山西省太原市2020届高三数学模拟试题(一)理

山西省太原市2020届高三第三次模拟考试数学（理）试卷（含答案）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，复数z满足2ziz=+，则复数z在复平面内对应的点的坐标是（）A．11(,)22- B．(1,1)- C．11(,)22- D．(1,1)-2.已知全集U R=，集合{|(2)0}A x x x=+<，{|||1}B x x=≤，则下图阴影部分表示的集合是（）A．(2,1)- B．[1,0][1,2)-U C．(2,1)[0,1]--U D．[0,1] 3.已知随机变量X服从正态分布(3,1)N，且(4)0.1587P X≥=，则(24)P X<<=（）A.0.6826 B．0.3413 C.0.4603 D．0.92074.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++L中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11xx+=求得512x=.3232++L（）A.3 B．1312C.6 D．225.执行下面的程序框图，如果输入的3a=，则输出的n=（）A ．2B ．3 C.4 D ．56.在ABC ∆中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点P 是ABC ∆内一点（含边界），若23AP AB AC λ=+u u u r u u u ru u u r，则||AP uuu r 的取值范围为（ ）A.21033[2,]+ B ．8[2,]3 C.213[0,]3 D ．213[2,]3 7.已知某产品的广告费用x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）具有线性关系关系，其统计数据如下表：x3 4 5 6 y25304045由上表可得线性回归方程^^^y b x a =+，据此模型预报广告费用为8万元时的销售额是（ ） A ．59.5 B ．52.5 C ．56 D ．63.5附：121^1221()())=()(n ni ii nii iii nii x y nx yb xx x y y n x x x ====-⋅---=-∑∑∑∑；^^a yb x =-8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（ ）A ．33．2621 D ．259.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A.2n n S T = B ．21n n T b =+ C. n n T a > D ．1n n T b +<10.已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，且对于任意1x ，2[0,1]x ∈，且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<，设82()11a f =，50()9b f =-，24()7c f =，则下列结论正确的是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >> C.b c a >> D ．c a b >>11.已知实数x ，y 满足条件480,2360,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩若222x y m +≥恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．5B ．43D ．8312.已知点P 在抛物线2y x =上，点Q 在圆221()(4)12x y ++-=上，则||PQ 的最小值为（ ） A．12- B．12-C.1 D1 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为 ．14.21sin )x dx -⎰= ．15.在ABC ∆中，2AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，点D 在AB 上，点E 在CD 上，且ACB DE DEB ∠=∠=∠，则DC = ．16.已知过点(2,0)A -的直线与2x =相交于点C ，过点(2,0)B 的直线与2x =-相交于点D ，若直线CD 与圆224x y +=相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为 .三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知(3,cos )33x x m =，(cos ,cos )33x xn =()f x m n =⋅. （1）若函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若a ，b ，c 分别是ABC ∆分内角A ，B ，C 所对的边，且2a =，(2)cos cos a b C c B -=，3()2f A =，求c . 18.购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均购次数不小于4次的市民称为购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为购迷与年龄不超过40岁有关？购迷 非购迷 合计 年龄不超过40岁 年龄超过40岁合计（2）若从购迷中任意选取2名，求其中年龄丑啊过40岁的市民人数ξ的分布列与期望.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++；20()P K k ≥0.15 0．10 0.05 0.01 0k2.0722.7063.8416.63519.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，160A AC ∠=︒，124AC AA ==，点D ，E 分别是1AA ，BC 的中点.（1）证明：//DE 平面11A B C ；（2）若2AB =，60BAC ∠=︒，求直线DE 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 20. 已知动点C 到点(1,0)F 的距离比到直线2x =-的距离小1，动点C 的轨迹为E . （1）求曲线E 的方程；（2）若直线:(0)l y kx m km =+<与曲线E 相交于A ，B 两个不同点，且5OA OB ⋅=u u u r u u u r，证明：直线l 经过一个定点.21. 已知函数2()21f x x x =-+，()2ln(1)g x a x =-()a R ∈.（1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；（2）当0a >时，若存在实数k ，m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求曲线1C 普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于原点O ，且||42AB =α的值. 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知函数1()2||||f x x a x a=++-(0)a ≠.（1）当1a =时，解不等式()4f x <； （2）求函数()()()g x f x f x =+-的最小值.数学（理） 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1-5BCAAC 6-10DABDB 11、12：DA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.0.4 14.2π15.13416.221(0)4x y y +=≠ 三、解答题（本大题共70分）17.解：（1）Q 2()cos cos 333x x xf x m n =⋅=+，212(cos 1)323x x =++=21sin()362x π++， ∴()f x 的最小正周期为3π，令2222362x k k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，则332k x k ππππ-+≤≤+， ∴()f x 的单调递增区间为[3,3]2k k ππππ-++()k Z ∈；（2）Q (2)cos cos a b C c B -=，∴2sin cos A C =sin cos cos sin sin B C B C A +=，Q 0A π<<，∴sin 0A >，∴1cos 2C =，∴3C π=，∴213()sin()3622A f A π=++=，∴2sin()136A π+=，∴22362A k πππ+=+，k Z ∈，∴2A π=，∴sin 2sin 3c a C π===18.解：（1）由题意可得列联表如下：假设购迷与年龄不超过40岁没有关系，则2100(2030455)65352575k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.297 2.706>. 