线性代数上22线性变换的核

线性代数线性变换分析线性代数线性变换分析线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间、线性映射、线性方程组等概念和性质。

其中，线性变换是线性代数中的一个重要概念，也是线性代数的核心内容之一。

本文将对线性变换进行深入分析。

一、线性变换的定义线性变换是指将一个向量空间的元素映射到另一个向量空间的元素，同时满足两个条件：保持加法运算和标量乘法运算的线性性。

换句话说，对于任意向量a和b，以及任意标量c，线性变换T满足以下等式：1. T(a+b) = T(a) + T(b)2. T(c * a) = c * T(a)二、线性变换的矩阵表示线性变换可以使用矩阵来表示，具体方法如下：设有一个线性变换T，原向量空间为V，目标向量空间为W。

若V中的一个向量a经过线性变换T后得到目标向量空间W中的向量b，可以表示为T(a) = b。

若选定了V和W的一组基，可以得到V和W的坐标系，进而可以得到向量a和b在各自坐标系中的坐标。

设V的基为{v_1, v_2, ..., v_n}，W的基为{w_1, w_2, ..., w_m}，则线性变换T可以表示为一个m x n的矩阵A，使得：[T(a)]_W = A * [a]_V其中，[a]_V表示向量a在坐标系V中的坐标，[a]_W表示向量b在坐标系W中的坐标。

三、线性变换的性质线性变换具有以下几个重要的性质：1. 线性变换保持直线的性质：线性变换对原空间中的直线进行映射后，得到的是目标空间中的直线。

这是因为直线上的任意两点经过线性变换后仍然是目标空间中的两点，同时线性变换保持加法运算，所以线性变换对直线的保持是自然的。

2. 线性变换对原点的保持：线性变换将原点映射到目标空间的原点。

这是因为线性变换对加法运算的保持，所以线性变换将原点映射到目标空间中的零点是必然的。

3. 线性变换对向量的放缩：线性变换对向量的放缩具有可加性，即T(c * a) = c * T(a)。

这是因为线性变换对标量乘法运算的保持，所以线性变换对向量的放缩也是保持的。

线性变换的核与像设是向量空间V的一个线性变换，称为的核，记为或称为的像（或值域），记为或.可证得与都是V的子空间. 称为的秩，称为的零度.结论1 设是F上维向量空间V的线性变换，是V的一个基，关于此基的矩阵是A，则(i);(ii)秩A;(iii)+.结论2 设是F上向量空间的线性变换，则是满射；(ii)是单射.结论3 设是维向量空间V的线性变换，则是单射是满射.结论4 设是V的线性变换，则(i);(ii);(iii)例1 设, 试证明，存在一个正整数k，使得. 且对一切正整数t，均有.证明：1）这时是单射，且是满射，故可逆，从而均可逆，即有因而结论成立.2)由结论4得，由于不超过n的正整数只有n个，因此由上式知，必存在正整数，使，当然有即.下面用数学归纳法来证明，对一切正整数t，有当时，结论已证.设，且显然. 反之，由归纳假设，因此，即，这说明，所以，即有.由例1立得推论设, 试证明，存在一个正整数k，使，且对一切正整数t，均有例2 设皆为F上向量空间V的线性变换，且(i)(ii)证明：(i) ()显然.()故，使..因而上述过程中的与对调，即得(ii) ()显然.(), 因而，由于，因此，故=0,∴∴将上述过程中的与对调，即得例3 设, 证明下述条件诸款彼此等价：(i);(ii)证明：(i)(ii):且，使, 由知，故.即有(i)(ii):由知，是直和..所以，使,而是中任取的一向量，故. 至于是显然的.因此注：与(i) 等价的条件还有“”与(ii) 等价的条件有“”及当时，有. 反之，当时，未必有比如设, 为基，选择V的一个线性变换，使，, j=2,3,…,n. 这能办到. 显然，但，而，即有.例4 设, ，W是V的子空间. 证明.证当W是V的零子空间时，结论显然成立下设dim1)令则f为线性映射，=∴f 为单射.显然f 为满射. 故f 为W 到的同购映射，故 结论为真. 2)令① 如果，即，此时(W)={0}，显然有.② 下设，即 设为的一个基，扩充为W 的一个基显然=.设1+r b δ(1+r α)+…+s b δ(s α)=0,即δ(1+r b 1+r α+…+s b s α)=0∴1+r b 1+r α+…+s b s α∈ker δ⋂w∃1b ,…, r b ∈F,使1+r b 1+r α+…+s b s α=1b 1α+…+r b r α 1b 1α+…+r b r α-1+r b 1+r α-…-s b s α=0 由于1α,…,r α,1+r α,…,s α线性无关，因此1b =…=r b =1+r b =…=s b =0所以δ(1+r α),…,δ(s α)线性无关,是δ(w)的一个基，故dimW=s=s-r+r=dim δ(w)+dim(ker δ⋂w) 例5设δ∈L(V F ),f(x),g(x)∈F[X],h(x)=f(x)g(x) （ⅰ）ker f(δ)+ker g(δ)⊆ker h(δ)(ⅱ)(f(x),g(x))=1⇒ ker f(δ)+ker g(δ)⊆ker h(δ) 例6设dim V F =n>0,τ δ∈L(V),则（ⅰ）dim Im(δτ)≥dim Im(δ)+dim Im(τ)-n（ⅱ）dim ker(δτ)≤dim ker δ+dim ker τ例7设1ϕ,2ϕ,…,t ϕ ∈L(V F ),且 （ⅰ）2i ϕ=i ϕ(i=1,2,…,t); （ⅱ）i ϕj ϕ=θ,i ≠j(i,j=1,2,…,t) 试证明,v=Im 1ϕ⊕ Im 2ϕ⊕…⊕Im t ϕ⊕ ti i1ker =ϕ证1)先证Im 1ϕ⋂( Im 2ϕ⊕…⊕Im t ϕ⊕ t i i1ker =ϕ)={0} ∀ξ∈ Im 1ϕ⋂( Im 2ϕ⊕…⊕Im t ϕ⊕ t i i 1ker =ϕ),∃1ξ∈v,2ξ,…,t ξ∈v,η∈ti i1ker =ϕ使ξ=1ϕ(1ξ)=2ϕ(2ξ)+…+t ϕ(t ξ)+η,用1ϕ作用上式两端，得1ϕ(1ϕ(1ξ))= 1ϕ (2ϕ(2ξ))+…+1ϕ (t ϕ(t ξ))+1ϕ(η), 即21ϕ(1ξ)=θ(2ξ)+…+θ(t ξ)+0亦即ξ=1ϕ(1ξ)=0 故Im 1ϕ⋂( Im 2ϕ⊕…⊕Im t ϕ⊕ti i1ker =ϕ)={0}2)类似于1)的证法，可得∀k ∈{1,2,…,t}有Im k ϕ⋂(Im 1ϕ+…+Im 1-k ϕ +Im k ϕ+ Im 1+k ϕ…+Im t ϕ+ ti i 1ker =ϕ)={0} 3) (Im 1ϕ+Im 2ϕ…+Im t ϕ+ ti i 1ker =ϕ)={0} 任取上式左端集合中的一个向量ξ，∃1ξ,2ξ,…,t ξ ∈v,使ξ=1ϕ(1ξ)=2ϕ(2ξ)+…+t ϕ(t ξ), 且i ϕ (ξ)=0,i=1,2,…,t.0=i ϕ(ξ)=i ϕ(1ϕ(1ξ)=2ϕ(2ξ)+…+t ϕ(t ξ))=2i ϕ(ξ)=i ϕ(i ξ)i=1,2,…,t.因此ξ=0 综合1），2），3）知，和Im 1ϕ+Im 2ϕ…+Im t ϕ+ ti i 1ker =ϕ是直和， 4）最后，只需证明v=∑=tj j 1Im ϕ+ ti i 1ker =ϕ∀ ξ∈v, ∀ ∈{1,2,…,t},有ϕ（ξ-1ϕ(1ξ)-2ϕ(2ξ)-…-t ϕ(t ξ)）= ϕ（ξ）- ϕ ϕ（ξ）= ϕ（ξ）-2 ϕ（ξ）=0令η=ξ-1ϕ(1ξ)-2ϕ(2ξ)-…-t ϕ(t ξ)，即有η∈ ti i 1ker =ϕ 所以ξ=1ϕ(1ξ)=2ϕ(2ξ)+…+t ϕ(t ξ)+η 综上所述，结论得证 例8设 v={f(x)∈F[x]︱0∂f(x)<n 或f(x)=0},∀f(x) ∈v, 令δ(f(x))=x 1f (x)-f(x)（ⅰ）δ是的v 的线性变换；（ⅱ） 求ker δ及Im δ; (ⅲ)求证v= ker δ⊕Im δ 证 （ⅰ）显然（ⅱ） 很显然1,x,12,...,-n x x 是v 的一个基.故Im δ=???(δ(1), δ (x),δ(2x ),…, δ(1-n x ))=???(-1,0, 2x ,23x ,34x ,…,(n-2) 1-n x )=???(1, 2x ,3x ,4x ,…,1-n x )={0a +2a 2x +3a 3x +...+1-n a 1-n x ∣0a ,2a ,3a ,…,1-n a ∈F}1, 2x ,3x ,4x ,…,1-n x 是Im δ的基,dim Im δ=n-1 任取g(x) ∈ker δ设g(x)=0b +1b x +…+1-n b 1-n x0=δ(g(x)) =0b δ(1)+1b δ (x)+ 2b δ(2x )+…+ 1-n b δ(1-n x )=-0b +2b 2x +23b 3x +…+(n-2)1-n b 1-n x 即有0b =1b =…=1-n b =0 即g(x)= 1b x.反之形如kx,k ∈F 的多项式显然在ker δ 里,故ker δ={kx,k ∈F},dim ker δ=1(ⅲ) ∀h(x)=0c +1c x+2c 2x +...+1-n c 1-n x ∈ker δ⋂Im δ 由h(x) ∈ ker δ知0c =1c =2c =3c =...=1-n c =0, 由h(x) ∈ Im δ知，1c =0, 因此h(x)=0即ker δ⋂Im δ={0} 故和ker δ+Im δ是直和Dim(ker δ+Im δ)=dimker δ+dim Im δ=1+(n-1)=n 所以v= ker δ⊕Im δ，结论得证。

