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线性代数课程教案学院、部系、所授课教师课程名称线性代数课程学时45学时实验学时教材名称年月日线性代数课程教案授课类型 理论课 授课时间 3 节授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换本授课单元教学目标或要求：1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。
2. 知道n 阶行列式的定义。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法设12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。
先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； ……最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++。
2. n 阶行列式1212111212122212()12(1)n n n n t p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a ==-∑其中12n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列12()n p p p 求和。
n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。
3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用1112112212212122a a D a a a a a a ==-111213212223112233122331132132313233132231122133112332a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++---重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：(1) 和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。
《线性代数》©THZ-PKU主题•数学重要主题:方程+函数•微积分:非线性 线性(一次)•线性代数:一次方程组+一次函数组y i =y i (x 1,⋯,x n )=a i,1x 1+⋯+a i,n x nb i =a i,1x 1+⋯+a i,n x n , i=1,2,…,m线性变换: n 个n 元线性函数组线性方程组一次方程组n 元线性函数可由其中的系数排列成矩阵来表示线性代数的难与易•易:1.简【方程函数千千万，一次最简单】2.少【算法少：1+1】(1)矩阵初等变换，(2)矩阵乘法•难:概念抽象(应用广泛),运算繁琐(大量重复)•代数好算不好懂,几何好懂不好算•攻略：代数几何熔一炉,空间为体,矩阵为用基本任务•始以正合：熟练掌握两个算法(矩阵初等变换，矩阵乘法),包括借助计算机实现算法•终以奇胜：将遇到的问题变成可用算法来计算的形式(建模),用算法解决(a,b)的二元函数极小最小二乘问题未知量(a,b)的二元一次方程组b前面的系数相同第一章线性方程组的解法§1.1 线性方程组的初等变换引例中学数学: 用数学归纳法证明S n=12+22+…+n2 =n(n+1)(2n+1)/6质疑: 1. 怎样想出来?2. 能否如法炮制S n=1k+2k+…+n k?国际歌:•从来就没有救世主, 也不靠神仙皇帝,•要创造人类的幸福, 全靠我们自己.尝试自己创造例1:求S=12+22+…+n2n-S n-1=n2分析:Sn反过来, 若一个函数f(n)满足f(n)-f(n-1)=n2, 则S n =(f(1)-f(0))+(f(2)-f(1))+…+(f(n)-f(n-1))=f(n)-f(0),∴当f(0)=0时, S n =f(n).★当f(n)是多项式时, f(n)-f(n-1)是次数降1的多项式.实施解:(待定系数法) 待定Sn =f(n)=an+bn2+cn3满足n2=f(n)-f(n-1)=a+b(2n-1)+c(3n2-3n+1)=(a+b+c)+(2b-3c)n+3c n2比较等式两边的系数，得线性方程组c=1/3b=1/2a =1/6S n=(1/3)n3+(1/2)n2+(1/6)n如法炮制求:S=14+24+…+n4n=f(n)=a1n+a2n2+a3n3+a4n4+a5n5解:待定Snn4= f(n)-f(n-1)⇔a 1,⋯,a n ,b 为已知给定的数,x 1,⋯,x n 为未知量•n 元一次或线性方程组:m 个n 元一次或线性方程组成•n 元一次方程或n 元线性方程a i,1x 1+⋯+a i,n x n =b i , i=1,2,…,ma 1,1x 1+⋯+a 1,n x n =b 1a 2,1x 1+⋯+a 2,n x n =b 2⋮a m,1x 1+⋯+a m,n x n =b m或a 1x 1+⋯+a n x n =b 如果方程组(1.1.3)中的未知量x 1,⋯,x n 分别替换为n 个已知数c 1,⋯,c n 得到m 个恒等式a i,1c 1+⋯+a i,n c n =b i , i=1,2,…,m, 则称有序数组(c 1,⋯,c n )为(1.1.3)的一个解. (1.1.3)如果(1.1.3)中所有的b i =0,则称其为齐次线性方程组,否则为非齐次线性方程组.齐次线性方程组有零解(称为平凡解)方程组的全体解的集合称为方程组的解集.