所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为购迷与年龄不超过40岁有关；（2）由频率分布直方图可知，购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数ξ的所有取值为0，1，2，22022519(0)30C P C ξ===，112052251(1)3C C P C ξ===，252251(2)30C P C ξ===，∴ξ的分布列为∴012303305E ξ=⨯+⨯+⨯=.19.解：（1）证明：取AC 的中点F ，连接DF ，EF ，Q E 是BC 的中点，∴//EF AB ， Q 111ABC A B C -是三棱柱，∴11//AB A B ，∴11//EF A B ，∴//EF 平面11A B C ，Q D 是1AA 的中点，∴1//DF A C ，∴//DF 平面11A B C ， ∴平面//DEF 平面11A B C ， ∴//DE 平面11A B C ；（2）过点1A 作1A O AC ⊥，垂足为O ，连接OB ，Q 侧面1ACC A ⊥底面ABC ，∴1A O ⊥平面ABC ， ∴1A O OB ⊥，1A O OC ⊥，Q 160A AC ∠=︒，12AA =，∴1OA =，13OA =， Q 2AB =，60OAB ∠=︒，由余弦定理得， 2222cos 3OB OA AB OA AB BAC =+-⋅∠=，∴3OB =，90AOB ∠=︒，∴OB AC ⊥，分别以OB ，OC ，1OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -， 由题设可得(0,1,0)A -，(0,3,0)C ，(3,0,0)B ，1(0,0,3)A ，13(0,,)22D -，33(,,0)22E ， 设111(,,)m x y z =u r是平面11ABB A 的一个法向量，则10,0,m AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u rr u u u r∴111130,30,x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令11z =，∴(1,3,1)m =-u r ， Q 33(,2,)22DE =-u u u r ，∴cos ,m DE <>=u r u u u r 2330||||m DE m DE ⋅-=u r u u u ru r u u u r ，∴直线DE 与平面11ABB A 所成角的正弦值为2330.20.解：（1）由题意可得动点C 到点(1,0)F 的距离等于到直线1x =-的距离，∴曲线E 是以点(1,0)为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，设其方程为22(0)y px p =>，∴12p=，∴2p =， ∴动点C 的轨迹E 的方程为24y x =；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由2,4y kx m y x=+⎧⎨=⎩得222(24)0k x km x m +-+=， ∴12242kmx x k-+=，2122m x x k ⋅=. Q 5OA OB ⋅=u u u r u u u r ，∴1212x x y y +=221212(1)()=k x x km x x m ++++2245m km k +=，∴22450m km k +-=，∴m k =或5m k =-.Q 0km <，m k =舍去，∴5m k =-，满足16(1)0km ∆=->， ∴直线l 的方程为(5)y k x =-， ∴直线l 必经过定点(5,0).21. 解：（1）由题意得2()(1)2ln(1)h x x a x =---，1x >，∴22[(1)]'()1x a h x x --=-，①当0a ≤时，则'()0h x >，此时()h x 无极值；②当0a >时，令'()0h x <，则11x <<'()0h x >，则1x >+∴()h x 在(1,1上递减，在(1)+∞上递增；∴()h x 有极小值(1(1ln )h a a +=-，无极大值；（2）当0a >时，有（1）知，()h x 在(1,1+上递减，在(1)+∞上递增，且有极小值(1(1ln )h a a +=-，①当a e >时，(1(1ln )0h a a +=-<，∴(1(1f g <+， 此时，不存在实数k ，m ，使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立；②当0a e <≤时，(1(1ln )0h a a +=-≥，2()21f x x x =-+在1x =+)y a =-，令()())]u x f x a =--，1x >，则2()[(10u x x =-≥，∴)()a f x -≤，令())()v x a g x =--=)2ln(1)a a x ---，1x >，则(1'()1x v x x -+=-，令'()0v x <，则11x <<+'()0v x >，则1x >+∴()(1v x v ≥+=(1ln )0a a -≥，∴())g x a ≤-，∴())()g x a f x ≤-≤，当k =m a =-时，不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，∴0a e <≤符合题意；由①，②得实数a 的取值范围为(0,]e .22.解：（1）由22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ可得1C 普通方程为22(2)4x y -+=，.Q 4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=； （2）由（1）得曲线1C ：22(2)4x y -+=，其极坐标方程为4cos ρθ=，由题意设1(,)A a ρ，2(,)B a ρ，则12||||4|sin cos |AB ρραα=-=-sin()|4πα=-=∴sin()14πα-=±，∴42k ππαπ-=+()k Z ∈，Q 0απ<<，∴34πα=.23. 解：（1）Q 1a =，∴原不等式为2|1||1|4x x ++-<，∴12214x x x <-⎧⎨---+<⎩，或11,2214,x x x -≤≤⎧⎨+-+<⎩或1,2214,x x x >⎧⎨++-<⎩ ∴513x -<<-或11x -≤<或∅，∴原不等式的解集为5(,1)3-.（2）由题意得()()()g x f x f x =+-=112(||||)(||||)x a x a x x a a++-+++- 222|2|4||||||a a a a ≥+=+42≥， 高考模拟数学试卷说明：一、本试卷共4页，包括三道大题，24道小题，共150分.其中（1)〜（21)小题为必做题，（22)〜（24)小题为选做题.二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.三、做选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅第把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案. 四、考试结束后，将本试卷与原答题卡_并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. (1) 复数=(A) 1+2i (B) 1-2i (C) 2-i (D) 2+i (2) 在的展开式中，常数项为(A) 36 (B) -36 (C) 84 (D) -84 (3) 已知命题则为(A) (B)(C)(D)(4) 函数的图象可以由函数的图象(A)向左平移个单位得到（B)向右平移-个单位得到 (C)向左平移.个单位得到（D)向右平移个单位得到(5) 已知，则=(A) 3 (B) 4 (C) 3.5 (D) 4.5(6) 等比数列{a n}的公比，则=(A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63(7) 己知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为(A)(B)(C) 2(D) 8(8) 算法如图，若输入m=210,n = 119,则输出的n为(A) 2(B) 3(C) 7(D) 11(9) 在中，，则=(A) 10 (B) -10 (C)，4 (D) 4(10) 点A、B、C、D均在同一球面上，其中是正三角形，AD平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为(A) (B) (C) (D)(11) 抛物线的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1, 2).若点F恰为的重心，则直线BC的方程为(A) x+y=0 (B) 2x+y-1=0(C) x-y=0 (D) 2x-y-1=0(12) 定义在R上的奇函数满足，当时，.