2017年北京大学理论物理量子力学(612)真题回忆版

北大理论物理考研经验不能算是经验，只能算是关于自己复习经历的记述，希望大家能够吸取我的经验教训。

另外如果我的同考同行有回忆出来题目，我会持续更新的。

在我复习完了准备去考研的时候我就决定，决定不管我考上还是没考上，我都要让我之后的物理考研人少走弯路，至少不去走我所走过的弯路。

首先说下我自己的情况吧。

我本科是某985学校应用物理系，应届报考北大理论物理。

考研结果为英语76，政治63，量子力学101，经典物理104，总分344。

在全部报考北大理论物理专业的200多名考生中排名17，由于在我前面有三个同学因为单科分数未达到北大复试线而被刷，在所有进入北大理论物理复试的20名考生中，我是14名，现在我被理论物理专业粒子物理方向录取，导师是李重生教授。

首先说理论物理的事情，选择理论物理这条道路绝对不是一件轻松的事情。

不能只是为他感兴趣就去选择它，我建议，如果你决定，至少目前决定这辈子都从事理论物理这个事业的话，你再去报考理论物理。

如果你现在是大一或者大二，你的gpa不错，英语基础也不差，本科是国内牛校，那么出国吧，不要来考研，这是一条很有可能吃力不讨好的道路。

如果你选择了考研这条路，并且想报考理论物理，那么继续往下看。

首先说下院校选择的事情，要记住院校的选择是一条路的事情。

我本人在北大分数出来以后联系过很多院校，也就是通常说的自主划线34所，老师们都很客气的回复了我的邮件，这之中中科大，复旦，浙大等大家比较关心的院校都是政策上就不允许招收调剂过来的学生。

所以说，除非你考上，要不然就调剂到差一个档次的学校，要不二战。

以上是为了说明选择院校的重要性。

下面说说院校选择的问题首先按照教育部学位中心2009年的学科排名，物理学排名前列的院校情况如下（后面为评分）1、南京大学：952、中国科学技术大学：923、北京大学：914、清华大学：885、复旦大学：856、浙江大学：857、中山大学：818、南开大学：799、上海交通大学：7610、武汉大学:7611、吉林大学：7512、四川大学：75当然排名什么的不能代表什么，而且这里面还没有各研究院所~~ 每年考生最容易扎堆报考的有两个地方，一个是北大理论物理，一个就是中科院理论所。

量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）(有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kT hc e kT hc e hcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5:这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =】如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及,eVc e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

2017年北京大学理论物理量子力学（612）真题回忆版
2017年北京大学理论物理之量子力学（612）真题回忆版
一、
1）宽度为L 2的无限深势阱，范围为L x L -<<，求能量本征态和相应的本征值
2）已知t 0=时处于基态，势阱宽度突然变为L 4，范围为22L x L -<<，求随时间变化的波函数表达式)(t ?，求处于变化后体系本征能量的概率，求体系的能量平均值)(t E 二、一个二维谐振子，哈密顿量为222211?2222
y x x y p p H m x m y m m ωω=+++ 1）若4
3=y x ωω，求第一个和第二个简并能级 2）若y x ωω=，有两个自旋为
21的全同粒子处于此谐振子势场中，求体系最低三个能级，并给出简并度
三、
1）在z σ表象下，x σ、y σ、z σ的矩阵表示及其归一化本征态，本征值
2）在x σ表象下，y σ和z σ的归一化本征态
四、体系哈密顿量为()1221?+= H ，1和2为体系两个正交归一的本征态。

在t=0
时，算符22113?-=O
的平均值为1-，求体系初始状态及0>t 的体系最快转化为1的时间
五、考虑氢原子核不是点电荷，而是均匀带电的球体
1）体系能量基态本征函数为a r
Ne -=ψ，求归一化系数N 和不确定度2)(x ?和()2
r ?
2）用微扰求出这种效应对氢原子能量基态能量的一级修正六、一维粒子由右边入射，收到的势能为20()()02x V x g x a x m
δ∞ ?? 1)若能量0E >，求反射波与入射波之间的相位差，及相位差在低能和高能下的表现 2求存在束缚态的条件。

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试（北京卷）第I 卷（选择题 共120分）本卷共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

13．一个氢原子从n ＝3能级跃迁到n ＝2能级，该氢原子（）B ，（A ）放出光子，能量增加（B ）放出光子，能量减少（C ）吸收光子，能量增加（D ）吸收光子，能量减少14．一束单色光经由空气射入玻璃，这束光的（）A ，（A ）速度变慢，波长变短（B ）速度不变，波长变短（C ）频率增高，波长变长（D ）频率不变，波长变长15．一个小型电热器若接在输出电压为10V 的电源上，消耗电功率为P ；若把它接在某个正弦交流电源上，其消耗电功率为P /2。

