n维线性空间的线性变换的核与值域的性质及应用

线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数中的重要概念，在数学和物理等领域有着广泛的应用。

本文将介绍线性空间和线性变换的概念、性质以及它们之间的关系。

一、线性空间的定义和性质线性空间是指具有加法运算和数乘运算的集合，满足以下条件：1. 加法运算闭合性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v仍然属于该集合。

2. 加法交换律：对于任意两个向量u和v，有u+v = v+u。

3. 加法结合律：对于任意三个向量u、v和w，有(u+v)+w =u+(v+w)。

4. 存在零向量：存在一个特殊的向量0，使得对于任意向量v，有v+0 = v。

5. 对于任意向量v，存在其负向量-u，使得v+(-u) = 0。

6. 数乘运算闭合性：对于任意标量c和向量v，它们的乘积cv仍然属于该集合。

7. 数乘结合律：对于任意标量c和d以及向量v，有(c+d)v = cv+dv。

8. 数乘分配律1：对于任意标量c以及向量u和v，有c(u+v) =cu+cv。

9. 数乘分配律2：对于任意标量c和d以及向量v，有(cd)v = c(dv)。

线性空间的例子包括n维向量空间和函数空间等。

它们满足上述定义中的所有条件。

二、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射，满足以下条件：1. 对于任意向量v和w以及标量c，线性变换T满足T(v+w) =T(v)+T(w)和T(cv) = cT(v)。

2. 线性变换T保持向量的线性组合关系，即对于任意向量v1、v2、...、vn和标量c1、c2、...、cn，有T(c1v1+c2v2+...+cnvn) =c1T(v1)+c2T(v2)+...+cnT(vn)。

3. 线性变换T将零向量映射为目标线性空间的零向量。

线性变换的例子包括平移、旋转和缩放等。

它们保持向量空间的线性结构和线性关系。

三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换之间存在着密切的联系。

给定一个线性空间V，定义一个线性变换T：V→W，其中W是另一个线性空间。

有限维线性空间上线性变换的值域与核数学系 04数本 410401142 郭文静摘要： 定义在有限维空间V 上的线性变换的值域与核都是V 的子空间。

本文主要讨论了这两个子空间与大空间的关系。

本文还进一步讨论了幂等变换的值域与核的有关性质。

简明介绍了用线性变换的值域与核来刻划可逆变换.关键词：值域、核、直和、幂等变换。

正文：定义1：设σ是线性空间V 上的一个线性变换，σ的全体象的集合称为的σ值域,用()V σ或m I σ表示，所有被σ变成零的向量的集合称为σ核，用()10σ-或()Ker σ表示。

且记为：()(){}m V I V σσσαα==∈()(){}1(0)0,Ker V σσασαα-===∈.不难证明，()V σ与()10σ-都是σ的不变子空间。

一:线性空间V 与ker ,()V σσ的关系结论1: dim ()dim(ker )V σσ+=σ的秩＋σ的零度＝()dim V .证明见 《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研代数小组编。

应当指出，虽然子空间()V σ与()Ker σ的维数之和为n ，但是，()()10V σσ-+不一定是整个子空间，那么当σ满足什么条件时()()10V V σσ-=+？若()()10V V σσ-=+成立，σ必须满足什么条件呢？结论2就回答了这个问题.结论2: σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则秩2σ=秩σ⇔()()10V V σσ-=+ 证明：()⇒设1,2,...,n εεε是V 的一组基，而()()()()()()()11,,,,n i is V L L σσεσεσεσε==这里()()1,,i is σεσε为()V σ的一组基.于是，()()()()2221,,i is V L σσεσε=已知 秩2σ=秩σ 则()()2dim dim V V σσ= 则()()221,,i is σεσε 为()2V σ的基。

()()10V ασσ-∀∈⋂ 则 ()()11i s is a a ασεσε=++且()()()22110i s is a a σασεσε==++从而10s a a ===即0α=故()()10{0}V σσ-⋂= 即()()10V σσ-+为直和. 又因为()()()()()11dim 0dim dim 0V V n σσσσ--+=+= 所以 ()()10V V σσ-=⊕ ；()⇐设 ()()10V V σσ-=⊕，任取()()10V ασσ-=⊕(),.V s t βασβ∃∈=，而 ()()1110,V βσβγγσβ-=+∈∈于是()()221V ασβσ=∈，故()()2V V σσ⊆ 显然，()()2V V σσ⊇ 所以，()()2V V σσ= 得，秩2σ=秩σ.特别的，如果2σσ=，那么()()10V V σσ-=⊕结论3: 数域P 上的n 维线性空间V 的任一子空间W 必为某一线性变换的核。

