高三数学模拟试题一理新人教A版

2021年高三数学第一次模拟考试试题 理 新人教A 版本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1、设全集，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知,是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、设随机变量服从正态分布N (0,1)，若P (>1)= p ，则P (-1<<0)=（ ）A ．B ．C ．D ．4、设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知两个不同的平面、和两条不重合的直线、，有下列四个命题：①若则；②若则；③若则；④若则.其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36、要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度7、已知双曲线的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为 （ ）A ．360B ．520C ．600D ．7209、设函数若，，则关于x 的方程的解的个数为 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．110、已知向量与的夹角为，=2，=1，，，在时取得最小值.当时，夹角的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11、若对任意的恒成立，则实数k 的取值范围为___________．12、如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是_ _． 13. 已知圆C 过点，且圆心在x 轴的负半轴上，直线l ：被该圆所截得的弦长为，则圆C 的标准方程为 .14、定义：，在区域内任取一点，则x 、y 满足{}22min 2,42x x y x y x x y ++++=++的概率为___________．15、已知，若恒成立，则实数的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若b = 2，求△ABC 面积的最大值．17、（本小题满分12分）如图，在七面体ABCDMN 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD ，平面ABCD ，且MD =2，NB =1，MB 与ND 交于P 点．（Ⅰ）在棱AB 上找一点Q ，使QP // 平面AMD ，并给出证明；（Ⅱ）求平面BNC 与平面MNC 所成锐二面角的余弦值．18、（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该同学被淘汰的概率；（Ⅱ）该同学在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.结束开始i =2, S =0 i =i +2S =S+1/i 输出S 否 是19、（本小题满分12分）设数列的各项都是正数，且对任意，都有，其中为数列的前n项和．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ）设(为非零整数，)，试确定的值，使得对任意，都有成立.20、（本小题满分13分）已知椭圆过点，且长轴长等于4.（I）求椭圆C的方程；（II）F1，F2是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F1，F2为直径的圆，直线与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若的值.21、（本小题满分14分）已知函数在点的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设，求证：在上恒成立；（Ⅲ）已知，求证：.xx级高三一模数学（理）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共50分）1、B2、A3、D4、B5、D6、C7、A8、C9、B 10、C二、填空题（每小题5分，共25分）11、 12、 13、 14、 15、三、解答题：本大题共六小题，共75分。

黄梅县 高三高考仿真模拟考试数学理试题本试卷共4页。

全卷满分１50分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置,认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致,并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置，用统一提供的2B 铅笔将试卷类型A 或Ｂ后方框涂黑。

２.选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

４．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的２B 铅笔涂黑。

考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。

答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁,考试结束，监考人员将答题卡和试题卷一并收回。

一、选择题（本大题共１0小题,每小题５分，满分５0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1.在复平面内,复数122ii-+对应的点的坐标为（ ） A.（0，１) ﻩﻩ B ．(0,-1)Ｃ.（45，－35）ﻩﻩ D.(45,35）２．设随机变量δ服从正态分布Ｎ（3，7）,若p （δ＞a ＋2）＝p （δ<ａ－2),则a ＝( )Ａ.１ﻩ B ．2 C.ﻩﻩﻩ D.43．已知某几何体的三视图(右上图）,则该几何体的体积为( )A ．4+52πﻩ ﻩ ﻩﻩB ．4+32π Ｃ.4+2πﻩﻩ ﻩﻩﻩD.4＋π4．如右图,已知K 为如图所示的程序框图输出结果,二项式（x ｋ+1x)n的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ) Ａ.4ﻩ B.5ﻩ ﻩC.６ ﻩD ．7５.先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、２、3、4、5、6个点)两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x 、y ，设事件A 为“x +y 为偶数”,事件B 为“x 、y 中有偶数，且x ≠y ”，则概率Ｐ(B ｜Ａ)＝（ ）A ．12 ﻩB.13 ﻩ C.14Ｄ．25 ６．正项等比数列{a ｎ｝中，存在两项a m 、ａn 使得m n a a =4a 1，且a 6＝a 5+2a ４,则14m n+的最小值是( ）A.32ﻩﻩﻩB．2 C.73ﻩＤ．2567.函数ｆ(ｘ)＝sinωx+a cｏsωｘ(ω＞0)的图象关于Ｍ(3π，0)对称，且在ｘ=6π处函数有最小值，则a+ω的一个可能取值是（）Ａ．0 ﻩB．3 ﻩＣ．6 ﻩﻩD.98.已知半径为5的球Ｏ被互相垂直的两个平面所截，得到两圆的公共弦长为４，若其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为( ）A．10ﻩﻩ B.11ﻩﻩC．23ﻩD.139．设ｘ、y满足约束条件223231x yx yx y--⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≥，若x2+y2≥a恒成立,则实数a的最大值为( ）A．12ﻩB．34ﻩﻩﻩC．45D.5610．f(ｘ）是定义在（－１，1）上的函数,对于∀x，ｙ∈（-1,1)有ｆ(x)－f(y)=f1x yxy-⎛⎫⎪-⎝⎭成立,且当x∈(－1，0）时,f(x）>0,给出下列命题：①f（0)＝０②函数f（x）是偶函数③函数f(ｘ）只有一个零点④f(12）+f(13）<ｆ(14)，其中正确命题的个数是（）A．１ﻩﻩＢ.2ﻩC．3 D．4二、填空题(本大题共５小题,每小题5分,满分2５分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清、模棱两可均不得分）11．已知函数f(ｘ)＝21111xx xe x⎧--⎨>⎩≤≤，则21()f x dx-⎰= .1２．已知｜a｜=|b|=2，a与b的夹角为6０°，则a+b在a上的投影为．13.某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题：(１)频率分布直方图中[８0,90)间的矩形的高为 .（2）若要从分数在［80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中,至少有一份分数在[90,100］之间的概率为.1４.如右上图是斯特林数三角阵表，表中第r行每一个数等于它左肩上的数加上右肩上的数的r－1倍，则此表中：(Ⅰ)第6行的第二个数是；(Ⅱ)第n＋１行的第二个数是．（用n表示）15.（选修４－1:几何证明选讲）如右下图,Ａ,B是圆O上的两点,且OA⊥OB，OＡ=2，Ｃ为OA的中点，连结B Ｃ并延长交圆Ｏ于点D ,则CD = .16.(选修４-4：坐标系与参数方程）已知直线l 的参数方程为{212x ty t==+（t 为参数),以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρc ｏs 2θ=sin θ.设直线l 与曲线Ｃ交于A ,B 两点,则OA OB ⋅＝ .三、解答题（本大题共6小题，共７5分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（本小题满分12分）在△ABC 中,已知三个内角A 、B 、C 的对边分别是ａ、b 、c ，向量m =(a ,b )，n =（cos(2π－Ｂ)，s ｉn(2π+A )）,若a ≠b 且m ∥n ,(Ⅰ)试求内角C 的大小;（Ⅱ）若a =６，b =８，△ＡＢC 的外接圆圆心为O ，点P 位于劣弧AC 上，∠PAB =6０°,求四边形ABCP 的面积．1８．(本小题满分12分)公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》于 1月1日起正式实施,新规实施后,获取驾照要经过三个科目的考试，先考科目一(理论一）,科目一过关后才能再考科目二(桩考和路考),科目二过关后还要考科目三（理论二).只有三个科目都过关后才能拿到驾驶证.某驾校现有１０0名新学员,第一批参加考试的20人各科目通过的人数情况如下表:参考人数 通过科目一人数通过科目二人数通过科目三人数20１242(Ⅰ)估计该驾校这１00名新学员有多少人一次性(不补考)获取驾驶证；(Ⅱ）第一批参加考试的2０人中某一学员已经通过科目一的考试，求他能通过科目二却不能通过科目三的概率；（Ⅲ)该驾校为调动教官的工作积极性,规定若所教学员每通过一个科目的考试,则学校奖励教官100元．现从这2０人中随机抽取1人,记X 为学校因为该学员而奖励教官的金额数，求Ｘ的数学期望.20．(本小题满分１2分）已知函数f (x )＝kx +ｍ，当x ∈［ａ1，b 1]时,f (x )的值域为［a 2,b 2]，当ｘ∈[a 2,ｂ2］时,f （x )的值域为［a 3,b ３]，依次类推，一般地，当ｘ∈[a ｎ－1,b ｎ－1]时,ｆ(x )的值域为[ａn ，b n ],其中k 、m 为常数,且a 1＝0,ｂ１=1. (Ⅰ）若k =1,求数列{ａn }，{b n ｝的通项公式；（Ⅱ）若ｋ＞0且ｋ≠1，问是否存在常数m ，使数列｛b n ｝是公比不为1的等比数列?请说明理由;（Ⅲ)或ｋ＜０,设数列{ａn },｛b n }的前ｎ项和分别为Ｓn ，Ｔn ，求(Ｔ1+T ２+…＋Ｔ2012)－（Ｓ１+S 2+…＋S 201２)的值.2１．(本小题共1３分)已知椭圆Ｃ：22221y x a b+=（a ＞b ＞0)的离心率e ，原点到过点A （ａ，0)，B （0,-b ）（Ⅰ）求椭圆C 的方程;(Ⅱ）若椭圆Ｃ上一动点P （x 0,ｙ0)关于直线y =2ｘ的对称点为P 1(x 1,ｙ１),求x 12+ｙ1２的取值范围;（Ⅲ)如果直线y =kx +1（k ≠０)交椭圆C 于不同的两点E ,Ｆ，且E ，Ｆ都在以B 为圆心的圆上,求k 的值.22.(本小题满分１４分)设函数f （x )=x ln x .（Ⅰ)求函数f (x )的最小值； (Ⅱ）设x 1，x 2>0,p 1,p 2＞0，且ｐ１+p ２=1，证明:ｐ１ｆ(ｘ1)+p 2ｆ(ｘ2）≥f (p 1x １＋p 1ｘ1）; (Ⅲ）设x 1,x 2,…,ｘn ＞０,p １,ｐ２，…，p n ＞0，且p 1+p 2+…+p n =１,如果p 1x 1+p 2x 2+…+ｐn x n ≥e ,证明:p 1f （x 1)＋ｐ2f (ｘ２)+…+p n f (x ｎ)≥e .数学（理科)模拟试题参考答案一、选择题二、填空题1１．22e e π+-ﻩ 12. ３ ﻩ 13．① ０.016 ②351４.① 27４ ②11(1...)!2n n +++ ﻩ１５.35516． 0 三、解答题17.（本小题满分12分)18.(本小题满分1２分)解:(Ⅰ）由表中数据可知一次性（不补考）获取驾驶证的频率为110,估计这100名新学员中有１00×110=10人;3ﻩ分 （Ⅱ)设“通过科目一、二、三”分别为事件A ,Ｂ，C ,则 P =P (B C ｜A )=21126=ﻩ６分(Y 0123P25 25 110 1108分EY ＝0×25+１×25+２×110＋3×110＝910ﻩ１０分而X =100Y ，所以E Ｘ=10０EY ＝１０0×910=90 .......................... 12分20．解：(Ⅰ）ｋ=1时函数ƒ（x )=kx +m 为增函数，所以a n =a n －１+m ｂn =b n －1＋m所以a n =a 1+（n －1）m =（n －１)m ｂn =b 1+（n -1）m =(n -1)ｍ+１4ﻩ分(Ⅱ)b ｎ=kb ｎ-1+m ,1n n bb -=k +1n m b -（为常数）则必有ｍ＝０，故当m ＝0时｛ｂn }是公比为k的等比数列 ......................................................... 8分 （Ⅲ)b n =ka ｎ-1＋m ﻩ① a n =k ｂn -1+m ﻩ②①－②得ｂn －a ｎ=－k (ｂn －１-a n －１)若k =－１，则b n －a n =b ｎ-1-ａn -１=…=b 1-ａ1=1 可得T ｎ－S ｎ＝ｎ（T 1＋T 2+…+T 20１2)－(S 1+S 2+…+S 2012)=1＋２+…+2012=202507８若ｋ≠１,则b n -a n =（－k ）n -１T ｎ－S n ＝1(k)()1111n n k k k k---=-+++ (T 1＋Ｔ2+…+T 20１2）－（S 1＋S 2+…+S 201２)=22012(k)(k)2012...1111k k k k k ⎛⎫----+++ ⎪++++⎝⎭2013220121(1)k k k k -=-++ .................................................. 12分 ２1．(共13分)解:（Ⅰ)因为3c a=,ａ２－ｂ2＝c 2 所以a =2ｂ因为原点到直线A Ｂ:y x a b -＝1的距离d =22455ab a b =+, 解得a =4，b ＝2.故所求椭圆Ｃ的方程为221164y x +=．(Ⅲ）由题意2211164y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得 （1+4k 2）x 2+8k ｘ－1２＝0. 可知Δ＞0.设E （ｘ2,y 2）,Ƒ(ｘ3,y 3)，E Ƒ的中点是M (x M ,y M ）,则x M =2324214x x k k +-=+,ｙ=kx M ＋1=2114k +．所以k BM ＝21M M y x k+=-.所以x Ｍ+ky M +２k =0.即2241414k k k k -+++＋2ｋ＝0. 又因为k ≠0,所以k ２=18．所以ｋ=2. ......................................... 13分（Ⅲ）先证明p 1ƒ(x １)＋p 2ƒ（x 2)＋…＋ｐn ƒ（x n ）≥ƒ(p 1ｘ１+p 2x 2+…+p n x n ）.当n =2时,由（Ⅱ)知不等式成立. 假设当ｎ＝k 时,不等式成立，即p 1ƒ(x １)+p 2ƒ(x 2)＋…＋p ｋƒ(x k ）≥ƒ(p 1x 1+ｐ２x 2＋…+ｐｋx k )． 当ｎ=k +1时,ƒ(p 1x １＋p 2x ２＋…+p k x k +ｐk +1x k ＋１)=ƒ()11221111...1p 1k k k k k k p x p x p x p x p +++++++⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭≤()()11221111...1p 1k kk k k k p x p x p x f p f x p +++++++⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭≤()()()()()1121121111111p ...111k k k k k k k k p p p f x f x f x p f x p p p ++++++++⎡⎤-++++⎢⎥---⎣⎦=p 1ƒ(ｘ1)+ｐ2ƒ(x 2)＋…＋p k +1ƒ(ｘk +1)+ｐk +1ƒ(ｘk +1). 所以，当n =k +１时，不等式成立，∴p 1ƒ(x 1)＋p 2ƒ（x 2）+…+p n ƒ(ｘn )≥ƒ(ｐ1x 1+ｐ２x 2＋…＋p ｎx n )．由(Ⅰ）ƒ(x )在（1e,＋∞)上单调递增,因此ƒ(x )在(ｅ，+∞）上也单调递增．∵p 1ｘ１＋p 2x 2+…+p ｎx n ≥e ,∴ƒ(p 1x 1＋p 2x ２+…＋p n x n )≥ƒ(e )＝e .∴p 1ƒ(x 1）+ｐ２ƒ（x 2)+…+p n ƒ（x ｎ)≥e . ............................... 1４分。

