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高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.3

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高等代数第7章线性变换[1]PPT课件

高等代数第7章线性变换[1]PPT课件
设A,BL(V), 定义A与B的和为V的一个变
换, 使"aV, 有 (A+B)(a) =A(a)+B(a)．
1、A + B 也是V的一个线性变换．
因为对于所有的a,bV和数k，lP,有
(A+B)(ka+lb) = A(ka+lb ) +B(ka+lb ) = kA(a)+lA(b)+kB(a)+lB(b) = k (A+B)(a)+l (A+B)(b)
精选
2、乘法适合结合律,即 (AB)C = A(BC)
因为映射的合成满足结合律 3、乘法不满足交换律,即一般地
AB BA 如求微分变换D 与求积分变换J , 有
DJ = E ,但一般地 JD E 4、单位变换的作用 AE = EA = A 5、零变换的乘法 OA = AO = O
精选
二、线性变换的加法及其性质
精选
2、(1)交换律 A +B =B +A (2)结合律 (A+B)+C =A+(B+C) (3)零变换 A+O =A (4)负变换 A+(-A) = O
其中 (-A)(a)= -A(a), 从而
(A - B) = (A+ (-B)) 3、分配律 A(B+C) = AB +AC
(A+B)C = AC+BC
D是一个线性变换，称为微分变换.
例7 闭区间[a, b]上所有连续函数全体 组成实数域R上的线性空间C0(a, b). 定义变换
x
则J是一个J(线f (性x))变=换精选.a f (t)dt
二、线性变换的简单性质

高等代数【北大版】课件

高等代数【北大版】课件
线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。

高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.7

高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.7

若 V W1 W2 Ws，则
11, ,1n1 , 21, , 2一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵
A1
A2
.
As
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
（1）
反之，若 在基 11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns 下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由 i1, i2 , , ini 生成 的子空间 Wi 为 的不变子空间，且V具有直和分解：
其次，任取 Vi , 设
( i E )ri Wi 0.
1 2 s , i Wi . 即 1 2 (i ) s 0 令 j j , ( j i); i i .
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
由（2）, 有 ( i E)ri (i ) 0, i 1,2, , s. 又 ( i E)ri (i ) ( i E)ri (i )
Wi fi ( )V , 则Wi 是 fi ( ) 的值域， Wi是 的不变子空间.
又 ( i E)ri Wi ( i E)ri fi ( )V
( i E)ri fi ( ) V f V
( i E)ri Wi 0.
（2）
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
下证 V V1 V2 Vs . 分三步：
1 . 证明 V W1 W2 Ws .
2 . 证明f1(V1),fV2(2), fVs (s是)直和1 .
3∴. 证存明在多Vi 项 W式i
, i
u1 (
1, 2,
), u2(
, s. ),
, us ( ),
使
u1( ) f ( )1 u2( ) f2( ) us ( ) fs ( ) 1

高等代数 讲义 第七章

高等代数 讲义 第七章

(στ ) δ
= σ (τδ )
D( f ( x )) = f ′( x )
J ( f ( x ) ) = ∫ f ( t )dt
x
（2） Eσ = σ E = σ ，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，
( DJ ) ( f ( x ) ) = D ∫0 f ( t ) dt
x
στ ≠ τσ .
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即
若 β = k1α1 + k2α 2 + L + krα r , 则 σ ( β ) = k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L + krσ (α r ).
例4. 闭区间 [a , b]上的全体连续函数构成的线性空间
C ( a , b ) 上的变换
σ ( X ) = AX , τ ( X ) = XB ,
∀X ∈ P n×n
则 σ ,τ 皆为 P n×n 的线性变换，且对 ∀X ∈ P n×n , 有
(στ )( X ) = σ (τ ( X )) = σ ( XB ) = A( XB ) = AXB , (τσ )( X ) = τ (σ ( X )) = τ ( AX ) = ( AX ) B = AXB .
= σ (τ (α )) + σ (τ ( β )) = (στ )(α ) + (στ )( β ), (στ )( kα ) = σ (τ ( kα )) = σ ( kτ (α )) = kσ (τ (α )) = k (στ )(α )
§7.1 线性变换的定义
２．基本性质
（1）满足结合律：
例1. 线性空间 R[ x ]中，线性变换