如果电热器电阻不变，则此交流电源输出电压的最大值为（ ）C ，（A ）5V（B ）5V（C ）10V （D ）10V2216．处于匀强磁场中的一个带电粒子，仅在磁场力作用下做匀速圆周运动。

将该粒子的运动等效为环形电流，那么此电流值（）D ，（A ）与粒子电荷量成正比（B ）与粒子速度成正比（C ）与粒子质量成正比（D ）与磁感应强度成正比17．一个弹簧振子沿x 轴做简谐运动，取平衡位置O 为x 轴坐标原点。

从某时刻开始计时，经过四分之一的周期，振子具有沿x 轴正方向有最大加速度。

能正确反映振子位移x 与时间t 关系的图像是（）A ，18．关于环绕地球运动的卫星，下列说法中正确的是（ ）B ，（A ）分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期（B ）沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率（C ）在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同（D ）沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合19．物理课上，老师做了一个奇妙的“跳环实验”。

如图，她把一个带铁芯的线圈L 、开关S 和电源用导线连接起来后，将一金属环套置于线圈L 上，且使铁芯穿过套环。

北大物理部分真题北京大学量子力学真题部分北京大学量子力学的部分真题。

1992年4.设粒子处于半径为a的球壁内,(1)求基态能量。

(2)求基态粒子对球壁的压强。

1994年6.假设两个质量为m=70Me/c2的夸克可以通过位势V=-a(?1.?2-b)r2束缚在一起,其中r是两个夸克之间的距离?1和?2分别为夸克1和夸克2的包利自旋矩阵,a=68.99Me/fm2,而b是一个待定的参数,(1)b 应取什么值,才能使两个夸克束缚在一起?(2)设两个夸克是不同类型的,并取b=3/2,试求基态能量和简并度,(3)设两个夸克是同一类型的,并取b=3/2,试求基态能量和简并度。

(4)当b=0时,求两个全同夸克在基态的方均根距离, hc=1.97.3MeV.fm.为自旋1和自旋2,h都是带横岗的1995年5.设L为轨道角动量。

在(L2,Lz)表象(即以Ilm>为基矢的表象)中,写出L=1的子空间中Lx的矩阵表示式,并求出它的本征值和本征态。

1998年7.在一维无限深位阱中,V(x)=0,0<xa.</x(1)求一维无限深位阱的能量本征值,及相应的本征函数。

(2)如果有两个无相互作用的自旋为1/2的全同粒子在此中,试写出此位阱系统基态和第一激发态的能量值和波函数。

1999年6.一个质量为m的粒子在一维势场V(x)=正无穷,x<0.V(x)=1/2mw平方x平方,x>0中运动,求其能级,不必作详细计算。

2000年6.考虑体系H=T+V(x),V(x)=无穷x<0,V(x)=Ax,x>0(A>0).(1)利用变分法,取试探波函数函数1=(2比b根号π）1/2e的-x平方/2b平方,求基态能量上限E1;(2)我们知道,如试探波函数为函数2==(1比b根号π）1/2(2x/b)e 的-x平方/2b平方,则基态能量上限为E2=(81/4π)根号1/3(A平方h 平方/m)根号1/3,对这两个基态的能量上限,你能接受哪一个,为什么?2001年6.质量为m的粒子在位势V=无穷,x<0,V=cx平方,x>0中运动,c>0,(1)试利用变分法估计体系基态能量;(2)它是精确解的上限还是下限?你能给出精确的基态能量吗?2007年5.H(t)=-h平方/2mx导数平方+1/2mw零平方x平方(1+1/cosh 平方兰姆达t)t趋向于负无穷时刻,该体系处在谐振子基态I0>.在t趋向于正无穷时刻态体系跃迁到激发态In>的概率记为p零趋向于n.(a)求(b)当(c)讨论2008年VI.质量为m的粒子在位势V(x)=-兰姆达扥特(x),(兰姆达>0)中运动。