LUOYANG NORMAL UNIVERSITY2010届本科毕业论文线性变换的核和值域的若干性质的讨论院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名高远晓学号060414047指导教师周慧倩讲师完成时间2010.5线性变换的核和值域的若干性质的讨论高远晓数学科学学院数学与应用数学学号：060414047指导教师：周慧倩摘要：本文给出了在什么样的特殊线性变换下,线性变换的核和值域的直和是整个线性空间；线性变换为可逆线性变换；线性变换的核和值域互为正交补.关键词：线性变换的核和值域；逆变换；直和；正交补0 引言线性变换是高等代数中的一个重要的知识点,在线性空间中有举足轻重的地位,不管是在理论研究中还是在实际应用中都有极其重要的地位.这也就要求我们必须在线性变换这方面多多思考,认真学习.在对课本上的知识学习外有必要多看看其他相关的书籍和文献,对自己将来的研究或工作都是有益的.线性变换的核和值域是线性空间的一个重要概念,除了基本的性质之外,特殊的线性变换还具备一些特殊的性质,同时一些具有特殊性质的线性变换的核和值域的关系也反映了一些特殊的线性变换.文献[1]中已经给出了线性变换相应的性质,我们可以在此基础上,思考线性变换的核和值域的特殊性质.如什么样情况下其直和为整个空间；核和值域还有那些特别的性质；什么情况下其直和互为正交补.并对一些不满足的情况给出了反例.1基本概念和基本定理定义1.1 线性变换的核和值域的概念[]2设σ是数域上P的线性空间V的一个线性变换,σ的全体象组成的集合称为σ表示,所有被σ变成零向量的向量组成的集合称为σ的核,用σ的值域,用()V()10σ-表示.σ的核()10σ-又记作()Ker σ,σ的值域()V σ又记作Im()σ.即(){}()0,Ker V σζσζζ==∈,(){}Im()V σσζζ=∀∈.定义1.2 直和的概念[]1设1V ,2V 是线性空间V 的子空间,如果和12V V +中每个向量α的分解式 12=+ααα, 1122,V V αα∈∈ ,是唯一的,这个和就称为直和,记为12V V ⊕.定义1.3 欧氏空间正交补的概念[]1子空间2V 称为子空间1V 的一个正交补,如果1V ⊥2V ,并且12V V V +=.定理1.1 （维数公式） 如果1V ,2V 是线性空间V 的两个子空间,那么 ()()()()121212dim dim dim dim V V V V V V +=++⋂.定理1.2 设1V ,2V 是V 的子空间,令12W V V =+,则12W V V =⊕的充分必要条件为()()()12dim dim dim W V V =+.2 线性变换的核和值域的直和是整个线性空间的条件定理2.1 设σ是数域F 上线性空间V 的一个线性变换,在V 是有限维向量空间的情形,我们有σ的核()Ker σ与σ的值域Im()σ的维数之和等于V 的维数,即：dimIm()dim ()Ker n σσ+= .证明：参考文献[1].应该指出,虽然子空间()Im σ与()Ker σ的维数之和为n ,但是Im()()Ker σσ+并不一定是整个空间.例 1 设是三维向量空间V 是实数域R 上的线性空间,σ为三维线性空间的一个线性变换.相性无关的三个向量1α,2α,3α为V 的一组基,分别为()11,0,0α=,()20,1,0α=,()30,0,1α=.其中()()10,0,0σα=,()()20,0,0σα=, ()()30,1,0σα=.证明：由题可知dimIm()dim ()3Ker σσ+=,但是Im()()Ker σσ+不是整个三维空间.因为Im()()Ker σσ+只有两个线性无关的向量()11,0,0α=和()20,1,0α=,这与三维线性空间为三维空间相矛盾.对于一般的线性变换虽然有性质2.1知满足性质()()dimIm dim Ker n σσ+=.但是很多的线性变换是不满足()()dimIm dim V Ker σσ=+这个性质的,由例1知空间V 不一定等于()()Im Ker σσ+.那么一般来说空间V 不是线性变换的核和值域的直和,即()()Im V Ker σσ=⊕不一定成立.如：设[]n F x 表示数域F 上所有次数不大于n 的多项式及零多项式所成的向量空间,令()()':f x f x σ→,则()[]1Im n F x σ-=,()Ker F σ=,满足()()dimIm dim Ker n σσ+=,但()(){}Im 0Ker F σσ⋂=≠,()()Im V Ker σσ≠⊕.下面我们讨论什么样的情况下有Im()()V Ker σσ=⊕.引理 ()()Im V Ker σσ=+的充分条件为()(){}Im 0Ker σσ⋂= . 证明 由定理2.1知dimIm()dim ()Ker n σσ+=,因,()(){}Im 0Ker σσ⋂= ,由维数公式知()()()dim Im dimIm()dim ()Ker Ker n σσσσ+=+=.因此可得()()Im V Ker σσ=+.定理2.2 ()()Im V Ker σσ=⊕的一个充分条件为2σσ=.证明：任取()()Im Ker ασσ∈⋂,由()Ker ασ∈得()0σα= .由()Im ασ∈知存在V ξ∈使()σξα=,则()()20ασξσξ=== .所以()(){}Im 0Ker ασσ∈⋂= . 由引理和()()Im Ker V σσ+⊆可知()()Im V Ker σσ=⊕.对此题的条件2σσ=给以推广可得：定理2.3 设σ是n 维向量空间V 的线性变换,则V ()()Im Ker σσ=⊕的充要条件是()()2dimIm dimIm σσ=.证明 （充分性） 设2dim Im()dim Im()σσ=,则22dim Im()dim ()dim Im()dim ()Ker Ker n σσσσ+=+=.因2dim Im()dim Im()σσ=,于是2dim ()dim ()Ker Ker σσ=.但2()()Ker Ker σσ⊆,于是2()()Ker Ker σσ=.再证{}Im()()0Ker σσ⋂=.因为Im()()Ker βσσ∀∈⋂,V γ∃∈,使()βσγ=,且()0σβ=,所以()()20σγσβ==,2()()Ker Ker γσσ∈=.故()0βσγ==.即证{}Im()()0Ker σσ⋂=.由dimIm()dim ()Ker n σσ+=,{}Im()()0Ker σσ⋂=,可得Im()()V Ker σσ=⊕.（必要性） 设Im()()V Ker σσ=⊕,因为()2Im()Im()Im()σσσσ=⊆,且Im()βσ∀∈,V α∃∈,使()βσα=.于是可设12ααα=+,其中12Im(),()Ker ασασ∈∈.则()()()()()()2212Im()βσασασασσδσδσ==+==∈.即2Im()Im()σσ⊆.由2Im()Im()σσ⊆,2Im()Im()σσ⊆可得,2Im()Im()σσ=,故2dim Im()dim Im()σσ=.我们上面讨论的所有线性变换都是随线性空间施加一次线性变换后核和值域的关系,那么当对一个线性空间连续施加相同的线性变换后,线性空间的核和值域有什么样的关系呢？线性空间的核和值域的直和是否是整个线性空间呢？下面我们来讨论这个问题.定理2.4 设T 是n 线性空间V 上线性变换, T 的核记为()Ker T ,T 的象记为Im()T ,则（1） {}20k KerT KerT KerT ⊆⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅，2Im Im Im k T T T V ⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⊆.（2）存在正整数k,使得1k k KerT KerT +=并且,对一切t 1≥的整数有k k t KerT KerT +=.同时有Im k k V T KerT =⊕.证明 （1）显然{}0KerT ∈ .要证{}20k KerT KerT KerT ⊆⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅ 只要证明1m m KerT KerT +⊆ ()1,2,m =⋅⋅⋅即可.m KerT α∀∈,则()0mT α= ,所以有()()()()100m m T T T T αα+=== . 