例A4:齐次方程组x 1+x 2+x 3=0x 1+x 2−x 3=0解: (0,0,0), (1,-1,0), (-1,1,0), (2,-2,0), ….例A1: 非齐次方程组x 1−x 2=−13x 1+x 2=9解: (2,3)例A2:非齐次方程组x 1−x 2=03x 1−3x 2=1无解!线性方程组何时无解?何时有解? 何时有惟一解? 如何求解?三个未知量的线性方程确定一空间平面. 三个平面的交点就是三个方程组成的线性方程组的解.例A3:非齐次方程组x 1−x 2=13x 1−3x 2=3解: (2,1), (1,0), (3,2),…..1.为什么要学习线性方程组2.三角形方程组的解法3. 不是三角方程组怎么办?方法: 保持同解,变成三角形. 线性方程组是最简单也是最重要的一类代数方程组. 大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组，因此线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位.上三角形线性方程组:从上到下每个方程比上一个方程少含一个未知数,即等号左边左下角是空白.插值问题例2. 求曲线y = ax2+bx+c 过(1,1),(2,2),(3,0). 解:尝试用中学的加减消去法a =-3/2, b= 1/2,c=-3因此，曲线方程y =(-3/2)x2+(1/2)x-3§1.1.2(Page 3)方程(3)减方程(2);方程(2)减方程(1);方程(3)减方程(2);基本同解变形1. 两个方程互换位置:2. 某个方程乘非零常数:3. 某个方程的常数倍加到另一方程:•任意方程组U 中各方程分别乘常数再相加得到的新方程称为方程组U 的线性组合•变形前后方程组互为线性组合 它们同解§1.1.2(Page 4)上述三类变形称为线性方程组的初等变换一般的线性方程组的求解化成三角形求解(消元法)U, W 表示方程组作业•习题1.1(Page 7): 3, 4, 5§1.2(Page 7)分离系数法方程组同解变形只是对系数运算(加减乘除):将系数排成矩阵(纵横排列的二维数据表格)代表方程组,进行同样的变形•方程组U的线性组合/初等变换, 相应的是“系数矩阵”的行的线性组合/矩阵的初等行变换.Page 8在数学中，矩阵(Matrix)是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵. 这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出.矩阵是线性代数中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中. 在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵. 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题. 将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算. 对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法. 在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广.a 1,1a 1,2⋯a 1,n a 2,1a 2,2⋯a 2,n ⋮⋮⋱⋮a m,1a m,2⋯a m,nm ×n 矩阵: 由m n 个数排列成的m 行n 列的矩形数表m,n 为正整数a i,j 为第i 行第j 列的元素或第(I,j)元素数表中的每个数称为矩阵的一个元素或分量n 维行向量: 1×n 矩阵a 1,1a 1,2⋯a 1,n a 1,a 2,⋯,a n m 维列向量: m ×1矩阵a 1,1a 2,1⋮a m,1a 1a 2⋮a m m =n 时的矩阵称为m 阶方阵简记为简记为零矩阵:a i,j =0, 1≤i ≤m,1≤j ≤n零向量a i =0, ∀i•PageRank，网页排名，又称网页级别、Google左侧排名或佩奇排名，是一种由搜索引擎根据网页之间相互的超链接计算的技术，而作为网页排名的要素之一，以Google公司创办人拉里·佩奇(Larry Page)之姓来命名. Google用它来体现网页的相关性和重要性，在搜索引擎优化操作中是经常被用来评估网页优化的成效因素之一. Google的创始人拉里·佩奇和谢尔盖·布林于1998年在斯坦福大学发明了这项技术.•PageRank通过网络浩瀚的超链接关系来确定一个页面的等级.Google把从A页面到B页面的链接解释为A页面给B页面投票，Google根据投票来源(甚至来源的来源，即链接到A页面的页面)和投票目标的等级来决定新的等级。
2006年北京大学研究生入学考试高等代数与解析几何试题解答高等代数部分（100分）1.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上,s n s m ××矩阵，叙述矩阵方程AX B =有解的充要条件，并且给予证明。
解: 方程AX B =有解的充分必要条件是: ()(,)r A r A B =. 令1(,,)m B ββ=", 其中k β为列向量. 则矩阵方程AX B =有解⇔方程组12,,,,k k Ay k m β=="有解. ⇔A 的列向量组构成的向量组与(,)A B 的列向量组构成的向量组等价. ⇔()(,)r A r A B =.注: 方程有解的一个等价含义是可由列向量线性表示, 从而转化为等价向量组上来.(2) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：方程n XA E =是否有解？有解，写出它的解集；无解，说明理由。
