广东省2019届高三数学模拟试题(一)理(含解析)

江门市2019年高考模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.是虚数单位，若是纯虚数，则实数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则得到复数的化简式子，再由实部为0得到结果.【详解】若是纯虚数，化简虚数得到，纯虚数即解得m=-1.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及实部和虚部的概念，题型较为基础.2.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由补集的概念得到，再由交集的概念得到结果即可.【详解】根据题干得到，则.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，题型较为基础.3.某地气象局把当地某月（共30天）每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图，假设该月温度的中位数为，众数为，平均数为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】据众数的定义是出现次数最多的数据结合图求出众数；据中位数的定义：是将数据从小到大排中间的数，若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值；据平均值的定义求出平均值，比较它们的大小．【详解】由图知众数＝5由中位数的定义知，得分的中位数为m e，是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15个数是5，第16个数是6，∴＝5.5，（2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10） 5.97，∴＜m e＜，故答案为：D．【点睛】本题考查了众数，中位数与平均数，要注意中位数是中间两个数的平均数．4.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由已知向量等式可知C 在AB 所在的直线上，由直线方程的两点式得答案． 【详解】由，且λ+μ＝1，得＝，∴，即，则C 、A 、B 三点共线．设C （x ，y ），则C 在AB 所在的直线上， ∵A （2，1）、B （4，5）， ∴AB 所在直线方程为 ，整理得：．故P 的轨迹方程为：．故选：A.【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用，考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题． 5.根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）．据此预测，本年度内，需求量超过万件的月份是（ ）A. 5月、6月B. 6月、7月C. 7月、8月D. 8月、9月【答案】C 【解析】 【分析】现根据题意得到第n 个月时的需求量，再由需求量大于5得到n 的范围，进而得到结果.【详解】日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）,则第个月的需求量为，故答案为：C.【点睛】这个题目考查了数列通项的求法中已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项；也考查了不含参的二次不等式的求法，较为基础.6.一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若，且这个四棱锥的体积，则这个四棱锥的侧面积（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到原图，根据边长关系和图形特点得到侧面积.【详解】根据三视图得到原图：底面边长为，高为h，体积为侧面积为4个三角形，，根据题目得到故侧面积为32.故答案为：B.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据解析式得到函数的周期和对称轴，对称中心，进行估算，结合函数的单调性和图像得到结果.【详解】根据函数解析式得到函数的周期为，对称轴和对称中心为，估算，结合函数的图像可得到故答案为：A.【点睛】这个题目考查了三角函数的单调性的应用，以及函数的对称中心和对称轴的求解，题目难度中等.8.若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】先根据和曲线相切得到切线方程，再根据和二次函数相切得到参数值.【详解】设在函数处的切点设为（x,y）,根据导数的几何意义得到，故切点为（1，0），可求出切线方程为y=x-1,直线和也相切，故,化简得到,只需要满足故答案为：D.【点睛】求切线方程的方法：①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.9.在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x系数都为1，只考虑二项式系数即可，写出二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个，得到概率．【详解】有题意知本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x 系数都为1，我们只考虑二项式系数即可．二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个， ∴任取一项，该项的系数为奇数的概率p ＝故选：B ．【点睛】本题考查等可能事件的概率和二项式系数的特点，本题解题的关键是看出二项式的展开式中所有的二项式系数的值，本题比较特殊，因为二项式的系数等于项的系数． 10.直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据题干得到点A 坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率. 【详解】因为三角形OAB 是等边三角形，设直线OA 为，设点A 坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A 的坐标为，代入双曲线得到故答案为：D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围). 11.是球内接正四面体，若球的半径为，则（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据正四面体的各个棱长都相等，以及外接球这一条件得到，而由正四棱锥的结论得到外界球半径和棱长的关系，进而得到结果.【详解】根据正四面体的性质，以及外接球的半径都是1，OA=OB=OC=OD，故得到三角形OAB和三角形OBC，OAC，OAD是全等的三角形，则设四棱锥的边长为a,则外接球的半径为高的四分之三，高是棱的边长的本题中半径为1，棱长为，三角形OAB的顶角的余弦值为. 故答案为：B.【点睛】本题考查四面体的外接球问题，考查了空间想象能力，正四面体即各个侧棱都相等，各侧面都是等边三角形，它有很多性质，例如：外接球的半径是高的四分之三，内切球的半径是高的四分之一，对棱互相垂直.12.若直线与曲线在第一象限无交点，则正整数的最大值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由导数研究函数的单调性可得：f（x）在为减函数，在为增函数，则f（x）min，由导数求曲线切线方程得：g（x）＝2+lnx﹣x,g′（x），易得g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设g（x）＝0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，则4＜x2＜5，则m＝2+lnx2＝x2∈（3，4），由图可知，k＜m，即正整数k的最大值是3，得解．【详解】因为f（x）＝x+xlnx，所以f′（x）＝2+lnx，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，则f（x）在为减函数，在为增函数，则f（x）min，设直线y＝m（x﹣1）与曲线y＝x+xlnx在第一象限切于点P（x0，y0），则切线方程为：y＝（2+lnx0）x﹣x0，又此直线过点（1，0），解得：2+lnx0﹣x o＝0，设g（x）＝2+lnx﹣xg′（x），易得g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设g（x）＝0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，由g（3）＝ln3﹣1>0, g（4）＝ln4﹣2<0则3＜x2＜4，则m＝2+lnx2＝x2∈（3，4），由图可知，k＜m，即正整数k的最大值是3，故选：C．【点睛】这个题目考查了函数图像的交点问题，它和函数的零点问题是等价的；通过导数研究函数的单调性和极值，得到函数的单调性和图像的变化趋势，进而得到两个函数的图像的交点情况.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13.命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是_________．【答案】在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面【解析】【分析】根据逆否命题的写法得到结果即可.【详解】逆否命题是既否条件又否结论，在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.故答案为：在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.【点睛】这个题目考查了逆否命题的写法，题目较为简单.14.甲、乙、丙、丁、戊名学生进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，人的名次排列可能有_________种不同的情况．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．【详解】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有A33种排法．故共有3•3•A33=54种不同的情况．故答案为：54．【点睛】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．15.已知、、是锐角△内角、、的对边，是△的面积，若，，，则_________．【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积公式得到角C的正弦值，进而得到角C的值，再由余弦定理得到边c的值.【详解】根据三角形面积公式得到，因为三角形为锐角三角形，故得到角C为，再由余弦定理得到故答案为：7.【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.16.在直角坐标系中，记表示的平面区域为，在中任取一点，的概率_________．【答案】【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，再由几何概率的计算公式得到结果.【详解】根据不等式组得到可行域为图中染色部分，满足的是黑色部分，在中任取一点，的概率黑色部分的面积除以总的染色面积，记直线的交点为,,,故答案为：.【点睛】这个题目考查了简单的线性规划的可行域的画法，以及几何概型的面积型的计算.在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（）．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）弦化切求得方程的根可得到数列的通项；（2）通过第一问得到数列是周期为4的数列，通过观察列举得到和的规律，进而得到结果.【详解】（1）,解得，，，,依题意，，.（2）是周期的数列,，，，,，，，,从而，，……，所以是周期为4的数列,（）.【点睛】这个题目考查了数列的通项公示的求法以及数列的和的求法；采用的是观察法，得到数列的周期，进而得到数列的和.18.如左图，平面五边形中，，，将△沿折起，得到如右图的四棱锥．（1）证明：；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)通过图中的集合关系得到，进而得到线线垂直；（2）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量得到线面角.【详解】（1）取的中点，连接、。

