2020届全国100所名校高考模拟金典卷(五)数学(理)试题及答案

2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷理科数学试卷（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，[]{}2|log (2)(1)B x y x x ==-+，则A B =I （ ） A.[-2,2) B.(-1,1) C.(-1,1] D.(-1,2) 2.复数21iz i=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242, 16a S ==，则5a =（ ） A.10 B .12 C .13 D .144.给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件;②定义在[a, b]上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.35.已知点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为（ ）A.12D.1 6.函数2()sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.7.3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ）A.2ln2B.ln2C.2D.18.执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内可以填入的条件是（ ） A.4?k > B .5?k > C.6?k > D.7?k >9.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察而画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图所示，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（ ）A.13 B .110C.121D.125210.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ） A.2对B.3对C.4对D.5对11.已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ） A.C.12.已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. 设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知A B C ，，为圆O 上三点，且2CO BA BC =-u u u r u u u r u u u r ，则BA BC ⋅=u u u r u u u r_____________.14.已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示,其中()01f =，5||2MN =，则点M 的坐标为_____________.15.如图，点A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，右焦点为()2,0F ，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则双曲线C 的方程为____________.16.已知在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，4BC CD BC CD AB AD ⊥====，，，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，sin ()sin sin a A a b B c C ++=，ABC △的面积S abc =. （1）求角C 的大小；（2）求ABC △周长的取值范围.18.如图，在多面体ABCGDEF 中，AB AC AD ，，两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC DG EF ∥∥，且12AC EF DG ===，.（1）证明：CF ⊥平面BDG . （2）求二面角F BC A --的余弦值.19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推岀两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次，每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次，每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，如下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示准备购买的2台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更划算？20.已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点.（1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N L L ，求证：[]ln (2)12n nn T +<-. （二）选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ=+. （1）写出曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若P Q ，分别为曲线12C C ，上的动点，求PQ 的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2||36|f x x x =-++. （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值.1.答案 B命题意图 本题考查解不等式与集合的运算. 解题分析 不等式201x x +≤-，等价于()()210x x +-≤且10x -≠，解得21x -≤<，即集合{}|21A x x =-<„ ，函数2log [(2)(1)]y x x =-+的定义域为(2)(1)0x x -+>，解得12x -<<，即集合{|12}B x x =-<<，所以()1,1A B =-I .2答案B命题意图 本题考查复数的运算及几何意义. 解题分析 由222(1)111i i i z i i i +===-+--，知对应点的坐标为()1,1-，所以对应点在第二象限. 3.答案D命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.解题分 由题意得211412246164a a d a S a d d =+=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩，则524414a =-+⨯=.4.答案 C命题意图 本题考查命题及充分、必要条件. 解题分析 对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =但是当tan 1x =时，,4x k k ππ=+∈Z ，所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，所以①不正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域为[],a b ，所以5b =， 所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确； 对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”，所以③是错误的； 故错误说法的个数为2. 5.答案 C命题意图 本题考查线性规划及点到直线的距离公式.解题分析 结合不等式，绘制可行域，如图.由0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2C ，点A 的位置如图所示，计算A 点到该区域的最小值，即计算点A 到直线260x y +-=的距离，所以min ||AB ==6.答案 A命题意图 本题考查函数的奇偶性与单调性，函数导数的应用.解题分析()f x 为偶函数，排除选项B ；2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-， 则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 所以当0x >时，()()0f x xg x =>，且()f x 单调递增，故选A 项. 7.答案 A命题意图 本题考查二项式定理及定积分.解题分析根据二项式3ax ⎛ ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4111111d d ln 2ln 2ax x x xx ===⎰⎰.8.答案 B命题意图 本题考查程序框图.解题分析 模拟执行如图所示的程序框图如下：1,1k S ==； 2,4k S ==； 3,11k S ==； 4,26k S ==； 5,57k S ==；6,120k S ==，此时满足条件5k >，输出120S =. 所以判断框内可以填入的条件是5?k >. 9.答案 C命题意图 本题考查古典概型.解题分析 现从这十个数中随机抽取4个数,基本事件总数140n C =，能成为两组包含的基本事件个数52m C =，则能成为两组的概率25410121C m P n C ===.10.答案 C命题意图 本题考查三视图，线面垂直和面面垂直的判定.解题分析 该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ，作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ，PO CD ⊥，又AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，同理可证平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知PO AO OD ==，所以AP PD ⊥，又AP CD ⊥，所以AP ⊥平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.11.答案 C命题意图 本题考查抛物线方程及过焦点的弦.解题分析 由题意得22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又直线l 经过C 的焦点，则22b p-=，b p ∴=-. 由此解得2p =，所以抛物线方程为24y x =.设()00,M x y ，则204y x =， ()()()2222200000||444212MN x y x x x ∴=-+=-+=-+，故当02x =时，||MN取得最小值.12.答案 A命题意图 本题考查数列的综合应用. 解题分析 当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列， 11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭， 依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.13.答案0命题意图 本题考查平面向量的数量积.解题分析 11()22CO BA BC CA =-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴圆心O 为线段AC 的中点，因而90ABC ∠=︒，故0BA BC ⋅=u u u r u u u r .14.答案 ()1,2-命题意图 本题考查三角函数的图象及解析式.解题分析 函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示.(0)2sin 1f ϕ==Q ，56πϕ=Q .又5||2MN ==3πω∴=，即函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图象得5362x πππ+=，解得1x =-，故点M 的坐标为()1,2-. 五步导解 解↔答15.答案 221x y -=命题意图 本题考查双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程.解题分析 由题意可得(),0A a ，又A 为线段OB 的中点，所以(2,0)B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设()2,3P a b -，由题意和结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -，即||2AP a =，即2a =a b =，又c =222a b c +=，得1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=.16.答案 36π命题意图 本题考查多面体与球.解题分析 如图取BD 的中点E ，连接AE CE ，，则AE BD CE BD ⊥⊥，. Q 平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，AE ∴⊥平面BCD .又CEC Q 平面BCD ，AE CE ∴⊥.设ABD △的外接圆的圆心为O ，半径为r .AB AD ∴=， ∴圆心O 在AE 所在的直线上，22222()r BE OE BE r AE ∴=+=+-. Q在Rt BCD △中，BD =BE EC ∴==在Rt ABE △中，2AE ，()2282r r ∴=+-，解得，3,1r OE =∴=. Q在Rt OEC △中，3OC ==，3OA OB OC OD ∴====，∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心，且球的半径3R =，∴球的体积34363V R ππ==.17.命题意图 本题考查正、余弦定理及三角恒等变换.解题分析（1）由sin ()sin sin a A a b B c C ++=及正弦定理得222a b ab c ++=，又由余弦定理得1cos 2C =-，23C π∴=. （2）由1sin 2S abc ab C ==，可知2sin c C =，2sin ,2sin a A b B ∴==，ABC △的周长为1(sin sin sin )2a b c A B C ++=++1sin sin 23A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11sin sin 22A A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 22A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1sin 23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 3A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，ABC ∴△周长的取值范围为⎝⎦.18.命题意图 本题考查空间点线、面关系及线面垂直、二面角.解题分析（1）证明：因为AB AC AD ，，两两垂直，AC DG AB DE ∥，∥， 所以DG AD DG DE ⊥⊥，，所以DG ⊥平面ABED ，因为AE ⊂平面ABED ，所以DG AE ⊥，因为四边形ABED 为正方形，所以AE BD ⊥，因为BD DG D =I ，所以AE ⊥平面BDG ，因为AC EF ∥所以四边形AEFC 为平行四边形，所以AE CF ∥，所以CF ⊥平面BDG .（2）由（1）知DE DG DA ，，互相垂直，故以D 为坐标原点，以DE DG DA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,1,2),(2,1,0)D A B C F ， 所以(0,1,2),(2,1,0)FB CB =-=-u u u r u u u r.设(),,m a b c =u r 为平面BCF 的法向量，则2020m FB b c m CB a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ， 令1a =，则21b c ==，，所以()1,2,1m =u r.又因为AD ⊥平面ABC ，所以()0,0,2DA =u u u r为平面ABC 的一个法向量，所以()cos ,m DA ==u r u u u r 由图可知二面角F BC A --是钝角，所以二面角F BC A --的余弦值为. 19.命题意图 本题考查离散型随机变量的期望和方差以及方案的确定. 解题分析 （1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6111(0)1010100P X ==⨯=，111(1)210525P X ==⨯⨯=，11213(2)25551025P X ==⨯+⨯⨯=， 131211(3)2210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22317(4)25510525P X ==⨯+⨯⨯=， 236(5)251025P X ==⨯⨯=，339(6)1010100P X ==⨯=，X ∴的分布列为（2）所选延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为()117117697000900011000130001500010720100502525100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为()267691000011000120001042010025100E Y =⨯+⨯+⨯=（元）()()12E Y E Y >Q ，∴该医院选择延保方案二较划算.20.命题意图 本题考查椭圆有关的定值、定点问题.解题分析由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=， 于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩， 从而1212423x x y y +=++=，故211,,332CM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线l 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222210m y my ++-=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 所以()()()()()210201************OA QB x x x x y y my my x my my x y y =⋅=--+=++-++++u u u r u u u r ()()()()()2222121200000022121121112122m m y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+=++ ()202002231212x m x x m --+-++， 由023112x --=，得054x =， 故此时点57,0,416Q QA QB ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ； ②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值. 21.