第七章自旋第七章目录§7.1 电子自旋存在的实验事实 (2)（1）Stern-Gerlach 实验（1922年） ........... 2 （2）电子自旋存在的其他证据 .. (3)§7.2 自旋－微观客体的一个动力学变量 (3)（1）电子的自旋算符和它的矩阵表示 ........... 3 （2）考虑自旋后，状态和力学量的描述 ......... 7 （3）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程10§7.3 碱金属的双线结构 (10)（1）总角动量 .............................. 11 （2）碱金属的双线结构 . (15)§7.4 两自旋为1/2的粒子的自旋波函数 (16)(1) )S ,S (z z 21表象中两自旋为21/的粒子的自旋波函数 16(2) )S ˆ,S ˆ(z2表象中两自旋为21/的粒子的自旋波函数16 (3) Bell 基 (17)§7.5 Einstein -Podolsky-Rosen 佯谬和Bell 不等式 18(1) Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬 ........... 18 (2) Bell Inqualities (18)§7.6 全同粒子交换不变性－波函数具有确定的置换对称性 21(1)交换不变性 .............................. 22 (2)全同粒子的波函数结构，泡利原理 .......... 23 (3)全同粒子的交换不变性的后果 .. (26)第七章 自旋在较强的磁场下（∽T 10），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它。

但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽T 101-）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。

大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度z ,y ,x 来描述并不是完全的。

专题14 原子结构、原子核和波粒二象性1．（2019·新课标全国Ⅰ卷）氢原子能级示意图如图所示。

光子能量在1.63 eV~3.10 eV 的光为可见光。

要使处于基态（n =1）的氢原子被激发后可辐射出可见光光子，最少应给氢原子提供的能量为A ．12.09 eVB ．10.20 eVC ．1.89 eVD ．1.5l eV【答案】A【解析】由题意可知，基态（n=1）氢原子被激发后，至少被激发到n=3能级后，跃迁才可能产生能量在1.63eV~3.10eV 的可见光。

故 1.51(13.60)eV 12.09eV E ∆=---=。

故本题选A 。

2．（2019·新课标全国Ⅱ卷）太阳内部核反应的主要模式之一是质子—质子循环，循环的结果可表示为1401214H He+2e+2v →，已知11H 和42He 的质量分别为P 1.0078u m =和 4.0026u m α=，1u=931MeV/c 2，c 为光速。

在4个11H 转变成1个42He 的过程中，释放的能量约为A ．8 MeVB ．16 MeVC ．26 MeVD ．52 MeV【答案】C【解析】由2E mC ∆=∆知()242p e E m m m c α∆=⨯--⋅，2Em c∆∆==6191693110 1.610J 910-⨯⨯⨯⨯27311.710kg 0.910kg --≈⨯⨯，忽略电子质量，则：()24 1.0078 4.0026MeV 26E u u c ≈∆=⨯-⋅，故C 选项符合题意；3．（2019·天津卷）如图为a 、b 、c 三种光在同一光电效应装置中测得的光电流和电压的关系。

由a 、b 、c 组成的复色光通过三棱镜时，下述光路图中正确的是【答案】C【解析】由光电效应的方程k E hv W =-，动能定理k eU E =，两式联立可得hv WU e e=-，故截止电压越大说明光的频率越大，则有三种光的频率b c a v v v >>，则可知三种光的折射率的关系为b c a n n n >>，因此光穿过三棱镜时b 光偏折最大，c 光次之，a 光最小，故选C ，ABD 错误。

量子力学习题（三年级用）北京大学物理学院二O O三年第一章 绪论1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子()克2410671-⋅=μ.n；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-⋅=μ.a；（3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。

2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。

第二章 波函数与波动力学1、设()()为常数a Ae x x a 2221-=ϕ（1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x ==2、求ikr ikr e re r -=ϕ=ϕ1121和的几率流密度。

3、若(),Be e A kx kx -+=ϕ求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中k 为实数）4、一维运动的粒子处于()⎩⎨⎧<>=ϕλ-000x x Axe x x的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。

5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证0=υ⨯∇其中ρ=υ/j6、一维自由运动粒子，在0=t时，波函数为()()x ,x δ=ϕ0求：?)t ,x (=ϕ2第三章 一维定态问题1、粒子处于位场()000000〉⎩⎨⎧≥〈=V x V x V中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）2、一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=0000x a x x V )x ( 中运动。

（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ϕ态，证明：,/a x2=().n a x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=-222261123、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为如DS A S B D S A S C 22211211+=+=这即“出射”波和“入射”波之间的关系，证明：01122211211222221212211=+=+=+**S S S S S S S S这表明S 是么正矩阵4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<∞=ax V a x x V X 0000 5、求粒子在下列位场中运动的能级()⎪⎩⎪⎨⎧>μω≤∞=021022x x x V X6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用()[])a x ()x (V V x -δ+δ=0求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。