广东省2019届高三适应性考试数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 下列各式的运算结果为纯虚数的是A. i(1+i) 2B. i 2 (1-i)C. (1+i) 2D. i(1+i)2. 已知等差数列的前项和为，若，则（）A. 36B. 72C. 144D. 2883. 设变量满足不等式组，则的最小值是（）A. B. C. D.4. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是A. 月接待游客逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳5. 在△ABC中，，，则的值为（）A. 3B.C.D.6. 已知函数，则A. y = 的图像关于点（1,0）对称________B. 在（0,2）单调递减C. y = 的图像关于直线 x =1对称________D. 在（0,2）单调递增7. 执行右侧的程序框图,当输入的值为4时,输出的的值为2,则空白判断框中的条件可能为A. B. C. D.8. 已知某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的体积为A. B.C. D.9. 直线经过双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则C的离心率为A. B. C. D.10. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则A. B. 的图象关于对称C. D. 的图象关于对称11. 过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在的轴上方），为的准线，点在上且 ,则到直线的距离为A. B. C. D.12. 设函数时恒有，则实数 a 的取值范围是A. B. C. D.二、填空题13. 已知向量，且，则 _______ .14. 文渊阁本四库全书《张丘建算经》卷上（二十三）：今有女子不善织，日减功，迟。

密★启用前试卷类型 :A 2021 年广州市普通高中毕业班综台测试〔一〕理科数学本试卷共 5 页， 23 小题，总分值150 分，考试用时120 分钟。

注意事顶： 1.答卷前，考生务必将自己的名和考生号、试室号、座位号填在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型〔 A 〕，填涂在答题相应置上。

2.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1. 集合A x x2 2x 0 ， B x 2x ，那么A. A BB. A B RC. B AD. A B答案： D考点：集合的运算，一元二次不等式，指数运算。

解析： A x 0 x 2 ， B x x 0 ，所以，D正确。

2. a 为实数，假设复数 a i 1 2i 为实数，那么 a=A. 21C.－1D. 2 B.22答案： B考点：复数的概念与运算。

解析： a i 1 2i ＝ a 2 (1 2a)i 为实数，所以， a 1 222 23. 双曲线C : x2 y 1 的一条渐近线过圆 P : x C 的2 y 41的圆心，那么b2离心率为5B. 3C. 5A.22答案： C文科数学试题A第1页(共 8 页 )考点 ：双曲线的性质。

