(完整版)湖南省长沙市高三高考模拟数学理试题

大联考长沙市2024届模拟试卷（一）数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择随时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后；再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3．考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知某位自行车赛车手在相同条件下进行了8次测速，测得其最大速度（单位：m /s ）的数据分别为42，38，45，43，41，47，44，46，则这组数据中的75%分位数是（）A.44.5B.45C.45.5D.46【答案】C 【解析】【分析】根据百分位数的知识求得正确答案.【详解】将数据从小到大排序为：38，41，42，43，44，45，46，47，因为875%6⨯=，所以75%分位数为454645.52+=.故选：C 2.函数()2cos 21xf x x =+在[],ππ-上的大致图象为（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可.【详解】解：∵()()()()22cos 2cos 211x xf x f x x x --===+-+，∴()f x 在[],ππ-上为偶函数．又()2cos 00101f ==+，∴只有选项C 的图象符合．故选：C ．3.已知复数z 满足1z =，则2i z -的取值范围为（）A.[]0,2 B.[]1,3 C.[]2,4 D.[]1,9【答案】B 【解析】【分析】根据复数模的几何意义，转化为点()0,2到圆心的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值即可.【详解】1z =表示z 对应的点是单位圆上的点，2i z -的几何意义表示单位圆上的点和()0,2之间的距离，2i z -的取值范围转化为点()0,2到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，所以最大距离为213+=，最小距离为211-=，所以2i z -的取值范围为[]1,3.故选：B4.已知点A 为双曲线2214x y -=的左顶点，点B 和点C 在双曲线的左支上，若ABC 是等腰直角三角形，则ABC 的面积是（）A.4 B.89C.169D.329【答案】C 【解析】【分析】双曲线2214x y -=的左顶点()2,0A -，设()()111,0B x y x <，根据图形特征求出点B 坐标，从而可求ABC 的面积.【详解】由题意得()2,0A -，点B 和点C 在双曲线的左支上，若ABC 是等腰直角三角形，设()()111,0B x y x <，由对称性有()11,C x y -，则有112y x =-，代入双曲线方程，解得1103x =-，143y =±，则有等腰直角三角形ABC 的斜边83BC =，三角形的高1423h BC ==，所以184162339ABC S =⨯⨯= .故选：C.5.在()831x y +-的展开式中，2x y 的系数是（）A.168 B.168- C.1512D.1512-【答案】D【解析】【分析】利用多项式展开性质及组合数的应用求解即可.【详解】原问题可以理解为8个()31x y +-相乘，要想得到2x y ，需要8个因式中有2个取x 项，1个取y 项，还剩5个取常数项，由题意2x y 的系数为：()522125865C 3C 1C 11512⨯⨯⨯⨯⨯-=-.故选：D6.如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V 升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V 的取值范围是（）A.15,66⎛⎫⎪⎝⎭B.12,33⎛⎫⎪⎝⎭C.12,23⎛⎫⎪⎝⎭D.11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】找到水最多和水最少的临界情况，如图分别为多面体111ABCDA B D 和三棱锥1A A BD -，从而可得出答案.【详解】将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则如图，水最少的临界情况为，水面为面1A BD ，水最多的临界情况为多面体111ABCDA B D ，水面为11BC D ，因为1111111326A A BD V -=⨯⨯⨯⨯=，11111111111151111326ABCDA B D ABCD A B C D C B C D V V V --=-=-⨯⨯⨯⨯=，所以1566V <<，即15,66V ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：A .7.已知函数()2sin f x x x =+，若()f x λ=在[0,2π]上有且仅有四个不相等的实数根，则λ的取值范围为（）A.B.(2, C.()2,4D.(()2,4⋃【答案】D 【解析】【分析】根据辅助角公式可得ππ3π4sin(),[0,][2π]322()ππ3π4sin(),[,]322x x f x x x ⎧+∈⋃⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩，作出()f x 的图象，结合图形即可求解.【详解】ππ3π4sin(),[0,][,2π]322()2sin ππ3π4sin(),[,]322x x f x x x x x ⎧+∈⋃⎪⎪=+=⎨⎪-∈⎪⎩，作出()f x的图象，如图所示，结合图形可知，若()f x λ=在[0,2π]上有且仅有4个不等的实数根，则24λ<<且λ≠即λ的取值范围为 .故选：D8.已知数列{}n a中，1a =，11[]n n n a a a +=+〈〉（其中[]n a 表示n a 的整数部分，n a 表示n a 的小数部分），则[]2024a =（）A.2024 B.2025C.4046D.4047【答案】D 【解析】【分析】由题意，求出234,,a a a，进而归纳出2(1)n a n =-+，即可求出2024[]a .【详解】由题意知，111[]n n n a a a a +==+，则2111[]12a a a =+=++3221[]34a a a =+=++4331[]56a a a =+=++ ，以此类推，2(1)n a n =-，所以2024220234046a =⨯++，则2024[]4047a =.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.2，A ，B 为底面圆的一条直径上的两个端点，则下列说法正确的是（）A.的扇形B.该圆锥的体积为πC.从A 点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为D.过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2【答案】ABD 【解析】【分析】求出底面圆周期判断A ；求出圆锥的高并求出体积判断B ；展开半圆锥的侧求出弦长判断C ；求出轴截面顶角，再求出截面最大值判断D.【详解】对于A ，圆锥底面圆周长为，而圆锥侧面展开图扇形半径为2，所以侧面展开图的圆心角为，A 正确；对于B ，圆锥的高1h ==，因此圆锥的体积21π1π3V =⨯⨯=，B 正确；对于C ，依题意，将半圆锥的侧面展开，如图，则从A 点经过圆锥的侧面到达B 点的最短距离为3π2sin4sin 24AOB AB OA ∠==≠C 错误；对于D ，圆锥轴截面顶角为2θ，则3tan 1θ==π3θ=，则圆锥轴截面顶角为2π3，因此过该圆锥的顶点的圆锥截面等腰三角形顶角2π(0,]3ϕ∈，此截面三角形积212sin 22S ϕ=⨯≤，当且仅当π2ϕ=时取等号，D 正确.故选：ABD10.梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AB AD CD ===，60ABC ∠=︒，AC 与BD 交于点M ，点N 在线段CD 上，则（）A.2133AM AD AB=+B.23ACD BCM S S =△△C.BM BN ⋅为定值8D.若BN BM BC λμ=+ ，则332λμ+【答案】AC 【解析】【分析】由平面向量的线性运算即可判断A ，由线段的比值结合三角形的面积公式即可判断B ，由平面向量数量积的运算律代入计算，即可判断C ，由平面向量三点共线定理结合基本不等式代入计算，即可判断D【详解】由几何图形关系可得4,90BC BD AC BDC CAB ===∠=∠=︒，因为AD BC ∥，所以AMD CMB △∽△．因为2BC AD =，所以2,2CM MA BM MD ==，所以()()11121233333AM AC AB BC AB AD AD AB ==+=+=+，故A 正确；因为2BC AD =，所以4BCM DAM S S =△△，因为3AC AM =，所以3ACD DAM S S =△△，所以43ACD BCM S S =△△，故B 错误；因为=90BDC ∠︒，所以BN在BM上的投影向量为(2222,833BD BM BN BM BD BD ⋅=⋅==⨯= 为定值，故C 正确；因为23BN BM BC BD BC λμλμ=+=+，且,,D N C 三点共线，所以213λμ+=，且0,0λμ>>，所以333327377223222λμλμλμλμμλ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当3λμμλ=，即63λμ=-=时，等号成立，故D 错误．故选：AC ．11.瑞士数学家Jakob Bernoulli 于17世纪提出如下不等式：1x ∀>-，有()()11,111,01rrx rx r x rx r ⎧+≥+≥⎪⎨+≤+≤≤⎪⎩，请运用以上知识解决如下问题：若01a <<，01b <<，a b ¹，则以下不等式正确的是（）A.1a b a b +>B.1b a a b +>C.a b b a a b a b +>+D.a b b aa b a b +<+【答案】ABC 【解析】【分析】不妨设a b <，根据选项C 的结构构造函数()abf x x x =-，利用导数研究其单调性，结合题目不等式结论即可判定正确，再根据题目不等式结论证明得ba a ab >+及ab b a b>+，相加即可判断B 正确，结合C 判断A 正确，得解.【详解】不妨设a b <，先证明C ：证明()abf x x x =-在a x b <<上单调递减即可.()1111a b a b a b f x ax bx ax x a ----⎛⎫='-=- ⎪⎝⎭，即要证明10b a b a b a x x a b ---⇔，即要证明111b aa b a b aab a b a b-+-+->⇔>⇔>，因为()()11111111111a ba babb b a a b a b+-+-⎡⎤=-+>-+=>⎣⎦+-+-，得证，所以a b a b a a b b ->-，即a b b a a b a b +>+，故选项C 正确，D 错误；再证明B ：()1111+1b bb a a a b ab a b a a a a a --+-+⎛⎫⎛⎫=≤+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此ba a ab >+，同理ab b a b >+，故1b aa b a b a b a b+>+=++，且1a b b a a b a b +>+>，所以AB 正确.故选：ABC【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12.已知集合{}1,2,4A =，{}2,B a a =，若A B A ⋃=，则=a ______．【答案】2【解析】【分析】由A B A ⋃=得B A ⊆，令1a =、2a =、4a =求出集合B ，即可求解.【详解】由A B A ⋃=，得B A ⊆.当1a =时，2a a =，不满足元素的互异性，舍去；当2a =时，{2,4}B =，满足B A ⊆，符合题意；当4a =时，{4,16}B =，不满足B A ⊆，舍去.综上，2a =.故答案为：213.已知数列{}n a 为正项等比数列，且233a a -=，则1a 的最小值为______.【答案】12【解析】【分析】利用等比数列性质得2213a a a =，结合已知得()23133a a a +=，利用基本不等式求解即可.【详解】由于数列{}n a 为正项等比数列，所以2222131a a a a q ==，因此()2232133********a a a a a a a +===++≥+=，当且仅当339a a =即33a =时，等号成立，故1a 的最小值为12.故答案为：1214.已知椭圆2219y x +=，P 为椭圆上任意一点，过点P 分别作与直线1:3l y x =和2:3l y x =-平行的直线，分别交2l ，1l 交于M ，N 两点，则MN 的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】根据题意画出示意图，可得四边形PMON 为平行四边形，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，00(,)P x y ，根据MN 与OP 的中点相同，换算出关系式02121033y x x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，再由两点间的距离公式，结合椭圆的性质即可求解.【详解】设过点P 分别作直线34,l l ，由题意，画示意图如下：设11(,)M x y ，22(,)N x y ，00(,)P x y .则113y x =-，223y x =，由题意可知四边形PMON 为平行四边形，所以()()120211202110303x x x y y y y y x x ⎧+=+=-⎪⎨⎪+=+=-⎩，即02121033y x x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，又因P 为椭圆上任意一点，所以002219y x +=，即002219y x =-，所以MN ====，因为011x -≤≤，所以2001x ≤≤，所以由函数性质知：当201x =时，有max ||3MN ==.故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题结合两点间的距离公式考查椭圆的几何性质的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，解题的关键是利用平行四边形的性质找到点的坐标之间的关系.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线,AC BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4,OP OP =⊥底面ABCD ，,E F 分别为侧棱,PB PD 的中点，点M 在CP 上且2CM MP =．（1）求证：,,,A E M F 四点共面；（2）求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）易知AC BD ⊥，由线面垂直的性质可得,OP AC OP BD ⊥⊥，建立如图空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量法证明2233AM AE AF =+，即可证明；（2）由（1）求出BM的坐标，利用空间向量法求解线面角即可.【小问1详解】因为平面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，由OP ⊥平面ABCD ，,AC BD ⊂平面ABCD ，得,OP AC OP BD ⊥⊥，所以,,OP OA OB 两两垂直，建立如图空间直角坐标系O xyz -，(4,0,0),(0,3,0),(4,0,0),(0,3,0),(0,0,4)A B C D P --，则33(0,,2),(0,,2)22E F -，由2CM MP = ，得48(,0,)33M -，所以33168(4,,2),(4,(,0,)2233AF AE AM =--=-=-，则2233AM AE AF =+ ，所以,,AM AE AF共面，又直线,,AM AE AF 的公共点为A ，所以,,,A E M F 四点共面；【小问2详解】由（1）知，48(4,0,4),(0,6,0),(,3,)33PA DB BM =-==--，设平面BDM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则60483033n DB y n BM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1z =，得2,0x y ==，所以(2,0,1)n =，得cos ,10PA n PA n PA n⋅===，即直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值为1010.16.已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K ，按规定须将该指标大于K 的产品应用于A 型手机，小于或等于K 的产品应用于B 型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K 的芯片错误应用于A 型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K 的芯片错误应用于B 型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）设临界值60K =时，将1个Ⅰ级品芯片和1个Ⅱ级品芯片分别应用于A 型手机和B 型手机．求两部手机有损失的概率（计算结果用小数表示）；（2）设K x =且[]50,55x ∈，现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A 型手机、B 型手机各1万部的生产，试估计芯片生产商损失费用的最小值．【答案】（1）0.163（2）136万元【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，I 级品中该指标小于或等于60的频率和II 级品中该指标大于60的频率，即可求解；（2）由题意分别计算A 、B 型手机的损失费用可得()5768f x x =-，结合一次函数的性质即可求解.【小问1详解】临界值60K =时，I 级品中该指标小于或等于60的频率为()0.0020.005100.07+⨯=，II 级品中该指标大于60的频率为0.1，故将1个I 级品芯片和1个II 级芯片分别应用于A 型手机和B 型手机，两部手机有损失的概率为：()()110.0710.10.163--⨯-=；【小问2详解】当临界值K x =时，I 级品中该指标小于或等于临界值K 的概率为()0.002100.005500.0050.23x x ⨯+⨯-=-，可以估计10000部A 型手机中有()100000.0050.23502300x x -=-部手机芯片应用错误；II 级品中该指标大于临界值K 的概率为()0.01100.03600.03 1.9x x ⨯+⨯-=-+，可以估计10000部B 型手机中有()100000.03 1.919000300x x -+=-部手机芯片应用错误；故可以估计芯片生产商的损失费用()()()0.085023000.0419000300f x x x =⨯-+⨯-5768x =-又[]50,55x ∈，所以()[]136,176f x ∈，即芯片生产商损失费用的最小值为136万元.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知)tan tan 1C B C +=-，（1）求角A .（2）若a =，ABC 所在平面内有一点D 满足2π3BDC ∠=，且BC 平分ABD ∠，求ACD 面积的取值范围.【答案】（1）π3（2）0,4⎛ ⎝⎭【解析】【分析】（1）由两角和的正切公式结合题意化简得tan A =，即可得解；（2）设ABC CBD x ∠=∠=，由正弦定理把边化成角，再用三角形面积公式得34sin cos ACD S x x = ，结合导数求解即可.【小问1详解】由题)tan tan 1C BC +=-，即)tan tan 1tan tan B C B C +=-，即tan tan 1tan tan B CB C+=-所以()tan B C +=()tan πA -=tan A =又(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】由题（1）知π3BAC ∠=，又2π3BDC ∠=，设ABC CBD x ∠=∠=，由BCD △中，2π3BDC ∠=，故π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2π2π2π233ACD x x ∠=---=-，由正弦定理有sin sin BC AC BAC x =∠，sin sin BC DCBDC x=∠，则2sin AC CD x ==，故ACD 面积()()2312sin sin π24sin cos 2ACD S x x x x =⋅-= ，令()34sin cos x x x ϕ=，则())224212sin cos 4sin 4sin sin sin x x x x xx xx x ϕ=-=+-'，又π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0x ϕ'>，知函数()34sin cos x x x ϕ=在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又()00ϕ=，π3334ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ACD 面积的取值范围为0,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.18.已知抛物线()220x py p =>上的动点到其焦点的距离的最小值为14．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线上一点()()001,0A y y >作抛物线的切线，分别交x 轴于点D ，交y 轴于点B ．点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足能1AE ECλ=；点G 在线段BC 上，满足2BG GCλ=，且121λλ+=，线段CD与EG 交于点P ，当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程Γ．（3）将Γ向左平移13个单位，得到'Γ，已知()0,R m ，()()0,0Q m m ->，过点R 作直线l 交'Γ于,M N ．设MR RNλ= ，求QR QM QR QN λ⋅-⋅uu u r uuu r uu u r uuu r 的值【答案】（1）2x y =（2）()2123133y x x ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭（3）0【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何意义求出p ，即可求解；（2）利用导数的几何意义求出切线方程，则D 为AB 的中点，利用平面向量的基本定理可证得P 是ABC 的重心，建立方程组，即可求解；（3）易知直线l 的斜率存在，设直线l ,()()1122,,,M x y N x y ，联立抛物线方程，利用韦达定理，由MR RNλ=可得12x x λ=-，结合平面向量的坐标表示求解QR QM QR QN λ⋅-⋅uu u r uuu r uu u r uuu r即可.【小问1详解】因为抛物线()220x py p =>上的动点到其焦点的距离的最小值为14，所以124p =，解得12p =，故抛物线方程为2x y =；【小问2详解】由（1）知，2y x =，则(1,1)A ，2y x '=，所以在点A 的切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，得1(,0),(0,1)2D B -，所以D 为AB 的中点，得1211112222CD CA CB CE CG λλ++=+=+，设()1,CP CE CG CD kCP μμ=+-= ，则()1CD k CE k CG μμ=+- ，所以12121(1)2k k λμλμ+⎧=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩，两式相加得32k =，即P 是ABC 的重心，设2000(,),(,)(1)P x y C x x x ≠，则0022000112()3331133x x x x x x y +++⎧==≠⎪⎪⎨-++⎪==⎪⎩，消去0x ，得21(31)3y x =-，故点P 的轨迹方程Γ为212(31)()33y x x =-≠；【小问3详解】由（2）知，2211:[3()1]333y x x 'Γ=+-=，易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，23y kx my x=+⎧⎨=⎩，消去y ，得230x kx m --=，所以123mx x =-，又MR RN λ= ，则12x x λ=-，解得12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以22112212(0,2)(,)(0,2)(,)2222QR QM QR QN m x y m m x y m m m my my λλλλ⋅-⋅=⋅+-⋅+=-+-，又21133()3m y x m λλ===，22233(3m m y x λλ===，所以222212222222220mQR QM QR QN m m my my m m m m m λλλλλλλ⋅-⋅=-+-=-+⋅-⋅= ，即QR QM QR QN λ⋅-⋅uu u r uuu r uu u r uuu r的值为0.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.19.已知函数()()11nn n f x x xx n -+=+++-∈N ．（1）判断并证明()n f x 的零点个数（2）记()n f x 在(0,)+∞上的零点为n x ，求证;（i ）{}n x 是一个递减数列（ii ）121122n n nx x x +≤+++<+ ．【答案】（1）当n 为奇数数，()n f x 有1个零点；当n 为偶数时，()n f x 有2个零点（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当0x ≥时，利用导数研究函数()n f x 的零点和零点的存在性定理可知其在(0,)+∞内有唯一零点；当0x <时，分类讨论n 为奇、偶数时零点的情况，即可下结论；（2）（i ）易知11x =，当2n ≥时可得111()()n n n n f x f x +++>，利用()n f x 的单调性解不等式可得1n n x x +<，即可证明；（ii ）由（i ）1112n n x x +>>>，求和可得1212n n x x x ++++≥ ；由2ln 2(22)ln 21n n n ≥+>+得11ln 411ln(1)122n n n ++>>++，利用放缩法和函数单调性解不等式可证得11()22n nx <+，求和，结合等比数列数列前n 项求和公式计算即可证明.【小问1详解】当n 为奇数时，()n f x 有1个零点；当n 为偶数时，()n f x 有2个零点.证明如下：当0x ≥时，由1()1n n n f x x x x -=+++- ，得12()(1)10n n n f x nx n x --'=+-++> ，所以函数()n f x 在(0,)+∞上单调递增，又(0)10n f =-<，(1)10n f n =-≥，所以函数()n f x 在(0,)+∞内有唯一零点；当0x <时，11()(21)1n n f x x x x+=---，若n 为奇数，1210n x x +--<，则()0n f x <，此时()n f x 在(,0)-∞内无零点；若n 为偶数，设1()21n h x x x +=--，则()2(1)n h x n x '=-+，方程()0h x '=有一个解102(1nx n =-+，所以函数()h x 在0(,)x -∞上单调递减，在0(,0)x 上单调递增，且10(2)5(2)0,()(0)0n h h x h +-=---><<，此时()n f x 在(,0)-∞内有1个零点.综上，当n 为奇数时，()n f x 有1个零点；当n 为偶数时，()n f x 有2个零点.【小问2详解】（i ）由（1）知，当1n =时，1()f x 在在(0,)+∞内的零点11x =，当2n ≥时，()0n n f x =，2(0)10,(1)0,01n n f f x =-<><<，则11111()10()n n n n n n n n n n n f x x x x x f x +++++=+++-=>= ，故1n n x x +<，所以数列{}n x 是一个递减数列；（ii ）由（i ）知，当1n =时，11x =，当2n ≥时，1111111(()()()1()022222n n n n f -=+++-=-< ，有1((1)02n n f f <，所以1112n n x x +>>>，求和可得1211122n n n x x x -++++≥+= ，当且仅当1n =时等号成立；当3n ≥时，012C C C 22n nn n n n =+++≥+ ，故2ln 2(22)ln 21n n n ≥+>+，则ln 2112n >+，得11ln 411ln(1122n n n ++>>++，即11ln 4(1)ln(1)2n n +>++，即(1)114(1)2n n ++>+，即(1)1114211(1)2222n n n n n ++++->+，即(1)111111(222222n n n n ++-+>-，即(1)1111()112222(10()112222n n n n n n n nf f x ++-++=->=-，即11()22n nx <+，当2n =时，234x =<，所以当2n ≥时，均有11()22n nx <+成立，求和可得1211211111111()()()1[1()]122222222n n n n n nx x x ---+++<++++=+-<+ .综上，121122n n nx x x +≤+++<+ .【点睛】方法点睛：在证明导数与数列不等式综合问题时，常常将上一问的结论直接应用到证明当中去，再综合考虑不等式特征合理选取方法巧妙放缩求和，即可实现问题求解.。

