2020届四川省名校联盟高考模拟信息卷数学(文)试题Word版含解析

2019-2020学年高三第二学期第二次联考数学试卷（文科）一、选择题1.已知集合1,1,{,4}3A =-，集合2{|430}B x x x -=+>，则AB =（ ）A. {1,4}-B. {}1,1,4-C. {}1,3,4-D. ()(),13,∞⋃+∞-【答案】A 【解析】 【分析】集合A ，B 是数集，集合B 是一元二次不等式解的集合，求出解集，与A 集合的交集运算求出公共部分. 【详解】解：集合1,1,{,4}3A =-，集合2{|}430,1B x x x +∞⋃∞＝﹣＞＝(-)(3,+)， {1},4AB ＝．故选：A ．【点睛】本题考查一元二不等式的解法和集合交集运算， 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 2.已知复数13z i=+，则z =（ ）A. 1 3 C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简=3+13z i i=+，再利用复数模长公式求出结果.【详解】解：4(13)4+43=313(13)(13)i i i z i i i i -=++-，23+(3)12z i ==+=∴【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模长运算. 复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算； (3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模． 3. 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样【答案】C 【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C. 考点：分层抽样．4.已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ） A.c c a b> B. 22ac bc ＜ C. lna lnb ＜ D. 11()()22ab<【答案】C 【解析】 【分析】A B 、利用不等式性质可判断，C D 、利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】解：对于,A 实数0a b <<， 11,c ca b a b∴>> ，0c ≤不成立 对于0B c =．不成立．对于C ．利用对数函数ln y x =单调递增性质，即可得出． 对于.D 指数函数1()2xy =单调递减性质，因此不成立．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．5.已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ） A. 12m >B. 12m ≥C. 1mD. m 1≥【答案】D 【解析】 【分析】求出命题q 不等式的解为23x <<，p 是q 的必要不充分条件，得q 是p 的子集，建立不等式求解. 【详解】解：命题2:21,:560p x m q x x -<++<，即: 23x <<，p 是q 的必要不充分条件，(2,3)(,21,)m ∴⊆-∞+，213m ∴+≥，解得m 1≥．实数m 的取值范围为m 1≥．故选：D ．【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验．6.若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ）A. 27B. 33C. 39D. 44【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ 求出63a ＝，再利用等差数列前n 项和公式得111116+)11(11332a a S a =＝＝【详解】解：因为 5383a a a ++＝，由等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝得，63a ∴＝．n S 为数列{}n a 的前n 项和，则111116+)11(11332a a S a =＝＝．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前n 项和.(1)如果{}n a 为等差数列，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ ()*m n p q N ∈，，，． (2)要注意等差数列前n 项和公式的灵活应用，如21(21)n n S n a -=-.7.已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）A. 若,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则 m n ⊥B. 若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβC. 若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则 m n ⊥D. 若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理,对选项做出判断，举出反例排除.【详解】解：对于A ，当,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错； 对于B ，当//m n 时，不能判定//αβ，故错；对于C ，若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错； 对于D ，由,//m βαα⊥可得m β⊥，又//n β，则m n ⊥故正确． 故选：D ．【点睛】本题考查空间线面位置关系.判断线面位置位置关系利用好线面平行和垂直的判定定理和性质定理. 一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．8.已知抛物线220y x ＝的焦点与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为92，那么该双曲线的离心率为（ ）A.54B.53 C.52【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线220y x ＝的焦点(5,0)得双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点(5,0)±，求出5c ＝，由抛物线准线方程5x =-被曲线截得的线段长为92，由焦半径公式2292b a =，联立求解.【详解】解：由抛物线220y x ＝，可得220p ＝，则10p ＝，故其准线方程为5x =-， 抛物线220y x ＝的准线过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，5c ∴＝．抛物线220y x ＝的准线被双曲线截得的线段长为92， 2292b a ∴=，又22225c a b +＝＝，4,3a b ∴＝＝，则双曲线的离心率为54c e a ==． 故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率. 弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．9.如图，在ABC∆中，13AN AC=，P是BN上的一点，若23mAC AP AB=-，则实数m 的值为（）A.13B.19C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】23mAC AP AB=-变形为23AP mAC AB=+，由13AN AC=得3AC AN=，转化在ABN中，利用B P N、、三点共线可得.【详解】解：依题：22333AP mAC AB mAN AB=+=+，又B P N，，三点共线，2313m∴+=，解得19m =．故选：B．【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.(2)直线的向量式参数方程：A P B、、三点共线⇔(1)OP t OA tOB=-+ (O为平面内任一点,t R∈)10.已知实数0,1a b>>满足5a b+＝，则211a b+-的最小值为（）A.322+342+322+342+【答案】A【解析】 【分析】 所求211a b +-的分母特征，利用5a b +＝变形构造(1)4a b +-=，再等价变形121()[(1)]41a b a b ++--，利用基本不等式求最值. 【详解】解：因为0,1a b >>满足5a b +＝， 则()21211()1114a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦-- ()21113(3414b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当()211b aa b -=-时取等号， 故选：A ．【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.11.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ） A.4a mB.2a m+ C.2a mm+ D.42a mm+ 【答案】D 【解析】 【分析】由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值．【详解】解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即0101x y <<⎧⎨<<⎩，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数,x y 能与1构成钝角三角形三边，则有22110101x y x y x y ⎧+<⎪+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩， 其面积142S π=-；则有142a m π=-，解得42a m m π+= 故选：D ．【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解. 12.已知(2sin,cos),(3cos,2cos)2222xxxxa b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ）A. 85[,)52B. 75[,)42C. 57[,)34D. 7(,2]4【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量数量积和三角恒等变换求出()2sin()16f x x πω=++ ，函数在区间4[0,]3π上恰有3个极值点即为三个最值点，,62x k k Z ππωπ+=+∈解出，,3k x k Z ππωω=+∈，再建立不等式求出k 的范围，进而求得ω的范围. 【详解】解： ()22cos cos 12xf x x x x ωωωω=+=++ 2sin()16x πω=++令,62x k k Z ππωπ+=+∈，解得对称轴,3k x k Z ππωω=+∈，(0)2f =，又函数()f x 在区间4[0,]3π恰有3个极值点，只需 243333πππππωωωω+≤<+解得7542ω≤<． 故选：B ．【点睛】本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题. (1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成()++y A x t ωϕsin ＝或()++y A x t ωϕcos ＝ 的形式; (2)根据自变量的范围确定+x ωϕ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围. 二、填空题13.实数,x y 满足2201020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y=+的最大值为_____．【答案】52． 【解析】 【分析】画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.【详解】解：作出可行域，如图所示，则当直线2z x y +＝过点C 时直线的截距最大，z 取最大值．由12021032x x y x y y ⎧=⎪+-=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩13(,),22C ∴同理(0,2),B (1,0),A - 52C z ∴=，2B z =，2A z =- 52c z ∴=取最大值．故答案为：52．【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.14.在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝4，则其最大内角的余弦值为________． 【答案】14- 【解析】因为c b a >>，所以在ABC ∆中最大的内角为角C ，则由余弦定理，得22249161cos 22234a b c C ab +-+-===-⨯⨯，故答案为14-.15.已知直三棱柱111ABC A B C -中，23ABC π∠＝，14,2AB BC CC ＝＝＝，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____．10 【解析】 【分析】以B 为原点，过点B 作BC 的垂线为x 轴，建立空间直角坐标系，求出1(23,2,2),AB =-()10,2,2BC = ，利用空间向量夹角公式可得.【详解】直三棱柱111ABC A B C -中，23ABC ＝，π∠142AB BC CC ＝，＝＝ 以B 为原点，在平面ABC 中，过点B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，1(23,2,0),(0,0,2),A B -1(0,0,0),(0,2,2)B C1(23,2,2),AB =-1(0,2,2)BC =设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ， 则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为：111110cos 5208AB BC AB BC θ===故答案为：105． 【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成角空间角.两条异面直线所成角的求法: (1)选好基底或建立空间直角坐标系; (2)设两条异面直线,a b 的方向向量为,a b ，其夹角为θ，(3)代入公式cossina b a b求解(其中ϕ为异面直线,a b 所成的角)．16.已知函数31(),[,]f x x x a x e e=-++∈与()31g x lnx x =--的图象上存在关于x 轴对称的点，则a 的取值范围为_____． 【答案】3[2,2]e - 【解析】 【分析】两函数图象上存在关于x 轴对称点的等价命题是方程331x x a lnx x ++++﹣＝﹣在区间1[,]e e 上有解，化简方程313a x lnx ﹣＝﹣在区间1[,]e e上有解，构造函数，求导，求出单调区间，利用函数性质得解.【详解】解：根据题意，若函数21()()f x x x a x e e=-++≤≤与()3ln 1g x x x =--的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程331x x a lnx x ++++﹣＝﹣在区间1[,]e e 上有解，即方程313a x lnx ﹣＝﹣在区间1[,]e e上有解，设函数3()3g x x lnx =-，其导数3233(1)'()3x g x x x x-=-=，又由1[,]x e e ∈，可得：当11x e≤≤时， '()0,()g x g x <为减函数， 当1x e ≤≤时， '()0,()g x g x >增函数，故函数3()3g x x lnx =-有最小值(1)1g =， 又由3311()3,()3g g e e e e =+=-；比较可得： 1()()g g e e<， 故函数()33g x x lnx -=有最大值()33g e e =-，故函数()33g x x lnx -=在区间1[,]e e 上的值域为3[1,3]e ﹣； 若方程313a x lnx -+＝在区间1[,]e e上有解，必有3113a e ≤-≤-，则有322a e ≤≤-， 即a 的取值范围是3[2,2]e -；故答案为：3[2,2]e -；【点睛】本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题, 函数零点问题的拓展. 由于函数()y f x =的零点就是方程()=0f x 的根，在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决. 此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．（1）求这个样本数据的中位数和众数；（2）从样本数据用时不超过50分钟的工人中随机抽取2个，求至少有一个工人是优秀员工的概率．【答案】（1）中位数为43，众数为47．（2）5 7【解析】【分析】（1）茎叶图完全反映所有的原始数据，由茎叶图直接得中位数43，众数47（2）用列举法得到用时不超过50分钟的工人中随机抽取2个的基本事件总数为21种，和所求至少有一个工人是优秀员工的基本事件数为15种，利用古典概型的概率公式计算可得. 【详解】解：()1由茎叶图得：中位数为43，众数为47．()2设不超过50的工人为,,,,,,a b c d e f g，其中,,a b c为优秀员工，从这7名工人中随机抽取2人基本事件有21个，分别为：{},{},{},,,,a b a c a d{},{},{},,,,a e a f a g{},{},{},,,,b c b d b e{},,,{}b f b g{},{},{},,,,{},,{},,c d c e c f c g d e{},{},{},,,,d f d g e f{},,,{}e gf g其中至少有一名工人是优秀员工的基本事件有15个，∴至少有一个工人是优秀员工的概率155217P ==． 【点睛】本题考查利用茎叶图中位数和众数问题及古典概型的概率. 解决古典概型实际问题的步骤:（1）判断是否是古典概型，（2）列举或计算基本事件总数和所求基本事件数（3）用古典概型的概率公式计算18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，5PA PC ＝＝，点,M N 分别是,AB PC 的中点．（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）若45cos PCD ∠＝，60DAB ︒∠＝，求三棱锥P ADN -的体积． 【答案】（1）见解析（2）23【解析】 【分析】()1取PD 的中点H ,证明四边形AMNH 为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得. ()2由()1问//MN 平面PAD ，利用等积法转换P ADN N PAD M PAD P ADM V V V V ﹣﹣﹣﹣＝＝＝，利用余弦定理求出=3PD ，用勾股逆定理证明PD DC ⊥，PD AD ⊥，证明PD ⊥平面ABCD ，得高=3PD ，再计算=23ADM S ∆从而得1233232P ADN V -=⨯=【详解】()1证明：取PD 的中点H ，连接,NH AH ，N 是PC 的中点，1//,2NH DC NH DC ∴＝，又1//,2AM DC AM DC ＝，//NH AM ∴且NH AM ＝，∴四边形AMNH 为平行四边形，则//MN AH ，又MN ⊄平面,PAD AH ⊂平面PAD ，//MN ∴平面PAD ；()2解：45,4,cos 5PC DC PCD ∠=＝＝， 24251625495PD ∴=+-⨯⨯⨯=，则222PC PD DC =+，PD DC ∴⊥，同理PD AD ⊥，又AD DC D ⋂＝，PD ∴⊥平面ABCD ，又//MN 平面PAD ，P ADN N PAD M PAD P ADM V V V V ∴﹣﹣﹣﹣＝＝＝，又60DAB ︒∠=，13422322ADM S ∆∴=⨯⨯⨯=． 1233232P ADN V -∴=⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行判定定理及利用等积法求三棱锥的体积.判定线面平行的方法：(1)利用线面平行的判定定理(2)利用面面平行的性质定理(3)利用面面平行的性质；求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解. 19.已知数列{}n a 满足对任意*n N ∈都有122n n n a a a +++＝，其前n 项和为n S ，且7349,S a ＝是1a 与13a 的等比中项，12a a ＜． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）已知数列{}n b 满足12n a n b +=，n n n c a b ＝，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求92065n T n --大于1000的最小的正整数n 的值． 【答案】（1）21n a n =-（2）4 【解析】 【分析】（1）利用122n n n a a a +++＝判断{}n a 是等差数列，利用749,S ＝求出47a ＝，利用等比中项建立方程，求出公差可得.（2）利用{}n a 的通项公式n a ,求出()224,214nn n n n b c n ===-，用错位相减法求出12065499n n n T +-=+⨯，最后建立不等式求出最小的正整数. 【详解】解：()1任意*n N ∈都有122n n n a a a +++＝，∴数列{}n a 是等差数列，74449,749,7S a a ∴∴＝＝＝，又3a 是1a 与13a 的等比中项，12a a <，设数列{}n a 的公差为d ，且0d >，则()()()277379d d d -=-+，解得2d ＝，1731a d ∴-＝＝，()12121n a n n ∴=+-=-；()2由题意可知 ()224,214n n n n n b c n ===-，()121434?··214n n T n ∴=⨯+⨯++-⨯①， ()23141434?··214n n T n +=⨯+⨯++-⨯②，①﹣②得：()231342424?··24214nn n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯，12065499n n n T +-∴=+⨯， 1229204265n n n T n ++-∴==-，由92065n T n --1000＞得，2221000n +>，2210n ∴+≥，4n ∴≥，∴满足条件的最小的正整数n 的值为4．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式及错位相减法求和. (1)解决等差数列通项的思路(1)在等差数列{}n a 中，1a d 、是最基本的两个量，一般可设出1a 和d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程(组)求解即可. (2)错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解; 在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式20.已知点3(1,),(1,),(1,)2P a x y b x y =-=+，且4a b +=，满足条件的(,)Q x y 点的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）是否存在过点(0,1)-的直线l ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，直线,PA PB 与y 轴分别交于,M N 两点，使得PM PN ＝？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）存在， 112y x =-或512y x =-．【解析】 【分析】（1）由4a b +=得4=看成(,)Q x y 到两定点12(1,0),(1,0)F F -的和为定值，满足椭圆定义，用定义可解曲线C 的方程.（2）先讨论斜率不存在情况是否符合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线点斜式方程1y kx =-，由PM PN ＝，可得0PA PB k k +＝，再直线与椭圆联解，利用根的判别式得到关于k 的一元二次方程求解.【详解】解：()1设12(1,0),(1,0)F F -， 由(1,),(1,)a x y b x y =-=+， 4a b +=，4=，即为124QF QF +＝， 由124F F >，可得Q 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点，且24a =的椭圆，由1,2c a ＝＝，可得b ==C 的方程为22143x y+=；()2假设存在过点(0,1)-的直线l 符合题意．当直线l 的斜率不存在，设方程为0x ＝，可得M N ，为短轴的两个端点，PM PN ＝不成立；当直线l 的斜率存在时，设方程为1y kx =-，1122(1)(),1,A x kx B x kx -,﹣ 由PM PN ＝，可得0PM PN k k +＝，即0PA PB k k +＝，可得12125522011kx kx x x --+=--，化为21215()()5022kx x k x x -+++=，由2213412y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得22(34)880k x kx ，由(0,1)-在椭圆内，可得直线l 与椭圆相交，12122288,3434k x x x x k k +==-++， 则228582()()()5034234kk k k k--++=++ 化为25168()5(34)02k k k k --+++=，即为241250k k -+=，解得1522k k ==或， 所以存在直线l 符合题意，且方程为112y x =-或512y x =-．【点睛】本题考查求轨迹方程及直线与圆锥曲线位置关系问题. （1）定义法求轨迹方程的思路:应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解；（2）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解.21.已知函数()()()ln 11f x x ax a a R =+-+-∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()ln 110xb x e x -++-＞对任意0x ＞恒成立，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）[)0,+∞ 【解析】 【分析】（1）函数求导1'()1ax af x x -+-=+，讨论参数范围，解'()0f x >求单增区间，解'()0f x <求单减区间；（2）不等式恒成立问题转化为函数最值问题，()()11xg bln x x e x +-=+-，对任意0,()0x g x >>等价于()(0)g x g >，研究()g x 单调性求解.【详解】解： ()1()f x 的定义域为111,,()('11)ax a f a x x x -+--+∞=-=++ 当0a ≤时，(1)10a x -++>，故函数()f x 在(1,)-+∞单调递增； 当0a >时， 111x a -<<-时，'()0f x >，当11x a >-时，'()0f x <，故函数()f x 在1(1,1)a --单调递增，在1(1,)a-+∞单调递增；()2令()()11x g bln x x e x +-=+-，则(0)0g =，∴对任意0,()0x g x >>等价于()(0)g x g >，'()1,'(0)1x bg x e g b x =+-=+， 当0b <时， '(0)0g <，则存在0m >，使(0,)x m ∈使， '()0g x ≤，()g x ∴在(0,)m 上是减函数，(0,)x m ∈∴时， ()(0)g x g <，与条件不符，0b ≥当时，由0x >，可知11x +>，故01bx ≤+， '()0g x ∴>()g x ∴在(0,)+∞上是增函数，0x ∴>时， ()(0)g x g >，即()0>g x ；综上，实数b 的取值范围为[0,)+∞．【点睛】本题考查含参数函数的单调性及不等式恒成立问题转化为函数问题.导数法研究函数()f x 在(,)a b 内单调性的步骤: (1)求'()f x ；(2)确定f x 在(,)a b 内的符号；(3)作出结论：'()0f x >时为增函数；'()0f x <时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．不等式恒成立问题的求解方法：(1)已知不等式()0f x λ≥，(λ为实参数)对任意的x D ∈恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法， (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=4．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的普通方程； （2）设射线:6OP πθ=与曲线1C 交于不同于极点的点A ，与曲线2C 交于不同于极点的点B ，求线段AB 的长．【答案】（1）=4sin ρθ；()2224x y -+=（2）2 【解析】【分析】()1曲线1C 的参数方程转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．再用极直互化公式求解，曲线2C 的极坐标方程用极直互化公式转换为直角坐标方程22(2)4x y -+=． ()2射线OP 与曲线1C 的极坐标方程联解求出12ρ＝，射线OP 与曲线2C 的极坐标方程联解求出2＝ρ 再用 12AB ρρ=-得解【详解】解：()1曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．把cos x ρθ=，sin x ρθ=代入得：=4sin ρθ曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=4．转换为直角坐标方程为22(2)4x y -+=．()2设射线:6OP πθ=与曲线1C 交于不同于极点的点A ， 所以64sin πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得12ρ＝． 与曲线2C 交于不同于极点的点B ， 所以64cos πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2ρ=所以122AB ρρ=-=【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程直角坐标方程相互转换及极坐标下利用ρ和θ的几何意义求线段的长.（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的,x y 分别用cos ρθ，sin ρθ代替即可得到相应极坐标方程．参数方程化为极坐标方程必须先化成直角坐标方程再转化为极坐标方程.（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.[选修4-5：不等式选讲](10分)23.设函数()()1f x x a x a R =++-∈．（1）当1a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若对任意x ∈R 都有()2f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(][),22,∞-⋃+∞-（2）(][),31,-∞+∞【解析】【分析】 ()1114||x x ++≥﹣利用零点分区间法，去掉绝对值符号分组讨论求并集， ()2()2f x ≥对x ∈R 恒成立，则()2min f x ≥， 由三角不等式|1||1|1x a xx a x a ++≥+++﹣﹣＝，得12a +≥求解 【详解】解：()1当1a =时，不等式()4f x ≥即为114||x x++≥﹣， 可得1114x x x ≤-⎧⎨--+-≥⎩或11114x x x -<<⎧⎨++-≥⎩或1114x x x ≥⎧⎨++-≥⎩， 解得2x -≤或x ∈∅或2x ≥，则原不等式的解集为(,2[2,])∞-⋃+∞-()2若对任意x ∈R 、都有()2f x ≥，即为()2min f x ≥， 由|1||1|1x a xx a x a ++≥+++﹣﹣＝，当()(1)0x a x +-≤取得等号， 则()1min f x a +＝，由12a +≥，可得13a a ≥≤-或，则a 的取值范围是(,3][1,)-∞+∞【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式a b a b a b －＋把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.。