解析 ：双曲线中， a ＝ 1，的渐近线为： ybx 经过圆心为〔 2，－ 4〕，得： b ＝2所以， c ＝5 ，离心率为 54. . 刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的?九章算术注?中首创“割圆术〞，所谓“割 圆术〞，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法， 如下图，圆内接正十二边形的中心为圆心 O ，圆 O 的半径为 2，现随机向圆 O 内段放 a 粒豆子，其中有 b 粒豆子落在正十二边形内( a, bN , b a ) ，那么圆周率的近似值为A.ba 3a3b aB.C.D.bba答案 ： C考点 ：几何概型。

2019届广东省广州市高三年级第一学期调研考试（一模）数学（理）科试题一、单选题1．设集合M=则集合=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再由交集的定义即可得结果.【详解】因为集合,,,故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集问题，属于简单题.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2．若复数是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】C【解析】利用复数代数形式的除法运箅化简复数,再根据实部为0且虚部不为0求解即可.【详解】为纯虚数，，即，故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运箅，考查复数的基本概念，是基础题.复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，选C.【考点】等差数列性质4．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为() A．B．C．D．【答案】D【解析】圆心C(3,0)，k PC＝，∵点P是弦MN的中点，∴PC⊥MN，∴k MN k PC＝－1，∴k MN＝2，∴弦MN所在直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.【考点】圆的弦所在的直线方程.5．已知实数，则的大小关系是A．B．C．D．【答案】B【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】由对数函数的性质,所以所以由指数函数的单调性可得，，，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题三个数分别在三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6．下列命题中，真命题的是（）A．B．C．的充要条件是D．若，且，则中至少有一个大于1【答案】D【解析】根据指数函数的值域判断；根据特殊值判断；根据逆否命题与原命题的等价性判断.【详解】根据指数函数的性质可得,故错误；时，不成立，故错误；当时，不成立，故错误；因为“，则中至少有一个大于1”的逆否命题“都小于等于1，则”正确，所以“，则中至少有一个大于1”正确，故选D.【点睛】本题主要考查指数函数的值域、特称命题与全称命题的定义，以及原命题与逆否命题的等价性，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7．由的图象向左平移个单位，再把图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】将的图象上各个点的横坐标变为原来的，再把所得图象向右平移个单位，即可得到的图象，根据三角函数的图象变换规律可得的解析式.【详解】将的图象上各个点的横坐标变为原来的，可得函数的图象，再把函数的图象向右平移个单位，即可得到的图象，所以，故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，属于中档题. 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.8．已知甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中，然后从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为（ ） A ．13 B ．12 C ．59 D ．29【答案】C【解析】试题分析：甲取出的求有两种情况：（1）从甲取出1黄球1红球，概率为：132136213C C C ⋅=，（2）从甲取出2红球，概率为：142136129C C C ⋅=，故概率为125399+=． 【考点】1、古典概型；2、分类加法、分步乘法计数原理．9．已知抛物线为双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出的坐标，将代入抛物线方程求出双曲线的三参数的关系，则双曲线的离心率可求.【详解】抛物线的焦点坐标为，双曲线的焦点坐标为，，点是两曲线的一个交点，且轴，将代入双曲线方程得到，将的坐标代入抛物线方程可得,，即，解得，，解得，故选A .【点睛】本题主要考查双曲线性质与双曲线的离心率，是中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．10．已知等比数列的前项和为，若，则数列的前项和为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，不成立，当时，，两式相除得，解得：，即，，，，两式相减得到：，所以，故选D.11．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．7 C．D．【答案】C【解析】该几何体为如图所示的几何体，是从棱长为的正方体中截取去两个三棱锥后的剩余部分，其体积，故选C.12．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为，整理得到方程有两个解即可，解出不等式即可.【详解】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.13．已知实数满足，则的最小值为__________．【答案】C【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如下图所示，目标函数，设，令得到如上图中的虚线，向上平移易知在点处取得最小值，，所以目标函数.【考点】线性规划.二、填空题14．已知向量的夹角为45°，且，则=__________【答案】1【解析】先利用平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式求出平方的值，再开平方即可得结果.【详解】因为向量的夹角为，，，可得，故答案为1.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式，属于简单题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.15．已知，则__________．【答案】【解析】令，得；令，得；两式相加得．点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.16．在四面体中，，则该四面体体积的最大值为________．【答案】【解析】由于平面是边长为1的正三角形，，底面面积固定，要使体积最大，只需高最大，故当平面时体积最大，.三、解答题17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（1）求角C的大小；（2）若A=，△ABC的面积为，M为BC的中点，求AM.【答案】(1)(2) .【解析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出根据的值，可求角的大小；（2）求得，为等腰三角形，由三角形面积公式可求出的值，再利用余弦定理可得出的值.【详解】(1)∵∴∴由正弦定理得：即∴∵C为三角形的内角，∴(2)由（1）知，∴∴△ABC为等腰三角形，即CA=CB又∵M为CB中点∴CM=BM设CA=CB=2x则CM=BM=x∴解得：x=2∴CA=4,CM=2由余弦定理得：AM=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18．某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的频数分布表.表1，设备改造后样本的频数分布表:（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均数；（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元，质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元，其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X得分布列和数学期望.【答案】(1) 30.2；(2)分布列见解析， 400.【解析】（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（2）的可能取值为：240，300，360, 420, 480，根据直方图求出样本中一、二、三等品的频率分别为，利用独立事件与互斥事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.【详解】(1)样本的质量指标平均值为.根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2.（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为，故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为，随机变量的取值为：240，300，360, 420, 480，；，，所以随机变量的分布列为：.【点睛】本题主要考查直方图的应用，互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A-CD-F为60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，DE=DC=3，CF=6.（1）求证：BF∥平面ADE；（2）在线段CF上求一点G，使锐二面角B-EG-D的余弦值为.【答案】（1）详见解析；（2）点满足.【解析】（1）先证明平面，平面，可得平面平面，从而可得结果；（2）作于点，则平面，以平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程组求得平面的法向量，结合面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程解得，从而可得结果.【详解】（1）因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，又因为BC不包含于平面ADE，所以BC∥平面ADE，因为DE∥CF，CF不包含于平面ADE，所以CF∥平面ADE，又因为BC∩CF＝C，所以平面BCF∥平面ADF，而BF⊂平面BCF，所以BF∥平面ADE．（2）∵CD⊥AD，CD⊥DE∴∠ADE为二面角A-CD-F的平面角∴∠ADE=60°∵CD⊥面ADE平面平面，作于点，则平面，由，得，以为原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则，设平面的法向量为，则由，得，取，得平面的一个法向量为，又面的一个法向量为，，，解得或（舍去），此时，得，即所求线段上的点满足.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、空间向量的应用，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.20．已知椭圆C：的离心率为，点P在C上.（1）求椭圆C的方程；（2）设分别为椭圆C的左右焦点，过的直线与椭圆C交于不同的两点A、B，求△的内切圆的半径的最大值.【答案】（1）；(2) 最大值为.【解析】(1) 根据离心率为，点在椭圆上，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、，即可得结果；（2）可设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，结合韦达定理、弦长公式，利用三角形面积公式可得，换元后利用导数可得，的最大值为，再结可得结果.【详解】（1）依题意有，解得，故椭圆的方程为.（2）设，设的内切圆半径为，的周长为，，根据题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由，得，，由韦达定理得，，令，则，，令，则当时，单调递增，，即当时，的最大值为，此时，故当直线的方程为时，内切圆半径的最大值为.【点睛】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若的有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1) 当a≤0，在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）递减；当，在（0，2）和上单调递增，在（2，）递减；当a=，在（0，+∞）递增；当a＞，在（0，）和（2，+∞）上单调递增，在（，2）递减；(2) . 【解析】（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由（1）知当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又，取，可证明，有两个零点等价于，得，可证明，当时与当且时，至多一个零点，综合讨论结果可得结论.【详解】（1）的定义域为，，（i）当时，恒成立，时，在上单调递增；时，在上单调递减.（ii）当时，由得，（舍去），①当，即时，恒成立，在上单调递增；②当，即时，或，恒成立，在上单调递增；时，恒成立，在上单调递减.③当，即时，或时，恒成立，在单调递增，时，恒成立，在上单调递减.综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，无单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又，取，令，则在成立，故单调递增，，，有两个零点等价于，得，，当时，，只有一个零点，不符合题意；当时，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；当且时，有两个极值，，记，，令，则，当时，在单调递增；当时，在单调递减，故在单调递增，时，，故，又，由（1）知，至多只有一个零点，不符合题意，综上，实数的取值范围为.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值、零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22．已知曲线C的极坐标方程为，直线，直线，设极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.（1）求直线的直角坐标系方程以及曲线C的参数方程；（2）若直线与曲线C交于O、A两点，直线与曲线C交于O、B两点，求△AOB的面积.【答案】（1）；；为参数；（2）.【解析】（1）利用极角的定义、直线的倾斜角的定义以及两直线过原点，可得到直线与直线的直角坐标方程；曲线的极坐标方程两边同乘以利用即可得其直角坐标方程，然后化为参数方程即可；（2）联立，得，同理，利用三角形面积公式可得结果.【详解】（1）依题意，直线直角的坐标方程为，直线直角的坐标方程为，由得，，，曲线的参数方程为为参数）.（2）联立，得，同理，又，，即的面积为.【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程与参数方程，属于中档题. 利用关系式，可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．【答案】（1）．（2）．【解析】试题分析：（1）利用零点分段讨论求解．（2）利用化简得到在区间上是恒成立的，也就是是不等式的子集，据此得到关于的不等式组，求出它的解即可．解析：（1）当时，原不等式可化为．①当时，原不等式可化为，解得，所以；②当时，原不等式可化为，解得，所以；③当时，原不等式可化为，解得，所以．综上所述，当时，不等式的解集为．（2）不等式可化为，依题意不等式在恒成立，所以，即，即，所以．解得，故所求实数的取值范围是．。

