当前位置：文档之家 › 第四节劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题,

第四节劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题,

  • 格式：ppt
  • 大小：241.50 KB
  • 文档页数：37

下载文档原格式

  / 37

合集下载

反馈控制系统的稳定性分析

反馈控制系统的稳定性分析


练习
5
系统特征方程为
4 3 2
s 2s 3s + 6s - 4s 8 0
s5 s4 s3 3 s s2 s1 s0 1 2 0 8 3 100 3 8 3 6 0 12 8 0 4 8 0
F (s) 2s 6s 8
4 2
五、 劳斯判据的应用
应用劳斯判据不仅可以判别系统是否稳定，即系统的 绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕 量，即相对稳定性。另外劳斯判据还可用来分析系统 参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。
g( t ) Ci e
i 1
k
pi t
Ai e
i 1
r
i t
sin(i t i )
pi 0
i 0
线性系统稳定的充分必要条 件是它的所有特征根都具有 负实部或都位于S平面的左半 平面，则系统稳定。
例4
一个单位反馈系统的开环传递函数为 试说明系统是否稳定。
k G(s) s (2s 1)
图3-23
解(1)系统的传递函数为：
(2)列劳斯阵列表
C ( s) K ( s) R( s) s( s 1)( s 5) K 特征方程为：
s 2 s
s
1
3
s 6 s 5s K 0
3 2
系数都为正实数
s
0
30-k 6
1 6
5 k
k
(2)列劳斯阵列表
s
3
1 6
30-k 6
a4 a5 b3 c3
s n 3 s s s
1
n2
0
11
12
1 a0 a2 b1 a1 a1 a3
频率特性法设计三阶系统

频率特性法设计三阶系统

毕 业 设 计 （论 文）设计（论文）题目:_ 用频率特性法设计三阶系统________ __及其仿真研究___________单 位（系别）：_______自动化_________学 生 姓 名：________***________专 业：__电气工程与自动化____班 级：______ 05131104_______学 号：___ _0513110417_____指 导 教 师：______ 汪纪锋________答辩组负责人：______________________填表时间： 2015 年 5 月重庆邮电大学移通学院教务处制编 号：____________审定成绩：____________用频率特性法设计三阶系统及其仿真研究摘要自动控制作为一种技术手段已经广泛地应用于工业、农业、国防乃至日常生活和社会科学许多领域。

自动控制就是指在脱离人的直接干预，利用控制装置（简称控制器）使被控对象（如设备生产过程等）的工作状态或简称被控量（如温度、压力、流量、速度、pH值等）按照预定的规律运行。

实现上述控制目的，由相互制约的各部分按一定规律组成的具有特定功能的整体称为自动控制系统。

如果将控制系统中的各个变量看成是一些信号，而这些信号又是由许多不同频率的正弦信号合成的，则各个变量的运动就是系统对各个不同频率信号响应的总和。

系统对正弦输入的稳态响应称频率响应。

利用频率特性分析法设计三阶系统是从频域的角度研究系统特性的方法。

通过分析频率特性研究系统性能是一种广泛使用的工程方法，能方便地分析系统中的各部分参量对系统总体性能的影响，从而进一步指出改善系统性能的途径，所以我们对系统的频响特性要进行深入的分析。

