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系统的稳定性和代数稳定判据

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机械工程控制基础第五章系统稳定性分析

机械工程控制基础第五章系统稳定性分析
条件, 既使上述条件已满足，系统仍可能不稳定，因为 它不是充分条件。
9/88
5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
Logo
同时，如果劳斯阵列中第一 列所有项均为正号，则系统 一定稳定。
劳斯阵列为
sn a0 a2 a4 a6 s n1 a1 a3 a5 a7 s n2 b1 b2 b3 b4 s n3 c1 c2 c3 c4
由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正
值，所以控制系统稳定。
16/88
Logo
5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
例2 设控制系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳
阵列
s4 1 3 3
2/88
5.1 系统稳定性的基本概念
d
o
F
Logo
b
c
M
o
稳定性的定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的 作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于 零，具有恢复到原来状态的性能，则该系统是稳定的， 否则，该系统为不稳定。
3/88
Logo
5.2 系统稳定的充要条件
N(s)
X i s
+
G1 s
➢ 劳斯判据还说明：实部为正的特征 根数，等于劳斯阵列中第一列的系 数符号改变的次数。
12/88
5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
Logo
劳斯判据的表述：
1.系统闭环传递函数特征方程式的系数没有为0的， 同时都是正数。（必要条件，要想系统稳定必 须满足这个条件）
2.劳斯阵列的第一列全部为正。（充分条件）

系统的稳定性和代数稳定判据

系统的稳定性和代数稳定判据

系统的稳定性和代数稳定判据系统的稳定性和代数稳定判据系统稳的定和代性稳数定判据系统的稳定性和代数稳定判据稳定性的本概基一、念统系稳定的性如一个果性定线常统在扰系作用消动后，失如一个果性定常线统系在扰作动用失消，能后恢够到复始的原衡状平态，能够复恢到始的平原衡态状，系即的零统输响入应是收的，则称敛统系是定的。

稳应收敛是的则，称统是系定的。

反之稳，若统不能恢系复到始的平原衡状，态反之若系，统能不复到原恢的平始衡态状，即系的零统入响应具输有幅震荡或等发性散，质即系统的零入输响具应等幅有荡或震发性质，散则称统是不稳系的。

定则称系统不是稳定的。

系统的稳定性和代数稳定判据二、线性统稳定系的充条件要设闭环系统的传函数C(s)递bmsm+m1bsm1 + +bs +b B(s)0 Φ1s( ) = = = nn 1(R) ans s+ n1sa++ a1 + as0D s()(m ≤ n )令p 系为特征统程) 方0= (Ds ,, , (i =i 12 n)而R( ) =s1 彼此等不干扰为理。

脉冲函数想：C ()s=k的根,B( ) s(Bs) R( s) =D( )s D (s)则αr js +β cji =∑ ∑ j +=1 (sσ j+j ωj ) (σs j jω j ) =i1 s pi[][]k+ 2 r=n ct() = ∑ i cei =1kpi t ∑+ej=1 rσ jt( A joc ωs j t+ B j s n i ω jt )(t≥ )0系统的稳定性和代数稳定判据式上明表：式表明上：1 当且。

仅系统当的征特根全具有负部部(和实均小。

当于且当系仅统特的征全部具有根实负部(),即征特的位根分布置在面平左半的时部，即征特根的置分布在S平面位的半左部时),零即特征根位置的分在布平的左面半时，才能成部此系时在扰动统消后能失恢复原来的平衡到态，状立此时，系统在扰消动失后能复到恢来的原衡状平态，系则统是稳的定统。

系统的稳定性和代数稳定判据

系统的稳定性和代数稳定判据

)
n2
(
s
2
2ll
l2)
j 1
l 1
n1
aj
j 1 s p j
n2
l 1
l
(s
lnl s2 2
) lnl 1 lnl s nl2
2 l
y2(t) n1 a je pjt n2 le lnlt cosnl
1l2t
n2
e lnlt
l
sin nl
1l2t
j 1
l 1
l 1
线性系统稳定的充要条件：
Tuesday, July 28,
2020
3
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式
Y2(s)
sn an1sn1 a1s a0
n1
(s
p
j
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离
开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
Tuesday, July 28,
2020
2
稳定的充要条件和属性
设系统或元件的微分方程为：
y(n)(t) an1y(n1) (t) a0 y(t) bmx(m)(t) bm1x(m1)(t) b0x(t)
系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具
有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面
的左半部。 Tuesday, July 28,