又,则集合等于(A) (B)(C) (D)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13) 设变量x、y满足约束条件则的最大值为_______.(14) 函数的值域是______.(15) 在数列中，，则数列的通项=______.(16) 的一个顶点P(7,12)在双曲线上，另外两顶点F1、F2为该双曲线的左、右焦点，则的内心坐标为______.三、解答题：本大-共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟.(17) (本小题满分12分）在，中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, A=2B.(I )若，求的值；(I I)若C为钝角，求的取值范围.(18) (本小题满分12分）某媒体对“男女同龄退佈”这一公众关注的问题进行了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数)：(I)能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(II)进一步调查：(I )从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；(II )从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为,求的分布列和均值.附：(19) (本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B l C1中，CC1丄底面ABC,底面是边长为2的正三角形，M, N分别是棱CC1、AB的中点.(I)求证：CN//平面AMB1;(II)若二面角A-MC为45°,求CC1的长.(20)(本小题满分12分）中心在原点O,焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C(2, 2),且(I )求椭圆E的方程；(II)垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程.(21) (本小题满分12分)设函数.(I )讨论f(x)的单调性；(I I)( i )若证明：当x>6 时，(ii)若方程f(x)=a有3个不同的实数解，求a的取值范围.请考生在第（22)、（23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.(22) (本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，以B为圆心的圆B与圆O的一个交点为P.过点A作直线交圆O于点Q,交圆B于点M、N.(I )求证：QM=QN;(I I)设圆O的半径为2,圆B的半径为1,当AM=时，求MN的长.(23) (本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为，(I )求曲线C的直角坐标方程：(II)设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值.(24) (本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设.(I)求不等式的解集S(II )若关于X不等式有解，求参数T的取值范围.理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：（13）5 （14）(－1，1) （15）n2（16）(1， 3 2)三、解答题：（19）解：（Ⅰ）设AB 1的中点为P ，连结NP 、MP ． ∵CM ∥＝ 1 2AA 1，NP ∥＝ 12AA 1，∴CM ∥＝NP ， ∴CNPM 是平行四边形，∴CN ∥MP ． ∵CN ⊄平面AMB 1，MP ⊂平面AMB 1， ∴CN ∥平面AMB 1．…4分（Ⅱ）如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C —xyz ，使x 轴、y 轴、z 轴分别与NA →、CN →、CC 1→同向． 则C(0，0，0)，A(1，3，0)，B(－1，3，0)， 设M(0，0，a)（a ＞0），则B 1(－1，3，2a)， MA →＝(1，3，－a)，MB 1→＝(－1，3，a)， CM →＝(0，0，a)，…6分设平面AMB 1的法向量n ＝(x ，y ，z)，则n ·MA →＝0，n ·MB 1→＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －az ＝0，－x ＋3y ＋az ＝0， 则y ＝0，令x ＝a ，则z ＝1，即n ＝(a ，0，1)． …8分设平面MB 1C 的一个法向量是m ＝(u ，v ，w)，则m ·MB 1→＝0，m ·CM →＝0， 即⎩⎨⎧－u ＋3v ＋aw ＝0，aw ＝0，则w ＝0，令v ＝1，则u ＝3，即m ＝(3，1，0)． …10分C A 11C 1MNPxz y所以cos 〈m ，n 〉＝3a2a 2＋1， 依题意，〈m ，n 〉＝45︒，则3a 2a 2＋1＝22，解得a ＝2， 所以CC 1的长为22． …12分（20）解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1（a ＞b ＞0），则4a 2＋4b2＝1， ① …1分记c ＝a 2－b 2，不妨设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则CF 1→＝(－c －2，－2)，CF 2→＝(c －2，－2)，则CF 1→·CF 2→＝8－c 2＝2，c 2＝6，即 a 2－b 2＝6．②由①、②得a 2＝12，b 2＝6． 所以椭圆E 的方程为x 212＋y26＝1．…4分（也可通过2a ＝|CF 1→|＋|CF 2→|求出a ） （Ⅱ）依题意，直线OC 斜率为1，由此设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ， 代入椭圆E 方程，得3x 2－4mx ＋2m 2－12＝0． 由Δ＝16m 2－12(2m 2－12)＝8(18－m 2)，得m 2＜18． 记A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－123．…6分圆P 的圆心为(x 1＋x 2 2，y 1＋y 2 2)，半径r ＝22|x 1－x 2|＝22(x 1＋x 2)2－4x 1x 2当圆P 与y 轴相切时，r ＝|x 1＋x 2 2|，则2x 1x 2＝(x 1＋x 2)24，即2(2m 2－12)3＝4m 29，m 2＝9＜18．…9分当m ＝3时，直线l 方程为y ＝－x ＋3，此时，x 1＋x 2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆P 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4； 同理，当m ＝－3时，直线l 方程为y ＝－x －3，圆P 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4．…12分（21）解：（Ⅰ）f '(x)＝－e －x[x 2－(a ＋2)x ＋2a]＝－e －x(x －2)(x －a)．…1分（1）若a ＝2，则f '(x)≤0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递减． …2分（2）若0≤a ＜2，当x 变化时，f '(x)、f(x)的变化如下表：x (－∞，a) a (a ，2) 2 (2，＋∞)f '(x) －＋－f(x)↘极小值ae－a[↗极大值(4－a)e－2↘ 此时f(x)在(－∞，a)和(2，＋∞)单调递减，在(a ，2)单调递增． …3分（3）若a ＞2，当x 变化时，f '(x)、f(x)的变化如下表：x (－∞，2) 2 (2，a) a (a ，＋∞)f '(x)－＋－f(x)↘极小值(4－a)e－2↗ 极大值ae－a↘ 此时f(x)在(－∞，2)和(a ，＋∞)单调递减，在(2，a)单调递增．…4分（ⅱ）根据（Ⅰ），（1）若a ＝2，方程f(x)＝a 不可能有3个不同的实数解．…7分（2）若0≤a ＜2，令⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ＜2，ae －a＜a ，(4－a)e －2＞a ，解得0＜a ＜4e 2＋1．……………………8分当x ＞6时，f(x)＝e －x(x 2－ax ＋a)＝e －x[x 2－a(x －1)]＜x 2e －x＜ 1 x， 则当x ＞6且x ＞ 1a 时，f(x)＜a ．又f(0)＝a ，所以当0＜a ＜4e 2＋1时，方程f(x)＝a 有3个不同的实数解．10分 （3）若a ＞2时，由于f(a)＝ae －a＜a ，方程f(x)＝a 不可能有3个不同的实数解．…11分综上，a的取值范围是(0，4e2＋1)．…12分高考模拟数学试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。