高等代数讲义ppt第七章 线性变换

高等代数讲义ppt第七章 线性变换

(4) 若A 是可逆的，则矩阵 A 也可逆，且A-1的矩阵是A-1。
例5 设 V是数域P上的n维线性空间，则L(V)与P n×n同构。
例6 设 A1，A2是 n 维线性空间 V 的两个线性变换，证明： A2V⊂A1V 的充要条件是存在线性变换 A 使得 A2=A1A 。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
例4 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换, A3=2E, B =A2-2A+2E， 证明：A，B都是可逆变换。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
§3 线性变换的矩阵
定理1 设1, 2 , , n是线性空间V的一组基, 对V中任意n个向量 1,2 , ,n 存在唯一的线性变换 A∈L(V) 使任的何像得元，素只都要可选以取是适基当
线性变换
§1 线性变换的定义
二、线性变换的性质
性质1 设 A 是V的线性变换，则 A(0) 0, A( ) A()
性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
注意： 线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的 向量组。
例3 设 1,2, ,r 是线性空间V的一组向量，A 是V的一个线
线性变换的加法满足以下运算规律：
(1) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
(2) A + B = B + A
线性变换
§2 线性变换的运算
定义2 设 A∈L(V)，k∈P，对k与 A 的数量乘积 kA 定义为：
(kA) k A, V
结论2 对∀A ∈L(V)，k∈P 有 kA∈L(V)。
Amn AmAn , (Am )n Amn, m, n N

高等代数 北大 课件

高等代数 北大 课件

拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。

高等代数课件 第七章

高等代数课件 第七章
①对于任意 , V , ( ) ( ) (). ②对于任意 a F, V , (a ) a ( )
易证上面的两个条件等价于下面一个条件：
③对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) a ( ) b ()
在②中取 a 0 ，对③进行数学归纳，可以得到：
（1） (0) 0
x1
A
x2
.
xn
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基 {1, 2 ,, n} 的矩阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2 ,, xn，) 而σ(ξ)的坐标是 ( y1, y2 ,, yn，)
例6 取定F的一个n元数列 a1, a2,, an , 对于 F n
的每一向量 x1, x2,, xn , 规定
a1x1 a2 x2 an xn F
则，σ是 F n到F的一个线性映射(这个线性映射也叫做 F上一个n元线性函数或 上F n一个线性型).
例7 对于F[x] 的每一多项式 f(x)，令它的导数
因而（9）成立。
三、线性变换的多项式
线性变换的乘法满足结合律：
对于任意 , , L(v), 都有
( ) ( ).
因此, 我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次
幂
n
n
这里n是正整数。
我们再定义
0
这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样 一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。
加法: : ( ) ( ) 数乘: k : k ( ) ,

高等代数【北大版】7.2

高等代数【北大版】7.2

β = k1σ (ε 1 ) + k2σ (ε 2 ) + + knσ (ε n ),
即有 σ ( k1ε 1 + k 2ε 2 + + k nε n ) = β .
∴ σ 为满射 为满射.
§7.2 线性变换的运算
其次, 其次,任取 α , β ∈ V , 设 α = ∑ aiε i , β = ∑ biε i ,
1
(α + β ) = σ
1 1
1
1
1
1
1
1
1
σ 1 ( kα ) = σ 1 k ( σσ 1 ) (α ) = σ 1 k σ ( σ 1 (α ) )
= σ 1 σ k σ 1 ( α )
§7.2 线性变换的运算
= σ 1 ( α ) + σ 1 ( β )
( (
(
(
)))
)
((
)
))
= k σ 1 (α ) = kσ 1 (α )
线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性 线性变换的加法与数量乘法构成数域 上的一个线性 空间,记作 L(V ). 空间,
§7.2 线性变换的运算
四, 线性变换的逆
1.定义
为线性空间V的线性变换 若有V的变换 的线性变换, 设 σ 为线性空间 的线性变换,若有 的变换 τ 使
στ = τσ = E
§7.2 线性变换的运算
2.基本性质
(1)满足交换律:σ + τ = τ + σ )满足交换律: (2)满足结合律:(σ + τ ) + δ = σ + (τ + δ ) )满足结合律: 为零变换. (3) 0 + σ = σ + 0 = σ , 0为零变换 ) 为零变换 (4)乘法对加法满足左,右分配律: )乘法对加法满足左,右分配律:

高等代数【北大版】76

高等代数【北大版】76
由第六章§5的结论3知， (1), ( 2 ),L , ( n ) 的秩
等于矩阵A的秩.
∴ 秩( )＝秩 ( A).
§7.6 线性变换的值域与核
2. 设 为n 维线性空间V的线性变换，则
的秩＋ 的零度＝n 即 dim (V ) dim 1(0) n.
证明：设 的零度等于r ，在核 1(0)中取一组基 1, 2 ,L , r
线性无关.
设 kr1 ( r1 ) L kn ( n ) 0
则有 kr1 r1 L kn n 0
kr1 r1 L kn n 1(0) 即 可被 1, 2 ,L , r 线性表出.
§7.6 线性变换的值域与核
设 k11 k2 2 L kr r 于是有 k11 k22 L kr r, kr1 r1 L kn n 0 由于为 1, 2 ,L , n V的基.
二、有关性质
1. (定理10) 设 是n 维线性空间V的线性变换，
1, 2 ,L , n 是V的一组基， 在这组基下的矩阵是A，
则
1） 的值域 (V )是由基象组生成的子空间，即
(V ) L (1), ( 2 ),L , ( n )
2） 的秩＝A的秩.
§7.6 线性变换的值域与核
证：1） V , 设 x11 x2 2 L xn n , 于是 ( ) x1 (1) x2 ( 2 ) L xn ( n )
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §6 线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7不变子空间
Байду номын сангаас
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
§7.6 线性变换的值域与核

高等代数【北大版】课件

高等代数【北大版】课件

多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况， 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念，包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式，按照一定规则排列，具有一些重 要的性质，如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。

高等代数(第7章)

高等代数(第7章)

例如，零变换将线性无关的向量组变成线性相关 的向量组.
§7.2 线性变换的运算
设V是数域P上的线性空间， 、是V的两个线 性变换. 1.线性运算 (1)加法： 与的和定义为 ( +)()=()+() ( V) (2)数量乘法：数域P中的数k与的数量乘法定义为 (k)( ) =k(()) ( V) (3) 负变换：的负变换 -定义为 (-)()= - () ( V) 结论：线性空间V上的线性变换的全体，对于如上定 义的加法与数乘运算构成数域P上的线性空间.即
例2 设是几何空间中一个固定的非零向量, 将每个 向量变到它在上的内射影的变换
( , ) ( ) ( , ) .
( )


是一个线性变换.
2.线性变换的简单性质 设 是数域P上线性空间V的一个变换. (i)(0)=0, (-)= - (), V. (ii)(k11+…+ kmm)= k1(1) +…+ km(m) i V, ki P (i=1,2,…,m) (iii) 设i V, (i=1,2,…,m) .若 1,2,…,m线性相关,则 (1),(2),…,(m)线性相关；反之不然.
线性变换被基向量的像唯一确定！
定理1: 设1, 2,…,n是数域P上n维线性空间V 的一组 基, 1,2,…,n是V中任意n个向量,则存在唯一的线性 变换使 (j)= j , j=1,2,…,n.
证明：(i)存在性
x i i V , 定义V的变换： x i i .
仍是线性变换
()()=(()) ( V)
运算律： (i)()= () (ii) (+) = + , (+)+= +(+) (iii)k()=(k)= (k) 注意：线性变换的乘积一般是不可交换的,即 . 例1 在P22中，定义线性变换、 、为