设计自动控制系统，既要保证所设计的系统简单，成本低，又同时需要有良好的性能，能满足给定技术指标的要求，也就是需要同时考虑方案的可靠性和经济性。

本次设计运用频率特性的方法，设计出一个三阶系统，并对系统进行分析研究，最终得出一个符合要求的设计系统。

自动控制原理第四章-1-劳斯稳定性判据

自动控制原理第四章-1-劳斯稳定性判据


04
劳斯稳定性判据的优缺点
优点
简单易行
劳斯稳定性判据是一种直接的方法，用于确定系统的稳定 性。它不需要求解系统的极点，只需要检查劳斯表格的第 一列。
普遍适用性
劳斯稳定性判据适用于所有线性时不变系统，无论系统是 单输入单输出（SISO）还是多输入多输出（MIMO）。
数学基础
劳斯稳定性判据基于数学中的因式分解和不等式性质，具 有坚实的数学基础。
劳斯稳定性判据的局限性在于它只能判断系统 的稳定性，无法给出系统动态性能的评估和优 化。
对自动控制原理的展望
随着科技的发展，自动控制原理的应用领域不断扩大，涉及到工业、交通、医疗、 农业等多个领域。
未来，自动控制原理将与人工智能、机器学习等先进技术相结合，实现更加智能化、 自适应的控制方案。
自动控制原理的理论体系也将不断完善和发展，以适应不断变化的应用需求和技术 环境。
2
在航空航天领域，为了确保飞行器的安全和稳定， 需要利用劳斯稳定性判据对飞行控制系统进行稳 定性分析和设计。
3
在化工领域，为了确保生产过程的稳定和安全， 需要利用劳斯稳定性判据对工业控制系统进行稳 定性分析和设计。
02
劳斯稳定性判据的基本原理
线性系统的稳定性
线性系统
01
在自动控制原理中，线性系统是指系统的数学模型可以表示为
缺点
01
对初始条件的敏感性
劳斯稳定性判据对系统的初始条件非常敏感。即使系统在大部分时间内
是稳定的，如果初始条件设置不正确，可能会导致错误的稳定性判断。
02
数值稳定性问题
在计算劳斯表格时，可能会遇到数值稳定性的问题，例如数值溢出或数
值不精确。这可能会影响判据的准确性。
5.控制系统的稳定性分析

5.控制系统的稳定性分析

i 1 i
n


(n 2 p q)

2

为了证明这个定理，我们研究一个一次式
D1 (s) s s1
因此，p个右根的总角变化量为p(-π/2)

推论：如果n次多项式D(s)的所有零点都位于复平面的 左半面，则当以s=jω代入D(s) 并命ω从0连续增大到∞
时，复数D(s)的角连续增大
arg[1 G( j)] 180

开环传递函数在原点处的每一个极点使
arg[1 G( j)] 90
5.4.3乃奎斯特稳定性判据的另一表述

令ω从－∞ → 0,相应得出的乃氏图是与 ω从0 →+∞得出的乃氏图对于实轴对称的。


(1) 当开环系统稳定时，乃氏判据可表述为：
如果对应ω＝ －∞ →+∞封闭的乃氏曲线不包围（－1，
j0）点，则系统闭环后稳定，否则不稳定。

例：以5-9为例


辅助曲线的作法：
以∞为半径，从乃氏曲线的起始端沿反时针方向，
绕过λ90°作圆。这个圆就是辅助曲线，λ是开环传
递函数中含有积分环节的个数。
(2)

例题
5.5由伯德图判断系统的稳定性
s12 2 j

s34 2 j
系统处于临界稳定
5.3.2赫尔维茨稳定性判据

根据特征方程的系数来判断稳定性的另一方法
D(s) a0 s n a1 s n1 an1 s an s 0

a0
a0 0
5.4乃奎斯特稳定判据（1932）

利用开环乃氏图判断闭环系统稳定性的一种准则。 从代数判据脱颖而出，故可说是一种几何判据。
劳斯判据

劳斯判据


(3.63)
假如所有的根均在左半平面，即 p j <0，s i<0 ，则p j >0 ，s i >0 。所以将各因子项相乘展开后，式（3.63）的所 有系数都是正数。 根据这一原则，在判别系统的稳定性时，可首先检查系 统特征方程的系数是否都为正数，假如有任何系数为负数或 等于零（缺项），则系统就是不稳定的。但是，假若特征方 程的所有系数均为正数，并不能肯定系统是稳定的，还要做 进一步的判别。因为上述所说的原则只是系统稳定性的必要 条件，而不是充分必要条件。
an 3 b2 an 5 b3 an 7 b4
按此规律一直计算到n -1行为止。在上述计算过程中，为 了简化数值运算，可将某一行中的各系数均乘一个正数，不 会影响稳定性结论。 3. 考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列表中第 一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的 根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有负数，则第 一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。 例3.3 系统特征方程为
线性闭环系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位 置予ห้องสมุดไป่ตู้确定。假如单输入单输出线性系统由下述的微分方程 式来描述，即
an c ( n ) an 1c ( n 1) a1c (1) a0c bm r ( m ) bm1r ( m1) b1r (1) b0 r
2 2
s4 1 s3 6
例3.4 已知系统特征方程式为
s5 3s 4 2s3 s 2 5s 6 0
解 列写劳斯阵列表 5 1 2 5 s s4 3 1 6 s3 5 9 （各系数均已乘3） 2 s -11 15 （各系数均已乘5/2） 1 （各系数均已乘11） s 174 s0 15 劳斯阵列表第一列有负数，所以系统是不稳定的。由于第 一列系数的符号改变了两次(5→－11→174)，所以，系统特 征方程有两个根的实部为正。
第四章 稳定性分析——劳斯判据(4-1)PPT课件