2020年四川省高考模拟试卷(一)数学（文科）答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CDCDBCBDCDBB【解析】1.依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有2300*0.71610=人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C.2.由2+=ii z，得|2|||||+=i i z ，||5=z ，故选D. 3.某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=，青年人为636060=n n ，2686060++=⇒+=n nm m ，代入选项计算，C 不符合，故选C.4.原不等式等价于|sin ||cos |≥x x ，即正弦线长度长于或等于余弦线长度，故选D.5.设{}n a 的公差为d ，由24836149++=+a a a a a ，10=≠a d ，1141419914()1415729()91032+⨯===+⨯a a S d a a S d ，故选B.6.由题意可知2cos sin -'=ax x a x y x ，故在点(,0)M π处的切线方程为1()-=-=-+a y x x b πππ，则11=⎧⎨=⎩a b ，故选C. 7.由()f x 为奇函数，得()f x 的图象关于原点对称，排除C ，D ；又当04<<x π时，()0>f x ，故选B.8.已知1=AB ，2=BC ，60︒∠=ABC ，由余弦定理可得2222cos603︒=+-⋅=AC AB BC AB BC ，所以222+=AC AB BC ，即⊥AB AC ，①正确；由⊥PA 平面ABCD ，得⊥AB PA ，所以⊥AB 平面P AC ，②正确；⊥AB 平面P AC ，得⊥AB PC ，又⊥AE PC ，所以⊥PC 平面ABE ，③正确；由⊥PC 平面ABE ，得⊥PC BE ，④正确，故选D.9.由程序框图得0=z ，第一次运行011=+=a ，101=+=z ，011=+=n ；第二次运行0=+=b i i ，1=+z i ，112=+=n ；第三次运行， ，故(1111)()0=-++-+-+-=L L z i i i ，故选C.10.因为双曲线E 的一条渐近线方程为2=y x ，所以2=b a ，2215==+=c b e a a，由V OAF 的面积是25，得21252⋅=b a，所以24=b ，2=b ，所以1=a ，双曲线的实轴长为2，故选D.11.当0=x ，0=y 时，即220+≤x y 符合题意，此时0=m ，排除A ，D ，由题意可知，以(0,0)为圆心的圆在不等式2224⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩x y x y 所表示的区域内，半径最大的圆22+=x y m 应与直线相切，圆心到240--=x y 的距离为144455145===+d ，圆心到22+=x y 的距离为2|22|211==+d ，由于12<d d ，∴符合题意的最大的圆为22241655⎛⎫+== ⎪⎝⎭x y ，故选B.12.设点11(),E x y ，22(),F x y ，由三角函数的定义得111cos 21sin 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y αα，221cos 21sin 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ββ，将直线EF 的方程与圆的方程联立2214=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx b x y ，得2221(1)204+++-=k x kbx b ，由韦达定理得122212221141⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩kb x x k b x x k ，所以211221121212sin()sin cos cos sin 444()4()84()+=+=+=+++=++x y x y x kx b x kx b kx x b x x αβαβαβ22221882411⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-++k b kb k k k ，因此，当k 是常数时，sin()+αβ是常数，故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 1314 1516答案8π582322195+=x y 【解析】13.由()3-=r r r a b a ，得3⋅-⋅=r r r r a b a a ，即4⋅=r r a b ，故1cos ,2||||⋅〈〉==⋅r r r r r ra b a b a b ，则向量r a 与rb 的夹角为3π. 14.由n S 的表达式知，{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1，1+d ，14+d 成等比数列，故2(1)14+=+d d ，即220-=d d ，解得0=d 或2=d ，若0=d ，1=n a ，=n S n ，与0≠A 矛盾，故2=d ，3125=+=a d . 15.正八面体上半部分的斜高为3，高为2，则其体积为22282233⨯⨯⨯=. 16.依题意，112||||2==PF F F c ，由椭圆的定义可得2||22=-PF a c ，所以22112||1112cos 1||224-⎛⎫∠===-= ⎪⎝⎭PF a c PF F F F c e ，从而2115sin 4∠=PF F ，因为离心率23=c a ，所以1222122111515sin ()224=⋅⋅∠=-=V PF F S PF F F PF F c a c c ，又1215=V PF F S ，解得24=c ，所以29=a ，25=b ，故椭圆C 的方程为22195+=x y . 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）解：（1）由已知得(0.110.065)20.5++⨯=b ，故0.075=b . （3分） 法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)=-⨯++++a ，∴0.125=a . （6分） 法二：1()10.50.5-=-=P C ，∴2(0.050.075)0.5⨯++=a ，∴0.125=a . （6分） （2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++2 3.567.12=⨯=， （10分）估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=（cm ）. （12分） 18.（本小题满分12分）解：（1）∵cos (2)cos 0+-=b C c a B ，∴cos cos 2cos +=b C c B a B ， （1分） 由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos +=B C B C A B ， （2分）sin()sin()sin 0+=-=≠B C πA A ， （3分）∴2cos 1=B ，1cos 2=B ， （5分） 又B 是V ABC 的内角，∴3=πB . （6分） （2）∵V ABC 为锐角三角形，3=πB ，1=a ，∴23+=A C π，62<<ππA ， （7分）由正弦定理得1sin sin sin ==b cA B C， ∴2sin sin sin sin 33sin sin sin sin ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+ππA B C b c A A A A（8分） 31cos sin 333cos 13(1cos )1222sin sin 2sin 2sin 22sin 2++=+=+⋅+=+A AA A A A A A A ， （9分） ∵62<<ππA ，∴+b c 关于A 为减函数， （10分） ∴31cos 31cos 112622sin 2sin 26⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+ππb c ππ2， （11分） ∴31322+<+<+b c ，即+b c 的取值范围是31,322⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭. （12分） 19.（本小题满分12分）解：（1）由已知底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ，2==PD AD ，得⊥PD AD ，⊥PD AB ，⊥AD AB . （1分） 又⋂=PD AD D ，∴⊥AB 平面P AD ，∴⊥PA AB ，∴22=PA ，23=PB ， （2分） ∴22=V PAB S ，2=V PAD S ， （3分） 同理22=V PCB S ，2=V PCD S ，4=ABCD S ，∴428=+四棱锥表面积S . （4分）1833-=⋅=P ABCD ABCD V S PD . （6分）（2）设内切球的半径为r ，球心为O ，则球心O 到平面P AB ，平面P AD ，平面PCB ，平面PCD ，平面ABCD 的距离均为r ， 由------=++++，P ABCD O PAB O PAD O PCB O PCD O ABCD V V V V V V 可得11111113333333⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅V V V V 正方形四棱锥表面积ABCD PAB PAD PCB PCD ABCD S PD S r S r S r S r S r S r ， （8分） ∴22⋅==-正方形四棱锥表面积ABCD S PDr S ， （10分）∴24(24162)==-内切球表面积S πr π. （12分） 20.（本小题满分12分）解：（1）1=-k ，2()(1)=---xf x x e x ，令()2(2)00'=--=-+=⇒=xxf x xe x x e x ， （2分） 故(,0)∈-∞x ，()0'>f x ；(0,)∈+∞x ，()0'<f x （3分）()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞. （4分）（2）()2(2)'=-=-xxf x kxe x x ke ， 令2()0ln [0,ln 2]'=⇒=∈f x x k，其中[1,2]∈k . （5分） 令2()ln=-g x x x，[1,2]∈x ， 211()21102⎛⎫'=⋅--=--< ⎪⎝⎭x g x x x， （6分） 故()g x 在[1,2]上单调递减， 故2()(1)ln 210ln ≤=-<⇒<g x g k k， （7分） 故20,ln⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x k ，()0'<f x ；2ln ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x k k ，()0'>f x ，从而()f x 在20,ln⎛⎫ ⎪⎝⎭k 上单调递减；在2ln ,⎛⎫ ⎪⎝⎭k k 上单调递增， （8分） 故在[0,]k 上，函数max ()max{(0)=f x f ，()}max{=-f k k ，2(1)}--k k k e k ，[1,2]∈k . （9分）由于2()(0)(1)[(1)1]-=--+=--+k kf k f k k e k k k k e k ，令()(1)1=--+xh x x e x ，[1,2]∈x ， （10分）()10'=->x h x xe ，对于[1,2]∀∈x 恒成立，从而()(1)0≥=h x h ，即()(0)≥f k f ，当1=k 时等号成立， （11分）故2max ()()(1)==--k f x f k k k e k . （12分）21.（本小题满分12分）（1）证明：依题意有10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭F ，直线1:4=+l y kx ， （1分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214⎧=⎪⎨=+⎪⎩y x y kx 消去y ，化简得2104--=x kx ， （2分） 所以，12+=x x k ，1214=-x x . （3分） 又因为2'=y x ，所以直线1l 的斜率112=k x .同理，直线2l 的斜率222=k x ， （4分） 所以，121241==-k k x x ， （5分）所以，直线12⊥l l ，即90︒∠=ADB . （6分）（2）解：由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆，设(,)P x y 是圆上的一点，则0⋅=u u u r u u u rPA PB ，所以，圆Γ的方程为1212()()()()0--+--=x x x x y y y y ，（7分） 又因为12+=x x k ，1214=-x x ，21212111442+=+++=+y y kx kx k ，221212116==y y x x ， 所以，圆Γ的方程可化简为222130216⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭x y kx k y ， （8分）联立圆Γ与抛物线E 得2222130216⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩x y kx k y y x ， 消去y ，得422130216⎛⎫----= ⎪⎝⎭x k x kx ， 即22211042⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x kx ，即2213044⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x kx x kx ， （9分）若方程2104--=x kx 与2304++=x kx 方程有相同的实数根0x ， 则20020020010114032404⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩x kx kx x x kx ，矛盾， （10分） 所以，方程2104--=x kx 与方程2304++=x kx 没有相同的实数根， 所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于221030⎧+>⎪⎨->⎪⎩k k ，3⇔>k 或3<-k ， （11分）综上所述，3>k 或3<-k . （12分）22.（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin =ρθ，得直角坐标方程为226+=x y y ， 即22(3)9+-=x y . （3分）（2）把直线l 的参数方程cos 2sin =⎧⎨=+⎩x t y t θθ（t 为参数），代入圆C 的方程得22(cos )(sin 1)9+-=t t θθ，化简得22sin 80--=t t θ. （5分）设A ，B 两点对应的参数分别是1t ，2t ，则122sin +=t t θ，128=-t t ， （6分） 故22121212()44sin 3234=-=+-=+=|AB||t t |t t t t θ， （8分）得2sin 2=±θ， （9分） 得1=±k . （10分） 23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 证明：（1）由柯西不等式，得2 134********()633 22⎛⎫⎛⎫++=++++≥++=+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c a b ca b c a b c a b c，所以134633++≥+a b c. （5分）（2）由柯西不等式，得222222211()()222⎛⎫⎛⎫++=++++≥++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c a b c a ba b c c a ba b c a b c，所以2222++≥c a ba b c. （10分）。

