCE ∠=∠D ．AE CE =3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于 （ ）A.37.5°B.67.5°C.37.5°或67.5°D.无法确定4、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。

4题 5题5、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交BC 于E ，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ 。

6、在△ABC 中，∠C ＝90°，用直尺和圆规在AC 上作点P ，使P 到A 、B 的距离相等（保留作图痕迹，不写作法和证明）．7、如右图，在△ABC 中，AB=AC ， BC=12，∠BAC =120°，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ， AC 的垂直平分线交BC 边于点N 。

(1) 求△AEN 的周长。

(2) 求∠EAN 的度数。

(3) 判断△AEN 的形状。

ABCDE MN2/38、如图，已知AOB ∠和AOB ∠内两点M 、N 画一点P 使它到AOB ∠的两边距离相等，且到点M 和N 的距离相等。

13.1.2线段垂直平分线的性质和判定夯实基础篇一、单选题：1．如图，△AB C中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC 的周长是（）A．8B．10C．12D．14【答案】B【知识点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】设边AB的垂直平分线交AB于点E，∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.故答案为：B.【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键.2．如图，在△AB C中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠AC B．若BE=2，则AE的长为（）AB．1C D．2【答案】B【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵在△AB C中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，∴BE=CE=2，∴∠B=∠DCE=30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，∴AE=12CE=1．故选B．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=12CE=1．3．如图所示，在△AB C中，∠ACB=90°，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连结CD，BE.下列结论中，错误的是()A．AD=CD B．BE>CDC．∠BEC=∠BDC D．BE平分∠CBD【答案】D【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：由作图可得，DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，AD=BD，∴点D为AB的中点.∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD为Rt△ABC的边AB上的中线，∴CD=AD=BD，故A选项正确；∵DE⊥AB，∴Rt△ADE中，AE＞A D.∵AE＞AD。

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理习题精选（二）1．下列作图语句正确的是（）。

A．过点P作直线AB的中垂线B．过点P作直线AB的垂线C．延长直线AB交直线CD于点MD．过直线a、直线b外一点P作直线MN，使NM∥a∥b2．若点在线段的垂直平分线上，则该点到__________；若有两点到线段两端点的距离分别相等，则这两点的连线为__________。

3．如图24-65，△ABC中，∠B＝115°，AC边的中垂线DE与边AB交于点D，且∠ACD︰BCD＝5︰3，则∠ACB＝__________。

4．下列说法：①若直线PE是线段AB的中垂线，则EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA＝PB，则P点必是线段AB中垂线上的点；④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB。

其中正确的个数有（）。

A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（）。

A．与AB距离相等的点在MN上B．与点A和点B距离相等的点在MN上C．与MN距离相等的点在AB上D．AB垂直平分MN6．已知点D在△ABC的边AB的垂直平分线上，且AD＋DC＝AC，若AC＝5cm,BC ＝4cm则△BＤC的周长为（）。

A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm7．如图24-66，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则（）。

A．l垂直ABB．l平分ABC．l垂直平分ABD．不能确定l与AB的关系8．如图24-67在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC交BD于点O。

AC与BD 有怎样的大小关系？为什么？9．如图24-68，在R t△ABC中，过直角边AC上的一点P作直线交AB于点M，交BC的延长线于点N，且∠APM＝∠A。

求证：点M在BN的垂直平分线上。

10．五个同学在一起玩游戏，要求其中一个同学站在其余四个同学的中间，为了使游戏公平，要求站在中间的同学要与其余四个同学的距离相等。