LUOYANG NORMAL UNIVERSITY2010届本科毕业论文线性变换的核和值域的若干性质的讨论院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名高远晓学号060414047指导教师周慧倩讲师完成时间2010.5线性变换的核和值域的若干性质的讨论高远晓数学科学学院数学与应用数学学号：060414047指导教师：周慧倩摘要：本文给出了在什么样的特殊线性变换下,线性变换的核和值域的直和是整个线性空间；线性变换为可逆线性变换；线性变换的核和值域互为正交补.关键词：线性变换的核和值域；逆变换；直和；正交补0 引言线性变换是高等代数中的一个重要的知识点,在线性空间中有举足轻重的地位,不管是在理论研究中还是在实际应用中都有极其重要的地位.这也就要求我们必须在线性变换这方面多多思考,认真学习.在对课本上的知识学习外有必要多看看其他相关的书籍和文献,对自己将来的研究或工作都是有益的.线性变换的核和值域是线性空间的一个重要概念,除了基本的性质之外,特殊的线性变换还具备一些特殊的性质,同时一些具有特殊性质的线性变换的核和值域的关系也反映了一些特殊的线性变换.文献[1]中已经给出了线性变换相应的性质,我们可以在此基础上,思考线性变换的核和值域的特殊性质.如什么样情况下其直和为整个空间；核和值域还有那些特别的性质；什么情况下其直和互为正交补.并对一些不满足的情况给出了反例.1基本概念和基本定理定义1.1 线性变换的核和值域的概念[]2设σ是数域上P的线性空间V的一个线性变换,σ的全体象组成的集合称为σ表示,所有被σ变成零向量的向量组成的集合称为σ的核,用σ的值域,用()V()10σ-表示.σ的核()10σ-又记作()Ker σ,σ的值域()V σ又记作Im()σ.即(){}()0,Ker V σζσζζ==∈,(){}Im()V σσζζ=∀∈.定义1.2 直和的概念[]1设1V ,2V 是线性空间V 的子空间,如果和12V V +中每个向量α的分解式 12=+ααα, 1122,V V αα∈∈ ,是唯一的,这个和就称为直和,记为12V V ⊕.定义1.3 欧氏空间正交补的概念[]1子空间2V 称为子空间1V 的一个正交补,如果1V ⊥2V ,并且12V V V +=.定理1.1 （维数公式） 如果1V ,2V 是线性空间V 的两个子空间,那么 ()()()()121212dim dim dim dim V V V V V V +=++⋂.定理1.2 设1V ,2V 是V 的子空间,令12W V V =+,则12W V V =⊕的充分必要条件为()()()12dim dim dim W V V =+.2 线性变换的核和值域的直和是整个线性空间的条件定理2.1 设σ是数域F 上线性空间V 的一个线性变换,在V 是有限维向量空间的情形,我们有σ的核()Ker σ与σ的值域Im()σ的维数之和等于V 的维数,即：dimIm()dim ()Ker n σσ+= .证明：参考文献[1].应该指出,虽然子空间()Im σ与()Ker σ的维数之和为n ,但是Im()()Ker σσ+并不一定是整个空间.例 1 设是三维向量空间V 是实数域R 上的线性空间,σ为三维线性空间的一个线性变换.相性无关的三个向量1α,2α,3α为V 的一组基,分别为()11,0,0α=,()20,1,0α=,()30,0,1α=.其中()()10,0,0σα=,()()20,0,0σα=, ()()30,1,0σα=.证明：由题可知dimIm()dim ()3Ker σσ+=,但是Im()()Ker σσ+不是整个三维空间.因为Im()()Ker σσ+只有两个线性无关的向量()11,0,0α=和()20,1,0α=,这与三维线性空间为三维空间相矛盾.对于一般的线性变换虽然有性质2.1知满足性质()()dimIm dim Ker n σσ+=.但是很多的线性变换是不满足()()dimIm dim V Ker σσ=+这个性质的,由例1知空间V 不一定等于()()Im Ker σσ+.那么一般来说空间V 不是线性变换的核和值域的直和,即()()Im V Ker σσ=⊕不一定成立.如：设[]n F x 表示数域F 上所有次数不大于n 的多项式及零多项式所成的向量空间,令()()':f x f x σ→,则()[]1Im n F x σ-=,()Ker F σ=,满足()()dimIm dim Ker n σσ+=,但()(){}Im 0Ker F σσ⋂=≠,()()Im V Ker σσ≠⊕.下面我们讨论什么样的情况下有Im()()V Ker σσ=⊕.引理 ()()Im V Ker σσ=+的充分条件为()(){}Im 0Ker σσ⋂= . 证明 由定理2.1知dimIm()dim ()Ker n σσ+=,因,()(){}Im 0Ker σσ⋂= ,由维数公式知()()()dim Im dimIm()dim ()Ker Ker n σσσσ+=+=.因此可得()()Im V Ker σσ=+.定理2.2 ()()Im V Ker σσ=⊕的一个充分条件为2σσ=.证明：任取()()Im Ker ασσ∈⋂,由()Ker ασ∈得()0σα= .由()Im ασ∈知存在V ξ∈使()σξα=,则()()20ασξσξ=== .所以()(){}Im 0Ker ασσ∈⋂= . 由引理和()()Im Ker V σσ+⊆可知()()Im V Ker σσ=⊕.对此题的条件2σσ=给以推广可得：定理2.3 设σ是n 维向量空间V 的线性变换,则V ()()Im Ker σσ=⊕的充要条件是()()2dimIm dimIm σσ=.