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题1．已知集合A＝{x∈N|﹣x2+x+2≥0}，则满足条件A∪B＝A的集合B的个数为（）A．3B．4C．7D．82．已知复数z＝（2+i）（a+2i3）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（4，+∞）C．（﹣1，4）D．（﹣4，﹣1）3．已知命题p：“∃x0∈R，＞0”的否定是“”；命题q：“x＜2020”的一个充分不必要条件是“x＜2019”，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧q 4．已知f（x）＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[4，8）C．（4，8）D．（1，8）5．体育品牌Kappa的LOGO为可抽象为如图靠背而坐的两条优美的曲线，下列函数中大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是（）A．B．C．D．6．《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺≈0.33米），己知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则估算出该粮仓存放的米约为（）A．43 斛B．45 斛C．47 斛D．49 斛7．《张丘建算经》中如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾五日，行四百六十五里，问日行几何？”根据此问题写出如下程序框图，若输出S＝465，则输入m的值为（）A．240B．220C．280D．2608．已知0＜β＜＜α＜，且sinα﹣cosα＝，sin（β+）＝，则sin（α+β）＝（）A．B．C．D．9．已知点G在△ABC内，且满足2+3+4＝0，现在△ABC内随机取一点，此点取自△GAB，△GAC，△GBC的概率分别记为P1、P2、P3，则（）A．P1＝P2＝P3B．P3＞P2＞P1C．P1＞P2＞P3D．P2＞P1＞P3 10．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．函数g（x）为奇函数B．函数g（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）C．函数g（x）为偶函数D．函数g（x）的图象的对称轴为直线x＝kπ+（k∈Z）11．已知双曲线的右焦点为F（c，0），点A、B分别在直线和双曲线C的右支上，若四边形OABF（其中O为坐标原点）为菱形且其面积为，则a＝（）A．B．C．2D．12．已知函数f（x）＝a（2a﹣1）e2x﹣（3a﹣1）（x+2）e x+（x+2）2有4个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．B．C．∪（1，e）D．二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知二进制数1010（2）化为十进制数为n，则n为．14．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，△ABC的面积为S，（a2+b2）tan C ＝8S，则＝．15．已知变量x，y满足约束条件，在实数x，y中插入7个实数，使这9个数构成等差数列{a n}的前9项，即a1＝x，a9＝y，则数列{a n}的前13项和的最大值为．16．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E、F分别是线段AB，C1D1上的动点，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，则当点P运动时，PE的最小值是．三、解答题；（共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，a3＝3，且λS n＝a n a n+1，在等比数列{b n}中，b1＝2λ，b3＝a15+1．（Ⅰ）求数列{a n}及{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}的前n（n∈N*）项和为T n，且，求T n．18．如图，在五面体ABCDFE中，侧面ABCD是正方形，△ABE是等腰直角三角形，点O 是正方形ABCD对角线的交点，EA＝EB，AD＝2EF＝6且EF∥AD．（1）证明：OF∥平面ABE．（2）若侧面ABCD与底面ABE垂直，求五面体ABCDFE的体积19．2019年双十一落下帷幕，天猫交易额定格在268（单位：十亿元）人民币（下同），再创新高，比去年218（十亿元）多了50（十亿元）．这些数字的背后，除了是消费者买买买的表现，更是购物车里中国新消费的奇迹，为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y（单位：十亿元），绘制如表：年份2010201120122013201420152016201720182019编号x12345678910销售额0.98.722.4416594132.5172.5218268y根据以上数据绘制散点图，如图所示（1）根据散点图判断，y＝a+bx与y＝cx2+d哪一个适宜作为销售额y关于x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及如表中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测2020年天猫双十一销售额；（注：数据保留小数点后一位）（3）把销售超过100（十亿元）的年份叫“畅销年”，把销售额超过200（十亿元）的年份叫“狂欢年”，从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取2个，求至少取到一个“狂欢年”的概率．参考数据：，（t）2≈1483 y i＝1020x i y i＝8088t i＝385t≈25380t i y i≈67770参考公式：对于一组数据（（u1，v1），（u2，v2），…（u n，v n ），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，．20．已知椭圆的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）我们称圆心在椭圆上运动，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”．过原点O 作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A、B两点，若直线OA、OB的斜率为K1、K2，当时，求此时“卫星圆”的个数．21．已知函数f（x）＝x2﹣2xlnx，函数g（x）＝x+，其中a∈R，x0是g（x）的一个极值点，且g（x0）＝2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）求实数x0和a的值；（3）证明．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）在曲线C1上任取一点Q，连接OQ，在射线OQ上取一点P，使|OP|•|OQ|＝4，求P点轨迹的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C1上任取一点M，在曲线C2．上任取一点N，求|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣7|+|2x﹣5|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥6；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，已知正实数a，b，且，证明：k2m≥1．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）1．已知集合A＝{x∈N|﹣x2+x+2≥0}，则满足条件A∪B＝A的集合B的个数为（）A．3B．4C．7D．8【分析】可以求出集合A＝{0，1，2}，由A∪B＝A可得B⊆A，从而求集合A的子集个数即可．解：A＝{x∈N|﹣1≤x≤2}＝{0，1，2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴集合A的子集个数为23＝8个．故选：D．2．已知复数z＝（2+i）（a+2i3）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（4，+∞）C．（﹣1，4）D．（﹣4，﹣1）【分析】利用复数的运算法则、不等式的解法、几何意义即可得出．解：复数z＝（2+i）（a+2i3）＝（2+i）（a﹣2i）＝2a+2+（a﹣4）i，在复平面内对应的点（2a+2，a﹣4）在第四象限，则2a+2＞0，a﹣4＜0，解得﹣1＜a＜4．实数a的取值范围是（﹣1，4）．故选：C．3．已知命题p：“∃x0∈R，＞0”的否定是“”；命题q：“x＜2020”的一个充分不必要条件是“x＜2019”，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧q 【分析】根据条件分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．解：命题p：“∃x0∈R，＞0”的否定是“∀x∈R，＜0或x+1＝0”；则命题p 是假命题，命题q：“x＜2020”的一个充分不必要条件是“x＜2019”，为真命题，则（￢p）∧q为真命题，其余为假命题，故选：D．4．已知f（x）＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[4，8）C．（4，8）D．（1，8）【分析】由题意逐段考查函数的单调性，结合函数在x＝1处的性质即可求得最终结果．解：逐段考查所给的函数：指数函数的单调递增，则：a＞1，一次函数单调递增，则：，且当x＝1时应有：，解得：a≥4，综上可得，实数a的取值范围是[4，8）．故选：B．5．体育品牌Kappa的LOGO为可抽象为如图靠背而坐的两条优美的曲线，下列函数中大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是（）A．B．C．D．【分析】由图象的对称性可排除BD选项，由x→0时，函数图象中的值大于0排除A．解：由图象观察可知，函数图象关于y轴对称，而选项BD为奇函数，其图象关于原点对称，故不合题意；对选项A而言，当x→0时，f（x）＜0，故排除A．故选：C．6．《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺≈0.33米），己知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则估算出该粮仓存放的米约为（）A．43 斛B．45 斛C．47 斛D．49 斛【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为圆柱和圆台的组合体．所以：V＝+π•22•6≈79，则：79÷1.62≈49斛．故选：D．7．《张丘建算经》中如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾五日，行四百六十五里，问日行几何？”根据此问题写出如下程序框图，若输出S＝465，则输入m的值为（）A．240B．220C．280D．260【分析】由程序依次写出结果，由等比数列的求和公式，计算可得所求结果．解：由程序可得起初为S＝0，i＝0，第一次变为S＝m，i＝1；第二次变为S＝m+2﹣1m，i＝2；第三次变为S＝m+2﹣1m+2﹣2m，i＝3；第四次变为S＝m+2﹣1m+2﹣2m+2﹣3m，i＝4；第五次变为S＝m+2﹣1m+2﹣2m+2﹣3m+2﹣4m，不满足条件，输出S＝m•＝465，解得m＝240．故选：A．8．已知0＜β＜＜α＜，且sinα﹣cosα＝，sin（β+）＝，则sin（α+β）＝（）A．B．C．D．【分析】由题意利用条件求得sin（α﹣），利用同角三角函数的基本关系求得cos（α﹣），cos（β+）的值，再利用两角和差的三角公式求得sin（α+β）＝sin[（α﹣）+（β+）]的值．解：已知，且，∴（sinα﹣cosα）＝sin（α﹣）＝，∴sin（α﹣）＝，∴cos（α﹣）＝＝．∵，∴cos（β+）＝＝，∴sin（α+β）＝sin[（α﹣）+（β+）]＝sin（α﹣）cos（β+）+cos（α﹣）sin（β+）＝•+•＝，故选：C．9．已知点G在△ABC内，且满足2+3+4＝0，现在△ABC内随机取一点，此点取自△GAB，△GAC，△GBC的概率分别记为P1、P2、P3，则（）A．P1＝P2＝P3B．P3＞P2＞P1C．P1＞P2＞P3D．P2＞P1＞P3【分析】根据题意延长GB到B′，使得＝，延长GC到C′，使得＝2，得出++＝，G是△AB′C′的重心；设△AB′C′的面积为3S，求出△GAB，△GAC，△GBC的面积比，即可得出P1、P2、P3的大小．解：点G在△ABC内，且满足2+3+4＝，∴++2＝，延长GB到B′，使得＝，延长GC到C′，使得＝2，连接AB′、AC′、B′C′，则++＝，所以G是△AB′C′的重心，如图所示；设△AB′C′的面积为3S，则S△GAB′＝S△GAC′＝S△GB′C′＝S；又S△GAB＝S△GAB′＝S，S△GAC＝S△GAC′＝S，S△GBC＝S△GB′C′＝S；所以△GAB，△GAC，△GBC的面积比为：：＝4：3：2；所以P1：P2：P3＝4：3：2，所以P1＞P2＞P3．故选：C．10．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．函数g（x）为奇函数B．函数g（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）C．函数g（x）为偶函数D．函数g（x）的图象的对称轴为直线x＝kπ+（k∈Z）【分析】先确定函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的解析式，再根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）图象的平移，得到g（x），然后逐项分析即可．解：依题意，A＝3，＝＝，所以T＝π，所以ω＝2，又3＝3sin（2×+φ），所以φ＝2kπ﹣，（k∈Z），所以f（x）＝3sin（2x﹣）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得g（x）＝3sin（2x+）．奇偶性，显然g（x）不是奇函数也不是偶函数，A，C错．单调性，由2x+∈[2kπ﹣，2kπ+]，得g（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）B对．对称性，由2x+＝得，x＝，（k∈Z）故D错．故选：B．11．已知双曲线的右焦点为F（c，0），点A、B分别在直线和双曲线C的右支上，若四边形OABF（其中O为坐标原点）为菱形且其面积为，则a＝（）A．B．C．2D．【分析】由题意可得菱形的边长为c，运用双曲线的定义和离心率公式，以及菱形的面积公式，解方程可得所求值．解：直线，即为双曲线的左准线方程，右准线方程为x＝，又四边形OABF（其中O为坐标原点）为菱形，且边长为c，AB垂直于左准线于A，|AB|＝c，B到右准线的距离为c﹣，由双曲线的定义可得e＝＝，即有a＝c﹣，可得c2﹣ac﹣2a2＝0，化为c＝2a，①菱形OABF的面积为c＝3，②由①②可得a＝，c＝2，故选：A．12．已知函数f（x）＝a（2a﹣1）e2x﹣（3a﹣1）（x+2）e x+（x+2）2有4个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．B．C．∪（1，e）D．【分析】令f（x）＝0，化简可知或，构造函数，利用导数研究函数g（x）的性质，通过图象得到关于a的不等式组，解出即可得到答案．解：令f（x）＝0，则[ae x﹣（x+2）][（2a﹣1）e x﹣（x+2）]＝0，即，则或，令，则，当x∈（﹣∞，﹣1）时，g′（x）＞0，g（x）单增，当x∈（﹣1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单减，且g（x）max＝g（﹣1）＝e，当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→0，作函数g（x）的图象如下，要使函数y＝f（x）有4个零点，则需直线y＝a，直线y＝2a﹣1与函数g（x）的图象共有4个交点，∴，解得0＜a＜1或．故选：D．二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知二进制数1010（2）化为十进制数为n，则n为10．【分析】将二进制数转化为十进制数，可以用每个数位上的数字乘以对应的权重，累加后，即可得到答案．解：根据二进制的数转化为十进制的方法可得：1010（2）＝1×23+1×21＝10．即n的值为10．故答案为：10．14．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，△ABC的面积为S，（a2+b2）tan C ＝8S，则＝2．【分析】由已知，利用三角形面积公式，余弦定理可得a2+b2＝2c2，利用正弦定理化简所求即可计算得解．解：由于：（a2+b2）tan C＝8S，可得：a2+b2＝4ab cos C＝4ab•，可得：a2+b2＝2c2，则：＝＝2．故答案为：2．15．已知变量x，y满足约束条件，在实数x，y中插入7个实数，使这9个数构成等差数列{a n}的前9项，即a1＝x，a9＝y，则数列{a n}的前13项和的最大值为．【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形计算该等差数列{a n}的公差d，写出数列{a n}的前13项和S13，求出它的最大值．解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；解方程组，得A（，）；记这个等差数列为{a n}，其公差为d，则d＝＝（y﹣x），所以数列{a n}的前13项和为S13＝＝13a7＝13（a1+6d）＝13[x+]＝（x+3y），作出直线l：x+3y＝0，由图形可知，当直线l过点A时，z＝x+3y取得最大值，所以S13的最大值为×（+10）＝．故答案为：．16．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E、F分别是线段AB，C1D1上的动点，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，则当点P运动时，PE的最小值是．【分析】由题意，当PF⊥D1C1时，能满足P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离最小等于正方体棱长的一半，再由勾股定理求得PE的最小值．解：∵点P是上底面A1B1C1D1内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，∴当PF⊥D1C1时，能满足P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离最小等于正方体棱长的一半，此时PE取得最小值为．故答案为：．三、解答题；（共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，a3＝3，且λS n＝a n a n+1，在等比数列{b n}中，b1＝2λ，b3＝a15+1．（Ⅰ）求数列{a n}及{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}的前n（n∈N*）项和为T n，且，求T n．【分析】（I）分别令n＝1，2列方程，再根据等差数列的性质即可求出a1，a2得出a n，计算b1，b3得出公比得出b n；（II）求出c n，根据裂项法计算T n．解：（Ⅰ）∵λS n＝a n a n+1，a3＝3，∴λa1＝a1a2，且λ（a1+a2）＝a2a3，∴a2＝λ，a1+a2＝a3＝3，①∵数列{a n}是等差数列，∴a1+a3＝2a2，即2a2﹣a1＝3，②由①②得a1＝1，a2＝2，∴a n＝n，λ＝2，∴b1＝4，b3＝16，∴{b n}的公比q＝＝±2，∴或b n＝（﹣2）n+1．（Ⅱ）由（I）知，∴＝，∴T n＝＝1+﹣﹣＝．18．如图，在五面体ABCDFE中，侧面ABCD是正方形，△ABE是等腰直角三角形，点O 是正方形ABCD对角线的交点，EA＝EB，AD＝2EF＝6且EF∥AD．（1）证明：OF∥平面ABE．（2）若侧面ABCD与底面ABE垂直，求五面体ABCDFE的体积【分析】（1）取AB的中点M，连接OM、EM，证明四边形EFOM是平行四边形，得出OF∥EM，从而证明OF∥平面ABE；（2）取AD的中点G，BC的中点H，连接GH、FG、FH，得出几何体ABE﹣GHF为三棱柱；计算三棱柱ABE﹣GHF的体积，再计算四棱锥F﹣CDGH的体积，求和即可．【解答】（1）证明：取AB的中点M，连接OM、EM，如图所示；因为EF∥BC，且EF＝BC，又侧面ABCD是正方形，所以EF∥OM，且EF＝OM；所以四边形EFOM是平行四边形，所以OF∥EM；因为EM⊂平面ABE，OF⊄平面ABE，所以OF∥平面ABE；（2）解：取AD的中点G，BC的中点H，连接GH、FG、FH．则几何体ABE﹣GHF 为三棱柱；因为侧面ABCD与底面ABE垂直，且AD⊥AB，所以AD⊥底面ABE；由题意知，EF＝3，AE＝BE＝3，所以三棱柱ABE﹣GHF 的体积为×3＝27；因为M为AB的中点，EA＝EB，所以EM⊥AB，又侧面ABCD与底面ABE垂直，所以EM⊥平面ABCD，所以FO⊥平面ABC；又FO＝FM＝3，则四棱锥F﹣CDGH的体积为V ＝×6×3×3＝18，即五面体ABCDFE的体积为27+18＝45．19．2019年双十一落下帷幕，天猫交易额定格在268（单位：十亿元）人民币（下同），再创新高，比去年218（十亿元）多了50（十亿元）．这些数字的背后，除了是消费者买买买的表现，更是购物车里中国新消费的奇迹，为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y（单位：十亿元），绘制如表：年份2010201120122013201420152016201720182019编号x12345678910销售额0.98.722.4416594132.5172.5218268y根据以上数据绘制散点图，如图所示（1）根据散点图判断，y＝a+bx与y＝cx2+d哪一个适宜作为销售额y关于x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及如表中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测2020年天猫双十一销售额；（注：数据保留小数点后一位）（3）把销售超过100（十亿元）的年份叫“畅销年”，把销售额超过200（十亿元）的年份叫“狂欢年”，从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取2个，求至少取到一个“狂欢年”的概率．参考数据：，（t）2≈1483 y i＝1020x i y i＝8088t i＝385t≈25380t i y i≈67770参考公式：对于一组数据（（u1，v1），（u2，v2），…（u n，v n ），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，．【分析】（1）直接由散点图判断函数模型；（2）由已知求得c与d的值，即可求得y关于x的回归方程，取x＝11求得y值，即可预测2020年天猫双十一销售额；（3）直接利用枚举法结合古典概型概率公式求解．解：（1）由散点图可知，y＝cx2+d适宜作为销售额y关于x的回归方程类型；（2）令t＝x2，则y＝ct+d．t i＝385＝38.5，y i＝1020＝102．c＝≈≈2.7，d＝≈﹣2．∴y＝2.7t﹣2，则y关于x的回归方程为y＝2.7x2﹣2，取x＝11，得y＝2.7×121﹣2＝324.7（十亿元）．预测2020年天猫双十一销售额为324.7（十亿元）；（3）2010年到2019年这十年中“畅销年”有4年，其中“狂欢年”有2年．从中任取2个，基本事件总数为（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共6个，至少取到一个“狂欢年”的事件数为（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共5个．则至少取到一个“狂欢年”的概率为．20．已知椭圆的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）我们称圆心在椭圆上运动，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”．过原点O 作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A、B两点，若直线OA、OB的斜率为K1、K2，当时，求此时“卫星圆”的个数．【分析】（Ⅰ）由题意可得：，解得：b＝c＝，所以a2＝b2+c2＝12，从而求出椭圆C的标准方程为：；（Ⅱ）设“卫星圆”的圆心为（x0，y0），所以“卫星圆”的半径为，所以“卫星圆”的标准方程为：，由直线OA：y＝k1x与“卫星圆”相切可得：，化简得：，同理可得：，所以k1，k2是方程（﹣9）k2﹣2x0y0k+﹣9＝0是两个不相等的实数根，利用韦达定理以及“卫星圆”的圆心（x0，y0）在椭圆C上，得到＝，当时，y02＝1；当时，，所以满足条件的点（x0，y0）共有8个．解：（Ⅰ）因为椭圆C的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形，所以由椭圆的定义和正方形的性质，可得：，解得：b＝c＝，∴a2＝b2+c2＝12，∴椭圆C的标准方程为：；（Ⅱ）设“卫星圆”的圆心为（x0，y0），由“卫星圆”的定义，可得“卫星圆”的半径为，∴“卫星圆”的标准方程为：，∵直线OA：y＝k1x与“卫星圆”相切，∴由点到直线的距离公式可得：，化简得：，同理可得：∴k1，k2是方程（﹣9）k2﹣2x0y0k+﹣9＝0是两个不相等的实数根，∴﹣9≠0，由△＞0得，将代入得，，又∵“卫星圆”的圆心（x0，y0）在椭圆C上，∴，∴，∴＝，整理得：，解得：或，①当时，y02＝1，则，∵＝2＞0，∴2x0y0＞0，∴x0与y0同号，∴或，②当时，，则，∵＝2＞0，∴2x0y0＜0，∴x0与y0异号，∴或，所以满足条件的点（x0，y0）共有4个，故这样的“卫星圆”存在4个．21．已知函数f（x）＝x2﹣2xlnx，函数g（x）＝x+，其中a∈R，x0是g（x）的一个极值点，且g（x0）＝2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）求实数x0和a的值；（3）证明．【分析】（1）先对f（x）求导，然后结合导数即可求解函数的单调区间；（2）结合极值存在的条件可转化为方程的解的问题，结合导数即可求解；（3）结合（1）的结论及函数的单调性及数列的求和方法即可证明．解：（1）函数f（x）的定义域（0，+∞），f′（x）＝2x﹣2lnx﹣2，令h（x）＝2x﹣2lnx﹣2，则h′（x）＝，由h′（x）＝0可得x＝1，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，故当x＝1时，函数取得极小值也是最小值h（1）＝0，所以h（x）≥0即f′（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）g（x）的定义域（0，+∞），，由题意可得，g′（x0）＝0即①，由g（x0）＝2可得②，联立①②消去a可得，2x0﹣，令t（x）＝2x﹣（lnx）2﹣2lnx﹣2，则＝，由（1）知x﹣lnx﹣1≥0，故t′（x）≥0，故t（x）在（0，+∞）上单调递增，又t（1）＝0，故方程③有唯一的解x0＝1，代入①可得a＝1，所以x0＝1，a＝1，（3）证明：由（1）f（x）＝x2﹣2xlnx在（0，+∞）上单调递增，故当x＞1时，f（x）＞f（1）＝1，＝＞0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递增，因此当x＞1时，g（x）＞g（1）＝2，即，故，∴，取x＝，k∈N*，可得＞ln（2k+1）﹣ln（2k﹣1），化简可得，＝，故＞＝（ln3﹣ln1）+（ln5﹣ln3）+…+ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1）＝ln（2n+1），所以．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）在曲线C1上任取一点Q，连接OQ，在射线OQ上取一点P，使|OP|•|OQ|＝4，求P点轨迹的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C1上任取一点M，在曲线C2．上任取一点N，求|MN|的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（I）C1化为普通方程为，化为极坐标方程为．设Q（ρ1，θ0），P（ρ，θ），则，即，∵，∴，∴（II）C2化为直角坐标方程为．化为参数方程为（φ为参数），|MN|的最小值为椭圆C2上的点N到直线C1，距离的最小值．设N（2cosφ，sinφ），则，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣7|+|2x﹣5|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥6；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，已知正实数a，b，且，证明：k2m≥1．【分析】（Ⅰ）根据f（x）≥6，利用零点分段法解不等式即可；（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）≥2，从而得到m＝2，再由，得2k2≥1，进而证明不等式成立．解：（Ⅰ）由f（x）≥6，得不等式|2x﹣7|+|2x﹣5|≥6，当时，不等式可化为﹣（2x﹣7）﹣（2x﹣5）≥6，解得；当时，不等式可化为﹣（2x﹣7）+（2x﹣5）≥6，即2≥6，无解；当时，不等式可化为（2x﹣7）+（2x﹣5）≥6，解得．综上，不等式f（x）≥6的解集是．（Ⅱ）∵f（x）＝|2x﹣7|+|2x﹣5|≥|2x﹣7﹣（2x﹣5）|＝2，当且仅当（2x﹣7）（2x﹣5）≤0时取等号，∴m＝2．∵，∴．∵，∴，∴2k2≥1，即k2m≥1．。