第四章 稳定性分析——劳斯判据(4-1)PPT课件

或不全为零，此时，用一个任意小的正数 代 替 这个零，然后按通常的规则继续完成劳斯表中其余 各项元素的计算。如果零（ ）上面这项系数符号 与零（ ）下面这项系数符号相反，表明这里有一 个符号变化。 例：特征方程如下：
s5 s4 5s3 5s2 2s 1 0
试用劳斯判据判别其稳定性。 解：列出劳斯表
11
例：系统的特征方程为： s3 4s2 10s 50 0 试用劳斯判据判别其稳定性。
解: 列出劳斯表
s3 1 10 s 2 4 50 s1 2.5 0 s 0 50 0
因为劳斯表中第一列元素的符号变化两次，说明 该系统有两个特征方程的根在右半s平面，所以系统 不稳定。
12
2．劳斯判据的两种特殊情况 （1）劳斯表中某一行第一项元素为零，其余项不为零
第二步：建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。 例：五阶系统，其特征方程：
a5 s5 a4 s 4 a3s3 a2 s 2 a1s a0 0
9
s5
a5
a3
a1
s4
a4
a2
a0
s3
A1
a4a3 a5a2 a4
A2
a4a1 a5a0 a4
0
s2
B1
A1a2 a4 A2 A1
B2
A1a0 0 A1
彼此不等。干扰为理想脉冲函数：R(s) 1
C(s) B(s) R(s) B(s)
D(s)
D(s)
则
k
ci
r
js j
i1 s pi j1 s ( j j j ) s ( j j j )
k 2r n
k
r
c(t) cie pit e jt ( Aj cos jt B j sin jt)
劳斯-霍尔维茨稳定性判据

劳斯-霍尔维茨稳定性判据

第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。

控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。

如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。

因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。

常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。

它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。

它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。

3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。

它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。

这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。

4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。

该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。

一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。

考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。

而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。

因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。

控制系统时域分析法

控制系统时域分析法


（四）脉冲信号 单位脉冲信号旳体现式为： (3.4) 其图形如图3-4所示。是一宽度为e ，高度为1／e 旳矩形脉冲，当e 趋于零时就得理想旳单位脉冲信号(亦称d(t) 函数)。 (3.5)
3. 上升时间tr——它有几种定义： (1) 响应曲线从稳态值旳10%到90%所需时间； (2) 响应曲线从稳态值旳5%到95%所需时间； (3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需旳时间。 一般对有振荡旳系统常用“(3)”，对无振荡旳系统常用“(1)”。4. 峰值时间tp——响应曲线到达第一种峰值所需旳时间，定义为峰值时间。 5. 调整时间ts——响应曲线从零开始到进入稳态值旳95%~105%（或98%~102%）误差带时所需要旳时间，定义为调整时间。
由式(3.9)，很轻易找到系统输出值与时间常数T旳相应关系：从中能够看出，响应曲线在经过3T（5%误差）或4T（2%误差）旳时间后进入稳态。
t = T， c(1T) = 0.632 c(∞)t = 2T， c(2T) = 0.865c(∞)t = 3T， c(3T) = 0.950c(∞)t = 4T， c(4T) = 0.982c(∞)
下面分别对二阶系统在0< z <1，z =1，和z >1三种情况下旳阶跃响应进行讨论。 1. 0<z <1，称为欠阻尼情况 按式(3.14)，系统传递函数可写为 GB(s)= (3.17) 它有一对共轭复数根 (3.18) 式中 称为有阻尼振荡频率。
假如系统响应曲线以初始速率继续增长，如图3-9中 旳c1(t)所示，T还可定义为c1(t)曲线到达稳态值所需要 旳时间。
(3.13)
所以
当t= T时，c1(t)曲线到达稳态值，即
所以
（二）二阶系统旳阶跃响应 在工程实际中，三阶或三阶以以上旳系统，常能够近似或降阶为二阶系统处理。
控制工程之控制系统稳定性分析培训

