2020年全国100所名校高考模拟金典卷理科数学(十)试题

2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷理科数学试卷（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，[]{}2|log (2)(1)B x y x x ==-+，则A B =I （ ） A.[-2,2) B.(-1,1) C.(-1,1] D.(-1,2) 2.复数21iz i=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242, 16a S ==，则5a =（ ） A.10 B .12 C .13 D .144.给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件;②定义在[a, b]上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.35.已知点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为（ ）A.12D.1 6.函数2()sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.7.3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ）A.2ln2B.ln2C.2D.18.执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内可以填入的条件是（ ） A.4?k > B .5?k > C.6?k > D.7?k >9.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察而画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图所示，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（ ）A.13 B .110C.121D.125210.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ） A.2对B.3对C.4对D.5对11.已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ） A.C.12.已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. 设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知A B C ，，为圆O 上三点，且2CO BA BC =-u u u r u u u r u u u r ，则BA BC ⋅=u u u r u u u r_____________.14.已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示,其中()01f =，5||2MN =，则点M 的坐标为_____________.15.如图，点A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，右焦点为()2,0F ，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则双曲线C 的方程为____________.16.已知在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，4BC CD BC CD AB AD ⊥====，，，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，sin ()sin sin a A a b B c C ++=，ABC △的面积S abc =. （1）求角C 的大小；（2）求ABC △周长的取值范围.18.如图，在多面体ABCGDEF 中，AB AC AD ，，两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC DG EF ∥∥，且12AC EF DG ===，.（1）证明：CF ⊥平面BDG . （2）求二面角F BC A --的余弦值.19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推岀两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次，每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次，每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，如下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示准备购买的2台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更划算？20.已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点.（1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N L L ，求证：[]ln (2)12n nn T +<-. （二）选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ=+. （1）写出曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若P Q ，分别为曲线12C C ，上的动点，求PQ 的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2||36|f x x x =-++. （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值.1.答案 B命题意图 本题考查解不等式与集合的运算. 解题分析 不等式201x x +≤-，等价于()()210x x +-≤且10x -≠，解得21x -≤<，即集合{}|21A x x =-<„ ，函数2log [(2)(1)]y x x =-+的定义域为(2)(1)0x x -+>，解得12x -<<，即集合{|12}B x x =-<<，所以()1,1A B =-I .2答案B命题意图 本题考查复数的运算及几何意义. 解题分析 由222(1)111i i i z i i i +===-+--，知对应点的坐标为()1,1-，所以对应点在第二象限. 3.答案D命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.解题分 由题意得211412246164a a d a S a d d =+=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩，则524414a =-+⨯=.4.答案 C命题意图 本题考查命题及充分、必要条件. 解题分析 对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =但是当tan 1x =时，,4x k k ππ=+∈Z ，所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，所以①不正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域为[],a b ，所以5b =， 所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确； 对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”，所以③是错误的； 故错误说法的个数为2. 5.答案 C命题意图 本题考查线性规划及点到直线的距离公式.解题分析 结合不等式，绘制可行域，如图.由0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2C ，点A 的位置如图所示，计算A 点到该区域的最小值，即计算点A 到直线260x y +-=的距离，所以min ||AB ==6.答案 A命题意图 本题考查函数的奇偶性与单调性，函数导数的应用.解题分析()f x 为偶函数，排除选项B ；2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-， 则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 所以当0x >时，()()0f x xg x =>，且()f x 单调递增，故选A 项. 7.答案 A命题意图 本题考查二项式定理及定积分.解题分析根据二项式3ax ⎛ ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4111111d d ln 2ln 2ax x x xx ===⎰⎰.8.