N1 光的传播14．N1[2017·北京卷] 如图所示，一束可见光穿过平行玻璃砖后，变为a、b两束单色光．如果光束b是蓝光，则光束a可能是()图1A．红光B．黄光C．绿光D．紫光14．D[解析] 由图可知a光偏折程度比b光偏折程度大，所以a光的折射率大于b光的折射率．选项中只有紫光的折射率大于蓝光的折射率，所以选项D正确．12．[2017·江苏卷] 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按A、B两小题评分．B．N4、G2、N1[选修3-4](1)接近光速飞行的飞船和地球上各有一只相同的铯原子钟，飞船和地球上的人观测这两只钟的快慢，下列说法正确的有________．A．飞船上的人观测到飞船上的钟较快B．飞船上的人观测到飞船上的钟较慢C．地球上的人观测到地球上的钟较快D．地球上的人观测到地球上的钟较慢(2)野生大象群也有自己的“语言”. 研究人员录下象群“语言”交流时发出的声音，发现以2倍速度快速播放录音时，能听到比正常播放时更多的声音．播放速度变为原来的2 倍时，播出声波的________(选填“周期”或“频率”)也变为原来的2倍，声波传播速度________(选填“变大”“变小”或“不变”)．(3)人的眼球可简化为如图所示的模型．折射率相同、半径不同的两个球体共轴．平行光束宽度为D，对称地沿轴线方向射入半径为R的小球，会聚在轴线上的P点．取球体的折射率为2，且D＝2R.求光线的会聚角α.(示意图未按比例画出)图1B ．(1)时钟相对于观察者静止时，走得快；相对于观察者运动时，观察者会看到它变慢，运动速度越快，效果越明显，故A 、C 正确．(2)播放速度变为原来的2倍，说明完成一次全振动所需的时间减为原来的一半，也就是周期减为原来的一半，故频率变为原来的2倍；速度是由传播的介质决定的，介质没有变，故传播速度不变．(3)由几何关系得sin i ＝D2R ，解得i ＝45°则由折射定律得sin isin γ＝n ，解得γ＝30°且i ＝γ＋α2，解得α＝30°.34．[2017·全国卷Ⅰ] [物理—选修3-4](2)N1如图，一玻璃工件的上半部是半径为R 的半球体，O 点为球心；下半部是半径为R 、高为2R 的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜．有一平行于中心轴OC 的光线从半球面射入，该光线与OC 之间的距离为0.6R .已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行(不考虑多次反射)．求该玻璃的折射率．图1(2)如图，根据光路的对称性和光路可逆性，与入射光线相对于OC 轴对称的出射光线一定与入射光线平行．这样，从半球面射入的折射光线，将从圆柱体底面中心C 点反射．设光线在半球面的入射角为i，折射角为r.由折射定律有sin i＝n sin r①由正弦定理有sin r 2R＝sin（i－r）R②由几何关系，入射点的法线与OC的夹角为i.由题设条件和几何关系有sin i＝LR③式中L是入射光线与OC的距离．由②③式和题给数据得sin r＝6205④由①③④式和题给数据得n＝ 2.05≈1.43⑤34．N2、N1[2017·全国卷Ⅱ] [物理—选修3-4](1)在“双缝干涉”实验中，用绿色激光照射在双缝上，在缝后的屏幕上显示出干涉图样．若要增大干涉图样中两相邻亮条纹的间距，可选用的方法是________．A．改用红色激光B．改用蓝色激光C．减小双缝间距D．将屏幕向远离双缝的位置移动E．将光源向远离双缝的位置移动(2)一直桶状容器的高为2l，底面是边长为l的正方形；容器内装满某种透明液体，过容器中心轴DD′、垂直于左右两侧面的剖面图如图所示．容器右侧内壁涂有反光材料，其他内壁涂有吸光材料．在剖面的左下角处有一点光源，已知由液体上表面的D点射出的两束光线相互垂直，求该液体的折射率．图1 34．[答案] (1)ACD(2)1.55[解析] (1)两相邻亮条纹间距Δx＝ldλ，因λ红>λ绿，所以Δx红>Δx绿，故改用红色激光后，干涉图样中两相邻亮条纹的间距增大，A正确；因λ蓝<λ绿，所以Δx蓝<Δx绿，B错误；减小双缝间距d会增大条纹间距，C正确；将屏幕向远离双缝的位置移动，l增大，会使条纹间距变大，D正确；光源与双缝间的距离不影响条纹间距，E错误．(2)设从光源发出直接射到D点的光线的入射角为i1，折射角为r1.在剖面内作光源相对于反光壁的镜像对称点C，连接C、D，交反光壁于E点，由光源射向E点的光线反射后沿ED射向D点．光线在D点的入射角为i2，折射角为r2，如图所示．设液体的折射率为n，由折射定律有n sin i1＝sin r1①n sin i2＝sin r2②由题意知r1＋r2＝90°③联立①②③式得n2＝1sin2i1＋sin2i2④由几何关系可知sin i1＝l24l2＋l24＝117⑤sin i2＝32l4l2＋9l24＝35⑥联立④⑤⑥式得n＝1.55⑦2．N1、N2、O1[2017·天津卷] 明代学者方以智在《阳燧倒影》中记载：“凡宝石面凸，则光成一条，有数棱则必有一面五色”，表明白光通过多棱晶体折射会发生色散现象．