控制工程之控制系统稳定性分析培训

控制系统稳定性分析实例
以一阶、二阶、高阶线性控制系统为例，介绍如 何利用劳斯-霍尔维茨稳定性判据进行稳定性分 析。
非线性控制系统稳定性分析实例
非线性控制系统介绍
01
非线性控制系统是由非线性微分方程描述的控制系统，其特点
是系统的输出和输入之间存在非线性关系。
平衡点稳定性分析
02
通过分析非线性控制系统的平衡点，判断系统在平衡点附近的
稳定性。
控制系统稳定性分析实例
03
以常见的非线性控制系统为例，介绍如何利用平衡点稳定性分
析进行稳定性判断。
控制系统稳定性分析软件应用实例
01
控制系统稳定性分析软件介绍
目前市面上有许多用于控制系统稳定性分析的软件，如MATLAB、
Simulink等。
02
软件应用流程
介绍如何利用这些软件进行控制系统稳定性分析，包括模型的建立、稳
特征值来评估系统的稳定性。
稳定性分析的步骤
系统建模
建立控制系统的数学模 型，可以是线性模型或
非线性模型。
模型简化
根据实际需要对模型进 行适当简化，以便于分
析。
稳定性判断
根据所选择的稳定性分 析方法，判断系统是否 稳定以及稳定的类型。
参数优化
根据系统稳定性的要求 ，对系统参数进行优化 调整，以提高系统性能
控制系统可监测设备运行状态，及时发现并处理异常情况，避免事 故发生。
节能减排
优化控制策略，降低能源消耗和排放污染物。
控制工程的历史与发展
经典控制理论
20世纪40年代至60年代，以传递 函数为基础，研究单变量线性时 不变系统的稳定性、性能分析和 设计方法。
现代控制理论
20世纪60年代末至70年代，以状 态空间法为基础，研究多变量线性 时不变系统的最优控制、状态估计 和预测等问题。
自动控制原理第四章答案

自动控制原理第四章答案

自动控制原理第四章答案在自动控制原理的学习中，掌握第四章的知识是非常重要的。

本章主要介绍了控制系统的稳定性分析，包括了稳定性的概念、稳定性的判据以及稳定性的研究方法。

下面将对第四章的习题答案进行详细解析，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分的内容。

1. 试述控制系统的稳定性概念及其重要性。

控制系统的稳定性是指在一定的工作条件下，系统的输出能够有限地保持在某个范围内，不会发散或者不会无限增大。

稳定性是控制系统正常工作的基础，一个稳定的控制系统才能够实现预期的控制效果，否则就会出现失控的情况，甚至导致系统崩溃。

因此，稳定性是控制系统设计和分析中非常重要的一个指标。

2. 什么是控制系统的稳定性判据？试述Routh-Hurwitz准则的基本思想。

控制系统的稳定性判据是用来判断系统的稳定性的方法和标准。

Routh-Hurwitz准则是一种常用的稳定性判据，其基本思想是通过构造一个特殊的矩阵，来判断系统的特征方程的根的实部是否都小于零，从而确定系统的稳定性。

通过计算特征方程的系数，可以得到一个关于这些系数的表达式，通过这个表达式的符号来判断系统的稳定性。

3. 试述根轨迹法的基本原理及应用条件。

根轨迹法是一种图解法，通过绘制系统的特征方程在复平面上的根轨迹图来判断系统的稳定性。

其基本原理是根据系统的传递函数，找出特征方程的根，并根据这些根在复平面上的分布情况来判断系统的稳定性。

根轨迹法的应用条件是系统的传递函数必须是一个真分式，即分子次数小于分母次数，且分母的所有根必须是实数或者成对共轭的复数。

4. 试述Nyquist稳定性判据的基本原理及应用条件。

Nyquist稳定性判据是一种基于系统的开环频率特性曲线（Nyquist曲线）来判断系统稳定性的方法。

其基本原理是通过绘制系统的开环频率特性曲线，然后根据曲线的形状和特征来判断系统的稳定性。

Nyquist稳定性判据的应用条件是系统必须是线性时不变系统，并且系统的传递函数必须是一个真分式。

1123系统稳定性判别简要方法

1123系统稳定性判别简要方法

系统稳定性判别简要方法
系统稳定性的判别方法
1、古典控制理论中 劳斯—赫尔维茨稳定判据 乃奎斯特 对数频率稳定判据等
2、现代控制理论中的李雅普诺夫第一法和第二法。
一、系统稳定性
稳定性是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的
首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内
部一些因素的扰动。 例如：负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的 改变等，如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动下偏离原 来的平衡状态，发生振荡越来越严重的现象，从而导致系统 不能正常工作。 因此，系统稳定性的判别就成为自动制理论研究的最基本 任务之一。
二、系统稳定性的判别方法
P是开环传递函数在右半s平面上的极点数。 N是当角频率由ω=0变化到ω=+∞时 G（jω）的轨迹沿逆时针方向 围绕实轴上点(-1，j0)的次数。乃奎斯特稳定判据还指出：Z=0时， 闭环控制系统稳定； Z≠0时，闭环控制系统不稳定。 综上，乃奎斯特稳定性判据总结为，一个闭环反馈系统稳定的 充要条件是其开环乃氏图逆时针包围（-1，j0）点的圈数等于其开 环右极点的个数。
s 2 s ( ) 2( ) 1 二阶微分： n n
转折频率： ω
n
二、系统稳定性的判别方法
对数频率响应稳定判据 典型环节
一阶惯性 一阶微分 振荡环节 二阶微分
斜率变化 （ dB -20 +20 -40 +40
dec ）
二、系统稳定性的判别方法
二、系统稳定性的判别方法
二、系统稳定性的判别方法
二、系统稳定性的判别方法
1、劳斯稳定判据是一种通过列写劳斯表，判断第一列各值的符号
来判定系统稳定性的方法，常用于较易得到系统闭环传递函数的