答案 B命题意图 本题考查程序框图.解题分析 模拟执行如图所示的程序框图如下：1,1k S ==； 2,4k S ==； 3,11k S ==； 4,26k S ==； 5,57k S ==；6,120k S ==，此时满足条件5k >，输出120S =. 所以判断框内可以填入的条件是5?k >. 9.答案 C命题意图 本题考查古典概型.解题分析 现从这十个数中随机抽取4个数,基本事件总数140n C =，能成为两组包含的基本事件个数52m C =，则能成为两组的概率25410121C m P n C ===.10.答案 C命题意图 本题考查三视图，线面垂直和面面垂直的判定.解题分析 该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ，作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ，PO CD ⊥，又AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，同理可证平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知PO AO OD ==，所以AP PD ⊥，又AP CD ⊥，所以AP ⊥平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.11.答案 C命题意图 本题考查抛物线方程及过焦点的弦.解题分析 由题意得22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又直线l 经过C 的焦点，则22b p-=，b p ∴=-. 由此解得2p =，所以抛物线方程为24y x =.设()00,M x y ，则204y x =， ()()()2222200000||444212MN x y x x x ∴=-+=-+=-+，故当02x =时，||MN取得最小值.12.答案 A命题意图 本题考查数列的综合应用. 解题分析 当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列， 11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭， 依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.13.答案0命题意图 本题考查平面向量的数量积.解题分析 11()22CO BA BC CA =-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴圆心O 为线段AC 的中点，因而90ABC ∠=︒，故0BA BC ⋅=u u u r u u u r .14.答案 ()1,2-命题意图 本题考查三角函数的图象及解析式.解题分析 函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示.(0)2sin 1f ϕ==Q ，56πϕ=Q .又5||2MN ==3πω∴=，即函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图象得5362x πππ+=，解得1x =-，故点M 的坐标为()1,2-. 五步导解 解↔答15.答案 221x y -=命题意图 本题考查双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程.解题分析 由题意可得(),0A a ，又A 为线段OB 的中点，所以(2,0)B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设()2,3P a b -，由题意和结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -，即||2AP a =，即2a =a b =，又c =222a b c +=，得1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=.16.答案 36π命题意图 本题考查多面体与球.解题分析 如图取BD 的中点E ，连接AE CE ，，则AE BD CE BD ⊥⊥，. Q 平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，AE ∴⊥平面BCD .又CEC Q 平面BCD ，AE CE ∴⊥.设ABD △的外接圆的圆心为O ，半径为r .AB AD ∴=， ∴圆心O 在AE 所在的直线上，22222()r BE OE BE r AE ∴=+=+-. Q在Rt BCD △中，BD =BE EC ∴==在Rt ABE △中，2AE ，()2282r r ∴=+-，解得，3,1r OE =∴=. Q在Rt OEC △中，3OC ==，3OA OB OC OD ∴====，∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心，且球的半径3R =，∴球的体积34363V R ππ==.17.命题意图 本题考查正、余弦定理及三角恒等变换.解题分析（1）由sin ()sin sin a A a b B c C ++=及正弦定理得222a b ab c ++=，又由余弦定理得1cos 2C =-，23C π∴=. （2）由1sin 2S abc ab C ==，可知2sin c C =，2sin ,2sin a A b B ∴==，ABC △的周长为1(sin sin sin )2a b c A B C ++=++1sin sin 23A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11sin sin 22A A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 22A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1sin 23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 3A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，ABC ∴△周长的取值范围为⎝⎦.18.命题意图 本题考查空间点线、面关系及线面垂直、二面角.解题分析（1）证明：因为AB AC AD ，，两两垂直，AC DG AB DE ∥，∥， 所以DG AD DG DE ⊥⊥，，所以DG ⊥平面ABED ，因为AE ⊂平面ABED ，所以DG AE ⊥，因为四边形ABED 为正方形，所以AE BD ⊥，因为BD DG D =I ，所以AE ⊥平面BDG ，因为AC EF ∥所以四边形AEFC 为平行四边形，所以AE CF ∥，所以CF ⊥平面BDG .（2）由（1）知DE DG DA ，，互相垂直，故以D 为坐标原点，以DE DG DA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,1,2),(2,1,0)D A B C F ， 所以(0,1,2),(2,1,0)FB CB =-=-u u u r u u u r.设(),,m a b c =u r 为平面BCF 的法向量，则2020m FB b c m CB a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ， 令1a =，则21b c ==，，所以()1,2,1m =u r.又因为AD ⊥平面ABC ，所以()0,0,2DA =u u u r为平面ABC 的一个法向量，所以()cos ,m DA ==u r u u u r 由图可知二面角F BC A --是钝角，所以二面角F BC A --的余弦值为. 19.命题意图 本题考查离散型随机变量的期望和方差以及方案的确定. 解题分析 （1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6111(0)1010100P X ==⨯=，111(1)210525P X ==⨯⨯=，11213(2)25551025P X ==⨯+⨯⨯=， 131211(3)2210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22317(4)25510525P X ==⨯+⨯⨯=， 236(5)251025P X ==⨯⨯=，339(6)1010100P X ==⨯=，X ∴的分布列为（2）所选延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为()117117697000900011000130001500010720100502525100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为()267691000011000120001042010025100E Y =⨯+⨯+⨯=（元）()()12E Y E Y >Q ，∴该医院选择延保方案二较划算.20.命题意图 本题考查椭圆有关的定值、定点问题.