证明 （充分性） 设2dim Im()dim Im()σσ=,则22dim Im()dim ()dim Im()dim ()Ker Ker n σσσσ+=+=.因2dim Im()dim Im()σσ=,于是2dim ()dim ()Ker Ker σσ=.但2()()Ker Ker σσ⊆,于是2()()Ker Ker σσ=.再证{}Im()()0Ker σσ⋂=.因为Im()()Ker βσσ∀∈⋂,V γ∃∈,使()βσγ=,且()0σβ=,所以()()20σγσβ==,2()()Ker Ker γσσ∈=.故()0βσγ==.即证{}Im()()0Ker σσ⋂=.由dimIm()dim ()Ker n σσ+=,{}Im()()0Ker σσ⋂=,可得Im()()V Ker σσ=⊕.（必要性） 设Im()()V Ker σσ=⊕,因为()2Im()Im()Im()σσσσ=⊆,且Im()βσ∀∈,V α∃∈,使()βσα=.于是可设12ααα=+,其中12Im(),()Ker ασασ∈∈.则()()()()()()2212Im()βσασασασσδσδσ==+==∈.即2Im()Im()σσ⊆.由2Im()Im()σσ⊆,2Im()Im()σσ⊆可得,2Im()Im()σσ=,故2dim Im()dim Im()σσ=.我们上面讨论的所有线性变换都是随线性空间施加一次线性变换后核和值域的关系,那么当对一个线性空间连续施加相同的线性变换后,线性空间的核和值域有什么样的关系呢？线性空间的核和值域的直和是否是整个线性空间呢？下面我们来讨论这个问题.定理2.4 设T 是n 线性空间V 上线性变换, T 的核记为()Ker T ,T 的象记为Im()T ,则（1） {}20k KerT KerT KerT ⊆⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅，2Im Im Im k T T T V ⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⊆.（2）存在正整数k,使得1k k KerT KerT +=并且,对一切t 1≥的整数有k k t KerT KerT +=.同时有Im k k V T KerT =⊕.证明 （1）显然{}0KerT ∈ .要证{}20k KerT KerT KerT ⊆⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅ 只要证明1m m KerT KerT +⊆ ()1,2,m =⋅⋅⋅即可.m KerT α∀∈,则()0mT α= ,所以有()()()()100m m T T T T αα+=== . 故1m KerT α+∈,此即1m m KerT KerT +⊆()1,2,m =⋅⋅⋅成立,从而{}20k KerT KerT KerT ⊆⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅ 成立.要证2Im Im Im k T T T V ⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⊆式,只需证明1Im Im s s T T +⊆,()1,2,s =⋅⋅⋅.即可.1Im s T β+∀∈,则存在V δ∈,使()()()1Im s s s T T T T βδδ+==∈.从而1Im Im s s T T +⊆,()1,2,s =⋅⋅⋅成立,所以2Im Im Im k T T T V ⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⊆成立.（2）由上面{}20k KerT KerT KerT ⊆⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅ 有2dim dim dim s KerT KerT KerT ≤≤⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅由于V 是n 维线性空间, dim KerT 是常数,且维数不能为负,因此上式不能为无限不等下去,从而一定存在正整数k,使1dim dim k k KerT KerT +=.但1k k KerT KerT +⊆.有1dim dim k k KerT KerT +=,1k k KerT KerT +⊆即证1k k KerT KerT +=成立.再用数学归纳法证明k k t KerT KerT +=,显然1t =时结论成立.归纳假设结论对1s -成立,即()1k s k KerT KerT +-=.再证s 时结论成立,有s k s k k KerT KerT KerT +-+⊆=)1(.k s KerT β+∀∈,则()()()10k s k s T T T ββ+-+==,即()()1k s k T KerT KerT β+-∈=.所以10k T β+=,()11k s k k KerT KerT KerT β+-+∈==,此即k s k KerT KerT +⊆.由()1k s k k s KerT KerT KerT +-+⊆⊆,k s k KerT KerT +⊆得证k s k KerT KerT +=.即对s 也成立,从而k k t KerT KerT +=对一切正整数 t 成立.再证{}Im 0k k T KerT ⋂=.