故1m KerT α+∈,此即1m m KerT KerT +⊆()1,2,m =⋅⋅⋅成立,从而{}20k KerT KerT KerT ⊆⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅ 成立.要证2Im Im Im k T T T V ⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⊆式,只需证明1Im Im s s T T +⊆,()1,2,s =⋅⋅⋅.即可.1Im s T β+∀∈,则存在V δ∈,使()()()1Im s s s T T T T βδδ+==∈.从而1Im Im s s T T +⊆,()1,2,s =⋅⋅⋅成立,所以2Im Im Im k T T T V ⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⊆成立.（2）由上面{}20k KerT KerT KerT ⊆⊆⊆⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅ 有2dim dim dim s KerT KerT KerT ≤≤⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅由于V 是n 维线性空间, dim KerT 是常数,且维数不能为负,因此上式不能为无限不等下去,从而一定存在正整数k,使1dim dim k k KerT KerT +=.但1k k KerT KerT +⊆.有1dim dim k k KerT KerT +=,1k k KerT KerT +⊆即证1k k KerT KerT +=成立.再用数学归纳法证明k k t KerT KerT +=,显然1t =时结论成立.归纳假设结论对1s -成立,即()1k s k KerT KerT +-=.再证s 时结论成立,有s k s k k KerT KerT KerT +-+⊆=)1(.k s KerT β+∀∈,则()()()10k s k s T T T ββ+-+==,即()()1k s k T KerT KerT β+-∈=.所以10k T β+=,()11k s k k KerT KerT KerT β+-+∈==,此即k s k KerT KerT +⊆.由()1k s k k s KerT KerT KerT +-+⊆⊆,k s k KerT KerT +⊆得证k s k KerT KerT +=.即对s 也成立,从而k k t KerT KerT +=对一切正整数 t 成立.再证{}Im 0k k T KerT ⋂=.其中k 满足k k t KerT KerT +=.Im k k T KerT α∀∈⋂,则()k T αβ=,V β∈,且()0k T α=.所以()()220k K k k T T KerT KerT αββ==⇒∈=.从而()0k T αβ==,即证{}Im 0k k T KerT ⋂=.由于k T 是V 的线性变换,因此有维数公式可知()()()dim dim Im dim dim Im k k k k V n T KerT T KerT ==+=⊕.但Im k k T KerT V ⊕⊆.由()()()dim dim Im dim dim Im k k k k V n T KerT T KerT ==+=⊕,Im k k T KerT V ⊕⊆即证Im k k V T KerT =⊕成立.3 线性变换可逆时核和值域的性质我们知道一般的线性变换不一定是可逆的线性变换,那么当什么样的情况下线性变换是可逆的线性变换呢？具有可逆性质的线性变换来说,它的核和值域有什么样的特殊性质吗？下面我们来讨论这个问题.定理3.1 设σ是数域P 上的线性空间V 的一个线性变换,若(){}0Ker σ= ,则σ是单变换.证明 对于,V ξη∀∈,若()()σξση=,则有()()0σξση-=,即()0σξη-=,于是()Ker ξησ-∈.又因()0Ker σ=,则有0ξη-=,即ξη=,故σ是单变换.定理3.2 设V 是数域P 上的有限维线性空间,σ是V 的一个线性变换,若(){}Ker =0σ,则σ是满变换.证明 已知V 是数域P 上有限维线性空间,故设V 的维数是n,且12,,,n ααα⋅⋅⋅是V 的一组基. 先证()()()12n ,,,σασασα⋅⋅⋅是V 的一组基.设12,,,n k k k ⋅⋅⋅是数域P 中的任意n 个数,使得()()()1122n 0n k k k σασασα++⋅⋅⋅+=,则有()1122n 0n k k k σααα++⋅⋅⋅+=.即()1122n n k k k Ker ααασ++⋅⋅⋅+∈,而()0Ker σ=,于是1122n 0n k k k ααα++⋅⋅⋅+=.因为12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关,则120n k k k ==⋅⋅⋅==,则()()()12n ,,,σασασα⋅⋅⋅线性无关,即()()()12n ,,,σασασα⋅⋅⋅也是V 的一组基.再证 σ是满变换,V β∀∈,设()()()1122n =t n t t βσασασα++⋅⋅⋅+ ,其中12t ,,,n t t p ⋅⋅⋅∈,则()1122n t n t t βσααα=++⋅⋅⋅+ .取1122n =t n t t αααα++⋅⋅⋅+,则V α∈,且()σαβ=,于是对()V βσ∀∈都存在V α∈使得()σαβ=,因此σ为满变换.定理3.3 对于有限维线性空间的线性变换,它是单射的充要条件是它是满射.证明 显然当且仅当()Ker V σ=,即()Im σ的维数为n 时,σ为满射；另外,当且仅当(){}0Ker σ= ,即σ的核空间的维数为0时,σ是单射,于是由定理2.1即可得出结论.定理3.4 设V 是数域P 上的有限维线性空间, σ是V 的一个线性变换,则σ是可逆变换的充要条件为(){}0Ker σ=.证明 由定理3.1、定理3.2和定理3.3综合可得.4 欧式空间线性变换的核空间和值域空间互为正交补的条件欧式空间是对一般的线性空间中加入了内积的定义,引出了正交补的概念,那么对于特殊的子空间核空间和值域空间来说它们满足正交补吗？在欧式空间中什么样的线性变换满足核空间和值域空间互为正交补呢？这是我们下面要讨论的问题.定理4.1 设σ使n 维欧氏空间的V 的一个线性变换,则σ的核()Ker σ与σ的值域()Im σ互为正交补的充要条件是()Ker σ⊥()Im σ.证明 （必要性）由正交补空间的定义,若()Ker σ和()Im σ互为正交补,则()Ker σ⊥()Im σ.（充分性）若()Ker σ⊥()Im σ,要证()Ker σ与()Im σ互为正交补,只需证明()()=+Im V Ker σσ.由()Ker σ⊥()Im σ及只有零向量与它自身正交知()(){}Im 0Ker σσ⋂=. 于是有维数公式()()()()()dim Im dim dimIm Ker Ker σσσσ+=+.而有性质2.1知,dimIm()dim ()Ker n σσ+=.因此()()()()dim Im dim Ker n V σσ+==.又()()+Im Ker σσ是V 的子空间,所以V =()Ker σ⊥()Im σ.由命题6的结论的推广：推论1 设σ是n 维欧氏空间V 的线性变换,若σ的核()Ker σ与σ的值域()Im σ互为正交补,则()()=Im V Ker σσ⊕.推论2 若σ是n 维欧氏空间V 的对称变换,则()Ker σ与()Im σ互为正交补.证明 任取()Ker ασ∈,()Im βσ∈,则()0σα= .于是由σ是对称变换得()()()()()00ασβσαββ=== ，，，.由α,β的任意性知()Ker σ⊥()Im σ.从而由命题6可知()Ker σ与()Im σ互为正交补.5 结束语通过对线性空间的核和值域的关系的讨论,我们得到了线性变换和核和值域的直和为整个空间的条件；对一线性空间连续进行线性变换后,线性变换的核和值域的关系；线性变换为单变换的充分条件和线性变换为可逆变换的充要条件；线性变换的核和值域互为正交补的一个充要条件和充分条件.通过这些讨论可以使我们对线性变换有更深刻完整的认识，关于这些问题有机会我们还可以做更深入的研究。