解题分析由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=， 于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩， 从而1212423x x y y +=++=，故211,,332CM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线l 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222210m y my ++-=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 所以()()()()()210201************OA QB x x x x y y my my x my my x y y =⋅=--+=++-++++u u u r u u u r ()()()()()2222121200000022121121112122m m y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+=++ ()202002231212x m x x m --+-++， 由023112x --=，得054x =， 故此时点57,0,416Q QA QB ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ； ②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值. 21.命题意图 本题考查导数综合.解题分析 （1）()f x 的定义域为()1,-+∞，()2ln(1)2f x x x '=+-.设()()212g x ln x x =+-. ∵2()1x g x x -'=+，∴当()1,0x ∈-时，()0g x '>；当,()0x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在()1,0-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 在0x =处取得最大值.又∵()00g =，∴对任意的1,()x ∈-+∞，()()00g x g ≤=恒成立，即对任意的1,()x ∈-+∞，都有()f x ' ()2120ln x x =+-≤恒成立，故()f x 在定义域()1,-+∞上是减函数.（2）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，∴()0f n <，即22(1)ln(1)2n n n n ++<+，两边同除以22(1)n +得ln(1)121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++， 从而1231112334521222341234121n n n n n n n T a a a a n n n +++⎛⎫⎛⎫=⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⋅L L L ， 所以[]21(2)ln (2)ln 2ln(2)ln(1)(1)ln 22(1)n n n n T n n n n +⎡⎤++<=+-+-+⎢⎥+⎣⎦. ① 下面证2ln(2)ln(1)(1)ln 2102n n n n +-+-++-<. 记()2ln(2)ln(1)(1)ln 212x h x x x x =+-+-++-，[1,)x ∈+∞， ∴2211111()ln 2ln 2ln 2221232223x h x x x x x x x'=--+=-+=-+++++++. ∵2y x x=+在[2,)+∞上单调递减，而1111(2)ln 2(23ln 2)(2ln8)06233h '=-+=-=-<， ∴当[2,)x ∈+∞时，()0h x '<恒成立，∴()h x 在[2,)+∞上单调递减，即[2,)x ∈+∞，()(2)2ln 4ln33ln 2ln 2ln30h x h =--=-<„，∴当2n …时，()0h n <.∵19(1)2ln3ln 22ln 2ln 028h =---=-， ∴当*n ∈N 时，()0h n <，即2ln(2)ln(1)(1)ln 212n n n n +-+-+<-. ② 综合①②可得，[]ln (2)12n n n T +<-. 22.命题意图 本题考查参数方程、极坐标方程的应用及两点间距离的求法.解题分析 （1）曲线1C 的普通方程为22149x y +=， 曲线2C 的直角坐标方程为2245x y y +=+，即22(2)9x y +-=.（2）设P 点的坐标为(2cos ,3sin )θθ.2||333PQ PC +„，当sin 1θ=-时，max ||538PQ =+=.23.命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式.解题分析 （1）44,2()|2||36|28,22,44,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-⎨⎪+>⎩剟当2x <-时，4434x x -≥-+，即8x ≤-；当22x -≤≤时，2834x x +≥-+，即45x ≥-，可得425x -≤≤； 当2x >时，4434x x +≥-+，即0x ≥，可得2x >， ∴不等式的解集为4|8 5x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或 . （2）根据函数44,2()28,22,44,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值(2)4f -=，可知4a =， 8,0,0m n m n ∴+=>>,11111111()11(22)8882n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=⋅++=⋅++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…> 当且仅当n m m n =，即4m n ==时，取“=”，∴11m n +的最小值为12.。

绝密 ★ 启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b>”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ） A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．25．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5B ．34C ．41D ．526． ()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππU 大致的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ）A ．14B ．15C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦L =（ ） A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．已知函数()()e exx af x a =+∈R 在区间[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞ C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B 2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos 2cos 0222x xxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。

【高仿咫卷•理科数学 笫1页（共4页）】2020年普通高等学校招生全国统一考试高仿密卷理科数学注意事项：L 本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号 厦写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条影码粘贴在答勉卡上的曲 定位JL 。

2.选择题的作答：每小题选出答案后•用2B 铅爸把答题卡上对应题目的答案 标号涂浜,写在试晦卷、草稿纭和答题卡上的非答题区域均无殁°3,非选释题的作答:用签字名直报答在卷麴卡上对应的答意区域内。

客在试 场卷、草稿纸和答邈卡上的非答邈.区域均无效。

4.选考题的作冬：先把所选题目的期号在笔超卡上指定的位置用2B 铅笔涂耍.至案写在答题卡上 对应的冬题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答麴区域均无效. 5,考试结束后，请将本试四卷和答题于一并上交，一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的61.已知复数2=~<i 为虚数单位八则|片十2| = £ 1 A.ZB.75D.HH IgGr-DV1卜廿二《衣|2炉一9父+4t0},则AD 《C RB>=A. (1,4)B. (y.4)C. (4J + /I^)D. (1,14-710)2 .已知集合A={3 .已知向量:%。