命题意图 本题考查导数综合.解题分析 （1）()f x 的定义域为()1,-+∞，()2ln(1)2f x x x '=+-.设()()212g x ln x x =+-. ∵2()1x g x x -'=+，∴当()1,0x ∈-时，()0g x '>；当,()0x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在()1,0-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 在0x =处取得最大值.又∵()00g =，∴对任意的1,()x ∈-+∞，()()00g x g ≤=恒成立，即对任意的1,()x ∈-+∞，都有()f x ' ()2120ln x x =+-≤恒成立，故()f x 在定义域()1,-+∞上是减函数.（2）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，∴()0f n <，即22(1)ln(1)2n n n n ++<+，两边同除以22(1)n +得ln(1)121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++， 从而1231112334521222341234121n n n n n n n T a a a a n n n +++⎛⎫⎛⎫=⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⋅L L L ， 所以[]21(2)ln (2)ln 2ln(2)ln(1)(1)ln 22(1)n n n n T n n n n +⎡⎤++<=+-+-+⎢⎥+⎣⎦. ① 下面证2ln(2)ln(1)(1)ln 2102n n n n +-+-++-<. 记()2ln(2)ln(1)(1)ln 212x h x x x x =+-+-++-，[1,)x ∈+∞， ∴2211111()ln 2ln 2ln 2221232223x h x x x x x x x'=--+=-+=-+++++++. ∵2y x x=+在[2,)+∞上单调递减，而1111(2)ln 2(23ln 2)(2ln8)06233h '=-+=-=-<， ∴当[2,)x ∈+∞时，()0h x '<恒成立，∴()h x 在[2,)+∞上单调递减，即[2,)x ∈+∞，()(2)2ln 4ln33ln 2ln 2ln30h x h =--=-<„，∴当2n …时，()0h n <.∵19(1)2ln3ln 22ln 2ln 028h =---=-， ∴当*n ∈N 时，()0h n <，即2ln(2)ln(1)(1)ln 212n n n n +-+-+<-. ② 综合①②可得，[]ln (2)12n n n T +<-. 22.命题意图 本题考查参数方程、极坐标方程的应用及两点间距离的求法.解题分析 （1）曲线1C 的普通方程为22149x y +=， 曲线2C 的直角坐标方程为2245x y y +=+，即22(2)9x y +-=.（2）设P 点的坐标为(2cos ,3sin )θθ.2||333PQ PC +„，当sin 1θ=-时，max ||538PQ =+=.23.命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式.解题分析 （1）44,2()|2||36|28,22,44,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-⎨⎪+>⎩剟当2x <-时，4434x x -≥-+，即8x ≤-；当22x -≤≤时，2834x x +≥-+，即45x ≥-，可得425x -≤≤； 当2x >时，4434x x +≥-+，即0x ≥，可得2x >， ∴不等式的解集为4|8 5x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或 . （2）根据函数44,2()28,22,44,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值(2)4f -=，可知4a =， 8,0,0m n m n ∴+=>>,11111111()11(22)8882n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=⋅++=⋅++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…> 当且仅当n m m n =，即4m n ==时，取“=”，∴11m n +的最小值为12.。

2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|22}x x -<≤C ．{|21}x x -<≤D ．{|22}x x -≤≤2．i 是虚数单位，2i1iz =-，则z =（ ）A ．1B ．2CD ．3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π4．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．下列命题中是真命题的是（ ）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件 ；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解．A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④6．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>7．在ABC △中，sin 1,2C BC AB ===ABC △的面积为（ ）A ．2B ．32C ．4D8．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.3522.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（ ） A ．1.5倍 B ．2倍 C ．2.5倍D ．3.5倍9．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点， 则ω的取值范围为 （ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ） AB ．2C ．4D．11．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（ ）A ．23B ．12 C ．25D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．14．已知平面向量a 与b 的夹角为3π，1),1a b =-= ，则2a b -=．15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则 2m a += ．16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1FC在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）新高考取消文理科，实行“3+3”模式，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人，并把调查结果制成下表： 年龄（岁） [15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75) 频数 5 15 10 10 5 5 了解4126521（1）把年龄在[15, 45)称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考 不了解新高考 总计中青年 中老年 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（2）若从年龄在[55, 65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 18．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ≠=且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分） 如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ππ∠=∠=，平面CDE ⊥平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DE EF BD ===． （1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．AE20．（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--∈R ． （1）讨论函数()f x 的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为，离心率12e =，其右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程； （2）过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求PQ MN的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin 13C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知()211f x x x =++-． （1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）设()9124g x x x =-+--，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，并根据图象写出不等式()()f x g x ≤的解集．2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）参考答案1．答案：B解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12}A x x x x x x x x=--=-+=-≤≤≤≤，{|21}B x x=-<≤，所以{|22}A B x x=-<≤．2．答案：C 解析：2i2i2i,1i1i1iz z=∴====---，公式：11121222,zzz z z zz z⋅=⋅=．3．答案：D 解析：因为70412212π≈，故选D．4．答案：B 解析：当0a≤时，1()f x axx=+在(2,)+∞上单调递减，当0a>时，1()f x axx=+在⎛⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭2，即14a≥．5．答案：A 解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=，故错误．当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确．6．答案：A解析：105445511551,1log log 2,log 2log 22a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．答案：A解析：234cos 12sin ,sin 255C C C =-=-∴=；1,a c ==由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，5b =，114sin 152225ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△． 8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21t t =-，作出函数2t y =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5⨯+⨯-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍． 9．答案：A 解析：因为当[0,2]x ∈π时，2555x πππω+ωπ+≤≤，由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点．则265x ππω+<π5≤，解得1229510ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，． 10．答案：C解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ≠，由24x y =，得2xy '=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =， 所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩，得12123x t t y t t =+⎧⎨==-⎩，22121212222ABt t t tk t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=， 则216480k ∆=-=，解得k =，当k =2120x -+=，解得x =故A ,同理可得(B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 11．答案：D解析：a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以333a ba b +=+=≥，故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313a b a b ca b a b a b +++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．答案：B 解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM并延长，交BC 于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则23BP BF GM FG ==， 12,233BP AQ BP ∴===，连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V --⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=∴=．13．答案：160- 解析：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为33361(2)160C x x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭． 14 解析：2,1a b == ，cos 13a b a bπ⋅=⋅=，所以222244164113a b a a b b -=-⋅+=-+= ，所以2a b -=15．答案：0解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ''=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-'=+=+=-=，当(0,1)x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=． 16．答案：2或43 解析：设直线倾斜角为α，则7tan cos 8αα==．P 在第一象限， 12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F =，则11212,22F P F F c F P c a ===-，由余弦定理得222244(22)788c c x a c +--=，整理得23840e e -+=，解得2e =或23e =（舍去）．250(221288)5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分（2）年龄在[55, 65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========．………………………9分 所以X 的分布列为13()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………………………12分18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=⎧⎨+=+⎩ ，即1212372a d d a d +=⎧⎨=⎩，…………………………3分 又因为0d ≠，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分 （2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分 所以11111111233412222(2)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．…………………………12分 19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD ⊂平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分 （2）因为DE DC ⊥，平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =⊂平面CDE ，所以ED ⊥平面ABCD ．