线性变换的核与像的维数公式线性变换是线性代数中一个重要的概念，它描述了一个向量空间中的元素如何通过一个函数进行转换。

在线性代数中，我们经常会遇到线性变换的核与像（或者称为零空间与列空间），它们是线性变换的两个关键性质。

一、线性变换的核与像的定义在了解线性变换的核与像的维数公式之前，我们首先需要明确它们的定义。

1. 核（Kernel）：线性变换T的核是指所有映射为零向量的输入向量组成的集合。

即 Ker(T) = {v | T(v) = 0}。

2. 像（Image）：线性变换T的像是指所有能通过T映射到的输出向量组成的集合。

即 Im(T) = {T(v) | v 是输入向量}。

二、线性变换的核与像的维数公式对于一个线性变换T：V → W，其中V和W分别是两个向量空间。

核空间与像空间的维数公式如下：1. 核空间的维数：dim(Ker(T)) = n - r其中，n是V的维数，r是T的矩阵表示中的列秩。

2. 像空间的维数：dim(Im(T)) = r这里的r同样指的是T的矩阵表示中的列秩。

三、证明线性变换的核与像的维数公式为了证明线性变换的核与像的维数公式，我们可以使用线性变换与矩阵的关系进行推导。

设T是从V到W的线性变换，且A是T的矩阵表示。

则线性变换的核与像的维数分别可以表示为：1. 核空间的维数：dim(Ker(T)) = n - r其中，n是A的列数，r是A的列秩。

2. 像空间的维数：dim(Im(T)) = r这里的r指的是A的列秩。

利用线性代数中的基本理论和定义，可以证明上述维数公式成立，但由于篇幅限制，这里不再详述。

四、应用示例下面通过一个简单的示例来应用线性变换的核与像的维数公式。

假设我们有一个线性变换T：R^3 → R^2，在二维平面上进行投影变换。

即 T(x, y, z) = (x, y)。

我们可以将该线性变换表示为矩阵A：A = |1 0 0||0 1 0|根据维数公式，我们可以计算核空间与像空间的维数：1. 核空间的维数：dim(Ker(T)) = 3 - 2 = 1。