则“E| =㈤"是口一2川=12。

一加”的 A.充分不必要条件 C,充要条件B.必鬟不充分条件 口既不充分也不必要条件4 .我国古代名著仪孙子算经》中有如卜有趣的问题广今有三女，长女五日一归，中女四日一归•少女三日一归.问三女何n 相会之意思是「一家有三个女儿郴已出嫁.大女儿五天回一次娘家9二女儿四天回一 次娘家，小女儿三天回一次娘家,三个女儿从娘冢同一天走后•至少再隔多少天三人可以再次在娘家相 会？：三人再次在娘家相会■则要隔的天数可以为A. 90 天C. 270 天S.执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为B. 180天B. 2 020 *2 019 2Q21 '2 020n 2 020I I ------- 276.已知等差数列｛。

2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|22}x x -<≤C ．{|21}x x -<≤D ．{|22}x x -≤≤2．i 是虚数单位，2i1iz =-，则z =（ ）A ．1B ．2CD ．3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π4．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．下列命题中是真命题的是（ ）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件 ；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解．A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④6．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>7．在ABC △中，sin 1,2C BC AB ===ABC △的面积为（ ）A ．2B ．32C ．4D8．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.3522.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（ ） A ．1.5倍 B ．2倍 C ．2.5倍D ．3.5倍9．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点， 则ω的取值范围为 （ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ） AB ．2C ．4D．11．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（ ）A ．23B ．12 C ．25D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．14．已知平面向量a 与b 的夹角为3π，1),1a b =-= ，则2a b -=．15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则 2m a += ．16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1FC在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）新高考取消文理科，实行“3+3”模式，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人，并把调查结果制成下表： 年龄（岁） [15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75) 频数 5 15 10 10 5 5 了解4126521（1）把年龄在[15, 45)称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考 不了解新高考 总计中青年 中老年 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（2）若从年龄在[55, 65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 18．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ≠=且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分） 如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ππ∠=∠=，平面CDE ⊥平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DE EF BD ===． （1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．AE20．（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--∈R ． （1）讨论函数()f x 的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为，离心率12e =，其右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程； （2）过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求PQ MN的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin 13C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知()211f x x x =++-． （1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）设()9124g x x x =-+--，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，并根据图象写出不等式()()f x g x ≤的解集．2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）参考答案1．答案：B解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12}A x x x x x x x x=--=-+=-≤≤≤≤，{|21}B x x=-<≤，所以{|22}A B x x=-<≤．2．答案：C 解析：2i2i2i,1i1i1iz z=∴====---，公式：11121222,zzz z z zz z⋅=⋅=．3．答案：D 解析：因为70412212π≈，故选D．4．答案：B 解析：当0a≤时，1()f x axx=+在(2,)+∞上单调递减，当0a>时，1()f x axx=+在⎛⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭2，即14a≥．5．答案：A 解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=，故错误．当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确．6．答案：A解析：105445511551,1log log 2,log 2log 22a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．答案：A解析：234cos 12sin ,sin 255C C C =-=-∴=；1,a c ==由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，5b =，114sin 152225ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△． 8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21t t =-，作出函数2t y =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5⨯+⨯-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍． 9．答案：A 解析：因为当[0,2]x ∈π时，2555x πππω+ωπ+≤≤，由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点．则265x ππω+<π5≤，解得1229510ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，． 10．