高等代数第7章线性变换PPT课件

高等代数第7章线性变换PPT课件

特征向量定义
对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值 m的特征向量。
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向 量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特 征值。
求解方法
通过求解特征多项式f(λ)=|A-λE|的根得到特 征值，再代入原方程求解对应的特征向量。
特征多项式及其性质分析
特征多项式定义
量子力学
在量子力学中，特征值和特征向量用 于描述微观粒子的状态和能量级别。
图像处理
在图像处理中，特征值和特征向量可 以用于图像压缩和图像识别等任务。
经济学
在经济学中，特征值和特征向量可以 用于分析和预测经济系统的稳定性和 发展趋势。
04
线性变换对角化条
件及步骤
可对角化条件判断方法
判断矩阵是否可对角化
线性变换的性质与 矩阵性质对应
线性变换的性质如保持加法、 数乘等运算可以通过其对应的 矩阵性质来体现。例如，两个 线性变换的和对应两个矩阵的 和；线性变换的复合对应两个 矩阵的乘积等。
02
线性变换矩阵表示
法
标准基下矩阵表示法
定义
设V是n维线性空间，e1,e2,...,en 是V的一个基，T是V上的一个线 性变换，则T在基e1,e2,...,en下的 矩阵A称为T在基e1,e2,...,en下的 标准矩阵表示。
计算矩阵的高次幂
对于可对角化的矩阵A，可以利用对角化公式A=PDP^(-1)将A的高次幂转化为对角矩阵D的高次幂， 从而简化计算过程。
求解线性方程组
对于系数矩阵为可对角化矩阵的线性方程组，可以通过对角化将系数矩阵转化为对角矩阵，进而 简化方程组的求解过程。
计算行列式和逆矩阵
对于可对角化的矩阵A，其行列式值等于对角矩阵D的行列式值，逆矩阵可以通过对角化公式求得， 从而简化相关计算。

第七章 线性变换

第七章 线性变换

, ε n ,写出
,ε n
高等代数
东北大学秦皇岛分校
例 2 设线性变换A 在基 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的矩阵是
⎛1 2 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 1 2⎟, ⎜2 2 1⎟ ⎝ ⎠
求A 的特征值与特征向量. 线性变换A 的属于 λ0 的全部特征向量再添上零向量所 成的集合,是V的一个子空间,称为A 的一个特征子空间,记为
高等代数
东北大学秦皇岛分校
例 设V是数域P上一个二维线性空间,
ε 1 , ε 2是一组基线性变换A 在 ε 1 , ε 2 下的矩阵是
⎛ 2 1⎞ ⎜ ⎟. ⎝ −1 0 ⎠ 对V的另一组基 η1 ,η 2 ,有
⎛ 1 −1 ⎞ (η1 ,η 2 ) = (ε 1 , ε 2 ) ⎜ ⎟, ⎝ −1 2 ⎠ k ⎛ 2 1⎞ 求 ⎜ ⎟ . ⎝ −1 0 ⎠
高等代数
东北大学秦皇岛分校
定理 2 设 ε 1 , ε 2 ,
, ε n 使数域P上n维 ,ε n ) A
线性空间V的一组基,在这组基下,每个线性变换按
A (ε 1 , ε 2 ,
, ε n ) = (ε 1 , ε 2 ,
都对应一个 n × n 矩阵,这个对应具有以下的性质: 1) 线性变换的和对应于矩阵的和; 2) 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积; 3) 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积; 4) 可逆的线性变换与可逆矩阵对应,且逆变换对 应于逆矩阵.
高等代数
东北大学秦皇岛分校
利用线性变换的矩阵计算向量的像: 定理 3 设线性变换A 在基 ε 1 , ε 2 , 矩阵是A,向量 ξ 在基 ε 1 , ε 2 , 则 A ξ 在基 ε 1 , ε 2 ,
, ε n 下的 , ε n下的坐标是 ( x1 , x2 ,