2021届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷数学理科试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，11z i =+，则12z z =（ ） A ．2-B ．2C ．1i -D ．1i +2.设全集U R =，函数()lg(|1|1)f x x =+-的定义域为A ，集合{}|sin 0B x x π==，则()UA B 的子集个数为（ ） A ．7B ．3C ．8D ．93.函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的图象中相邻对称轴的距离为2π，若角ϕ的终边经过点(3,3)，则()4f π的值为（ ）A ．3 B ．3 C ．2 D ．234.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =5.设不等式组,3,4y x y x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为1Ω，不等式22(2)(2)2x y ++-≤表示的平面区域为2Ω，对于1Ω中的任意一点M 和2Ω中的任意一点N ，||MN 的最小值为（ ）A ．22B．24C ．2D ．326.若函数2(2)()m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2)7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）A ．11B 2C 5D 58.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20140S >，20150S <，对任意正整数n ，都有||||n k a a ≥，则k 的值为（ ） A ．1006B ．1007C ．1008D ．10099.已知非零向量a ，b ，c 满足||||4a b b -==，()()0a c b c -⋅-=，若对每个确定的b ，||c 的最大值和最小值分别为m ，n ，则m n -的值（ ） A ．随||a 增大而增大B ．随||a 增大而减小C ．是2D ．是410.已知如图所示的三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3AB =，3AC =，23BC CD BD ===，则球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．12πC ．16πD ．36π11.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=︒，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（ ）A 7B 7C 7D 712.已知e 为自然对数的底数，若对任意的[]0,1x ∈，总存在唯一的[]1,1y ∈-，使得20yx y e a +-=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,]eB ．1(1,]e e+C ．(1,]eD ．11,e e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知0a >，6()x x-展开式的常数项为15，22(4)a ax x x dx -++-=⎰ ．14.设a ，b R ∈，关于x ，y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范围是 ．15.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n S a a =+（*n N ∈），设21(1)2nn n na c S +=-，则数列{}n c 的前2016项的和为 ．16.已知F 是椭圆C ：221204x y +=的右焦点，P 是C 上一点，(2,1)A -，当APF ∆周长最小时，其面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，已知点D 在边BC 上，且0AD AC ⋅=，22sin 3BAC ∠=，32AB =，3BD =．（1）求AD 的长； （2）求cos C ．18.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为梯形，ADE ∆，BCF ∆均为等边三角形，//EF AB ，12EF AD AB ==．（1）过BD 作截面与线段FC 交于点N ，使得//AF 平面BDN ，试确定点N 的位置，并予以证明； （2）在（1）的条件下，求直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值．19.2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五组，并作出如图频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽取2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求b ，c ，a b +，c d +，a c +，b c +，a b c d +++的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计 捐款超过500元 30a =b 捐款不超过500元c6d =合计2()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：临界值表参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20.已知抛物线C 的顶点在原点，其焦点(0,)F c （0c >）到直线l ：20x y --=的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线 PA ，PB ，其中A ，B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值．21.已知函数()1x xaxf x be e -=++，点(0,1)M 在曲线()y f x =上，且曲线在点M 处的切线与直线20x y -=垂直．（1）求a ，b 的值；（2）如果当0x ≠时，都有()1x xxf x ke e ->+-，求k 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程是2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围． 23.选修4-5：不等式选讲设()|||21|f x x x =--，记()1f x >-的解集为M ． （1）求集合M ；（2）已知a M ∈，比较21a a -+与1a的大小．2021届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷数学理科试题参考答案一、选择题1-5:BCABC 6-10:DCCDC 11、12：CB二、填空题13.2233π++ 14.[]16,16- 15.20162017-16.4 三、解答题17.解：（1）因为0AD AC ⋅=，则AD AC ⊥，所以sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=+∠=∠，即cos BAD ∠=． 在ABD ∆中，由余弦定理，可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠． 即28150AD AD -+=，解得5AD =，或3AD =． 因为AB AD >，所以3AD =． （2）在ABD ∆中，由正弦定理，可知sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，又由cos 3BAD ∠=，可知1sin 3BAD ∠=，所以sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==．因为2ADB DAC C C π∠=∠+=+，所以cos C =18.解：（1）当N 为线段FC 的中点时，使得//AF 平面BDN ． 证法如下：连接AC ，BD ，设ACBD O =，∵四边形ABCD 为矩形， ∴O 为AC 的中点， 又∵N 为FC 的中点， ∴ON 为ACF ∆的中位线， ∴//AF ON ，∵AF ⊄平面BDN ，ON ⊂平面BDN ，∴//AF 平面BDN ，故N 为FC 的中点时，使得//AF 平面BDN ．（2）过O 作//PQ AB 分别与AD ，BC 交于P ，Q ， 因为O 为AC 的中点，所以P ，Q 分别为AD ，BC 的中点， ∵ADE ∆与BCF ∆均为等边三角形，且AD BC =， ∴ADE BCF ∆≅∆，连接EP ，FQ ，则得EP FQ =， ∵//EF AB ，//AB PQ ，12EF AB =， ∴//EF PQ ，12EF PQ =， ∴四边形EPQF 为等腰梯形．取EF 的中点M ，连接MO ，则MO PQ ⊥， 又∵AD EP ⊥，AD PQ ⊥，EP PQ P =，∴AD ⊥平面EPQF ，过O 点作OG AB ⊥于G ，则//OG AD ， ∴OG ⊥OM ，OG OQ ⊥．分别以OG ，OQ ，OM 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设4AB =，则由条件可得：(0,0,0)O ，(1,2,0)A -，(1,2,0)B ，2)F ，(1,2,0)D --，132(,,222N -． 设(,,)n x y z =是平面ABF 的法向量，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即40,320,y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 所以可取(2,0,1)n =，由312 (,,)22BN=--，可得||2|cos,|3||||BN nBN nBN n⋅<>==⋅，∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为23．19.解：（1）记每户居民的平均损失为x元，则(10000.0001530000.0002050000.000970000.0000390000.00003)2000 x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯3360=．（2）由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有(0.000090.000030.00003)20005015++⨯⨯=户，损失超过8000元的居民共有0.000032000503⨯⨯=户，因此ξ的可能值为0,1,2，21221522(0)35CPCξ===，1131221512(1)35C CPCξ===，232151(2)35CPCξ===，ξ的分布列为：ξ0 1 2P22351235135()0123535355Eξ=⨯+⨯+⨯=．（3）解得9b=，5c=，39a b+=，11c d+=，35a c+=，15b d+=，50a b c d+++=，2250(30695)4.046 3.84139113515K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．20.解：（1）依题意，设抛物线C 的方程为24x cy ==，结合0c >，解得1c =． 所以抛物线C 的方程为24x y =． （2）抛物线C 的方程为24x y =，即214y x =，求导得1'2y x =， 设11(,)A x y ，22(,)B x y （其中2114x y =，2224x y =），则切线PA ，PB 的斜率分别为112x ，212x ，所以切线PA 的方程为111()2x y y x x -=-，即211122x x y x y =-+， 即11220x x y y --=．同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=，因为切线PA ，PB 均过点00(,)P x y ，所以1001220x x y y --=，2002220x x y y --=， 所以11(,)x y ，22(,)x y 为方程00220x x y y --=的两组解， 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=．（3）由抛物线定义可知1||1AF y =+，2||1BF y =+， 所以121212||||(1)(1)()1AF BF y y y y y y ⋅=++=+++，联立方程002220,4,x x y y x y --=⎧⎨=⎩消去x 整理得222000(2)0y y x y y +-+=．由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-，2120y y y =， 所以221212000||||()121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+，又点00(,)P x y 在直线l 上，所以002x y =+，所以222200000019212252()22y x y y y y +-+=++=++， 所以当012y =-时，||||AF BF ⋅取得最小值，且最小值为92．21.解：（1）2(1)'()(1)x x xx a e axe f x be e -+-=-+，依题意(0)1f =，1'(0)2f =-，解得1a b ==． （2）由（1）可知()1x x x f x e e -=++，代入()1x x x f x ke e ->+-得 11x x x x x x e ke e e --+>++-，即21x x x k e e-->-， 因为当0x >时，0x x e e -->，0x <时，0x x e e --<，所以20x xx e e ->-， 所以10k ->，即(1)2()01x x x x k x e e e e k----->--， 令21t k =-，设()x x g x e e tx -=--，则0t >， 又'()x x g x e e t -=+-．①当02t <≤，即0k ≤时，'()20x x g x e et t -=+-≥-≥恒成立， 所以()x x g x e e tx -=--在R 上单调递增，所以（i ）当0x >时，()(0)0g x g >=，又因为此时0x x e e-->，10k ->， 所以(1)2()01x x x x k x e e e e k ----->--，即()1x x x f x ke e ->+-成立； （ii ）当0x <时，()(0)0g x g <=，又因为此时0x x e e--<，10k ->， 所以(1)2()01x x x x k x e e e e k ----->--，即()1x x x f x ke e ->+-成立． 因此当0k ≤时，当0x ≠时，都有()1x x x f x ke e ->+-成立，符合题意．②当2t >，即01k <<时，由'()0x xg x e e t -=+-=，得1x =，2x =， 因为2t >，所以20x >，120x x =-<，当2(0,)x x ∈时，'()0g x <，所以()g x 在2(0,)x 上递减，所以()(0)0g x g <=， 又因为此时0x x e e -->，10k ->，所以(1)2()01x x x x k x e e e e k -----<--，即 ()1x x x f x ke e -<+-与()1x x x f x ke e ->+-矛盾，所以不符合题意． 综上可知：k 的取值范围是0k ≤．22.解：（1）点A ，B ，C ，D 的极坐标为(2,)3π，5(2,)6π，4(2,)3π，11(2,)6π，点A ，B ，C ，D 的直角坐标为，(，(1,-，1)-.（2）设00(,)P x y ，则002cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），222222||||||||16cos 36sin 16t PA PB PC PD ϕϕ=+++=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈．23.解：（1）1,0,1()|||21|31,0,211,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎪=--=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩由()1f x >-，得0,11x x ≤⎧⎨->-⎩或10,2311x x ⎧<<⎪⎨⎪->-⎩或1,211,x x ⎧≥⎪⎨⎪-+>-⎩ 解得02x <<，故{}|02M x x =<<．（2）由（1）知02a <<， 因为322211(1)(1)1a a a a a a a a a a -+--+-+-==， 当01a <<时，2(1)(1)0a a a -+<，所以211a a a-+<； 当1a =时，2(1)(1)0a a a -+=，所以211a a a-+=； 当12a <<时，2(1)(1)0a a a -+>，所以211a a a-+>． 综上所述：当01a <<时，211a a a-+<； 当1a =时，211a a a-+=； 当12a <<时，211a a a -+>．。