如图所示，一束复色光通过三棱镜后分解成两束单色光a、b，下列说法正确的是()图1A．若增大入射角i，则b光先消失B．在该三棱镜中a光波长小于b光C．a光能发生偏振现象，b光不能发生D．若a、b光分别照射同一光电管都能发生光电效应，则a光的遏止电压低2．D[解析] 由图可知，复色光通过三棱镜后分成两束，棱镜对b光的折射率大于对a光的折射率，a光波长大于b光的波长，在三棱镜中，a光的速度大于b光，a光的频率小于b光，故a光的波长大于b光，B错误；由几何关系可知，光线射入三棱镜的折射角r与射出三棱镜的入射角r′之和为60°，只增大入射角i，则r增大，r′减小，故a、b光都不会消失，A错误；光在玻璃表面反射时，反射光和折射光都是偏振光，C错误；由于b光的频率大于a光的频率，若a、b光分别照射同一光电管都能发生光电效应，则a光照射时光电子的最大初动能小，则a光的遏止电压低，D正确．N2 光的波动性20．N2、N3[2017·北京卷] 物理学原理在现代科技中有许多重要应用．例如，利用波的干涉，可将无线电波的干涉信号用于飞机降落的导航．如图所示，两个可发射无线电波的天线对称地固定于飞机跑道两侧，它们类似于杨氏干涉实验中的双缝．两天线同时都发出波长为λ1和λ2的无线电波．飞机降落过程中，当接收到λ1和λ2的信号都保持最强时，表明飞机已对准跑道．下列说法正确的是()图1A．天线发出的两种无线电波必须一样强B．导航利用了λ1与λ2两种无线电波之间的干涉C．两种无线电波在空间的强弱分布稳定D．两种无线电波各自在空间的强弱分布完全重合20．C[解析] 干涉与无线电波强弱无关，所以选项A错误．因波源固定，故由波源发出的两种不同波长的电磁波不能发生干涉，所以选项B错误．两种不同波长的电磁波在空间的强弱分布稳定，所以选项C正确．不同波长的电磁波在空间的强弱分布不能完全重合，所以选项D错误．34．N2、N1[2017·全国卷Ⅱ] [物理—选修3-4](1)在“双缝干涉”实验中，用绿色激光照射在双缝上，在缝后的屏幕上显示出干涉图样．若要增大干涉图样中两相邻亮条纹的间距，可选用的方法是________．A．改用红色激光B．改用蓝色激光C．减小双缝间距D．将屏幕向远离双缝的位置移动E．将光源向远离双缝的位置移动(2)一直桶状容器的高为2l，底面是边长为l的正方形；容器内装满某种透明液体，过容器中心轴DD′、垂直于左右两侧面的剖面图如图所示．容器右侧内壁涂有反光材料，其他内壁涂有吸光材料．在剖面的左下角处有一点光源，已知由液体上表面的D点射出的两束光线相互垂直，求该液体的折射率．图134．[答案] (1)ACD(2)1.55[解析] (1)两相邻亮条纹间距Δx＝ldλ，因λ红>λ绿，所以Δx红>Δx绿，故改用红色激光后，干涉图样中两相邻亮条纹的间距增大，A正确；因λ蓝<λ绿，所以Δx蓝<Δx绿，B错误；减小双缝间距d会增大条纹间距，C正确；将屏幕向远离双缝的位置移动，l增大，会使条纹间距变大，D正确；光源与双缝间的距离不影响条纹间距，E错误．(2)设从光源发出直接射到D点的光线的入射角为i1，折射角为r1.在剖面内作光源相对于反光壁的镜像对称点C，连接C、D，交反光壁于E点，由光源射向E点的光线反射后沿ED射向D点．光线在D点的入射角为i2，折射角为r2，如图所示．设液体的折射率为n，由折射定律有n sin i1＝sin r1①n sin i2＝sin r2②由题意知r1＋r2＝90°③联立①②③式得n 2＝1sin 2 i 1＋sin 2 i 2 ④由几何关系可知sin i 1＝l 24l 2＋l 24＝117⑤ sin i 2＝32l 4l 2＋9l 24＝35⑥ 联立④⑤⑥式得 n ＝1.55 ⑦[2017·全国卷III ] [物理—选修3-4](2)如图所示，一半径为R 的玻璃半球，O 点是半球的球心，虚线OO ′表示光轴(过球心O 与半球底面垂直的直线)．已知玻璃的折射率为1.5.现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出(不考虑被半球的内表面反射后的光线)．求：图1(ⅰ)从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值； (ⅱ)距光轴R3的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O 点的距离．(2)(ⅰ)如图所示，从底面上A 处射入的光线，在球面上发生折射时的入射角为i ，当i 等于全反射临界角i c 时，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为l .i ＝i c ①设n 是玻璃的折射率，由全反射临界角的定义有 n sin i c ＝1 ② 由几何关系有 sin i ＝lR③联立①②③式并利用题给条件，得 l ＝23R ④ (ⅱ)设与光轴相距R3的光线在球面B 点发生折射时的入射角和折射角分别为i 1和r 1，由折射定律有n sin i 1＝sin r 1 ⑤设折射光线与光轴的交点为C ，在△OBC 中，由正弦定理有 sin ∠C R ＝sin （180°－r 1）OC ⑥ 由几何关系有 ∠C ＝r 1－i 1 ⑦ sin i 1＝13⑧联立⑤⑥⑦⑧式及题给条件得 OC ＝3（22＋3）5R ≈2.74R ⑨2．