数学模拟信息试卷（文科）（一）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x是1～20以内的所有素数}，B={x||x|≤8}，则A∩B=（ ）A. {3，5，7}B. {2，3，5，7}C. {1，2，3，5，7}D. {0，1，2，3，5，7}2.若复数z满足zi=1+i，则复数z在复平面对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知函数f（x）=，则f（f（-2））的值为（ ）A. 81B. 27C. 9D.4.已知变量x与y线性相关，由观测数据算得样本的平均数，，线性回归方程中的系数b，a满足b-a=2，则线性回归方程为（ ）A. B. C. D.5.在平行四边形ABCD中，，，若E是DC的中点，则=（ ）A. B. C. D.6.我国古代数学名著《孙子算经》有鸡兔同笼问题，根据问题的条件绘制如图的程序框图，则输出的x，y分别是（ ）A. 12，23B. 23，12C. 13，22D. 22，137.已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（ ）A.B. 20C.D.8.将函数的图象向右平移个周期后得到的函数为，则的图象的一条对称轴可以是（）A. B. C. D.9.关于曲线：性质的叙述，正确的是（）A. 一定是椭圆B. 可能为抛物线C. 离心率为定值D. 焦点为定点10.已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上，，，，顶点在平面上的投影为的中点，且，则球的表面积为( )A. B. C. D.11.不等式组，所表示的平面区域为Ω，用随机模拟方法近似计算Ω的面积，先产生两组（每组100个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x100和y1，y2，…y100，由此得到100个点（x i，y i）（i=1，2，…，100），再数出其中满足的点数为33，那么由随机模拟方法可得平面区域Ω面积的近似值为（ ）A. 0.33B. 0.66C. 0.67D.12.设定义在R上的函数f（x）的导函数为fˈ（x），若f（x）+fˈ（x）＞2，f（0）＝2020，则不等式e x f（x）＞2e x+2018（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A. （0，+∞）B. （2018，+∞）C. （2020，+∞）D. （﹣∞，0）∪（2018，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若是函数的一个零点，则ω=______．14.三角形ABC中，∠BAC=30°，，，则三角形ABC的面积为______．15.某校开展“安全在我心中”征文比赛，现随机抽取男女生各5名，如图是男生、女生的比赛成绩的茎叶图，记男生、女生的比赛成绩的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2-s2=______．乙16.直线x+y=a与圆C：（x-1）2+y2=2交于A，B两点，向量，满足，则实数a的取值集合为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求证：数列为等比数列；（Ⅱ）求数列{a n-1}的前n项和T n．18.如图，四边形ABCD为矩形，ED⊥平面ABCD，AF∥ED，AB=4，BC=3，DE=3AF=6．（Ⅰ）求证：BF∥平面CDE；（Ⅱ）点G在线段ED上，且EG=2，过B、F、G三点的平面将多面体ABCDEF分成两部分，设上、下两部分的体积分别为V1、V2，求V1：V2．19.美国制裁中兴，未来7年一颗芯片都不卖，这却激发了中国“芯”的研究热潮．某公司甲，乙，丙三个研发小组分别研发A，B，C三种不同的芯片，现在用分层抽样的方法从这些芯片中抽取若干件进行质量分析，有关数据见如表（单位：件）．芯片数量抽取件数A200xB600yC4002（Ⅰ）求log y x的值；（Ⅱ）若在这抽出的样品中随机抽取2件送往某机构进行进一步检测，求这2件芯片来自不同种类的概率．20.抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线过点P（p，1）．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程与其准线l的方程；（Ⅱ）过F点作直线与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C的准线l上．21.已知函数．（Ⅰ）当曲线f（x）在x=3时的切线与直线y=-4x+1平行，求曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值，并求当f（x）有极大值且极大值为正数时，实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ2（cos2θ+4sin2θ）＝4，过点P（2，1）的直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值，并求定点P到A，B两点的距离之积．23.已知函数f（x）=|x-a|+2a，g（x）=|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）-g（x）≤3；（Ⅱ）当x∈R时，f（x）+g（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A={2，3，5，7，11，13，17，19}，B={x|-8≤x≤8}；∴A∩B={2，3，5，7}．故选：B．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查素数的定义，列举法、描述法表示集合的定义，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：，则复数z在复平面对应的点位于第四象限．故选：D．将z表示为z=，分子分母同乘以-i，得到z的代数形式，即可得到z所在象限．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由f（x）=，得，∴f（f（-2））=f（9）=92=81．故选：A．先计算f（-2）然后根据f（-2）的值计算f（f（-2））即可．本题考查了分段函数值的计算，注意分段函数分段求，属基础题4.【答案】D【解析】解：回归直线方程过样本中心点（3，4），所以3b+a=4；又b-a=2，解方程组，得，，所以线性回归方程为．故选：D．根据回归直线方程过样本中心点，结合题意得出关于a、b的方程组，求解即可．本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．5.【答案】D【解析】解：，故选：D．由平面向量线性运算及平面向量基本定理得：，得解．本题考查了平面向量基本定理，属简单题．6.【答案】B【解析】解：由程序框图，得：x=1，y=34，S=138；x=3，y=32，S=134；x=5，y=30，S=130；x=7，y=28，S=126；……，x=23，y=12，S=94．输出x=23，y=12．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】C【解析】解：该几何体是棱长为2的正方体削去一个角后得到的几何体（如图），其表面积为．故选：C．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的对称性以及三角函数的平移变换，是基本知识的考查．求出函数的周期，定点平移后的解析式，求出对称轴即可定点选项．【解答】解：的周期为，图象向右平移个周期后得到的函数为g（x），则，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得为其中一条对称轴．故选：A．9.【答案】D【解析】【分析】利用方程的形式，判断选项的正误；分类讨论方程表示椭圆或双曲线时，求出定点推出结果．本题考查抛物线与椭圆以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．【解答】解：因为曲线方程没有一次项，不可能为抛物线，故B错误；因为a2-4可正也可负，所以曲线可能为椭圆或双曲线．若曲线为椭圆，则c2=a2-（a2-4）=4，∴c=2，，离心率不是定值，焦点（2，0），（-2，0），为定点；若曲线为双曲线，方程为，则c2=a2+（4-a2）=4，∴c=2，，离心率不是定值，焦点（2，0），（-2，0），为定点；故选：D．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．由题意画出图形，求解三棱锥外接球的半径，再由球的表面积公式求解．【解答】解：如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB=6，，∴，．设球O的半径为R，则15+（5-R）2=R2，∴R=4．∴球O的表面积为4πR2=64π．故选：D．11.【答案】C【解析】解：设平面区域为Ω的面积为S，依题意，，∴S=0.67．故选：C．设平面区域为Ω的面积为S，因为其中满足的点数为33，所以满足y≥x2的点的个数为100-33，所以，∴S=0.67．本题考查了模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，12.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后推出结果即可．【解答】解：设g（x）=e x f（x）-2e x，则g'（x）=e x f（x）+e x f'（x）-2e x=e x[f（x）+f'（x）-2]，∵f（x）+f'（x）＞2，e x＞0，∴g'（x）=e x[f（x）+f'（x）-2]＞0，∴g（x）是R上的增函数，又g（0）=f（0）-2=2018，∴g（x）＞2018的解集为（0，+∞），即不等式e x f（x）＞2e x+2018的解集为（0，+∞）．故选：A．13.【答案】2【解析】解：由题意，，得tan（ω+）=0，即ω+=kπ，得ω=3k-1，k∈Z．又0≤ω≤π，∴当k=0时，ω=2．故答案为：2．根据函数零点定义，结合正切函数的性质进行求解即可．本题主要考查函数零点的应用，结合零点定义转化为求正切函数问题是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：法1：在△ABC中，∠BAC=30°，，．由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC•AB cos30°，即：，解得：．可得三角形ABC的面积为．法2：在△ABC中，∠BAC=30°，，．由正弦定理得：，解得：sin∠ABC=1，可得：∠ABC=90°，由勾股定理，得：．所以：三角形ABC的面积为．故答案为：．法1：在△ABC中，由余弦定理求得AB的值，进而根据三角形的面积公式即可求解；法2：在△ABC中，由正弦定理得sin∠ABC=1，可得∠ABC=90°，由勾股定理可求AB的值，根据三角形的面积公式即可得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.【答案】31.2【解析】解：男生的平均数为，方差=51.2．女生的平均数为，方差=20．∴．故答案为：31.2．先求出男生和女生的平均数，再求出男生的女生的方差，由此能求出结果．本题考查两组数的方差之差的求法，考查茎叶图、平均数、方差的性质，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】【解析】解：由，满足，得，圆C：（x-1）2+y2=2的圆心为（1，0），半径为，点C到直线x+y=a的距离为1，由，得．∴实数a的取值集合为．故答案为：．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．由向量等式可得，由此得到圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得a值．17.【答案】解：（Ⅰ）2S n=-a n+n，当n≥2时，2S n-1=-a n-1+n-1，两式相减，得2a n=-a n+a n-1+1，即．∴，所以数列为等比数列．（Ⅱ）由2S1=-a1+1，得．由（Ⅰ）知，数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，∴，∴，∴=．【解析】（Ⅰ）利用数列的递推关系式，转化证明数列为等比数列；（Ⅱ）判断数列{a n-1}是等比数列，利用等比数列的求和公式求解数列的前n项和T n．本题考查数列的递推关系式的应用，数列的证明以及数列求和，考查计算能力．18.【答案】（Ⅰ）证明：如图，在ED上取点N，使DN=2，连接NC、NF，∵AF∥DN，AF=DN，∴四边形ADNF为平行四边形，∴AD∥FN，AD=FN，又四边形ABCD为矩形，AD∥BC，AD=BC，∴FN∥BC，FN=BC，∴四边形BCNF为平行四边形，∴BF∥NC，又BF⊄平面CDE，NC⊂平面CDE，∴BF∥平面CDE；（Ⅱ）过G作MG∥NC交EC于点M，则MG∥BF，连接BG，BM，GF，BD，设M到ED的距离为h，由△EGM～△ENC，得，即，∴h=2，∴V1=V E-BFGM=V B-EFG+V B-EMG=，又V ABCDEF=V B-ADEF+V B-CDE=．∴V2=V ABCDEF-V1=28-6=22，∴V1：V2=6：22=3：11．故过B、F、G三点的平面将多面体ABCDEF分成的上、下两部分的体积为3：11．【解析】（Ⅰ）在ED上取点N，使DN=2，连接NC、NF，证明四边形BCNF为平行四边形，得到BF∥NC，即可证明BF∥平面CDE；（Ⅱ）过G作MG∥NC交EC于点M，则MG∥BF，连接BG，BM，GF，BD，设M到ED的距离为h，通过△EGM～△ENC，求出h=2，利用V1=V E-BFGM=V B-EFG+V B-EMG，V2=V ABCDEF-V1=28-6=22，通过V1：V2．本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断定理的应用．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意得，所以，x=1，y=3．log y x=log31=0．（Ⅱ）共抽取6件，其中芯片A，B，C分别为1，3，2件．设这2件芯片来自不同种类的事件为X．记A种芯片为a，B种芯片为b1，b2，b3，C种芯片为c1，c2．基本事件有ab1，ab2，ab3，ac1，ac2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b2，b2c1，b2c2，b3c1，b3c2，c1c2共15种情况，这2件芯片来自不同种类的有ab1，ab2，ab3，ac1，ac2，b1c1，b1c2，b2c1，b2c2，b3c1，b3c2，共11种情况，即，故答案为：．【解析】（Ⅰ）由分层抽样得：，所以，x=1，y=3，代入计算得解，（Ⅱ）由古典概型得：列出基本事件，再结合古典概型的求法可得解．本题考查了分层抽样及古典概型，属中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由p2=2p×1，得p=2，所以抛物线的标准方程为x2=4y，准线l 的方程为y=-1；（Ⅱ）证明：根据题意直线AB的斜率一定存在，又焦点F（0，1），设过F点的直线方程为y=kx+1，联立抛物线方程得x2-4kx-4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=-4．∴．由得，，过A，B分别的抛物线的切线方程为，即，两式相加，得，化简，得y=kx-（2k2+1），即y=k（x-2k）-1，所以，两条切线交于点（2k，-1），该点显然在抛物线C的准线l：y=-1上．【解析】（Ⅰ）代入点P的坐标，可得p，即可得到所求抛物线的方程和准线方程；（Ⅱ）根据题意直线AB的斜率一定存在，又焦点F（0，1），设过F点的直线方程为y=kx+1，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及导数，可得切线的斜率和方程，两式相加，即可得到所求定点．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，以及韦达定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数．定义域：（0，+∞），由，得a=3．当x=1时，，，曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程为，即：8x-4y-17=0．（Ⅱ）．（1）当a≤0时，f'（x）≤0，所以，f（x）在（0，+∞）递减，f（x）无极值．（2）当a＞0时，由f'（x）=0，得：．随x的变化f'（x）、f（x）的变化情况如下：xf'（x）+0-f（x）↗极大值↘故f（x）有极大值，无极小值；=，极大值为正数时；由，∵a＞0，∴a＞2e．所以，当f（x）的极大值为正数时，实数a的取值范围为（2e，+∞）．【解析】考查利用导数研究函数的极值、最值问题，考查函数曲线的切线方程，体现了转化的思想方法，属于中档题．（Ⅰ）求曲线f（x）的导数表达在x=3时的切线与直线y=-4x+1平行时，可得a=3，在由点斜式求切线的方程；（Ⅱ）讨论a表达函数f（x）的极值，并求当f（x）有极大值且极大值为正数时，=＞0，可得实数a的取值范围．22.【答案】解：（Ⅰ）由（t为参数），消去参数t，得直线l的普通方程x-y-1=0．由ρ2（cos2θ+4sin2θ）=4，得曲线C的直角坐标方程为x2+4y2-4=0．（Ⅱ）将直线l的参数方程为（t为参数），代入x2+4y2-4=0，得．则，．∴=，．所以，|AB|的值为，定点P到A，B两点的距离之积为．【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．（Ⅰ）利用消参法可得直线l的普通方程，根据互化公式可得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，利用参数得几何意义可得．23.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）-g（x）≤3，等价于|x-1|-|x+1|≤1；当x≤-1时，不等式化为-（x-1）+（x+1）≤1，即2≤1，解集为∅；当-1＜x＜1时，不等式化为-（x-1）-（x+1）≤1，解得；当x≥1时，不等式化为（x-1）-（x+1）≤1，即-2≤1，解得x≥1；综上，不等式的解集为；（Ⅱ）当x∈R时，f（x）+g（x）=|x-a|+2a+|x+1|≥|x-a-x-1|+2a=|a+1|+2a，f（x）+g（x）≥4等价于|a+1|+2a≥4，若a＜-1，则-（a+1）+2a≥4，解得a∈∅；若a≥-1，则a+1+2a≥4，解得a≥1；综上，实数a的取值范围是[1，+∞）．【解析】（Ⅰ）a=1时，用分类讨论法去掉绝对值，求不等式f（x）-g（x）≤3的解集即可；（Ⅱ）x∈R时，利用绝对值不等式求解转化为关于a的不等式，再利用分类讨论法求不等式的解集．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，是中档题．。