其中k 满足k k t KerT KerT +=.Im k k T KerT α∀∈⋂,则()k T αβ=,V β∈,且()0k T α=.所以()()220k K k k T T KerT KerT αββ==⇒∈=.从而()0k T αβ==,即证{}Im 0k k T KerT ⋂=.由于k T 是V 的线性变换,因此有维数公式可知()()()dim dim Im dim dim Im k k k k V n T KerT T KerT ==+=⊕.但Im k k T KerT V ⊕⊆.由()()()dim dim Im dim dim Im k k k k V n T KerT T KerT ==+=⊕,Im k k T KerT V ⊕⊆即证Im k k V T KerT =⊕成立.3 线性变换可逆时核和值域的性质我们知道一般的线性变换不一定是可逆的线性变换,那么当什么样的情况下线性变换是可逆的线性变换呢？具有可逆性质的线性变换来说,它的核和值域有什么样的特殊性质吗？下面我们来讨论这个问题.定理3.1 设σ是数域P 上的线性空间V 的一个线性变换,若(){}0Ker σ= ,则σ是单变换.证明 对于,V ξη∀∈,若()()σξση=,则有()()0σξση-=,即()0σξη-=,于是()Ker ξησ-∈.又因()0Ker σ=,则有0ξη-=,即ξη=,故σ是单变换.定理3.2 设V 是数域P 上的有限维线性空间,σ是V 的一个线性变换,若(){}Ker =0σ,则σ是满变换.证明 已知V 是数域P 上有限维线性空间,故设V 的维数是n,且12,,,n ααα⋅⋅⋅是V 的一组基. 先证()()()12n ,,,σασασα⋅⋅⋅是V 的一组基.设12,,,n k k k ⋅⋅⋅是数域P 中的任意n 个数,使得()()()1122n 0n k k k σασασα++⋅⋅⋅+=,则有()1122n 0n k k k σααα++⋅⋅⋅+=.即()1122n n k k k Ker ααασ++⋅⋅⋅+∈,而()0Ker σ=,于是1122n 0n k k k ααα++⋅⋅⋅+=.因为12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关,则120n k k k ==⋅⋅⋅==,则()()()12n ,,,σασασα⋅⋅⋅线性无关,即()()()12n ,,,σασασα⋅⋅⋅也是V 的一组基.再证 σ是满变换,V β∀∈,设()()()1122n =t n t t βσασασα++⋅⋅⋅+ ,其中12t ,,,n t t p ⋅⋅⋅∈,则()1122n t n t t βσααα=++⋅⋅⋅+ .取1122n =t n t t αααα++⋅⋅⋅+,则V α∈,且()σαβ=,于是对()V βσ∀∈都存在V α∈使得()σαβ=,因此σ为满变换.定理3.3 对于有限维线性空间的线性变换,它是单射的充要条件是它是满射.证明 显然当且仅当()Ker V σ=,即()Im σ的维数为n 时,σ为满射；另外,当且仅当(){}0Ker σ= ,即σ的核空间的维数为0时,σ是单射,于是由定理2.1即可得出结论.定理3.4 设V 是数域P 上的有限维线性空间, σ是V 的一个线性变换,则σ是可逆变换的充要条件为(){}0Ker σ=.证明 由定理3.1、定理3.2和定理3.3综合可得.4 欧式空间线性变换的核空间和值域空间互为正交补的条件欧式空间是对一般的线性空间中加入了内积的定义,引出了正交补的概念,那么对于特殊的子空间核空间和值域空间来说它们满足正交补吗？在欧式空间中什么样的线性变换满足核空间和值域空间互为正交补呢？这是我们下面要讨论的问题.定理4.1 设σ使n 维欧氏空间的V 的一个线性变换,则σ的核()Ker σ与σ的值域()Im σ互为正交补的充要条件是()Ker σ⊥()Im σ.证明 （必要性）由正交补空间的定义,若()Ker σ和()Im σ互为正交补,则()Ker σ⊥()Im σ.（充分性）若()Ker σ⊥()Im σ,要证()Ker σ与()Im σ互为正交补,只需证明()()=+Im V Ker σσ.由()Ker σ⊥()Im σ及只有零向量与它自身正交知()(){}Im 0Ker σσ⋂=. 于是有维数公式()()()()()dim Im dim dimIm Ker Ker σσσσ+=+.而有性质2.1知,dimIm()dim ()Ker n σσ+=.因此()()()()dim Im dim Ker n V σσ+==.又()()+Im Ker σσ是V 的子空间,所以V =()Ker σ⊥()Im σ.由命题6的结论的推广：推论1 设σ是n 维欧氏空间V 的线性变换,若σ的核()Ker σ与σ的值域()Im σ互为正交补,则()()=Im V Ker σσ⊕.推论2 若σ是n 维欧氏空间V 的对称变换,则()Ker σ与()Im σ互为正交补.证明 任取()Ker ασ∈,()Im βσ∈,则()0σα= .于是由σ是对称变换得()()()()()00ασβσαββ=== ，，，.由α,β的任意性知()Ker σ⊥()Im σ.从而由命题6可知()Ker σ与()Im σ互为正交补.5 结束语通过对线性空间的核和值域的关系的讨论,我们得到了线性变换和核和值域的直和为整个空间的条件；对一线性空间连续进行线性变换后,线性变换的核和值域的关系；线性变换为单变换的充分条件和线性变换为可逆变换的充要条件；线性变换的核和值域互为正交补的一个充要条件和充分条件.通过这些讨论可以使我们对线性变换有更深刻完整的认识，关于这些问题有机会我们还可以做更深入的研究。