N1、N2、O1[2017·天津卷] 明代学者方以智在《阳燧倒影》中记载：“凡宝石面凸，则光成一条，有数棱则必有一面五色”，表明白光通过多棱晶体折射会发生色散现象．如图所示，一束复色光通过三棱镜后分解成两束单色光a、b，下列说法正确的是()图1A．若增大入射角i，则b光先消失B．在该三棱镜中a光波长小于b光C．a光能发生偏振现象，b光不能发生D．若a、b光分别照射同一光电管都能发生光电效应，则a光的遏止电压低2．D[解析] 由图可知，复色光通过三棱镜后分成两束，棱镜对b光的折射率大于对a光的折射率，a光波长大于b光的波长，在三棱镜中，a光的速度大于b光，a光的频率小于b光，故a光的波长大于b光，B错误；由几何关系可知，光线射入三棱镜的折射角r与射出三棱镜的入射角r′之和为60°，只增大入射角i，则r增大，r′减小，故a、b光都不会消失，A错误；光在玻璃表面反射时，反射光和折射光都是偏振光，C错误；由于b光的频率大于a光的频率，若a、b光分别照射同一光电管都能发生光电效应，则a光照射时光电子的最大初动能小，则a光的遏止电压低，D正确．N3 电磁场电磁波18．N3、O1[2017·北京卷] 2017年年初，我国研制的“大连光源”——极紫外自由电子激光装置，发出了波长在100 nm(1 nm＝10－9 m)附近连续可调的世界上最强的极紫外激光脉冲．大连光源因其光子的能量大、密度高，可在能源利用、光刻技术、雾霾治理等领域的研究中发挥重要作用．一个处于极紫外波段的光子所具有的能量可以电离一个分子，但又不会把分子打碎．据此判断，能够电离一个分子的能量约为(取普朗克常量h＝6.6×10－34 J·s，真空光速c＝3×108 m/s)()A．10－21 J B．10－18 JC．10－15 J D．10－12 J18．B[解析] 由E＝hν，ν＝cλ，可得E＝hcλ＝6.6×10－34×3×1081×10－7J＝2×10－18 J，所以选项B正确．20．N2、N3[2017·北京卷] 物理学原理在现代科技中有许多重要应用．例如，利用波的干涉，可将无线电波的干涉信号用于飞机降落的导航．如图所示，两个可发射无线电波的天线对称地固定于飞机跑道两侧，它们类似于杨氏干涉实验中的双缝．两天线同时都发出波长为λ1和λ2的无线电波．飞机降落过程中，当接收到λ1和λ2的信号都保持最强时，表明飞机已对准跑道．下列说法正确的是()图1A．天线发出的两种无线电波必须一样强B．导航利用了λ1与λ2两种无线电波之间的干涉C．两种无线电波在空间的强弱分布稳定D．两种无线电波各自在空间的强弱分布完全重合20．C[解析] 干涉与无线电波强弱无关，所以选项A错误．因波源固定，故由波源发出的两种不同波长的电磁波不能发生干涉，所以选项B错误．两种不同波长的电磁波在空间的强弱分布稳定，所以选项C正确．不同波长的电磁波在空间的强弱分布不能完全重合，所以选项D错误．N4 相对论12．[2017·江苏卷] 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按A、B两小题评分．B．N4、G2、N1[选修3-4](1)接近光速飞行的飞船和地球上各有一只相同的铯原子钟，飞船和地球上的人观测这两只钟的快慢，下列说法正确的有________．A．飞船上的人观测到飞船上的钟较快B ．飞船上的人观测到飞船上的钟较慢C ．地球上的人观测到地球上的钟较快D ．地球上的人观测到地球上的钟较慢(2)野生大象群也有自己的“语言”. 研究人员录下象群“语言”交流时发出的声音，发现以2倍速度快速播放录音时，能听到比正常播放时更多的声音．播放速度变为原来的2 倍时，播出声波的________(选填“周期”或“频率”)也变为原来的2倍，声波传播速度________(选填“变大”“变小”或“不变”)．(3)人的眼球可简化为如图所示的模型．折射率相同、半径不同的两个球体共轴．平行光束宽度为D ，对称地沿轴线方向射入半径为R 的小球，会聚在轴线上的P 点．取球体的折射率为2，且D ＝2R .求光线的会聚角α.(示意图未按比例画出)图1B ．(1)时钟相对于观察者静止时，走得快；相对于观察者运动时，观察者会看到它变慢，运动速度越快，效果越明显，故A 、C 正确．(2)播放速度变为原来的2倍，说明完成一次全振动所需的时间减为原来的一半，也就是周期减为原来的一半，故频率变为原来的2倍；速度是由传播的介质决定的，介质没有变，故传播速度不变．(3)由几何关系得sin i ＝D2R ，解得i ＝45°则由折射定律得sin isin γ＝n ，解得γ＝30°且i ＝γ＋α2，解得α＝30°.N5 实验：测玻璃砖的折射率N6 实验：用双缝干涉实验测量光的波长2．[2015·全国卷Ⅰ] 在“双缝干涉”实验中，分别用红色和绿色的激光照射同一双缝，在双缝后的屏幕上，红光的干涉条纹间距Δx 1与绿光的干涉条纹间距Δx 2相比，Δx 1________(填“＞”“＝”或“＜”)Δx 2.若实验中红光的波长为630 nm ，双缝到屏幕的距离为1.00 m ，测得第1条到第6条亮条纹中心间的距离为10.5 mm ，则双缝之间的距离为________mm.2．