线性变换与核与值线性变换是数学中的重要概念，它在向量空间中起着重要的作用。

线性变换可以理解为一种将一个向量空间映射到另一个向量空间的操作，同时保持向量空间中的线性性质。

在线性代数中，我们经常要研究线性变换的核与值，它们对于理解线性变换的性质和应用至关重要。

一、线性变换的定义与性质线性变换是指将向量空间V中的每个向量x映射到向量空间W中的一个向量T(x)的操作。

线性变换的定义可以表示为：T(x + y) = T(x) + T(y)T(kx) = kT(x)其中，x和y是向量空间V中的向量，k是一个标量，T是一个从V 到W的映射。

线性变换的性质包括保持向量相加和标量乘法的运算，即满足线性组合的性质。

这些性质使得线性变换在众多领域中具有广泛的应用，如物理学、计算机科学和金融等。

二、线性变换的核与值1. 核（Kernel）在线性代数中，核是指线性变换T的一个重要概念，它表示使得T(x) = 0的向量x的集合。

核也被称为零空间。

核在研究线性变换的性质时起到了重要的作用。

如果有一个线性变换T：V → W，那么核可以表示为：ker(T) = {x ∈ V | T(x) = 0}核的一个重要性质是它是向量空间V的一个子空间。

通过研究核，我们可以了解线性变换是否为满射，以及求解线性方程组的解等问题。

2. 值域（Image）值域是线性变换T的另一个重要概念，它表示线性变换T对所有输入向量x的输出向量T(x)的集合。

值域也被称为像空间。

对于线性变换T：V → W，值域可以表示为：im(T) = {T(x) | x ∈ V}值域的一个重要性质是它是向量空间W的一个子空间。

通过研究值域，我们可以了解线性变换的基本特征和影响。

三、线性变换与核与值的应用线性变换与核与值的概念在许多领域中都有广泛的应用。

1. 数据压缩线性变换可以将高维数据压缩到低维表示，从而减少存储和计算的需求。

核和值域可以帮助我们理解压缩后数据的特征和信息损失情况。

第六章线性变换1、教学目标：通过研究线性变换，要求学生在理解概念的基础上熟练掌握线性变换在某基下的矩阵的求解。

2、教学重、难点：以线性变换在不同基下矩阵的关系，矩阵的对角化及不变子空间为重点。

线性变换在不同基下对应不同的矩阵，线性变换的值域与核，线性空间按特征值分解成不变子空间的直和，为本章难点。

3、教学时数：14课时第一节线性变换的定义定义 1是线性空间到线性空间的一个映射,满足：则称为线性映射.定义 2是线性空间到线性空间的一个映射,满足：则称为线性变换.本章主要研究线性变换性质 1∙∙线性变换保持线性关系式不变. 若,则∙将线性相关的元素映射为线性相关的元素.第二节线性变换的运算1.相等iff2.加法运算；负运算；减法运算.3.乘法运算以及4.数乘运算5.幂次运算6.线性变换的多项式运算,定义7.零变换(0),恒等变换(Id)8.可逆的线性变换运算性质从交换律 ,结合律,分配律上考虑定理 1设是空间上的两个线性变换, 则都是上的线性变换；如果是可逆的,则也是上的线性变换.定理 2设是空间上的线性变换, 则∙乘法满足结合律∙,∙∙乘法一般不满足交换律 (见下例),但对于线性变换的多项式,总有交换律,即定义 1线性空间上的所有线性变换的集合在线性变换的加法和数乘运算下是一个线性空间, 称为线性空间的对偶空间.线性变换的乘法运算不满足交换律.例子 1假设,那么有结论:第三节线性变换的矩阵我们从两个方面来讨论线性变换的矩阵.定义 1设是维线性空间的一组基,为一个线性变换, 则元素组在的坐标,即构成的矩阵称为在基下的矩阵.定理 1线性变换的唯一存在定理任给线性空间的一组基和它的任意一组元素,则必存在唯一的线性变换,使得.证明利用线性空间的特征,可以构作映射;则即为所求下面的定理说明线性变换和矩阵的本质联系.定理 2设是数域上维线性空间的一组基,在这组下, 线性变换的矩阵用来表示.则存在从到的同构映射,满足:1. ;2. ;3. ;4. ;定理 3和在基下的坐标分别为,且的矩阵为.则.已知两组基.现在我们关心在这两组基础下的矩阵的联系.定理 4已知线性空间的两组基,线性变换在这两组基础下的矩阵分别为.则存在可逆的矩阵,使得证明根据已知条件,可得假设从基到基的过渡矩阵记为.则经过运算,可以得到结论.为了研究在这两组基础下的矩阵的这种联系联系,故此定义定义 2矩阵称为相似的,若存在可逆的矩阵,使得.继矩阵的等价、合同关系之后,相似关系是矩阵的新关系.性质 2相似关系是等价关系.性质 3相似,即,则.一般的,对任意的多项式, 均有.矩阵的这种相似关系可以用来计算矩阵的幂次方.例子 1计算.第四节特征值与特征向量现在,我们来讨论线性变换的简单化问题,即研究线性变换在什么条件下他的矩阵为对角矩阵？存在与否一组基,使得他的矩阵为对角矩阵？利用这些想法,我们不难得到一些必要条件.在这些必要条件的基础上我们来逐步判断线性变换的对角化问题.分析：假设我们果真找到了一组基,在其下的矩阵为.则得到定义 1线性变换的特征值,特征向量.再假设我们有一组基,满足代入上式,得到定义 2矩阵的特征值,特征向量计算问题：若何求特征值和特征向量？一些重要的基本概念：定义 3特征多项式.迹；特征子空间特征多项式的基本性质性质 4,则,定理 1相似的矩阵有相同的特征多项式；反之不然.例子 1定理 2Hamilton-Caylay定理设.则.证明令为的伴随矩阵,则有可令则代入第一式中,比较对应项的系数,得到即对应求和,得到结论.定义 4矩阵的零化多项式：,则称为的零化多项式. 次数最低的零化多项式称为的最小多项式.Hamilton-Carlay 定理的应用举例：例子 2设. 证明：提示：例子 3计算上例子中.问题：如何计算,使得?提示：用待定系数法.第五节对角矩阵本节给出线性变换或矩阵对角化问题的一系列判别条件.定理 1设是维线性空间的一个线性变换, 存在一组基使得在此基下的矩阵是对角矩阵的分必要条件是有个线性无关的特征向量.那么如何保证一定有线性无关的特征向量呢？定理 2属于不同的特征值的特征向量是线性无关的. 利用归纳法证明.推论 1有个不同的特征根, 则必有个特征向量.推论 2在复数域上,的特征多项式没有重根,则必有个特征向量.定理 3如果是线性变换的不同的特征值, 而是属于特征值的线性无关的特征向量,. 那么也线性无关.证明：设有判别式令则上式等价于可以验证或为的特征向量或为零向量. 如为前者, 则与上定理的结论相矛盾. 则只能为后者.等价于, 故原命题成立 .定理 4可以对角化的充要条件是任何一个特征值的代数重数等于它的几何重数.第六节线性变换的值域与核定义 1值域和核；数学表示；性质 1值域和核都是线性子空间定义 2线性变换的秩与零度： dimdim分别称为线性变换的秩和零度定理 1设是维线性空间的线性变换, 是的一组基,在这组基下的矩阵是,则∙;∙的秩=.线性变换的秩和零度存在下面的联系-维数公式定理 2设是维线性空间的线性变换,则dim dim推论 1对于有限维线性空间的线性变换,它是1-1的充分必要条件是它是满射.例子 1设是一个线性变换,满足: .求证：可以对角化证明只证明其中. 又分别从两个子空间选取一组基.那么在这一组基下的矩阵为第七节不变子空间定义 1是线性空间的子空间, .如果,则称为-不变子空间.线性不变子空间的基本性质性质 51.特征子空间是不变子空间；2.线性变换的值域和核均为子空间3.不变子空间的交与和仍然是不变子空间；4.和是不变子空间.例子 1假如是相互交换的线性变换,则的核与值域都是子空间.不变子空间的作用1.简化矩阵计算定理 1设是一个-不变子空间,则一定存在一组基使得在此基下的矩阵为推论 1设是一个-不变子空间, 并且, 则一定存在一组基使得在此基下的矩阵为2.线性空间的直和分解定理 2设线性变换的特征多项式为,它可以分解成一次因式的乘积则可以分解成不变子空间的直和其中证明: (I)先证由已知条件可设故可知即存在个多项式,使得故对线性变换而言也有所以, ,必有令.可验证ker(II)再证只证明零元素的分解是唯一的.为此假设对上式两端同时用作用,注意到. 因此,我们可以得到同时由故得作用到之上,可以建立综合上述,原命题得证明.。