劳斯霍尔维茨稳定性判据

A t 0 r(t) 0 t 0
A=1时，称为单位 阶跃信号，用1(t)
表示
图(3-1)阶跃信号
（二）斜坡信号(Ramp Signal)
At t 0 r(t) 0 t 0
当A=1时，则 称为单位斜
坡信号
图(3-2)斜坡信号
（三）抛物线信号
(Parabolic Signal)

tan(d t p

) d n

1 2
p
p
tp

d

n
1 2
最大超调量p (percent overshot)
c(t) 1
1
1
2
e nt
sin(n
1 2 t arctan
1 2
)

代入t= tp
p
p % e 1 2 100%
1、最大超调量p (percent overshot)：

p

c(t p ) c() c()
100%
2、延在滞系时统间能t稳d (定tim工e 作del的ay条)：件响下应，曲 线系到统达的稳瞬态态值性5能0%通所常需以的系时统间在
43、、线峰上初位衡到值升始阶量达时时条跃第间间件 输一tt为入pr ((个pr零信ies峰ae的号kt值i情的tmim所e况响e)需：)下应：的三，特响时种对性应间定单来曲义
过阻尼情况( >1) c(t)
n
[e ( 2 1)nt e ( 2 1)nt ]
2 2 1
不同 值时的单位脉冲响应曲线
（四）二阶系统的瞬态响应性能指标
工程实际中往往习惯把二阶系统 调整为欠阻尼过程，