《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标

《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标

i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2

系统的稳定性和代数稳定判据

系统的稳定性和代数稳定判据

an 2 an 3 b2 c2 d2
an 4 an 5 b3 c3 d3

c1
an 1 b1 b1
an 3 b2 b1an 3 b2an 1 b1
n 1 n 2n 3 n 4n
s an s an 1 s b1 s c1 s d1 s g1
a3 a2 a2 a1 a3 a0 a2 a0 a1 a0 0 0
s2 s
1
s0
稳定的充要条件为： a3 , a2 , a1 , a0 均大于零
且a1a2 a3a0 0
小结
线性系统稳定的充要条件 劳斯代数稳定性判据（劳斯阵，各种特殊情况下劳
斯阵的排列和判稳方法）
s an s an 1 s b1 s c1 s d1 s g1
an an 2 an 1 an 3 an 1an 2 an an 3 b1 an 1 an 1
an an 4 an 1 an 5 an 1an 4 an an 5 b2 an 1 an 1
C ( s) bm s m bm 1s m 1 b1s b0 B( s) ( s) n n 1 R( s) an s an 1s a1s a0 D( s)
(m n)
令p 为系统特征方程 D( s ) 0 i 1 , 2 , , n 而 i R( s ) 1 彼此不等。干扰为理想脉冲函数：
结论：
线性系统稳定的充要条件是：
闭环系统特征方程的所有根均具 有负实部；或者说，闭环传递函数的 极点均分布在平面的左半部。
二、 劳思—赫尔维茨稳定性判据 （一）、劳思判据 设线性系统的特征方程为 an s n an1s n1 a1s a0 0 则该系统稳定的充要条件为： 特征方程的全部系数为正值；

自动控制原理第三章

自动控制原理第三章
1
P75 二阶系统的 结构图
20
2019/4/2
《自动控制原理》第三章
1、无阻尼情况 ( 0)
s 1 ct (t ) L [ 2 ] cos nt t 0 2 s n
等幅振 荡
特征方程有一对共轭虚根 s1,2 jn 2、欠阻尼情况 (0 1)
2019/4/2
《自动控制原理》第三章
7
三.劳斯稳定判据的应用
1、判断系统的稳定性 例: a3 s 3 a2 s 2 a1s a0 0 解:
判断稳定性。
s
3
a3 a2 a1a2 a3 a0 a2 a0
a1 a0 0
0 0
s2 s1 s
0
三阶系统稳定的充要条件是: ai
2019/4/2
瞬态ct (t ) e
ct (t )
t
T
, 稳态css (t ) 1(t )
css (t )
dc(t ) 1 e t /T dt t 0 T
c(t )

t 0
1 T
+
=
2019/4/2
《自动控制原理》第三章
18
二.一阶系统的动态性能指标
c(t )
t 3T
(1 e
t /T
)
t 3T
1 e
3T /T
0.95
T0 T 1 K0
ts 3T
ts 是一阶系统的动态性能指标。
增大系统的开环放大系数K0 会使T 减小，使ts 减小。
2019/4/2
《自动控制原理》第三章
19
第四节
二阶系统的动态性能指标
二阶标准型 或称典型二阶系 统传递函数

10 系统的稳定性分析Nyquist稳定判据

开环稳定时
根据米哈伊洛夫定理推论： arg DK ( j ) n 若闭环也稳定，当由0变化到时：
arg DB ( j ) n

2

2
从而：
argF ( j) argDB ( j) argDK ( j) 0
上式表明，若系统开环稳定，则当由0变化到时， F(j) 的相角变化量等于0 时，系统闭环也稳定。
注意到： F ( j) 1 G( j) H ( j) 即：
G( j ) H ( j ) F ( j ) 1
上式表明，在复平面上将F(j)的轨迹向左移动一 个单位，便得到G(j)H(j) 的轨迹。
Im
=
-1 0
=0
Re
1
G(j)H(j)
F(j)
7.4 乃奎斯特稳定性判据
7.4 乃奎斯特稳定性判据 Im
D(j)
Im

-p
j 0
'
-p
Re
由图易知，当由0变化到时， D(j)逆时针旋转 90°，即相角变化了 /2。 arg D ( j )
2
若特征根为正实根，则当由0变化到时：
arg D ( j )

2
7.4 乃奎斯特稳定性判据
代数稳定性判据判别系统的稳定性，要求必须知 道闭环系统的特征方程，而实际系统的特征方程是 难以写出来的，另外它很难判别系统稳定或不稳定 的程度，也很难知道系统中的各个参数对系统性能 的影响。
两种常用的频域稳定判据：Nyquist稳定判据（简称
乃氏判据）和对数频率稳定判据。