2020年四川省绵阳市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−3,−1,0，1，3}，B ={x|x 2+3x =0}，则A ∩B =( )A. {−3,0，3}B. {−3,0}C. {0,3}D. {−3,−1,0，1，3}2. 若a ∈R ，则“|a −2|≥1”是“a ≤0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知复数z =−1+i ，则z+2z 2+z =( ) A. −1 B. 1 C. −i D. i4. 直线√3x +y −2√3=0截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 从编号为001，002，…，400的400个产品中用系统抽样的方法抽取一个容量为16样本，已知样本中最小的编号为007，则样本中最大的编号应该为( )A. 382B. 483C. 482D. 483 6. 双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为y =2x ，则该双曲线的离心率等于( ) A. √52B. √5C. √6D. √62 7. 已知sinα=−35，α是第三象限角，则tan (α−π4)=( )A. −17B. 17C. −34D. 34 8. 在△ABC 中，已知AB =√2，AC =√5，tan∠BAC =−3，则BC 边上的高等于( )A. 1B. √2C. √3D. 29. 已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )A.B.C. D.10. 直线y =kx +b 与曲线y =x 3+ax +1相切于点(2,3)，则b 的值为( )A. −15B. −7C. −3D. 911. 某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a 元，为还清这笔贷款，该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的m 年后还清，若银行按年利息为p 的复利计息(复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息)，则该学生家长每年的偿还金额是( )A. a mB. ap(1+p)m+1(1+p)m+1−1C. ap(1+p)m+1p m −1 D. ap(1+p)m(1+p)m −1 12. 如图，△ABC 中，BC =2，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，AD 是△ABC 的外接圆直径，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 1B. 2C. 23D. 43二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x >2，则f(x)=2x +1x−2的最小值是___________．14. 已知函数f(x)={x(x +1),x ≥0x(1−x),x <0，则f(−3)=________． 15. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为6，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1−DEF 的体积为______．16. 某城市一年中12个月的平均气温与月份x 的关系可近似地用三角函数来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28∘C ，12月份的月平均气温最低，为18∘C ，则10月份的平均气温值为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足(a1+a2)+(a2+a3)+⋯+(a n+a n+1)=2n(n+1)(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和S n．(2)求数列{a n2n−118.为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度(单位：cm)，经统计其增长长度均在区间[19,31]内，将其按[19,21)，[21,23)，[23,25)，[25,27)，[27,29)，[29,31]分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm及以上的产品为优质产品．(Ⅰ)求图中a的值；(Ⅱ)已知这120件产品来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：A试验区B试验区合计优质产品20非优质产品60合计将联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(Ⅲ)以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．19.如图，在三棱柱ABM−DCN中，侧面ABCD为菱形，且MA⊥平面ABCD．(Ⅰ)求证：AC⊥BN；(Ⅱ)当点E在AB的什么位置时，使得AN//平面MEC，并加以证明．20. 已知P ，Q 为椭圆x 22+y 2=1上的两点，满足PF 2⊥QF 2，其中F 1，F 2分别为左右焦点．(1)求|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值；(2)若(PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥(QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，设直线PQ 的斜率为k ，求k 2的值．21. 讨论函数f(x)=ln(x +1)+a(x 2−x)+5(a ∈R)的极值点的个数，并说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα.(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ=4cosθ．(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点A (1,0)，且C 1和C 2的交点分别为点M ，N ，求1|AM |+1|AN |的取值范围．23.设函数f(x)=|x−1|．(Ⅰ)解不等式f(x)+f(x+2)≥3；(Ⅱ)若f(x)>2−|x−a|恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．解答】解：∵集合A={−3,−1,0，1，3}，B={x|x2+3x=0}={0,−3}，∴A∩B={0,−3}．故选B．2.答案：B解析：由“|a−2|≥1”，解得a≥3或a≤1，根据充分必要条件的定义可判断．本题考查了充分必要条件的定义，难度不大，属于基础题．解：由“|a−2|≥1”可得a−2≥1或a−2≤−1，解得a≥3或a≤1，∴“|a−2|≥1”是“a≤0”的必要不充分条件．故选：B．3.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．把z=−1+i代入z+2z2+z，直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z=−1+i，∴z+2z2+z =−1+i+2(−1+i)2−1+i=1+i−1−i=1+i−(1+i)=−1．故选：A．4.答案：C解析：解：过O作OC⊥AB，垂足为点C，由圆的方程x2+y2=4，得到圆心O的坐标为(0,0)，半径r=2，∵圆心到直线√3x+y−2√3=0的距离d=|OC|=2√3=√3，2∴直线被圆截得的弦|AB|=2√r2−d2=2，∴△AOB为等边三角形，即∠AOB=60°，∴直线被圆截的劣弧AB⏜所对的圆心角为60°．故选C由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心C到已知直线的距离d，由垂径定理及勾股定理求出直线被圆截得的弦长，由弦长等于圆的半径得到三角形ABC为等边三角形，即可得到直线被圆截得的劣弧所对的圆心角为60°．此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，再由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．5.答案：A解析：本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础．根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论．【详解】∵样本中编号最小的编号为007，容量为16，=25，∴样本数据组距为40016则对应的最大的编号数x=7+25(16−1)=382，故选：A．6.答案：A解析：双曲线y 2a −x 2b =1的渐近线方程为y =±a b x ，根据双曲线的一条渐近线为y =2x ，可得a b =2，即a =2b ，利用c =√a 2+b 2，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定双曲线的渐近线方程是关键． 解：双曲线y 2a −x 2b =1的渐近线方程为y =±a b x ．∵双曲线的一条渐近线为y =2x ，所以a b =2，∴a =2b ，∴c =√a 2+b 2=√5b ，∴e =c a =√5b 2b =√52， 故选A ． 7.答案：A解析：本题主要考查了同角三角函数关系和两角差的正切公式，属于基础体．解题关键注意α是第三象限角，从而得到tanα=34，结合两角差的正切公式即可得到结果． 解：因为sinα=−35，α是第三象限角，所以cosα=−45，tanα=34，所以tan (α−π4)=tanα−tan π41+tanα⋅tan π4=−17．8.答案：A解析：本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力． 求出cos∠BAC =−√1010，sin∠BAC =3√1010，利用余弦定理求出BC 的长，根据三角形面积公式即可得到答案． 解：∵AB =√2，AC =√5，tan∠BAC =−3，可得cos∠BAC =−√1010，sin∠BAC =3√1010． 由余弦定理可得：BC =√AC 2+AB 2−2AC ⋅ABcos∠BAC=√5+2−2×√2×√5×(−√1010)=3， 设BC 边上的高为h ，三角形面积为：12AB ⋅ACsin∠BAC =12BC ⋅ℎ，ℎ=√2×√5×3√10103=1．故选A ．9.答案：B解析：本题考查的知识点是由三视图，求体积，是基础题．由三视图可知，此几何体为一个正方体挖去一个以2为半径的圆锥的四分之一，即可求出其体积． 解：由三视图可知：此几何体为一个边长为2的正方体挖去一个以2为半径，高为2的圆锥的四分之一，．故选B ．10.答案：A解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．先根据曲线y =x 3+ax +1过点(2,3)求出a 的值，然后求出x =2处的导数求出k 的值，根据切线过点(2,3)求出b 即可．解：∵y =x 3+ax +1过点(2,3)，∴a =−3，。

2020年四川省华文大教育联盟高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|2≤x≤5}，N={x|log2x≤2}，则M∩N=（）A. {1，2，3，4，5}B. {2，3，4}C. {x|0＜x≤5}D. {x|2≤x≤4}2.若a，b都是实数，且，则a+b的值是（）A. -1B. 0C. 1D. 23.国家统计局统计了我国近10年（2009年2018年）的GDP（GDP是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标）增速的情况，并绘制了下面的折线统计图．根据该折线统计图，下面说法错误的是（）A. 这10年中有3年的GDP增速在9.00%以上B. 从2010年开始GDP的增速逐年下滑C. 这10年GDP仍保持6.5%以上的中高速增长D. 2013年-2018年GDP的增速相对于2009年-2012年，波动性较小4.已知向量=（1，m），=（-2，3），且向量，满足（-）⊥，则m=（）A. 2B. -3C. 5D. -45.一个盒中有形状、大小、质地完全相同的5张扑克牌，其中3张红桃，1张黑桃，1张梅花．现从盒中一次性随机抽出2张扑克牌，则这2张扑克牌花色不同的概率为（）A. B. C. D.6.已知双曲线的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），过点F2作x轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，线段PF2的中点M到原点的距离为，则此双曲线的渐近线方程为（）A. y=±2xB.C. y=±4xD.7.在△ABC中，内角A，B，C满足sin2B+sin2C+，则cos2A=（）A. B. C. D.8.如图，执行程序框图，若输出结果为140，则判断框内应填（）A. n≤7？B. n＞7？C. n≤6？D. n＞6？9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱B1C1，C1C的中点，则异面直线BD1与MN所成的角的大小是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10.已知函数的最小正周期为π，且f（-x）=f（x），则（）A. f（x）在内单调递减B. f（x）在内单调递减C. f（x）在内单调递增D. f（x）在内单调递增11.已知椭圆C的方程为，焦距为2c，直线与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|=2c，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）满足：f（2-x）=f（x），当若不等式f（x）≥6x+a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. a≤-13B. a≥13C. a≥12D. a≤-12二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=x2-2ln x+a的最小值为2，则a=______．14.设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x-y的最大值为______．15.已知=______．16.如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAB垂直于底面ABC，△ABC与△PAB都是边长为的正三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，2S n=3a n-9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．18.光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能．近几年在国内出台的光伏年份2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年年份代码x12345678新增光伏装机量y0.40.8 1.6 3.1 5.17.19.712.2兆瓦某位同学分别用两种模型：①，②进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差等于）：经过计算得，．（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由．（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程，并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少．（在计算回归系数时精确到0.01）附：归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=2，AB∥DC，AB=2CD，∠BCD=90°．（1）求证：AD⊥PB；（2）求点C到平面PAB的距离．20.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P（1，a）在此抛物线上，|PF|=2，不过原点的直线l与抛物线C交于A，B两点，以AB为直径的圆M过坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）证明：直线l恒过定点；（3）若线段AB中点的纵坐标为2，求此时直线l和圆M的方程．21.已知函数f（x）=e x-x-a（a∈R）．（1）当a=0时，求证：f（x）＞x；（2）讨论函数f（x）在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C和直线l的普通方程，（2）直线l与曲线C交于A，B两点，若|AB|=1，求直线l的方程．23.已知函数f（x）=|x|+|x-2|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）若不等式mx+1≤f（x）（m＞0）对于x∈R恒成立，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：N={x|0＜x≤4}；∴M∩N={x|2≤x≤4}．故选：D．可求出集合N，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．2.答案：C解析：解：由=，得，即a=2，b=-1，∴a+b=1．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算，再由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.答案：B解析：解：由图可知，这10年中有3年的GDP增速在9.00%以上，故A正确，由图可知，从2010年开始GDP的增速逐年下滑，故B错误，由图可知，这10年GDP仍保持6.5%以上的中高速增长，故C正确，由图可知2013年-2018年GDP的增速相对于2009年-2012年，波动性较小，故D正确，故选：B．根据折现统计图即可判断各选项．本题考查了统计图识别和应用，关键是认清图形，属于基础题．4.答案：C解析：解：∵向量=（1，m），=（-2，3），∴=（3，m-3），∵向量，满足（-）⊥，∴（）=-6+3m-9=0，解得m=5．故选：C．求出=（3，m-3），再由向量，满足（-）⊥，利用（）=-6+3m-9=0，能求出m．本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：B解析：解：一个盒中有形状、大小、质地完全相同的5张扑克牌，其中3张红桃，1张黑桃，1张梅花．现从盒中一次性随机抽出2张扑克牌，基本事件总数n=，这2张扑克牌花色不同包含的基本事件个数m==7，则这2张扑克牌花色不同的概率为p=．故选：B．基本事件总数n=，这2张扑克牌花色不同包含的基本事件个数m==7，由此能求出这2张扑克牌花色不同的概率．本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、对立事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：A解析：解：过点F2作x轴的垂线，与双曲线的渐近线y=x在第一象限的交点为P，可得P（c，），线段PF2的中点M为（c，），由中点M到原点的距离为，可得c2+=2c2，即有b=2a，可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．故选：A．设出渐近线方程，求得P的坐标，由中点坐标公式可得M的坐标，由两点的距离公式可得a，b的关系，进而得到渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：∵sin2B+sin2C+，∴由正弦定理可得：b2+c2+bc-a2=0，可得：b2+c2-a2=-bc，∴cos A===-，∴cos2A=2cos2A-1=2×（-）2-1=-．故选：B．由正弦定理化简已知等式可得b2+c2-a2=-bc，利用余弦定理可求cos A，根据二倍角的余弦公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角的余弦公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8.答案：D解析：解：T=1，a=1+1=2，n=2．T=1+4=5，a=3，n=3，T=5+9=14，a=4，n=4，T=14+16=30，a=5，n=5，T=30+25=55，a=6．n=6，T=55+36=91，a=7，n=7，T=91+49=140，a=8，此时满足条件．输出T=140，即当n=7时满足条件，当n≤6时不满足条件．故条件为n＞6，故选：D．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，结合条件进行模拟运算是解决本题的关键．9.答案：D解析：解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则B（2，2，0），D1（0，0，2），M（1，2，2），N（0，2，1），=（-2，-2，2），=（-1，0，-1），设异面直线BD1与MN所成的角为θ，则cosθ==0，∴异面直线BD1与MN所成的角的大小是90°．故选：D．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD1与MN所成的角的大小．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.答案：B解析：解：∵的最小正周期为π，∴f（x）=sin（2ωx+2φ）的最小正周期为π，可得：=π，解得：ω=1，∴f（x）=sin（2x+2φ），∵f（-x）=f（x），f（x）为偶函数，∴2φ=kπ+，k∈Z，解得：φ=kπ+，k∈Z∵0＜φ＜，∴φ=．∴f（x）=sin（2x+）=cos2x，令2kπ＜2x＜2kπ+π，可得：kπ＜x＜kπ+，可得f（x）的单调递减区间为：（kπ，kπ+），k∈Z，∴当k=0时，可得f（x）的单调递减区间为：（0，）．故选：B．由题意利用二倍角公式化简函数的解析式，利用周期公式可求ω的值，由f（x）为偶函数，可得2φ=kπ+，k∈Z，结合范围0＜φ＜，可求φ的值，再利用余弦函数的单调性，得出结论．本题主要考查三角恒等变换的应用，三角函数的图象和单调性，属于中档题．11.答案：A解析：解：如图，由直线与椭圆交于A，B两点，|AB|=2c，得：|OA|=c，且点A的坐标，代入椭圆方程得：，又b2=a2-c2，，e∈（0，1）解之得：．则该椭圆的离心率为．故选：A．如图，由直线与椭圆交于A，B两点，|AB|=2c，根据椭圆的对称性得OA=c，求出A的坐标，代入椭圆方程得到关于a，b，c的等量关系，得出关于a，c的等式，解之即可得该椭圆的离心率．本小题主要考查函数椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基本知识的考查12.答案：A解析：解：∵f（2-x）=f（x），∴函数关于x=1对称，则当0＜x≤1时，则1≤2-x＜2，此时f（x）=f（2-x）=2-（2-x）=x，当x≤0时，2-x≥2，则f（x）=f（2-x）=（2-x）2-4=（x-2）2-4，作出函数f（x）的图象如图：要使不等式f（x）≥6x+a恒成立，等价为y=6x+a对应的直线恒在f（x）的下方或与f（x）=x2-4相切即可，由x2-4=6x+a，即x2-6x-（4+a）=0，则判别式△=36+4（4+a）≤0，得9+4+a≤0，得a≤-13，当判别式△=0时，a=-13，此时x=3满足x≥2，即实数a的取值范围是a≤-13，故选：A．根据条件求出函数的解析式，结合不等式f（x）≥6x+a恒成立，转化为直线y=6x+a恒在f（x）对应的图象的下方或相切，转化为直线和抛物线相切或相离进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，结合不等式恒成立转化为两曲线对应图象之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键．13.答案：1解析：解：∵函数f（x）=x2-2ln x+a，∴x＞0，f′（x）=2x-=，由f′=0，得x=1或x=-1（舍），当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴当x=1时，f（x）极小值=f（1）=1+a，∵f（x）的最小值为2，∴1+a=2，解得a=1．故答案为：1．x＞0，f′（x）=2x-=，利用导数性质求出当x=1时，f（x）极小值=f（1）=1+a，由f（x）的最小值为2，能求出a的值．本题考查实数值的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14.答案：6解析：解：由z=2x-y得y=2x-z，作出变量x，y满足约束条件对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过A（2，-2）时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大．即z=2×2+2=6．故答案为：6．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x-y的最大值．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．15.答案：解析：解：∵tan（α+）==-2，∴tanα=3，则sin2α+cos2α===，故答案为：．利用两角和的正切公式求得tanα，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2α+cos2α的值．本题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．16.答案：20π解析：解：∵△ABC与△PAB都是边长为的正三角形，∴等边三角形的高为，设球心为O，球的半径为r，则r2=22+12=5，∴该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．由题意，等边三角形的高为3，求出外接球的半径r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键，是中档题．17.答案：解：（1）2S n=3a n-9，可得2a1=2S1=3a1-9，解得a1=9；当n≥2时，2S n-1=3a n-1-9，又2S n=3a n-9，相减可得2a n=3a n-3a n-1，即a n=3a n-1，则数列{a n}的通项公式为a n=9•3n-1=3n+1；（2）=（-1）n•（n+1），当n为偶数时，前n项和T n=-2+3-4+5+…-n+n+1=；当n为奇数时，前n项和T n=T n-1-（n+1）=-n-1=．综上可得T n=．解析：（1）求得数列的首项，由n换为n-1，相减，结合等比数列的通项公式即可得到所求通项公式；（2）求得=（-1）n•（n+1），讨论n为奇数或偶数，由并项求和可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和：并项求和，考查化简运算能力，属于基础题．18.答案：解：（1）选择模型①．理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好；（2）由（1），知y关于x的回归方程为，令t=x2，则．由所给数据得：，．．∴y关于x的回归方程为．预测该地区2020年新增光伏装机量为（兆瓦）．解析：本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．（1）根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好；（2）由（1），知y关于x的回归方程为，令t=x2，则，由所给数据得与的值，得到回归方程，取x=10得答案．19.答案：（1）证明：取AB的中点M，连接DM，BD，∵CD=BC=BM，CD∥AB，∠BCD=90°，∴四边形BCDM是正方形，∴DM=AM=2，BD=2，∴AD=2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥PD，又BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，BD∩PD=D，∴AD⊥平面PBD，又PB⊂平面PBD，∴AD⊥PB．（2）解：连接PM．∵AD=BD=2，PD=2，∴PA=PB==2，∴PM⊥AB，又AB=4，AM=2，∴PM==2，∴S△PAB==4．设C到平面PAB的距离为h，则V C-PAB==，又V C-PAB=V P-ABC==，∴=，即h=．∴点C到平面PAB的距离为．解析：（1）取AB的中点M，连接DM，BD，根据PD⊥平面ABCD可得PD⊥AD，根据勾股定理可得AD⊥BD，故而AD⊥平面PBD，于是AD⊥PB；（2）根据V C-PAB=V P-ABC计算C到平面PAB的距离．本题考查了线面垂直的判定和性质，棱锥的体积计算与空间距离的计算，属于中档题．20.答案：解：（1）由题意可得1+=2，解得p=2，故抛物线的C的方程为y2=4x．（2）证明：设直线l的方程为：x=my+t（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：y2-4my-4t=0，△＞0，∴y1+y2=4m，y1•y2=-4t．∵以AB为直径的圆恒过原点O，∴•=x1x2+y1y2=0，又x1x2=（my1+t）（my2+t），∴（m2+1）•y1y2+mt（y1+y2）+t2=0，∴-4t（m2+1）+4m2t+t2=0，化为t2-4t=0，t≠0，解得t=4．∴直线l的方程为：x=my+4．令y=0，可得x=4．因此直线l恒过定点（4，0）．解（3）线段AB中点的纵坐标为2．∵y1+y2=4m，∴2m=2，即m=1，∵直线l恒过定点（4，0）．∴4=0+t，即t=4，∴直线l的方程为x=y+4，∵线段AB的中点坐标（6，2）即为圆的圆心坐标，设圆的方程为（x-6）2+（y-2）2=r2，把（0，0）代入可得r2=40．故圆的方程为（x-6）2+（y-2）2=40．解析：（1）焦点F到准线的距离为2，可得p=2．即可得出抛物线C的方程．（2）设直线l的方程为：x=my+t（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为：y2-4my-4t=0，由以AB为直径的圆恒过原点O，可得•=x1x2+y1y2=0，利用根与系数的关系可得t，即可得出．（3）根据中点坐标公式可得直线l的方程，故可得线段AB的中点坐标（6，2）即为圆的圆心坐标，设圆的方程为（x-6）2+（y-2）2=r2，求出半径，即可求出圆的方程．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：（1）证明：当a=0时．f（x）=e x-x．令g（x）=f（x）-x=e x-x-x=e x-2x．则g′（x）=e x-2．令g'（x）=0．得x=ln2．当x＜ln2时，g′（x）＜0，当x＞ln2时，g′（x）＞0所以g（x）在（-∞，ln 2）内是减函数．在（ln2，+∞）内是增函数，所以x=ln2是g（x）的极小值点，也是最小值，即g（x）min=g（ln2）=e ln2-2ln2=2ln＞0．故当a=0时，f（x）＞x成立（2）解：f′（x）=e x-1，由f'（x）=0．得x=0．当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0所以f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0．+∞）内是增函数，所以x=0是函数f（x）的极小值同时也是最小值点，即f（x）min=f（0）=l-a，当1-a＞0，即a＜l时，f（x）在R上没有零点，当1-a=0，即a=1时，f（x）在R上只有1个零点，当l-a＜0，即a＞l时，因为f（-a）=e-a-（-a）-a=e-a＞0．所以f（x）在（-∞，0）内只有一个零点，由（1）得e x＞2x，令x=a，则得e a＞2a．所以f（a）=e a-a-a=e a-2a＞0．于是f（x）在（0，+∞）内有一个零点；因此．当a＞1时，f（x）在R上有两个零点．综上当a＜1时，函数f（x）在R上没有零点，当a=1时，函数f（x）在R上有一个零点；当a＞l时，函数f（x）在R上有两个零点．解析：（1）当a=0时，构造函数g（x）=f（x）-x，求函数的导数，研究函数的单调性和最值进行证明即可．（2）求函数的导数，研究函数的单调性和极值，结合极值与0的关系进行判断即可．本题主要考查导数的综合应用，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，最值是解决本题的关键．考查学生的转化能力．22.答案：解：（1）由曲线C和直线l的参数方程可知，曲线C的普通方程为x2+y2=1．直线l的普通方程：当cosα=0时为x=2；当cosα≠0时为y=tanα（x-2）．（2）把x=2+t cosα，y=t sinα代入x2+y2=1，得t2+4t cosα+3=0，因为△=16cos2α-12＞0，所以cos2α＞．设A，B对应的参数为t1，t2，因为t1+t2=-4cosα，t1t2=3，|AB|=|t1-t2|=1，所以（t1-t2）2=（t1+t2）2-4t1t2=16cos2α-12=1，所以cos2α=，所以tan2α==，所以tanα=±，即直线l的斜率为±．所以直线l的方程为y=x-或y=-x+．解析：（1）由曲线C和直线l的参数方程可知，曲线C的普通方程为x2+y2=1．直线l的普通方程：当cosα=0时为x=2；当cosα≠0时为y=tanα（x-2）．（2）利用参数t的几何意义可得．本题考查了参数方程化普通方程，属中档题．23.答案：解：（1）函数f（x）=|x|+|x-2|=，当x＜0时，不等式f（x）≤4化为-2x+2≤4，解得x≥-1，所以-1≤x＜0；当0≤x＜2时，不等式f（x）≤4化为2≤4，恒成立，所以0≤x＜2；当x≥2时，不等式f（x）≤4化为2x-2≤4，解得x≤3，所以2＜x≤3；综上，不等式f（x）≤4的解集为{x|-1≤x≤3}；（2）由题意知m＞0，当x＜0时，不等式mx+1≤f（x）化为mx+1≤-2x+2恒成立，即m≥-2+恒成立，因为-2+＜0，所以m＞0时不等式恒成立；当x=0时，不等式mx+1≤f（x）化为1≤2恒成立，所以m＞0不等式恒成立；当0＜x＜2时，不等式mx+1≤f（x）化为mx+1≤2恒成立，即m≤恒成立，而＞，所以0＜m≤时不等式恒成立；当x≥2时，不等式mx+1≤f（x）化为mx+1≤2x-2恒成立，即m≤2-恒成立，而≤2-＜2，所以0＜m≤不等式恒成立；综上所述，不等式恒成立时m的取值范围是（0，]．解析：（1）利用分类讨论法化简函数f（x），再求不等式f（x）≤4的解集；（2）由m＞0，利用分类讨论思想把不等式mx+1≤f（x）化为不含绝对值的不等式，从而求出不等式恒成立时m的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．。