劳斯-赫尔维茨定理：描述稳定性的性质和判断方法

劳斯-赫尔维茨定理：描述稳定性的性质和判断方法第一章：引言劳斯-赫尔维茨定理是控制理论中的重要定理之一，它描述了线性时不变系统的稳定性的性质和判断方法。

稳定性是系统控制中一个非常重要的概念，它涉及到系统在输入变化时的响应能力。

本章将介绍劳斯-赫尔维茨定理的背景和重要性，为后续章节的讨论奠定基础。

第二章：劳斯-赫尔维茨定理的基本概念2.1 动力系统在开始介绍劳斯-赫尔维茨定理之前，我们首先需要了解动力系统的基本概念。

动力系统是指由动态方程和初始条件所描述的一种数学模型，在控制理论中被广泛应用。

动力系统可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。

理解动力系统的特性对于理解劳斯-赫尔维茨定理至关重要。

2.2 稳定性的定义稳定性是对系统响应的一种性质描述。

一个稳定的系统在输入变化时，其响应不会无限增长或震荡，而是趋于有限的范围内。

稳定性可以分为渐进稳定和有界稳定两种形式。

渐进稳定是指系统的响应趋于零或某个有限的值，而有界稳定是指系统的响应保持在有限的范围内。

第三章：劳斯准则3.1 劳斯定理的基本原理劳斯定理是劳斯-赫尔维茨定理的基本原理，它是通过对系统特征方程的根进行判断来确定系统的稳定性。

具体而言，劳斯定理使用代数方法来判断系统特征方程的根的位置，从而得出系统的稳定性判据。

3.2 劳斯准则的推导劳斯准则的推导是建立在特征方程的根与稳定性之间的关系上。

通过对特征方程进行变换和整理，可以得到劳斯准则的具体表达式。

劳斯准则的推导过程是相对复杂的，但是它为后续的稳定性判断提供了重要的理论基础。

第四章：劳斯-赫尔维茨定理的应用4.1 劳斯-赫尔维茨定理的基本应用劳斯-赫尔维茨定理的基本应用是判断系统的稳定性。

通过计算特征方程的根，并根据劳斯准则进行判断，可以得出系统的稳定性结论。

这在系统控制和工程实践中具有重要的意义，可以帮助工程师们设计和优化控制系统，提高系统的稳定性和性能。

4.2 劳斯-赫尔维茨定理的拓展应用除了稳定性的判断，劳斯-赫尔维茨定理还可以应用于其他领域。

控制系统的稳定性分析


…
控制系统的稳定性分析
例 已知一调速系统的特征方程式为
S 3 + 41.5S 2 + 517 S + 2.3 × 104 = 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
S3 S2 S1 S0
1 41.5 − 38.5 2.3× 4 10
517 2.3×104
0 0
控制系统的稳定性分析
系统的特征方程为： 2s 4 + s3 + 3s 2 + 5s + 10 = 0 例 系统的特征方程为： 试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。 试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。 解：由特征方程知：1) ai=0 由特征方程知： 1 2 2) ∆n = 0 0 5 3 1 2 0 10 5 3 0 0 0 10
控制系统的稳定性分析
s n a0 a2 a4 a6 L 表中 s n −1 a1 a3 a5 a7 L b1 = a1a2 − a0 a3 , b2 = a1a4 − a0 a5 , b3 = a1a6 − a0 a7 ⋅⋅⋅ a1 a1 a1 n−2 s b1 b2 b3 b4 L ba −ab ba −ab ba −ab n −3 c1 = 1 3 1 2 , c2 = 1 5 1 3 , c3 = 1 7 1 4 ⋅⋅⋅ s c1 c2 c3 L b1 b1 b1 M s 2 d1 d 2 d3 ed −d e f1 = 1 2 1 2 s1 e1 e2 e1 0 s f1 考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a0 a1、 a0、 3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a0、a1、 b1、c1、 的符号相同， b1、c1、……的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等 的符号相同 于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定， 于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等 于系统具有的正实部特征根的个数。 于系统具有的正实部特征根的个数。

3.2劳斯判据


3. 劳斯判据
必要
代数判据
特征方程中各项系数>0
充分
劳斯阵列中第一列所有项>0
劳斯判据的两种特殊情况：
1、某一行第一个元素为零，而其余各 元素均不为零、或部分不为零； 解决 用一个很小的正数 代替这个等 方法 于0的元素

2、某一行所有元素均为零。 解决 方法 将该行的上一行元素构成辅助多 项式，并求导，用其系数代替全 为零的行；

G2
s s
1 G1 sG2
m 1 n1

b0 s
m n
b1 s a1s
s 0
n
bm 1 s bm a n1 s a n
n1
a0s
a
a1s
m
a n1 s a n X

o
s
b0 s

b1 s
m 1
a——稳定的平衡点
d
a
Байду номын сангаас
e
b、c——不稳定平衡点
控制系统的稳定性的另一种定义：
若控制系统在任何足够小的初始 偏差作用下，其过渡过程随着时间的 推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复 原平衡状态的性能，则称该系统稳定。 否则，称该系统不稳定。
控制理论中所讨论的稳定性 其实都是指自由振荡下的稳定性
也就是讨论输入为零，仅存 在初始偏差时的稳定性，即 讨论自由振荡是收敛的还是 发散的。
系统特征方程为：
3 2
有： 6 K 0 K 0
D s s 3 s 2 s K 0
系统稳定的充要条件： 必要条件： K 6 0 K 0
劳斯判据的两种特殊情况：

现代控制理论(沈阳建筑大学)第四章

第四章 控制系统稳定性分析本章要点1、稳定性是控制系统的首要问题。

2、经典理论判稳方法及局限性。

A 、直接判定：单入单出中，基于特征方程的根是否都分布在复平面虚轴的左半部分，采用劳斯－古尔维茨代数判据和奈魁斯特频率判据。

局限性是仅适用于线性定常，不适用于非线性和时变系统。

B 、间接判定：方程求解－对非线性和时变通常很难。

3、现代控制理论判稳方法：[俄]李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于各种系统。

李亚普诺夫第一法：先求解系统微分方程，根据解的性质判定稳定性－－间接法 李亚普诺夫第二法：直接判定稳定性。

思路：构造一个李亚普诺夫函数()V x ，根据()V x 的性质判稳。

－－对任何复杂系统都适用。

4、本章内容：李亚普诺夫第二法及其应用。

4.1 基本定义4.1.1系统：设(,,)xf x t u = 稳定性是系统本身的一种动态属性，与外部输入无关。

0u =，则(,)xf x t = ，()x t 为n 维向量，(,)f x t 也是n 维向量，12(,,,,)i i n x f x x x t = ，初始状态00()x t x =。