山西省太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．已知全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则B ∪（∁U A ）为（ ） A ．{0，2，4}B ．{1，3，4}C ．{2，3，4}D ．{0，2，3，4}2．已知i 是虚数单位，复数m +1+（2﹣m ）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1） B ．（﹣1，2）C ．（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）3．已知等差数列{a n }中，前5项和S 5＝25，a 2＝3，则a 9＝（ ） A ．16B ．17C ．18D ．194．已知平面向量a →=(4，−2)，b →=(1，−3)，若a →+λb →与b →垂直，则λ＝（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．15．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．516B ．1132C ．716D ．13326．某程序框图如图所示，若a ＝4，则该程序运行后输出的结果是（ ）A ．74B ．95C ．116D ．1377．函数f(x)=x 2−1|x|的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤6x −3y ≤−2x ≥1，若目标函数z ＝x +2y 的最大值为（ ）A ．3B ．5C ．8D ．119．设a ∈R ，b ∈[0，2π），若对任意实数x 都有sin （3x −π3）＝sin （ax +b ），则满足条件的有序实数对（a ，b ）的对数为（ ）。

太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理科）（考试时间：下午3：00——5：00）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。

2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3x x y x N x x M -+==<=，则M∩N=（ ） A ．{}32<<-x x B ．{}32<≤-x x C ．{}32≤<-x x D ．{}33≤<-x x2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ，则i z -=（ ）A ．22B ．2C ．2D ．43．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.165B.3211C.167D.32134．已知等比数列{n a }中，1a >0，则“41a a <”是“53a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（ ）6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ）A.3=aB.4=aC.5=aD.6=a 7.73)13(xx +展开式中的常数项是（ ） A.189 B.63 C.42 D.21。

太原市2020年高三年级模拟试题（三）数学试题（理）参考答案及评分标准13. 8 14．23π15． 16． ①②③④三、解答题（共70分） 17．（本小题满分12分）解（1）由已知得，1221a b b b +=，所以11a =． ………………1分 又因为{}n a 是公差为1的等差数列，所以n a n =． ………………3分 所以1(1)n n n b nb ++=，所以数列{}n nb 是常数数列， 所以11n nb b ==，所以1n b n=． ………………6分 （2）由已知得,2n nnc =， ………………7分 所以231232222n n nS =++++ , 23412312222n n n -=+++++234111*********n n n n +=+++++- = 11(1)22112n --12n n +- 1212n n ++=-, ...11分222n n n S +∴=-. ………………12分18.（本小题满分12分） 解：（1）2×2列联表：………………4分2250(297113) 6.272 6.63540103218K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯. ………………5分所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异. ………………6分 （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，则X 的分布列为………………10分 所以X 的数学期望是 ………………12分19.（本小题满分12分）证明（1）如图，过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ， 设ADCE O =，连接BO ，1AC AA ⊥，DE AE ∴⊥，又AD 为1A AC ∠的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形，CE AD ∴⊥，..............2分 又AC AE =，BAC BAE ∠=∠，BA BA =， BAC BAE ∴∆≅∆，BC BE ∴=，又O 为CE 的中点，CE BO ∴⊥. ................................................4分 又,AD BO ⊂平面BAD ，AD BO O =，CE ∴⊥平面BAD ，.................................5分又CE ⊂平面11AAC C ，∴平面⊥BAD 平面11AAC C ，.................................................6分（2）在ABC ∆中，4AB AC ==，60BAC ∠=︒，4BC ∴=，在Rt BOC ∆中，12CO CE ==，BO ∴=又4AB =，12AO AD ==222BO AO AB +=，BO AD ∴⊥，又BO CE ⊥，ADCE O =，,AD CE ⊂平面11AAC C ，BO ∴⊥平面11AAC C ，..........7分建立如图空间直角坐标系O xyz -，则(2,2,0)A -，1(2,4,0)A ，1(2,4,0)C -，1B ，11C B ∴=，1(4,6,0)AC =-，11(4,0,0)C A =，设平面11AB C 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，11111460220x y x y -+=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令1=6x，得(6,4,m =-, .................................................9分设平面111A B C 的一个法向量为222(,,)n x y z =，则1111n C B n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，222240220x x y =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令2y (0,21)n =-,，.........................................11分9cos ,17102m n m n m n⋅∴<>===⋅，由可知二面角111A B C A --是锐角，故二面角111A B C A --的余弦值为17. ...........12分 20．(本小题满分12分)解（1）因为椭圆C 的焦距为2，所以221a b -=， ..................................................1分因为椭圆C 过点 (1，32)，所以221914a b+=． ..................................................2分 解得24a =，23b =，.............................................................4分故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． ........................................................................5分（2）设B (m ，n )，记线段MN 中点为D ．因为O 为△BMN 的重心，所以→BO ＝2→OD ，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)． ········ 6分若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为|m2|，即为1．若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ．又x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m4n ． ····································································· 8分故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2．将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9． ························································ 10分 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32． 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ································· 12分21.（本小题满分12分） 解：（1）)0(12ln 21ln )('>+-=-⋅+=x ax x ax x x x x f ，…………………………1分 令,0)'=x f （得1ln 2x a x +=，记1ln (),xQ x x +=则2ln )('xx x Q -=， 令0)('>x Q ，得10<<x ；令0)('<x Q ，得1>x ，)(x Q ∴在)1,0(上是增函数，在),1(+∞上是减函数，且()=(1)1Q x Q =最大， ∴当,12>a 即21>a 时，0)('=x f 无解，)(x f ∴无极值点， 当,12=a 即21=a 时， '()0f x ≤恒成立，)(x f ∴无极值点， 当120<<a ，即210<<a 时，0)('=x f 有两解，)(x f ∴有2个极值点 当02≤a 即0≤a 时，0)('=x f 有一解，)(x f 有一个极值点. 综上所述：当12a ≥,()f x 无极值点；210<<a 时，()f x 有2个极值点； 当0a ≤，()f x 有1个极值点. …………………………6分（2）x ax x x x g --=2ln )(，)0(2ln )('>-=x ax x x g ，令0)('=x g ，则02ln =-ax x ，xxa ln 2=∴， 记x x x h ln )(=，则2ln 1)('x xx h -=， 由,0)('>x h 得e x <<0，由0)('<x h ，得e x >， )(x h ∴在),0(e 上是增函数，在),(+∞e 上是减函数，,1)()(max e e h x h ==当e x >时，0)(>x f ，∴当e a 120<<即ea 210<<时，)(x g 有2个极值点21,x x . ……………7分 由⎩⎨⎧==22112ln 2ln ax x ax x ，得121212ln()ln ln 2()x x x x a x x =+=+ ，1212ln()2x x a x x ∴=+ ， …………………8分 不妨设,21x x <则211x e x <<<，e x x x >>+∴221 ， …………………9分又)(x h 在),(+∞e 上是减函数，1221212212ln()ln ln()2x x x x x a x x x x x +∴<==++ ， ……………………11分1212ln()ln()x x x x ∴+< ，2121x x x x <+∴ . …………………12分22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解（1）因为6cos ρθ=，所以26cos ρρθ=，所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=， …………2分直线l 的参数方程3πcos ,43π2sin 4x t y t ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩(t 为参数)，即,222x y =-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)， ………………………………5分（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得2232922t ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得240t +=+，所以1212·4t t t t ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩ ……………………7分1212120,0,0,0t t t t t t <><⋅∴+<，所以12MA MB t t +=+12()t t =-+=, MA MB ⋅||21t t ==4,所以11MA MB +=M M M A MB A B +⋅4=. ………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）当1=a 时，4|2||1|4)(<-++⇒<x x x f ，化为⎩⎨⎧->-<321x x 或⎩⎨⎧<≤≤-4321x 或⎩⎨⎧<->4122x x , ………………………………3分解得123-<<-x 或21≤≤-x 或252<<x ， 2523<<-∴x .即不等式()4f x <的解集为)25,23(-. ……………………5分（2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.33)1(4222≥+-=+-m m m ，又由于|12||2||1|)(+≥-++=a a x x x f ，)(x f ∴的值域为)|,12[|+∞+a ，……………………………………8分故3|12|≤+a ，12≤≤-∴a .即实数a 的取值范围为]1,2[-. ……………10分注：以上各题其他正确解法相应得分。