答案：C解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ≠，由24x y =，得2xy '=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =， 所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩，得12123x t t y t t =+⎧⎨==-⎩，22121212222ABt t t tk t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=， 则216480k ∆=-=，解得k =，当k =2120x -+=，解得x =故A ,同理可得(B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 11．答案：D解析：a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以333a ba b +=+=≥，故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313a b a b ca b a b a b +++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．答案：B 解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM并延长，交BC 于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则23BP BF GM FG ==， 12,233BP AQ BP ∴===，连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V --⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=∴=．13．答案：160- 解析：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为33361(2)160C x x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭． 14 解析：2,1a b == ，cos 13a b a bπ⋅=⋅=，所以222244164113a b a a b b -=-⋅+=-+= ，所以2a b -=15．答案：0解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ''=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-'=+=+=-=，当(0,1)x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=． 16．答案：2或43 解析：设直线倾斜角为α，则7tan cos 8αα==．P 在第一象限， 12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F =，则11212,22F P F F c F P c a ===-，由余弦定理得222244(22)788c c x a c +--=，整理得23840e e -+=，解得2e =或23e =（舍去）．250(221288)5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分（2）年龄在[55, 65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========．………………………9分 所以X 的分布列为13()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………………………12分18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=⎧⎨+=+⎩ ，即1212372a d d a d +=⎧⎨=⎩，…………………………3分 又因为0d ≠，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分 （2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分 所以11111111233412222(2)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．…………………………12分 19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD ⊂平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分 （2）因为DE DC ⊥，平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =⊂平面CDE ，所以ED ⊥平面ABCD ．连接OF ，则EF OD ，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ， 从而OF ⊥平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分 以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),((0,1,1)EF AF BF ===-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n EF y n AF z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取n = ，…………8分则cos ,n BF n BF n BF⋅==⋅BF则cos sin ,n BF θ== ，所以直线BF 与平面AEF ………………………………………………12分 20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-'>=-+=，…………………………………………1分 ①当0≤m 时，21()0mx f x x -'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；………………3分②当0m >时，令21()0mx f x x -'==，得x =，当x⎛∈ ⎝时，()0,()f x f x '<单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0,()f x f x '>单调递增，故()f x 在x=处取得极小值111ln 222f m m =+-，无极大值．…………………………5分 （2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号， 所以当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立； 所以若要不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >． 当01m <<1>，由（1）知，()f x 在⎛ ⎝上单调递减， 所以(1)0f f<=，不满足题意．……………………………………………………………………8分 当1≥m 时，设21111()(1)ln 2x F x m x x x e-=---+， 因为1,1≥m x >，所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e---><<-<-<，32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x e x x x x---+-+'=-++->-++-==>， 所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以当(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，故存在1≥m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立．此时m 的最小值是1．…………12分21．