第七章 线性变换学习单元6： 线性变换的值域与核_________________________________________________________● 导学学习目标：理解线性变换的值域与核的概念；掌握线性变换的值域的结构；掌握线性变换的核的结构；会求线性变换的值域的维数与基；会求线性变换的核的维数与基。

学习建议：建议大家多读定义及定理，认真理解定义及定理的条件与结论，结合例题、习题掌握理论内容。

重点难点：重点：掌握线性变换的值域与核的维数与基的计算。

难点：深刻理解线性变换的值域与核的结构。

_________________________________________________________● 学习内容一、线性变换的值域与核的概念及基本性质定义 设V 为数域P 上线性空间，(),A L V ∈V 的全体向量在A 下的像组成的集合称为A 的值域，记为()A V ，即(){()|}A V A V αα=∈。

V 的零向量在A 下的原像组成的集合称为A 的核，记为1(0)A -，即1(0){|()0}A V A αα-=∈=。

注 也记()A V 为Im A (the image of A )，1(0)A -为ker A (the kernel of A )。

命题 1(),(0)A V A V -≤。

定义 称dim ()A V 为A 的秩，记为()R A ，称1dim (0)A -为A 的零度，记为()N A 。

二、()A V 及1(0)A -的结构及关系定理 设V 为P 上n 维线性空间，(),A L V ∈1,,n εεL 为V 的一个基，A 在1,,n εεL 下的矩阵为A ，则（1）12()((),(),,())n A V L A A A εεε=L ；（2）()()R A R A =；注：由于A 在不同基下的矩阵相似，而相似矩阵有相同的秩，故计算()R A 时与基的选择无关。