考前模拟卷二数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.51⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式中x 的系数为（）A.15B.10C.5D.1【答案】B 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式5151C rrrr T xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭即可求解.【详解】由5521551C C rr r r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令521r -=，则2r =，所以x 系数为25C 10=.故选：B2.已知实数a ，且复数2i2ia z +=+的实部与虚部互为相反数，则复数z 对应的点在复平面内位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】利用复数的加减乘除四则运算化简复数z ，求得实部与虚部，依题求出a 的值，代入即得复数对应的点，判断即可.【详解】()()2i 2i 2i 224i2i 555a a a az +-++-===++，其实部为225+a ，虚部为45a -，依题有224055a a+-+=，解得6a =-，所以22i z =-+，其对应的点为()2,2-，位于第二象限.故选：B.3.在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由sin cos A B =，则π2A B +=或π2A B -=和π2C =，则π2A B +=，则πsin sin()cos 2A B B =-=，可得出答案.【详解】若sin cos A B =，则π2A B +=或π2A B -=，即π2C =或π2A B -=，所以在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的不充分条件若π2C =，则π2A B +=，则πsin sin()cos 2A B B =-=，所以在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.4.双曲线22221x y a b-=的左､右焦点分别为12,F F ，过2F 作x 轴垂线交双曲线于,A B 两点，1F AB 为正三角形，则双曲线的离心率为（）A.3B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】利用点在双曲线上代入可得三角形的边长22b AB a=，再利用双曲线的性质构造离心率的齐次方程，求出即可.【详解】设()1,A c y ，代入双曲线方程可得22224221122221y x c a b y b a b a a --=⇒==，所以22b AB a =即正三角形的边长，所以正三角形的高为2222b a a⨯=，所以)222222322220c ac ac c a ac e a=⇒=⇒=-⇒-=⇒=，故选：C.5.已知四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，E 为PC 中点，则（）A.BE 平面PADB.PD ⊥平面ABCDC.平面PAB ⊥平面PADD.DE EB=【答案】C 【解析】【分析】由线面平行的性质判断A 错误；举反例判断B 错误；先证明PH AB ⊥，再由线面垂直得到AB ⊥平面PAD ，进而得到平面PAB ⊥平面PAD ，判断C 正确；由已知条件判断D 错误.【详解】A ：易知//BC 平面PAD ，因为BE BC B = ，且两条直线都在平面PBC 内，所以BE 不可能平行平面PAD ，故A 错误；B ：举反例，如图PH 垂直平面ABCD 时，由于PD PH P ⋂=，所以PD 不垂直，故B 错误；C ：作PH AD ⊥于点H ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ，因为AB ⊂平面ABCD ，所以PH AB ⊥，又AB AD ⊥，PH AD H ⋂=，且,PH AD 都在平面PAD 内，所以AB ⊥平面PAD ，因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ，故C 正确；D ：没有任何条件可以证明DE EB =，故D 错误；故选：C.6.已知圆22:(1)(2)16C x y -++=，过点()0,1D 的动直线l 与圆C 相交于,M N两点||MN =直线l 的方程为（）A.4330x y +-=B.3440x y -+=C.0x =或4330x y +-= D.4330x y +-=或3440x y -+=.【答案】C 【解析】【分析】考虑直线l 与x 轴垂直和不垂直两种情况，斜率不存在时，满足要求，斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线距离公式得到方程，求出答案.【详解】当直线l 与x 轴垂直时，易知直线l 的方程为0x =，22:(1)(2)16C x y -++=中令0x =得2(2)15y +=，解得2y =，故此时()22MN y ==-=，符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，则圆心到直线的距离为d =MN ===，1d ∴==，解得43k =-，则直线l 的方程为413y x =-+，即4330x y +-=，综上可知直线l 的方程为0x =或4330x y +-=.故选：C.7.已知圆内接四边形ABCD 中，π2,,4AD ADB BD ∠==是圆的直径，2AC BD ⋅= ，则ADC ∠=（）A.5π12B.π2 C.7π12D.2π3【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形ABCD 的几何性质，即可得所求.【详解】因为2AC BD ⋅=，所以()2AD DC BD +⋅= ，易知BD =，结合图形，2·242AD BD =⨯= ，90BCD ∠=︒，则242DC -= ，故DC = .所以在直角三角形BCD 中可得π3BDC ∠=，故7π12ADC ∠=.故选：C .8.若直线e 4eln40x y -+=是指数函数(0x y a a =>且1)a ≠图象的一条切线，则底数=a （）A.2或12 B.eC.D.e 【答案】D 【解析】【分析】设切点坐标为()()00,x f x ，根据导数的几何意义，列式运算求得a 的值.【详解】设切点坐标为()()00,x f x ，对函数x y a =，求导得ln x y a a '=，切线方程e 4eln40x y -+=化成斜截式为4e 44eln y x =+，由题设知000e ln 04e eln44x x a a x a ⎧=>⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，显然ln 0a >，即1a >，由0e 4ln x aa =，得04e eln4e4ln x a +=，即01ln4ln x a=+，即()00ln ln 01ln ln ln4ln ln4ln 4xx aa x a a a a =⋅+=+=⋅，即0ln ln ee 444ln xaa a a=⋅=⋅，化简得ln 44ln a a =，令ln 0a t =>，即44t t =，利用指数函数与一次函数的性质，可知1t =或12，即ln 1a =或12，解得e a =.故选：D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知,,a b c 是空间中三条不同的直线，,αβ是空间中两个不同的平面，下列命题不正确的是（）A.若,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂，则a α⊥B.若,a αβα⊥⊥，则aβC.若a ,b a ,c a α，则b α或c α.D.若,,a b a αβ⊥⊥ b ，则α β，【答案】ABC 【解析】【分析】由题意分别进行判断，错误的选项指明错误点.【详解】对A ，需要补上,b c 不平行才成立，否则a 可能与α相交或平行，故A 错误；对B ，若,a αβα⊥⊥，则a β∥或a β⊂，故B 错误；对C ，有可能b α⊂且c α⊂且b c P ，故C 错误；对D ，若,,a b a b αβ⊥⊥∥，则αβ∥，故D 正确.故选：ABC.10.对于事件A 与事件B ，若A B ⋃发生的概率是0.72，事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的2倍，下列说法正确的是（）A.若事件A 与事件B 互斥，则事件A 发生的概率为0.36B.()()2P BA P AB =∣∣C.事件A 发生的概率的范围为[]0.24,0.36D.若事件A 发生的概率是0.3，则事件A 与事件B 相互独立【答案】BCD 【解析】【分析】根据互斥事件的性质、条件概率公式、独立事件的性质逐项判断即可得结论.【详解】对于A ，若事件A 与事件B 互斥，则()()()()30.72P A B P A P B P A ⋃=+==，所以()0.24,A P A =，故A 错误；对于B ，()()()()()()()()()1|,||22P AB P AB P AB P B A P A B P B A P A P B P A ====，故B 正确；对于C ，()()()()()()()()30.72,0.243P AB P A B P A P B P AB P A P AB P A ⋃=+-=-==+，若事件A 与事件B 互斥，则()0P AB =，此时()P A 取到最小值为0.24，若()()P A P B ⊆，此时()()(),P AB P A P A =取到最大值为0.36，故C 正确；对于D ，()0.3P A =，则()0.6P B =，由()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，得()()()0.30.60.720.18P AB P A P B =+-==⋅，则事件A 与事件B 相互独立，故D 正确.故选：BCD.11.已知函数()f x 的定义域和值域均为{}0,x x x ≠∈R ∣，对于任意非零实数,,0x y x y +≠，函数()f x 满足：()()()()()()f x y f x f y f x f y ++=，且()f x 在(),0∞-上单调递减，()11f =，则下列结论错误的是（）A.122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.2023202311222i i f =⎛⎫ ⎪⎝=⎭-∑C.()f x 在定义域内单调递减 D.()f x 为奇函数【答案】BC 【解析】【分析】赋值法可判断A ，根据等比数列求和公式判断B ，利用奇偶函数的定义及赋值法判断C ，由函数的特例可判断D.【详解】对于A ，令12x y ==，则()21121()[()]22f f f =，因1()02f ≠，故得1()2(1)22f f ==，故A 正确；对于B,由()()()()()()f x y f x f y f x f y ++=，令y x =，则2[()]1(2)()2()2f x f x f x f x ==，则111111()(2)()2222i i i f f f ++=⨯=，即111(2()22i i f f +=，故1{(2i f 是以1(22f =为首项，2为公比的等比数列，于是()2023202320241212122212i i f =-⎛⎫==- ⎪-⎝⎭∑，故B 错误；对于D ，由题意，函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，令2y x =-，则()()()()()22f x f x f x f x f x --=+-①，把,x y 都取成x -，可得()()()()()222f x f x f x f x f x ----==-②，将②式代入①式，可得()()()()()22f x f x f x f x f x --=-+，化简可得()(),f x f x -=-即()f x 为奇函数，故D 正确；对于C ，()f x 在(),0∞-上单调递减，函数为奇函数，可得()f x 在()0,∞+上单调递减，但是不能判断()f x 在定义域上的单调性，例如()1f x x=，故C 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对已知的函数抽象表达式的处理，一般以赋值化简为主，根据选项信息对自变量进行针对性赋值，求出函数值，或者推导出递推式，或者构造出(),()f x f x -的关系式即可判断奇偶性等.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知函数()πsin 23f x x x ϕ⎛⎫=++-⎪⎝⎭的图象关于直线2x =对称，则ϕ可以为__________.（写出一个符合条件的ϕ即可）【答案】π6-.（答案不唯一）【解析】【分析】因为函数2y x =-的图象关于直线2x =对称，只需根据三角函数图象让2x =也为πsin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴即可.【详解】函数2y x =-的图象关于直线2x =对称，则只要πsin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x =对称即可，所以()2πππ32k k ϕ+=+∈Z ，所以()ππ6k k ϕ=-+∈Z ，如令0k =，可以取π6ϕ=-.故答案为：π6-13.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，下顶点为A ，过,A F 的直线l 与椭圆C 交于另一点B ，若直线l 的斜率为1，且83AB =，则椭圆C 的标准方程为__________.【答案】22142x y +=【解析】【分析】利用弦长公式求解参数，得到椭圆方程即可.【详解】设(),0F c ，由题意知，,b c a ==，直线l 的方程为y x c =-，与椭圆C 的方程联立化简得x cx -=2340，所以40,3A B x x c ==，故833B A AB x x c =-==，解得c =所以2b a ==，椭圆C 的方程为22142x y +=.故答案为：22142x y +=14.龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过m 个关卡，分别为：12,,,m G G G ，记挑战每一个关卡()1,2,,k G k m = 失败的概率为k a ，其中()110,1,3k a a ∈=.游戏规则如下：从第一个关卡1G 开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若2m =，设龙年在闯关结束时进行到了第X 关，X 的数学期望()E X =__________；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第1k +关的概率总等于闯到第k 关()1,2,,1k m =-L 的概率的一半，则数列{}n a 的通项公式n a =__________,1,2,,n m = .【答案】①.53②.1122n -+【解析】【分析】若2m =，则X 得可能取值为1,2，分别求解概率，再求解数学期望()E X 即可；根据题意求解游戏结束时进行到第k 关的概率为k P ，由112k k P P +=可得()1112k k k a a a +=-，于是根据递推关系式可得数列{}n a 的通项公式.【详解】若2m =，则X 得可能取值为1,2，又()()1121,21333P X P X ====-=，所以()12512333E X =⨯+⨯=；设未能通关的前提下，游戏结束时进行到第k 关的概率为k P ；那么有()()()()()()121121111111k kk m a a a a P a a a ----=---- ，由112k k P P +=可得()1112k k k a a a +=-；即121k k k a a a +=-，对两边同时取倒数，可得1122k k a a +=-，即111222k k a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又112321a -=-=，故12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为2的等比数列，从而111122,,1,2,,22n n n n a n m a ---===+ .故答案为：53；1122n -+.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.若抛物线Γ的方程为24y x =，焦点为F ，设,P Q 是抛物线Γ上两个不同的动点.（1）若3PF =，求直线PF 的斜率；（2）设PQ 中点为R ，若直线PQ斜率为2，证明R 在一条定直线上.【答案】（1）±（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦半径公式得到2P x =，求出(2,P ±，从而求出斜率；（2）法一：:2PQ y x t =+，联立抛物线方程，设()()1122,,,P x y Q x y ，得到两根之和，两根之积，得到122R y y y +==，求出答案；法二：设()()1122,,,P x y Q x y ，得到21211242y y x x y y -==-+，从而确定12y y +=，得到122R y y y +==，得到答案.【小问1详解】()1,0,13P F PF x =+=，2P x \=，将2x =代入24y x =得，y =±(2,P ∴±所以21PF k ±==±-；【小问2详解】法一：设()()1122,,,P x y Q x y，:2PQ y x t =+，即x =，代入24y x =，得20y -+=，由韦达定理，有12y y +=故122R y y y +==，R在定直线y =上.法二：设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意，21212221211242244y y y y y y x x y y --===-+-，故12y y +=，故122R y y y +==，R在定直线y =上.16.如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB //CD，,2,4,AB AD AB AD PB CD PD ⊥=====，点E 为PB 中点，DE PC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）已知点F 为线段AB 的中点，求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）连接BD ，可证PD BD =，从而得到DE PB ⊥，即有DE ⊥平面PBC ，可得DE BC ⊥，由222BC BD CD +=，可得BC BD ⊥，即可证明BC ⊥平面PBD ，即BC PD ⊥，再由222PB PD BD =+，得PD BD ⊥，从而证明PD ⊥平面ABCD ；（2）以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量为(m = ，表示出(1,0,EF = ，代入向量夹角公式，可得直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.【小问1详解】连接BD .因为AB AD =，且AB AD ⊥，所以BD D =，因为PD =，所以PD BD =.因为E 是棱PB 的中点，所以DE PB ⊥.因为,,DE PC PC PB ⊥⊂平面PBC ，且PC PB P = ，所以DE ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以DE BC ⊥.由题意可得BC BD ==，则222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥.因为,BD DE ⊂平面PBD ，且BD DE D ⋂=，所以BC ⊥平面PBD .因为PD ⊂平面PBD ，所以BC PD ⊥.因为,2PD BD PB AB ===，所以222PB PD BD =+，所以PD BD ⊥.因为,BD BC ⊂平面ABCD ，且BD BC B ⋂=，所以PD⊥平面ABCD .【小问2详解】以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,4,0C，(0,0,P，(E ，()2,1,0F从而(2,2,PB =- ，()2,2,0BC =-，(1,0,EF = 设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则00m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，得(m = ，设直线EF 与平面PBC 所成角为α，则sin cos ,6m EF m EF m EF α⋅====，所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为6.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 2π13,,,3a A b c ABC ==> 的内切圆圆I 的面积为3π.（1）求b c 、的值及cos ABC ∠；（2）若点D 在AC 上，且,,B I D 三点共线，试讨论在BC 边上是否存在点M ，使得BI BM CI CM ⋅=⋅ 若存在，求出点M 的位置，并求出DBM △的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）8,7b c ==，11cos 13ABC ∠=；（2）存在，位置见解析，10.【解析】【分析】（1）先求出内切圆的半径，由三角形面积公式得出bc 与b c +的关系，再由余弦定理得到它们的另一个关系式，联立解出,b c ，最后由余弦定理解出cos ABC ∠即可；（2）由题意BI BM CI CM ⋅=⋅ ，配合切线长定理可解出BM ，再设角θ结合正弦定理解出BD ，最后由面积公式求得即可.【小问1详解】因为ABC 内切圆圆I 的面积为3π，可得圆I的半径为r =，则)()112π13sin ,262223ABC S b c bc bc b c =++=∴=++ ，所以1132b c bc +=-，由余弦定理得222π2cos 1693b c bc +-=，得2()169b c bc +-=，将1132b c bc +=-代入整理得：2()560bc bc -=，解得56,15,,8,7bc b c b c b c =∴+=>∴== .∴由余弦定理得：222137811cos 213713ABC ∠+-==⨯⨯.【小问2详解】记圆I 与BC 边切于点E ，根据切线长定理可求得6,7BE CE ==，若BI BM CI CM ⋅=⋅ ，则BE BM CE CM ⋅=⋅，即()6713BM BM =-，解得7BM =，所以在BC 边上存在点M ，使得BI BM CI CM ⋅=⋅ .依题意可知I 为内心，则BD 平分ABC ∠，记ABD DBC θ∠=∠=，则11cos cos213ABC ∠θ==，故23913cos ,sin 1313θθ====，在ABD △中，2πππ33ADB ∠θθ=--=-，由正弦定理得2ππsin sin sin 33BD AB c ADB θ==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，又π31513sin cos sin 732226c θθθ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，7395BD ∴=，11sin 72251310DBM S BM BD θ=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= .18.已知函数()e x x f x =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：()e 1xf x ≤-；（3）设()()()22e 2e 41x xg x f x a a a =-+-+∈R ，若存在实数0x 使得()00g x ≥，求a 的最大值.【答案】（1）增区间为(),1-∞，减区间为()1,+∞；（2）证明见解析；（3）12.【解析】【分析】（1）求出()f x '，判断导数正负得到函数()f x 的单调区间；（2）利用分析法转化要证结论，要证()e 1x f x ≤-，即证e 1ex x x ≤-，令()e 1e x x x h x =-+，即证()0h x ≤，利用导数判断()h x 单调性，求出最大值即可得证；（3）()()22e2e 41x x g x f x a a =-+-+，分别讨论当102a ≤≤时和12a >时是否存在0x 使得()00g x ≥，即可求解.【小问1详解】()f x 的定义域为()1,ex x f x -='R ，所以当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以()f x 的增区间为(),1∞-，减区间为()1,∞+.【小问2详解】要证()e 1x f x ≤-，即证e 1ex x x ≤-，令()e 1e x x x h x =-+，即证()0h x ≤，()21e e x xx h x -'-=，令()21e x m x x =--，则()212e 0x m x =--<'，所以()m x 在R 上单调递减，又()00m =，∴当0x <时，()()0,0m x h x '>>；当0x >时，()()0,0m x h x '<<.()h x ∴在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，()()00h x h ∴≤=，所以e 1e x x x ≤-，即()e 1xf x ≤-得证.【小问3详解】当102a ≤≤时，()()20242120g a a a a =-=-≥，即存在00x =满足题意；当12a >时，由（2）知，()()()2222e 2e 41e 1e 2e 41x x x x x g x f x a a a a =-+-+≤--+-+()()()()()2226112611221e 21e 4e 0244x x x a a a a a a a +-+-+⎛⎫=-++-=--+≤< ⎪⎝⎭，∴此时()0g x <恒成立，不满足题意；综上，所以a 的最大值为12.19.设数集S 满足：①任意x S ∈，有0x ≥；②任意x ，y S ∈，有x y S +∈或x y S -∈，则称数集S 具有性质P .（1）判断数集{}0,1,2,4A =和{}0,2,4B =是否具有性质P ，并说明理由；（2）若数集{}12,,,n C a a a =⋅⋅⋅且()11,2,,1i i a a i n +<=⋅⋅⋅-具有性质P .（i ）当5n =时，求证：1a ，2a ，…，n a 是等差数列；（ii ）当1a ，2a ，…，n a 不是等差数列时，求n 的最大值.【答案】（1）数集A 不具有性质P ，数集B 具有性质P ，证明见解析（2）（i ）证明见解析；（ii ）4【解析】【分析】(1)根据性质P 的定义判断可得出结论(2)（i ）推导出10a =，再根据性质P 的定义推导出32532432a a a a a a a a -=--=-=从而证明（ii ）根据性质P 的定义得出12,,,n a a a ⋅⋅⋅在5n ≥均为等差数列，再令4n =进行验证，可以不是等差数列，所以得出n 的最大值.【小问1详解】证明：对于数集A ，41A +∉，41A -∉，所以数集A 不具有性质P ，对于数集B ，任意,x y B ∈，x y B -∈，所以数集B 具有性质P .【小问2详解】（i ）当5n =时，数集{}125,,,C a a a =⋅⋅⋅具有性质P ，55552a a a a +=>，所以55a a C +∉，即550a a C -=∈，因为123450a a a a a ≤<<<<，则10a =，又因为5453525a a a a a a a +>+>+>，所以5(2,3,4)i a a C i +∉=，则5(2,3,4)i a a C i -∈=，因为154535250a a a a a a a a =<-<-<-<，所以得542a a a -=，533a a a -=，524a a a -=，因为43425a a a a a +>+=，所以43a a C +∉，则43a a C -∈，又因为14340a a a a =<-<，所以432a a a -=或433a a a -=，因为533a a a -=，所以433a a a -=(舍去)，即432a a a -=，32532432a a a a a a a a -=--=-=，所以213243542a a a a a a a a a -=-=-=-=，即当5n =时，1a ，2a ，…，n a 是等差数列.（ii ）若数集{}12,,,n C a a a =⋅⋅⋅且()11,2,,1i i a a i n +<=⋅⋅⋅-具有性质P ，按照(1)推导的方式得出5n ≥一般结论，具体如下：因为122n n n n n n a a a a a a a --+>+>>+> ，所以(2,3,,1)n i a a C i n +∉=- ，即(2,3,,1)n i a a C i n -∈=- ，因为11220n n n n n n a a a a a a a a --=<-<-<<-< ，所以1(2,3,,1)n i n i a a a i n +--==- ①，所以12n n a a a -=+，23n n a a a -=+，因为12131312n n n n n n n a a a a a a a a a ------+>+>>+>+= ，所以1(3,4,5,,2)n i a a C i n -+∉=- ，即1(3,4,5,,2)n i a a C i n --∈=- ，因为112131310n n n n n n a a a a a a a a ------=<-<-<<-< ，根据120n a a a ≤<<< ，分两种情况：第一种情况为122n n a a a ---=，133n n a a a ---=，…，133n n a a a ---=，第二种情况为12(3)n n k a a a k ---=≥，13(2)n i a a a i n --=≥-，先考虑第二种情况1223n n k n n a a a a a a ---=+≥+=，与题意矛盾，1332n i n n a a a a a a --=+≥+=，与题意矛盾，所以只能为第一种情况，可得1(3,4,,2)n i n i a a a i n ---==- ②，由①-②，得11(3,4,,2)n n n i n i a a a a i n -+---=-=- ，即12332221n n n n a a a a a a a a a ----=-==-==- ，即当5n ≥时，1a ，2a ，…，n a 是等差数列，当4n =时，434a a a +>，所以43a a C +∉，即43a a C -∈，由前面得出1434240a a a a a a =<-<-<，所以432a a a -=，423a a a -=，当322a a a -≠成立时，1a ，2a ，3a ，4a 不是等差数列，所以n 的最大值为4.【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法：定义法：1(N )n n a a d n *+-=∈(d 为常数)等差中项法：122(N )n n n a a a n *++=+∈通项公式法：(N )n a an b n *=+∈（a ，b 为常数），但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法进行证明.。