注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．i 为虚数单位,复数i i++13=A.i +2B. i -2C.2-iD. 2--i2．已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3004x y x y x ，则y x z +=2的最小值是A ．-4B ．－2C ．0D ．23．函数()2-+=x e x f x的零点所在区间是A ．()1,0B ．()2,1C ．()3,2D ．()4,34．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =A ．119B ．719C ．4949D ．6005．在正项等比数列{}n a 中，442=a a ,143=S ,数列{}n b 满足n n a b 2log =,则数列{}n b 的前6项和是A ．0B ．2C ．3 D. 56．要得到一个奇函数，只需将函数()x x x f 2cos 32sin -=的图象（ ）A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π3个单位第4题0768.0088.0)8.01(8.0)8.01(8.0)8.01(8.0)8.01(8.0)(22=⋅⋅-+⋅-⋅-+⋅-⋅=B P .……8分 ②ξ可能取值为1，2，3，4，5. …… 9分8.0)1(==ξP ; 16.08.0)8.01()2(=⋅-==ζP032.08.0)8.01()3(2=⋅-==ζP0064.08.0)8.01()4(3=⋅-==ζP0016.0)8.01()5(4=-==ζP ……11分ζ1 2 3 4 5 P0.80.160.0320.00640.00162496.1=∴ζE .17.（本小题满分14分）所以二面角1C AD C--的余弦值为23.则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+> 12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,19.（Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. ………………2分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ………………5分② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a =-.当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和1(1,)a -+∞. …6分当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：x2(1,)x - 2x21(,)x x1x 1(,)x +∞()f x ' -0 +0 +()f x↘ 2()f x↗[] 1()f x↘所以，()f x 的单调增区间是1(1,0)a -；单调减区间是1(1,1)a --和(0,)+∞. …8分[高当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a --和(0,)+∞.………………10分由1(1)(0)0 ffa->=，知不合题意. ………………12分当1≥a时，)(xf在(0,)+∞单调递减，可得)(xf在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f，符合题意.因为122<-=+ba,所以212223-=+=baa,23==bb.因为3312a b+=-<,所以334124a ba+==-,43b b==.下面用数学归纳法证明：①当2k=时，已证成立.②假设当k l=（l*∈N，且2l≥）猜想成立，即11l la b--+<，1l lb b-==，102llaa-=<.- 11 - 故211,1 2.2n n n a n --=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩. ……………………………………………… 6分 （Ⅱ）解：当s k ≤≤2时，假设110k k a b --+<，根据已知条件则有1-=k k b b ，所以111111()22k k k k k k k a b b a a b a -----+-=-=-; …………………… 8分当s k ≤≤2时，总有111()2k k k k b a b a ---=-成立.又110b a -≠，所以数列}{k k a b -(s k ,,2,1 =)是首项为11b a -，公比为12的等比数列,11121)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-k k k a b a b ，1,2,,k s =,n n c c m +=21.因为2 11n n nc c cm+=+，所以211n n nc c cm+-=>.由2≥m，则nnnccmc+=+211<nnncccm++11，即1111n nc c m+->-.……12分因此1122111)11()11()11(1ccccccccmmmmm+-++-+-=---mmmm121+=+-->.- 12 -。