2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 10．1sin 11．12.38 12．12或7213．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ === ……………8分∴222222cos 2OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===.………10分 ∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=……………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(2,2),(4,2)P Q -.∴(2,2),(4,OP OQ ==.……………8分 ∴cos cos ,36OP OQ POQ OP OQ OPOQ⋅∠=<>===.……………10分 ∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为11223S OP OQ POQ sin=∠=⨯⨯⨯=……………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴直线OP 的方程为2y x =，即0x -=.……………7分 ∴点Q 到直线OP 的距离为d ==. ……………9分∵OP =……………11分∴△POQ的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯= ……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知，H FABCA 1C 1B 1DE ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. …………3分（2）由题意知()()()()1101124P P ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分 整理得 112mn =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1a P P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， ………9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312.…………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF . ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴C 为AF 的中点. ……………2分∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1ABAA A =， ∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分A ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH ∠===.∴5EH =. ……………9分 ∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分 ∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分 在Rt △EHB中，BH ==cos 1ABA∠5BH EB ==.…13分 ∴平面1A BD 与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分 解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点，∴EF ∥1AA ，且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， ∴CE ∥平面1A BD . （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1ABAA A =， ∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH ∠===2.∴5EH =. ……………9分 在Rt △EHB中，BH ==∵Rt △EHB ～Rt △1A AB ，∴1EH BHAA AB =，即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分 以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -. 则000A ，1A 004，B 10，D 022. ∴1AA =004，1A B=14，1A D =022.设平面A BD 1的法向量为n ()x y z ,,，由n 10A B ，n 10A D，得340220x y z yz.令1y ，则13z x .∴平面A BD 1的一个法向量为n 311. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA 004是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA n AA 5.……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+, ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++, ② ……………2分② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分 当2n ≥时, 11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分 ⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分 由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2nn a =. ……………8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列，则()()()2111p r q a a a --=-， ……………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222prq+=⨯. （*） ……………11分∵p r ≠，∴2222pr q +>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=，)413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭, 化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ②同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x xy y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……………5分∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x xy -=. ① ……………6分同理， 20202y x xy -=. ② ……………7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ……………8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分 若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，……12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分∵21141x y =， ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） （1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+， 即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+， ∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x m x m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++. ∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为1212k x ,+-=<2212k x ,++=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x.……………6分②当0m <时，由0Δ>,得k <-k >若k <-11x ,=<21x ,=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >11x ,=>21x ,=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)解法2:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为1x =2x =设()h x =()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-,故k > ……………7分则(11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中1x =2x =(2)证法1：∵1m =， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnnnn g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n nn n n n nn n n x C x C x C x C x x xx x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++. ……………10分 令T 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++，则T 122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++.∵x 0>，∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++ ……11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅ …12分()1212n n n n C C C -=+++()012102n n nnn n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n=-. ……………13分∴22nT ≥-，即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分 证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n≥-.① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立； ……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+ ……………12分 122k +=-. ……………13分 也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nnng x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。