2019届长沙市一中高三下学期高考模拟考试数学（理）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤{}1,0,1,2,3B =-，，则A∩B＝（ ） A. {}1,0,1-B. {}1,0,1,2-C. {}0,1,2D.{}0,1,2,3【答案】B 【解析】 【分析】通过不等式的解法求出集合A ，然后求解交集即可． 【详解】由已知得{|(1)(2)0}{|12}A x x x x x =+-≤=-≤≤， 所以{1,0,1,2}A B =-， 故选B.2.已知i 为虚数单位，复数z 满足(12)(1)(2)i z i i +=+-，则z =（ ）【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求解z ，再由模的计算公式即可得出． 【详解】由题意得，(1)(2)(3)(12)112(12)(12)i i i i z i i i i +-+-===-++-，z ==故选C.3.已知cos()4πα+=sin2α的值为（）A. 13B.23D.35【答案】B【解析】【分析】将已知等式两边同时平方，利用二倍角公式结合诱导公式即可求得sin2α的值．【详解】因为21cos22cos42παπα⎛⎫++⎪⎛⎫⎝⎭+=⎪⎝⎭1sin2126α-==，所以322sin=α，故选B.4.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A. 1C. 3D. 22【答案】B【解析】分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半，且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，，故选B.5.若非零向量a 、b 满足24,(2)0a b a b a ==-⋅=，则a 在b 方向上的投影为（ ） A. 4 B. 8C. 14D. 18【答案】A 【解析】 【分析】先由数量积的运算律计算得到8a b ⋅=，再利用投影公式计算即可得出结果．【详解】由2(2)20a b a a a b -⋅=-⋅=得22822a a ab ⋅===， 从而a 在b 方向上的投影为842a b b⋅==，故选A. 6.形状如图所示的2个游戏盘中（图①是半径为2和4的两个同心圆，O 为圆心；图②是正六边形，点P 为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率是（ ）A.161B. 18C. 16D.14【答案】A 【解析】 【分析】先计算两个图中阴影面积占总面积的比例，再利用相互独立事件概率计算公式，可求概率.【详解】一局游戏后，这2个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件1A ，2A ， 由题意知，1A ，2A 相互独立，且()22121(42)34416P A ππ-==，()213P A =， 所以“一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为1212311()()()16316P A A P A P A ==⨯=. 故选A.7.若函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，且()2,()0,f f αβαβ==-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ）A. 5[2,2]()66k k k z ππππ-+∈ B. 2[2,2]()33k k k z ππππ-+∈ C. [,]()36k k k z ππππ-+∈D. 5[,]()1212k k k z ππππ-+∈ 【答案】B 【解析】 【分析】由条件求得ω的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得f （x ）的单调递增区间．【详解】()cos f x x x ωω=+2sin 6x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为()2f α=，k 1-，所以αβ-的最小值为42T π=， 所以T=2π，1ω=， 令22262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得22233k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以()f x 的单调增区间为2[2,2]()33k k k z ππππ-+∈ 故选B.8.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为（ ） A. 1．5尺 B. 2．5尺 C. 3．5尺 D. 4．5尺【答案】B【分析】由等差数列的性质可得959S a =，14743a a a a ++=，可得5a ，4a ，计算出公差d ，再利用通项公式即可得出所求．【详解】设这十二个节气日影长依次成等差数列{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===，所以59.5a =， 由题知1474331.5a a a a ++==，所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-，所以1257 2.5a a d =+=，故选B.9.平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆22(2)1x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ） A. 28y x = B. y x 82= C. 24y x = D. 24x y =【答案】A 【解析】试题分析：设圆心为C ，动点P 到直线的距离为d ，根据题意得：1PC d -=，可得1PC d =+，即：动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线2x =-的距离相等，根据抛物线的定义，动点P 的轨迹为以()2,0为焦点，以2x =-为准线的抛物线，设方程为22y px =，则22p=，4p =，所以抛物线方程为：28y x =，选A ．【思路点晴】本题主要考查的是抛物线的定义和抛物线的方程，属于中档题．本题动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，可转化为动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线2x =-的距离相等，从而利用抛物线的定义进行求解．解决圆锥曲线问题时注意圆锥曲线定义的10.已如定点P (1,9)，动点Q (,)x y 在线性约束条件360200x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域内，则直线PQ 的斜率k 的取值范围为（ ） A. [1,7]-B. [7.1]-C. ),7[]1,(+∞⋃--∞D.[9,1][7,)--+∞【答案】C 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，找到边界的点，求得BP k ，AP k 数形结合可得结论． 【详解】不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分，直线20x y -+=与直线360x y --=的交点为(4,6)A ， 直线20x y -+=与y 轴的交点为(0,2)B ，只需求出过p 的直线经过可行域内的点A 或B 时的斜率，92710BP k -==-，96114AP k -==--，所以结合图象可得7≥k 或1k ≤-， 故选C.11.已知三棱锥ABC P -的棱AP 、AB 、AC 两两垂直，且长度都为3，以顶点P 为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于（ ）A. 3πB.23π C.43π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】画出图，根据弧长公式求解【详解】如图所示，Rt PAC ∆，Rt PAB ∆为等腰直角三角形，且AP AB AC ===. 以顶点P 为球心，以2为半径作一个球与Rt PAC ∆的PC ，AC 分别交于M ，N ，得cos APN ∠=，6APN π∴∠=，所以12NPM π∠=，所以2126MN ππ=⨯=，同理6GH π=，122HN ππ=⨯=，又GM 是以顶点P 为圆心，以2为半径的圆周长的16，所以22263GM ππ⨯==， 所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段孤长之和等于293662362ππππππ+++==. 故选B.12.已知函数31()1(,f x x a x e e e=-++≤≤是自然对数的底数）与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3[0,4]e -B. 3[1,4]e -C. 3[1,3]e -D.3[,3]e e -【答案】A 【解析】 【分析】由已知，得到方程313ln x a x -++=-即313ln a x x +=-在[1e，e ]上有解，构造函数3()3ln h x x x =-，求出它的值域，即可得到a 的范围． 【详解】根据题意，若函数3()1f x x a =-++（1x e e≤≤，e 是自然对数的底数）与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程313ln x a x -++=-在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，313ln x a x -++=-即313ln a x x +=-，即方程313ln a x x +=-在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，设函数3()3ln h x x x =-，其导数()32313'()3x h x x x x-=-=， 又3n ，'()0h x =在1x =有唯一的极值点，分析可得：当11x e≤≤时，'()0h x ≤，()h x 为减函数，当1x e ≤≤时，'()0h x ≥，()h x 为增函数， 故函数3()3ln h x x x =-有最小值(1)1h =，又由3311h e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3()3h e e =-，比较得(1)h e h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故函数3()3ln h x x x =-有最大值3()3h e e =-，故函数3()3ln h x x x =-在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3[1,3]e -；若方程313ln a x x +=-在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，必有3113a e ≤+≤-，则有304a e ≤≤-，即a 的取值范围是3[0,4]e -.故选A.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22－23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为3，则此双曲线的离心率为______________. 【答案】2. 【解析】 【分析】根据离心率公式和渐近线方程，直接得到结果．【详解】由已知渐近线的斜率b k a ==，则离心率2ce a===. 故答案为2.14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为Sn ，前n 项积为Tn ，若32154,243S a a T =+=，则a 1的值为_____________。