河南省洛阳市高三“一练”数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（•洛阳模拟）设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z 的共轭复数为=（）A．B．2C．D．1考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：给出z=﹣1﹣i ，则，代入整理后直接求模．解答：解：由z=﹣1﹣i ，则，所以=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，考查了学生的运算能力，此题是基础题．2．（5分）（•洛阳模拟）已知集合，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1B．2C．4D．8考点：集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：通过解分式不等式求出好A，无理不等式求出集合B，通过满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数即可．解答：解：∵={1，2}={0，1，2，3，4}，因为A⊆C⊆B，所以C中元素个数至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；所以集合C的个数为{0，3，4}子集的个数：23=8．故选D．点评：本题考查分式不等式与无理不等式的求法，集合的子集的求解，考查计算能力，转化思想．3．（5分）（•洛阳模拟）如果函数y=3sin（2x﹣φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数图象对称轴方程的公式，建立关于φ的等式，化简可得﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1得φ=，即为正数φ的最小值．解答：解：∵函数y=3sin（2x ﹣φ）的图象关于直线对称，∴当x=时，函数达到最大或最小值由此可得：2﹣φ=+kπ（k∈Z）∴﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1，得φ=因此，φ的最小值为故选：C点评：本题给出三角函数图象的一条对称轴方程，求参数φ的最小值，着重考查了三角函数和图象与性质和正弦函数图象的对称性等知识，属于基础题．4．（5分）（•揭阳一模）如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率．解答：解：是几何概型所有的基本事件Ω=设能输出数对（x，y）为事件A，则A=S（Ω）=1S（A）=∫01x2dx==故选A点评：本题考查程序框图与概率结合，由程序框图得到事件满足的条件、考查利用定积分求曲边图象的面积；利用几何概型概率公式求出事件的概率．5．（5分）（•洛阳模拟）若函数为常数）在定义域内为奇函数，则k的值为（）A．1B．﹣1 C．±1D．0考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数定义知f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，进行化简整理即可求得k值．解答：解：因为f（x）为定义域内的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，所以（2﹣x﹣k•2x）（2x+k•2﹣x）=﹣（2x﹣k•2﹣x）（2﹣x+k•2x），所以2﹣x•2x+k•2﹣2x﹣k•22x﹣k2•2x•2﹣x=﹣2x•2﹣x﹣k•22x+•k•2﹣2x+k2•2﹣x•2x，即1﹣k2=﹣1+k2，解得k=±1，故选C．点评：本题考查函数的奇偶性，考查指数幂的运算法则，考查学生的运算能力，属中档题．6．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，D为BC 边上的点，的最大值为（）A．1B．C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：在△ABC中，D为BC边的点，由D，B，C三点共线可知λ+μ=1，（λ、μ＞0），利用基本不等式即可求得λμ的最大值．解答：解：∵在△ABC中，D为BC边的点，∴D，B，C三点共线且D在B，C之间，∴λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）∴λμ≤==（当且仅当λ=μ时取“=”）．∴λμ的最大值为．故选D．点评：本题考查基本不等式，求得λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）是关键，属于中档题．7．（5分）（•洛阳模拟）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．64+32πB．64+64πC．256+64πD．256+128π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．据此即可计算出．解答：解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．∴该几何体的体积V=8×8×4+π×42×4=256+64π．故选C．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．8．（5分）（•洛阳模拟）已知F是抛物线y2=4x的焦点，过点F1的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为（）A．B．C．D．10考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=3|BF|，∴x1+1=3（x2+1），∴x1=3x2+2∵|y1|=3|y2|，∴x1=9x2，∴x1=3，x2=∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为[（x1+1）+（x2+1）]=故选B．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．9．（5分）（•洛阳模拟）函数的最大值为（）A．2B．3C．D．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可确定出f（x）的最大值．解答：解：f（x）=1﹣cos （+2x ）﹣cos2x=1+（sin2x ﹣cos2x）=1+2sin（2x ﹣），∵≤x≤，∴≤2x﹣≤，∵≤sin（2x ﹣）≤1，即2≤1+2sin（2x ﹣）≤3，则f（x）的最大值为3．故选B点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（•洛阳模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．64π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．解答：解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故选C．．点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题时要关键．11．（5分）（•洛阳模拟）已知的两个零点，则（）A．B．1＜x1x2＜e C．1＜x1x2＜10 D．e＜x1x2＜10考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标，在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象，利用对数函数的性质，可判断出x1x2的范围．解答：解：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象如下图所示：由图可得即﹣1＜ln（x1•x2）＜1即又∵﹣lnx1＞lnx2∴ln（x1•x2）＜0∴x1•x2＜1综上故选A点评：本题考查的知识点是函数的零点，对数函数的图象和性质，其中画出函数的图象，并利用数形结合的办法进行解答是关键．12．（5分）（•洛阳模拟）设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．4B．3C．2D．1考点：两点间的距离公式；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程，算出c==5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|﹣|MT|=4﹣a=1，得到本题答案．解答：解：∵MO是△PF1F2的中位线，∴|MO|=|PF2|，|MT|=|PF1|﹣|F1T|，根据双曲线的方程得：a=3，b=4，c==5，∴|OF1|=5，∵PF1是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF1中，|FT|==4，∴|MO|﹣|MT|=|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=|F1T|﹣（|PF1|﹣|PF2|）=4﹣a=1故选：D点评：本题给出双曲线与圆的方程，求|MO|﹣|MT|的值，着重考查了双曲线的简单性质、三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（•洛阳模拟）设变量x，y 满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y 的最小值为7 ．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+3y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，1），B（4，5），C（1，2），当直线过A（2，1）时，目标函数z=2x+3y的最小，最小值为7．故答案为：7．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．14．（5分）（•洛阳模拟）曲线处的切线方程为x+y﹣2=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由y=，知，由此能求出曲线处的切线方程．解答：解：∵y=，∴，∴曲线处的切线方程的斜率k=y′|x=0=﹣1，∴曲线处的切线方程为y﹣2=﹣x，即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查曲线方程在某点处的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的灵活运用．15．（5分）（•洛阳模拟）的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为160 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：由的展开式中各项系数之和为729，知3n=729，解得n=6．再由（2x+）6的通项公式为T r+1==，能求出该展开式中x2的系数．解答：解：∵的展开式中各项系数之和为729，令x=1，得3n=729，解得n=6．∵（2x+）6的通项公式为T r+1==，由6﹣=2，得r=3．∴该展开式中x2的系数为=8×=160．故答案为：160．点评：本题考查二项式系数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．16．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，则角A 的大小为或．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（A﹣C）=0，得A﹣C=±90°，由此可得A的大小．解答：解：△ABC中，∵2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinC•cosA，∴sin2B=sin（A+C）．得2B=A+C （如果2B=180°﹣（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）．A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，故 sin2B=3sinAsinC，∴=3sinAsinC=3×[cos（A﹣C）﹣cos（A+C）]=（cos（A﹣C）+），解得 cos（A﹣C）=0，故A﹣C=±90°，结合A+C=120°，易得 A=，或A=．故答案为A=，或A=点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式、积化和差公式的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（•洛阳模拟）设数列{a n}满足：a1+2a2+3a3+…+na n=2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n2a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题．分析：（1）根据题意，可得a1+2a 2+3a3++（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1，两者相减，可得数列{a n}的通项公式．（2）根据题意，求出b n的通项公式，继而求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）∵a1+2a2+3a3+…+na n=2n①，∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1②①﹣②得na n=2n﹣1，a n=（n≥2），在①中令n=1得a1=2，∴a n=（2）∵b n=．