河北省2012届高三模拟统考数学理试卷
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河北省2012届高三模拟统考数学理试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）复数313ii+=- （A ）i （B ）i - （C ）2i （D ）2i -（2）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，则(2)f -=（A ）1 （B ）1- （C ）14 （D ）114- （3）已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=（A ）27 （B ）36 （C ）45 （D ）63 （4）已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（A （B ）4 （C （D ）5 （5）给出下列四个命题：①,sin cos 1R ααα∀∈+>- ②3,sin cos 2R ααα∃∈+=③1,sin cos 2R ααα∀∈≤④,sin cos 4R ααα∃∈=其中正确命题的序号是①②③④（A ）①② （B ）①③ （C ）③④ （D ）②④（6）如图是一个容量为200的样本频率分布直方图，则样本数据落在范围[13,17)的频数为（A ）81 （B ）36 （C ）24 （D ）12（7）已知椭圆221:12x y C m n +=+与双曲线222:1x y C m n-=共焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为（A ） （B ） （C ）(0,1) （D ）1(0,)2（8）已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组3103010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则tan AOB ∠的最大值等于 （A ）12 （B ）34 （C ）47 （D ）94（9）设函数())sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则（A ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 （B ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数（C ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 （D ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数（10）某几何体的三视图入图所示，则此几何体对应直观图中△PAB 的面积是（A（B ）2 （C（D（11）根据如图所示程序框图，若输入2146m =，1813n =，则输出m 的值为（A ）1 （B ）37 （C ）148 （D ）333（12）已知函数|21|,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，若方程()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（A ）(1,3) （B ）(0,3) （C ）(0,2) （D ）(0,1)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）61()ax x-的二项展开式中的常数项为160，则实数a =______．（14）已知数列{}n a 满足1221(*)n n a n n N -=+-∈，则数列{}n a 的前n 项和n S =_______． （15）由曲线sin()2y x π=与3y x =在区间[0,1]上所围成的图形面积为______．（16）在三棱柱'''ABC A B C -中，已知'AA ⊥平面ABC ，'2AB AC AA ===，BC =棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的表面积为_______． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(2)cos cos a c B b C -=． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）设b =6a c +=，求△ABC 的面积． （18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，2AB =，BC =PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，E 是棱PA 的中点．（Ⅰ）求证：PD AC ⊥；（Ⅱ）在棱PA 上是否存在一点E ，使得二面角E BD A --的大小为45︒．若存在，试求AEAP的值，若不存在，请说明理由． （19）（本小题满分12分）某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：cm ）．跳高成绩在175cm 以上（包括175cm ）定义为“合格”，成绩在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“不合格” ．鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队．（Ⅰ）求甲队队员跳高成绩的中位数；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5分，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少．（Ⅲ）若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的认输，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望． （20）（本小题满分12分）已知圆C 的方程为224x y +=，过点(2,4)M 作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>的右顶点和上顶点．（Ⅰ）求椭圆T 的方程；（Ⅱ）已知直线l 与椭圆T 相交于P 、Q 两不同点，直线l方程为(0)y kx k =>，O 为坐标原点，求△OPQ 面积的最大值． （21）（本小题满分12分）已知函数1()xf x e x a=+-． （Ⅰ）当12a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程； （Ⅱ）函数()f x 是否存在零点．若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲F 为BA 延长如图，AB 是O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，线上一点，且BD BE BA BF = ，求证： （Ⅰ）EF FB ⊥；（Ⅱ）90DFB DBC ∠+∠=︒． （23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为4cos ρθ=，直线l的方程为212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 的公共点为T ．（Ⅰ）求点T 的极坐标；（Ⅱ）过点T 作直线'l ，'l 被曲线C 截得的线段长为2，求直线'l 的极坐标方程． （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|1||3|f x x x =-++．（Ⅰ）求x 的取值范围，使()f x 为常函数；（Ⅱ）若关于x 的不等式()0f x a -≤有解，求实数a 的取值范围．