线性变换的核与像设是向量空间V的一个线性变换，称为的核，记为或称为的像（或值域），记为或.可证得与都是V的子空间. 称为的秩，称为的零度.结论1 设是F上维向量空间V的线性变换，是V的一个基，关于此基的矩阵是A，则(i);(ii)秩A;(iii)+.结论2 设是F上向量空间的线性变换，则是满射；(ii)是单射.结论3 设是维向量空间V的线性变换，则是单射是满射.结论4 设是V的线性变换，则(i);(ii);(iii)例1 设, 试证明，存在一个正整数k，使得. 且对一切正整数t，均有.证明：1）这时是单射，且是满射，故可逆，从而均可逆，即有因而结论成立.2)由结论4得，由于不超过n的正整数只有n个，因此由上式知，必存在正整数，使，当然有即.下面用数学归纳法来证明，对一切正整数t，有当时，结论已证.设，且显然. 反之，由归纳假设，因此，即，这说明，所以，即有.由例1立得推论设, 试证明，存在一个正整数k，使，且对一切正整数t，均有例2 设皆为F上向量空间V的线性变换，且(i)(ii)证明：(i) ()显然.()故，使..因而上述过程中的与对调，即得(ii) ()显然.(), 因而，由于，因此，故=0,∴∴将上述过程中的与对调，即得例3 设, 证明下述条件诸款彼此等价：(i);(ii)证明：(i)(ii):且，使, 由知，故.即有(i)(ii):由知，是直和..所以，使,而是中任取的一向量，故. 至于是显然的.因此注：与(i) 等价的条件还有“”与(ii) 等价的条件有“”及当时，有. 反之，当时，未必有比如设, 为基，选择V的一个线性变换，使，, j=2,3,…,n. 这能办到. 显然，但，而，即有.例4 设, ，W是V的子空间. 证明.证当W是V的零子空间时，结论显然成立下设dim1)令则f为线性映射，=∴f 为单射.显然f 为满射. 故f 为W 到的同购映射，故 结论为真. 2)令① 如果，即，此时(W)={0}，显然有.② 下设，即 设为的一个基，扩充为W 的一个基显然=.设1+r b δ(1+r α)+…+s b δ(s α)=0,即δ(1+r b 1+r α+…+s b s α)=0∴1+r b 1+r α+…+s b s α∈ker δ⋂w∃1b ,…, r b ∈F,使1+r b 1+r α+…+s b s α=1b 1α+…+r b r α 1b 1α+…+r b r α-1+r b 1+r α-…-s b s α=0由于1α,…,r α,1+r α,…,s α线性无关，因此1b =…=r b =1+r b =…=s b =0所以δ(1+r α),…,δ(s α)线性无关,是δ(w)的一个基，故dimW=s=s-r+r=dim δ(w)+dim(ker δ⋂w) 例5设δ∈L(V F ),f(x),g(x)∈F[X],h(x)=f(x)g(x) （ⅰ）ker f(δ)+ker g(δ)⊆ker h(δ)(ⅱ)(f(x),g(x))=1⇒ ker f(δ)+ker g(δ)⊆ker h(δ) 例6设dim V F =n>0,τ δ∈L(V),则（ⅰ）dim Im(δτ)≥dim Im(δ)+dim Im(τ)-n（ⅱ）dim ker(δτ)≤dim ker δ+dim ker τ例7设1ϕ,2ϕ,…,t ϕ ∈L(V F ),且 （ⅰ）2i ϕ=i ϕ(i=1,2,…,t); （ⅱ）i ϕj ϕ=θ,i ≠j(i,j=1,2,…,t)试证明,v=Im 1ϕ⊕ Im 2ϕ⊕…⊕Im t ϕ⊕ ti i 1ker =ϕ 证1)先证Im 1ϕ⋂( Im 2ϕ⊕…⊕Im t ϕ⊕ t i i 1ker =ϕ)={0}∀ξ∈ Im 1ϕ⋂( Im 2ϕ⊕…⊕Im t ϕ⊕t i i1ker =ϕ),∃1ξ∈v,2ξ,…,t ξ∈v,η∈ti i1ker =ϕ使ξ=1ϕ(1ξ)=2ϕ(2ξ)+…+t ϕ(t ξ)+η,用1ϕ作用上式两端，得1ϕ(1ϕ(1ξ))= 1ϕ (2ϕ(2ξ))+…+1ϕ (t ϕ(t ξ))+1ϕ(η), 即21ϕ(1ξ)=θ(2ξ)+…+θ(t ξ)+0亦即ξ=1ϕ(1ξ)=0 故Im 1ϕ⋂( Im 2ϕ⊕…⊕Im t ϕ⊕ ti i 1ker =ϕ)={0}2)类似于1)的证法，可得∀k ∈{1,2,…,t}有Im k ϕ⋂(Im 1ϕ+…+Im 1-k ϕ +Im k ϕ+ Im 1+k ϕ…+Im t ϕ+ ti i 1ker =ϕ)={0} 3) (Im 1ϕ+Im 2ϕ…+Im t ϕ+ ti i 1ker =ϕ)={0}任取上式左端集合中的一个向量ξ，∃1ξ,2ξ,…,t ξ ∈v,使ξ=1ϕ(1ξ)=2ϕ(2ξ)+…+t ϕ(t ξ), 且i ϕ (ξ)=0,i=1,2,…,t.0=i ϕ(ξ)=i ϕ(1ϕ(1ξ)=2ϕ(2ξ)+…+t ϕ(t ξ))=2i ϕ(ξ)=i ϕ(i ξ)i=1,2,…,t.因此ξ=0 综合1），2），3）知，和Im 1ϕ+Im 2ϕ…+Im t ϕ+ ti i 1ker =ϕ是直和， 4）最后，只需证明v=∑=tj j 1Im ϕ+ t i i 1ker =ϕ∀ ξ∈v, ∀ ∈{1,2,…,t},有ϕ（ξ-1ϕ(1ξ)-2ϕ(2ξ)-…-t ϕ(t ξ)）= ϕ（ξ）- ϕ ϕ（ξ）= ϕ（ξ）-2 ϕ（ξ）=0令η=ξ-1ϕ(1ξ)-2ϕ(2ξ)-…-t ϕ(t ξ)，即有η∈ ti i 1ker =ϕ所以ξ=1ϕ(1ξ)=2ϕ(2ξ)+…+t ϕ(t ξ)+η 综上所述，结论得证 例8设 v={f(x)∈F[x]︱0∂f(x)<n 或f(x)=0},∀f(x) ∈v, 令δ(f(x))=x 1f (x)-f(x)（ⅰ）δ是的v 的线性变换；（ⅱ） 求ker δ及Im δ; (ⅲ)求证v= ker δ⊕Im δ 证 （ⅰ）显然（ⅱ） 很显然1,x,12,...,-n x x 是v 的一个基.故Im δ=???(δ(1), δ (x),δ(2x ),…, δ(1-n x ))=???(-1,0, 2x ,23x ,34x ,…,(n-2) 1-n x )=???(1, 2x ,3x ,4x ,…,1-n x )={0a +2a 2x +3a 3x +...+1-n a 1-n x ∣0a ,2a ,3a ,…,1-n a ∈F}1, 2x ,3x ,4x ,…,1-n x 是Im δ的基,dim Im δ=n-1 任取g(x) ∈ker δ设g(x)=0b +1b x +…+1-n b 1-n x0=δ(g(x)) =0b δ(1)+1b δ (x)+ 2b δ(2x )+…+ 1-n b δ(1-n x )=-0b +2b 2x +23b 3x +…+(n-2)1-n b 1-n x 即有0b =1b =…=1-n b =0 即g(x)= 1b x.反之形如kx,k ∈F 的多项式显然在ker δ 里,故ker δ={kx,k ∈F},dim ker δ=1(ⅲ) ∀h(x)=0c +1c x+2c 2x +...+1-n c 1-n x ∈ker δ⋂Im δ 由h(x) ∈ ker δ知0c =1c =2c =3c =...=1-n c =0, 由h(x) ∈ Im δ知，1c =0, 因此h(x)=0即ker δ⋂Im δ={0} 故和ker δ+Im δ是直和Dim(ker δ+Im δ)=dimker δ+dim Im δ=1+(n-1)=n 所以v= ker δ⊕Im δ，结论得证。