Nyquist判据根据开环幅相曲线判别闭环系统稳定性；
7.4 乃奎斯特稳定性判据

系统的稳定性 常见判据


s s s
i
n
j k
,
s s i j i j i 1, j 2 n a0 n ( 1) si an i 1 an 2 an
n
系统稳定的必要条件： 各系数同号且不为零 或： an>0, an-1>0, … , a1>0, a0>0
二、Routh （劳斯）稳定判据
2. 系统稳定的充要条件
n n1 D ( s ) a s a s a1 s a0 0 特征方程： n n1
Routh 表：
s
n
an
an 2 an 3 A2 B2 D2
an 4 an 5 A3 B3
an 6 an 7 A4 B4
其中：
一、系统的稳定性与稳定条件
1. 系统不稳定现象
例：液压位置随动系统
原理：
外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开 →活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）
→（惯性）活塞继续右移→阀口1、3开启→活塞左移→ 平衡位置
→（惯性）活塞继续左移→阀口2、4开启…… ① 随动：活塞跟随阀芯运动 ② 惯性：引起振荡 ③ 振荡结果： ③ 增幅振荡 ① 减幅振荡 ② 等幅振荡 （收敛，稳定） （临界稳定） （发散，不稳定）
例2 已知=0.2及n=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。 系统开环传递函数：
2 n (s K ) Xo( s ) GK ( s ) 2 E ( s) s ( s 2n )
系统闭环传递函数： 特征方程：
3
2 X o ( s) n (s K ) GB ( s ) 3 2 2 X i ( s ) s 2n s 2 n s K n

35劳斯判据


统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；
如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期
振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。
如果特征方程中有一对实部为负的共轭复根，它的对应项
是收敛的。
Im S平面
稳临 定界
不 稳
Re
区稳 定
定区
结论：
➢ 线性定常系统稳定的充分必要条件：特征方程式的 所有根均为负实根或其实部为负的复根，即特征方 程的根均在复平面的左半平面。
➢ 这表明：线性定常系统零输入响应稳定的充 要条件是其特征方程的根均具有负实部。
特征方程根与系统稳定性的关系
如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单
调增长；
如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项
是发散的周期振荡。
上述两种情况下系统是不稳定的。
如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系
稳定性的条件除特殊情况外是一致的。 • 所以，线性定常系统的稳定性可以通过系统响
4.线性定常系统的稳定性表现
➢ LTI的稳定性与其时域响应的收敛性密切关联 控制系统的响应分为暂态分量和稳态分量，若 随时间推移，其暂态分量逐渐衰减，系统响应 最终收敛到稳态，则称该系统稳定(①)； 如果过渡过程发散，则该系统不稳定(②)。
2.零输入响应的稳定性（通常意义的稳定）
➢ 研究系统零输入响应的稳定性，就是研究系统 输出量中齐次方程通解的运动形式；
➢ 这种运动形式完全取决于系统的特征方程式， 即齐次微分方程，这个特征方程反映了扰动消 除之后输出量的运动情况。
➢ 单输入、单输出线性定常系统微分方程的一般形 式为
c(n) (t) a1c(n1) (t) a2c(n2) (t) an1c(t) anc(t) b0r (m) (t) b1r (m1) (t) b2r (m2) (t) bm1r(t) bmr(t)

3.5劳斯稳定性及稳定判据

s1 1 0 0 0 3
s0 8 0 0 0
辅助方程为：s4 6s2 8 0 ， 求导得：4s3 12s 0 ， 或 s3 3s 0 ，用1，3，0代
替全零行即可。
第一列除全零行外，其它系数都大于零，说明无S右半平面的根
由辅助方程求得： (s2 2)( s2 4) 0
c() 0 系统稳定
s4
c(t)
t 0
N (s) G(s) s(s 3)( s 20)( s2 2s 4)
s5 0 增加运动模态 常数项 k
c() k 系统不稳定
s3 j
s2
s1