太原市 2020 年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题。

1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 【答案】 A【解析】【分析】对集合化简，求出.【详解】，，，故本题选 A.【点睛】本题考查了集合的交集运算的真数要大于零., 本题的关键是对数不等式要解正确，不要忘记对数函数2. 已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D. 【答案】 C【解析】【分析】运用复数的除法运算法则，直接求出【详解】【点睛】本题考查复数的除法运算. .，故本题选 C.3. 下列命题中的真命题是（）A. 若，则向量与的夹角为钝角B.若，则C. 若命题“ 是真命题”，则命题“D. 命题“ ，”的否定是“是真命题”，”【答案】 D【解析】【分析】对于选项 A：当时，向量与的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项 B: 要注意成立时，这个特殊情况，对此可以判断是否为真命题；对于选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，不能确定是真命题；对于选项 D：含有特称量词命题否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题。

【详解】选项A：是钝角或平角，所以选项 A 是假命题；选项 B: 或者，所以选项 B 是假命题；选项 C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，只有当都是真命题时，才是真命题，所以选项C是假命题；选项 D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“，”的否定是“，”是真命题，故本题选 D.【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题.4. 已知，则（）A. B. C. D. 【答案】 B 的【解析】【分析】用二倍角的正弦公式和诱导公式，对所求的式子进行化简，根据题目特点，用，构造出关于的双齐式，进行求解。

【详解】，因为，所以，原式故本题选B。

【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式及诱导公式。

重点考查了同角三角函数之间的关系。

5. 已知函数在处的切线经过原点，则实数（）A. B. C.1 D.0【答案】 A【解析】【分析】对函数求导，求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，把原点的坐标代入，求出的值，最后求出的值。

太原市2020年高三年级模拟考试（一）数学 试 题（理）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题和答题卡上。

2．回答第I 卷时，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试题上无效。

4．回答第Ⅱ卷时，须用0,5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡相对应的答题区域内，写在本试题上无效。

5．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS nSh V 31其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V3234,4R V R S其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数1ii的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，既是偶函数又在(0,) 内单调递减的函数是（ ）A ．2y xB ．||1y xC ．lg ||y xD ．||2x y3．若右边表示的程序框图输出的S 是126，则条件①可以是（ ） A ．5n B ．6n C ．7n D ．8n4．甲乙两人各加工一个零件，若加工为一等品的概率分别是2334和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 （ ）A ．12B ．14C ．16D ．5125．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和。

若1342,12,a S 则S = （ ） A ．10 B ．16 C ．20 D ．246．右图是某个三棱锥的三视图，其中正视图是等边三角形， 侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该 三棱锥的体积等于 （ ）A ．612 B ．33C ．64D ．2337．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ，则双曲线的离心率为（ ）A ．13B ．13C ．15D ．158．已知21()nx x的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 的系数为（ ） A ．5 B ．40 C ．20 D ．109．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M （x ，y ）， 则点M 取自阴影部分的概率是 （ ） A ．13 B ．12C ．14D ．1610．已知非零向量,,a b c 满足0a b c ，向量a 与b 的夹角为120 ，且|b|=2|a|，则向量a 与c 的夹角为（ ）A ．60B ．90C ．120D ．15011．已知函数()sin()(0)6f x x在4(0,)3 上单调递增，在4(,2)3上单调递减，则 =（ ） A ．12B ．1C ．32D ．4312．已知函数21,0()log ,0.x x f x x x 则函数[()1]y f f x 的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

山西太原市2020年高三模拟试题（一）数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。

2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3x x y x N x x M -+==<=，则M∩N =（ ） A ．{}32<<-x x B ．{}32<≤-x x C ．{}32≤<-x x D ．{}33≤<-x x2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ，则i z -=（ ）A ．22B ．2C ．2D ．43．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.165B.3211C.167D.3213 4．已知等比数列{n a }中，1a >0，则“41a a <”是“53a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（ ）6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ）A.3=aB.4=aC.5=a D.6=a 7.73)13(x x +展开式中的常数项是（ ）A.189B.63C.42D.218．刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A.π3B.π3C.23π D.π34 9．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-+102306x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最小值为2，则b a 31+的最小值为（ ）A ．32+B ．625+C ．158+D ．3210．已知椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x C ：的右焦点为F ，过点F 作圆222b y x =+的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ） A.21 B.22 C.32 D.361l ．设10=AB ，若平面内点P 满足对任意的R ∈λ，都有82≥-AB ，则下列结论一定正确的是（ ） 5≥PA 10≥PB PA C.9-≥⋅ D.ο90≤∠APB12．定义在R 上的连续奇函数f （x ）的导函数为)(x f '，已知f （1）≠0，且当x>0时有)()(ln x f x f x x -<'⋅成立，则使0)()4(2>-x f x 成立的x 的取值范围是（ ）A ．)2,0()0,2(Y -B ．),2()2,(+∞--∞YC ．),2()0,2(+∞-YD ．)2,0()2,(Y --∞ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，若其右顶点到这条渐近线的距离为3，则双曲线方程为 .14．已知函数)0)(6sin()(>-=ωπωx x f 在)34,0(π单调递增，在)234(ππ，单调递减，则=ω . 15．在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是 .16．某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用a （i ，j ）表示第i 行从左数第j 个数，如a （5，2）=11，则a （41，18）= .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（本小题满分12分）已知△ABC 外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若2R （sin 2B-sin 2A ）=（a +c ）sinC．（I）求角B；（Ⅱ）若b=7，c=2，求sinA的值．18．（本小题满分12分）如图，ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面BCE，且AE=1．（I）求证：平面ABCD⊥平面ABE；（Ⅱ）线段AD上是否存在一点F，使二而角A-BF-E等于45°？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则雷检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为k+1次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为P =． （I ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．20．（本小题满分12分）已知椭圆E 的焦点为F 1（-1，0）和F 2（1，0），过F 2的直线交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线交直线x=3于点C ．设22AF F B λ=u u u u r u u u u u r ，已知当2λ=时，|AB |=|BF 1|．（I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．2L ．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x x x =+，cos ()x g x x=． （1）判断函数f （x ）在区间（0．一）上零点的个数；（Ⅱ）设函数g （x ）在区间（0，+∞）上的极值点从小到大分别为x 1，x 2，x 3，x 4，…，x n ．证明：（1）g （x 1）+g （x 2）<0；（2）对一切n ∈N *，g （x 1）+g （x 2）+g （x 3）+…+g （x n ）<0成立．·7·（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x （θ为参数），已知点Q （6，0），点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（I ）求点M 的轨迹2C 2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线kx y l =:与曲线2C 交于A ，B 两点，若AB 4=，求k 的值23．（本小题满分10分）[选修4-5:不等式选讲] 已知函数1)(,2)(-=-=x x g a x x f .（I ）若)(2)(x g x f +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）+g （x ）<1的解集包含]1,21[，求实数a 的取值范围.·8··9··10·。