则当n=1时，S1=2∴当n≥2时，S n=2+2×2+3×22+…+n×2n﹣1则2S n=4+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n相减得S n=n•2n﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n﹣1）2n+2（n≥2）又S1=2，符合S n的形式，∴S n=（n﹣1）•2n+2（n∈N*）点评：此题主要考查数列通项公式的求解和相关计算．18．（12分）（•洛阳模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点．（1）证明：CD⊥平面POC；（2）求二面角C﹣PD﹣O的余弦值的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用勾股定理，可证OC⊥CD，从而利用线面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；（2）建立坐标系，确定平面OPD、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角O﹣PD ﹣C的余弦值；解答：证明：（1）∵PA=PB=，O为AB中点，∴PO⊥AB∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO⊂侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD∵CD⊂底面ABCD，∴PO⊥CD在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=2在Rt△OAD中，OD2=OA2+AD2=10在直角梯形ABCD中，CD2=AB2+（AD﹣BC）2=8∴OC2+CD2=OD2，∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，∴OC⊥CD∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线∴CD⊥平面POC…（6分）解：（2）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，2），D（﹣1，3，0），C（1，1，0）∴=（0，0，2），=（﹣1，3，0），=（﹣1，﹣1，2），=（﹣2，2，0）假设平面OPD 的一个法向量为=（x，y，z），平面PCD 的法向量为=（a，b，c），则由可得，令x=3，得y=1，z=0，则=（3，1，0），由可得，令a=2，得b=2，c=，即=（2，2，）∴cos＜，＞===故二面角O﹣PD﹣C 的余弦值为．…（12分）点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量方法解决空间角问题，正确运用线面垂直的判定是关键．19．（12分）（•洛阳模拟）随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮，据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建设成公共自行车租赁系统，某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟以上至120分钟（含），收取1元租车服务费，120分钟以上至180分钟（含），收取2元租车服务费，超过180分钟以上的时间，按每小时3元计费（不足一小时的按一小时计），租车费用实行分段合计．现有甲，乙两人相互到租车点租车上班（各租一车一次），设甲，乙不超过1小时还车的概率分别为小时以上且不超过2小时还车的概率分别为小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，两人租车时间均不会超过4小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率．（2）设甲一周内有四天（每天租车一次）均租车上班，X表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元，然后利用互斥事件的概率公式分别求出相应的概率，最后求和可求出所求；（2）X的取值可能为0，1，2，3，4，然后利用二项分布的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答：解：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元两人都付0元的概率为P1=×=两人都付1元的概率为P2=×=两人都付3元的概率为P3=×=两人都付6元的概率为P4=（1﹣﹣﹣）×（1﹣﹣﹣）=×=则甲，乙两人所付租车费用相同的概率为P=P1+P2+P3+P4=（2）依题意，甲某每天租车费用不超过2元的概率为P=+=则P（X=0）=××=，P（X=1）==P（X=2）==，P（X=3）==P（X=4）==∴X的分布列为X 0 1 2 3 4PX的数学期望为E（X ）=1×+2×+3×+4×=3点评：本题主要考查了事件、互斥事件的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．20．（12分）（•洛阳模拟）在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（﹣2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP 的斜率之积为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON 的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P点坐标为（x，y）根据直线AP与直线BP 的斜率之积为，代入斜率公式，整理可得动点P的轨迹C的方程；（2）设出交点M，N的坐标及直线l的方程为x=ny+1，联立方程根据韦达定理求出y1+y2，y1•y2的值，根据弦长公式求出MN长，求出△MON的面积的表达式，分析出对应函数的单调性，可得答案．解答：解：设P点的坐标为（x，y）∵A（﹣2，0），B（2，0），直线AP与直线BP 的斜率之积为．∴•=（x≠±2）整理得P 点的轨迹方程为（x≠±2）（2）设直线l的方程为x=ny+1联立方程x=ny+1与（x≠±2）得（3n2+4）y2+6ny﹣9=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=△MON的面积S=•|OP|•|y1﹣y2|====令t=，则t≥1，且y=3t+在[1，+∞）是单调递增∴当t=1时，y=3t+取最小值4此时S 取最大值此时直线的方程为x=1点评：本题考查的知识点是轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系，熟练掌握设而不求，联立方程，韦达定理，弦长公式等一系列处理直线与圆锥曲线关系的方法和技巧是解答的关键．21．（12分）（•洛阳模拟）已知函数．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时，求出f（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（2）对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），等价于f（x0）min＞m（1﹣a2），用导数可求f（x0）min，构造函数g（a）=f（x0）min﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2），问题转化为g（a）min＞0（1＜a＜2），分类讨论可求出m的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=，定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣2+=2x﹣2+=．由f′（x）＞0，得，或x ＞；由f′（x）＜0，得0＜x ＜．所以函数f（x ）的单调递增区间为（，0），（，+∞），单调递减区间为（0，）．（2）y=f（x ）的定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣a+=2x﹣a+==．当1＜a＜2时，﹣1==＜0，即，所以当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a+ln （）．依题意，对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），即可转化为对任意的a∈（1，2），1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）＞0恒成立．设g（a）=1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2）．则g′（a）=﹣1++2ma==，①当m≤0时，2ma﹣（1﹣2m）＜0，且＞0，所以g′（a）＜0，所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾．②当m＞0时，g′（a）=，若，则g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾；若1＜＜2，则g（a）在（1，）上单调递减，在（，2）上单调递增，且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0矛盾；若，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，则恒有g（a）＞g（1）=0，所以，解得m，所以m的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查综合运用导数求函数的单调区间、最值及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想的运用．22．（10分）（•洛阳模拟）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：（1）CE=DE；（2）．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．专题：选作题．分析：（1）由弦切角定理是，及PC为∠APE的平分线，可证得∠ECD=∠EDC，进而证得CE=DE （2）先由AA证明出△PBC∽△ECD，进而证得△PBC∽△PEC，可由相似三角形对应边成比例得到结论．解答：解：（1）PE切圆O于点E∴∠A=∠BEP∵PC平分∠APE，∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE∵∠ECD=∠A+∠CPA，∠EDC=∠BEP+∠DPE∴∠ECD=∠EDC，∴EC=ED（2）∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD∴∠PDB=∠PCE∵∠BPD=∠EPC∴△PDB∽△PEC∴=同理△PDE∽△PCA∴=∴=∵DE=CE∴点评：本题考查的往右点是与圆相关的比例线段，相似三角形的性质，熟练掌握弦切角定理及相似三角形的判定及性质是解答的关键．23．（•洛阳模拟）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l 的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin （θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．解答：解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l 的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6tsinα+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）∴α的取值范围为[0，]∪[，π）（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin （θ+）∵sin（θ+）∈[﹣1，1]∴2sin （θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．点评：本题给出直线与圆的极坐标方程，要求我们将其化成直角坐标方程并研究直线与圆位置关系．着重考查了直角坐标与极坐标的互化、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．24．（•洛阳模拟）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+⇔a+≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4．所以函数f（x）的最小值为4．（2）对任意的实数x恒成立⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立⇔a+≤4对任意实数x恒成立．当a＜0时，上式显然成立；当a＞0时，a+≥2=4，当且仅当a=即a=2时上式取等号，此时a+≤4成立．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}．点评：本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决，．四、附加题（满分0分，不计入总分）25．（•洛阳模拟）有小于1的n（n≥2）个正数x1，x2，x3，…，x n，且x1+x2+x3+…+x n=1．求证：．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：由x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，可得，由均值定理及放缩法，证得成立．解答：证明：∵x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，∴∴＞≥又∵≤=∴≥n∴＞n2≥22=4即＞4点评：本题考查的知识点是不等式的证明，熟练掌握均值定理及放缩法是解答的关键．。

