第三章稳定性和代数稳定判据

i 1 j 1
K
k
p1
O

注意：稳定性与零点无关
p2
稳定性的基本概念

线性系统稳定的充要条件
某单位负反馈系统，其开环传递函数为
K G(s) s(Ts 1)
( K 0, T 0)
G(s) K ( s) 2 1 G ( s) Ts s K
D( s) Ts 2 s K
p1,2 1 1 4TK 2T
结果：共轭复根，具有负实部，系统稳定。
稳定性的基本概念

线性系统稳定的充要条件
的稳定性 1 3 R ( s ) s 4 s 2 5s 2
试判断系统： C ( s )
解：系统的闭环 特征方程为：
2
s 4s 5s 2 0
3 2
4 s 解：列写Routh表：
1 2
2 3- 4 2
3 4 1 6 5 0
5 0
因为Routh 阵列第一列符 号改变两次， 故有两个实部 为正的根。
s s s s
3 2
符号改变 一次
1 1 4- 25 1 0
5
符号改变 一次
稳定性的代数判据

Routh判据的应用 例2:单位反馈系统如图,求使系统稳定的K的取值范围.
劳思表中第k行元素全为0，这说明系统的特征根或存 在两个符号相异，绝对值相同的实根,或存在一对共轭纯 虚根，或存在实部符号相异，虚部数值相同的共轭复根， 或上述类型的根兼而有之。 共轭虚根 大小相等 符号相反的实根
对称于虚轴的 两对共轭复根
稳定性的代数判据

Routh判据的特殊情况2——某一行元素均为0

( z 1)3 7( z 1)2 14( z 1) 8 0

系统的稳定性和代数稳定判据系统的稳定性和代数稳定判据系统稳的定和代性稳数定判据系统的稳定性和代数稳定判据稳定性的本概基一、念统系稳定的性如一个果性定线常统在扰系作用消动后，失如一个果性定常线统系在扰作动用失消，能后恢够到复始的原衡状平态，能够复恢到始的平原衡态状，系即的零统输响入应是收的，则称敛统系是定的。

稳应收敛是的则，称统是系定的。

反之稳，若统不能恢系复到始的平原衡状，态反之若系，统能不复到原恢的平始衡态状，即系的零统入响应具输有幅震荡或等发性散，质即系统的零入输响具应等幅有荡或震发性质，散则称统是不稳系的。

定则称系统不是稳定的。

系统的稳定性和代数稳定判据二、线性统稳定系的充条件要设闭环系统的传函数C(s)递bmsm+m1bsm1 + +bs +b B(s)0 Φ1s( ) = = = nn 1(R) ans s+ n1sa++ a1 + as0D s()(m ≤ n )令p 系为特征统程) 方0= (Ds ,, , (i =i 12 n)而R( ) =s1 彼此等不干扰为理。

脉冲函数想：C ()s=k的根,B( ) s(Bs) R( s) =D( )s D (s)则αr js +β cji =∑ ∑ j +=1 (sσ j+j ωj ) (σs j jω j ) =i1 s pi[][]k+ 2 r=n ct() = ∑ i cei =1kpi t ∑+ej=1 rσ jt( A joc ωs j t+ B j s n i ω jt )(t≥ )0系统的稳定性和代数稳定判据式上明表：式表明上：1 当且。

仅系统当的征特根全具有负部部(和实均小。

当于且当系仅统特的征全部具有根实负部(),即征特的位根分布置在面平左半的时部，即征特根的置分布在S平面位的半左部时),零即特征根位置的分在布平的左面半时，才能成部此系时在扰动统消后能失恢复原来的平衡到态，状立此时，系统在扰消动失后能复到恢来的原衡状平态，系则统是稳的定统。

J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s1 s0
a n ,1
a n +1,1
14
2、劳斯稳定判据
线性系统稳定 劳斯表中第一列元素各值全部为正。 如果劳斯表第一列中的元素出现小于零的数值，则系统不稳定， 且第一列各元素符号的改变次数，等于特征方程的正实部根的数目。 例3-6 设系统特征方程为
s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0
sin( γ t + ϕ )
lim e βt sin(γt + ϕ ) = 0
t →∞
( β < 0) ( β > 0)
运动模态
lim e βt sin(γt + ϕ ) = ∞
3）重根：设 α 为q重根
t →∞
eαt ,
te α t , L t q −1e α t
lim t r eαt = 0
t →∞
2 0 0 （0）0 8
4 12 8
8
设： F ( s ) = 2 s 4＋8＝0 可以求出以原点对称的根为
−1 ± j ， 1 ± j
×
ε
64
1
Im
×
ε
1 -1
×
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s0
Re
8
-1 ×
第一列数值有两次符号变化，故本例 系统不稳定，且有两个正实部根。
20
二、劳斯稳定判据的应用
3 4 5
5
s3 s2
s1
s0
5
1 ai−2,1 ai−2, j＋1 aij = − ai−1,1 ai−1,1 ai−1, j+1

四、两种特殊情况的处理. 第一种特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中 出现某一行第一列的元素值为零, 而这一行其它各列的 元素值不全为零. 例3: 设系统的特征方程为 D( s ) = s 4 + 2s 3 + s 2 + 2s + 1 = 0 解: s 4 1 1 1 用一大于零的无穷小量 3
s s2 s1 s0
2 0(ε ) 2ε − 2 ε 1 2 0 1 0 0 0 ⇒ 2− 2 ε 0 0
ε
代替第三行第一列的零 参与以下各行各列元素 值的计算.
因为 ε 是大于零的无穷小量, 所以 (2 − 2 / ε ) < 0 系统不稳定, 且有两个根在s的右半平面上. 教材 介绍了处理第一种特殊情况的另一种方法,也可行，不 再介绍.
s1 1 3 0 0 0
从第一列都大于零可见，好象系统是稳定的。注意此时还要 计算大小相等位置径向相反的根再来判稳。由辅助方程求得： s1, 2 = ± j 2 , s3, 4 = ± j 2 ( s 2 + 2)( s 2 + 4) = 0 , 纯虚根，此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定 的。
其系统稳定的必要条件是：上式中各项系数为正数。
对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。
三、 劳斯稳定性判据 设线性系统的特征方程为
D ( s ) = a0 s + a1s
n
n −1
+ + an −1s + an = 0
式中 a0 > 0 , 构造如下劳斯行列表:
s1 − 6 0 0 s0 5 0 0
[例]系统的特征方程为： s 5 + 2 s 4 + 24 s 3 + 48s 2 + 23s + 46 = 0 该 系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。 [解]：劳斯阵如下