＞ 0.300[解析] 双缝干涉条纹间距Δx ＝L λd，红光波长较长，所以红光的双缝干涉条纹间距较大，即Δx 1>Δx 2.根据题中数据可得条纹间距Δx ＝10.5 mm 5＝2.1 mm ＝2.1×10－3 m ，根据Δx ＝Lλd 可得d ＝L λΔx ＝1.00 ×630×10－92.1×10－3m ＝3.00×10－4 m ＝0.300 mm.N7 光学综合1．[2017·广东佛山顺德一模] 如图K49­1所示，横截面为34圆的圆柱体光学器件是用折射率为3的某种玻璃制成的，其截面半径为R ，现用一细光束垂直圆柱体的轴线以i ＝60°的入射角从真空中射入圆柱体，不考虑光线在圆柱体内的反射，真空中光速为c .(1)该光线从圆柱体中射出时，折射光线偏离进入圆柱体光线多大的角度？ (2)求光线在圆柱体中的传播时间．图K49­11．(1)60°(2) 3R c[解析] (1)由折射定律n＝sin isin r得sin r＝sin in＝323＝12则光线射入圆柱体内的折射角为r＝30°，由几何知识得，光线从圆柱体射出时，在圆柱体内的入射角为30°，在圆柱体外的折射角为60°，光路图如图所示．由几何知识，出射光线偏离原方向的角度α＝60°.(2)根据几何知识得到，光线在圆柱体中的路程s＝3R传播速度v＝cn＝3c 3所以，光线在圆柱体中的传播时间t＝sv＝3R3c3＝3Rc.2．[2017·广东肇庆二模] 如图K49­2所示，一个透明的圆柱体横截面的半径为R ，折射率是3，AB 是一条直径，现有一束平行光沿AB 方向射入圆柱体．若有一条光线经折射后恰经过B 点，则：(真空中光速为c )(1)这条入射光线到AB 的距离是多少？(2)这条入射光线在圆柱体中运动的时间是多少？图K49­22．(1)32R (2)3Rc[解析] (1)设光线经C 点折射后如图所示，根据折射定律可得：n ＝sin αsin β＝ 3 由几何关系有sin βR ＝sin α2R cos β由以上两式解得：α＝60°，β＝30°所以CD＝R sin α＝3 2R(2)在△DBC中：BC＝CDsin β＝3Rt＝BCv＝3Rc3＝3Rc3．[2017·安徽十校联考] 在一个圆筒内有一个折射率为n、半径为R的半球形玻璃砖，玻璃砖的平面与圆筒壁垂直，圆筒的半径也为R，此装置的剖面图如图K49­3所示．现有一束平行单色光垂直玻璃砖的平面射向玻璃砖，有部分光线从玻璃砖中射出，已知光在真空中的速度为c，求：(1)射出玻璃砖的光线在玻璃砖中传播的最短时间；(2)要想所有光线都不从玻璃砖中射出，可在玻璃砖的平面上粘贴黑纸，求黑纸的最小面积．图K49­33．(1)R c n 2－1 (2)πR 2n2[解析] (1)光线从玻璃砖射入空气，设全反射临界角为θ，则 sin θ＝1n由数学知识得cos θ＝n 2－1n当入射角等于全反射临界角θ时(上图中的光线a )，光线在玻璃中传播的距离为x ＝R cos θ光线在玻璃中的速度为v ＝c n光线在玻璃中传播的时间为t ＝xv 解得t ＝Rcn 2－1.(2)设光线a 由空气射入玻璃的入射点与玻璃砖球心O 点之间的距离为r ，则 r ＝R sin θ所以黑纸的最小面积S ＝πr 2 解得S ＝πR 2n 2.4．[2017·安徽淮北一中模拟] 半径为R 的半圆形玻璃砖与厚度为32R 的矩形玻璃砖按图示方式放在水平桌面上，现有一束光沿AO 方向射入，调整细光束使其在竖直平面内绕O 点顺时针转动180°至BO 方向．已知两种玻璃砖对该光束的折射率均为2，光在真空中的传播速度为c ，矩形玻璃砖足够长，不考虑光的多次反射，试求：(1)垂直AB 入射的光由O 点到达桌面所需要的时间． (2)光线在转动过程中照亮桌面的长度．图K49­44．(1)（22＋6）R 2c(2)3R[解析] (1)光在玻璃中的传播速度v ＝c n ＝c 2＝22c垂直AB 入射的光由O 点到达桌面所需要的时间t ＝R ＋32Rv 解得t ＝（22＋6）R2c(2)任一角度入射的光线的光路图如图所示，当i ＝90°时，r 有极大值，此时光照射到水平桌面上最右端M 点，则O ′M ＝R tan 45°＋32R tan 30° 解得O ′M ＝32R接近BO 方向射入的光线照射到水平桌面上最左端与M 对称的位置，光线在转动过程中，照亮水平桌面的长度为L ＝2O ′M ＝3R .。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科综合能力测试（物理)第一部分（选择题 共48分）(13）【2017年北京，13，6分】以下关于热运动的说法正确的是（ ）(A)水流速度越大，水分子的热运动越剧烈 (B ）水凝结成冰后，水分子的热运动停止(C ）水的温度越高，水分子的热运动越剧烈 （D ）水的温度升高，每一个水分子的运动速率都会增大【答案】C【解析】水流速度是机械运动速度,不能反映热运动情况，A 错误；分子在永不停息地做无规则运动，B 错误；水的温度升高，水分子的平均速率增大，并非每一个水分子的运动速率都增大，D 错误；选项C 说法正确，故选C 。