2019年广东高考全真模拟试卷理科数学（一）本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合(){},|0,,A x y x y x y R =+=∈(){},|0,,B x y x y x y R =-=∈，则集合A B =A.)0,0(B. {}{}00=⋃=y xC. {}0D. {})0,0(2．201111i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭的值是A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．已知向量(12)a =，，(4)b x =，，若向量a b ⊥，则x = A ．2 B ．2- C ． 8 D ．8-4．已知0a >,且1a ≠,11(),()12xf x f x a =--则是 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．奇偶性与a 有关 5．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中：①．若βα//，α⊂l ,则β//l ②．若βα//，α⊥l ,则β⊥l ③．若α//l ，α⊂m ,则m l //④．若βα⊥，l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m 其中，真命题有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 6．给出计算201614121++++ 的值的一个 程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是． A ．10>i B ．10<i C ．20>i D ．20<i 7．lg ,lg ,lg x y z 成等差数列是2y xz =成立的第6N A ．充分非必要条件能 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．规定记号“⊗”表示一种运算，即),(2为正实数b a b a ab b a ++=⊗，若31=⊗k ，则k =A ．2-B ．1C ．2- 或1D ．2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤>012210y x y x 下，目标函数S =2x y +的最大值为 ．10．如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几 何体的体积为 ． 11．61(xx-的展开式中的常数项是 ．（用数字作答） 12．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中x ，y ∈N *)则样本在区间 [10，50 ) 上的频率 ．13．已知数列{}n a 满足12a =,*121()n n a a n N +=+∈,则4a = ，该数列的通项公式n a = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如右图，四边形ABCD 内接 于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，∙=∠25MAB ， 则=∠D ．15．（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l ．，求：（1）角C 的大小；（2）△ABC 最短边的长．17．（本小题满分12分）已知函数5)(23+++=bx ax x x f ，在函数)(x f 图像上一点))1(,1(f P 处切线的斜率为3． （1）若函数)(x f y =在2-=x 时有极值，求)(x f 的解析式； （2）若函数)(x f y =在区间]1,2[-上单调递增，求b 的取值范围．18．（本小题满分14分）一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．（1）依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率； （2）有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率； （3）有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望． 19．（本小题满分14分）如右图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．（1）求证：PA EF ⊥（2）求二面角D －FG －E 的余弦值．20．（本小题满分14分）已知函数()xf x e x =-（e （1）求函数()f x 的最小值；（2）若*n ∈N ，证明：1211n nn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．21．（本小题满分14分）已知抛物线L ：22x py =和点()2,2M ，若抛物线L 上存在不同两点A 、B 满足AM BM +=0．（1）求实数p 的取值范围；（2）当2p =时，抛物线L 上是否存在异于A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线，若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由．2019年广东高考全真模拟试卷理科数学（一）答案本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分1.选D2.选C.提示：先将括号里面的式子化简.3.选D.提示：02121=+=⋅y y x x .4.选A.提示：)()(x f x f -=-5.选B 提示：(2)(3)(4)为假命题6.选A.提示：11201614121=++++=i S 时，当 .7.选A.提示：当x,z 都取负数时.8.选B.提示：根据运算有1,,311*2=∴∈=++⋅k R k k k .二.填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．2 10．2411．20- 12．0.7 13．23 ；1321n -⋅- 14．115︒ 15．()2cos 1ρθ=-9.2.提示：）处取得最大值，在点（12110.24.提示：12此几何体为圆锥，底面圆的半径为，11.-20.提示：20)1(C 3336-=-x x 常数项为：. 12.0.7.提示：7.02014205,9==++∴=+y x y x . 13.23 ；1321n -⋅-.提示：11231),1(21-+⋅=+∴+=+n n n n a a a .14.115︒.提示：，，，由已知得：连接0090BAC 25BCA AC =∠=∠00115ADC 65ABC =∠=∠，.15.()2cos 1ρθ=-.提示：转化为直角坐标系求解.三.解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数基本公式和正弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）tanC ＝tan[π－（A ＋B ）]＝－tan （A ＋B ）………………… 2分tan tan 1tan tan A BA B +=--112311123+=--⨯ 1=- ………………… 4分 ∵0C π<<， ∴34C π= ………………… 6分（2）∵0<tanB<tanA ，∴A.B 均为锐角, 则B<A ，又C 为钝角，∴最短边为b ，最长边长为c, ………………… 8分由1tan 3B =，解得sin B =………………… 10分由sin sin b cB C =，∴1sin sin c Bb C⋅===．…………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：由5)(23+++=bx ax x x f 求导数得b ax x x f ++='23)(2，由在函数)(x f 图像上一点))1(,1(f P 处切线的斜率为3， 知3)1(='f ，即323=++b a ，化简得02=+b a …… ① …………………2分 （1） 因为)(x f y =在2-=x 时有极值，所以0)2(=-'f ，即0412=+-b a …… ② 由①②联立解得4,2-==b a ，∴ 542)(23+-+=x x x x f ．…………………6分 （2）b ax x x f ++='23)(2，由①知02=+b a ， ∴ b bx x x f +-='23)(．)(x f y =在区间]1,2[-上单调递增，依题意)(x f '在]1,2[-上恒有0)(≥'x f ，………8分 即032≥+-b bx x 在]1,2[-上恒成立， 下面讨论函数()y f x '=的对称轴： ① 在16≥=bx 时， 03)1()(min >+-='='b b f x f ，∴ 6≥b ．…………………9分 ② 在26-≤=bx 时， 0212)2()(min ≥++=-'='b b f x f无实数解．…………………10分 ③ 在162<<-b时， 01212)(2min≥-='b b x f ，∴ 60<≤b ．…………………11分综合上述讨论可知，b 的取值范围是{}0≥b b ．…………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查条件概率.二项分布等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力.