值域与核

高代求值域和核的例题高代中求值域和核的概念是非常重要的，它们在线性变换的研究中扮演着关键的角色。

本文将通过一个例题来详细介绍求值域和核的概念和应用。

假设我们有一个线性变换T：R^3 -> R^2，其中R表示实数集。

该线性变换可以用一个3x2的矩阵表示为：T = [[1, 2],[3, 4],[5, 6]]现在我们来研究该线性变换的值域和核。

首先，我们来看看该线性变换的值域。

值域是指线性变换T作用在定义域的向量上所得到的所有可能的输出向量构成的集合。

对于这个例子，我们可以将线性变换T作用在R^3的所有向量上，然后观察输出向量的形式。

具体地，我们可以将线性变换T作用在三个标准基向量上，分别是e1 = [1, 0, 0]，e2= [0, 1, 0]，e3 = [0, 0, 1]。

首先，我们将线性变换T作用在e1上，有：T(e1) = [[1, 2],[3, 4],[5, 6]] * [1, 0] = [1, 3, 5]接着，我们将线性变换T作用在e2上，有：T(e2) = [[1, 2],[3, 4],[5, 6]] * [0, 1] = [2, 4, 6]最后，我们将线性变换T作用在e3上，有：T(e3) = [[1, 2],[3, 4],[5, 6]] * [0, 0] = [0, 0, 0]根据上述计算结果，我们可以得到线性变换T的值域为所有形如[1, 3, 5]和[2, 4, 6]的向量的集合。

即值域为R^3中的一个平面。

这个平面可以通过线性变换T将R^3中的向量映射到R^2中。

接下来，我们来看看该线性变换的核。

核是指线性变换T作用在哪些向量上所得到的结果为零向量。

换句话说，核是线性变换T的零空间。

对于这个例子，我们需要找到满足以下条件的向量x：T(x) = [[1, 2],[3, 4],[5, 6]] * x = [0, 0, 0]为了求解上述方程，我们可以将其转化为增广矩阵形式：[[1, 2, 0],[3, 4, 0],[5, 6, 0]]通过高斯消元法，我们可以将该方程组化简为：[[1, 2, 0],[0, 0, 0],[0, 0, 0]]从中可以看出，存在自由变量（即x2和x3），因此核的维度为1。

核空间与值域核空间与值域，是线性代数中的两个重要概念。

它们分别描述了一个线性变换的两个关键性质：核空间（null space）描述了线性变换的零空间，而值域（range）则描述了线性变换在所有输入向量中所能达到的全部输出向量。

本文将对核空间与值域进行详细介绍及探讨。

一、核空间核空间是线性变换的一个重要属性，也叫做零空间。

对于线性变换T:V→W（其中 V 和 W 是向量空间），其核空间定义为使得 T(v) = 0的所有 v 向量的集合，记作 N(T) 或者 ker(T)。

核空间的性质与特点：1. 零向量必定属于核空间：对于线性变换 T，显然存在 T(0) = 0，因此零向量是核空间的元素之一。

2. 任意向量经过线性变换后成为零向量，则该向量属于核空间：若T(v) = 0，v 是 T 的核空间中的向量。

3. 核空间中的向量可以通过线性组合得到：若 v1 和 v2 属于核空间，α 和β 是标量，则αv1 + βv2 也属于核空间。

二、值域值域是描述线性变换的另一个重要参数。

对于线性变换T:V→W，其中 V 和 W 是向量空间，T 的值域定义为所有 T(v)（v 属于 V）所组成的向量的集合，记作 R(T) 或者 Im(T)。

值域的性质与特点：1. 值域是一个向量空间：对于线性变换 T，其值域 R(T) 是 W 的向量子空间。

2. 值域中的向量可以通过线性组合得到：若 v1 和 v2 属于值域 R(T)，α 和β 是标量，则αv1 + βv2 也属于 R(T)。

三、核空间与值域的关系核空间和值域是线性变换的两个重要性质，它们之间具有一定的关联。

1. 零空间的维度与线性变换的秩存在关系：对于线性变换 T，其核空间 N(T) 和值域 R(T) 满足维度定理（dimension theorem）：dim(N(T)) + dim(R(T)) = n，其中 n 是向量空间 V 的维度。

2. 核空间与值域之间的相关性：若向量 v 属于向量空间 V，且 v 不属于核空间 N(T)，则 T(v) 属于值域 R(T)。

高代求值域和核的例题高代中,求值域和核的概念非常重要。

在求解函数值域时,我们需要考虑函数的导数和积分;而在求解核时,我们需要考虑函数的构造和性质。

本文将介绍这些概念的例题和拓展。

### 求值域求值域是求解函数的零点、边界值和极大值等的关键步骤。

下面是求解函数值域的一些例题:1. 函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 的值域。

首先求导数 $f"(x)$,得到:$$f"(x) = 2x + 1$$然后根据导数的定义,求出函数的最大值和最小值:$$f"(x_0) = 0, quad f(x_0) = 1$$$$f"(x_n) = 2, quad f(x_n) = frac{3}{2}$$最后,将两个值代入求导数公式,得到值域为:$$[1, frac{3}{2}]$$2. 函数 $f(x) = sqrt{1 - x^2}$ 的值域。