连接OF ，则EF OD ，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ， 从而OF ⊥平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分 以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),((0,1,1)EF AF BF ===-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n EF y n AF z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取n = ，…………8分则cos ,n BF n BF n BF⋅==⋅BF则cos sin ,n BF θ== ，所以直线BF 与平面AEF ………………………………………………12分 20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-'>=-+=，…………………………………………1分 ①当0≤m 时，21()0mx f x x -'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；………………3分②当0m >时，令21()0mx f x x -'==，得x =，当x⎛∈ ⎝时，()0,()f x f x '<单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0,()f x f x '>单调递增，故()f x 在x=处取得极小值111ln 222f m m =+-，无极大值．…………………………5分 （2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号， 所以当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立； 所以若要不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >． 当01m <<1>，由（1）知，()f x 在⎛ ⎝上单调递减， 所以(1)0f f<=，不满足题意．……………………………………………………………………8分 当1≥m 时，设21111()(1)ln 2x F x m x x x e-=---+， 因为1,1≥m x >，所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e---><<-<-<，32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x e x x x x---+-+'=-++->-++-==>， 所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以当(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，故存在1≥m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立．此时m 的最小值是1．…………12分21．解析：（1）由2b =b =，又由22222214c a b e a a -===，得2234a b =， 则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分（2）由（1）知(1,0)F ，①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1k ≠±， 由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩，……………………………………5分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==∆=+>++，…………6分则2212(1)34k PQ k +==+，由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k +-， 则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭，……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQk k k k k k MN k k k k ++++++=⋅==+++++， 令87t k =+，则78t k -=，当0t =时，78k =-，78PQ MN =， 当0t ≠时，22724322432197878722t k t k t t-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+-+， 若0t >，则1977722t t +--，若0t <，则1977722≤t t+-2872432≤k k ++，即2872432k k ++，≤PQ MN ，且87PQ MN ≠．………………………………………………10分 ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-，则2242,37b PQ MN a ===，此时87PQ MN =∈⎣⎦．若设2l 的方程为1y x =-，则78PQMN =∈⎣⎦， 综上可知，PQ MN的取值范围是⎣⎦．……………………………………………12分22．解析：（1）由122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=；由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 12ρθρθ=cos sin 20θρθ-+=，又由cos ,sin x y ρθρθ==，得曲线220C y -+=．…………………………………………5分 （2）由题意，可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )αα+，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()2cos 16d παα⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．………………………………8分当且仅当52,6Z k k παπ=+∈时，()d α1-， 此时P的直角坐标为(2．…………………………………………………………………………10分23．解析：（1）3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪--⎪⎩，…………………………………………1分当1≥x 时，39≤x ，得13≤≤x ；………………………………………………………………………2分当112x -<<时，29≤x +，解得7≤x ，故112x -<<；…………………………………………3分 当12≤x -时，39≤x -，解得3≥x -，故132≤≤x --．……………………………………………4分综上，原不等式的解集为{|33}≤≤x x -．………………………………………………………………5分（2）36,1()91244,12≤x x g x x x x x +-⎧⎪=-+--=+-<<⎨⎪，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，10分2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|22}x x -<≤C ．{|21}x x -<≤D ．{|22}x x -≤≤1．答案：B解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12},{|21}A x x x x x x x x B x x =--=-+=-=-<≤≤≤≤≤， 所以{|22}A B x x =-< ≤． 2．i 是虚数单位，2i1iz =-，则z =（ ）A ．1B ．2CD ．2．答案：C解析：2i 2i 2i ,1i 1i 1i z z =∴====--- ，公式：11121222,z z z z z z z z ⋅=⋅=． 3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π3．答案：D解析：因为70412212π≈，故选D ． 4．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4．答案：B解析：当0a ≤时，1()f x axx =+在(2,)+∞上单调递减，当0a >时，1()f x ax x =+在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭2，即14a ≥．5．下列命题中是真命题的是（ ）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件 ；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解．A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④5．答案：A解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=，故错误． 当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确．6．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．答案：A解析：105445511551,1log log 2,log 2log 22a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．在ABC △中，sin 1,2C BC AB ===ABC △的面积为（ ）A ．2B ．32C ．4D7．答案：A解析：234cos 12sin ,sin 255C C C =-=-∴=；1,a c ==由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，5b =，114sin 152225ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△． 8．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.352 2.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（ ） A ．1.5倍B ．2倍C ．2.5倍D ．3.5倍8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21t t =-，作出函数2t y =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5⨯+⨯-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍． 9．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为 （ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．答案：A解析：因为当[0,2]x ∈π时，2555x πππω+ωπ+≤≤，由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点． 则265x ππω+<π5≤，解得1229510ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，． 10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ） AB ．2C ．4D．10．答案：C解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ≠，由24x y =，得2xy '=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =， 所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩，得12123x t t y t t =+⎧⎨==-⎩，22121212222ABt t t tk t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=， 则216480k ∆=-=，解得k =，当k =2120x -+=，解得x =故A ,同理可得(B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4．11．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-11．答案：D解析：a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以333a ba b +=+=≥，故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313a b a b ca b a b a b +++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（ ） A ．23B ．12C ．25D ．1312．答案：B解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM 并延长，交BC于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则212,,2333BP BF BP AQ BP GM FG ==∴===， 连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V --⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=∴=．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．13．答案：160-解析：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为33361(2)160C x x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭．14．已知平面向量a 与b的夹角为3π，1),1a b =-= ，则2a b -= ．14解析：2,1a b == ，cos 13a b a bπ⋅=⋅=，所以222244164113a b a a b b -=-⋅+=-+= ，所以2a b -=．15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则 2m a += ．15．答案：0解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ''=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-'=+=+=-=，当(0,1)x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增， 故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=． 16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1FC在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ． 16．答案：2或43解析：设直线倾斜角为α，则7tan cos 8αα==．P 在第一象限， 12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F =，则11212,22F P F F c F P c a ===-，222频数 5 15 10 10 5 5 了解4126521（1）把年龄在[15, 45)称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考不了解新高考总计 中青年中老年 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（2）若从年龄在[55, 65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 17．解析：（1）2×2列联表如图所示，了解新高考不了解新高考总计 中青年 22 8 30 中老年 8 12 20 总计302050…………………………………………………………3分250(221288)5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分 （2）年龄在[55, 65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========．………………………9分 所以X 的分布列为13()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ≠=且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=⎧⎨+=+⎩ ，即1212372a d d a d +=⎧⎨=⎩，…………………………3分 又因为0d ≠，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分 （2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分 所以11111111233412222(2)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．…………………………12分 19．（本小题满分12分） 如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ππ∠=∠=，平面CDE ⊥平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DE EF BD ===． （1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．AE19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ， 所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD ⊂平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分 （2）因为DE DC ⊥，平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =⊂平面CDE ，所以ED ⊥平面ABCD ．连接OF ，则EF OD ，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ， 从而OF ⊥平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分 以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),((0,1,1)EF AF BF ===-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n EF y n AF z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取n = ，…………8分则cos ,n BF n BF n BF⋅==⋅ 所以直线BF 与平面AEF12分20．