线性变换知识点总结一、引言线性变换是线性代数中的重要概念，它是在向量空间中的一种特殊映射。

线性变换具有许多重要的性质和应用，因此研究线性变换对于理解线性代数和应用数学有着重要的意义。

本文将从线性变换的基本概念、性质和应用进行总结，希望能够帮助读者对线性变换有更深入的理解。

二、线性变换的定义线性变换是向量空间之间的一种映射，具体来说，设V和W是两个向量空间，f:V→W是从V到W的映射。

如果对于V中的任意向量u、v和任意标量a，b,都有f(au+bv)=af(u)+bf(v)那么f称为一个线性变换。

三、线性变换的矩阵表示线性变换可以用矩阵来表示，假设V和W是n维向量空间，我们选择V和W的基，那么可以得到V和W中的向量可以用n维列向量表示。

设f:V→W是一个线性变换，选择V和W的基分别为{v1,v2,...,vn}和{w1,w2,...,wn}，那么f的矩阵表示为[f]=(f(v1) f(v2) ... f(vn))其中f(vi)表示w中的基向量wi在f映射下的像，也就是f(vi)对应的列向量。

根据线性变换的定义，我们可以得到映射f的矩阵表示满足下列关系f(av1+bv2)=af(v1)+bf(v2)等价于[f](av1+bv2)=a[f]v1+b[f]v2其中[f]v1和[f]v2为f(v1)和f(v2)的列向量表示。

四、线性变换的性质1. 线性变换的保直性线性变换f:V→W将V中的任意向量线性映射到W中，这种映射保持向量之间的直线性质，即通过f映射后的图像仍然是一条直线。

这是线性变换的一个重要性质，它保证了线性变换后的图像具有一些有用的性质，比如直线上的点在f映射后仍然在同一条直线上。

2. 线性变换的局部性线性变换f:V→W保持向量之间的“相对位置”不变，即如果向量v1和v2之间的相对位置关系在V中是一定的，那么在映射f下，向量f(v1)和f(v2)之间的相对位置关系也是一定的。

这一性质对于理解线性变换的几何意义有着重要的作用，它意味着线性变换可以保持向量之间的某些几何性质。

莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：n维线性空间的线性变换的核与值域的性质及应用姓名：苏丽英学号：410401307莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级2007年6 月25 日摘要：本文先从n 维线性空间上的线线变换的核与值域出发，引出它们的一些性质。