解：00()(,,)x t t x t φ=，如果是线性定常系统，则有xAx = ，0()x t x φ= 4.1.2平衡状态：定义：系统(,)xf x t = 中对所有t ，必存在一些状态点e x ，使(,)0e x f x t == ，该类状态点e x 称为系统的平衡状态。

意义：当系统运动到e x 点时，系统状态各分量将维持平衡，不再随时间变化，即： 平衡点是由系统状态在状态空间中所确定的点。

求法：1、线性定常系统()()()0e x t Ax t Ax t ==()[0]()e e A x t A x t =非奇异，若奇异，有无穷个唯一一个平衡状态，坐标原点是唯一平衡点。

2、非线性系统(,)0e xf x t == ，e x ，不只一个，可能有多个。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

图3-32 根平面
Ds ()asas asa aspsp ( ) ( )( sp ) [ ( s s ) w ][ ( s s ) w ] n 1 2
22 k 1 1 22 r r
n n1 n n1 1 0
0
表3.4列举了几个简单系统稳定性的例子。需要指出的 是，对于线性定常系统，由于系统特征方程根是由特征方程 的结构（即方程的阶数）和系数决定的，因此系统的稳定性 与输入信号和初始条件无关，仅由系统的结构和参数决定。 如果系统中每个部分都可用线性常系数微分方程描述， 那么，当系统是稳定时，它在大偏差情况下也是稳定的。如 果系统中有的元件或装置是非线性的，但经线性化处理后可 用线性化方程来描述，则当系统是稳定时，我们只能说这个 系统在小偏差情况下是稳定的，而在大偏差时不能保证系统 仍是稳定的。
b1 b2 b3 1 1 1 an an an a n 1 a n 1 a n 1 a n 1 a n 1 a n 1 a n2 a n3 a n4 a n5 a n6 a n7
表中
1 a n 1 c1 b1 b1 1 a n 1 c2 b1 b1 1 a n 1 c3 b1 b1
线性闭环系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位 置予以确定。假如单输入单输出线性系统由下述的微分方程 式来描述，即
s
1
(者说系统稳定性可 按齐次微分方程式 (3.59) 来分析。这时，在任何初始条件下，若满足
n n 1 a sa s a s a 0 n n 1 1 0
1 2 j 3 2
试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解 从系统特征方程看出，它的所有系数均为正实数，满足 系统稳定的必要条件。列写劳斯阵列表如下
1 12 6 6 11 0 ac ac ac ac 6 br br br br 61/6 s 0 455/61 0 s4 6 第一列系数均为正实数，故系统稳定。事实上，从因式 分解可将特征方程写为 (s+2) (s+3) (s2 +s+1) = 0
s s s s s
n n n n n 1 2 3 4
a a
n
n 1 1 1 1
a a
n n
2 2 2
2 3
a a
n n
3 3 3
4 5
b c d f g
b c d
b c d
s s
1 0
1 1
假如所有的根均在左半平面，即 p j <0，s i<0 ，则p j >0 ，s i >0 。所以将各因子项相乘展开后，式（3.63）的所 有系数都是正数。 根据这一原则，在判别系统的稳定性时，可首先检查系 统特征方程的系数是否都为正数，假如有任何系数为负数或 等于零（缺项），则系统就是不稳定的。但是，假若特征方 程的所有系数均为正数，并不能肯定系统是稳定的，还要做 进一步的判别。因为上述所说的原则只是系统稳定性的必要 条件，而不是充分必要条件。
b. 求辅助多项式对s的导数，将其系数构成新行，代替第k行；
c. 继续计算劳斯阵列表； d. 关于原点对称的根可通过令辅助多项式等于零求得。 例3.6 系统特征方程为
2 a s a s a 0 2 1 0
解 列写劳斯阵列表 No 1 2 5 Image s5 3 1 6 5 9 （各系数均已乘3） ac ac ac ac br br br br -11 15 （各系数均已乘5/2） （各系数均已乘11） s 0 174 s 4 15 劳斯阵列表第一列有负数，所以系统是不稳定的。由于第 一列系数的符号改变了两次(5→－11→174)，所以，系统特 征方程有两个根的实部为正。
一、稳定性的概念 稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。考 虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，若将它稍微倾斜， 外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来状态。 而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持 平衡，所以在受到任何极微小的扰动后，它就会倾倒，如果 没有外力作用，就再也不能回到原来的状态了。
4 a3 a4 0 0 a1 a2 a3 a4
() n (n1) n n1
0 a0 a1 a2 0 0 0 a0
a03 0
(1) 1 0
() m (m 1) m m 1
(1) 1 0
4. 两种特殊情况 在劳斯阵列表的计算过程中，如果出现： (1) 劳斯阵列表中某一行的第一个系数为零，其余各系数 不为零（或没有其余项），这时可用一个很小的正数e来代 替这个零，从而使劳斯阵列表可以继续运算下去（否则下一 行将出现∞）。如果e的上下两个系数均为正数，则说明系统 特征方程有一对虚根，系统处干临界状态；如果e的上下两 个系数的符号不同，则说明这里有一个符号变化过程，则系 统不稳定，不稳定根的个数由符号变化次数决定。 例3.5 设系统特征方程为
(二) 劳斯判据
这是1877年由劳斯(Routh)提出的代数判据。 1. 若系统特征方程式
