垂直平分线的性质判定

线垂直平分线的判定线垂直平分线是几何学中的一个重要概念，用于描述一个线段被等分成两等分的直线，且这条直线与线段垂直。

在本文中，我们将深入探讨线垂直平分线的定义、性质和判定方法。

我们将从简单的概念入手，逐渐深入探讨该主题的更复杂和有趣的方面。

1. 线垂直平分线的定义线垂直平分线是指一个直线将线段等分，且与线段垂直。

具体而言，对于一个线段AB，如果存在一条直线CD，使得CD将AB分为两等分，并且CD与AB垂直，则CD就是线段AB的垂直平分线。

线垂直平分线的存在可以帮助我们确定线段的中点，并且可以在几何证明中起到重要的作用。

2. 线垂直平分线的性质线垂直平分线具有一些重要的性质，这些性质使得它成为几何学中的一个重要工具：- 线垂直平分线平分线段：线垂直平分线将线段分成两个相等的部分，因此线段的两个端点到线垂直平分线的距离相等。

- 线垂直平分线垂直于线段：线垂直平分线与线段垂直，这意味着线垂直平分线所形成的两个角是直角。

- 线垂直平分线唯一性：对于给定的线段，存在唯一一条垂直平分线。

这是由线垂直平分线的定义所决定的。

如果有两条直线同时满足平分线和垂直线的条件，那么这两条直线将重合。

3. 线垂直平分线的判定方法线垂直平分线的判定方法有多种，我们将介绍两种常见的方法：- 利用垂直线段的性质：如果两条线段长度相等且垂直相交，那么它们的中垂线就是垂直平分线。

- 利用角的平分线的性质：如果两条边相等的角的平分线也相等，则该平分线是垂直平分线。

4. 个人观点和理解线垂直平分线作为几何学中的一个重要概念，对于解决几何问题和证明定理起到至关重要的作用。

它不仅可以帮助我们确定线段的中点，还可以与其他几何概念相结合，拓展我们的几何思维能力。

在解决实际问题时，线垂直平分线的概念也具有一定的应用价值，例如在建筑、地理测量等领域中，它可以帮助我们确保某些结构或地理位置的垂直平均。

深入理解线垂直平分线的概念对于我们的学习和应用都是十分重要的。

线段的垂直平分线知识要点分析1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

2. 三角形三条边的垂直平分线定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

(这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.)3. 尺规作图尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。

能写出尺规作图的步骤作已知线段的垂直平分线已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。

【典型例题】考点一：线段垂直平分线性质定理和判定定理例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点. 求证：PA=PB.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。

这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明：取AB的中点C，过PC作直线.APBC21这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.考点二：尺规作图例3、用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB（如图）. A B求作：线段AB的垂直平分线.现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：P点在AC的垂直平分线上.这就是我们今天学习的又一个定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

例5、边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h(先分析,作出示意图形,再按要求去作图.)考点三：三角形三条边的垂直平分线的性质例6. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的一条中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC.严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是证明者谨记和遵循的原则 一、选择题1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定*2、已知，如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC于点D 、E ，若BD+CE ＝5，则线段DE 的长为 （ ）A. 5 B. 6 C. 7D. 82题图 3题图3、如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A 、AB 、BC 两边高线的交点处B 、AC 、BC 两边中线的交点处C 、AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D 、∠A 、∠B 的平分线交点处 二、填空题4、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB的中垂线，AB=2AC ，BC=18cm ，则BE 的长度为4题图 7题图*5、锐角△ABC 中，∠A=60°，AB ，AC 两边的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数是 __________。

垂直平分线的判定和性质
垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段，垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

判定方法：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。

注意事项：
要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。

在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段，分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。

垂直平分线的定义和性质
一、垂直平分线的定义和性质
1、定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的
直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)。

2、垂直平分线的性质
（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（2）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分
线上。

所以，中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴。

二、垂直平分线例题
到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点。

A.三个内角平分线ㅤㅤ
B. 三边垂直平分线
C. 三条中线ㅤㅤ
D. 三条高
答案：B
解析：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，故选B。

垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 垂直平分线的定义介绍线段垂直平分线的概念，即垂直平分线是线段所在的直线，且垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。

1.2 垂直平分线的性质性质1：线段的垂直平分线垂直于线段所在的直线。

性质2：线段的垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。

性质3：线段的垂直平分线段将线段平分成两个相等的部分。

第二章：垂直平分线的判定2.1 线段垂直平分线的判定条件判定1：如果一条直线垂直于线段所在的直线，并且通过线段的中点，这条直线是线段的垂直平分线。

判定2：如果一条直线上的每一点到线段的两个端点的距离相等，这条直线是线段的垂直平分线。

2.2 垂直平分线的判定方法方法1：使用直角三角形的性质，通过构造直角三角形来判断直线是否为垂直平分线。

方法2：使用尺规作图，通过作图来判断直线是否为垂直平分线。

第三章：垂直平分线与线段的关系3.1 垂直平分线与线段的交点介绍垂直平分线与线段的交点，即垂直平分线与线段相交的点，这个点到线段的两个端点的距离相等。

3.2 垂直平分线与线段的垂直关系介绍垂直平分线与线段的垂直关系，即垂直平分线与线段所在的直线垂直。

3.3 垂直平分线与线段的中点介绍垂直平分线与线段的中点的关系，即垂直平分线通过线段的中点，并且将线段平分成两个相等的部分。

第四章：垂直平分线的应用4.1 垂直平分线在几何作图中的应用介绍垂直平分线在几何作图中的应用，例如利用垂直平分线来作图求解几何问题。

4.2 垂直平分线在证明中的应用介绍垂直平分线在几何证明中的应用，例如利用垂直平分线的性质和判定来证明几何定理。

4.3 垂直平分线在实际问题中的应用介绍垂直平分线在实际问题中的应用，例如利用垂直平分线来解决生活中的问题。

第五章：总结与拓展5.1 垂直平分线的性质与判定的总结对垂直平分线的性质和判定进行总结，加深学生对垂直平分线的理解。

5.2 垂直平分线的拓展与应用介绍垂直平分线的拓展与应用，例如垂直平分线在平面几何中的重要作用，以及与垂直平分线相关的其他几何概念。