命 题： 审 核：本试卷分第一部分（选择题）、第二部分（填空题）和第三部分（解答题）三部分。

考试结束后，将本试题卷交回。

第一部分（选择题 共50分 每题5分）1、复数()21i i -等于（ ）A.4B.-4C.4iD.4i -2、设全集U=R ，{}{}43,16A x x x B x x =<-≥=-<<或，则集合{}13x x -<<是（ ） A.()()UUA B B.()UAB C.()U A B D.A B3、给出如下四个命题：①若“P q 且”为假命题，则,p q 均为假命题 ②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则2221b ≤-” ③“2,11x R x ∀∈+≥”的否定是“2,11x R x ∃∈+<” ④命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题 其中正确的命题的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.14、已知正方体1111ABCD ABC D -的棱长为a ，112AM MC =，点N 为1B B 的中点，则MN =（ ）5、已知圆C 的方程为222210x y x y ++-+=，当圆心C 到直线40kx y ++=的距离最大时，k 的值为（ ）A.15B.15- C.5- D.56、已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为则其左视图的面积是（ ）A.4B.7、铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的2CO 的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表。

某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求2CO 排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为（ ） A.12百万元 B.13百万元 C.14百万元 D.15百万元8.已知函数231(),2()24log ,02x x f x x x ⎧⎪+≥=⎨<<⎪⎩，若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.()3,14B.()30,4 C.(),1-∞ D.()0,1 9.如果存在正整数ω和实数ϕ，使得函数()2()cos f x x ωϕ=+的图象如图所示，且图象经过点（1，0），那么ω的值为（ ） A.4 B.3 C.2 D.110.定义方程()()f x f x '=（()f x '是()f x 的导函数）的实数根0x 叫做函数的f 若函数()3(),()ln 1,()1g x x h x x x x ϕ==+=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（）A.αβγ>>B.βαγ>>C.βγα>>D.γαβ>> 第二部分（填空题 共25分 每题5分）11、若()12nx x -展开式中各项的二项式系数之和为32，则该展开式中含3x 的项的系数为12、执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为 13、设点M 是半径为R 的圆周上一个定点，其中O 为圆心，连接OM ，在圆周上等可能地取任意一点N ，连接MN ，则弦MN 的概率为 14、在平面直角坐标系中，以点（1，0）为圆心，r 为半径作圆，依次与抛物线2y x =交于A 、B 、C 、D 四点，若AC 与BD 的交点F 恰好为抛物线的焦点，则r =15、设集合X 是实数集R 上的子集，如果0x R ∈满足：对0a ∀>，都x X ∃∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点，用Z 表示整数集，则给出下列集合：①{},01n n Z n n ∈≥+；②{}\0R （R 中除去元素0）；③{}1,0n Z n n∈≠；④整数集Z 其中以0为聚点的集合的序号有 （写出所有正确集合的序号）第三部分（解答题 共75分）16、（12分）已知向量()()2sin(),cos(),cos(),2sin()12121212a x xb x x ππππ=+-=+-，函数2()2cos f x a b x =⋅-；（1）求()f x 的最小正周期；（2）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向左平移4π个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的，当0,2x π⎡⎤∈⎣⎦时，求()y g x =的最大值和最小值。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分（满分150分 考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1．已知复数1iz i=-（i 为虚数单位）则复数z 在复平面对应的点位于 （ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C. 第三象限． D ． 第四象限 2．等差数列{}n a 中，192a =-,352a =-,则该数列前n 项和n S 取得最小值时n 的值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 ( ) 3．若向量)1,1(),0,2(==b a ，则下列结论正确的是 ( )A ．⊥-)( B.||||a = C ．1=⋅b a D ．b a // 4．下列有关命题的说法正确的是 ( )A ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题 ；B ．“2>x ”是“2320x x -+>”的必要不充分条件；C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”； D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．5．函数()f x =ln ||(0)1(0)x x x x<⎧⎪⎨>⎪⎩的图像大致是 ( )6．关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ； ②若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊥，n ∥β且α∥β，则m n ⊥； ④若m ∥α，n β⊥且αβ⊥，则m ∥n ． 则其中真命题的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③7.已知抛物线2x =的准线过双曲线2221x y m-=-的一个焦点，则双曲线的离心率为( )A.32 B.6C.3D.38．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，若,,a b c 成等比数列，60A ︒=，则sin b Bc= ( )A ．12B ．2C ． 3D ．349. 设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≤--,0,0,0,023y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为1，则b a 11+的最小值为 ( )A ．625B ．38C ．311 D ．410．若对任意,x A y B ∈∈，（,A R B R ⊆⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)f x y 为关于,x y 的二元函数。

2019-2020年高三数学第一次模拟考试 理 新人教A 版本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效．按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题纸纸面清洁，不破损．考试结束后，本试卷自行保存，将答题纸交回． 参考公式： 样本数据，，…，的标准差：22121()()n s x x x x x x n 2=[-+-+⋯+(-)]，其中为样本平均数；柱体体积公式：，其中为底面面积，为高； 锥体体积公式：，其中为底面面积，为高； 球的表面积、体积公式：，，其中为球的半径． 第Ⅰ卷（选择题共50分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）1．若i 为虚数单位，且复数满足，则复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．已知命题，则（ ） A ． B ． C ． D ．3．在等差数列中，若，则等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 4．设随机变量服从正态分布.若，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 5．已知数列中，，，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ） A ． B ．C ．D ． 6．已知点的坐标满足条件则点到直线的距离的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 7．函数的部分图象大致是（ ）8．若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围（）A．B．C．D．9．若函数的图象与x轴交于点A，过点A的直线与函数的图象交于B、C两点，则（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心在坐标原点，边长为，平行于轴，直线(为常数)与正六边形交于两点，记的面积为，则关于函数的奇偶性的判断正确的是（）A．一定是奇函数B．—定是偶函数C．既不是奇函数，也不是偶函数D．奇偶性与有关第Ⅱ卷（非选择题共100分）本卷包括必答题和选答题两部分．第21（1）、（2）、（3）题为选考题，请考生根据要求选答；第16题~第20题为必答题，每个试题考生都必须做答．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置）11．展开式中常数项为．12．已知函数若，则等于．13．某班级有50名学生，现要采取等距系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，…，第十组46—50号．若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为___ 的学生.14．一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为．15．定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系．在平面斜坐标系xOy中，，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是x轴，y轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为(x，y)，向量的斜坐标为(x，y)．给出以下结论：①若，P(2,－1)，则；②若，，则；③若，，则；④若，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为．其中正确结论的序号是___________（写出所有正确结论的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．(本小题满分13分)如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且．将沿折起到的位置，使，如图2．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；17．(本小题满分13分)函数部分图象如图所示，其图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和ABCDE图1 图2A1BCDE第14题图（Ⅰ）求的解析式及的值；（Ⅱ）在中，、、分别是角、、的对边，若，的面积为，求、的值.18．(本小题满分13分)有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙．已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．假设汽车(Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；(Ⅱ)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为万元、万元(其它费用忽略不计)，此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商2万元．如果汽车A、B长期按(Ⅰ)所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．(注：毛利润=(销售商支付给生产商的费用)一(一次性费用)) ．19．(本小题满分13分)已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换选做题已知矩阵A=有一个属于特征值1的特征向量.(Ⅰ) 求矩阵A；(Ⅱ) 矩阵B=，点O(0,0)，M(2，-1)，N(0，2)，求在矩阵AB的对应变换作用下所得到的的面积. （2）(本小题满分7分)选修4－4：坐标系与参数方程选做题在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）判断曲线与曲线的交点个数，并说明理由．（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲选做题已知函数，不等式在上恒成立．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）记的最大值为，若正实数满足，求的最大值．南安一中xx 届高三毕业班第一次模拟考试数学科试卷参考答案 1．【解析】D ．，故复数的虚部是． 2．【解析】A ．全称命题的否定是特称命题，所以. 3．【解析】C ．由于，所以，解得． 4．【解析】B ．因为，所以，从而12(2)120.2(01)0.322P P ξξ-≥-⨯<<===．5．【解析】B ．第1次循环，s=1+1=2 ，n=1+1=2；第2次循环，s=2+2=4， n=2+1=3；当执行第10项时，，的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值，故答案为或. 6．【解析】C ．作出可行域，可知可行域内的点到直线的距离的最小，其值为． 7．【解析】C ．函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除B ；当时，，排除D ；，由，得，所以函数的极值有很多个，所以选C. 8．【解析】B ．因为双曲线的渐近线为，要使直线与双曲线无交点，则直线，应在两渐近线之间，所以有，即，所以，，即，，所以． 9．【解析】D ． 由，解得，即，过点A 的直线与函数的图象交于B 、C 两点，根据对称性可知，是的中点，所以，所以22()222432OB OC OA OA OA OA +⋅=⋅==⨯=.10．【解析】B ．设点、关于原点的对称点分别为为、，可知、在正六边形的边上．当直线在某一个确定的位置时，对应有一个的值，那么易得直线的斜率仍为，对应的截距为，显然的面积与 的面积相等，即函数关于轴对称，所以是偶函数． 11．【解析】．展开式的通项为，由，得，所以常数项为． 12．【解析】或．当时，由，得；当时，由，得． 13．【解析】37．因为，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学，所以第8组中抽出的号码为号． 14．【解析】．由三视图可知，该几何体是一个放到的四棱锥，其中四棱锥的底面是主视图，为直角梯形，直角梯形的上底为1，下底为4，高为 4.又棱锥的高为4，所以四棱锥的体积为．15．【解析】①②④．①若，P(2,－1)，则，2222121122121(2)4444cos601541132OP =-=-⋅+=-⋅+=-⨯⨯⨯=e e e e e e e e ，所以，①正确；若，，则，，所以，即，所以②正确；，，则，，所以111221221212122112()()())OP OQ x y x y x x y y x y x y ⋅=+⋅+=+++⋅e e e e e e ，所以③错误；若，以为圆心，1为半径的圆，设圆上的任意一点，由，可得，即，所以，所以④正确，故填①②④．16．【解析】（Ⅰ）在图1△中，．. …………………………2分又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.…………………………4分由1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………6分（Ⅱ）如图，以为原点，建立空间直角坐标系． ……………………7分 ．…………………………8分 设为平面的一个法向量，因为所以，令，得.所以为平面的一个法向量． ……………………10分 设与平面所成角为． 则． 所以与平面所成角的正弦值为．……………13分 17． 【解析】（Ⅰ）由图可知，．设函数的周期为，则，所以，所以． ……………2分此时，．又点在图象上，所以，可得，因为，所以． ……………………………………………4分 所以的解析式为． …………………………………5分[ ，所以又因为是最小的正数，所以．……………………………………………………8分 （Ⅱ）由，得，即． ，，所以，所以．…………………10分 由，得，① 由，得，即，② 从而得，③解①③得．………………………………………13分………………………………………………………2分设分别表示汽车A 在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；分别表示汽车B 在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙； ，，所以汽车A 应选择公路1，……………………………4分 ，，所以汽车B 应选择公路2．…………………6分（Ⅱ）设表示汽车A 选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则. 的分布列如下：42 40 38 36()420.2400.4380.2360.239.2P X=⨯+⨯+⨯+⨯=．所以表示汽车A选择公路1时的毛利润为（万元）．…………9分设表示汽车B选择公路2时给生产商的费用，则则的分布列如下：()440.1420.4400.4380.141P Y=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以表示汽车B选择公路1时的毛利润为（万元）．因为，所以汽车B为生产商获得毛利润更大．……………12分19．【解析】（Ⅰ）椭圆的两焦点与短轴的一个端点连线构成等腰直角三角形，所以，故椭圆的方程为．又因为椭圆经过点，代入可得，………………………………………2分所以，故所求椭圆方程为．………………………………………4分（Ⅱ）当直线的斜率为0时，直线为，直线交椭圆于、两点，以为直径的圆的方程为；当直线的斜率不存在时，直线为，直线交椭圆于、两点，以为直径的圆的方程为，由解得即两圆相切于点，因此，所求的点如果存在，只能是．………………8分事实上，点就是所求的点．证明如下：当的斜率不存在时，以为直径的圆过点．………………………………9分若的斜率存在时，可设直线为，由消去得．记点、，则…………………………10分又因为，所以1212121244(1)(1)()()33 TA TB x x y y x x kx kx ⋅=+--=+--916918123491816)1(222=++⋅-+-⋅+=kkkkk．所以，即以为直径的圆恒过点，…………………………………12分所以在坐标平面上存在一个定点满足条件．……………………………………13分20．【解析】函数的定义域为，．…………………………………………………1分（Ⅰ）当时，函数，，．所以曲线在点处的切线方程为，即．………………………………………………………………………4分（Ⅱ）函数的定义域为．（1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减．……………5分（2）当时，，（ⅰ）若，由，即，得或；………………6分由，即，得．………………………7分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．……………………………………8分（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递增．…………………………………………………9分（Ⅲ））因为存在一个使得，则，等价于.………………………………………………10分令，等价于“当时，”.对求导，得. ……………………………………………11分因为当时，，所以在上单调递增. ……………13分所以，因此. …………………………………………14分另解：设，定义域为，.依题意，至少存在一个，使得成立，等价于当时，. ………………………………………10分（1）当时，在恒成立，所以在单调递减，只要，不满足题意. …………………………………11分（2）当时，令得.（ⅰ）当，即时，在上，所以在上单调递增，所以，由得，，所以. …………………………………………………………12分（ⅱ）当，即时，在上，所以在单调递减，所以，由得.…………………………………………………13分（ⅲ）当，即时，在上，在上，所以在单调递减，在单调递增，，等价于或，解得，所以，.综上所述，实数的取值范围为. ………………………………………14分21．（1）【解析】(Ⅰ)由已知得，所以…………2分解得故A=. ……………………………………………………3分(Ⅱ) AB==，所以，，，……………5分即点O，M，N变成点O′(0，0)，M ′(4，0)，N ′(0，4)，的面积为.…………………………………………………7分（2）【解析】（Ⅰ）由已知得……………………………………1分消去参数,得．………………………3分（Ⅱ）由得曲线的直角坐标方程为, ………4分由消去,得，……………………5分解得……………………6分故曲线与曲线只有一个交点．……………………7分（3）【解析】（Ⅰ）因为，所以. …………………2分因为不等式在R上恒成立，所以，的取值范围为. …………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由柯西不等式得：，所以. ……………5分当且仅当即时，的最大值为. ……………7分。