通过几种类型的例题来加深对这些性质的理解。

由解题的过程，可以总结出解决n 维线新空间的线新变幻的核与值域的一般方法与思想。

关键词：n 维线新空间 线新变换 值域 核一．相关定义及性质。

文[1][2]给出了具体的关于n 维线性空间的线性变换的相关定义及性质。

下面是性质的一个补充。

我们知道：若σ的n 维线性空间V 的线性变换，则σ（V ）和1(0)σ-是σ的不变子空间。

若τ也是V 的一个线性变换，且τ与σ可交换，那么τ的值域和核是不是也是σ的不变子空间？命题一：若线性变换,στ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ，τ可交换，则τ的核和值域都是σ-子[3]空间。

证明：ξ∀∈1(0)σ-，则有τ（σ（ξ）） =τσ（ξ）=σ（0）=0 ∴σ（ξ）∈1(0)σ-∀τ（η）()V τ∈，σ（τ（η））=τ（σ（η））()V τ∈ ()V τ∴也是A-子空间。

二．有关核与值域的维数问题。

例一：设F 为数域，V=n F ，证明：1）T(12,,,n x x x )=(1210,,,,n x x x - )是线性空间V 的一个线性变换，且n T =02）求T 的核与值域TV 的维数。

证明：设α=（12n ααα+++ ）,V β∈=（12n βββ+++ ）V ∈。

T(αβ+)=(0,112211,,,n n αβαβαβ--+++ )=(1210,,,,n ααα- )+(1210,,,,n βββ- )=T α+T β k F ∀∈,则T （k α）=（1210,,,,n k k k ααα- ）=k （1210,,,,n ααα- ）=kT α，∴T 为线性空间V 的线性变换。

第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。

2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++ΛΛ3）设向量组n ααα,,,21Λ线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T αααΛ也线性相关。

线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。

线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσΛ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21Λ是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++=Λn n a a a εεεεα22221122)(+++=ΛΛΛΛΛn nn n n n a a a εεεεσΛ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσΛΛ=A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσΛΛΛ== 则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21Λ下的矩阵。

4. 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。

核空间与值域核空间与值域，是线性代数中的两个重要概念。

它们分别描述了一个线性变换的两个关键性质：核空间（null space）描述了线性变换的零空间，而值域（range）则描述了线性变换在所有输入向量中所能达到的全部输出向量。

本文将对核空间与值域进行详细介绍及探讨。

一、核空间核空间是线性变换的一个重要属性，也叫做零空间。

对于线性变换T:V→W（其中 V 和 W 是向量空间），其核空间定义为使得 T(v) = 0的所有 v 向量的集合，记作 N(T) 或者 ker(T)。

核空间的性质与特点：1. 零向量必定属于核空间：对于线性变换 T，显然存在 T(0) = 0，因此零向量是核空间的元素之一。

2. 任意向量经过线性变换后成为零向量，则该向量属于核空间：若T(v) = 0，v 是 T 的核空间中的向量。

3. 核空间中的向量可以通过线性组合得到：若 v1 和 v2 属于核空间，α 和β 是标量，则αv1 + βv2 也属于核空间。

二、值域值域是描述线性变换的另一个重要参数。

对于线性变换T:V→W，其中 V 和 W 是向量空间，T 的值域定义为所有 T(v)（v 属于 V）所组成的向量的集合，记作 R(T) 或者 Im(T)。

值域的性质与特点：1. 值域是一个向量空间：对于线性变换 T，其值域 R(T) 是 W 的向量子空间。

2. 值域中的向量可以通过线性组合得到：若 v1 和 v2 属于值域 R(T)，α 和β 是标量，则αv1 + βv2 也属于 R(T)。

三、核空间与值域的关系核空间和值域是线性变换的两个重要性质，它们之间具有一定的关联。

1. 零空间的维度与线性变换的秩存在关系：对于线性变换 T，其核空间 N(T) 和值域 R(T) 满足维度定理（dimension theorem）：dim(N(T)) + dim(R(T)) = n，其中 n 是向量空间 V 的维度。

2. 核空间与值域之间的相关性：若向量 v 属于向量空间 V，且 v 不属于核空间 N(T)，则 T(v) 属于值域 R(T)。

第七章 线性变换学习单元6： 线性变换的值域与核_________________________________________________________● 导学学习目标：理解线性变换的值域与核的概念；掌握线性变换的值域的结构；掌握线性变换的核的结构；会求线性变换的值域的维数与基；会求线性变换的核的维数与基。