2017届高中毕业生五月供题数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}|20162017,|20171P x x Q x x =-≤≤=-<，则PQ =A. ()2016,2017B. (]2016,2017C. [)2016,2017D.()2016,2017- 2.若复数z 满足()222z z z i +⋅=-（i 为虚数单位），则z 为 A. 12i -- B.1i -- C.12i -+ D.12i -3.已知变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则82x y z =⋅的最大值为A. 33B. 32C. 35D. 344.如图是一个正方体，A,B,C 为三个顶点，D 是棱的中点，则三棱锥A-BCD 的正视图，俯视图是（注：选项中的上图是正视图，下图是俯视图）5.为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支出费用的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.85,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户购买食品的年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为A. 1.79万元B. 2.55万元C. 1.91万元6.执行如图所示的程序框图，如果输入的15,12m n ==，则输出的n 是 A. 15 B. 12 C. 3 D. 1807.某班级有一个学生A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑一圈，在学生A 开始跑步时，在教室内有一个学生B 往操场看了一次，以后每50秒往操场上看一次，则该学生B “感觉”到学生A 的运动是 A. 逆时针方向匀速前跑 B. 顺时针方向匀速前跑 C.顺时针方向匀速后退 D.静止不动 8.已知1a =，a 与b 的夹角为3π，()23a b a +⋅=，则b 的值是 2 D.29.随机地取两个数,x y ，使得[][]1,1,0,1x y ∈-∈，则满足2y x ≥的概率是A.13 B. 23 C. 14 D.3410.已知函数()1cos 626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若存在123,,,,n x x x x 满足12306n x x x x π≤<<<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()()1122,n n f x f x n n N *-+-=≥∈，则n 的最小值为A. 6B. 10C. 8D. 12 11.mn mk n k n k CC --==∑A. 2m n+ B. 2m n m C C. 2n m n C D. 2m m n C12.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1AB ，且平面α⊥平面1C BD ，平面α平面11ADD A AS =，则1A AS ∠的正切值为A.2B. 5C. 3D.12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.定义运算,0,0x xy x y y xy ≥⎧∇=⎨<⎩，例如()343,244∇=-∇=，则函数()()222f x x x x =∇-的最大值为 . 14.已知,tan tan 33παβαβ-=-=，则()cos αβ+的值为 .15.锐角ABC ∆中，D 为BC 的中点，满足90BAD C ∠+∠=，则角,B C 的大小关系为 .（填“B C <”或“B C =”或B C >）16.在半径为R 的圆内，作内接等腰ABC ∆，当底边上高(]0,h t ∈时，ABC ∆的面积取得最大值24，则t 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点,n n S A n n⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x x c =-+的图像上运动，其中c 是与x 无关的常数，且1 3.a = （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最小值. 18.（本题满分12分）某班级50名学生的考试分数x 分布在区间[)50,100内，设考试分数x 的分布频率是()f x ，且()()()0.4,10101,5,6,7,10,10101,8,9.5nn x n n f x n b n x n n ⎧-≤<+=⎪⎪=⎨⎪-+≤<+=⎪⎩，考试成绩采用“5分制”，规定：考试分数在[)50,60内的成绩记为1分，考试分数在[)60,70内的成绩记为2分，考试分数在[)70,80内的成绩记为3分，考试分数在[)80,90内的成绩记为4分，考试分数在[)90,100内的成绩记为5分，在50名学生中用分层抽样的方法，从成绩为1分，2分，3分的学生中随机抽取6人，再从这6人中抽出3人，记这3人的成绩之和为ξ（将频率视为概率）. （1）求b 的值，并估计班级的考试平均分数； （2）求()7P ξ=；（3）求ξ的分布列和数学期望. 19.（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在平面相互垂直，2,1,AB AF G ==为线段AD 上的任意一点。

科目：数学(理科)【试卷综析】本试题是一份高三模拟测试的好题，涉及范围广，包括复数、正态分布集合、命题、充要条件、直线与椭圆、三角函数解析式、线性规划、平面向量、瞄直线、排 列组合、导数、函数单调性、不等式、参数范围、几何证明、不等式选讲参数方程与极坐标、双曲线、离心率、程序框图、数列、新定义集合等高考核心考点，又涉及王 角函数、解三角形、立体几何、概率统计、函数应用、解析几何、导数与数列縊应用等必考解答题型。

本题难易程度设计合理，梯度分明；既有考查基础知识的嬲朗， 又有考查能力的创新题目；旃，22等题能看到命题者在创新方面的努力，妆,18, 19三题看出考基础，考规范；釦题可以看出考数学应用；A1两题可以看出，考运 算。

一、选择题：本题共 10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，胃一 项符合题目要求。

【知识点】复数运算【答案解析】A + — —4—z = = + =( 一 尸 =~~ =故选 A- i 1 z i 1 z z * i1 zi 1【思路点拨】转化，分母数化 2. 设随机矍冬吃，3 5若PW c) = Pgc),则等于【思路点拨】正确理解图像3.二项式 6的展开式中常数项为 (X )X 说明: 本卷为试题卷, 要求将所有试题答案或解答做在答题扌1 +z1. 已知复数Z 满足—； r z(i 为虚数单位，圳的億A. iB. -iC. 1D. — 1 A. 0B. 1C. 2 【知识点】正态分布【答案解析】C 显然2D. 3A 3=02 故常数项为T=15【思路点拨】记住通项公式是键4•设A B 为两个互不相同的集合，命题 P ： x A B, 命题q ： x A 或x B. 15 C. — 20D. 20A. — 15A.充分且必要条件C.必要非充分条件B.充分非必要条件D.非充分且非必要条件A. 4B. 4C. 3D. 3 【知识点】线规【答案解析】B【思路点拨】本题是个常规题目，高考考线性规划可在选择题考，也可以在填空题考，创新 天地很大，需要留意。

数学试卷一、选择题1.已知全集R U =，集合{}2log 1A x x =<，{}260B x x x =+-<，则（ ） A ．A B φ⋂= B ．R A B ⋃=C ．B A ⊆D ．A B ⊆2.已知复数(12i)(2i)1iz ++=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ．第四象限3.已知0.320.2log 0.3,log 3,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a >> B.b a c >> C.c a b >>D ．a c b >>4.函数()24sin f x x x =-，ππ[,]22x ∈-的图像大致是( ) A. B.C. D.5.已知正六棱锥P ABCDEF -的所有顶点在一个半径为1的球面上，则该正六棱锥的体积最大值为( )6.节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶。

24节气分别为：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满 、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒。