高等代数【北大版】7.4

高等代数【北大版】7.4
§7.4 特征值与特征向量
二,特征值与特征向量的求法
的一组基, 分析: 设 dimV = n, ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是V的一组基, 的一组基 分析: 在这组基下的矩阵为A. 线性变换 σ 在这组基下的矩阵为 的特征值, 设 λ0是 σ 的特征值,它的一个特征向量 ξ 在基
x01 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的坐标记为 M , x 0n x01 则 σ (ξ )在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的坐标为 A M , x 0n
证:设 A 设
B , 则存在可逆矩阵 ,使得 则存在可逆矩阵X,
B = X 1 AX
于是, 于是, λ E B = λ E X 1 AX
= λ X 1 EX X 1 AX = X 1 ( λ E A) X = X 1 λ E A X
由多项式根与系数的关系还可得
+ L + ( 1) A
n
的全体特征值的和= ① A的全体特征值的和= a11 + a22 + L + ann . 的全体特征值的和 ② A的全体特征值的积= A . 的全体特征值的积=
§7.4 特征值与特征向量称之为A的迹 称之来自 的迹,记作trA. 记作
2. (定理6) 相似矩阵具有相同的特征多项式. (定理 相似矩阵具有相同的特征多项式. 定理6)
§7.4 特征值与特征向量
例2.设线性变换 σ 在基 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的矩阵是 设线性变换
1 2 2 A = 2 1 2, 2 2 1
特征值与特征向量. 求 σ 特征值与特征向量 解:A的特征多项式 的特征多项式
λ 1 2 2 λ E A = 2 λ 1 2 = (λ + 1)2 (λ 5) 2 2 λ 1
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1,2, ,n A B
∴ + 在基 1, 2 , , n下的矩阵为A＋B.
§7.3 线性变换的矩阵
② 1,2, ,n 1,2, ,n 1,2, ,n B 1, 2, , n B
1,2, ,n AB
∴ 在基 1, 2 , , n下的矩阵为AB.
③ k 1,2, ,n k 1 , ,k n k 1 , ,k n k 1 , , n
k 1, 2, , n k 1,2, , n A 1,2, ,n kA
∴ k 在基 1, 2 , , n下的矩阵为 kA.
§7.3 线性变换的矩阵
④ 由于单位变换(恒等变换) E对应于单位矩阵E.
所以， E
与 AB＝BA＝E 相对应.
因此，可逆线性变换 与可逆矩阵A对应，且 逆变换 - 1 对应于逆矩阵 A- 1.
x1
,
n
A
x2
xn
1, 2 ,
y1
,n
y2
1, 2 ,
yn
x1
,
n
A
x2
xn
由于 1, 2 ,
, n线性无关，所以
y1 x1
y2
＝A
x2
.
yn xn
§7.3 线性变换的矩阵
4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系
定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
显然，1,2 , ,n 也是一组基，且 在这组基下的
矩阵就是B.
§7.3 线性变换的矩阵
（3）相似矩阵的运算性质 ① 若 B1 X 1A1X , B2 X 1A2 X , 则 B1 B2 X 1( A1 A2 )X , B1B2 X 1( A1A2 )X . 即， A1 A2 B1 B2 , A1 A2 B1B2 .
1, 2 , , n
(Ⅰ)
1,2 , ,n
(Ⅱ)
下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡
矩阵矩阵是X，则 B X 1AX .
§7.3 线性变换的矩阵
证：由已知，有
1,2, , n 1, 2, , n A, 1,2, ,n 1,2, ,n B,
1,2, ,n 1, 2, , n X .
§7.3 线性变换的矩阵
（2）
定理5 线性变换在不同基下的矩阵是相似的；
反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作
同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.
证：前一部分显然成立. 下证后一部分.
设 A B, 且A是线性变换 在基1, 2 , , n下的矩阵.
B= X 1AX , 令 1,2 , ,n 1, 2 , , n X .
( 2
)
12 1
22 2
( n ) 1n1 2n 2
n1 n n2 n nn n
用矩阵表示即为
1,2, , n 1, 2,
§7.3 线性变换的矩阵
, n 1, 2,
,n A
其中
11 12
A
21
22
n1 n2
1n
2n
,
nn
矩阵A称为线性变换 在基 1, 2 , , n下的矩阵.
于逆矩阵.
§7.3 线性变换的矩阵
证：设 , 为两个线性变换，它们在基 1, 2 , , n
下的矩阵分别为A、B，即
1,2, ,n 1,2, 1,2, ,n 1,2,
,n A ,n B
①
1,2, ,n
1,2, ,n 1,2, ,n
1, 2 , , n A 1 2 n B
y2
＝A
x2
.
yn xn
§7.3 线性变换的矩阵
证：由已知有
1,2, , n 1, 2, , n A,