2020届四川省成都市蓉城名校联盟高三上学期第一次联考（文）数学试题一、单选题1．已知集合{}2120A x x x =--≤，{}250B x x =-≥，则A B =（ ）A.[]3,4- B.53,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[)3,-+∞【答案】D【解析】解一元二次不等式求得集合A ，解一元一次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的并集. 【详解】由()()212340x x x x --=+-≤，解得34x -≤≤.由250x -≥解得52x ≥.所以[)3,A B ⋃=-+∞.故选：D. 【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】利用复数除法运算化简z ，由此求得z 对应点所在象限. 【详解】 依题意()()()()41212211i i z i i i i i -==-=++-，对应点为()2,2，在第一象限.故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.3．命题“1x ∀≥，270x e x --≥”的否定是（ ） A.01x ∃<，0270x e x --< B.01x ∃<，00270x e x --≥ C.01x ∃≥，00270x e x --≥ D.01x ∃≥，0270x e x --<【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题的知识，写出原命题的否定. 【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，注意到条件不否定、结论要否定，故D 选项符合. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定，属于基础题.4．下列函数中，任取函数定义域内,x y ，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且在定义域内单调递减的函数是（ ） A.()3f x x -=B.()12log f x x =C.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.()1x x f x e e=- 【答案】B【解析】对四个选项逐一分析，结合()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭以及函数定义域内单调递减确定正确选项. 【详解】对于A 选项，由于函数()31f x x =的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，所以()31f x x =在定义域内不是单调递减函数，不符合题意. 正确的说法是()31f x x=在(),0-∞和()0,∞+上递减.对于B 选项，()()111222log log log x xf x y f x f y y y ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭.()12log f x x =的定义域为()0,∞+，且函数()12log f x x =定义域内单调递减，符合题意.对于C选项，()()12xyx f f x f y y ⎛⎫⎛⎫==≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合题意.对于D 选项，()()1xy x yx f e f x f y y e ⎛⎫=-≠- ⎪⎝⎭，不符合题意. 综上所述，B 选项符合题意. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查指数运算和对数运算，考查指数函数、对数函数和幂函数的单调性，属于基础题.5．函数()2sin22f x x x =+-的一条对称轴是（ ） A.π12x = B.π6x = C.π3x =D.π2x =【答案】A【解析】利用降次公式和辅助角公式化简函数()f x 解析式，再根据正弦型函数的对称轴的求法，求得函数的对称轴，从而得出正确选项. 【详解】依题意，()sin 22f x x x =π2sin 223x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由ππ2π32x k +=+解得ππ,212k x k Z =+∈为函数的对称轴，令0k =求得函数的一条对称轴为π12x =. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查正弦型三角函数的对称轴的求法，属于基础题.6．若数列{}n a 各项不相等的等差数列，15a =-，且3a ，4a ，8a 成等比数列，则7S =（ ） A.18 B.28 C.44 D.49【答案】B【解析】根据等比中项列方程，将方程转换为只含1,a d 的表达式后求得d ，由此求得7S 的值. 【详解】由于3a ，4a ，8a 成等比数列，所以2438a a a =⋅，所以()()()2111327a d a d a d +=++，即21350a d d +=，依题意“数列{}n a 各项不相等的等差数列”，所以0d ≠，故由21350a d d +=得1350a d +=，而15a =-，所以3d =.所以71721356328S a d =+=-+=.故选：B. 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项的基本量的计算，考查等差数列前n 项和的求法，属于基础题.7．在平面四边形ABCD 中，已知π2A ∠=，2π3CDA ∠=，2AD =，4BD =，5DC =，则BC =（ ）B.D.【答案】A 【解析】利用含有π6角的直角三角形的性质求得BDC ∠，在三角形BCD 中用余弦定理求得BC . 【详解】由于直角三角形ABD 中12AD BD =，所以π6DBA ∠=，所以π3ADB ∠=，因为2π3CDA ∠=，所以π3BDC ∠=.在三角形BCD 中，由余弦定理得BC ==. 故选：A.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊的直角三角形的性质，属于基础题. 8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若函数()f x 满足1x ∀，20x ≥，且12x x ≠，()()12120f x f x x x -<-.若()π3a f =，21log 4b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5c f =-，则a ，b ，c 三者的大小关系为（ ） A.a c b << B. c b a << C.b c a << D.c a b <<【答案】A【解析】根据题意判断出函数()f x 的单调性，结合偶函数的性质比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】由于函数()f x 满足1x ∀，20x ≥，且12x x ≠，()()12120f x f x x x -<-，所以函数在[)0,+∞上为单调递减函数.而函数为偶函数，故()()()22log 222b f f f -==-=，()()55c f f =-=.而3π2533<<<，所以a c b <<.故选：A. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查利用函数的性质比较大小，考查对数运算，属于基础题. 9．函数2019sin log 22x xxy -=-在区间[)(]3,00,3-上的图象为（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 令()2019sin log 22x xxf x -=-（[)(]3,00,3x -∈），()()2019sin log 22x xxf x f x --=-=--，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，由此排除A,D 两个选项. 当3x =时，2019sin 363log 8y =，而3为第二象限角，所以sin30>，而201963log 08>，所以2019sin 3063log 8y =>，由此排除C 选项.故B 选项符合.故选：B. 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，判断函数的图像，属于基础题.10．若函数()12ln f x ax x x =++在区间1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个极值点，则a 的取值范围为A.(]1,0-B.3,84⎡-⎤⎢⎥⎣⎦C.71,16⎛⎫--⎪⎝⎭D.(]1,8-【答案】C【解析】利用导数求得函数()f x 的单调区间，结合函数()f x 在区间1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个极值点列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】()'212f x a x x =-+2221ax x x+-=.显然，当0a =时，()'221x f x x -=只有1个极值点12，不符合题意.只有C 选项符合. 构造函数()21210,42g x ax x a x ⎛⎫=+-≠≤≤ ⎪⎝⎭.依题意()g x 在区间1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，故()44012422102400a a a g a g a ∆=+>⎧⎪⎪<-<⎪⎪⎛⎫⎨⋅> ⎪⎪⎝⎭⎪⋅>⎪⎪≠⎩，即()211241041670a a a a a >-⎧⎪⎪-<<-⎪⎨⎪>⎪⎪+>⎩，解得7116a -<<-. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查二次函数零点分布问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-,若c =，则ABC △的周长的最大值为（ ）A.B.3+C.D.3+【答案】C【解析】利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，将周长转化为角的形式，利用三角恒等变换进行化简，结合三角函数最值的求法，求得周长的最大值. 【详解】由正弦定理得()22a b a c b -⋅=-，222a b c ab +-=，所以222cos 122a b c C ab +-==，因为0πC <<，所以π3C =，由正弦定理求得4sin sin sin a b cA B C===.所以4sin 4sin a b c A B ++=++2π4sin 4sin 3A A ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭π6A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2π03A <<，故当π3A =时，周长取得最大值为=.故选：C. 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查辅助角公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 12．己知函数()34ln ,12,1x x f x x x +≥⎧=⎨+<⎩，若m n ≠，且()() 6f m f n +=，则m n +的取值范围为 A.[)58ln2,-+∞ B.[)74ln3,-+∞ C.[)2,+∞ D.[),e +∞【答案】A【解析】将,m n 分成1m n <<，1m n <≤，1m n ≤<三种情况，结合，利用导数和基本不等式求得m n +的取值范围. 【详解】 不妨设m n <.当1m n <<时，()()2323f m m f n n ⎧=+<⎪⎨=+<⎪⎩，()() 6f m f n +<不合题意.当1m n <≤，()()234ln f m m f n n ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，由()() 6f m f n +=得4ln 1,14ln m n m n+==-（1n =时，1m =不符合，故1n >），所以m n +4ln 1n n =-+，构造函数()()4ln 11g x x x x =-+>，()'4x g x x-=，故当(]1,4x ∈时()'0g x ≤，()g x 递减，当[)4,x ∈+∞时，()'0g x ≥，()g x 递增，故()()min 458ln 2g x g ==-，故58ln 2m n +≥-.当1m n ≤<时，()()34ln 34ln f m mf n n⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，由()() 6f m f n +=得ln 0,1mn mn ==，所以2m n +>=.综上所述，m n +的取值范围是[)58ln2,-+∞. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查方程与不等式，考查利用导数求取值范围，考查基本不等式的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．“230x +≤”是“260x -≤”的______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）. 【答案】充分不必要【解析】求得两个一元一次不等式的解集，根据两者的包含关系填写出正确结论. 【详解】不等式230x +≤的解集为3,2A ⎛⎤=-∞- ⎥⎝⎦，不等式260x -≤的解集为(],3B =-∞，由于A B ，所以“230x +≤”是“260x -≤”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查一元一次不等式的解法，属于基础题. 14．若非零向量a ，b 满足π,6a b =，3a =，27a b +=，则b =______. 【答案】12【解析】将27a b +=两边平方，利用向量数量积的运算进行化简，由此求得b .【详解】 将27a b +=两边平方得22447a a b b +⋅+=，即2π34cos 476b b +⨯+=，22320b b +-=，()()2210b b +-=，解得12b =.故答案为：12. 【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积运算，属于基础题.15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且13a =，131n n a S +=+，n *∈N ，则5S =______ 【答案】1023【解析】将131n n a S +=+转化为()1141n n S S ++=+，由此证得{}1n S +是等比数列，由此求得n S ，进而求得5S . 【详解】由131n n a S +=+得131n n n S S S +-=+，即()1141n n S S ++=+，故数列{}1n S +是首项为11114S a +=+=，公比为4的等比数列，故14,41n nn n S S +==-，所以55411023S =-=.故答案为：1023 【点睛】本小题主要考查数列的递推关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 16．已知函数() 2ln 3f x a x x =-，且不等式()123xf x ax e +≥-在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为______ 【答案】3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】将原不等式()123xf x ax e +≥-转化为()()2ln 113xa x x e x -+≤-+⎡⎤⎣⎦.对a 分成0,0a a ≤>两种情况进行分类讨论，结合导数求得实数a 的取值范围. 【详解】不等式()123xf x ax e +≥-即()()2ln 13123xa x x ax e +-+≥-，化简为()()2ln 113xa x x e x -+≤-+⎡⎤⎣⎦①.根据(),ln 1,,1x y x y x y e y x ==+==+的图像可知，当0x >时，()ln 10x x -+>，()10xe x -+>.故当0a ≤时，①式显然成立.当0a >时，由①得()()21ln 103xae x x x -+--+≥⎡⎤⎣⎦在()0,∞+上恒成立.构造函数()()()()21ln 103x ag x e x x x x =-+--+≥⎡⎤⎣⎦（为方便解题，先令函数()g x 定义域包括0x =.），注意到()00g =.()'2131xa x g x e x =--⋅+，()'00g =，()()''22131x a g x e x =-⋅+，()''2013a g =-，()()'''341031x a g x e x =+⋅>+，故()()''22131x a g x e x =-⋅+在[)0,+∞上单调递增.要使①在()0,∞+上恒成立，则需()''20103a g =-≥，即302<≤a . 综上所述，实数a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为：3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查利用导数求得不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,已知tan 2A =，a =b =（1）求角B 的大小: （2）求ABC △的面积S .【答案】（1）π3B =；（2）154+ 【解析】（1）先根据tan A 求得sin A ，利用正弦定理求得sin B ，根据三角形大角对大边，求得角B 的大小.（2）求得cos ,cos A B 的值，利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式求得sin C 的值，再由三角形面积公式求得三角形ABC 的面积. 【详解】（1）∵ A 是ABC △的内角tan 2A =∴π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且sin A =又sin sin a b A B =，a =2b =∴sin sin 2b A B a ==又b a <，∴B A <，∴π3B =（2）由（1）得cos 5A =，1cos 2B =∴()sin sin C A B =+∴sin cos cos sin 10A B A B =+=115sin 24ABC S ab C +==△ 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形内角和定理以及三角形面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 18．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 是DC 的中点.将ADE 沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，连结DB 、DC 、EB .（1）求证：平面ADE ⊥平面BDE ；（2）点M 是线段DA 的中点，求三棱锥D MEC -的体积.【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）利用勾股定理证得AE BE ⊥，由此根据面面垂直的性质定理，证得BE ⊥平面ADE ，从而证得平面ADE ⊥平面BDE .（2）将所求三棱锥D MEC -的体积，通过等体积法，转化为12D AEC V -.作AE 的中点O ，连接DO ，根据等腰三角形的性质结合面面垂直的性质定理，证得DO ⊥平面ABCE ，由此求得D AEC V -，进而求得三棱锥D MEC -的体积. 【详解】（1）证明：∵2AD DE ==，90ADE ∠=︒∴AE BE ==，又4AB = ∴222AE BE AB +=∴AE BE ⊥ 又平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =∴BE ⊥平面ADE又BE ⊂平面BDE ∴平面ADE ⊥平面BDE . （2）∵M 是线段DA 的中点 ∴1122D MEC M DEC A DEC D AEC V V V V ----=== 作AE 的中点O ，连接DO ， ∵DA DE =∴DO AE ⊥又平面DAE ⊥平面ABCE ∴DO ⊥平面ABCE又DO =，1sin13522AECSAE EC =⨯⨯⨯︒=∴1233D AEC V -=⨯=∴3D MEC V -=.【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．某社会机构为了调查对手机游戏的兴趣与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下22⨯列联表：（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关? （2）若已经从40岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取了5名，现从这5名被调查者中随机选取3名，求这3名被调查者中恰有1名对手机游戏无兴趣的概率.附：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++ 参考数据：【答案】（1）没有 99.9%的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关；（2）35【解析】（1）计算出2k ，根据参考数据判断出没有99.9%的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，求得所求概率. 【详解】（1）()22100105030010010.8285050455511k ⨯-==<⨯⨯⨯∴没有99.9%的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关.（2）由题得40岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取的5名人员中有3名对手机游戏很有兴趣，设为a 、b 、c ；有2名对手机游戏无兴趣，设为d 、e ，从a 、b 、c 、d ，e 中随机选取3名的基本事件有{},,a b c 、{},,a b d 、{},,a b e 、{},,a c d 、{},,a c e 、{},,a d e 、{},,b c d 、{},,b c e 、{},,b d e 、{},,c d e 共10个.其中d ，e 恰有1个的有{},,a b d 、{},,a b e 、{},,a c d 、{},,a c e 、{},,b c d 、{},,b c e 共6个∴这3名被调查者中恰有1名对手机游戏无兴趣的概率为35. 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查古典概型概率计算，考查运算求解能力，属于基础题.20．已知定点()1,0F ，定直线l 的方程为1x =-，点P 是l 上的动点，过点P 与直线l 垂直的直线与线段PF 的中垂线相交于点Q ，设点Q 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程:（2）点()(),0 0A a a >，点(),0B a -， 过点A 作直线1l 与曲线C 相交于G 、E 两点，求证：GBA EBA ∠=∠. 【答案】（1）24y x =；（2）见解析【解析】（1）根据垂直平分线的性质以及抛物线的定义，求得曲线C 的轨迹方程. （2）设出直线1l 的方程，联立直线1l 的方程和抛物线方程，消去x ，写出韦达定理，通过计算0BG BE k k +=，证得BG BE k k =-，从而证得GBA EBA ∠=∠. 【详解】（1）由题知QF QP d ==，∴点Q 的轨迹是以()1,0F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线， ∴曲线C 的方程为24y x =.（2）设直线1l 的方程为x my a =+，()11,G my a y +，()22,E my a y +，由24x my a y x=+⎧⎨=⎩得2440y my a --=， 124y y m +=， 124y y a =-，又112BG y k my a=+，222BE y k my a =+，∴121222BG BE y y k k my a my a+=+++()()()1212122222my y a y y my a my a ++=++()()()122424022m a a mmy a my a ⨯-+⨯==++∴BG BE k k =-∴GBA EBA ∠=∠ 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查根与系数关系的运用，考查运算求解能力，属于中档题.21．已知函数()ln xf x e e x =-，()()()ln ()g x f x a e x a a =+++∈R .（1）求函数()f x 的单调区间； （2）讨论函数()g x 的零点的个数.【答案】（1）()f x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数；（2）见解析 【解析】（1）先求得函数()f x 的定义域，然后利用导数()'f x 求得函数()f x 的单调区间.（2）先由()0g x =得()ln 1xe a x =-+，判断0x >且1x e≠后分离常数a 得到ln 1x e a x -=+，构造函数()ln 1xe h x x =+（0x >且1x e ≠），利用导数研究函数()h x 的单调区间，画出()h x 的大致图像，结合图像讨论得函数()g x 的零点的个数. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+()x e f x e x'=-∵()f x '在()0,∞+上是增函数，且()10f '= ∴()0,1x ∈是 ()0f x '<，()1,x ∈+∞时 ()0f x '> ∴ ()f x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数 （2）由()0g x =得()ln 1xe a x =-+1x e =不是该方程的解 ∴0x >且1x e≠ ∴ln 1xe a x -=+令 ()ln 1xe h x x =+（0x >且1x e ≠）则 ()()21ln 1ln 1x e x x h x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=+ 令()1ln 1t x x x=-+ 则()t x 在()0,∞+上是增函数 又()10t = ∴110,,1x e e ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时()0h x '< ()1,x ∈+∞时()0h x '>，∴()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，在()1,+∞上是增函数，又()1h e =，0x →时()0h x →，1x e -⎛⎫→ ⎪⎝⎭时()h x →-∞，1x e +⎛⎫→ ⎪⎝⎭时()h x →+∞，x →+∞时()h x →+∞ ，∴()h x 的大致图象如图所示∴00a a -<⇔>时()g x 有一个零点，00a e e a ≤-<⇔-<≤时()g x 无零点，a e a e -=⇔=-时()g x 有一个零点， a e a e ->⇔<-时()g x 有两个零点，综上：a e <-时()g x 有两个零点，a e =-或0a >时()g x 有一个零点，0a e ≤<-时()g x 无零点，【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数零点，考查分类讨论的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，综合性很强，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;(2)若点M 、N 分别是1C 与2C 上的动点，求MN 的最小值.【答案】（1）221169x y +=，80x y --=；（2）2【解析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，求得1C 的普通方程，结合两角和的余弦公式化简πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求得2C 的直角坐标方程. （2）根据曲线1C 的参数方程，得到M 点的坐标，根据点到直线距离公式，结合辅助角公式以及三角函数的性质，求得MN 的最小值. 【详解】（1）由22cos sin 1θθ+=，求得1C 的普通方程为221169x y +=.由πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭化简得cos sin 80ρθρθ--=，所以2C 的直角坐标方程为80x y --=. （2）依题意可知()4cos ,3sin M θθ，由点到直线的距离公式得：MN =2=≥=∴MN 的最小值为2【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用参数方程求直线和椭圆上的点的距离的最小值.属于中档题. 23．设函数()36f x x a x =+++-. (1)当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集； (2)若()2f x ≥在R 上恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）11122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）(][),511,-∞-+∞【解析】（1）当2a =时，利用零点分段法去绝对值，将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式()0f x ≤的解集.（2）将不等式()2f x ≥转化为38x a x +++≥，利用绝对值不等式得到33x a x a +++≥-，进而由38a -≥求解出实数a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时()211,35,3221,2x x f x x x x --≤-⎧⎪=--<<-⎨⎪-≥-⎩由()0f x ≤，当3x ≤-，112110,32x x --≤-≤≤-；当32x -<<-，50-≤，故32x -<<-； 当2x ≥-，1210,2x x -≤≤. 综上所述，原不等式的解集为11122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）()238f x x a x ≥⇔+++≥∵3333x a x x a x x a x a +++=++--≥+--=- 当()()30x a x ++≤时等号成立.∴()2f x ≥等价于38a -≥得5a ≤-或11a ≥ ∴a 的取值范围为(][),511,-∞-+∞【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