运算求解能力和应用意识）解：设事件A 为“第1次取到白球”，B 为“第2次取到白球”，C 为“第3次取到白球”，则 （1）()()111114653612492|3C C C C C P C A C A +==． …………………4分 （2）因为每次取出之前暗箱的情况没有变化，所以每次取球互不影响， 所以()63105P C ==．…………………8分 （3）设事件D 为“取一次球，取到白球”，则()25P D =， ()35P D =，…………………10分这3次取出球互不影响， 则23,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，…………………12分 ()332355kkk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,1,2,3k =．…………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线线关系.面面关系.空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合.化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力.推理论证能力和运算求解能力）（1）证法1：∵PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD PD ⊥．又ABCD 为正方形， ∴CD AD ⊥． ∵PDAD D =，∴CD ⊥平面PAD ．…………………4分 ∵PA ⊂平面PAD ，∴CD PA ⊥． ∵EFCD ，∴PA EF ⊥．…………………6分证法2：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,1)F ，(0,1,1)E ，(0,0,2)P ，(2,0,0)A ，(2,0,2)PA =-，(0,1,0)EF =-．…………………4分∵()()2,0,20,1,00PA EF =--=， ∴PA EF ⊥．…………………6分（2）解法1：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0)D ，(0,0,1)F ，(1,2,0)G ，(0,1,1)E ，(0,0,1)DF =，(0,1,0)EF =-，(1,2,1)FG =-．…………………8分设平面DFG 的法向量为111(,,)x y z =m ，∵0,0.DF FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 11110,20.z x y z =⎧∴⎨+-=⎩ 令11y =，得()2,1,0=-m 是平面DFG 的一个法向量．…………10分 设平面EFG 的法向量为222(,,)x y z =n ，∵0,0.EF FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 22220,20.y x y z -=⎧∴⎨+-=⎩ 令21z =，得()1,0,1=n 是平面EFG 的一个法向量．……………12分∵cos ,||||⋅<>=⋅m n m n m n ==5=-．设二面角D FG E --的平面角为θ，则,θ=<>m n ．所以二面角D FG E --的余弦值为．…………………14分 解法2：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0)D ，(0,0,1)F ，(1,2,0)G ，(0,1,1)E ，(0,0,1)DF =，(1,2,0)DG =，(0,1,0)EF =-，(1,1,1)EG =-，(1,2,1)FG =-．…………………8分过D 作FG 的垂线，垂足为M ，∵,,F G M 三点共线， ∴()1DM DF DG λλ=+-， ∵0DM FG =，∴()10DF FG DG FG λλ+-=， 即()()1150λλ⨯-+-⨯=，解得56λ=．…………………10分 ∴51115,,66636DM DF DG ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭再过E 作FG 的垂线，垂足为N ，∵,,F G N 三点共线，∴()1EN EF EG μμ=+-， ∵0EN FG =， ∴()10EF FG EG FG μμ+-=， 即()()2140μμ⨯-+-⨯=， 解得23μ=．∴21111,,33333EN EF EG ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭．∴cos ,5DM EN DM EN DM EN==-⋅．…………………12分∵DM 与EN 所成的角就是二面角D FG E --的平面角，所以二面角D FG E --的余弦值为．…………………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数.最值.等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力.以及创新意识）（1）解：∵()x f x e x =-，∴()1x f x e '=-．令()0f x '=，得0x =．∴当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<．……………4分∴函数()xf x e x =-在区间(),0-∞上单调递减， 在区间()0,+∞上单调递增∴当0x =时，()f x 有最小值1．…………………6分（2）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1x e x -≥，即1xx e +≤． 令k x n=-（*,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01k n k e n -<-≤， ∴1(1,2,,1)n n k k n k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．…………………9分 即(1,2,,1)n k n k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭． ∵1,n n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ∴(1)(2)211211n n n n n n n n e e e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．…12分 ∵(1)(2)2111111111n n n e e e e e e e e e ----------+++++=<=---， ∴ 1211n n n nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．……………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力.运算求解能力）解法1：（1）不妨设A 211,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 222,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且12x x < ∵AM BM +=0，∴2212122,22,222x x x x p p ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0． ∴124x x +=，22128x x p +=．…………………4分∵()21222122x x x x ++>（12x x ≠），即88p >，∴1p >，即p 的取值范围为()1,+∞．…………………6分（2）当2p =时，由（1）求得A .B 的坐标分别为()0,0.()4,4．假设抛物线L 上存在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t ≠且4t ≠），…………8分使得经过A .B .C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．设经过A .B .C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 则2420,4432,1641616.F D E F tD t E F t t ⎧=⎪++=-⎨⎪++=--⎩整理得 ()()3441680t E t E ++-+=． ①…………9分 ∵函数24x y =的导数为2x y '=， ∴抛物线L 在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为2t ， ∴经过A .B .C 三点的圆N 在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为2t ．………10分 ∵0t ≠，∴直线NC 的斜率存在．∵圆心N 的坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴242122t E t D t +⨯=-+， 即()()324480t E t E ++-+=． ②…………………12分 ∵0t ≠，由①.②消去E ，得326320t t -+=．即()()2420t t -+=．∵4t ≠，∴2t =-．故满足题设的点C 存在，其坐标为()2,1-．…………………14分解法2：（1）设A ，B 两点的坐标为1122()()A x y B x y ,,,，且12x x <。