春夏秋冬四季每个季节6个节气，现从24节气中任选两个节气，则这两个节气来自同一季节的概率为（ ）A.523B.423C.323D.6237.已知等差数列{}n a 的前项n 和为n S ，且314,,3S a a 成公比为q 的等比数列，则q 等于（ ） A.1或2B ．2C ．1D ．2或48.2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎。

郑州某医院的甲，乙，丙，丁，戊5名医生到湖北的A,B,C 三个城市支援，若要求每个城市至少安排一名医生，因工作需要，其中甲不去A 城市，则分配方案总数为（ ） A.124B.144C.150D.1009.设函数*π()sin()()3f x x N ωω=-∈在5π5π[,]126上单调递减，则下述三个结论：①()f x 在π[,π]2，最小值为-1；②()f x 在[0,3π]上的有且仅有5个零点； ③()f x 关于11π12x =轴对称； 其中所有正确结论的编号是（ ） A.②③B.①③C. ①②D.①②③10.如图以AB 为直径的圆中弦AC 与AB 的夹角为π3，4AB =点P 是圆上一动点，则AP AC ⋅u u u r u u u r 的最大值为（ ）A.4B.6C.4+D.811.已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T所作的圆222()x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．12.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足(2)3()f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()xf x e =则(0)(1)(2)(2020)f f f f ++++=L ( )A. 1010101113131313e --+-- B.1011101013131313e --+-- C.1009101013131313e --+-- D. 1010100913131313e --+-- 二、填空题13.已知y x ,满足约束条件110210y x y x y <⎧⎪++>⎨⎪-+<⎩，则|21|Z x y =-+的取值范围是_____________14.若π2π2cos a xdx -=⎰，则二项式6(的展开式中含2x 项的系数是_________. 15.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和(,,,)d a bcd N c +∈，则b d a c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道e 2.71828=⋅⋅⋅，若令2714e 105<<，则第一次用“调日法”后的4115是e 的更为精确的过剩近似值，即2741e 1015<<，若每次都是最简分数，那么第三次用“调日法”后可得e 的近似分数为_________16.定义在D 上的函数()f x ，如果满足：x D ∀∈，常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界.若已知函数2()2ttS t e me =++在,0]-∞（上是以M = 4为上界的有界函数，则实数m 的取值范围为________. 三、解答题17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且cos cos sin A B Ca b c+=. (1)求sin sin sin CA B⋅的值；(2)若ABC ∆的面积14S =，ABC ∆的外接圆的直径为1，求ABC ∆的周长L . 四、计算题18.近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求。