解:方程n XA E =有解. 理由: 因为A 列满秩, 所以()()Tr A r A n ==.又(,)Tn r A E n =, 因此()(,)TTn r A r A E =,从而Tn A Y E =有解,两边取转置可知方程n XA E =有解.我个人觉得本题似乎考察的是:广义逆矩阵方面的知识, 如果大家对这部分知识不熟悉, 建议大家去看看丘维声老先生编著的<<高等代数>>.矩阵方程AXA A =的解X A −=一般称为A 的广义逆矩阵. 广义逆是存在的, 对于本题因为A 是列满秩的, 故由相抵标准型知,存在可逆矩阵,P Q 满足n E PAQ O ⎛⎞⎟⎜⎟⎜=⎟⎜⎟⎟⎜⎝⎠, 则可以取(,)n A Q E O P −=. 此时X 的所有解为: (),n sn X A Z E AA KZ −−×∈=+−∀.因为 11(,)n n nE A Q E O PP Q A E O −−−⎛⎞⎟⎜⎟⎜==⎟⎜⎟⎟⎜⎝⎠, 所以A −是矩阵方程n A A E −=的特解. 下面证明XA O =的全部通解为: (),n sn X Z E AA Z K−×∈=−∀.首先, 由()()n Z E AA A Z A A O −−=−=,知()n Z E AA −−是方程的解. 其次, 任取XA O =的一个解0X , 则由0000()n X E AA X X AA X −−−=−=, 取0Z X =即可.由矩阵方程解的结构定理可知, (),n sn X Z E AA Z K −×∈=−∀(3) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：对于数域K 上任意s m ×矩阵B ,矩阵方程AX B =是否一定有解？当有解时，它有多少个解？求出它的解集。
线性代数第6版习题1答案线性代数是一门重要的数学学科，它研究的是向量空间和线性变换等概念。
在学习线性代数的过程中，习题是非常重要的一部分，通过做习题可以加深对概念和理论的理解，并培养解决问题的能力。
本文将针对《线性代数第6版》的习题1进行详细解答。
习题1是关于向量空间的基本概念的练习题。
首先，我们需要明确向量空间的定义和性质。
向量空间是指由一组向量构成的集合，具有加法和数乘两种运算，并满足一定的性质。
接下来，我们将逐个解答习题。
1. 证明零向量是唯一的。
解答：假设存在两个零向量0和0'，则有0 + 0' = 0' + 0 = 0。
根据向量加法的交换律，可得0 + 0' = 0' + 0，进一步推导可得0 = 0'，即零向量是唯一的。
2. 证明对于任意向量v，有0v = 0。
解答：根据向量的数乘定义，0v = (0 + 0)v = 0v + 0v。
再根据向量加法的结合律，可得0v + 0v = 0v。
进一步推导可得0v = 0。
3. 证明对于任意标量k，有k0 = 0。
解答：根据标量与向量的数乘定义，k0 = k(0 + 0) = k0 + k0。
再根据向量加法的结合律，可得k0 + k0 = k0。
进一步推导可得k0 = 0。
4. 证明对于任意向量v，有(-1)v = -v。
解答：根据标量与向量的数乘定义，(-1)v + v = (-1)v + 1v = (-1 + 1)v = 0v = 0。
根据向量加法的逆元素定义，可得(-1)v = -v。
5. 证明对于任意标量k，有k(-v) = -kv。
解答：根据标量与向量的数乘定义，k(-v) + kv = k(-v + v) = k0 = 0。
根据向量加法的逆元素定义，可得k(-v) = -kv。
通过以上习题的解答，我们巩固了向量空间的基本概念和性质，并学会了运用这些性质进行证明。
线性代数的习题解答不仅仅是简单的计算，更重要的是培养逻辑思维和推理能力。
2•用行列式的泄义证明习题1.2：如如如如1 •写岀四阶行列式中幻I'2勺3"24含有因子的项“3】a 32 a 33a 34«41勺 2«43仙解：由行列式的泄义可知，第三行只能从@2、中选，第四行只能从厲2、中选，所 以所有的组合只有（-l ）f （，324）如给角2知或（-1）"网 a H a 23a 34a 42，即含有因子勺］“23的项为一如吹32% 和 a H a 23a 34a 42证明：第五行只有取他「山2整个因式才能有可能不为°,同理，第四行取“42,第三 行取①I 、©2，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0 •以第 五行为参考，含有的因式必含有0,同理，含有的因式也必含有0“故所有因式都为0 •原命题得证・。
3 •求下列行列式的值:0 1 0♦ • ♦0 •… 0 1 00 02 ♦ • 00 ... 2 0 0(1)■ ■ ■ ■■ ；（2）• • ■ • • •0 00 • • ”一〃 一 1 0 0 0n 0 0 • •• 00 …0 H0 1 0 ♦ • • 00 2• • • 0解：（1） ■ ■ ■■ ■ ■ ■■ ■/lX r(234...nl)=("1)Ix2x3x--•xn =(-1)*"1 n\0 0 ・•・//-In 0 0 • • • 0a 2l0 01 0 0 ■ …2 • •0 ■ 0 ■■ ”一• • …0 • 0 ■0 0 00 n=(-1)侶心5)» B= 如■ •“22 ■■f 1-n…5少…如尸■5肝・・・a nn证明:A=BoE (T 严•”%叫2…％沪Wi"叫z (T 严％%…讣A 叩2・・％和巾 时2 ••叭和巾命题得证。
5•证明：如下2007阶行列式不等于61 2 …2006 200722 32 …20072 2OO82 D=33 • 43 • …20083 • • 20083■• ■■ •• • • •■ ■证明：最后一行元素，除去2007*”是奇数以外，其余都是偶数，故含2008^7的因式也都 是偶数。