2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷（一）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{x|1＜2x＜16，x∈A}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，3）C．（0，8）D．（0，3）2．复数z＝51ii－i（i为虚数单位）的虚部为（）A．－12B．12C．－12i D．12i3．双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±512，0）B．（0，±512）C．（±5，0）D．（0，±5）4.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. 4B. 5C. 6D. 75.已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π7.执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4，即5个数据的方差为4B．S＝4，即5个数据的标准差为4C．S＝20，即5个数据的方差为20D．S＝20，即5个数据的标准差为208.已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣39.在数列{a n}的前n项和为Sn，怚a1＝2，a n+a n+1＝2n（n∈N＊），则S13＝（）10.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足＝．后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在△ABC 内任取一点M ，则点M 落在△APQ 内的概率为（ ）A B ．﹣2 C D 11.已知函数f （x ）＝sin （ωx+6π）+（ω＞0），点P ，Q ，R 是直线y ＝m （m ＞0）与函数f （x ）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2｜PQ ｜＝｜QR ｜＝23π，则ω＋m ＝（ ）A.52B.2C. 3D.12.已知函数f （x ）＝（kx+14）e x﹣3x ，若f （x ）＜0的解集中有且只有一个正整数，则实数k 的取值范围为 （ ）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中， 的系数为__________．14.设满足约束条件则的最大值为__________．15.已知三棱锥P ﹣ABC 中，AP 、AB 、AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC D ，E分别在棱PB，PC上运动（不含端点），则AD＋DE＋EA的最小值为_____16.已知为抛物线：的焦点，曲线是以为圆心，为半径的圆，直线与曲线，从左至右依次相交于，则___．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分17.的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若在边上，且，，，求.18.已知五面体中，四边形为矩形，，，且二面角的大小为.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.19.已知点，都在椭圆：上.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（异于顶点），记椭圆与轴的两个交点分别为，，若直线与交于点，证明：点恒在直线上.【20.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线∁l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若＝3，求k的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）﹣5＜0的解集为（m，n），且n﹣m＝43，求a的值．。