2023-2024学年湖南省长沙市高三数学押题模拟试题（三模）一、单选题1．已知集合{}{}22450,log 2A x x x B x x =--≤=<，则A B = （）A ．[1,4)-B ．[1,4]-C ．[1,5]-D ．(0,4)【正确答案】D【分析】通过解二次不等式和对数不等式求出集合,A B ，然后由交集运算得出答案．【详解】由2450x x --≤可得15x -≤≤，所以[]1,5A =-，由2log 2x <，即22log log 4x <，可得04x <<，所以()0,4B =，所以()0,4A B = .故选：D ．2．已知数列{}n a ，若12146n a a n -+=-，则7a =（）A ．9B ．11C ．13D ．15【正确答案】B【分析】由题中条件，分别令1n =，4n =，即可得解.【详解】由12146n a a n -+=-，令1n =，则11462a a +=-=-，则11a =-，令4n =，则7144610a a +=⨯-=，则711a =.故选：B.3．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若522x =，lg 20.3010=，则x 的值约为（）A ．1.322B ．1.410C ．1.507D ．1.669【正确答案】A【分析】由522x=可得25lg 5lg 212lg 2log 2lg 2lg 2x --===,进而将条件代入求解即可.【详解】522x=,25lg 5lg 212lg 2120.3010log 1.3222lg 2lg 20.3010x ---⨯∴====≈,故选:A本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.4．某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A ．频率分布直方图中a 的值为0.004B ．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75C ．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D ．估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为150【正确答案】D【分析】根据所有矩形的面积和为1求出a ，然后逐一判断即可.【详解】由()10237621a a a a a ⨯++++=可得0.005a =，故A 错误；前三个矩形的面积和为()102370.6a a a ⨯++=，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B 错误；这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C 错误；总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为3101000150a ⨯⨯=，故D 正确.故选：D5．2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心．八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎．郑州某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A 、B 、C 三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A 城市恰好只有医生甲去支援的概率为（）．A ．115B ．775C ．310D ．12【正确答案】B把5名医生分成三组，有1、1、3和1、2、2两种分法，然后再安排到三个医院，从而求得总数，再计算A 城市恰好只有医生甲去，同样把4名医生分成两组，有1、3和2、2两种分法，然后安排到其他两个医院，求出方法数后可计算概率．【详解】先算总数：分两步，第一步，把5名医生分成三组，有1、1、3和1、2、2两种分法，当分成1、1、3时，有113215102C C C ⋅⋅=种情况，当分成1、2、2时，有221425152C C C ⋅⋅=种情况，第二步，把这三组分到三个城市，则共有33(1015)150A +⨯=种情况，再算A 城市恰好只有医生甲去支援的情况：分两步，第一步，把4名医生分成二组，有1、3和2、2两种分法，当分成1、3时，有13434C C ⋅=种情况，当分成2、2时，有224232C C ⋅=种情况，第二步，把这两组分到两个城市，则共有22(43)14A +⨯=种情况，因此所求概率为14715075P ==，故选：B ．方法点睛：本题考查古典概型，在求方法数涉及到分组分配问题．分组分配问题，涉及到平均分组和不平均分组，平均分组时要除以组数的阶乘．n 个不同元素按12,,,k m m m 分成k 组，若12,,,k m m m 两两不等，分组数为312112k k mmmmn n m n m m m C C C C --- ，若12,,,k m m m 中仅有i 个数相等，则分组数为312112k km m m m n n m n m m m ii C C C C A --- ．6．一条斜率为1的直线分别与曲线ln 1y x =+和曲线sin ()y x x ππ=-<<相切于点A 和点B ，则公切线段AB 的长为（）A ．2BC ．1D【正确答案】D【分析】对ln 1y x =+和sin y x =求导，根据公切线的斜率为1，得到切点A ，B 横坐标，从而得到两个切点A ，B 的坐标，然后得到AB 的值.【详解】ln 1y x =+，求导得1y x'=，因为切线斜率为1，所以11Ax =，即1A x =，所以()1,1A sin y x =，求导得'cos y x =，因为切线斜率为1，所以cos 1B x =，而B x ππ-<<，所以0B x =，所以()0,0B ，所以AB ==故选：D.本题考查利用导数的几何意义根据切线的斜率求切点，属于简单题.7．若()()1tan201tan21a =+︒+︒，()()1tan241tan25b =+︒+︒，则下列结论不正确的是（）A ．a b <B ．4ab =C ．4a b +>D ．229a b +=【正确答案】D【分析】根据正切函数的单调性可判断选项A ；利用两角和的正切公式判断选项B ；利用基本不等式判断选项C ；根据题意结合估算判断选项D.【详解】对于选项A ，因为tan 24tan 200,tan 25tan 210︒>︒>︒>︒>，所以(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)a b =+︒+︒<+︒+︒=，故选项A 正确；对于选项B ，因为()tan 21tan 241=tan 45tan 21241tan 21tan 24︒︒︒︒︒︒︒+=+=-⋅，所以1tan 21tan 24tan 21tan 24︒︒︒︒-⋅=+，tan 21tan 24tan 21tan 241︒︒︒︒++⋅=，所以()()1tan 211tan 24tan 21tan 24tan 21tan 2412︒︒︒︒+︒+︒=++⋅+=，同理()()1tan 201tan 25tan 20tan 25tan 20tan 2512︒︒︒︒+︒+︒=++⋅+=，所以(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)4ab =+︒+︒+︒+︒=，故选项B 正确；对于选项C ，因为(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)a b +=+︒+︒++︒+︒4≥=（当且仅当(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)+︒+︒=+︒+︒时取等）因为(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)+︒+︒≠+︒+︒，所以等号取不到，则4a b +>，故选项C 正确；对于选项D，因为tan 45tan 30tan1521tan 45tan 30︒-︒︒==+︒︒所以2(1tan 20)(1tan 21)(3a =+︒+︒>，因为2(3,4a b ab <<=，所以(32a -<<，则236(74a -<<，若229a b +=，则22169a a +=，解得292a -=，因为9 4.104936(736(74 1.733) 2.44822-->-⨯==>，故选项D 错误，故选：D.8．若1x xe =，ln 1ey y-=，则xy =（）A ．3B ．eC ．1eD ．1【正确答案】B【分析】由已知等式可得ln 0ln 0x x e e y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，构造函数()ln f x x x =+，分析出函数()f x 在()0,∞+上为增函数，由()e f x f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得xy 的值.【详解】等式1x xe =两边取自然对数可得()ln ln 0xxe x x =+=，由ln 1e y y -=可得ln 1ln ln ln 0e e y e y y e y y e y --=--=-=，所以，ln ln 0e y e ey e y y-=+=，构造函数()ln f x x x =+，则函数()f x 在()0,∞+上为增函数，由1x xe =可知0x >，由ln 1e y y -=可知0y >，从而0ey>，由上可知()e f x f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，e x y =，因此，xy e =.故选：B.关键点点睛：解本题的关键点在于利用已知等式变形得出ln 0ln 0x x e e y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，通过利用函数()f x 的单调性得出ex y=，进而求得结果.二、多选题9．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则（）A ．直线AB 的方程为1(3)2y x =-B ．222a b =C ．椭圆的标准方程为22193x y +=D【正确答案】ABD【分析】根据直线AB 过点()3,0F 和点(1,1)-可得直线AB 的方程，与椭圆方程联立，可得AB 的中点的横坐标得到222a b =可得椭圆标准方程和离心率，从而达到答案.【详解】因为直线AB 过点()3,0F 和点(1,1)-，所以直线AB 的方程为1(3)2y x =-，代入椭圆方程22221x y a b +=，消去y ，得2222222390424a b x a x a a b ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，所以AB 的中点的横坐标为22232124a a b =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即222a b =，又222a b c =+，所以3,b c a ===2，所以圆E 的方程为221189x y +=．故选：ABD．10．函数π2sin 223y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()f x 的图象．若对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在[]20,1x ∈，使得()121f x x θ++=，则θ的可能值为（）A ．πB ．7π6C ．3π2D ．4π3【正确答案】BD【分析】先利用三角函数图象的变换得出()2sin 2f x x =+，再将问题转化为两个函数值域的包含关系后代入选项利用三角函数的图象与性质一一计算即可.【详解】由题意可得：()2sin 2f x x =+，对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在[]20,1x ∈，使得()121f x x θ+=-，显然[]210,1x -∈，故对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有函数()()112sin 2f x x θθ+=++的值域是[]0,1的子集，易得此时1π,2x θθθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，代入A 项，由正弦函数的图象与性质知此时()[]10,2f x θ+∈，不符合题意；代入B 项，同理知此时()[]10,1f x θ+∈符合题意；代入C 项，知此时()[]10,2f x θ+∈不符合题意；代入D 项，知此时()[]10,1f x θ+∈符合题意.故选：BD11．下列说法正确的有（）A ．设直线系M ：(2)cos sin 1(02)x y θθθπ-+=≤≤，则存在一个圆与M 中所有直线相交B ．设直线系M ：(2)cos sin 1(02)x y θθθπ-+=≤≤，则存在一个圆与M 中所有直线相切C ．如果圆C ：222240x y a +--++=与圆O ：224x y +=有四条公切线，则实数a 的取值范围是a >D ．过点()6,8作圆22x y a +=的切线，切点为A 、B ，若直线AB 的方程为3420x y +-=，则2a =【正确答案】AB【分析】本题为圆的综合问题，对于AB 由圆的切线系方程即可得到，C 考查两圆的位置关系中的外离，圆心距大于两圆半径之和即可解决，D 选项作圆的两条切线，切点连线即为两圆的公共弦，问题即可解决.【详解】因为(2)cos sin 1(02)x y θθθπ-+=≤≤为圆22(2)1x y -+=的切线系方程，存在一个圆与M 中所有直线相交，相切，故AB 正确.选项C,由圆的方程222240x y a +--++=得圆心为)，半径r =C ：222240x y a +--++=圆O ：224x y +=有四条公切线，则d R r >+2>+，解得224240a a ≠->，，即2a a ≠±>，｜｜.故C 错误.选项D ，由22x y a +=得圆心O (0,0),r =设P ()6,8，则PO 的中点(3,4)，10PO =，以PO 长度为直径，(3,4)为圆心的圆的方程为22(3)(4)25x y -+-=，两圆方程作差得，680x y a +-=即为AB 的直线方程，又直线AB 的方程为3420x y +-=，4a ∴=，故D 错误.故选：AB12．已知函数()sin cos sin 21f x x x x =+--，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是以π为周期的函数B ．直线π2x =是曲线()y f x =的对称轴C ．函数()f x2-D ．若函数()f x 在区间()0,πM 上恰有2023个零点，则202310122M <≤【正确答案】ACD【分析】根据周期函数定义判断A 即可；根据函数对称轴定义判断B 即可；由A 知()f x 是以π为周期的函数，所以根据求解()f x 在区间[0,]π上的最大值即可判断选项C ，利用()f x 在区间[0,]π上的零点个数即可判断选项D.【详解】对于A ，因为(π)()f x f x +=，所以()f x 是以π为周期的函数，故A 正确；对于B ，有(π)|sin ||cos |sin 21()f x x x x f x -=++-≠，故B 错误；对于C ，由A 知只需考虑()f x 在区间[0,]π上的最大值，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则222()2sin cos sin cos ()t f x x x x x t t t u t ∈=---+=-+=，易知()u t 在区间上单调递减，所以() f x 的最大值为(1)0u =，最小值为2u =-；当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则2()2()t f x t t v t ∈=+-=，易知()v t 在区间上单调递增，所以()f x 的最大值为v =(1)0v =，综合可知：函数()f x 2，故C 正确；对于D ，因为()f x 是以π为周期的函数，可以先研究函数()f x 在区间(0,π]上的零点个数，易知()π0f =，当π0,2x ⎛⎤∈ ⎝⎦时，令2()()0f x u t t t ==-+=，解得0=t 或1，因为34π4ππ,4x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦1,π4x ⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，则04πt x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎤⎥⎝⎦上无解，1π4t x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎤⎥⎝⎦上仅有一解π2x =，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令2()()20f x v t t t ==+-=，解得2t =-或1，因为ππ3π,444x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭(1,π4x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则24πt x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上无解，14πt x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上也无解，综合可知：函数()f x 在区间(0,π]上有两个零点，分别为π2x =和πx =，又因为()f x 是以π为周期的函数，所以若*N n ∈，则()f x 在区间(0,π]n 上恰有2n 个零点，又已知函数()f x 在区间(0,π)M 上恰有2023个零点，所以202310122M <≤，故D 正确．故选：ACD关键点睛：本题主要考查命题的真假判断，利用三角函数的图像和性质，进行分类讨论是解决本题的关键，属于中档题.三、填空题13．设34z i =+，则复数()1z z i -+-在复平面内对应的点的坐标为__________．【正确答案】()1,3-【分析】由已知条件求出z ，结合复数的加减法运算法则对所求复数进行整理，从而可求出对应点坐标.【详解】解：因为34z i =+，所以5z =，所以()1345113z z i i i i -+-=+-+-=-+，则复平面内对应的点的坐标为()1,3-，故答案为:()1,3-14．已知向量()1,2a =，()4,2b = ，若非零向量c 与a ，b 的夹角均相等，则c的坐标为___（写出一个符合要求的答案即可）【正确答案】（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.【分析】利用两个向量夹角的余弦公式，通过两个余弦相等，化简即可求出结果.【详解】设(),c x y = ，因为()1,2a=，()4,2b = ，所以cos ,a c a c a c⋅==cos ,b c b c b c ⋅== 因为c 与a ，b的夹角均相等，所以cos ,cos ,a c b c =，=化简得x y =，所以(,)c x x = ，因为c 为非零向量，可取1x =，此时(1,1)c = .故（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.15．如图，四边形ABCD 为平行四边形，3AB =，2AD =，π3BAD ∠=，现将ABD △沿直线BD 翻折，得到三棱锥A BCD -'，若A C ¢=A BCD -'的内切球表面积为_______．【正确答案】23π/23π【分析】根据题意利用余弦定理求得DB =由此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，利用等体积法求出内切球半径，运算求解即可.【详解】ABD △中，3AB =，2AD =，π3BAD ∠=，由余弦定理得DB =则折成的三棱锥A BCD -'中，,,A C DB A B AB DC A D AD BC '''=====，即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为,,a b c ，则222222749a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩又因为三棱锥A BCD -'是长方体切掉四个角的余下部分，故三棱维A BCD -'的体积为21133V abc abc =-==，又三棱锥A BCD -'四个侧面是全等的，故三棱锥A BCD -'的表面积为1444sin 2A BD ABD S S S AB AD BAD '===⨯⋅∠=表设内切球半径为R ，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，故36V R S =表，故内切球表面积为22π4π3R =.故2π316．已知数表如图，记第m 行，第n 列的数为(),m n a ，如()4,28a =，记()()()2023,12023,22023,2023M a a a =+++ ，则2log 10102023M ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．012345615161718192021L30……【正确答案】2022【分析】先根据图找规律，(){}2023,n a 为等差数列，公差为1，故需根据规律求出首项即得.【详解】{}n S 表示前n 项出现的数字个数总和，即第1n +行的第1个数字，011122222112nn n n S +-=+++==-- ，如01232221247S =++=++=，所以()2022202203,12221a S ==-，()2022202203,22220a S ==-，()2022202203,32221a S ==+，L ，()20222022023,2022322021a S ==+所以(){}2023,n a 是以首项为202221-，公差为1的等差数列．20222022202320232[(1)2021]2023210102M =⨯+-+⨯=⨯+．202222log 1010log 220222023M ⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭．故2022四、解答题17．已知等差数列{}n a 满足24a =，4527a a -=，公比不为1-的等比数列{}n b 满足34b =，()45128b b b b +=+.(1)求{}n a 与{}n b 通项公式；(2)设13n n n n c b a a +=+，求{}n c 的前n 项和n S .【正确答案】(1)32n a n =-，12n n b -=，()N n *∈(2)1231n n S n =-+，()N n *∈【分析】（1）由等差数列、等比数列的定义计算基本量即可求通项公式；（2）根据等比数列的求和公式及裂项相消求和即可.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，因为24a =，4527a a -=，所以()()242437d d +-+=，解得3d =，从而11a =，所以()32N n a n n *=-∈；设{}n b 的公比为q ，因为()45128b b b b +=+，所以345128b b q b b +==+，解得2q =，因为34b =，所以12412b ==，所以12n n b -=()N n *∈.（2）由上可知：()()1323231n n c n n -=+-+，所以11123231n n c n n -=-+-+，所以()11111111224473231n n S n n -⎛⎫=-+-++-++++ ⎪-+⎝⎭L L ，所以112112311231n n n S n n -⎛⎫=-+=- ⎪+-+⎝⎭，()N n *∈.18．已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，ABC 的面积为223sin 4a b C -．(1)求证：sin 3sin A B =；(2)点D 在边BC 上，若13DC DA BC ==，求cos A ．【正确答案】(1)证明见解析(2)cos 14A =-【分析】（1）利用三角形面积公式可得22230a ab b --=，进而得到3a b =，然后利用正弦定理即可求解；（2）结合（1）的结论，利用余弦定理即可求解.【详解】（1）2213sin sin 24a b S ab C C -==，则2223ab a b =-，即22230a ab b --=，即()()30a b a b +-=，故3a b =，由正弦定理得sin 3sin A B =.（2）由1133DC DA BC a ===，由（1）可知3a b =，则DC DA b AC ===，可得ADC 为等边三角形，则60ADC ∠=︒，从而120ADB ∠=︒，在ADB 中，由余弦定理可得2222132223b a c b a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭-=⋅，又3a b =，所以c =，所以222cos A =-19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，π3PAB DAB ∠=∠=，PA PB ⊥，点E 在线段PB 上，CD DE ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ．(1)求四面体E PAD -的体积；(2)求直线DE 与平面CDP 所成角的正弦值．【正确答案】(1)43210【分析】（1）取AB 的中点O ，连接,BD DO ，过点P 作DO 的平行线PG ，易证⊥DO AB ，根据面面垂直的性质可得DO ⊥平面PAB ，从而可得PG ⊥平面PAB ，以点P 为原点，建立空间直角坐标系，取PA 的中点F ，连接OF ，根据AB DC = 求得C 点得坐标，根据CD DE ⊥，求出PE ，再根据锥体得体积公式即可得解；（2）利用向量法求解即可.【详解】（1）取AB 的中点O ，连接,BD DO ，过点P 作DO 的平行线PG ，在菱形ABCD 中，π,3DAB ABD ∠=∴为等边三角形，又底面ABCD 是边长为4的菱形，23OD ∴=⊥DO AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB DO =⊂平面ABCD ，DO ∴⊥平面PAB ，又//,DO PG PG ∴⊥平面PAB ，又,PA PB ⊂平面,,PAB PA PG PB PG ∴⊥⊥，又PA PB ⊥，如图以点P 为原点，建立空间直角坐标系，π,2,233PAB DAB PA PB ∠=∠=∴== ，取PA 的中点F ，连接OF ，则3,1OF AF ==，(0,0,0),(2,0,0),(0,23,0),3,0),3,23)P A B O D ∴，(2,AB ∴=- ，设(,,)C a b c，则(1,DC a b c =--- ，由AB DC =，得1,a b c =-==，即((2,C CD -=- ，设PE d =，则(0,,0),(1,E d DE d ∴=--，,2(0,CD DE CD DE d d ⊥∴⋅=-+-=∴=3PE ∴=，11423233E PAD D PAE V V --∴==⨯⨯⨯⨯=；（2）设平面CDP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，由(2,PD CD ==- ，得20,0,n CD x n PD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=++=⎪⎩取1)n =- ，又1,3DE ⎛=--- ⎝ ，∴直线DE 与平面CDP所成角的正弦值为：cos ,10DE n DE n DE n ⋅==.20．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y （元）与生产该产品的数量x （千件）有关，经统计得到如下数据：x12345678y 1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了散点图.观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型b y a x=+和指数函数模型dx y ce =分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为 0.296.54x y e -=，ln y 与x 的相关系数10.94r =-.参考数据（其中1i u x =）：（1）用反比例函数模型求y 关于x 的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由.参考公式：对于一组数据()11,u υ，()22,u υ，…，(),n n u υ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121n i i i n ii u nu unu υυβ==-=-∑∑， a u υβ=-，相关系数n i i u nu r υυ-=∑【正确答案】（1） 10011y x=+；（2）当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元；（3）见解析【分析】（1）令1u x =，则b y a x=+可转化为ˆˆy a bu =+，分别求出ˆˆ,b a 的值，即可求解；（2）直接利用相关关系公式求得y 与1x 的相关系数，可得12r r <，得到用反比例函数模型拟合效果更好，取10x =，可得当10千件时，每件产品的分原料成本；（3）分别求出产品单价为100元与产品单价为90元企业的利润，即可得到答案．【详解】（1）令1u x =，则b y a x =+可转化为y a bu =+，因为360458y ==，所以8182218183.480.3445611001.5380.1150.ˆ618i ii i i u y uy b u u ==--⨯⨯====-⨯-∑∑，则45ˆˆ1000.3411ay bu =-=-⨯=，所以11100ˆy u =+，所以y 关于x 的回归方程为10011ˆy x=+；（2）y 与1x 的相关系数为：82610.9961.4u y nuy r -==≈，因为12r r <，所以用反比例函数模型拟合效果更好，当10x =时，100112110y =+=（元），所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元；（3）（i ）若产品单价为100元，记企业利润为X （千元），订单为9千件时，每件产品的成本为100219+元，企业的利润为611（千元），订单为10千件时，每件产品的成本为31元，企业的利润为690（千元），企业利润X （千元）的分布列为X611690P 0.80.2所以6110.86900.2626.8EX =⨯+⨯=（千元）；（ii ）若产品单价为90元，记企业利润为Y （千元），订单为10千件时，每件产品的成本为31元，企业的利润为590（千元），订单为11千件时，每件产品的成本为1002111+元，企业的利润为659（千元），企业利润Y （千元）的分布列为Y590659P 0.30.7所以5900.36490.7638.3EY =⨯+⨯=（千元），故企业要想获得更高利润，产品单价应选择90元.本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，其中解答中认真审题，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21．已知(2,0)P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点，过点(1,0)D 且斜率为(0)k k <的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点（点A 在x 轴的上方），直线,PA PB 分别与直线1x =相交于,M N 两点．当点A 为椭圆C 的上顶点时，1k =-．(1)求椭圆C 的方程；(2)若MN λ=，且[2,3]λ∈，求实数k 的取值范围．【正确答案】(1)2214x y +=(2)1,6⎡--⎢⎣⎦【分析】（1）根据题意求出,a b 即可得解；（2）设直线l 的方程为()()1122(1)(0),,,,y k x k A x y B x y =-<，联立椭圆方程，由根与系数的关系及||M N MN y y =-化简，利用[2,3]λ∈求解.【详解】（1）由题意可知，2a =，当点A 为椭圆C 的上顶点时，0101b k -==--，解得1b =．故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）如图，依题意，设直线l 的方程为()()1122(1)(0),,,,y k x k A x y B x y =-<，易得12x x <．联立方程组()221,1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()()2222148410k x k x k +-+-=，则2122814k x x k +=+，()21224114k x x k-=+，直线AP 的方程为11(2)2y y x x =--，令1x =得112M y y x =--，同理可得222N y y x =--，则()()()()()()211212212121121222||222224M N y x y x k x x y y MN y y x x x x x x x x ----=-=-==-----++21212228241414k k k =---⨯+++由23≤≤，解得211(0)6k k ≤≤<，得16k -≤≤，即实数k 的取值范围为1,⎡-⎢⎣⎦．22．已知函数()()2e 2x f x x ax =---．(1)若()f x 在R 上单调递减，求a 的取值范围；(2)当01a ≤<时，求证()f x 在()0,∞+上只有一个零点0x ，且0e 1x a <+．【正确答案】(1)[)1,+∞(2)证明见解析【分析】（1）根据题意和函数的单调性可得()0f x '≤即()()1e 0x g x x a =--≤在R 上恒成立，利用导数研究函数()g x 的性质求出()max g x 即可求解；（2）由函数零点的存在性定理可得(]10,1x ∃∈，使得()10f x '=,进而得出函数()f x 的单调性，结合()00f =、()20f <即可证明函数()f x 在()0,∞+上只有一个零点0x ；由()00f x =得()0002e 2x x ax -=+，将不等式变形为0e 0ax +2-≤，则证明()002e e 0x x --≤即可，构造函数，结合分析法，利用导数研究函数的性质即可证明.【详解】（1）因为()()2e 2x f x x ax =---，所以()()1e x f x x a '=--．由()f x 在R 上单调递减，得()0f x '≤，即()1e 0x x a --≤在R 上恒成立．令()()1e x g x x a =--，则()e x x g x '=-．当(),0x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()0,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减．故()()max 010g x g a ==-≤，解得1a ≥，即a 的取值范围为[)1,+∞．（2）由（1）可知，()f x '在()0,∞+上单调递减，且()010f a '=->，()10f a '=-≤，故(]10,1x ∃∈，使得()10f x '=．当()10,x x ∈时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．因为()00f =，()2220f a =--<，所以()f x 在()0,2上只有一个零点0x ，故函数()f x 在()0,∞+上只有一个零点0x ．因为002x <<，所以要证0e 1x a <+，即证00e 0ax x +-<，即证0e 0ax +2-≤．因为()()00002e 20x f x x ax =---=，得()0002e 2x x ax -=+，所以()002e e x x -≤，故需证()002e e 0x x --≤即可．令()()2e e x h x x =--，02x <<，则()()1e x h x x '=-．当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减．故()()max 10h x h ==．即()002e e 0x x --≤，原不等式即证.方法点睛：利用导数研究函数零点问题，不论哪种方法，其核心步骤都是构造函数.利用已知的函数或已知条件将问题转化，重新构造函数模型，通过导数研究函数模型的单调性、极值或最值等达到解决问题的目的.。