＝1, 2 ,
x1
,
n
x2
,
xn
( ) 1, 2,
y1
,n
y2
.
yn
§7.3 线性变换的矩阵
又
( ) 1, 2,
x1
,
n
x2
1,
2
,
xn
定理2 设1, 2 , , n为数域P上线性空间V的一组
基，在这组基下，V的每一个线性变换都与 Pnn 中 的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： ① 线性变换的和对应于矩阵的和； ② 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； ③ 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； ④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应
§7.3 线性变换的矩阵
3．线性变换矩阵与向量在线性变换下的象
定理3 设线性变换 在基1, 2 , , n下的矩阵为A,
V在基 1, 2 , , n下的坐标为 ( x1, x2 , , xn ), ( )在基 1, 2 , , n下的坐标为 ( y1, y2 , , yn ),
则有
y1 x1
定义 :V V , ＝x11 x22
xn
，
n
易知 为V的一个变换，下证它是线性的.
n
n
任取 ， V , 设 = bii , cii
i 1
i 1
§7.3 线性变换的矩阵
n
n
则 ＋＝ （bi＋c） i i , k (kbi )i
i 1
i 1
n
n
n
于是 ＋ （bi＋c） i i bii cii
于是， 1,2, ,n 1, 2, , n X 1, 2 , , n AX 1,2, ,n X - 1AX .
由此即得 B= X - 1AX .
§7.3 线性变换的矩阵
三、相似矩阵
1．定义
设A、B为数域P上的两个n级矩阵，若存在可逆 矩阵 X P nn , 使得
B X - 1AX 则称矩阵A相似于B，记为 A B.
§7.3 线性变换的矩阵
注： L(V ) Pnn ; dim L(V ) n2.
事实上，任意取定V的一组基 1, 2 , , n后， 对任意 L(V )，定义 ：
: L(V ) Pnn, ( ) A, 这里A为 在基 1, 2 , , n 下的矩阵. 则 就是L(V )到 Pnn的一个同构映射.
注： ① A的第i列是 ( i ) 在基 1, 2 , , n下的坐标，
它是唯一的. 故 在取定一组基下的矩阵是唯一的.
② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；
零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；
数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；
§7.3 线性变换的矩阵
例1. 设线性空间 P3的线性变换 为 ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x1 x2 )
1 1
1 2
,
（1）求 在1,2下的矩阵B.
（2）求 Ak .
§7.3 线性变换的矩阵
解：（1）由定理4， 在基 1,2 下的矩阵
B
1 1
1 1 2
21 1 0
1 1 1 2
21 11
21 1 0
1 1
1 2
1 0
1 1
.
（2）由 B= X 1 AX , 有 A= XBX 1,
§7.3 线性变换的矩阵
2．基本性质
（1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质： ① 反身性： A A.
A= E 1AE.
② 对称性： A B B A.
B X 1AX A Y 1BY ,Y X 1.
③ 传递性： A B, B C A C.
B= X 1AX , C= Y 1BY C = Y 1BY = Y 1( X 1AX )Y = ( XY )1 A( XY ).
于是 Ak = XBk X 1.
Ak =
1 1 1 2
1 1 k 1 1 1 0 1 1 2
=
1 1 1 2
1k 01
21 11
k 1 k
k k 1
.
§7.3 线性变换的矩阵
例4.在线性空间 P3 中，线性变换 定义如下：
(1 (2
) )
( 5, 0, (0, 1,
3) 6)
,
(3 ) (5,1,9)
其中,
12(
1, 0, 2) (0,1,1)
3 (3,1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
§7.3 线性变换的矩阵
解：（1）由已知，有
1
(1,2 ,3 )
(1, 2 , 3 )
0 2
0 1 1
3 1 0
对V中任意n个向量 1,2 , ,n , 存在唯一的线性
变换 , 使
i
，
i
i 1,2,
, n.
§7.3 线性变换的矩阵
二、 线性变换与矩阵
1．线性变换的矩阵
设 1, 2 , , n为数域P上线性空间V的一组基，
为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设
(1 ) 111 21 2
§7.3 线性变换的矩阵
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
91
0 2
1 1
01
1 7
5 4 27
20 5 18
20
2 24
§7.3 线性变换的矩阵
（2）设 在1,2 ,3下的矩阵为B，则A与B相似，且
间W 的一组基，把它扩充为V的一组基：1, 2 , , n .
并定义线性变换 ：
i i i 0
i 1,2, ,m i m 1, ,n
则
1