解析：（1）由2b =b =，又由22222214c a b e a a -===，得2234a b =， 则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分（2）由（1）知(1,0)F ，①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1k ≠±， 由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩，……………………………………5分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==∆=+>++，…………6分则2212(1)34k PQ k +==+，由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k +-， 则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭，……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQk k k k k k MN k k k k ++++++=⋅==+++++， 令87t k =+，则78t k -=，当0t =时，78k =-，78PQ MN =， 当0t ≠时，22724322432197878722t k t k t t-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+-+， 若0t >，则1977722t t +--，若0t <，则1977722≤t t+-2872432≤k k ++，即2872432k k ++，≤PQ MN ，且87PQ MN ≠．………………………………………………10分 ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-，则2242,37b PQ MN a ===，此时87PQ MN =∈⎣⎦．若设2l 的方程为1y x =-，则78PQMN =∈⎣⎦， 综上可知，PQ MN的取值范围是⎣⎦．……………………………………………12分22．解析：（1）由122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=；由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 12ρθρθ=cos sin 20θρθ-+=，又由cos ,sin x y ρθρθ==，得曲线220C y -+=．…………………………………………5分 （2）由题意，可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )αα+，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()2cos 16d παα⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．………………………………8分当且仅当52,6Z k k παπ=+∈时，()d α1-， 此时P的直角坐标为(2．…………………………………………………………………………10分23．解析：（1）3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪--⎪⎩，…………………………………………1分当1≥x 时，39≤x ，得13≤≤x ；………………………………………………………………………2分当112x -<<时，29≤x +，解得7≤x ，故112x -<<；…………………………………………3分 当12≤x -时，39≤x -，解得3≥x -，故132≤≤x --．……………………………………………4分综上，原不等式的解集为{|33}≤≤x x -．………………………………………………………………5分（2）36,1()91244,12≤x x g x x x x x +-⎧⎪=-+--=+-<<⎨⎪，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，10分2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|22}x x -<≤C ．{|21}x x -<≤D ．{|22}x x -≤≤1．答案：B解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12},{|21}A x x x x x x x x B x x =--=-+=-=-<≤≤≤≤≤， 所以{|22}A B x x =-< ≤． 2．i 是虚数单位，2i1iz =-，则z =（ ）A ．1B ．2CD ．2．答案：C解析：2i 2i 2i ,1i 1i 1i z z =∴====--- ，公式：11121222,z z z z z z z z ⋅=⋅=． 3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π3．答案：D解析：因为70412212π≈，故选D ． 4．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4．答案：B解析：当0a ≤时，1()f x axx =+在(2,)+∞上单调递减，当0a >时，1()f x ax x =+在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭2，即14a ≥．5．下列命题中是真命题的是（ ）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件 ；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解．A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④5．答案：A解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=，故错误． 当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确．6．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．答案：A解析：105445511551,1log log 2,log 2log 22a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．在ABC △中，sin 1,2C BC AB ===ABC △的面积为（ ）A ．2B ．32C ．4D7．答案：A解析：234cos 12sin ,sin 255C C C =-=-∴=；1,a c ==由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，5b =，114sin 152225ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△． 8．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.352 2.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（ ） A ．1.5倍B ．2倍C ．2.5倍D ．3.5倍8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21t t =-，作出函数2t y =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5⨯+⨯-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍． 9．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为 （ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．答案：A解析：因为当[0,2]x ∈π时，2555x πππω+ωπ+≤≤，由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点． 则265x ππω+<π5≤，解得1229510ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，． 10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ） AB ．2C ．4D．10．答案：C解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ≠，由24x y =，得2xy '=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =， 所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩，得12123x t t y t t =+⎧⎨==-⎩，22121212222ABt t t tk t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=， 则216480k ∆=-=，解得k =，当k =2120x -+=，解得x =故A ,同理可得(B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4．11．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-11．