（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--∈R ． （1）讨论函数()f x 的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由． 20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-'>=-+=，…………………………………………1分 ①当0≤m 时，21()0mx f x x-'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；………………3分 ②当0m >时，令21()0mx f x x -'==，得x =， 当x ⎛∈ ⎝时，()0,()f x f x '<单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0,()f x fx '>单调递增， 故()f x在x =处取得极小值111ln 222f m m =+-，无极大值．…………………………5分 （2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号， 所以当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；所以若要不等式111()x f x x e ->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >． 当01m <<1>，由（1）知，()f x 在⎛ ⎝上单调递减， 所以(1)0f f<=，不满足题意．……………………………………………………………………8分 当1≥m 时，设21111()(1)ln 2x F x m x x x e-=---+， 因为1,1≥m x >，所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e ---><<-<-<， 32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x e x x x x---+-+'=-++->-++-==>， 所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以当(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，故存在1≥m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立．此时m 的最小值是1．…………12分 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为，离心率12e =，其右焦点为F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求PQMN 的取值范围．21．解析：（1）由2b =b =，又由22222214c a b e a a -===，得2234a b =， 则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分 （2）由（1）知(1,0)F ，①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1k ≠±，由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩，……………………………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==∆=+>++，…………6分则2212(1)34k PQ k +==+，由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k +-，则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭，……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQ k k k k k k MN k k k k ++++++=⋅==+++++， 令87t k =+，则78t k -=，当0t =时，78k =-，78PQ MN =， 当0t ≠时，22724322432197878722t k t k t t-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+-+， 若0t >，则1977722t t +--，若0t <，则1977722≤t t+-2872432≤k k ++，即2872432k k ++，≤PQ MN ，且87PQ MN ≠．………………………………………………10分 ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-， 则2242,37b PQ MN a ===，此时87PQ MN =∈⎣⎦． 若设2l 的方程为1y x =-，则78PQMN =∈⎣⎦， 综上可知，PQMN的取值范围是⎣⎦．……………………………………………12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin 13C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．22．解析：（1）由122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=； 由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 12ρθρθ=cos sin 20θρθ-+=， 又由cos ,sin x y ρθρθ==，得曲线220C y -+=．…………………………………………5分（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )αα+，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()2cos 16d παα⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．………………………………8分 当且仅当52,6Z k k παπ=+∈时，()d α1-， 此时P的直角坐标为(2．…………………………………………………………………………10分23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知()211f x x x =++-．（1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）设()9124g x x x =-+--，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，并根据图象写出不等式()()f x g x ≤的解集．23．解析：（1）3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪--⎪⎩，…………………………………………1分 当1≥x 时，39≤x ，得13≤≤x ；………………………………………………………………………2分 当112x -<<时，29≤x +，解得7≤x ，故112x -<<；…………………………………………3分 当12≤x -时，39≤x -，解得3≥x -，故132≤≤x --．……………………………………………4分 综上，原不等式的解集为{|33}≤≤x x -．………………………………………………………………5分（2）36,1()91244,12312,2≤≥x x g x x x x x x x +-⎧⎪=-+--=+-<<⎨⎪-+⎩，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，10分。

2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。

绝密★启用前2020届全国100所名校高考模拟金典卷（五）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．若(12)a i ti i +=+（i 为虚数单位，,a t R ∈），则t ai +等于（） A ．12i - B ．12i + C ．2i + D ．2i -答案：A根据复数乘法的运算法则，结合复数相等的定义进行求解即可. 解：因为(12)2a i ti i ti t +=⋅+=-，所以1,22t a a t =⎧⇒=-⎨=-⎩．所以12t ai i +=-．故选：A 点评：本题考查复数的乘法运算，考查了复数相等的定义，考查了数学运算能力． 2．已知集合{}{}22|log (32),|4A x y x B x x ==-=>，则RA B ⋃=（）A ．3|22x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭B ．{|2}x x <C ．3|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{|2}x x 答案：D根据对数型函数的定义域化简集合A 的表示，解一元二次不等式化简集合B 的表示，最后根据集合的补集和并集的定义，结合数轴进行求解即可. 解： 因为{}{242B x xx x ==>或}2x <-，所以R {|22}B x x =-又因为{}23|log (32){|320}|,2A x y x x x x x ⎧⎫==-=->=<⎨⎬⎩⎭所以RA B ⋃={|2}x x .故选：D 点评：本题考查集合的补集与并集的定义，考查了数学运算能力，属于基础题.3．已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若(2)(6)0.15P P ξξ<=>=，则(24)P ξ≤<等于（）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 答案：B根据正态分布密度曲线的对称性可知，若(2)(6)P P ξξ<=>，函数的对称轴是4ξ=，所以(24)0.50.150.35P ξ≤<=-=，故选B.4．已知函数()f x 在R 上可导，则“0'()0f x =”是“0()f x 为函数()f x 的极值”的（） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：C若()00f x '=，但0x 两侧没有变号，也不是极值点，()0f x 也不是函数()f x 的极值，反过来，若()0f x 是函数()f x 的极值，那0x 就是函数的极值点，即()00f x '=，所以()00f x '=是()0f x 是函数()f x 的极值的必要不充分条件，故选C.5．执行下面的程序框图，输出的S 为（）A ．17B ．27C ．47D ．67答案：A 解：考虑进入循环状态，根据程序框图可知，当i=1时，进入第一次循环，有2S 7=； 当i=2时，进入第二次循环，有4S 7=； 当i=3时，进入第三次循环，有1S 7=； 当i=4时，进入第四次循环，有2S 7=； 当i=5时，进入第五次循环，有4S 7=； 当i=6时，进入第六次循环，有1S 7=； 结束循环，输出1S 7=. 故选A ．6．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为78,26n S a a +=，则11S 为（） A ．66 B ．55C ．66-D ．55-答案：C根据等差数列的通项公式，结合等差数列的前n 项和公式、等差数列的下标性质进行求解即可. 解：()()781116226756a a a d a d a d a -=+-+=+==-， 1111161111662a a S a +=⨯==-． 故选：C 点评：本题考查等差数列的下标性质，考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力．7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)，1,1,02⎛⎫⎪⎝⎭，按照如下图所示的方向绘制该四面体的三视图，则得到的正（主）视图可以为（）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)，1,1,02⎛⎫⎪⎝⎭，按照如下图所示的方向绘制该四面体的三视图，则得到的正（主）视图可以为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)，1,1,02⎛⎫⎪⎝⎭，按照如下图所示的方向绘制该四面体的三视图，则得到的正（主）视图可以为A ．B ．C ．D ．答案：D根据点的坐标在空间直角坐标系内画出满足条件的四面体，然后选出正（主）视图即可. 解：满足条件的四面体如左图，依题意投影到yOz 平面为正投影，所以正（主）视方向如图所示，所以得到正（主）视图效果如右图. 故选：D点评：本题考查三视图及空间点的坐标,考查了空间想象能力． 8．数()sin()f x A x ωϕ=+（其中,0,||2A πωϕ><）的图象如图所示，为了得到()3sin 3g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则只要将()f x 的图象上所有的点（）A ．向左平移6π个单位长度，纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍横坐标不变 C ．向右平移6π个单位长度，纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变 D ．向右平移3π个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 答案：D根据函数()f x 的最小值、对称中心、对称轴以及函数()f x 过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，可以求出()f x 的解析式，最后根据正弦型函数图象变换的性质进行求解即可.解：因为()f x 的最小值为1-，所以1A =，再由对称中心与对称轴的距离可得周期74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+．因为()f x 过点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得2,3k k πϕπ=+∈Z ．因为||2ϕπ<，所以3πϕ=，所以()sin 2,()3sin 233f x x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则需将()f x 向右平移3π个单位，即sin 2sin 23333f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，然后再将sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍，得到()3sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选：D 点评：本题考查了通过正弦型三角函数的图象求解析式问题，考查了正弦型函数的图象变换性质，考查了数学运算能力．9．《九章算术》卷第五《商功》中，提到这样一种立体图形：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈（如图）．”对于这个立体图形，如果将上棱长缩短至1丈，那么它的体积为（）A ．92立方丈 B ．5立方丈 C ．4立方丈 D ．6立方丈答案：A根据题意可知该几何体分成一个直三棱柱，两个四棱锥，运用棱柱和棱锥的体积公式进行求解即可. 解：将该几何体分成一个直三棱柱，两个四棱锥，即119311(123)1232V =⨯⨯⨯+⨯-⨯=． 故选：A 点评：本题考查数学文化及空间几何体的体积，考查了空间想象能力和数学运算能力． 10．已知抛物线2:4C y x =,过焦点F 3的直线与C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则MFN S ∆=（）A ．83B 83C ．163D ．33答案：B 解：设()()1122,,,P x y Q x y ，所以12121211222MFN S p y y y y y y ∆=⨯⨯-=⨯⨯-=-，直线方程是()31y x =-与抛物线方程联立，2314y y ⎛⎫=- ⎪⎭，整理为：234430y y --=，1212,43y y y y +==-，所以()2121212164163y y y y y y -=+-=+=833，故选B. 11．函数()222sin 33,144x x f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．答案：B()222sin 1x xf x x =+，它是33,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的奇函数，故D 错；又当30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥，故C 错；又()()()()223222sin cos 12sin '21x x x x x x xf x x++-=+，故'02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，选B. 点睛：判断函数的图像，不仅要从函数的奇偶性，还要看函数的一些局部性质，如局部点的切线的斜率的正负等.12．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是() A ．4a ≤ B ．46a -≤≤ C ．4a ≤或6a ≥ D ．6a ≥答案：D根据点到直线距离公式，转化34349x y a x y -++--为点P 到两条平行直线的距离之和来求解实数a 的取值范围 解：依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去） 故选：D.点评：本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 二、填空题13．已知()3,4a →=，(),1b x →=，若a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，则实数x 等于________．答案：7 解：∵()3,4a →=，(),1b x →=，∴()3,3a b x →→-=-又a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭∴()33120x ⨯-+= ∴7x = 故答案为714．