2020年四川省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。

其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届四川省成都市蓉城名校联盟高三第二次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合1,1,{,4}3A =-，集合2{|430}B x x x -=+>，则A B =I （ ）A ．{1,4}-B ．{}1,1,4-C ．{}1,3,4-D ．()(),13,∞⋃+∞-【答案】A【解析】集合A ，B 是数集，集合B 是一元二次不等式解的集合，求出解集，与A 集合的交集运算求出公共部分.【详解】解：Q 集合1,1,{,4}3A =-，集合2{|}430,1B x x x +∞⋃∞＝﹣＞＝(-)(3,+)， {1},4A B -\I ＝．故选：A ．【点睛】本题考查一元二不等式的解法和集合交集运算， 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.2．已知复数13z i=+，则z =（ ）A ．1B 3C ．2D ．3【答案】C【解析】利用复数的除法运算化简=3+13z i i=+，再利用复数模长公式求出结果.【详解】解：34+43=3413(13)(13)i i z i i i i =++-Q ，23+(3)12z i ==+=∴故选：C ．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模长运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；(2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．3．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样【答案】C【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.【考点】分层抽样．4．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ）A ．c c a b> B ．22ac bc ＜C ．lna lnb ＜D ．11()()22ab<【答案】C【解析】AB 、利用不等式性质可判断，CD 、利用对数函数和指数函数的单调性判断. 【详解】解：对于,A Q 实数0a b <<， 11,c ca b a b∴>> ，0c ≤不成立对于0B c =．不成立．对于C ．利用对数函数ln y x =单调递增性质，即可得出．对于.D 指数函数1()2xy =单调递减性质，因此不成立．故选：C ．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．5．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（ ）A ．12m >B ．12m ≥C ．1m >D ．m 1≥【答案】D【解析】求出命题q 不等式的解为23x <<，p 是q 的必要不充分条件，得q 是p 的子集，建立不等式求解.【详解】解：Q 命题2:21,:560p x m q x x -<++<，即: 23x <<，p 是q 的必要不充分条件，(2,3)(,21,)m ∴⊆-∞+，213m ∴+≥，解得m 1≥．实数m 的取值范围为m 1≥．故选：D ．【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验．6．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ）A ．27B ．33C ．39D ．44【答案】B【解析】利用等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ 求出63a ＝，再利用等差数列前n 项和公式得111116+)11(11332a a S a =＝＝ 【详解】解：因为 5383a a a ++＝，由等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝得，63a ∴＝．n S 为数列{}n a 的前n 项和，则111116+)11(11332a a S a =＝＝．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前n 项和.(1)如果{}n a 为等差数列，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ ()*m n p q N ∈，，，．(2)要注意等差数列前n 项和公式的灵活应用，如21(21)n n S n a -=-.7．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）A ．若,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则 m n ⊥B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβC ．若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则 m n ⊥D ．若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥【答案】D【解析】利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理,对选项做出判断，举出反例排除.【详解】解：对于A ，当,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错； 对于B ，当//m n 时，不能判定//αβ，故错；对于C ，若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错；对于D ，由,//m βαα⊥可得m β⊥，又//n β，则m n ⊥故正确．故选：D ．【点睛】本题考查空间线面位置关系.判断线面位置位置关系利用好线面平行和垂直的判定定理和性质定理. 一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．8．已知抛物线220y x ＝的焦点与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为92，那么该双曲线的离心率为（ ） A ．54B ．53C ．52D 5【答案】A【解析】由抛物线220y x ＝的焦点(5,0)得双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点(5,0)±，求出5c ＝，由抛物线准线方程5x =-被曲线截得的线段长为92，由焦半径公式2292b a =，联立求解.【详解】解：由抛物线220y x ＝，可得220p ＝，则10p ＝，故其准线方程为5x =-， Q 抛物线220y x ＝的准线过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点， 5c ∴＝．Q 抛物线220y x ＝的准线被双曲线截得的线段长为92， 2292b a ∴=，又22225c a b +＝＝，4,3a b ∴＝＝，则双曲线的离心率为54c e a ==． 故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率. 弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．9．如图，在ABC ∆中， 13AN AC =u u u r u u u r，P 是BN 上的一点，若23mAC AP AB =-u u u r u u u r u u u r ，则实数m 的值为（ ）A ．13B ．19C ．1D ．2【答案】B【解析】23mAC AP AB =-u u u r u u u r u u u r 变形为23AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r，由13AN AC =u u u r u u u r 得3AC AN =u u u r u u u r，转化在ABN V 中，利用B P N 、、三点共线可得.【详解】解：依题： 22333AP mAC AB mAN AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又B P N ，，三点共线，2313m ∴+=，解得19m =．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程：A P B 、、 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r(O 为平面内任一点,t R ∈)10．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ）A ．324+ B ．324+ C ．326+ D ．326+ 【答案】A【解析】所求211a b +-的分母特征，利用5a b +＝变形构造(1)4a b +-=，再等价变形121()[(1)]41a b a b ++--，利用基本不等式求最值. 【详解】解：因为0,1a b >>满足5a b +＝， 则()21211()1114a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦--()21113(322)414b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当()211b aa b -=-时取等号， 故选：A ．【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m +C ．2a m m +D ．42a mm+ 【答案】D【解析】由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值．【详解】解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即0101x y <<⎧⎨<<⎩，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数,x y 能与1构成钝角三角形三边，则有22110101x y x y x y ⎧+<⎪+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩， 其面积142S π=-；则有142a m π=-，解得42a mmπ+= 故选：D ．【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.12．已知(2sin ,cos ),(3,2cos )2222x x x xa b ωωωω==r r ，函数()f x a b =r r ·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]4【答案】B【解析】先利用向量数量积和三角恒等变换求出()2sin()16f x x πω=++ ，函数在区间4[0,]3π上恰有3个极值点即为三个最值点，,62x k k Z ππωπ+=+∈解出，,3k x k Z ππωω=+∈，再建立不等式求出k 的范围，进而求得ω的范围. 【详解】解： ()232cos3cos 12xf x x x x ωωωω=+=++ 2sin()16x πω=++令,62x k k Z ππωπ+=+∈，解得对称轴,3k x k Z ππωω=+∈，(0)2f =， 又函数()f x 在区间4[0,]3π恰有3个极值点，只需 243333πππππωωωω+≤<+解得7542ω≤<． 故选：B ．【点睛】本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成()++y A x t ωϕsin ＝或()++y A x t ωϕcos ＝ 的形式; (2)根据自变量的范围确定+x ωϕ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.二、填空题13．实数,x y 满足2201020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为_____． 【答案】52． 【解析】画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.【详解】解：作出可行域，如图所示，则当直线2z x y +＝过点C 时直线的截距最大，z 取最大值．由12021032x x y x y y ⎧=⎪+-=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩13(,),22C ∴同理(0,2),B (1,0),A - 52C z ∴=，2B z =，2A z =- 52c z ∴=取最大值． 故答案为：52．【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.14． 在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝4，则其最大内角的余弦值为________．【答案】14-【解析】因为c b a >>，所以在ABC ∆中最大的内角为角C ，则由余弦定理，得22249161cos 22234a b c C ab +-+-===-⨯⨯，故答案为14-.15．已知直三棱柱111ABC A B C -中，23ABC π∠＝，14,2AB BC CC ＝＝＝，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____．10 【解析】以B 为原点，过点B 作BC 的垂线为x 轴，建立空间直角坐标系，求出1(23,2,2),AB =-u u u r ()10,2,2BC =u u u u r，利用空间向量夹角公式可得.【详解】直三棱柱111ABC A B C -中，23ABC ＝，π∠142AB BC CC ＝，＝＝ 以B 为原点，在平面ABC 中，过点B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，1(23,2,0),(0,0,2),A B -1(0,0,0),(0,2,2)B C1(23,2,2),AB =-u u u r 1(0,2,2)BC =u u u u r设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为：111110cos 5208AB BC AB BC θ===u u u r u u u r g u u u r u u u u r g g故答案为：10【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成角空间角.两条异面直线所成角的求法:(1)选好基底或建立空间直角坐标系; (2)设两条异面直线,a b 的方向向量为,a b r r，其夹角旗开得胜为θ，(3)代入公式cos sin a ba bj q ==r r g r r 求解(其中ϕ为异面直线,a b 所成的角)．16．已知函数31(),[,]f x x x a x e e=-++∈与()31g x lnx x =--的图象上存在关于x轴对称的点，则a 的取值范围为_____．【答案】3[2,2]e -【解析】两函数图象上存在关于x 轴对称的点的等价命题是方程331x x a lnx x ++++﹣＝﹣在区间1[,]e e 上有解，化简方程313a x lnx ﹣＝﹣在区间1[,]e e上有解，构造函数，求导，求出单调区间，利用函数性质得解.【详解】解：根据题意，若函数21()()f x x x a x e e=-++≤≤与()3ln 1g x x x =--的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程331x x a lnx x ++++﹣＝﹣在区间1[,]e e 上有解， 即方程313a x lnx ﹣＝﹣在区间1[,]e e上有解，设函数3()3g x x lnx =-，其导数3233(1)'()3x g x x x x-=-=，又由1[,]x e e ∈，可得：当11x e≤≤时， '()0,()g x g x <为减函数， 当1x e ≤≤时， '()0,()g x g x >为增函数，故函数3()3g x x lnx =-有最小值(1)1g =，又由3311()3,()3g g e e e e =+=-；比较可得： 1()()g g e e<， 故函数()33g x x lnx -=有最大值()33g e e =-，故函数()33g x x lnx -=在区间1[,]e e 上的值域为3[1,3]e ﹣； 若方程313a x lnx -+＝在区间1[,]e e上有解，必有3113a e ≤-≤-，则有322a e ≤≤-，即a 的取值范围是3[2,2]e -；故答案为：3[2,2]e -；【点睛】本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题, 函数零点问题的拓展. 由于函数()y f x =的零点就是方程()=0f x 的根，在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决. 此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.三、解答题17．某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．（1）求这个样本数据的中位数和众数；（2）从样本数据用时不超过50分钟的工人中随机抽取2个，求至少有一个工人是优秀员工的概率．【答案】（1）中位数为43，众数为47．（2）57【解析】（1）茎叶图完全反映所有的原始数据，由茎叶图直接得中位数43，众数47 （2）用列举法得到用时不超过50分钟的工人中随机抽取2个的基本事件总数为21种，和所求至少有一个工人是优秀员工的基本事件数为15种，利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：()1由茎叶图得：中位数为43，众数为47．()2设不超过50的工人为,,,,,,a b c d e f g ，其中,,a b c 为优秀员工，从这7名工人中随机抽取2人的基本事件有21个，分别为：{},{},{},,,,a b a c a d {},{},{},,,,a e a f a g {},{},{},,,,b c b d b e {},,,{}b f b g {},{},{},,,,{},,{},,c d c e c f c g d e {},{},{},,,,d f d g e f {},,,{}e g f g其中至少有一名工人是优秀员工的基本事件有15个，∴至少有一个工人是优秀员工的概率155217P ==． 【点睛】本题考查利用茎叶图中位数和众数问题及古典概型的概率. 解决古典概型实际问题的步骤:（1）判断是否是古典概型，（2）列举或计算基本事件总数和所求基本事件数（3）用古典概型的概率公式计算18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，5PAPC ＝＝，点,M N 分别是,AB PC 的中点．（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）若45cos PCD ∠＝，60DAB ︒∠＝，求三棱锥P ADN -的体积．【答案】（1）见解析（2）23【解析】()1取PD 的中点H ,证明四边形AMNH 为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得.()2由()1问//MN 平面PAD ，利用等积法转换P ADN N PAD M PAD P ADM V V V V ﹣﹣﹣﹣＝＝＝，利用余弦定理求出=3PD ，用勾股逆定理证明PD DC ⊥，PD AD ⊥，证明PD ⊥平面ABCD ，得高=3PD ，再计算=23ADM S ∆从而得1233232P ADN V -=⨯=【详解】()1证明：取PD 的中点H ，连接,NH AH ，N Q 是PC 的中点，1//,2NH DC NH DC ∴＝， 又1//,2AM DC AM DC ＝，//NH AM ∴且NH AM ＝， ∴四边形AMNH 为平行四边形，则//MN AH ，又MN ⊄平面,PAD AH ⊂平面PAD ，//MN ∴平面PAD ；()2解：45,4,cos 5PC DC PCD ∠=Q ＝＝，24251625495PD ∴=+-⨯⨯⨯=，则222PC PD DC =+，PD DC ∴⊥，同理PD AD ⊥，又AD DC D ⋂＝，PD ∴⊥平面ABCD ，又//MN 平面PAD ，P ADN N PAD M PAD P ADM V V V V ∴﹣﹣﹣﹣＝＝＝，又60DAB ︒∠=Q ，13422322ADM S ∆∴=⨯⨯⨯=． 1233232P ADN V -∴=⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行判定定理及利用等积法求三棱锥的体积.判定线面平行的方法：(1)利用线面平行的判定定理(2)利用面面平行的性质定理(3)利用面面平行的性质；求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.19．已知数列{}n a 满足对任意*n N ∈都有122n n n a a a +++＝，其前n 项和为n S ，且7349,S a ＝是1a 与13a 的等比中项，12a a ＜．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）已知数列{}n b 满足12n a n b +=，n n n c a b ＝，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求92065n T n --大于1000的最小的正整数n 的值．【答案】（1）21n a n =-（2）4 【解析】（1）利用122n n n a a a +++＝判断{}n a 是等差数列，利用749,S ＝求出47a ＝，利用等比中项建立方程，求出公差可得. （2）利用{}n a 的通项公式n a ,求出()224,214nn n n n b c n ===-g ，用错位相减法求出12065499n n n T +-=+⨯，最后建立不等式求出最小的正整数. 【详解】解：()1Q 任意*n N ∈都有122n n n a a a +++＝，∴数列{}n a 是等差数列，74449,749,7S a a ∴∴Q ＝＝＝，又3a Q 是1a 与13a 的等比中项，12a a <，设数列{}n a 的公差为d ，且0d >， 则()()()277379d d d -=-+，解得2d ＝，1731a d ∴-＝＝，()12121n a n n ∴=+-=-；()2由题意可知 ()224,214n n n n n b c n ===-g ，()121434?··214n n T n ∴=⨯+⨯++-⨯①， ()23141434?··214n n T n +=⨯+⨯++-⨯②，①﹣②得：()231342424?··24214nn n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯，12065499n n n T +-∴=+⨯， 1229204265n n n T n ++-∴==-，由92065n T n --1000＞得，2221000n +>，2210n ∴+≥，4n ∴≥，∴满足条件的最小的正整数n 的值为4．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式及错位相减法求和. (1)解决等差数列通项的思路(1)在等差数列{}n a 中，1a d 、是最基本的两个量，一般可设出1a 和d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程(组)求解即可. (2)错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b g的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解; 在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式20．已知点3(1,),(1,),(1,)2P a x y b x y =-=+rr ，且4a b +=r r ，满足条件的(,)Q x y 点的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）是否存在过点(0,1)-的直线l ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，直线,PA PB 与y 轴分别交于,M N 两点，使得PM PN ＝？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）存在， 112y x =-或512y x =-．【解析】（1）由4a b +=r r2222(1)(1)4x y x y -+++=看成(,)Q x y 到两定点12(1,0),(1,0)F F -的和为定值，满足椭圆定义，用定义可解曲线C 的方程.（2）先讨论斜率不存在情况是否符合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线点斜式方程1y kx =-，由PM PN ＝，可得0PA PB k k +＝，再直线与椭圆联解，利用根的判别式得到关于k 的一元二次方程求解.【详解】解：()1设12(1,0),(1,0)F F -，由(1,),(1,)a x y b x y =-=+r r， 4a b +=r r ，2222(1)(1)4x y x y -+++=，即为124QF QF +＝， 由124F F >，可得Q 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点，且24a =的椭圆，由1,2c a ＝＝，可得223b a c =-=C 的方程为22143x y+=；()2假设存在过点(0,1)-的直线l 符合题意．当直线l 的斜率不存在，设方程为0x ＝，可得M N ，为短轴的两个端点，PM PN ＝不成立；当直线l 的斜率存在时，设方程为1y kx =-，1122(1)(),1,A x kx B x kx -,﹣ 由PM PN ＝，可得0PM PN k k +＝，即0PA PB k k +＝，可得12125522011kx kx x x --+=--，化为21215()()5022kx x k x x -+++=，由2213412y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得22(34)880k x kx +--=， 由(0,1)-在椭圆内，可得直线l 与椭圆相交，12122288,3434k x x x x k k+==-++，则228582()()()5034234kk k k k --++=++化为25168()5(34)02k k k k --+++=，即为241250k k -+=，解得1522k k ==或， 所以存在直线l 符合题意，且方程为112y x =-或512y x =-． 【点睛】本题考查求轨迹方程及直线与圆锥曲线位置关系问题. （1）定义法求轨迹方程的思路:应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解；（2）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解.21．已知函数()()()ln 11f x x ax a a R =+-+-∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()ln 110xb x e x -++-＞对任意0x ＞恒成立，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）[)0,+∞ 【解析】（1）函数求导1'()1ax af x x -+-=+，讨论参数范围，解'()0f x >求单增区间，解'()0f x <求单减区间；（2）不等式恒成立问题转化为函数最值问题，()()11xg bln x x e x +-=+-，对任意0,()0x g x >>等价于()(0)g x g >，研究()g x 单调性求解.【详解】解： ()1()f x 的定义域为111,,()('11)ax a f a x x x -+--+∞=-=++ 当0a ≤时，(1)10a x -++>，故函数()f x 在(1,)-+∞单调递增；当0a >时， 111x a -<<-时，'()0f x >，当11x a>-时，'()0f x <，故函数()f x 在1(1,1)a --单调递增，在1(1,)a-+∞单调递增；()2令()()11x g bln x x e x +-=+-，则(0)0g =，∴对任意0,()0x g x >>等价于()(0)g x g >，'()1,'(0)1x bg x e g b x =+-=+， 当0b <时， '(0)0g <，则存在0m >，使(0,)x m ∈使， '()0g x ≤，()g x ∴在(0,)m 上是减函数，(0,)x m ∈∴时， ()(0)g x g <，与条件不符，0b ≥当时，由0x >，可知11x +>，故01b b ≤+， '()0g x ∴>()g x ∴在(0,)+∞上是增函数，0x ∴>时， ()(0)g x g >，即()0>g x ；综上，实数b 的取值范围为[0,)+∞．【点睛】本题考查含参数函数的单调性及不等式恒成立问题转化为函数问题.导数法研究函数()f x 在(,)a b 内单调性的步骤: (1)求'()f x ；(2)确定()f x '在(,)a b 内的符号；(3)作出结论：'()0f x >时为增函数；'()0f x <时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．不等式恒成立问题的求解方法：(1)已知不等式()0f x λ≥，(λ为实参数)对任意的x D ∈恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法， (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=4．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）设射线:6OP πθ=与曲线1C 交于不同于极点的点A ，与曲线2C 交于不同于极点的点B ，求线段AB 的长．【答案】（1）=4sin ρθ；()2224x y -+=（2）32 【解析】()1曲线1C 的参数方程转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．再用极直互化公式求解，曲线2C 的极坐标方程用极直互化公式转换为直角坐标方程22(2)4x y -+=．()2射线OP 与曲线1C 的极坐标方程联解求出12ρ＝，射线OP 与曲线2C 的极坐标方程联解求出223＝ρ 再用 12AB ρρ=-得解【详解】解：()1曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．把cos x ρθ=，sin x ρθ=代入得：=4sin ρθ曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=4．转换为直角坐标方程为22(2)4x y -+=．()2设射线:6OP πθ=与曲线1C 交于不同于极点的点A ，所以64sin πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得12ρ＝． 与曲线2C 交于不同于极点的点B ，所以64cos πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得223ρ= 所以12232AB ρρ=-=【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程直角坐标方程相互转换及极坐标下利用ρ和θ的几何意义求线段的长.（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的,x y 分别用cos ρθ，sin ρθ代替即可得到相应极坐标方程．参数方程化为极坐标方程必须先化成直角坐标方程再转化为极坐标方程.（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.23．设函数()()1f x x a x a R =++-∈．（1）当1a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若对任意x ∈R 都有()2f x ≥，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(][),22,∞-⋃+∞-（2）(][),31,-∞+∞U 【解析】()1114||x x++≥﹣利用零点分区间法，去掉绝对值符号分组讨论求并集， ()2()2f x ≥对x ∈R 恒成立，则()2min f x ≥，由三角不等式|1||1|1x a xx a x a ++≥+++﹣﹣＝，得12a +≥求解 【详解】解：()1当1a =时，不等式()4f x ≥即为114||x x++≥﹣， 可得1114x x x ≤-⎧⎨--+-≥⎩或11114x x x -<<⎧⎨++-≥⎩或1114x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得2x -≤或x ∈∅或2x ≥，则原不等式的解集为(,2[2,])∞-⋃+∞-()2若对任意x ∈R 、都有()2f x ≥，即为()2min f x ≥，由|1||1|1x a xx a x a ++≥+++﹣﹣＝，当()(1)0x a x +-≤取得等号， 则()1min f x a +＝，由12a +≥，可得13a a ≥≤-或，则a 的取值范围是(,3][1,)-∞+∞U【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式a b a b a b １?－＋把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.旗开得胜31 读万卷书行万里路。