第 1 页 共 8 页 2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合}02|{2<--=x x x A ，}log |{2m x x B >=，若B A ⊆，则实数m 的取值范围（ ）A ．]21,(-∞ B ．]4,0( C ．]1,21( D ．]21,0( 2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1+2iB ．1﹣2iC ．﹣1+2iD ．﹣1﹣2i 3．在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =( ) A. 8 B. 16 C. 22 D. 444． 某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为A ．9214π+B ．8214π+C ．9224π+D ．8224π+5．若)()1(*3N n xx x n ∈+ 的展开式中存在常数项，则下列选项中n 可为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 6．某地区高考改革，实行“3+1+2”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有( )A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种7. 已知抛物线C: 28=x y ，定点A （0，2），B （0，2-），点P 是抛物线C 上不同于顶点的动点，则∠PBA 的取值范围为 （ ） A. 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 42，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 32，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8． 若0>ω，函数)3cos(πω+=x y 的图象向右平移3π个单位长度后与函数x y ωsin =图象重合，则ω的最小值为A.211B.25C.21D. 23 9．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中成功次数的均值为（ ）。

2020年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|||3}M x x =<，2{|6}N x y x x ==+-，则(M N = )A ．{|23}x x -<<B ．{|23}x x -< C ．{|23}x x -< D ．{|33}x x -< 2．（5分）设复数z 满足(2)5z i +=，则||(z i -=)A ．2B ．2C ．22D ．43．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．13324．（5分）在等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B．C．D．6．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则()A．6a=B．5a=C．4a=D．7a=7．（5分）37 1(3)xx+展开式中的常数项是()A．189B．63C．42D．218．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()A3πB3C．3πD．4π9．（5分）已知变量x，y满足约束条件6321x yx yx+⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最小值为2，则13a b+的最小值为()A．23+B．526+C．815+D．310．（5分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为F，过点F作圆222x y b+=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为()A．12B．22C．23D．6311．（5分）设||10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，恒有|2|8AP AB λ-，则一定正确的是()A ．||5PA B ．||10PA PB +C ．9PA PB -D ．90APB ∠︒12．（5分）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()xlnx f x f x '<- ，则使得2(4)()0x f x ->成立的x 的取值范围是()A ．(2-，0)(0⋃，2)B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．(2-，0)(2⋃，)+∞D ．(-∞，2)(0-⋃，2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，若其右顶点到，则双曲线方程为．14．（5分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->在4(0,3π单调增加，在4(,2)3ππ单调减少，则ω=．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是．16．（5分）某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用(,)a i j 表示第i 行从左数第j 个数，如(5,2)11a =，则(41,18)a =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）已知ABC ∆外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若222(sin sin )()sin R B A a c C -=+．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，2c =，求sin A 的值．18．（12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且1AE =．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点F ，使二面角A BF E --等于45︒？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．19．（12分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为1k +次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为P =．（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．20．（12分）已知椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线交直线3x =于点C ．设22AF F B λ=，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．21．（12分）已知函数()sin cos f x x x x =+，cos ()xg x x=．（Ⅰ）判断函数()f x 在区间5(0,)2π上零点的个数；（Ⅱ）设函数()g x 在区间(0,)+∞上的极值点从小到大分别为1x ，2x ，3x ，4x ，⋯，n x ．证明：（1）12()()0g x g x +<；（2）对一切*n N ∈，123()()()()0n g x g x g x g x +++⋯+<成立．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB =，求k 的值[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．2020年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|||3}M x x =<，2{|6}N x y x x ==+-，则(M N = )A ．{|23}x x -<<B ．{|23}x x -< C ．{|23}x x -< D ．{|33}x x -< 【解答】解：{|33}M x x =-<<，{|23}N x x =- ，{|23}M N x x ∴=-< ．故选：B ．2．（5分）设复数z 满足(2)5z i +=，则||(z i -=)A ．2B ．2C ．22D ．4【解答】解：由(2)5z i +=，得55(2)22(2)(2)i z i i i i -===-++-，22|||2||22|2(2)22z i i i i ∴-=--=-=+-=．故选：C ．3．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．1332【解答】解：设大正方形的边长为4，则面积4416⨯=，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为221222242⨯=，另外一部分为梯形，上底为32=，故概率716P =．故选：C ．4．（5分）在等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：在等比数列中，若14a a <，即311a a q <，10a > ，31q ∴<，即1q >，则2531a q a =>，即35a a <成立，若等比数列1，2-，4，8-，16，满足35a a <，但14a a <不成立，故“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件，故选：A ．5．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B．C．D．【解答】解：22()11()()||||x xf x f xx x----===-，则()f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当0x>时，211()xf x xx x-==-为增函数，排除A，故选：D．6．