密★启用前试卷类型:A2019年广州市普通高中毕业班综台测试（一）理科数学2019.3本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事顶：1.答卷前，考生务必将自己的名和考生号、试室号、座位号填在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ），填涂在答题相应置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}220A x x x =-<，{}2xB x =>1，则A.A B =∅B.A B R= C.B A⊆ D.A B⊆2.已知a 为实数，若复数()()12a i i +-为纯虚数，则a =A.2- B.12-C.12D.23.已知双曲线222:1y C x b-=的一条渐近线过圆()()22:241P x y -++=的圆心，则C 的离心率为A.52B.32C.5D.34..刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O ，圆O 的半径为2，现随机向圆O 内段放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正十二边形内(,,a b N b a *∈<)，则圆固率的近似值为A.b aB.a bC.3a bD.3b a5.若等边三角形ABC 的边长为1，点M 满足2CM CB CA =+，则MA MB =A. B.2C. D.36.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若m 为大于1的正整数，且2111m m m a a a -+-+=，2111m S -=，则m =A.11B.10C.6D.57.如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T 。

广东省揭阳市2019年高考一模数学（理科）试题本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式得集合A，再根据补集定义求结果.【详解】因为，所以，选B.【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2.已知向量，若，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求，再根据向量数量积得方程，解得的值.【详解】因为，所以由得，选A.【点睛】求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.3.已知是复数z的共轭复数，是纯虚数，则A. 2B.C. 1D.【答案】C【解析】【分析】先根据纯虚数概念求得z，再根据复数的模的定义求结果.【详解】设，则因此因为是纯虚数，所以，选C.【点睛】熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为.4.若，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据诱导公式化简，再根据平方差公式以及二倍角余弦公式得结果.【详解】因为，所以,因此,选D.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力.属基本题.5.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了茎叶图：则下列结论中表述不正确．．．的是A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择.【详解】第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人,占75%，第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为，中位数为所以D错误.选D.【点睛】本题考查茎叶图，考查基本分析求解能力.属基本题.6.函数在单调递减，且为偶函数．若，则满足的的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据函数奇偶性以及单调性转化不等式，再解含绝对值不等式得结果.【详解】因为函数为偶函数，所以等价于,因为函数在单调递减，所以,,,选A.【点睛】解抽象函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.7.如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. B. 52 C. D. 56【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再根据柱体体积公式求体积.【详解】几何体上部分为一个三棱柱（底面为高为1，底为4的等腰三角形，柱体高为4），下部分为一个长方体（长宽高分别为4，3，4），因此几何体的体积为，选D.【点睛】若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解体积.8.某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B【解析】【分析】先安排数学与语文，再插空安排物理化学，最后根据乘法原理求结果.【详解】先安排数学与语文有两种排法，产生三个空位，从中选两个安排物理化学，有种排法,所以星期一上午不同课程安排种数为，选B.【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：分布计数原理与分类计数原理，具体问题可使用对应方法：如(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.9.过双曲线两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先求交点坐标，再根据题意列方程解得离心率.【详解】令得,由题意得,（负值舍去），选B.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10.下图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，记正方形为区域Ⅰ，图中阴影部分为区域Ⅱ，在△ABC上任取一点，此点取自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为、，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先用直角△ABC两直角边长表示正方形边长，再根据几何概型概率求、，最后利用作差法比较、大小，即得结果.【详解】设，则，所以，因此，选C.【点睛】当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．11.已知△ABC中，AB=AC=3，，延长AB到D使得BD=AB，连结CD，则CD的长为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据正弦定理化角为边，解得BC，再根据余弦定理列方程解得CD.【详解】因为，所以即，因为BD=AB，所以,选C.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.12.已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求，在上值域，再根据两值域关系确定实数的取值范围.【详解】当时,,当时,,,令,则，当时，当时，即由题意得两函数值域交集非空，即解得，选B.【点睛】对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域；的值域与的值域交集非空。