设2521001210(32)x x a a x a x a x -+=++++，则1a 等于_________．答案：240-()()()55523212xx x x -+=--，所以含x项的系数是()()()()455411551212240C x C x x ⋅⋅-⋅-+-⋅⋅⋅-=-，所以1240a =-，故填：-240.15．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，24AB CD ==，60BAD ∠=，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段CD （包括端点C 、D ）有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是__________.答案：)1,+∞过C 作垂线与x 轴、双曲线分别相交于F 、E ，作出示意图，设双曲线方程为22221,(02)4x y a a a-=<<-，由题意只需E C y y ≥即可. 解：过C 作垂线与x 轴、双曲线分别相交于F 、E ，如图，设双曲线方程为22221,(02)4x y a a a-=<<-，由题意，只需E C y y ≥，即可，又由已知，4,2AB CD ==，所以1,BF CF ==C y ，当1x =时，222114y a a-=-，所以2221(4)(1)y a a =--，E y =，≥1a ≤-或1a ≥（舍），所以离心率12c e a a ==≥=+.故答案为：)1,+∞点评：本题考查求双曲线的离心率，考查学生的基本计算能力与逻辑推理能力，是一道中档题. 16．已知首项为4的数列{}n a 满足1141n n n n a a a a +++=+，若1234910S a a a a a a =+++，则S 的值为__________.答案：4由1141n n n n a a a a +++=+可得()()11113n n n n a a a a ++--=，令1nn na d a -=，则13n n d d +=-，所以数列{}n d 是周期为2的周期数列，进一步可得数列{}n a 是周期为2的周期数列，从而使问题得到解决. 解： 由1141n n n n a a a a +++=+，整理得()()11113n n n n a a a a ++--=，即()()11113n n n n a a a a ++--=，令1n n n a d a -=，则13n n d d +=-，所以13n n d d +=-，213n n n d d d ++=-=，所以数列{}n d 是周期为2的周期数列，所以221n n a a ++-=1nna a -，化简得2n n a a +=，即数列{}n a 是周期为2的周期数列，由14a =得215a =，所以12349104545S a a a a a a =+++=⨯=. 故答案为：4 点评：本题主要考查数列的周期性，考查学生转化与化归的思想、数学运算求解能力，是一道有一定难度的压轴填空题.三、解答题17．已知锐角ABC 的角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，且32sin sin 32A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求角A ；（2）若角A 的平分线交BC 于点D ，且2AD ==，求a ．答案：（1）3A π=；（2（1）根据两角和的正弦公式，结合辅助角公式、特殊角的正弦值和正弦函数的图象进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合等腰三角形的性质、锐角的三角函数定义进行求解即可. 解： （1）因为212sin sin 2sin sin cos sin 322A A A A A A A A π⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11132cos 2sin 2222622A A A π⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 所以22,623A k A k k πππππ-=+⇒=+∈Z ，又02A π<<，得3A π=．（2）6BAD π∠=，由正弦定理得sin sin sin BD AD B BAD B =⇒=∠ 所以555,,4341261212B C CDA πππππππππ==--=∠=--=，所以52,2cos12AC AD DC AD π===⋅=所以a BD DC =+=点评：本题考查了正弦定理的应用，考查了两角和的正弦公式的应用，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力.18．近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升.伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来.如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从80后和90后的员工中随机调查了100位，得到数据如下表：（1）根据调查的数据，是否有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；（2）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的80后、90后员工参加.80后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x ；90后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y ，求x y <的概率. 参考数据：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）.答案：（1）没有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，理由见解析（2）12（1）直接利用卡方公式计算即可；（2）“x y <”包含：“0x =，1y =”、“0x =，2y =”、“0x =，3y =”、“1x =，2y =”、“1x =，3y =”、“2x =，3y =”六个互斥事件，分别计算出6个互斥事件的概率，相加即可得到答案. 解：（1）2K 的观测值为()()()()()()221002020402060406040n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯4004001002.778 6.6355760000⨯⨯=≈<.所以没有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”.（2）“x y <”包含：“0x =，1y =”、“0x =，2y =”、“0x =，3y =”、“1x =，2y =”、“1x =，3y =”、“2x =，3y =”六个互斥事件.且()03123342336640,1400C C C C P x y C C ===⨯=，()032133423366120,2400C C C C P x y C C ===⨯=， ()03303342336640,3400C C C C P x y C C ===⨯=，()1221334233661081,2400C C C C P x y C C ===⨯=， ()123033423366361,3400C C C C P x y C C ===⨯=，()213033423366362,3400C C C C P x y C C ===⨯=， 所以()4124108363620014004002P x y +++++<===.点评：本题考查独立性检验与独立事件、互斥事件的概率计算，考查学生的数学运算能力，逻辑推理能力，是一道容易题.19．已知在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，5SA SD ==，7SB =，点E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且SF SC λ=，SA ∥平面BEF .（1）求实数λ的值；（2）求二面角S BE F --的正切值.答案：（1）13；（2）12（1）连接AC ，设AC BE G =，由线面平行的性质定理可得SA ∥FG ，再利用GEA GBC △∽△即可得到答案；（2）以EA ，EB ，ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，易知EA 为平面SEB 的一个法向量，再求出平面EFB 的法向量n ，利用公式cos ,m n m n m n⋅=计算即可. 解：（1）连接AC ，设ACBE G =，则平面SAC 平面EFB FG =，∵SA ∥平面BEF .，SA ∴∥FG ，GEA GBC ∽△△，12AG AE GC BC =∴=， 1123SF AG SF SC FC GC ∴==⇒=，13λ∴=. （2）5SA SD ==，SE AD ∴⊥，2SE =，又2AB AD ==，BE AD ⊥，60BAD ∠=︒，3BE ∴=222SE BE SB ∴+=，SE BE ∴⊥，又AD BE E =，SE ∴⊥平面ABCD ，以EA ，EB ，ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则()1,0,0A ，()0,3,0B，()0,0,2S ，易知EA 为平面SEB 的一个法向量，设()1,0,0m EA ==， 设平面EFB 的法向量(),,n x y z =，则()(),,0,3,000n EB x y z y ⊥⇒⋅=⇒=，()(),,1,0,202n GF n AS x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=，令1z =，则2,0x y ==，所以()2,0,1n =，25cos ,m n m n m n⋅∴==， 设二面角S BE F --的大小为θ， 则25cos θ=，5sin θ=，所以1tan 2θ=，即所求二面角的正切值是12.点评：本题考查空间几何体及空间向量的应用，涉及到线面平行的性质定理，向量法求二面角的大小，考查学生的计算能力，是一道中档题.20．如图，椭圆22 22:1(0)x yC a ba b+=>>的右顶点为(2,0)A，左、右焦点分别为1F、2F，过点A且斜率为12的直线与y轴交于点P，与椭圆C交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点1F．（1）求点B的坐标；（2）过点P且斜率大于12的直线与椭圆交于,M N两点(||||)PM PN>，若:PAM PBNS Sλ=△△，求实数λ的取值范围．答案：（1）31,2⎛⎫--⎪⎝⎭；（2）(4,423)+（1）根据题意设出点B的坐标，代入椭圆方程中，再根据斜率公式，结合222a b c=+，进行求解即可；（2）根据已知面积之比，通过三角形面积公式可以得到2PM PNλ=-，设直线MN方程，与椭圆方程联立，根据MN斜率大于12，结合一元二次方程根与系数关系、平面向量共线坐标表示公式进行求解即可.解：（1）因为1BF x⊥轴，得到点2,bB ca⎛⎫--⎪⎝⎭，所以22222,21,3()21aabba a cca b c=⎧=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨+⎪⎪=⎩⎪=+⎩B的坐标为31,2⎛⎫--⎪⎝⎭．（2）因为1sin22(2)12sin2PAMPBNPA PM APMS PM PMS PN PNPB PN BPNλλλ⋅⋅∠===⇒=>⋅⋅∠△△，所以2PM PN λ=-．由（1）可知(0,1)P -，椭圆C 的方程是22143x y+=．设MN 方程为()()11221,,,,y kx M x y N x y =-，联立方程221,1,43y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx +--=，即得122122843(*)843k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩又()()1122,1,,1PM x y PN x y =+=+，有122x x λ=-，将122x x λ=-代入（）可得222(2)1643k k λλ-=+． 因为12k >，有2221616(1,4)3434k k k =∈++， 则2(2)14λλ-<<且24423λλ>⇒<<+．综上所述，实数λ的取值范围为(4,423)+．点评：本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，考查了数学运算能力.21．已知函数()()()ln 1f x x x x ax b =---，（,a b ∈R ，a ，b 为常数，e 为自然对数的底数）.（1）当1a =-时，讨论函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上极值点的个数；（2）当1a =，2b e =+时，对任意的()1,x ∈+∞都有()12xf x ke <成立，求正实数k的取值范围.答案：（1）证明见解析；（2）()2,+∞ （1）当1a =-时，()()'ln 121xfx x x b x =-+++-，记()()'g x f x b =-，利用导数研究()g x 在11,1e e ⎛⎫++⎪⎝⎭函数值的情况，将()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上极值点的个数转化为()g x b =-根的个数问题，分类讨论即可得到；（2）当1a =，2b e =+时，对任意的()1,x ∈+∞都有()12x f x k e<⋅，即()()22ln 12x x x x e x ke--++<，即()2ln 12x e x x e k x--++<⋅，记()()ln 12h x x x e =--++，()2x e x k xϕ=⋅，利用导数分别研究(),()h x x ϕ的最值，即可得到答案. 解：（1）当1a =-时，()()'ln 121xfx x x b x =-+++-，记()()'g x f x b =-， 则()()()()''223211322,01211x x g x g x x x x x ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=-+==⇒=---， 当131,2x e ⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()'0g x <，3,12x e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()'0g x >， 所以当32x =时，()g x 取得极小值6ln 2-，又1212g e e e ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()1124g e e e+=++，()()'0f x g x b =⇔=-，当6ln 2b -≤-，即ln 26b ≥-时，()'0f x ≥，函数()f x 在区间11,1e e⎛⎫++ ⎪⎝⎭上无极值点；当26ln 22b e e -<-<++即22ln 26e b e---<<-时，'0f x 有两不同解，函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上有两个极值点； 当21224e b e e e ++≤-<++即12242e b e e e---<≤---时，'0f x 有一解，函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上有一个极值点；当124b e e -≥++即124b e e ≤---时，()'0f x ≤，函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上无极值点.（2）当1a =，2b e =+时，对任意的()1,x ∈+∞都有()12x f x k e <⋅，即()()22ln 12x x x x e x ke --++<，即()2ln 12x e x x e k x--++<⋅记()()ln 12h x x x e =--++，()2x e x k xϕ=⋅，由()'12111x h x x x -=-=--，当12x <<时()'0h x >，当2x >时，()'0h x <， 所以当2x =时，()h x 取得最大值，最大值为()2h e =，又()()222'221222x x xk e x e e x x k x x ϕ⋅--=⨯=，当12x <<时，()'0x ϕ<，当2x >时，()'0x ϕ>，所以当2x =时，()x ϕ取得最小值2ke ，所以只需要22kee k <⇒>，即正实数k 的取值范围是()2,+∞. 点评：本题考查函数与导数综合及不等式恒成立问题，考查学生的分类讨论的思想以及逻辑推理能力，是一道有一定难度的压轴题.22．已知直线l的参数方程为1x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为24cos sin 40ρρθθ--+=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求OA OB ⋅.答案：（1）直线l 的普通方程是y =，曲线C 的直角坐标方程是()(2223x y -+-=；（2）4 （1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决； （2）将3πθ=代入曲线C 的极坐标方程得2540ρρ-+=，利用A B OA OB ρρ⋅=计算即可. 解：（1）由1x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数t ，得直线l的普通方程)1y x =-，即y =，将cos ,sin x y ρθρθ==代入24cos sin 40ρρθθ--+=中，得22440x y x +--+=，即()(2223x y -+=，曲线C 的直角坐标方程是()(2223x y -+=（2）直线l 的极坐标方程是3πθ=，代入曲线C 的极坐标方程得2540ρρ-+=，故可得4A B ρρ⋅= 所以4A B OA OB ρρ⋅==.点评：本题考查直角坐标、极坐标、参数方程互化，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 23．已知()|23|,()|21|f x x g x x =+=-． （1）求不等式()()2f x g x <+的解集；（2）若存在x ∈R ，使得()(1)|32|f x g x a >++-成立，求实数a 的取值范围．答案：（1）(,0)-∞；（2）40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）根据绝对值的性质分类讨论求解不等式的解集； （2）利用绝对值的性质进行求解即可. 解：（1）不等式()()2f x g x <+等价于3,2(23)(21)2x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩或31,22(23)(21)2x x x ⎧-≤⎪⎨⎪++-<⎩或12(23)(21)2x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩，解得32x <-或302x -<， 所以不等式()()2f x g x <+的解集是(,0)-∞． （2）()(1)|23||21||2321|2f x g x x x x x -+=+-++--=，|32|2a ∴-<，故实数a 的取值范围是40,3⎛⎫⎪⎝⎭．点评：本题考查了用分类讨论法求解绝对值不等式，考查了用绝对值的性质求解不等式能成立问题，考查了数学运算能力.。