学习建议：建议大家多读定义及定理，认真理解定义及定理的条件与结论，结合例题、习题掌握理论内容。

重点难点：重点：掌握线性变换的值域与核的维数与基的计算。

难点：深刻理解线性变换的值域与核的结构。

_________________________________________________________● 学习内容一、线性变换的值域与核的概念及基本性质定义 设V 为数域P 上线性空间，(),A L V ∈V 的全体向量在A 下的像组成的集合称为A 的值域，记为()A V ，即(){()|}A V A V αα=∈。

V 的零向量在A 下的原像组成的集合称为A 的核，记为1(0)A -，即1(0){|()0}A V A αα-=∈=。

注 也记()A V 为Im A (the image of A )，1(0)A -为ker A (the kernel of A )。

命题 1(),(0)A V A V -≤。

定义 称dim ()A V 为A 的秩，记为()R A ，称1dim (0)A -为A 的零度，记为()N A 。

二、()A V 及1(0)A -的结构及关系定理 设V 为P 上n 维线性空间，(),A L V ∈1,,n εεL 为V 的一个基，A 在1,,n εεL 下的矩阵为A ，则（1）12()((),(),,())n A V L A A A εεε=L ；（2）()()R A R A =；注：由于A 在不同基下的矩阵相似，而相似矩阵有相同的秩，故计算()R A 时与基的选择无关。

线性映射的值域与核的维数特征及应用
线性映射是机器学习中的一种基本操作，它的本质是把输入的值从一个空间映射到另一个空间中的一种技术，它的优点是可以生成强有力的特征，可以提高模型的准确性，这在多种机器学习技术中都有广泛的应用。

线性映射最常用的方法之一就是核（kernel）。

核是一种特殊的线性映射，它从输入数据空间映射到一个高维度空间中，而另一种方法是改变输入数据的值域，以使其更容易被分类器分辨。

核的维度特征可以指定线性映射的属性，维度越多，映射可以更加精准，但是核的维度可以大于输入数据的维度，这样的话就可以使输入数据更好的被分类。

核的值域定义可以帮助模型在线性映射（Linear Mapping）的情况下查看数据，并且值域之能够更好地将输入数据表达出来，从而构建出高效率的分类模型。

线性映射与核独立地应用在机器学习技术中是常用的方法，它们深受机器学习的青睐，并且在无监督学习、监督学习等多种把分技术中都有广泛的应用。

例如，在无监督学习中，可以使用核来找出那些最能代表输入的特征；在监督学习中，它可以用于处理非线性分类和回归任务；此外，另一项研究还表明，核方法可以比其他技术更准确地预测股票价格，因此，是投资者和投资公司们的理想选择。

总之，线性映射与核在机器学习技术中有着广泛的应用，它们可以帮助生成强有力的特征，改善模型准确性和准确度，它们的值域与核的维数特征是它们被广泛应用的一大原因。

线性变换与核与值线性变换是数学中的重要概念，它在向量空间中起着重要的作用。

线性变换可以理解为一种将一个向量空间映射到另一个向量空间的操作，同时保持向量空间中的线性性质。

在线性代数中，我们经常要研究线性变换的核与值，它们对于理解线性变换的性质和应用至关重要。

一、线性变换的定义与性质线性变换是指将向量空间V中的每个向量x映射到向量空间W中的一个向量T(x)的操作。

线性变换的定义可以表示为：T(x + y) = T(x) + T(y)T(kx) = kT(x)其中，x和y是向量空间V中的向量，k是一个标量，T是一个从V 到W的映射。

线性变换的性质包括保持向量相加和标量乘法的运算，即满足线性组合的性质。

这些性质使得线性变换在众多领域中具有广泛的应用，如物理学、计算机科学和金融等。

二、线性变换的核与值1. 核（Kernel）在线性代数中，核是指线性变换T的一个重要概念，它表示使得T(x) = 0的向量x的集合。

核也被称为零空间。

核在研究线性变换的性质时起到了重要的作用。

如果有一个线性变换T：V → W，那么核可以表示为：ker(T) = {x ∈ V | T(x) = 0}核的一个重要性质是它是向量空间V的一个子空间。

通过研究核，我们可以了解线性变换是否为满射，以及求解线性方程组的解等问题。

2. 值域（Image）值域是线性变换T的另一个重要概念，它表示线性变换T对所有输入向量x的输出向量T(x)的集合。

值域也被称为像空间。

对于线性变换T：V → W，值域可以表示为：im(T) = {T(x) | x ∈ V}值域的一个重要性质是它是向量空间W的一个子空间。

通过研究值域，我们可以了解线性变换的基本特征和影响。

三、线性变换与核与值的应用线性变换与核与值的概念在许多领域中都有广泛的应用。

1. 数据压缩线性变换可以将高维数据压缩到低维表示，从而减少存储和计算的需求。

核和值域可以帮助我们理解压缩后数据的特征和信息损失情况。

n维线性空间的线性变换的核与值域的性质及应用命题一：若线性变换σ, τ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ，τ可交换，则τ的核和值域都是σ-子空间。