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则()A ．6a =B ．5a =C ．4a =D ．7a =【解答】解：执行程序框图，有1S =，1k =不满足条件k a >，有1112S =+⨯，2k =；不满足条件k a >，有1111223S =++⨯⨯，3k =；不满足条件k a >，有1111122334S =+++⨯⨯⨯，4k =；不满足条件k a >，有111191122334455S =++++=⨯⨯⨯⨯，5k =；此时，应该满足条件k a >，退出循环输出S 的值为95．故a 的值应为4．故选：C ．7．（5分）37(3x+展开式中的常数项是()A ．189B ．63C ．42D ．21【解答】解：37(3x+展开式的通项公式为：7213772177(3)3r rrr r rr T C x C x---+== ，令72102r-=，解得6r =；所以展开式中的常数项是677321T C == ．故选：D ．8．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()A 3πB ．32C ．3πD ．4π【解答】解：由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球；由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，∴3，∴外接球的半径为32，∴外接球的体积为3433(322V π==．故选：B ．9．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件6321x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为2，则13a b+的最小值为()A ．23+B ．526+C ．815+D ．3【解答】解：约束条件对应的区域如图：目标函数(0,0)z ax by a b=+>>经过C时取最小值为2，所以2a b+=，则1311313()()(4)22b aa ba b a b a b +=++=++22=+b=，并且2a b+=时等号成立；故选：A．10．（5分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为F，过点F作圆222x y b+=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为()A．12B C D 【解答】解：如图，c =，则222b c =，即2222()a c c -=，则2223a c =，∴2223c a =，即3c e a ==．故选：D ．11．（5分）设||10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，恒有|2|8AP AB λ- ，则一定正确的是()A ．||5PA B ．||10PA PB +C ．9PA PB -D ．90APB ∠︒【解答】解：以线段AB 的中点为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以其中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则(5,0)A -、(5,0)B 、设点(,)P x y ，则(5,)AP x y =+ ，(10,0)AB =，则2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，即有22(21010)464x y λ+-+ ，整理为以λ为元的一元二次不等式，即222100(20040)4404360x x x y λλ-+++++ ，由于上述不等式对任意R λ∈恒成立，则△0 必然成立，△222(20040)4100(440436)0x x x y =+-⨯⨯+++ ，解得||4y ，即4y 或者4y - ，动点P 位于直线4y =上或其上方部分，或者直线4y =-上或者其下方的区域内，用动态的观点看问题，我们让点P 位于点(5,4)-处，则||4PA =，故A 错误；让点P 位于点(0,4)处，则|||2|8PA PB PO +==，故B 错误；此时||||PA PB ==，||10AB =，用余弦定理计算4141100cos 02||||APB PA PB +-∠=<，90APB ∠>︒故D 错误；我们进一步确定C 选项的正确性，(5,)PA x y =--- ，(5,)PB x y =--，则2225PA PB x y =+-，其中x R ∈，216y ，故2222516259x y x +-+-- ，即9PA PB -，故C 正确．故选：C ．12．（5分）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()xlnx f x f x '<- ，则使得2(4)()0x f x ->成立的x 的取值范围是()A ．(2-，0)(0⋃，2)B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．(2-，0)(2⋃，)+∞D ．(-∞，2)(0-⋃，2)【解答】解：根据题意，设()()g x lnx f x = ，(0)x >，其导数1()()()()()()g x lnx f x lnxf x f x lnxf x x'='+'=+'，又由当0x >时，()()xlnx f x f x '<- ，即1()()lnx f x f x x'<- ，则有1()()()0g x f x lnxf x x'=+'<，即函数()g x 在(0,)+∞上为减函数，又由g （1）1()0ln f x == ，则在区间(0,1)上，()()0g x lnx f x => ，又由0lnx <，则()0f x <，在区间(1,)+∞上，()()0g x lnx f x =< ，又由0lnx >，则()0f x <，则()f x 在(0,1)和(1,)+∞上，()0f x <，而1x =时，g （1）1()0ln f x == ，故()f x 也可小于0，又由()f x 为奇函数，则在区间(1,0)-和(,1)-∞-上，都有()0f x >，2240(4)()0()0x x f x f x ⎧->->⇒⎨>⎩或240()0x f x ⎧-<⎨<⎩，解可得：2x <-或02x <<，则x 的取值范围是(-∞，2)(0-⋃，2)；故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，若其右顶点到，则双曲线方程为221412x y -=．【解答】解：根据题意，双曲线渐近线方程为y =，顶点坐标(,0)a ，顶点到渐近线的距离为：2=，解得2a =，根据渐近线方程的斜率ba=，可得b =所以双曲线的方程为：221412x y -=；故答案为：221412x y -=．14．（5分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->在4(0,3π单调增加，在4(,2)3ππ单调减少，则ω=12．【解答】解：由题意44431()sin()12,33636222f k k k Zπππππωπωπω=-=⇒-=+⇒=+∈又0ω>，令0k =得12ω=．（由已知2T π>．如0k >，则2ω ，T π 与已知矛盾）．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是3．【解答】解：法一：如图，以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1F ，0，0)，(0C ，1，1)，设(0,,)AM AC λλλ== ，(,,0)BN BF μμμ==-，01λ ，01μ ．(0MN AB AM BN =-+=，1，0)(0-，λ，)(λμ+，μ-，0)(μ=，1λμ--，)λ-．∴||MN ==λμ=时等号成立）．令(02)t t λμ+=，则||MN ．∴当23t =，即13λμ==时，||min MN ==．MN ∴长度的最小值是3．法二：(0AC = ，1，1)，(1BF =，1-，0)，设与AC ，BF都垂直的一个法向量为(n x = ，y ，)z ，00n AC y z n BF x y ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩，取1y =，得(1n = ，1，1)-，又(0AB =，1，0)，MN ∴长度的最小值是||||AB n n ==．16．（5分）某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用(,)a i j 表示第i 行从左数第j 个数，如(5,2)11a =，则(41,18)a =835．【解答】解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第n 行有n 个数，因为(41,18)a 对应的数字为奇数，则前面奇数行共有：(139)20135394002+⨯+++⋯+==个奇数，故(41,18)a 为第418个奇数，由24181835⨯-=，可得(41,18)835a =，故答案为：835．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）已知ABC ∆外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若222(sin sin )()sin R B A a c C -=+．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，2c =，求sin A 的值．【解答】解：（1）因为222(sin sin )()sin R B A a c C -=+．所以2222(sin sin )2()sin R R B A R a c C -=+ ．集222b a ac c -=+，由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==-，0B π<< ，23B π∴=；（2）b = ，2c =，由正弦定理可得，sin sin b cB C=，所以21sin 7C =，因为b c >，故C 为锐角，cos 7C =，所以1sin sin()sin cos sin cos 272714A B C B C C B =+=+=⨯18．（12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且1AE =．