2023年高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数f(x)=sin xπf(x)f(x)x=．下列命题：①函数的图象关于原点对称；②函数是周期函数；③当时，2x2+11的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（）xD．①②④函数f(x)取最大值；④函数f(x)的图象与函数y= A．①④B．②③C．①③④2．设函数f (x)在R上可导，其导函数为f'(x)，若函数f(x)在x=1处取得极大值，则函数y=-xf'(x)的图象可能是（）A．B．C．D．3．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A．72种B．36种C．24种D．18种4．已知随机变量X服从正态分布N (1,4)，P(X>2)=0.3，P(X<0)=（）A．0.2B．0.3C．0.7D．0.85．已知等边△ABC内接于圆τ：x2+y2=1，且P是圆τ上一点，则PA⋅(PB+PC)的最大值是（）A．2B．1mx C．3D．26．已知函数f(x)=m e A． ,+∞⎪-ln x，当x>0时，f(x)>0恒成立，则m的取值范围为（）⎛1⎝e⎫⎭C．[1,+∞)D．(-∞,e)⎛1⎝e ⎫⎭B． ,e⎪7．如图，ABC中∠A=2∠B=60︒，点D在BC上，∠BAD=30︒，将△ABD沿AD旋转得到三棱锥B'-ADC，分别记B'A，B'D与平面ADC所成角为α，β，则α，β的大小关系是（）A．α<β≤2αB．2α≤β≤3αC．β≤2α，2α<β≤3α两种情况都存在 D．存在某一位置使得β>3a8．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A．12B．13C．16D．1129．在边长为1的等边三角形ABC中，点E是AC中点，点F是BE中点，则AF⋅AB=（）A．54B．34C．583D．810．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（）A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元11．函数f (x )=cosπx2与g (x )=kx -k 在-6,8上最多有n 个交点，交点分别为(x ,y )（i =1，……，n ），则[]∑(xi =1ni+y i)=（）B ．82A ．7C ．9D ．1012．抛物线y =4x 的焦点为F ，点P (x ,y )为该抛物线上的动点，若点A (-1,0)，则PF的最小值为（）PAA ．12B ．22C ．32D ．223二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届湖南省长沙市第一中学高考数学三模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．82．2(1ii +=- ) A ．132i +B ．32i+ C ．32i- D ．132i-+ 3．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y x ==+，则UAB =( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 4．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （ ）A ．32B ．12C ．34D ．745．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过136．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ） A ．若m α且n α，则m n B ．若m β⊥且m n ⊥，则n βC ．若m α⊥且m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n8．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件9．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．1-B ．23C ．32D ．410．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C 处，由C 向西开26百海里到达D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）A ．3B ．32C ．4D ．4211．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④12．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

科目：数学（理科）（试题卷）注意事项：1. 答题前，考生务必将白己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。

2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3. 本试题卷共5页。

如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果白负。

4. 考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。

姓名___________________________________准考证号________________________________绝密★启用前 2019年长沙市高考模拟试卷（一）长沙市教科院组织名优教师联合命制满分：150分 时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上 一、选择题（本大题共 8小题，每小题 合题目要求的） 5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符已知z 是复数, i 是虚数单位，1 i z 在复平面中对应的点为P,若P 对应的复数是模等于2 负实数，那么 zA. 1 iB. 1 iC. 1 iD. i已知不等式— _2 0的解集为 1,2 ,m 是二项式（ax 与）6，… ..... .. 一 ma 的叶式的常数项，那么———7ax b xa 2b A .15 B. 5 C. 5aD. 52以双曲线—己1的离心率为首项,以函数 f x 4x2的零点为公比的等比数列的前n 45的和S nA. 3 2n 13- 3 - B. 3 —C.2 . _ nD. 42 2n3 33 3已知几何体M 的正视图是一个面积为 2的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积1.2. 3. 4. 和体积为 的项 (2)6.与抛物线y8x 相切倾斜角为1350的直线L 与x 轴和y 轴的交点分别是 A 和B,那么过A 、B2两点的最小圆截抛物线y 8x的准线所得的弦长为7.已知直线l与平面那么B点轨迹是A..双曲线8 .使得函数f有（）对A. 1.填空题：（每大题共选做题（从13题、B. 2 2 C .2 D.巨平行，P是直线l上的一点，平面内的动点B满足：PB与直线l成60°。

湖南省长沙市2024年数学（高考）统编版摸底(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知，设，，，则（）A．B．C．D．第(2)题已知平面向量满足，则的最大值是（）A．B．12C．D．第(3)题已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（）A．B．C．D．第(4)题复数的虚部为（）A．B．C．D．第(5)题已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(6)题对方程表示的图形，下列叙述中正确的是（）A．斜率为2的一条直线B ．斜率为的一条直线C．斜率为2的一条直线，且除去点（,6）D．斜率为的一条直线，且除去点（,6）第(7)题已知函数，则下列结论正确的是（）A ．的最小正周期为B．在上单调递增C．为偶函数D．的最小值为第(8)题已知集合，则（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题近年来考研成为许多大学生的热门选择，某研究机构为了解大学生考研情况，对2018年至2022年研究生报考人数（单位：万人）作出统计如下表：年份20182019202020212022年份代码12345研究生报考人数/万人238290341377457根据上述统计数据求得研究生报考人数y与年份代码x满足的线性回归方程为，则（）A．B．回归直线经过点C．2018年至2022年每年研究生报考人数约增加183.1万人D．预测2024年研究生报考人数为550.6万人第(2)题如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点M在上，且，P为线段上的点，则( )A．平面B．当P为的中点时，直线AP与平面ABC所成角的正切值为C．存在点P，使得D．存在点P，使得三棱锥的体积为第(3)题在棱长为1的正方体中，以A，为焦点的椭圆，绕着轴旋转180°得到的旋转体称为椭球，椭圆的长轴就是椭球的长轴，若椭球的长轴长为2，则下列结论中正确的是（）A．椭球的表面与正方体的六个面都有交线B．在正方体的所有棱中，只有六条棱与椭球的表面相交C．若椭球的表面与正方体的某条棱相交，则交点必是该棱的一个三等分点D．椭球的表面与正方体的一个面的交线是椭圆的一段三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

长沙市高考数学三模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复数(i为虚数单位)的虚部是（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·海南模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分）下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A . y=B .C .D . y=lg|x+1|4. （2分）设是等比数列，若,则（）A . 63B . 64C . 127D . 1285. （2分） (2016高一下·抚顺期末) 已知角α，β均为锐角，且cosα= ，sinβ= ，则α﹣β的值为（）A .B .C . -D .6. （2分）执行如图的程序框图，如果输入p=8,则输出的S=（）A .B .C .7. （2分）(2017·扶沟模拟) 如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌马获胜的概率为（）A .B .C .9. （2分） (2016高三上·烟台期中) 已知向量与不平行，且| |=| |≠0，则下列结论中正确的是（）A . 向量与垂直B . 向量与垂直C . 向量与垂直D . 向量与平行10. （2分）(2017·安庆模拟) 已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，则C的渐近线方程为（）A .B .C .D . y=±x11. （2分）三棱锥S—ABC中，SA⊥底面ABC ， SA=4，AB=3，D为AB的中点∠ABC=90°，则点D到面SBC 的距离等于（）A .B .C .D .12. （2分）方程mx2+y2=1所表示的所有可能的曲线是（）A . 椭圆、双曲线、圆B . 椭圆、双曲线、抛物线C . 两条直线、椭圆、圆、双曲线D . 两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·咸阳期末) 一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取________人．14. （1分） (2016高二下·广州期中) 正三棱柱体积为16，当其表面积最小时，底面边长a=________．15. （1分） (2016高三上·沈阳期中) 等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于________．16. （1分） (2016高二下·浦东期末) 一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分）(2018·吉林模拟) 在中，角所对边分别是，满足（1）求角；（2）若，求面积的最大值.18. （5分） (2017高二下·和平期末) 环境监测中心监测我市空气质量，每天都要记录空气质量指数（指数采取10分制，保留一位小数）．现随机抽取20天的指数（见下表），将指数不低于8.5视为当天空气质量优良．天数12345678910空气质量指数7.18.37.39.58.67.78.78.88.79.1天数11121314151617181920空气质量指数7.48.59.78.49.67.69.48.98.39.3（Ⅰ）求从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率；（Ⅱ）以这20天的数据估计我市总体空气质量（天数很多）．若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用X表示抽到空气质量为优良的天数，求X的分布列及数学期望．19. （10分）如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1的AA1=1，底面ABCD的周长为4，E为BA1的中点．（1）判断两直线EC1与AD的位置关系，并给予证明；（2）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求直线BA1与平面A1CD所成角θ．20. （10分）(2017·襄阳模拟) 如图，已知椭圆C：的右顶点为A，离心率为e，且椭圆C过点，以AE为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l（直线l不过原点且斜率存在）与椭圆C交于P，Q两个不同的点，且△OPQ的面积S=1，若N为线段PQ的中点，问：在x轴上是否存在两个定点E1，E2，使得直线NE1与NE2的斜率之积为定值？若存在，求出E1，E2的坐标；若不存在，说明理由．21. （10分） (2018高二下·赣榆期末) 已知函数，其中.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数在定义域上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.22. （10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以O为极点，Ox正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求曲线C1的直角坐标方程；（2）设C1与C2相交于A，B两点，求A，B两点的极坐标．23. （10分）(2017·福州模拟) 设不等式|x﹣4|﹣|2x﹣7|＞（x﹣7）的解集为M．（1）求M；（2）证明：当a、b∈M时，| ﹣2|＜|2 ﹣ |．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、答案：略2-1、3-1、4-1、5-1、答案：略6-1、答案：略7-1、答案：略8-1、答案：略9-1、答案：略10-1、11-1、12-1、答案：略二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、答案：略22-2、答案：略23-1、答案：略23-2、答案：略。

湖南省长沙市2024高三冲刺（高考数学）统编版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为（）A．3B．4C．3.5D．4.5第(2)题设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第(3)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(4)题已知函数在区间上恰有四个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题设全集，集合，则（）A．B．C．D．第(6)题公元年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为的水平截面的面积可以近似用函数，拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（）A．B．C．D．第(7)题若锐角满足，则（）A．B．C．D．第(8)题的零点个数为（ ）A．1B．2C．3D．4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现数列数列中的每一项称为斐波那契数，记作．已知．则（）A．B．C．若斐波那契数除以4所得的余数按照原顺序构成数列，则D．若．则第(2)题已知函数，则（）A．有两个极值点B．有两个零点C．点是曲线的对称中心D．过点可作曲线的两条切线第(3)题已知实数满足，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.第(2)题已知向量，，则__________.第(3)题已知圆是圆上任意点，若，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是_______﹔若A是圆所在平面内的一定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹是:①一个点②圆③椭圆④双曲线⑤抛物线，其中可能的结果有__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆E的中心为坐标原点，左焦点为，长轴长为8．(1)求E的标准方程；(2)记E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E交于M，N两点（M，N均不与A，B重合），直线MA与NB交于点P，试探究点P是否在定直线上，若是，则求出该直线方程；若不是，请说明理由.第(2)题已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)判断函数的零点个数.第(3)题已知为椭圆的右焦点，为右顶点，为上顶点，离心率为，直线与相切于点，与轴相交于点（异于点），（为坐标原点），且的面积为.(1)求；(2)求的方程.第(4)题已知椭圆的离心率是，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且的周长是．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于，两点，是坐标原点，且四边形是平行四边形，求四边形的面积．第(5)题对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．。

湖南省长沙市2024高三冲刺（高考数学）部编版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设，则（）A．B．C．D．第(2)题已知复数满足，则的最大值为（）A．B．2C．D．3第(3)题设则（）A．B．C．D．第(4)题某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（）A．B．C．D．第(5)题已知函数的部分图象如图所示，其中一个最高点的坐标为，与轴的一个交点的坐标为．设M，N为直线与的图象的两个相邻交点，且，则的值为（）A．B．C．D．第(6)题已知点是曲线上任意一点，则的最大值为（）A．B．C．D．第(7)题定义，对于任意实数，则的值是（）A．B．C．D．第(8)题在矩形中，，将沿对角线翻折至的位置，使得平面平面，则在三棱锥的外接球中，以为直径的截面到球心的距离为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（）A．B．C．若，则D．若，则第(2)题高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，．则下列说法正确的是（）A．函数在区间上单调递增B ．若函数，则的值域为C．若函数，则的值域为D．，第(3)题如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述正确的是（）A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2πB．若圆与曲线W有8个交点，则C．与的公切线方程为D．曲线W上的点到直线的距离的最小值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是______.第(2)题设抛物线的焦点为，过的两条直线，分别交抛物线于点，，，，且，的斜率，满足，则的最小值为__________．第(3)题椭圆的焦距长为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题设为下述正整数的个数：的各位数字之和为，且每位数字只能取，或（1）求，，，的值；（2）对，试探究与的大小关系，并加以证明.第(2)题如图，在三棱锥中，点为棱的中点，点为的中点，，，都是正三角形．(1)求证：平面；(2)若三棱锥的体积为，求三棱锥的表面积．第(3)题某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）.(1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；(2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值.第(4)题如图，在四棱锥中，平面平面，且．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值．第(5)题在直角坐标系xOy中，图形的方程为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，图形的极坐标方程为．(1)求的直角坐标方程；(2)已知点P的直角坐标为，图形与交于A，B两点，直线AB上异于点P的点Q满足，求点Q的直角坐标．。