2021年高三数学第一次模拟考试试卷 理（含解析）新人教A 版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释） 1．设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】 试题分析：先利用集合的补集的定义求出集合的补集，即；再利用集合的交集的定义求出.故应选B.考点：交、补、并集的混合运算.2．已知是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A.【解析】试题分析：因为函数，所以，化简得，所以i i i i i i i i i 53515311062)3)(3()3(232+=+=+=-+-=+=.根据复数的几何意义知，所对应的点的坐标为，所以其对应的点在第一象限.故应选A.考点：复数的代数表示法及其几何意义.3．设随机变量服从正态分布，若，则（ ）A. B. C. D.【答案】D.【解析】试题分析：因为随机变量服从正态分布，所以正态分布曲线关于直线对称，所以，，所以.故应选D.考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.4．设，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】试题分析：若“”，则由知，，所以，而，此时不能推出，即“”不是“”的充分条件；反过来，若“”，则，又，所以，所以，即“”是“”的充分条件，即“”是“”的必要条件.综上可知，“”是“”的必要不充分条件.故应选B.考点：充分条件与必要条件.5．已知两个不同的平面和两个不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若；②若；③若；④若.其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D.【解析】试题分析：对于①，因为，所以直线与平面所成的角为，又因为∥，所以直线与平面所成的角也为，即命题成立，故正确；对于②，若，，则经过作平面，设，，又因为，，所以在平面内，，，所以直线、是平行直线.因为，，∥，所以∥.经过作平面，设，，用同样的方法可以证出∥.因为、是平面内的相交直线，所以∥，故正确；对于③，因为，∥，所以.又因为，所以，故正确；对于④，因为∥，，当直线在平面内时，∥成立，但题设中没有在平面内这一条件，故不正确.综上所述，其中正确命题的个数是3个，应选D.考点：平面的基本性质及推论.6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】C.【解析】试题分析：因为函数，所以将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图像.故应选C.考点：函数的图像变换.7．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A.【解析】试题分析：双曲线的渐近线方程是，过右焦点分别作两条渐近线的平行线和，由下图图像可知，符合条件的直线的斜率的范围是.故应选A.考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；双曲线的简单性质.8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为A.360B.520C.600D.720【答案】C.【解析】试题分析：根据题意，可分2种情况讨论：①只有甲乙其中一人参加，有种情况；②甲乙两人都参加，有种情况，其中甲乙相邻的有种情况；则不同的发言顺序种数为种，故应选C ． 考点：排列、组合的实际应用.9．设函数若，则关于的方程的解的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1【答案】B.【解析】试题分析：先由可得，，解之可得，再由可得，解之可得，故，令可得或，解之可得或或，故应选B. 考点：根的存在性及根的个数判断. 10．已知向量与的夹角为，→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,2时取得最小值，当时，夹角的取值范围为（ ）A. B. C. D.【答案】C.【解析】试题分析：由题意知，，，所以 θcos )1(44)1()1(2)1(2222222t t t t OB OA t t OA t OB t PQ -=+-=⋅--+-=→→→→→，由二次函数的图像及其性质知，当上式取最小值时，.由题意可得，，求得，所以，故应选C.考点：向量数量积表示两个向量的夹角.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）11．若对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_________.【答案】.【解析】试题分析：要使得不等式对任意的恒成立，需的最小值大于，问题转化为求的最小值.首先设，则有.当时，有最小值为4；当时，有最小值为4；当时，有最小值为4.综上所述，有最小值为4.所以，.故答案为.考点：含绝对值不等式；函数恒成立问题.12．如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是 .【答案】.【解析】试题分析：根据程序框图可得计算出的为：，为了计算，当时，代替，并用代替，进入下一次运算；而当时，代替，恰好，用代替得，，在这次运算中结束循环体并输出的值，因此，判断框内应填.考点：程序框图.13．已知圆C过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为 .【答案】.【解析】试题分析：设圆C的圆心C的坐标为，则圆C的标准方程为.圆心C到直线的距离为：，又因为该圆过点，所以其半径为.由直线被该圆所截得的弦长为以及弦心距三角形知，，即，解之得：或（舍）.所以，所以圆C的标准方程为.考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系.14．定义：，在区域内任取一点(){}22，则、满足的概率为．++++=++p x y x y x x y x y x x y,min2,42【答案】.【解析】试题分析：由题意知，如下图所示，实验包含的所有事件对应的集合，其面积为；满足条件的事件}42,60,20),{(2++≤++≤≤≤≤=y x y x x y x y x A ，即，由几何概型的计算公式知，.故应填.考点：几何概型.15．已知，若恒成立，则实数的取值范围是 ．【答案】.【解析】试题分析：因为，所以由基本不等式知，，当且仅当即等号成立.问题恒成立转化为，即，由一元二次不等式解法知，.考点：一元二次不等式及其解法；均值不等式的应用.评卷人得分 三、解答题（题型注释）16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为，且..（1）求的值；（2）若面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）在△ABC 中，首先运用余弦定理公式，并结合已知条件即可求出；然后根据三角形的内角和等于和倍角公式，将所求式子化简为只关于的式子，最后将的值代入即可；（2）将已知b=2代入，即可得到式子；试题解析：（1）在△ABC 中，由余弦定理可知，，由题意知，∴；又在△ABC 中，∴1cos 22cos 12cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2222-++=+=+-=++B B B B B B B C A π ，又，∴.（2）∵b=2 ，∴由可知，，即，∴.∵，∴ ∴.∴△ABC 面积的最大值为．考点：余弦定理；均值不等式.17．如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且（1）在棱AB上找一点Q，使QP//平面AMD，并给出证明；（2）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）当时，有//平面AMD.证明：因为MD平面ABCD，NB平面ABCD，所以MD//NB，所以，又，所以，所以在中，OP//AM.又面AMD，AM面AMD，∴// 面AMD.（2）锐二面角的余弦值为.【解析】试题分析：（1）设Q为AB上的一点，满足.由线面平行的性质证出MD//NB，结合题中数据利用平行线的性质，得到，从而在中得到OP//AM.最后利用线面平行判定定理，证出// 面AMD，说明在棱AB上存在满足条件的点；（2）建立如图所示空间直角坐标系，算出向量、和的坐标.利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，算出平面CMN的法向量.根据线面垂直的判定定理证出DC平面BNC，从而得到即是BNC的法向量，最后利用空间向量的夹角公式加以计算，即可算出平面CMN与平面BNC 所成锐二面角的余弦值.试题解析：（1）当时，有//平面AMD.证明：因为MD平面ABCD，NB平面ABCD，所以MD//NB，所以，又，所以，所以在中，OP//AM.又面AMD，AM面AMD，∴// 面AMD.（2）以DA、DC、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，0，2）N（2，2，1），所以=（0，-2，2），=（2，0，1），=（0，2，0），设平面CMN的法向量为=（x，y，z）则，所以，所以=（1，-2，-2）.又NB平面ABCD，∴NBDC，BCDC，∴DC平面BNC，∴平面BNC的法向量为==（0，2，0），设所求锐二面角为，则.考点：利用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定.18．某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响。