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点F ，使二面角A BF E --等于45︒？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为AE ⊥平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ．所以AE BE ⊥，AE BC ⊥．又因为BC AB ⊥，AE AB A = ，所以BC ⊥平面ABE ．又BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面ABE ．（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -，因为1AE =，2AB =，AE BE ⊥．所以BE =，所以(0B ，2，0)，1,0)2E ，设线段AD 上存在一点F 满足题意，设(0F ，0，)h ，(0)h >，易知平面ABF 的一个法向量为(1,0,0)m =，设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，易知3,0)2BE =- ，(0,2,)BF h =- ．所以00n BE n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即302220x y y hz -=⎨⎪-+=⎩，令1y =，可得2)n h = ．由cos ,||||m n m n m n <>===，解得h =．所以存在点F，当AF =A BF E --所成角为45︒．19．（12分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为1k +次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为3P =．（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）该混合样本阴性的概率是28(39=，根据对立事件原理，阳性的概率为81199-=．（Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为4，方案二：由（Ⅰ）知，每组2个样本检验时，若阴性则检测次数为1，概率为89，若阳性，则检测次数为3，概率为19，设方案二的检验次数记为ξ，则ξ的可能取值为2，4，6，其分布列为：ξ246P648116811816416122()2468181819E ξ∴=⨯+⨯+⨯=，方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为η，η的可能取值为1，5，其分布列为：η15P648117816417149()15818181E η=⨯+⨯=，()()4E E ηξ<< ，故选择方案三最“优”．20．（12分）已知椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线交E 于A ，B 两点，过A作与y 轴垂直的直线交直线3x =于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，连接1F A ， 222AF F B = ，∴不妨令2||F B m =，则2||2AF m =，1||||3BF AB m ==．由椭圆的定义知，12||||2BF F B a +=，32m m a ∴+=即2a m =，21||||AF a AF ∴==，则点A 为椭圆E 的上顶点或下顶点．令2OAF θ∠=，则1sin a θ=，222cos 2121sin aθθ=-=-①，而在等腰1ABF ∆中，由余弦定理得，22233()()122cos 23322a a a a a θ+-==⨯⨯②，由①②解得，23a =．椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，1c ∴=，22b ∴=，∴椭圆E 的方程为22132x y +=．（Ⅱ）证明：由题可知，直线AB 的斜率一定存在，不妨设其方程为(1)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1(3,)C y ，22AF F B λ= ，1(1x ∴-，12)(1y x λ-=-，2)y ，即12121x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩，而直线BC 的方程为2112(3)3y y y y x x --=--，∴2122()(1)(3)3k x x y k x x x λ-+-=--，∴222(1)(1)(1)(3)3k x y k x x x λλ+-+-=--，∴222223()(1)(3)(1)[](1)33x x x x y k x k x x x λλλ-+-+-=--=-⨯--，当21x x ==时，无论λ如何变化，0y =恒成立，即直线BC 过定点(1,0)．故命题得证．21．（12分）已知函数()sin cos f x x x x =+，cos ()x g x x=．（Ⅰ）判断函数()f x 在区间5(0,)2π上零点的个数；（Ⅱ）设函数()g x 在区间(0,)+∞上的极值点从小到大分别为1x ，2x ，3x ，4x ，⋯，n x ．证明：（1）12()()0g x g x +<；（2）对一切*n N ∈，123()()()()0n g x g x g x g x +++⋯+<成立．【解答】解：（1）()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，①当(0,)2x π∈时，cos 0x > ，()0f x ∴'>，()(0)1f x f >=，()f x 无零点；②当(2x π∈，32π，cos 0x < ，()0f x ∴'<，(022f ππ=>，33()022f ππ=-<，()f x 有唯一零点；③当3(2x π∈，5)2π，cos 0x > ，()0f x ∴'>，而55()022f ππ=>，()f x 有唯一零点；综上，()f x 在5(0,)2π，有两个零点．（2）证明：①22sin cos ()()x x x f x g x x x +'=-=-，由（1）可知，()g x 在(0,)2π无极值点；(2x π∈，3)2π有极小值点，即为1x ，在3(2x π∈，5)2π有极大值点，即为2x ，而(022f ππ=>，()10f π=-<，33()022f ππ=-<，(2)10f π=>可知1(2x π∈，)π，23(2x π∈，5)2π，同理在5(2π，3)π有极小值点，⋯，在(21)(2n π-，)n π有极值点n x ．由sin cos 0n n n x x x +=，得cos sin n n n x x x =-，1tan n nx x =-，12x x < ，1211x x ∴-<-，112tan()tan tan x x x π+=<，则13(2x ππ+∈，2)π，23(,2)2x ππ∈，故有12x x π+<1212121212cos cos ()()sin sin sin()sin x x g x g x x x x x x x π+=+=--+-sin y x = 在3(,2)2ππ是增函数，12sin()sin 0x x π+-<即12()()0g x g x +<；②，同理，2143(,(21))2k k x k ππ--∈-，241(,2)2k k x k ππ-∈，2124122k k k x x πππ--<+<<，由sin y x =在41(,2)2k ππ-递增得当n 为偶数时，不妨设2n k =，从1()g x 开始相邻两项配对，每组均为负值，即1234212[()()][()()][()()]0k k g x g x g x g x g x g x -++++⋯++<，结论成立；当n 为奇数时，设21n k =+，2141(2k k x π++∈ ，(21))k π+，2121()sin 0k k g x x ++=-<从1()f x 开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也为负值，即即123421221[()()][()()][()()]()0k k k g x g x g x g x g x g x g x -+++++⋯+++<，结论成立；综上，对于一切*n N ∈，12()()()0n g x g x g x ++⋯+<成立．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ = ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB = ，求k 的值【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），设(3cos ,3sin )P θθ，由于点M 满足2PM MQ = ，所以4cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(4)1x y -+=．转换为极坐标方程为28cos 150ρρθ-+=（Ⅱ）直线:l y kx =转换为极坐标方程为θα=，设1(A ρ，)α，2(B ρ，)α，由于4OA AB = ，所以54OA OB = ，即1254ρρ=，由于28cos 150ρρθ-+=，所以1212128cos 1554ρρθρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得cos θ=．所以222113tan 1cos 243k θθ==-=，解得tan 27k θ==±．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．()2()|2|2|1|f xg x x a x +=++-|2||22||2(22)|x a x x a x =++-+-- |2|1a =+=，解得1a =-或3a =-；（Ⅱ）1[2x ∈，1]时，不等式()()1f x g x +<，即：|2||1|1x a x ++-<，可得：|2|11x a x ++-<，|2|x a x ∴+<．3a x a ∴-<<-，不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，即：132a -<且1a ->，∴312a -<<-．实数a 的取值范围：3(2-，1)-．。