证明：∀ξ∈σ-1(0)，则有τ（σ（ξ）） =τ[3]σ（ξ）=σ（0）=0∴σ（ξ）∈σ-1(0)∀τ（η）∈τ(V ) ，）=τ（σ（η））∈τ(V ) σ（τ（η）∴τ(V ) 也是A-子空间。

例一：设F 为数域，V=F ，证明：1） T(x 1, x 2, , x n )=(0, x 1, x 2, , x n -1) 是线性空间V 的一个线性变换，且T =0 2）求T 的核与值域TV 的维数。

证明：设α=（α1+α2+ +αn ）∈V , β=（β1+β2+ +βn ）∈V 。

T(α+β)=(0,α1+β1, α2+β2, , αn -1+βn -1) =(0, α1, α2, , αn -1)+(0, β1, β2, , βn -1)=Tα+Tβ∀k ∈F ,则T （k α）=（0, k α1, k α2, , k αn -1）=k （0, α1, α2, , αn -1）=kT α，nn∴T 为线性空间V 的线性变换。

又由于T （x 1, x 2, , x n ）=T（0, x 1, x 2, , x n -1）=（0,0, x 1, x 2, , x n -2）2T 3（x 1, x 2, , x n ）=（0,0, x 1, x 2, , x n -3） T n =02) 由T （x 1, x 2, , x n ）=（0, x 1, x 2, , x n -1）=0则可得：-1x 1=x 2= =x n -1=0即：T (0)为由一切向量（0,0, ,0, x n ）所作成的子空间∴它是一维的又r(T -1(0))+r(TV)=n∴r(TV)=n-1例二：设σ是n 维线性空间V 的线性变换，V 1=σV ，V 2=σ-1(0)分别是σ的值域与核，α1, α2, , αr是V 1是一组基，设β1, β2, , βr 是α1, α2, , αr 的原像，令W=L（β1, β2, , βr ），证明： 1）σ的秩+σ的零度=n2）V=W⊕V 2证明：设σ是零度为t ，且η1, η2, , ηt 是它的一组基，则可扩充为 V 的一组基η1, η2, , ηt ，ηt +1, ηt -2, , ηn ，且σ-1(ηi ) =0，i =1, 2, t 。

有限维线性空间中线性变换值域与核的关系钟振华【摘要】This paper presents the intrinsic relationship of range and kernel of linear transformations, discusses the necessary and sufficient conditions for the direct sum decomposition of range and kernel of linear transformation in linear space and the inclusion relation of range and kernel of linear transformation.%本文给出了线性变换的值域与核的内在关系，讨论了线性空间分解为线性变换值域与核的直和的充要条件以及线性变换值域与核的包含关系。

【期刊名称】《楚雄师范学院学报》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】3页(P6-8)【关键词】线性变换;值域;核;直和分解【作者】钟振华【作者单位】楚雄师范学院数学与统计学院，云南楚雄 675000【正文语种】中文【中图分类】O151.2线性变换的值域与核能很好地反映线性变换的内在特征，对其做深入研究是很有必要的。

文［1］给出了线性变换值域与核的维数关系，但未讨论它们的和是直和的条件；而文［2］给出了线性变换的值域与核的和是整个空间的充要条件，并讨论了特殊线性变换的性质，但仍未给出值域与核的内在本质关系。

本文拟从值域与核的交集特征，探讨值域与核的本质关系，进一步深化相关结果。

下文中假设V是数域P上的有限维线性空间，A是V上的线性变换，以dim（V）表示V的维数，rank（A）表示A的秩，ker（A）表示A的核，lm（A）表示A的值域，则有定理1［1］对于n维线性空间V上的线性变换A，有定理2 设A是有限维线性空间V上的线性变换，则证明取Im（A）∩ker（A）的一组基为α1，α2，…，αm，把它扩充为ker（A）的一组基又αi∈Im（A）故存在使得现证是ker（A2）的一组基。