(吨)0.0.0.0.0.第6题图黄冈中学 高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．纯虚数z 满足23z -=，则z 为 AB ．C ．D ．5或1-2．命题甲：2≠x 或3≠y ；命题乙：5≠+y x ，则甲是乙的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件3．已知双曲线的焦距为，则双曲线的标准方程为A ．2212y x -= B ．2212x y -= C ．2212y x -=或2212x y -= D ．2212x y -=或2212y x -= 4．用0，1，2，3，4排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则该五位数的个数是A ．36B ．32C ．24D ．20 5．已知cos()63πα+=，则sin(2)6πα-的值为 A ．13 B．13- C ． D ．-6．对某小区100户居民的月均用水量进行统计， 得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为 A ．2， 2.5B ．2.25， 2.02C ．2.25， 2.5D ．2.5， 2.257．在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币，若硬币恰落在任何一个第9题图侧视图俯视图正视图第8题图第12方格内不与方格线重叠，即可获奖．已知硬币的直径为2，若游客获奖的概率不超过19，则方格边长最长为(单位：cm )A ．3B ．4C ．5D ．6 8．某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是 A ．20π3B ．6πC ．10π3D ．16π9．如图，AB 是圆O的直径，C D 、是圆O 上的点，60CBA ∠=，45ABD ∠=，CD xOA yBC =+，则x y +的值为A ．3-B ．13- C ．23D ．10．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对(0,)x ∀∈+∞，都有2[()log ]3f f x x -=，则方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是 A ．（0，12） B ．（1,12） C ．（1，2） D ．（2，3） 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模拟两可均不得分． （一）必考题（11 — 14题）11．1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,含4x 项的系数为 ． 12．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 ．M第16题图13．已知(0,)x y z ∈+∞、、，且2221ln ln ln 3x y z ++=，则2x yz 的最大值为 ．14．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用符号x 〈〉表示．已知无穷数列{}n a 满足如下条件：①1a a =〈〉；②11(0)0(0)n nn n a a a a +⎧〈〉≠⎪=⎨⎪=⎩．（Ⅰ）若a ={}n a 通项公式为 ；（Ⅱ）当13a>时，对任意*n N ∈都有n a a =，则a 的值为 ． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果给分．） 15．（极坐标与参数方程）已知抛物线C 的极坐标方程为2sin 8cos 0ρθθ-=，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，则r = ．16．（几何证明选讲） 如图，过半径为4的O 上的一点A 引半径为3的O '的切线，切点为B ，若O 与O '内切于点M ，连结AM 与O '交于C 点，则AB AM= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，a=(1,1)m =-，(cos cos ,sin sin 2n B C B C =-，且m n ⊥． （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）当7sin cos()12B C π+-取得最大值时，求角B 的大小和ABC ∆的面积．ACMPQ D第19题图18．（本小题满分12分）某象棋比赛规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲、乙每局获胜的概率分别为23和13，且各局比赛胜负互不影响. （Ⅰ）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB ； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M BQ C --的大小．20．（本小题满分12分） 数列{}n a 中，已知11a =，2n ≥时，11122333n n n a a --=+-．数列{}n b 满足：1*3(1)()n n n b a n N -=+∈．（Ⅰ）证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在正整数,m n ，使得1331m n m n S m S m +-<-+ 成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(,)m n ；若不存在，说明理由．21．（本小题满分13分）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，“盾圆C ”是由椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线24y x =中两段曲线弧合成，第21题图12F F 、为椭圆的左、右焦点，2(1,0)F ．A 为椭圆与抛物线的一个公共点，252AF =． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数()y f x =中，令()x t ϕ=， 则[][]2211()()()()()bt t a t t f x dx f t d t f t t dt ϕϕϕϕ'==⎰⎰⎰（其中12()()a t b t ϕϕ==、）． 如22221cos 2(sin )cos (sin )cos 2tt t t dt tdt dt πππ+'====⎰⎰⎰⎰． 阅读上述文字，求“盾圆C ”的面积．（Ⅲ）过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，与“盾圆C ”依次交于M N G H 、、、四点，P 和P '分别为NG MH 、的中点，问22MH PF NG P F ⋅'是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22．（本小题满分14分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对12,(0,)x x ∀∈+∞，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若211nii x==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．数学（理）试卷答案 BBCD ABAC AC11答案：15- 12答案：5 13答案：14答案：（1）1n a =；（21-或12- 15 16答案：121答案：B解析：设()z bi b R =∈9b =∴=，则z =．2答案：B解析：甲⇒/乙，例如，1,4x y ==；乙⇒甲，“若5≠+y x ，则2≠x 或3≠y ”的逆否命题为“若2x =且3y =，则5x y +=” 此逆否命题为真命题，所以原命题为真命题． 3答案：C解析：由题易知2c b ==1a =，这样的双曲线标准方程有两个．4答案：D解析：排除法．偶数字相邻，奇数字也相邻有32232224A A A =，然后减去0在首位的情况，有22224A A =，故322223222220A A A A A -=．5答案：A解析：由cos()63πα+=得，1cos(2)33πα+=-， 所以1sin(2)sin(2)cos(2)63233ππππααα-=+-=-+=． 6答案：B解析：样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为2 2.52.252+= 中位数是频率为0.5时，对应的样本数据，由于(0.080.160.300.44)0.50.49+++⨯=，故中位数为0.0120.5 2.020.25+⨯=． 7答案：A解析：设方格边长为x ，则221()39x x x -≤⇒≤． 8答案：C解析：此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，体积1110[4241]233V πππ=⨯+⨯=． 9答案：A解析：()()CD xOA yBC xOA y OC OB x y OA yOC =+=+-=++设1OA =，建立如图所示坐标系，则1(,12CD =-+(1,0)OA =-，1(,22OC =-，故3x y +=10答案：C解析：由题2()log f x x C -=（C 为常数），则()f x 故22[()log ]()log 3f f x x f C C C -==+=，得2C =，故2()log 2f x x =+，记21()()()2log ln 2g x f x f x x x '=--=-在(0,)+∞上为增函数 且112ln 21(1)0,(2)10ln 22ln 22ln 2g g -=-<=-=>, 故方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是（1，2）． 11答案：15-12答案：5解析：由题意，得：5,016,18,2n k n k n k ==⇒==⇒==4,32,41,5n k n k n k ⇒==⇒==⇒==⇒终止当2n =时，执行最后一次循环；当1n =时，循环终止，这是关键，输出5k =． 13答案：解析：2222222(ln ln ln )[2(1)(1)](2ln ln ln )x y z x y z +++-+-≥--14答案：（1）1na =-；（21-或12解析：（Ⅰ）若a=时，11a ==-,则21a ===． （Ⅱ）当13a>时，由n a a =知，1a <，所以1a a a =〈〉=，21a a =〈〉，且1(1,3)a ∈．①当1(1,2)a ∈时，211a a a1=〈〉=-，故1112a a a -=⇒=（12a =舍去） ②当1[2,3)a ∈时，212a a a 1=〈〉=-，故21a a a1-=⇒=（1a =舍去）综上，1a =-或1215解析：将2sin 8cos 0ρθθ-=化为普通方程即28y x =，得(2,0)F16答案：12解析：作两圆的公切线MDE ，连结AO ，CO '，则2AB AC AM =所以222AB AM AC AC AM AM AM==由弦切角定理知2AOM EMA ∠=∠，2CO M EMA '∠=∠， 则AOM CO M '∠=∠,AO CO ',所以434AC OO AM AO '-==，即12AB AM ==. 17答案：（1）因为m n ⊥，所以cos cos sin sin 02B C B C -+-= 即()cos 2B C +=-，因为A B C π++=，所以cos()cos B C A+=- 所以 cos 24A A π==． 4分 （2）由3,44A CB ππ==-，故73sin cos()sin cos()sin )12626B C B B B B B πππ+-=+-==+ 由3(0,)4B π∈cos()4B C π-+最大值时，3B π=． 8分 由正弦定理，2sin sina bA B==，得b =故13sin sin()22434ab C ππ+=+= 12分Eξ2 4 6P59 2081168118答案：（Ⅰ）比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则所求概率为1212114333381P C =⋅⋅⋅=. 4分 （Ⅱ）由题意知，ξ的取值为2,4,6. 则22215(2)()()339P ξ==+=，12122212212120(4)()()33333381P C C ξ==+=1221216(6)()3381P C ξ=== 故ξ的分布列为10分则520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=12分 19解：（I ）当13t =时，//PA 平面MQB证明：连AC 交BQ 于N ，连MN ． 由//AQ BC 可得，ANQ BNC ∆∆∽，12AQ AN BC NC ∴==，所以13AN AC =． 若13t =，即13PM ANPC AC==， //PA MN ∴ 由MN ⊂平面PAC ，故//PA 平面MQB ． 4分 （II ）由PA=PD=AD=2， Q 为AD 的中点，则PQ⊥AD 又平面PAD⊥平面ABCD ，所以PQ⊥平面ABCD ，连BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB， 由 ∠BAD=60°得△ABD 为正三角形，又∵Q 为AD 中点， ∴AD⊥BQ 8分 以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A （1，0，0），B （3,0），Q （0，0，0），P （0，03设平面MQB 的法向量为()z y x n ,,=，可得00,//,00n QB n QB PA MN n MN n PA ⎧⎧⋅=⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩，⎪⎩⎪⎨⎧=-=0303z x y 令z=1，解得(3,0,1)n = 取平面ABCD 的法向量()3,0,0=，设所求二面角为θ，则21cos ==θ 故二面角M BQ C --的大小为60°． 12分20解答： (Ⅰ)方法1：由2n ≥时，11122333n n n a a --=+-得，11121(1)33n n n a a --+=++ 两边同时乘以13n -得，1213(1)3(1)2n n n n a a ---+=++，即2n ≥时，12n n b b -=+故{}n b 是公差为2的等差数列．又01322b =⨯=， 所以22(1)2n b n n =+-=． 6分 方法2：2n ≥时，12113(1)3(1)n n n n n n b b a a -----=+-+，代入11122333n n n a a --=+- 整理得12n 11111213()3(1)2333n n n n n n b b a a -------=++-+=，故{}n b 是公差为2的等差数列． (Ⅱ)由(Ⅰ)得，13(1)2n n n b a n -=+=，故1123n n a n -+=，所以12(1)133(1)1313n n n S -==-- 8分 则111111323331111(3)313333n n n n nn n n m S m S m m m m --+----==-=-------- 因为13113131m n m mn S m S m +-<=--++，得21(3)3131n m m >--+ *(3)310,1,2n m m N m -->∈∴=当1m =时，2112314n n >⇒=⋅-；当2m =时，211,23110nn >⇒=- 综上，存在符合条件的所有有序实数对(,)m n 为：(1,1),(2,1),(2,2)． 12分 21解答：（Ⅰ）由24y x =的准线为1x =-，2512A AF x ∴=+=，故记3(2A 又1(1,0)F -，所以12752622a AF AF =+=+=，故椭圆为22198x y +=． 3分 （Ⅱ）由22198x y +=知，y =3sin ()26x t t ππ=-≤≤1S ==62(3sin )t ππ-=⎰262cos tdt ππ-=62(1cos2)t dt ππ-+621sin2)|24x xππ-=+=+；3322204()|3S x===根据对称性，“盾圆C”的面积为122()2S S-=-． 7分（Ⅲ）设过2F的直线为1(0)x my m=+≠，(,)(,)(,)(,)M M N N G G H HM x y N x y G x y H x y、、、联立221198x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(89)16640m y my++-=，则2216896489M HM Hmy ymy ym-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩联立214x myy x=+⎧⎨=⎩，得2440y my--=，则44N GN Gy y my y+=⎧⎨=-⎩由M N G H P P'、、、、、共线，所以2222N GM HM HN Gy yMH PF y yy yNG P F y y+-⋅=⋅+'-代入韦达定理整理得，222431689MH PF mmNG P Fm⋅=='+故22MH PFNG P F⋅'为定值3． 13分22答案：（Ⅰ）1a=时，()ln(1)ln(1)f x x x x x=+--，(01x<<)，则()ln ln(1)ln1xf x x xx'=--=-．令()0f x'=，得12x=．当12x<<时，()0f x'<，()f x在1(0,)2是减函数，当112x<<时，()0f x'>，()f x在1(,1)2是增函数，所以()f x在12x=时取得最小值，即11()ln22f=．（4分）（Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以 ()ln ln()ln xf x x a x a x'=--=-． 所以当2a x =时，函数()f x 有最小值．∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则 121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22x x x xx x x x x x a x a x +++=+--≥⋅[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． （8分） （Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立．ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立， 即若1221k x x x +++=，则112222ln ln ln ln 2k k k x x x x x x +++≥-．当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++=．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++，由（Ⅱ）得11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++ =11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++-．由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2kk F x +≥--=-，命题成立．所以当 1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立， 所以 若211nii x==∑，则 21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ． （13分）（证法二）若1221n x x x +++=，那么由（Ⅱ）可得112222ln ln ln n n x x x x x x +++1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++-1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++-121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++---ln 2n =-． （14分）。