【点评】温度是分子平均动能的标志，但单个分子做无规则运动，单个分子在高温时速率可能较小。

（14）【2017年北京，14，6分】如图所示，一束可见光穿过平行玻璃砖后，变为a 、b 两束单色光.如果光束b 是蓝光，则光束a 可能是（ ）（A ）红光 （B ）黄光 （C ）绿光 （D ）紫光【答案】D【解析】根据题意作出完整光路图,如图所示，a 光进入玻璃砖时光线偏折角较大，根据光的折射定律可知玻璃砖对a 光的折射率较大，因此a 光的频率应高于b 光，故选D 。

【点评】由教材中白光通过三棱镜时发生色散的演示实验可知，光线在进入棱镜前后偏折角越大,棱镜对该光的折射率越大，该光的频率越大。

(15）【2017年北京,15，6分】某弹簧振子沿x 轴的简谐振动图像如图所示,下列描述正确的是 （ ）（A ）t =1s 时，振子的速度为零,加速度为负的最大值(B ）t =2s 时,振子的速度为负，加速度为正的最大值（C ）t =3s 时，振子的速度为负的最大值，加速度为零（D ）t =4s 时，振子的速度为正，加速度为负的最大值【答案】A【解析】在1s t =和3s t =时，振子偏离平衡位置最远,速度为零,回复力最大，加速度最大，方向指向平衡位置，A 正确,C 错误；在2s t =和4s t =时，振子位于平衡位置，速度最大,回复力和加速度均为零，B 、D 错误，故选A 。

一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。

3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。

4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。

5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。

7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。

8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。

9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。

二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。