理科数学答案一、选择题：ABCDC ，CABBA ，BD二、填空题：13，2-；14，221n n S n =+-；15，412-π；16，20π． 三、解答题： 17．【解析】：（Ⅰ）由正弦定理得：(2)cos cos a c B b C -=⇒(2sin sin )cos sin cos A C B B C -= ……………2分即：2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B C B C B B C A =+=+= ………4分 在ABC ∆中，0sin 0A A π<<∴≠1cos ,023B B B ππ∴=<<∴=又，． …………………………6分（Ⅱ）由余弦定理得：222122cos60()3a c ac a c ac =+-=+- ……………..8分 则8ac = ……………..10分11sin 8222ABC S ac B ∆∴==⋅⋅=． ……………..12分18．【解析】：取AB 中点H ，则由PA ＝PB ，得PH ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ∩平面ABCD=AB ，所以PH ⊥平面ABCD ．以H 为原点，建立空间直角坐标系H －xyz （如图）．则(1,0,0),(1,0,0),(1(1A B D C P -- ………..2分（I）证明：∵(1(PD AC ==-, ………..4分∴(1(0PD AC ⋅=⋅-=， ∴PD AC ⊥，即PD⊥AC . ………..6分(II) 假设在棱PA上存在一点E ，不妨设AE =λAP(01)λ<<，则点E的坐标为(1)λ-， ………..8分∴(2),BE BD λ=-=设(,,)n x y z =是平面EBD 的法向量，则 n BE n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 00n BE n BD ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩(2)00200x y z x y z λ⎧-+⋅=⎪⇒⎨+⋅=⎪⎩z x y ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩，不妨取x =EBD的一个法向量2)n λλ-=-． ………..10分 又面ABD 的法向量可以是HP，要使二面角E-BD-A 的大小等于45°，则0cos 45|cos ,|HP n HP n HP n ⋅=<>==⋅ 可解得12λ=，即AE =12AP故在棱PA 上存在点E ，当12AE AP =时，使得二面角E-BD-A 的大小等于45°．……..12分 19.【解析】 （Ⅰ）中位数1761781772+==cm. ………..2分 （Ⅱ）根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是61305=， 所以选中的“合格”有26112=⨯人， ………..4分 “不合格”有36118=⨯人． ………..6分 （Ⅲ）依题意，X 的取值为0,1,2．则28212C 2814(=0)C 6633===P X ，1148212C C 3216(1)C 6633====P X ，24212C 63(2)C 6633====P X ．………..10分14163222012333333333∴=⨯+⨯+⨯==EX ． ………..12分 备注：一个概率1分，表格1分，共4分20．【解析】（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：2x =，设另一条切线方程为：4(2)y k x -=- ..2分2=，解得：34k =，此时切线方程为：3542y x =+ 切线方程与圆方程联立得：68,55x y =-=，则直线AB 的方程为22=+y x ……….4分 令0=x ，解得1=y ，∴1=b ；令0y =,得2x =,∴2=a故所求椭圆方程为1422=+y x ……….6分（Ⅱ）联立221.4y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩整理得()08384122=+++kx x k ，令),(11y x P ，),(22y x Q ，则2214138k kx x +-=+，221418k x x +=， 0)41(32)38(22>+-=∆k k ，即：0122>-k ………..8分原点到直线l的距离为=d ， ………..10分12|||PQ x x =-，∴121||2OPQS PQ d x x ∆=⋅=-===1=≤当且仅当k =时取等号，则OPQ ∆面积的最大值为1. ………..12分21．【解析】： （Ⅰ）1()xf x e x a =+-，21'()()xf x e x a =--，21'(0)1f a =-．当12a =时，'(0)3f =-．又(0)1f =-． ………..2分 则()f x 在0x =处的切线方程为31y x =--． ………..4分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(,)(,)a a -∞+∞ ． 当(,)x a ∈+∞时，10,0xe x a >>-，所以1()0x f x e x a=+>-． 即()f x 在区间(,)a +∞上没有零点． ………..6分当(,)x a ∈-∞时，1()1()x xe x af x e x a x a-+=+=--， 令()()1x g x e x a =-+． ………7分 只要讨论()g x 的零点即可．'()(1)x g x e x a =-+，'(1)0g a -=． 当(,1)x a ∈-∞-时，'()0g x <，()g x 是减函数； 当(1,)x a a ∈-时，'()0g x >，()g x 是增函数．所以()g x 在区间(,)a -∞最小值为1(1)1a g a e --=-． ………..9分 显然，当1a =时，(1)0g a -=，所以1x a =-是()f x 的唯一的零点；当1a <时，1(1)10a g a e --=->，所以()f x 没有零点；当1a >时，1(1)10a g a e --=-<，所以()f x 有两个零点． ………..12分 22．【解析】：（Ⅰ）证明：连接AD ，在ADB EFB ∆∆和中BD BE BA BF ⋅=⋅BD BFBA BE∴= ………..2分 又DBA EBF ∠=∠ADB ∴∆∽EFB ∆ ………..4分则90EFB ADB ∠=∠=EF FB ∴⊥ ………..5分 (Ⅱ)在ADB ∆中，90ADB ADE ∠=∠=又90EFB ∠=∴E F A D 、、、四点共圆； ………..7分DFB AEB ∴∠=∠ ………..9分 又AB 是⊙O 的直径，则90ACB ∠=，∴90DFB DBC AEB DBC ∠+∠=∠+∠=………..10分23．【解析】：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为2240x x y -+=． ………..2分将212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入上式并整理得2120t -+=．解得t =T的坐标为． ………..4分其极坐标为(2,)3π………5分（Ⅱ）设直线l '的方程为(1),0y k x kx y k =--=即． ………..7分由（Ⅰ）得曲线C 是以(2,0)为圆心的圆，且圆心到直线l '=0k =，或k =直线l '的方程为y =y =． ………..9分其极坐标方程为sin 3πρθθ==()R ρ∈．…………………………10分24．【解析】：（Ⅰ）22,3()1|3|4,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩………..4分则当[3,1]x ∈-时，)(x f 为常函数. ………..5分 （Ⅱ）由（1）得函数()f x 的最小值为4， ………..8分 则实数a 的取值范围为4a ≥. …..10分B。