数学（理）试题本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I 卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={1，2，3，4}，{|37,}Q x x x N =≤<∈，则P ∪Q=A ．∅B ．{3,4}C ．{1,2,5,6}D ．{1,2,3,4,5,6} 2．对于函数1()(01,)x f x a a a x R -=>≠∈且，下列命题正确的是A ．函数f （x ）的图象恒过点（1，1）B ．0x ∃∈R ，使得0()0f x ≤C ．函数f （x ）在R 上单调递增D ．函数f （x ）在R 上单调递减3．在等差数列*45619{}(),27,n a n N a a a a a ∈++=+中若则等于A ．9B ． 27C ．18D ．544．函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为A ．（3,+∞）B ．（2,3）C ．（1,2）D ．（0,1）5．已知α为第四象限的角，且4sin(),tan 25παα+=则= A ．34-B ．34 C ．一43 D ．43 6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．15B ．20C ． 30D ．607．设l ，m ，n 为不重合的三条直线，其中直线m ，n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，且12||F F =2c ，若点P 在椭圆上，且满足2212120,PF F F PF PF c ⋅=⋅=，则该椭圆的离心率e 等于 A ．12 B ．312- C ．512 D ．229．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，则下列判断错误．．的是 A ．DB 1⊥平面ACD 1B ．BC 1∥平面ACD 1C ．BC 1⊥DB 1D ．三棱锥P-ACD 1的体积与P 点位置有关10．一批物资随17辆货车从甲地以v km/h （100≤v ≤120）的速度匀速运达乙地．已知甲、乙两地间相距600 km ，为保证安全，要求两辆货车的间距不得小于2()20v km （货车长度忽略不计），那么这批货物全部运达乙地最快需要的时间是A ．6小时B ．9．8小时C ．10小时D ．10．5小时 11．在直角坐标系xOy 中，直线Z 的参数方程为,4x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，且t>0）；以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c 的极坐标方程为42)4πρθ=+．则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个 B ．l 个 C ．2个 D ．无数个12．已知奇函数f （x ）满足f （x+1）=f （x-l ），给出以下命题：①函数f （x ）是周期为2的周期函数；②函数f （x ）的图象关于直线x=1对称；③函数f （x ）的图象关于点（k ，0）（k ∈Z ）对称；④若函数f （x ）是（0，1）上的增函数，则f （x ）是（3，5）上的增函数，其中正确命题的番号是A ．①③B ．②③C ．①③④D ．①②④第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上．13．某单位有青年职工300人，中年职工150人，老年职工100人．为调查职工健康状况，采用分层抽样的方法，抽取容量为33的样本，则应从老年职工中抽取的人数为 ．14．函数1()ln 12x f x x+=-的定义域为 ．15．若实数z 、y 满足不等式组，则1y z x +=的最大值为 ． 16．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果为 .三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos 23cos 3,f x x x x x R =+-∈（I ）化简函数f （x ）的解析式，并求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，若()1,2f A AB AC =⋅=，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是D 1C 、AB 的中点． （I ）求证：EF ∥平面ADD 1A 1；（Ⅱ）求二面角D —EF —A 的余弦值．19．（本小题满分12分）某幼儿园在“六·一儿童节"开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一（后面以家长代称）共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6），宝宝所得点数记为z ，家长所得点数记为y ；方案二宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮（此计算器只能产生区间[1，6]，的随机实数），宝宝的计算器产生的随机实数记为m ，家长的计算器产生的随机实数记为挖．（I ）在方案一中，若x+l=2y ，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率；（Ⅱ）在方案二中，若m>2n ，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率．20．（本小题满分12分）已知函数()log ,()log (22),[1,2],01,a a f x x g x x m x a a m R ==+-∈>≠∈其中且．（I ）当m=4时，若函数()()()F x f x g x =+有最小值2，求a 的值；（Ⅱ）当0<a<l 时，f （x ）≥2g （x ）恒成立，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，0），一条渐近线的方程为2y x =-，点P 为双曲线上不同于A 、B 的任意一点，过P 作x 轴的垂线交双曲线于另一点Q 。