2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科数学试卷（5月）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第1题5分已知集合A ={x |x 2−3x <0}，B ={x |y =ln⁡(x −2)}，则A ∩B =（ ）． A. (2,+∞) B. (2,3) C. (3,+∞) D. (−∞,2)2、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第2题5分定义运算|abcd|=ad −bc ，则满足|z −i 1−i −2i |=0（i 为虚数单位）的复数z 的共轭复．数z 在复平面内对应的点在（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第3题5分某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如右图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（ ）．A. 46，45B. 45，46C. 46，47D. 47，454、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第4题5分2019~2020学年山东济南历城区济南市历城第二中学高一下学期期中第4题5分2019~2020学年重庆沙坪坝区重庆市第一中学高三下学期期中文科第5题5分2020~2021学年4月陕西西安雁塔区西北大学附属中学高三下学期月考文科（十模）第6题5分2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为（）．A. 0.7B. 0.4C. 0.6D. 0.35、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第5题5分2018年辽宁朝阳高三三模文科第5题5分2018年辽宁朝阳高三三模理科第5题5分《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（）．升A. 10011升B. 9011升C. 25433升D. 201226、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第6题5分已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，给出下列说法：①若l⊥α，α⊥β，则l//β；②若l//α，α//β，则l//β；③若l⊥α，α//β，则l⊥β；④若l//α，α⊥β，则l⊥β．其中正确说法的个数为（）．A. 0B. 1C. 2D. 37、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第7题5分执行如右图所示的程序框图，若输入的t=0.001，则输出的n=（）．A. 6B. 5C. 4D. 38、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第8题5分2020~2021学年4月四川成都郫都区郫都区成都外国语学校高一下学期月考理科第11题5分2020~2021学年4月四川成都郫都区郫都区成都外国语学校高一下学期月考文科第11题5分已知函数f(x)=Asin⁡(ωx+φ)，且f(π3+x)=−f(π3−x)，f(π6+x)=f(π6−x)，则实数ω的值可能是（）．A. 2B. 3C. 4D. 59、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第9题5分2018年辽宁朝阳高三三模文科第9题5分 2018年辽宁朝阳高三三模理科第9题5分2018年陕西西安雁塔区西安市曲江第一中学高三二模理科第10题5分已知点P (4,4)是抛物线C ：y 2=2px 上的一点，F 是其焦点，定点M (−1,4)，则△MPF 的外接圆的面积为（ ）． A. 125π32 B. 125π16 C. 125π8 D.125π410、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第10题5分2016~2017学年北京丰台区北京市第十二中学高二上学期期末理科第9题5分 2016~2017学年陕西西安未央区西安中学高一下学期期中第12题3分 2019年陕西西安雁塔区唐南中学高三二模理科第8题5分从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，x 3，…，x n ，y 1，y 2，y 3，…，y n ，构成n 个数对(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，(x 3,y 3)，…，(x n ,y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）． A. 4nmB. 2nmC.4mnD.2mn11、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第11题5分 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，点P(x 0,y 0)是直线bx −ay +2a =0上任意一点，若圆(x −x 0)2+(y −y 0)2=1与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为（ ）．A. (1,2]B. (1,2)C. (2,+∞)D. [2,+∞)12、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第12题5分设函数f ′(x )是偶函数f (x )的导函数，f (x )在区间(0,+∞)上的唯一零点为2，并且当x ∈(−1,1)时，x ⋅f ′(x )+f (x )<0，则使得f (x )<0成立的x 的取值范围是（ ）． A. (−2,2)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)C. (−1,1)D. (−2,0)∪(0,2)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第13题5分2018年辽宁朝阳高三三模理科第13题5分已知向量a →与b →的夹角为60°，|a →|=2，|b →|=3，则|3a →−2b →|= ．14、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第14题5分2018年辽宁朝阳高三三模理科第14题5分 2018年辽宁朝阳高三三模文科第14题4分2018~2019学年9月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三上学期月考文科第15题5分 若tan⁡α=3，α∈(0,π2)，则cos⁡(α−π4)= ．15、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第15题5分2018年辽宁朝阳高三三模文科第15题4分2018年辽宁朝阳高三三模理科第15题5分2020~2021学年11月广东广州天河区天河中学高二上学期月考第14题5分已知实数x，y满足不等式组{x⩾0 y⩾0x+2y⩽83x+y⩽9，则z=x+3y的最大值是．16、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第16题5分2018年山东济南高三一模文科第16题5分2018年山东淄博淄川区山东省淄博第四中学高三一模文科第16题5分一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共50分）17、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第17题12分2018年黑龙江哈尔滨香坊区哈尔滨市第六中学高三四模文科第17题12分△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且c=2a．(1) 求角A的大小．(2) 设数列{a n}满足a n=2n|cos⁡nC|，前n项和为S n，若S n=20，求n的值．18、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第18题12分如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1⊥A1C1，D是B1C1的中点，A1A=A1B1=2．(1) 求证：AB1//平面A1CD．(2) 若异面直线AB1和BC所成角为60°，求四棱锥A1−CDB1B的体积．19、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第19题14分2020年四川成都金牛区成都市石室外语学校高三零模理科第18题2019~2020学年重庆沙坪坝区重庆市第一中学高三下学期期中文科第19题12分某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月（5−10月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如右图所示．(1) 由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月份代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并据此预测该公司2020年5月份的利润．(2) 甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对A，B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表1），若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好．参考数据：∑y i =966i=1，∑x i y i =3716i=1, 参考公式：回归直线方程y ^=b ^x +a ^，其中b ^=∑(x i −x)(y i −y)ni=1∑(x i −x)2n i=1=∑x i y i −nx⋅y ni=1∑x i 2−nx2n i=1，a ^=y ^−b ^x ．20、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第20题12分2017~2018学年12月广东广州月考理科第21题12分已知A(−2,0)，B(2,0)为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且△APB 面积的最大值为2√3．(1) 求椭圆C 的方程．(2) 直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当点P 在椭圆上运动时，求证：以BD 为直径的圆与直线PF 恒相切．21、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第21题12分2019~2020学年高二上学期期末已知函数f (x )=3e x +x 2，g (x )=9x −1．(1) 讨论函数φ(x )=aln⁡x −bg (x )(a ∈R,b >0)在(1,+∞)上的单调性． (2) 比较f (x )与g (x )的大小，并加以证明．四、选做题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题） [选修4-4：坐标系与系数方程]22、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第22题10分在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0,θ0)（ρ0>0）在曲线C:ρ=2sin⁡θ上，直线l过点A(2,0)且与OM垂直，垂足为P．(1) 当θ0=π4时，求ρ0及l的极坐标方程．(2) 当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟文科（5月）第23题10分已知不等式|x|+|x−2|<x+5的解集为(m,n)．(1) 求m，n的值．(2) 若x>0，y>0，nx+y+m=0，求√1x +1y的最小值．1 、【答案】 B;2 、【答案】 A;3 、【答案】 A;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 B;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 B;10 、【答案】 C;11 、【答案】 A;12 、【答案】 A;13 、【答案】6;14 、【答案】2√55;15 、【答案】12;16 、【答案】(43,20 3);17 、【答案】 (1) π6．;(2) n=4或n=5．;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2．;19 、【答案】 (1) y^=2x+9，35百万元．;(2) B型新材料．;20 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2) 见解析．;21 、【答案】 (1) 见解析;(2) 见解析;22 、【答案】 (1) ρcos⁡(θ−π4)=√2．;(2) ρ=2cos⁡θ，θ∈[π4,π2 ]．;23 、【答案】 (1) m=−1，n=7．;(2) √7+1．;第11页，共11页。

2020年四川省高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省高中2020届高三”名校联盟“测试数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数1ln sin 1ln xy x x-=⋅+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．2．已知数列{}n a 的通项公式为262n a n =-，要使数列{}n a 的前n 项和n S 最大，则n 的值为 A ．14B ．13或14C ．12或11D ．13或123．已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且当[2,1]x ∈-时，2()24f x x x =--，则关于x 的不等式()1f x <-的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,3)-∞C ．(1,3)-D ．(1,)-+∞4．已知f （x ）=2x 4x 3,x 02x 2x 3,x 0-+≤⎧⎪--+>⎨⎪⎩，不等式f （x+a ）＞f （2a-x ）在[a ，a+1]上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2∞--B ．(),0∞- C ．()0,2D ．()2,0-5．已知函数()()1,0(1)1,0ln x m x f x m ax b x ⎧++≥=<-⎨-+<⎩，对于任意s R ∈，且0s ≠，均存在唯一实数t ，使得()()f s f t =，且s t ≠，若关于x 的方程()2m f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．()4,2-- B ．()1,0-C ．()2,1-- D ．()()4,11,0--⋃-6．三棱锥S ABC -的各顶点均在球O 上，SC 为该球的直径，1,120AC BC ACB ︒==∠=，三棱锥S ABC -的体积为12，则球的表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π 7．将函数y=sin （2x-π6）的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为 （ ） A ．πy sin 2x 12⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2πy sin 2x 3⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πy sin 2x 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．5πy sin 2x 12⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 8．如图，()(1,2,3,4)i f x i =是定义在[0,1]上的四个函数，其中满足性质“12,[0,1]x x "?，且(0,1)λ∈，[]()()1212(1)(1)f x x f x f x λλλλ+-<+-恒成立”的为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线E ：()222210,0-=>>x y a b a b的两个焦点分别为1F ，2F ，以原点O 为圆心，1OF 为半径作圆，与双曲线E 相交．若顺次连接这些交点和1F ，2F 恰好构成一个正六边形，则双曲线E 的离心率为（ ） A 3 B ．2C 31D ．310．已知函数()2f x +是偶函数，且当2x >时满足()()()2xf x f x f x ''>+，则（ ）A ．()()214f f <B ．()3232f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭ C ．()5042f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭ D ．()()13f f <11．已知函数2()x f x xe =，下列说法正确的是（ ） A ．任意12m e>-，函数()y f x m =-均有两个不同的零点； B ．存在实数k ，使得方程()(2)f x k x =+有两个负数根； C ．若()()()f a f b a b =≠，则10a b -<+<；D ．若实数a ，b 满足2212()a b e e e a b -+<≠，则()()f a f b ≠. 12．运行该程序框图，若输出的x 的值为16，则判断框中不可能填（ ）A ．5k ≥B ．4k >C ．9k ≥D ．7k >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届名校学术联盟新高考原创精准模拟考试（一）文科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则复数z的虚部是A. 1B.C. 3D.【答案】B【解析】【分析】本题首先可以根据复数的运算法则对复数进行化简，将复数化简为的形式，再通过复数的虚部的相关概念即可得出结果。

【详解】，所以复数的虚部为。

【点睛】本题考查复数的相关性质，主要考查复数的运算法则以及虚部的相关概念，考查计算能力，提高了学生对于复数运算的掌握，是简单题。

2.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题首先可以通过解一元二次不等式计算出集合A，然后通过对数的性质计算出集合B，最后计算出，即可得出结果。

普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设i 为虚数单位，则复数(1+i)2= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i2.设集合A={x11≤x ≤5},Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)33.抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 4.为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度 5.设p:实数x ，y 满足x>1且y>1，q: 实数x ，y 满足x+y>2，则p 是q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 6.已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)27.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。

若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。

如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为(A)35 (B) 20 (C)18 (D)99.已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BM uuu r 的最大值是 (A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+10. 设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)第II 卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。