首先求导数 $f"(x)$,得到:$$f"(x) = frac{1}{xsqrt{1 - x^2}}$$然后根据导数的定义,求出函数的最大值和最小值:$$f"(x_0) = -frac{1}{x_0sqrt{1 - x_0^2}} = 0$$$$f"(x_n) = -frac{1}{x_nsqrt{1 - x_n^2}} = frac{1}{x_n}$$ 最后,将两个值代入求导数公式,得到值域为:$$[0, frac{1}{2sqrt{3}}]$$3. 函数 $g(x) = frac{1}{1 + x}$ 的值域。

首先求导数 $g"(x)$,得到:$$g"(x) = -frac{1}{1 + x}$$然后根据导数的定义,求出函数的最大值和最小值:$$g"(x_0) = -frac{1}{1 + x_0} = 0$$$$g"(x_n) = -frac{1}{1 + x_n} = -frac{1}{1 + x_0}$$ 最后,将两个值代入求导数公式,得到值域为:$$[-1, 1]$$### 求核求核是求解函数的极值、零点和开口方向等的关键步骤。

第七章 线性变换学习单元6： 线性变换的值域与核_________________________________________________________● 导学学习目标：理解线性变换的值域与核的概念；掌握线性变换的值域的结构；掌握线性变换的核的结构；会求线性变换的值域的维数与基；会求线性变换的核的维数与基。

学习建议：建议大家多读定义及定理，认真理解定义及定理的条件与结论，结合例题、习题掌握理论内容。

重点难点：重点：掌握线性变换的值域与核的维数与基的计算。

难点：深刻理解线性变换的值域与核的结构。

_________________________________________________________● 学习内容一、线性变换的值域与核的概念及基本性质定义 设V 为数域P 上线性空间，(),A L V ∈V 的全体向量在A 下的像组成的集合称为A 的值域，记为()A V ，即(){()|}A V A V αα=∈。

V 的零向量在A 下的原像组成的集合称为A 的核，记为1(0)A -，即1(0){|()0}A V A αα-=∈=。

注 也记()A V 为Im A (the image of A )，1(0)A -为ker A (the kernel of A )。

命题 1(),(0)A V A V -≤。

定义 称dim ()A V 为A 的秩，记为()R A ，称1dim (0)A -为A 的零度，记为()N A 。

二、()A V 及1(0)A -的结构及关系定理 设V 为P 上n 维线性空间，(),A L V ∈1,,n εεL 为V 的一个基，A 在1,,n εεL 下的矩阵为A ，则（1）12()((),(),,())n A V L A A A εεε=L ；（2）()()R A R A =；注：由于A 在不同基下的矩阵相似，而相似矩阵有相同的秩，故计算()R A 时与基的选择无关。

核、值域、向量空间、⾏空间、零空间1、核所有经过变换矩阵后变成了零向量的向量组成的集合，通常⽤Ker(A)来表⽰。

假设你是⼀个向量，有⼀个矩阵要来变换你，如果你不幸落⼊了这个矩阵的核⾥⾯，那么很遗憾转换后你就变成了虚⽆的零。

特别指出的是，核实“变换”（Transform）中的概念，矩阵变换中有⼀个相似的概念叫“零空间”。

有的材料在谈到变换的时候使⽤T来表⽰，联系到矩阵时才⽤A，本⽂把矩阵直接看作“变换”。

核所在的空间定义为V空间，也就是全部向量原来的空间。

2、值域某个空间中所有向量经过变换矩阵后形成的向量的集合，通常⽤R（A）来表⽰。

假设你是⼀个向量，有⼀个矩阵要来变换你，这个矩阵的值域表⽰了你将来所有可能的位置。

值域的维度也叫做秩（Rank）。

值域所在的空间定义为W空间。

3、空间向量与建⽴在其上的加、乘运算构成了空间。

向量可以（也只能在）空间中变换。

使⽤坐标系（基）在空间中描述向量。

不管是核还是值域，它们都是封闭的。

意思是说，如果你和你的朋友困在核⾥⾯，你们不管是相加还是相乘都还会在核⾥⾯，跑不出去，这就构成了⼀个⼦空间。

值域同理。

数学家证明了，V（核所在的空间定义为V空间）的维度⼀定等于它的任意⼀个变换矩阵的核的维度加上值域的维度。

严格的证明可以参考相关资料，这⾥说⼀个直观的证明⽅法：V的维度也就是V的基的数⽬。

这些基分为两部分，⼀部分在核中，⼀部分是值域中⾮零象的原象（肯定可以分，因为核和值域都是独⽴的⼦空间）。

如果把V中的任意向量⽤基的形式写出来，那么这个向量必然也是⼀部分在核中，另⼀部分在值域中⾮零象的原象⾥。

现在对这个向量作变换，核的那部分当然为零了，另⼀部分的维度刚好等于值域的维度。

四、变换矩阵⾏空间和零空间的关系根据矩阵的性质，变换矩阵的⾏数等于V的维度，变换矩阵的秩等于值域R的维度，所以可以得出：因为A的秩⼜是A⾏空间的维度（注意在⾮满矩阵中这个数肯定⼩于⾏数），所以上述公式可以变为：之所以写成这个形式，是因为我们可以发现A的零空间和A的⾏空间是正交互补的。