o
N (s)
s4
G(s) (s 3)( s 20)( s2 2s 4)( s2 4)
s1,2 j 2 , s3,4 j2
此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。
[例3-9]某反馈控制系统的特征方程为： s3 5ks2 (2k 3)s 10 0
试确定使该闭环系统稳定的K值。 解： 计算劳斯表
s3 1
2k 3
s2 5k
10
s1 2k2 3k 2 0
如果系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后， 经过足够长的时间后能回复到原来的初始平衡状态，则称系统 是稳定的。否则是不稳定的。
2 判别线性系统稳定性的基本准则
研究系统的稳定性，是以传递函数的分母多项式D(s)（也 之称为系统的特征方程）为研究对象，如极点（特征根） 对应的运动模态，在t->∞时，都等于零，则系统是稳定的。
系统稳定研究系统的稳定性是以传递函数的分母多项式ds也之称为系统的特征方程为研究对象如极点特征根对应的运动模态在t时都等于零则系统是稳定的
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它根均位于 左半平面，这样的系统称为临界稳定系统，s临界稳定系统的输出根据输
入的不同，或等幅振荡或发散，因此，在工程实际上视临界稳定系统为不稳定系统。
( j)
s
Tuesday, June 30, 2020
8
线性系统稳定的充要条件： 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。
该定义说明，由于扰动的作用，使系统的工作状态发生变化，如果系统的状态能 恢复到原来的工作状态，则系统是稳定的。
Tuesday, June 30, 2020
2
稳定的定义
定义二：在有界输入－有界输出（Bouned-Input-Bounded-Output)意义下的稳定性定义。 若线性系统在有界的输入量或干扰量的作用下，其输出量的幅值也是有界的，则称系 统是稳定的，否则如果系统在有界输入作用下，产生无界输出，则称系统是不稳定的。
如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状 态（或临界稳定状态）。
从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。
I m S平面
稳临不
定 界 稳 Re
区稳定 定区
Tuesday, June 30, 2020
10
再来讨论有界输入－有界输出意义下的稳定性定义。同样假设系统的单位脉冲响应
或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部。
如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随发散的周期振荡。 上述两种情况下系统是不稳定的。
Tuesday, June 30, 2020
9
充要条件说明
如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡， 称为随遇平衡状态；
| y(t) | M r M
n2
n2
B e lnlt l
c os nl
1l2t
C e lnlt l
sin nl
1 l 2 t，t 0
l 1
l 1
若冲响0应y函 (t数)无d为t界，则不，能则保当证 且输仅出当响积应分：
有界输入－有界输出稳定性的概念是考虑在输入影响下系统的行为。
尽管在引出稳定性的定义时提到了输入作用和扰动作用，但对线性定常系统来 说，不论是在李亚普诺夫，还是在有界输入－有界输出的意义下，系统稳定与否完 全取决于系统本身的结构和参数，稳定性是系统本身的一种特性，而与输入作用无 关。输入量不影响输出量的瞬态项，只影响输出量的稳态项。
l 1
l 1
可点见和，共若轭复数ltim极 点y (的，t)实则 部式0 ，中表明和若要使应p单该j 位为脉负冲l数响n。l 应而收敛于和零，分系别统为的系极统点的p j均实应数有极 lnl
负的实部。则线性系统稳定的充分必要条件可描述为：系统的所有极点必须位于 左
半平面。
s
Tuesday, June 30, 2020
7
系统的特征根中只要有一个正实根或一对具有正实部的共轭复根，则其脉冲响应函 数就呈发散形式，系统不可能再回到原来的工作状态，这样的系统就是不稳定系统。 也就是说，对于不稳定系统，特征方程至少有一个根位于 右半平面，在这种情况下， 系统的输出对任何输入都是不稳定。如果特征方程有一对共轭根在虚轴 上，而其
为 ，则系统在任意输入信号y (t)的作用下，输出响应 可表示为 r(t与) 的卷积，
y(t)
y (t) r(t)
y(t) 0 y ( )r(t )d
如果 r有(t)界，即存在常数 使得：Mr
| r(t ) | Mr
由于：
| y(t) | 0 y ( )r(t )d 0 y ( )r(t )d
一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件
稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统 在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波 动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的 扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统 的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。
0 y ( ) | | r(t )d M r 0 y ( )d
可见，若
0
y绝(t对)d可t 积，即
有界或y存 (在t)常数
，使得：
M
0 | y (t) |dt M
则输出响应
Tuesday, June 30, 2020
必y(定t)是有界的
11
y (t) n1 Aje p jt j 1
Tuesday, June 30, 2020
3
线性控制系统稳定的充分必要条件
两种稳定性定义虽然表述不同，但在本质上是一致的。由于系统的稳定性与
外界条件无关，因此，可设线性系统的初始条件为零，输入作用为单位脉冲信号
，这时系统的输出便是单位脉冲响应 。这相当于在扰动信号作用下，输出信号
偏离原来工作状态的情形。根据李亚普诺夫意义下的稳(t定) 性定义，当时间趋于无穷大
Tuesday, June 30, 2020
1
稳定的定义
定义一：俄国学者李亚普诺夫意义下的渐进稳定性定义：如果线性系统受到扰动的作 用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋向于 零，即被控量趋向于原来的工作状态，则称该系统为渐进稳定，简称稳定。反之，若 在初始扰动的影响下，系统的被控量随时间的推移而发散，则称系统不稳定。
j 1
l 1
Tuesday, June 30, 2020
6
部分分式展开得：
Y (s)
A n1 j
j1 s p j
n2 l 1
Bl (s l nl ) Clnl 1 l 2
s2
2 l nl s
2 nl
单位脉冲响应为：
y (t) n1 Aje p jt j 1
n2
n2
Ble lnlt cosnl 1 l 2 t Cle lnlt sin nl 1 l 2 t，t 0
时下，面若讨脉论冲系响统应稳收定敛性于与y原系 (来统t)的极工点作之状间态的，关即系：:
则线性控制系统是稳定的。
由于系统的输入为单位脉冲信号
，则系统的输出为：
lim
t
y
(t)
0
R(s) 1
m
kg (s zi )
Y (s) n1
i 1 n2
(s p j ) (s2 2 l nls nl2 )