2020届全国高考百所名校基础演练试卷（五）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷 (选择题 60分)一．选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z 满足，则z 的虚部为A.B.C. 4D.2．设 0,0x y >>, 1x y A x y +=++, 11x yB x y=+++, 则A 与B 的大小关系为 ( )A ．AB > B ．A B <C ．A B ≥D ．A B ≤3. 由y =x ，y = ，x =2及x 轴所围成的平面图形的面积是（ ）A.ln2+1B.2﹣ln2C.ln2﹣D.ln2+4. 已知)(x f 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数)(x f 的图象最有可能的是（ ）5. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ） A. 2 B.C.D.6. 将1,2,3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为 ( )A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种 7.已知函数()3ln +=xxx f ，则()x f 的单调递减区间为（ ） A . ()+∞,e B . ()e ,0 C . ()1,0和()e ,1 D .()1,∞-和()e ,1 8．若是函数的极值点，则的极小值为A. 1B.C.D. --19.若函数f （x ）=（x 2﹣mx+5）e x 在区间 [ ， 4] 上单调递增，则实数m 的取值范围是（ ）A.（﹣∞，2]B.（﹣∞，4]C.（﹣∞，8]D.[﹣2，4] 10．点P 在曲线41xy e =+上，α为点P 处切线的倾斜角，则α的取值范围是 ( ) A.34ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B. 34ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C. 324ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦， D. 324ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11．用反证法证明命题 “已知a 、b 、c 为非零实数，且，求证a 、b 、c 中至少有二个为正数”时，要做的假设是A. a 、b 、c 中至少有二个为负数B. a 、b 、c 中至多有一个为负数C. a 、b 、c 中至多有二个为正数D. a 、b 、c 中至多有二个为负数12. 甲、乙、丙三人中，一人是公务员，一人是医生，一人是教师.若丙的年龄比教师的年龄大；甲的年龄和医生的年龄不同；医生的年龄比乙的年龄小，则下列判断正确的是（ ）A. 甲是教师，乙是医生，丙是公务员B. 甲是医生，乙是教师，丙是公务员C. 甲是教师，乙是公务员，丙是医生D. 甲是公务员，乙是教师，丙是医生第Ⅱ卷 (非选择题 90分)二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知,21i iz+=+ 则 =z ； 14. 函数32()39f x x x x a =-+++（a 为常数），在区间[2,2]-上有最大值20，那么此函数在区间 [2,2]-上的最小值为 ________________15．计算 22)x dx =⎰___________。

2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （）A ．{|12}x x -≤≤B ．{|22}x x -<≤C ．{|21}x x -<≤D ．{|22}x x -≤≤2．i 是虚数单位，2i 1iz =-，则z =（）A ．1 B ．2 C ．2D ．223．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（）A ．12pB ．3pC ．2pD ．1p4．函数1()f x ax x=+在(2,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．1,4æö+¥ç÷èøB ．1,4éö+¥÷êëøC ．[1,)+¥D ．1,4æù-¥çúèû5．下列命题中是真命题的是（）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件；②命题“0x ">，都有sin 1x ≤”的否定是“00x $>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=ìí-=î有无穷多解．A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④6．已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．c b a>>7．在ABC △中，25sin ,1,4225C BC AB ===，则ABC △的面积为（）A ．2 B ．32C ．4 D ．58．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.3522.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（正视图面积的（ ） A ．1.5倍 B ．2倍 C ．2.5倍D ．3.5倍9．设函数()sin (0)5f x x p ww æö=+>ç÷èø， 若()f x 在[0,2]p 上有且仅有5个零点，个零点， 则w 的取值范围为的取值范围为 （ ）A ．1229,510éö÷êëøB ．1229,510æùçúèûC ．1229,510æöç÷èøD ．1229,510éùêúëû10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（所得弦长为（ ） A ．3B ．2 C ．4 D ．2311．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（的最大值为（ ） A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（所在的多面体的体积之比是（ ） A ．23B ．12C ．25D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．分．把答案填在题中的横线上．13．612xx æö-ç÷èø的展开式中常数项为的展开式中常数项为 ． 14．已知平面向量a 与b 的夹角为3p ，(3,1),1a b =-= ，则2a b -=．A B C D D 1C 1B 1A 1MN15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则，则2m a += ．16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的左、右焦点，过左焦点1F 且斜率为157的直线与C在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．分． 17．（本小题满分12分）分）新高考取消文理科，实行“3+3”模式，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人，并把调查结果制成下表：调查结果制成下表：年龄（岁）年龄（岁）[15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75) 频数频数 5 15 10 10 5 5 了解了解4 12 6 5 2 1 （1）把年龄在[15, 45)称为中青年，称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，称为中老年，称为中老年，请根据上表完成请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考了解新高考 不了解新高考不了解新高考总计总计 中青年中青年中老年中老年 总计总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++． P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.841 6.635 10.828 （2）若从年龄在[55, [55, 65)65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 18．（本小题满分12分）分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ¹=且137,,a a a 成等比数列．成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；的通项公式； （2）求数列11n na a +ìüíýîþ的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）分） 如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ppÐ=Ð=，平面CDE ^平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DEEF BD ===．（1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．所成角的余弦值．ABCDE FM20．（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--ÎR ．（1）讨论函数()f x 的极值；的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+¥上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）分） 已知椭圆2222:1(0)xyC a b a b+=>>的短轴长为23，离心率12e =，其右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程；的方程；（2）过F 作夹角为4p 的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求PQMN的取值范围．的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）分）在平面直角坐标系中，曲线122cos :2sin x C y a a =+ìí=î（a 为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin 13C p r q æö-=ç÷èø． （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；的直角坐标方程；（2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．的直角坐标．23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知()211f x x x =++-． （1）求不等式()9f x ≤的解集；的解集；（2）设()9124g x x x =-+--，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，并根据图象写出不等式()()f x g x ≤的解集．的解集．2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）参考答案所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B CDBAAACAC DB13 160-14 1315 0 16 2或43了解新高考了解新高考不了解新高考不了解新高考总计总计 中青年中青年 22 8 30 中老年中老年 8 12 20 17(1) 总计总计 30 20 50 250(221288)302020305.56 3.841K ´´-´=´´´»>所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．与年龄（中青年、中老年）有关联．X0 1 2 17(2) P110353101336()012105105E X =´+´+´=18 (1) 1n a n =+ (2) 2(2)n nT n =+19 (1) 设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．易证得平面//OMD 平面CEF ． 故//MD 平面CEF(2) 10420 (1) ①当0≤m 时，没有极值；时，没有极值；②当0m >时，极小值1111ln 222f m m m æö=+-ç÷èø，无极大值．无极大值．(2) 存在1≥m ，使得不等式，使得不等式111()x f x xe->-在(1,)+¥上恒成立．上恒成立．此时m 的最小值是1．21 (1) 22143x y +=(2) 499749974848,éù-+êúëû 22 (1)221:(2)4C x y -+=，2:320C x y -+= (2) PQ 最小值为31-，此时(23,1)P - 23 (1) {|33}≤≤x x -(2) {|12}≤≤x x -1．答案：B 解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12}A x x x x x x x x =--=-+=-≤≤≤≤，{|21}B x x =-<≤，所以{|22}A B x x =-< ≤．2．答案：C 解析：2i 2i 2i 2,21i 1i 1i 2z z =\====--- ，公式：11121222,z z z z z z z z ×=×=．3．答案：D 解析：因为70412212p»，故选D ． 4．答案：B 解析：当0a ≤时，1()f x ax x =+在(2,)+¥上单调递减，当0a >时，1()f x ax x=+在10,a æöç÷èø上单调递减，在1,a æö+¥ç÷èø上单调递增，所以12a ≤，即14a ≥．5．答案：A 解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=´-=，故错误．当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=ìí-=î有无穷多解，④正确．无穷多解，④正确． 6．答案：A 解析：15445511551,1log 5log 2,log 2log 522a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．答案：A 解析：234cos 12sin ,sin 255CC C =-=-\=；1,42a c ==，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b æö-+=ç÷èø，5b =，114sin 152225ABC S ab C \==´´´=△． 8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21tt =-，作出函数2ty =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5´+´-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍．倍．9．答案：A 解析：因为当[0,2]x Îp 时，2555x p p pw +wp +≤≤，由()f x 在[0,2]p 有且仅有5个零点．则265x pp w +<p 5≤，解得1229510w éöÎ÷êëø，． 10．答案：C 解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ¹，由24x y =，得2x y ¢=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =，所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ì=-ï=-íï=-î，得12123x t t y t t =+ìí==-î，22121212222AB t t t t k t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=， 则216480k D =-=，解得3k =±，当3k =时，243120x x -+=，解得23x =，故(23,3)A , 同理可得(23,3)B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 11．答案：D 解析：a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以33323323a ba b a ba b++=+×=≥，故34a b+≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313a ba bca ba ba b+++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．答案：B 解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM并延长，交BC 于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则23BP BF GM FG ==， 12,233BP AQ BP \===，连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V--æöæö=+=´´´+´´´=ç÷ç÷èøèø， 点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=\=．ABC D D 1C 1B 1A 1FPQ HM NABCD 1C 1B 1A 1P QHDGE13．