线性变换的核与像设是向量空间V的一个线性变换，称为的核，记为或称为的像（或值域），记为或.可证得与都是V的子空间. 称为的秩，称为的零度.结论1 设是F上维向量空间V的线性变换，是V的一个基，关于此基的矩阵是A，则(i);(ii)秩A;(iii)+.结论2 设是F上向量空间的线性变换，则是满射；(ii)是单射.结论3 设是维向量空间V的线性变换，则是单射是满射.结论4 设是V的线性变换，则(i);(ii);(iii)例1 设, 试证明，存在一个正整数k，使得. 且对一切正整数t，均有.证明：1）这时是单射，且是满射，故可逆，从而均可逆，即有因而结论成立.2)由结论4得，由于不超过n的正整数只有n个，因此由上式知，必存在正整数，使，当然有即.下面用数学归纳法来证明，对一切正整数t，有当时，结论已证.设，且显然. 反之，由归纳假设，因此，即，这说明，所以，即有.由例1立得推论设, 试证明，存在一个正整数k，使，且对一切正整数t，均有例2 设皆为F上向量空间V的线性变换，且(i)(ii)证明：(i) ()显然.()故，使..因而上述过程中的与对调，即得(ii) ()显然.(), 因而，由于，因此，故=0,∴∴将上述过程中的与对调，即得例3 设, 证明下述条件诸款彼此等价：(i);(ii)证明：(i)(ii):且，使, 由知，故.即有(i)(ii):由知，是直和..所以，使,而是中任取的一向量，故. 至于是显然的.因此注：与(i) 等价的条件还有“”与(ii) 等价的条件有“”及当时，有. 反之，当时，未必有比如设, 为基，选择V的一个线性变换，使，, j=2,3,…,n. 这能办到. 显然，但，而，即有.例4 设, ，W是V的子空间. 证明.证当W是V的零子空间时，结论显然成立下设dim1)令则f为线性映射，=∴f 为单射.显然f 为满射. 故f 为W 到的同购映射，故 结论为真. 2)令① 如果，即，此时(W)={0}，显然有.② 下设，即 设为的一个基，扩充为W 的一个基显然=.设1+r b δ(1+r α)+…+s b δ(s α)=0,即δ(1+r b 1+r α+…+s b s α)=0∴1+r b 1+r α+…+s b s α∈ker δ⋂w∃1b ,…, r b ∈F,使1+r b 1+r α+…+s b s α=1b 1α+…+r b r α 1b 1α+…+r b r α-1+r b 1+r α-…-s b s α=0 由于1α,…,r α,1+r α,…,s α线性无关，因此1b =…=r b =1+r b =…=s b =0所以δ(1+r α),…,δ(s α)线性无关,是δ(w)的一个基，故dimW=s=s-r+r=dim δ(w)+dim(ker δ⋂w) 例5设δ∈L(V F ),f(x),g(x)∈F[X],h(x)=f(x)g(x) （ⅰ）ker f(δ)+ker g(δ)⊆ker h(δ)(ⅱ)(f(x),g(x))=1⇒ ker f(δ)+ker g(δ)⊆ker h(δ) 例6设dim V F =n>0,τ δ∈L(V),则（ⅰ）dim Im(δτ)≥dim Im(δ)+dim Im(τ)-n（ⅱ）dim ker(δτ)≤dim ker δ+dim ker τ例7设1ϕ,2ϕ,…,t ϕ ∈L(V F ),且 （ⅰ）2i ϕ=i ϕ(i=1,2,…,t); （ⅱ）i ϕj ϕ=θ,i ≠j(i,j=1,2,…,t) 试证明,v=Im 1ϕ⊕ Im 2ϕ⊕…⊕Im t ϕ⊕ ti i1ker =ϕ证1)先证Im 1ϕ⋂( Im 2ϕ⊕…⊕Im t ϕ⊕ t i i1ker =ϕ)={0} ∀ξ∈ Im 1ϕ⋂( Im 2ϕ⊕…⊕Im t ϕ⊕ t i i 1ker =ϕ),∃1ξ∈v,2ξ,…,t ξ∈v,η∈ti i1ker =ϕ使ξ=1ϕ(1ξ)=2ϕ(2ξ)+…+t ϕ(t ξ)+η,用1ϕ作用上式两端，得1ϕ(1ϕ(1ξ))= 1ϕ (2ϕ(2ξ))+…+1ϕ (t ϕ(t ξ))+1ϕ(η), 即21ϕ(1ξ)=θ(2ξ)+…+θ(t ξ)+0亦即ξ=1ϕ(1ξ)=0 故Im 1ϕ⋂( Im 2ϕ⊕…⊕Im t ϕ⊕ti i1ker =ϕ)={0}2)类似于1)的证法，可得∀k ∈{1,2,…,t}有Im k ϕ⋂(Im 1ϕ+…+Im 1-k ϕ +Im k ϕ+ Im 1+k ϕ…+Im t ϕ+ ti i 1ker =ϕ)={0} 3) (Im 1ϕ+Im 2ϕ…+Im t ϕ+ ti i 1ker =ϕ)={0} 任取上式左端集合中的一个向量ξ，∃1ξ,2ξ,…,t ξ ∈v,使ξ=1ϕ(1ξ)=2ϕ(2ξ)+…+t ϕ(t ξ), 且i ϕ (ξ)=0,i=1,2,…,t.0=i ϕ(ξ)=i ϕ(1ϕ(1ξ)=2ϕ(2ξ)+…+t ϕ(t ξ))=2i ϕ(ξ)=i ϕ(i ξ)i=1,2,…,t.因此ξ=0 综合1），2），3）知，和Im 1ϕ+Im 2ϕ…+Im t ϕ+ ti i 1ker =ϕ是直和， 4）最后，只需证明v=∑=tj j 1Im ϕ+ ti i 1ker =ϕ∀ ξ∈v, ∀ ∈{1,2,…,t},有ϕ（ξ-1ϕ(1ξ)-2ϕ(2ξ)-…-t ϕ(t ξ)）= ϕ（ξ）- ϕ ϕ（ξ）= ϕ（ξ）-2 ϕ（ξ）=0令η=ξ-1ϕ(1ξ)-2ϕ(2ξ)-…-t ϕ(t ξ)，即有η∈ ti i 1ker =ϕ 所以ξ=1ϕ(1ξ)=2ϕ(2ξ)+…+t ϕ(t ξ)+η 综上所述，结论得证 例8设 v={f(x)∈F[x]︱0∂f(x)<n 或f(x)=0},∀f(x) ∈v, 令δ(f(x))=x 1f (x)-f(x)（ⅰ）δ是的v 的线性变换；（ⅱ） 求ker δ及Im δ; (ⅲ)求证v= ker δ⊕Im δ 证 （ⅰ）显然（ⅱ） 很显然1,x,12,...,-n x x 是v 的一个基.故Im δ=???(δ(1), δ (x),δ(2x ),…, δ(1-n x ))=???(-1,0, 2x ,23x ,34x ,…,(n-2) 1-n x )=???(1, 2x ,3x ,4x ,…,1-n x )={0a +2a 2x +3a 3x +...+1-n a 1-n x ∣0a ,2a ,3a ,…,1-n a ∈F}1, 2x ,3x ,4x ,…,1-n x 是Im δ的基,dim Im δ=n-1 任取g(x) ∈ker δ设g(x)=0b +1b x +…+1-n b 1-n x0=δ(g(x)) =0b δ(1)+1b δ (x)+ 2b δ(2x )+…+ 1-n b δ(1-n x )=-0b +2b 2x +23b 3x +…+(n-2)1-n b 1-n x 即有0b =1b =…=1-n b =0 即g(x)= 1b x.反之形如kx,k ∈F 的多项式显然在ker δ 里,故ker δ={kx,k ∈F},dim ker δ=1(ⅲ) ∀h(x)=0c +1c x+2c 2x +...+1-n c 1-n x ∈ker δ⋂Im δ 由h(x) ∈ ker δ知0c =1c =2c =3c =...=1-n c =0, 由h(x) ∈ Im δ知，1c =0, 因此h(x)=0即ker δ⋂Im δ={0} 故和ker δ+Im δ是直和Dim(ker δ+Im δ)=dimker δ+dim Im δ=1+(n-1)=n 所以v= ker δ⊕Im δ，结论得证。