p t s t i i c ( t ) C e e ( A c o si t B s i n t ) i i i i i 1 i 1 k r
w
w
设an>0，各项系数均为正数。 2. 按特征方程的系数列写劳斯阵列表：
常用的稳定性分析方法有： 1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据 这是一种代 数判据方法。它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平 面的位置，从而决定系统的稳定性. 2. 根轨迹法 这是一种图解求特征根的方法。它是根据系 统开环传递函数以某一（或某些）参数为变量作出闭环系统 的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随 该参数的变化情况。 3. 奈魁斯特（Nyquist）判据 这是一种在复变函数理论基 础上建立起来的方法。它根据系统的开环频率特性确定闭环 系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。这 一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。 4. 李雅普诺夫方法 上述几种方法主要适用于线性系统， 而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，更适用于非线性系 统。该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定 性。
设上式有k个实根pi （i=1，2，…，k），r对共轭复数 根(s i±jw i ) (i=1，2，…，r)，k+2r=n，则齐次方程式 (3.59)解的一般式为 n n 1 (3.62)
D ( s ) a s a s a s a 0 n n 1 1 0
式中系数Ai，Bi和Ci由初始条件决定。 从式(3.62)可知： (1) 若pi <0，s i <0 （即极点都具有负实部），则式 (3.60)成立，系统最终能恢复至平衡状态，所以系统是稳定 的。
a a a
n3
b2
n5
b3
n7
b4
直至其余bi项均为零。
ssss 612160
43 2
按此规律一直计算到n -1行为止。在上述计算过程中，为 了简化数值运算，可将某一行中的各系数均乘一个正数，不 会影响稳定性结论。 3. 考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列表中第 一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的 根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有负数，则第 一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。 例3.3 系统特征方程为
s 3 + 2s 2 + s + 2 = 0
解 劳斯阵列表为
4 a3 a4 0 0 a1 a2 a3 a4 0 a0 a1 a2 0 0 0 a0 a03 0
() n (n1) (1) ac ac ac ac n n1 1 0 () m (m1) (1) br br br br m m1 1 0
4 a3 a4 0 0 a1 a2 a3 a4 0 a0 a1 a2 0 0 0 a0 a03 0
s
5
() n (n1) (1) n n1 1 0
() m (m1) (1) m m1 1 0
其根为2，3，3 2
s 6 s 5 sK0
，均具有负实部，所以系统稳定。
例3.4 已知系统特征方程式为
程根，假如特征方程根能求得，系统稳定性自然就可断定。 但是，要解四次或更高次的特征方程式，是相当麻烦的，往 往需要求助于数字计算机。所以，就有人提出了在不解特征 方程式的情况下，求解特征方程根在S平面上分布的方法。 下面就介绍常用的劳斯判据和赫尔维茨判据。
二、劳斯判据
(一)系统稳定性的初步判别 已知系统的闭环特征方程为 (3.63) 式中所有系数均为实数，且an>0，则系统稳定的必要条 件是上述系统特征方程的所有系数均为正数。 证明如下： 设式(3.63)有n个根，其中k个实根 p j (j=1，2，…，k)，r 对复根s i±jw i (i=1，2，…，r)，n = k+2r。则特征方程式 可写为
1 2
s s
0 4
e
1 2
2
由于e的上下两个系数(2和2)符号相同，则说明有一对虚 根存在。上述特征方程可因式分解为
s 1 0 s 1 61 s 6 00
3 2
(2) 若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为 零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对 称的根。在这种情况下可做如下处理： a. 利用第k－1行的系数构成辅助多项式，它的次数总是 偶数的；
第四节 劳斯-霍尔维茨稳定性判据
稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最起码的 要求。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因 素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统 参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中 各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即 使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。因此，如何 分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论 的基本任务之一。