答案：160- 解析：612x x æö-ç÷èø的展开式中常数项为33361(2)160C x x æö××-=-ç÷èø．14．答案：13 解析：2,1a b == ，cos13a b a bp ×=×= ，所以222244164113a b a a b b -=-×+=-+= ，所以213a b -=．15．答案：0 解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ¢¢=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-¢=+=+=-=，当(0,1)x Î时，()0,()g x g x ¢<单调递减，当(1,)x Î+¥时，()0,()g x g x ¢>单调递增，单调递增，故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=．16．答案：2或43 解析：设直线倾斜角为a ，则157tan ,cos 78a a ==．P 在第一象限，在第一象限， 12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F =，则11212,22F P F F c F P c a ===-，由余弦定理得222244(22)788c c x a c +--=，整理得23840e e -+=，解得2e =或23e =（舍去）． 若212F P F F =，则21212,22F P F F c F P c a ===+，由余弦定理得2224(22)478()8c c a c c c a ++-=+，整理得2340e e -+=，解得43e =或1e =-（舍去）． PF 2F 1OPF 2F 1O17．解析：（1）2×2列联表如图所示，列联表如图所示，了解新高考了解新高考不了解新高考不了解新高考总计总计 中青年中青年 22 8 30 中老年中老年 8 12 20 总计总计30 20 50 …………………………………………………………3分250(221288) 5.56 3.84130202030K ´´-´=»>´´´，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分（2）年龄在[55, [55, 65)65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2， 则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X CCC ==========．………………………9分所以X 的分布列为的分布列为X 0 1 2 P11035 3101336()012105105E X =´+´+´=．……………………………………………………………………12分18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=ìí+=+î ，即1212372a d d a d +=ìí=î，…………………………3分又因为0d ¹，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分（2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分所以11111111233412222(2)n n T n n n n æöæöæö=-+-++-=-=ç÷ç÷ç÷++++èøèøèø ．…………………………12分19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD Ë平面CEF ，EF Ì平面CEF ，所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM Ë平面CEF ，CE Ì平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD Ì平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分 （2）因为DE DC ^，平面CDE ^平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =Ì平面CDE ，所以ED ^平面ABCD ．连接OF ，则EF OD，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ，从而OF ^平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，则(3,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),(3,0,1),(0,1,1)EF AF BF ==-=-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z = ，则030n EF y n AF x z ì×==ïí×=-+=ïî，取(1,0,3)n =，…………8分则6cos ,4n BF n BF n BF×==×，设直线BF 与平面AEF 所成角为q ， 则10cos sin ,4n BF q ==，所以直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值为104． ………………………………………………12分20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-¢>=-+=，…………………………………………1分①当0≤m 时，21()0mx f x x-¢=<，所以()f x 在(0,)+¥上单调递减，没有极值；………………3分②当0m >时，令21()0mx f x x -¢==，得1x m=， A BCD E F Mxy z O当10,x m æöÎç÷èø时，()0,()f x f x ¢<单调递减，当1,x m æöÎ+¥ç÷èø时，()0,()f x f x ¢>单调递增，单调递增， 故()f x 在1x m =处取得极小值1111ln 222f m m m æö=+-ç÷èø，无极大值．…………………………5分（2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe ----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号，时取等号，所以当(1,)x Î+¥时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+¥上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；恒成立；所以若要不等式111()x f x x e->-在(1,)+¥上恒成立，只能0m >．当01m <<时，11m >，由（1）知，()f x 在11,m æöç÷èø上单调递减，上单调递减， 所以1(1)0f f m æö<=ç÷èø，不满足题意．……………………………………………………………………8分当1≥m 时，设21111()(1)ln 2x F x m x x x e -=---+，因为1,1≥m x >，所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e---><<-<-<，32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x ex x x x---+-+¢=-++->-++-==>，所以()F x 在(1,)+¥上单调递增，又(1)0F =，所以当(1,)x Î+¥时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，恒成立，故存在1≥m ，使得不等式111()x f x xe->-在(1,)+¥上恒成立．此时m 的最小值是1．…………12分21．解析：（1）由223b =，得3b =，又由22222214c a b e a a -===，得2234a b =，则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分（2）由（1）知(1,0)F ，①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1k ¹±，由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-ìÞ+-+-=í+-=î，……………………………………5分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==D =+>++，…………6分则2221212212(1)1()434k PQ k x x x x k +=+×+-=+，由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k+-， 则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +æö+×ç÷+-èø==+++æö+×ç÷-èø，……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQ k k k k k k MNkk k k++++++=×==+++++， 令87t k =+，则78t k -=，当0t =时，78k =-，78PQ MN =， 当0t ¹时，22724322432197878722t kt k t t-æö+ç÷+èø==+-+， 若0t >，则197797722≥t t +--，若0t <，则197797722≤t t +--- 所以218712432977977≤≤k k ++---，即29778797748243248≤≤k k -++-+，所以499749974848≤≤PQ MN -+，且87PQ MN ¹．………………………………………………10分②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-，则2242,37b PQ MN a ===，此时84997499774848,PQ MN éù-+=Îêúëû． 若设2l 的方程为1y x =-，则74997499784848,PQ MN éù-+=Îêúëû， 综上可知，PQMN 的取值范围是499749974848,éù-+êúëû．……………………………………………12分 22．解析：（1）由122cos :2sin x C y a a=+ìí=î（a 为参数），得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=；由sin 13p r qæö-=ç÷èø，得13sin cos 122r q r q -=，即3cos sin 20r q r q -+=，又由cos ,sin x y r q r q ==，得曲线2:320C x y -+=．…………………………………………5分 （2）由题意，可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )a a +，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d a 的最小值，的最小值，23cos 2sin 232()2cos 3126d a a p aa -++æö==+++ç÷èø．………………………………8分当且仅当52,6Z k k p a p =+Î时，()d a 取得最小值，最小值为31-，此时P 的直角坐标为(23,1)-．…………………………………………………………………………10分23．解析：（1）3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x xx x x ìïïï=++-=+-<<íïï--ïî，…………………………………………1分 当1≥x 时，39≤x ，得13≤≤x ；………………………………………………………………………2分当112x -<<时，29≤x +，解得7≤x ，故112x -<<；…………………………………………3分 当12≤x -时，39≤x -，解得3≥x -，故132≤≤x --．……………………………………………4分 综上，原不等式的解集为{|33}≤≤x x -．………………………………………………………………5分（2）36,1()91244,12312,2≤≥x x g x x x x x x x +-ìï=-+--=+-<<íï-+î，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，由图可知，不等式()()f x g x ≤的解集为{|12}≤≤x x -．……………………………………………10分654321224y = g (x )y = f (x )B (2,6)A (-1,3)O2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|22}x x -<≤ C ．{|21}x x -<≤ D ．{|22}x x -≤≤1．答案：B 解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12},{|21}A x x x x x x x x B x x =--=-+=-=-<≤≤≤≤≤， 所以{|22}A B x x =-< ≤． 2．i 是虚数单位，2i 1iz =-，则z =（ ）A ．1 B ．2 C ．2D ．222．答案：C 解析：2i 2i 2i 2,21i1i1i2z z =\====--- ，公式：11121222,z z z z z z z z ×=×=．3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（ ） A ．12pB ．3pC ．2pD ．1p3．答案：D 解析：因为70412212p »，故选D ．4．函数1()f x ax x=+在(2,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是（的取值范围是（ ）A ．1,4æö+¥ç÷èøB ．1,4éö+¥÷êëøC ．[1,)+¥D ．1,4æù-¥çúèû4．答案：B 解析：当0a ≤时，1()f x ax x =+在(2,)+¥上单调递减，当0a >时，1()f x ax x =+在10,a æöç÷èø上单调递减，在1,a æö+¥ç÷èø上单调递增，所以12a ≤，即14a ≥． 5．下列命题中是真命题的是（．下列命题中是真命题的是（ ）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件”的充分不必要条件 ；②命题“0x ">，都有sin 1x ≤”的否定是“00x $>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a -+=ìí-=î有无穷多解．有无穷多解．A ．①②④．①②④B ．③④．③④C ．②③．②③D ．①③④．①③④5．答案：A 解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=´-=，故错误．，故错误． 当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=ìí-=î有无穷多解，④正确．解，④正确． 6．已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．答案：A 解析：105445511551,1log 5log 2,log 2log 522a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．在ABC △中，25sin ,1,4225C BC AB ===，则ABC △的面积为（的面积为（ ） A ．2 B ．32C ．4 D ．57．答案：A 解析：234cos 12sin ,sin 255CC C =-=-\=；1,42a c ==，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b æö-+=ç÷èø，5b =，114sin 152225ABC S ab C \==´´´=△． 8．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.352 2.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（正视图面积的（ ）A ．1.5倍B ．2倍C ．2.5倍D ．3.5倍8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21tt =-，作出函数2ty =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5´+´-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍．倍．9．设函数()sin (0)5f x x p w w æö=+>ç÷èø，若()f x 在[0,2]p 上有且仅有5个零点，则w 的取值范围为的取值范围为（ ） A ．1229,510éö÷êëøB ．1229,510æùçúèûC ．1229,510æöç÷èøD ．1229,510éùêúëû9．答案：A 解析：因为当[0,2]x Îp 时，2555x p p p w +wp +≤≤，由()f x 在[0,2]p 有且仅有5个零点．个零点．则265x pp w +<p 5≤，解得1229510w éöÎ÷êëø，． 10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（所得弦长为（ ）A ．3B ．2 C ．4 D ．2310．答案：C 解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ¹，由24x y =，得2x y ¢=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =，所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ì=-ï=-íï=-î，得12123x t t y t t =+ìí==-î，22121212222ABt t t t k t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=， 则216480k D =-=，解得3k =±，当3k =时，243120x x -+=，解得23x =，故(23,3)A , 同理可得(23,3)B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4．11．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-11．答案：D 解析：a 与b 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以33323323a bababa b++=+×=≥，故34a b+≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313aba bca b a ba b +++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（所在的多面体的体积之比是（ ） A ．23B ．12C ．25D ．13ABC D D 1C 1B 1A 1MN12．答案：B 解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM 并延长，交BC于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则212,,2333BP BFBP AQ BP GM FG ==\===，连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，即为截面， 取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积所在的多面体的体积1111111111*********D DQ C CE C D H EQP V V V --æöæö=+=´´´+´´´=ç÷ç÷èøèø， 点1A 所在的多面体的体积1221211,332VV V =-=\=．ABC D D1C1B 1A 1FPQ HM NABCD1C1B 1A 1P QHDGE二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．分．把答案填在题中的横线上．13．612x x æö-ç÷èø的展开式中常数项为的展开式中常数项为 ． 13．答案：160-解析：612x x æö-ç÷èø的展开式中常数项为33361(2)160C x x æö××-=-ç÷èø． 14．已知平面向量a 与b 的夹角为3p ，(3,1),1a b =-= ，则2a b -=．14．答案：13解析：2,1a b ==，cos 13a b a b p×=×= ，所以222244164113a b a a b b -=-×+=-+= ，所以213a b -=．15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则，则 2m a += ．15．答案：0 解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ¢¢=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-¢=+=+=-=，当(0,1)x Î时，()0,()g x g x ¢<单调递减，当(1,)x Î+¥时，()0,()g x g x ¢>单调递增，单调递增，故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=． 16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过左焦点1F 且斜率为157的直线与C 在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ． 16．答案：2或43解析：设直线倾斜角为a ，则157tan ,cos 78a a ==．P 在第一象限，在第一象限，12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F=，则11212,22F P F F c F P c a===-，由余弦定理得222244(22)788c c x a c +--=，整理得23840e e -+=，解得2e =或23e =（舍去）． 若212F P F F =，则21212,22F P F F c F P c a ===+，由余弦定理得2224(22)478()8c c a c c c a ++-=+，整理得2340e e -+=，解得43e =或1e =-（舍去）． PF 2F 1OPF 2F 1O三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．分． 17．（本小题满分12分）分）新高考取消文理科，实行“3+3”模式，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人，并把调查结果制成下表：调查结果制成下表：年龄（岁）年龄（岁）[15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75) 频数频数 5 15 10 10 5 5 了解了解4 12 6 5 2 1 （1）把年龄在[15, 45)称为中青年，称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，称为中老年，称为中老年，请根据上表完成请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考了解新高考不了解新高考不了解新高考总计总计 中青年中青年中老年中老年 总计总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.841 6.635 10.828 （2）若从年龄在[55, [55, 65)65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 17．解析：（1）2×2列联表如图所示，列联表如图所示，了解新高考了解新高考不了解新高考不了解新高考总计总计 中青年中青年 22 8 30 中老年中老年 8 12 20 总计总计30 20 50 …………………………………………………………3分250(221288) 5.56 3.84130202030K ´´-´=»>´´´，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分（2）年龄在[55, [55, 65)65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========．………………………9分所以X 的分布列为的分布列为X 0 1 2 P110 35 3101336()012105105E X =´+´+´=．……………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ¹=且137,,a a a 成等比数列．成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；的通项公式；（2）求数列11n n a a +ìüíýîþ的前n 项和n T ．18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=ìí+=+î ，即1212372a d d a d +=ìí=î，…………………………3分又因为0d ¹，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分（2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分所以11111111233412222(2)n n T n n n n æöæöæö=-+-++-=-=ç÷ç÷ç÷++++èøèøèø ．…………………………12分19．（本小题满分12分）分） 如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ppÐ=Ð=，平面CDE ^平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DE EF BD ===． （1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．所成角的余弦值．ABCDE FM19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD Ë平面CEF ，EF Ì平面CEF ， 所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM Ë平面CEF ，CE Ì平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD Ì平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分 （2）因为DE DC ^，平面CDE ^平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =Ì平面CDE ，所以ED ^平面ABCD ．连接OF ，则EF OD ，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ， 从而OF ^平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分 以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，则(3,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),(3,0,1),(0,1,1)EF AF BF ==-=-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z = ，则030n EF y n AF x z ì×==ïí×=-+=ïî，取(1,0,3)n = ，…………8分则6cos ,4n BF n BF n BF×==× ， 所以直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值为64．……………………………………………………12分 A BC DEFM x y z O20．（本小题满分12分）分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--ÎR ． （1）讨论函数()f x 的极值；的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e ->-在(1,)+¥上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．不存在，请说明理由． 20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-¢>=-+=，…………………………………………1分 ①当0≤m 时，21()0mx f x x-¢=<，所以()f x 在(0,)+¥上单调递减，没有极值；………………3分 ②当0m >时，令21()0mx f x x -¢==，得1x m =， 当10,x m æöÎç÷èø时，()0,()f x f x ¢<单调递减，当1,x m æöÎ+¥ç÷èø时，()0,()f x f x ¢>单调递增，单调递增， 故()f x 在1x m =处取得极小值1111ln 222f m m m æö=+-ç÷èø，无极大值．…………………………5分 （2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号，时取等号， 所以当(1,)x Î+¥时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+¥上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；恒成立；。

绝密★启用前2020届普通高等学校招生全国统一考试内参模拟测卷（五）（全国Ⅲ卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}31x A x =>，{}1,0,1,2B =-，则A B I 等于( ) A ．{}0,1,2B ．{}1,0,1-C ．{}1,2D ．{}1,0-答案：C 由指数函数性质确定集合A ，然后根据交集定义计算．解： 由题意{}0A x x =>，∴{}1,2A B =I .故选：C ．点评：本题考查集合的交集运算，考查指数函数性质，掌握指数函数的性质是解题关键．2．复数z 满足()()325z i --=（i 为虚数单位），则z =( )A ．5i +B ．5i -C ．15i +D ．15i - 答案：A根据复数的除法运算和加法运算计算．解： 532352z i i i=+=++=+-. 故选：A ．点评：本题考查复数的除法和加法运算，属于基础题．3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24S =，5316S S -=，则8S 等于( )A ．50B ．56C ．60D ．64答案：D用首项1a 和公差d 表示出已知条件并解出，再由等差数列前n 项和公式计算． 解：设{}n a 的公差为d ，则124a d +=，5312716S S a d -=+=，所以11a =，2d =，()818818642S a d -=+=. 故选：D ．点评： 本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查等差数列的基本量运算，属于基础题．4．若函数()2xy f x =-是奇函数，定义域为R ，()11f =-，则()1f -的值是( ) A ．72- B ．134- C ．72 D ．134答案：C根据奇函数定义求解．解：故选：C ．由题意，()()112123f f ---=-+=，()712f -=. 点评：本题考查奇函数的定义，掌握奇函数概念是解题基础．5．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．83B ．3C ．12D ．143答案：D 由三视图还原出原几何体，再根据体积公式计算．解：由三视图知原几何体是下面一个直四棱柱，上面一个四棱锥的组合体，尺寸见三视图，体积为111(24)4(24)2232V =⨯++⨯⨯+=． 故选：D ．点评：本题考查三视图，考查棱柱棱锥的体积公式，解题关键是由三视图还原出原几何体．6．已知()2,1M ，()3,2N ，点P 在圆222x y +=上，则PMN V 的面积的最大值是( )A ．12B ．1C ．32D ．2答案：C求出MN 的长度，求出直线MN 方程，再求得圆心到直线MN 的距离d ，此距离加上圆半径即得圆上的点到直线MN 距离的最大值，从而可得PMN V 的面积的最大值． 解：MN =MN 方程为10x y --=，原点O 到直线MN 距离为d ==，圆O ，圆上的点到直线MN +=，∴PMN V 的面积的最大值是13222=. 故选：C ．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查转化与化归思想．求三角形面积最大值，实质上就是求圆上的点到直线MN 距离的最大值，而这又转化为求圆心到直线的距离．7．函数()222x x y x -=+的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．答案：A首先确定函数的奇偶性，排除两个选项，然后函数值与2x 比较大小后可得正确选项． 解：记2()(22)x x f x y x -==+，则2()(22)()x x f x x f x --=+=，()f x 是偶函数，排除BC ， 又222222--+≥⋅=x x x x ，∴22()(22)2x x f x x x -=+≥，因此排除D ， 故选：A ．点评：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性，研究特殊的函数值，函数值的大小、正负，变化趋势等等，结合排除法得出正确选项．8．执行如图所示的程序框图，若输入18n =，则输出的S 值是( )A ．919B ．1019C ．37D ．1021答案：A根据程序框图，得出程序的数学功能，由数列的裂项相消法求得数列和，从而得出结论． 解： 由题意111111912335171919S ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪⎝⎭. 故选：A ．点评：本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，确定程序功能，结合其它数学知识得出结论．9．在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，点E 在CD 上，1DE =，则AC BE ⋅=u u u r u u u r ( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2 答案：B选取,AB AD u u u r u u u r为基底，把其它向量用基底表示后计算数量积即可．解： 23BE BA AD DE AB AD =++=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，29AB =uuu r ，24AD =u u u r ，32cos603AB AD ⋅=⨯⨯︒=u u u r u u u r ，22221()()1333AC BE AB AD AB AD AB AB AD AD ∴⋅=+⋅-+=-+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：B ．点评：本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取,AB AD u u u r u u u r 为基底，用基底表示其它向量．10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点在直线y x =上，且双曲线的一条渐近线与直线l ：5y x =+垂直，则该双曲线的方程为( ) A ．221115x y -= B ．221116x y -= C ．22165x y -= D ．22156x y -= 答案：C由直线垂直可得渐近线的斜率，即得b a，又由焦点在已知直线上得焦点坐标，即得c ，结合222+=a b c 可解得,a b ，得双曲线方程．解： 设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的半焦距为c .因为直线l：55y x =-+的斜率为5-，且双曲线的一条渐近线与直线l：55y x =-+垂直，所以双曲线的一=所以6b a =.因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点在直线y x =-上，所以c =联立222,b a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩解得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以该双曲线的方程为22165x y -=. 故选：C ．点评：本题考查求双曲线的标准方程，根据已知条件直接求得,a b 即可．11，侧面积为，则这个圆锥的外接球体积为( )A． BC．D答案：A 由圆锥侧面积求得圆锥底面半径，从而得圆锥的高，由圆锥的轴截面是其外接球大圆的内接三角形可求得球半径，可得求体积．解：设圆锥底面半径为rr =，r =h ==，∴圆锥的轴截面是等腰直角三角形，直角三角形的斜边就。