答案：D解析：a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以333a ba b +=+=≥，故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313a b a b ca b a b a b +++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（ ） A ．23B ．12C ．25D ．1312．答案：B解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM 并延长，交BC于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则212,,2333BP BF BP AQ BP GM FG ==∴===， 连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V --⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=∴=．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．13．答案：160-解析：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为33361(2)160C x x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭．14．已知平面向量a 与b的夹角为3π，1),1a b =-= ，则2a b -= ．14解析：2,1a b == ，cos 13a b a bπ⋅=⋅=，所以222244164113a b a a b b -=-⋅+=-+= ，所以2a b -=．15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则 2m a += ．15．答案：0解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ''=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-'=+=+=-=，当(0,1)x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增， 故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=． 16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1FC在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ． 16．答案：2或43解析：设直线倾斜角为α，则7tan cos 8αα==．P 在第一象限， 12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F =，则11212,22F P F F c F P c a ===-，222频数 5 15 10 10 5 5 了解4126521（1）把年龄在[15, 45)称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考不了解新高考总计 中青年中老年 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（2）若从年龄在[55, 65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 17．解析：（1）2×2列联表如图所示，了解新高考不了解新高考总计 中青年 22 8 30 中老年 8 12 20 总计302050…………………………………………………………3分250(221288)5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分 （2）年龄在[55, 65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========．………………………9分 所以X 的分布列为13()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ≠=且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=⎧⎨+=+⎩ ，即1212372a d d a d +=⎧⎨=⎩，…………………………3分 又因为0d ≠，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分 （2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分 所以11111111233412222(2)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．…………………………12分 19．（本小题满分12分） 如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ππ∠=∠=，平面CDE ⊥平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DE EF BD ===． （1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．AE19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ， 所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD ⊂平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分 （2）因为DE DC ⊥，平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =⊂平面CDE ，所以ED ⊥平面ABCD ．连接OF ，则EF OD ，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ， 从而OF ⊥平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分 以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),((0,1,1)EF AF BF ===-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n EF y n AF z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取n = ，…………8分则cos ,n BF n BF n BF⋅==⋅ 所以直线BF 与平面AEF12分20．（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--∈R ． （1）讨论函数()f x 的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由． 20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-'>=-+=，…………………………………………1分 ①当0≤m 时，21()0mx f x x-'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；………………3分 ②当0m >时，令21()0mx f x x -'==，得x =， 当x ⎛∈ ⎝时，()0,()f x f x '<单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0,()f x fx '>单调递增， 故()f x在x =处取得极小值111ln 222f m m =+-，无极大值．…………………………5分 （2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号， 所以当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；所以若要不等式111()x f x x e ->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >． 当01m <<1>，由（1）知，()f x 在⎛ ⎝上单调递减， 所以(1)0f f<=，不满足题意．……………………………………………………………………8分 当1≥m 时，设21111()(1)ln 2x F x m x x x e-=---+， 因为1,1≥m x >，所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e ---><<-<-<， 32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x e x x x x---+-+'=-++->-++-==>， 所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以当(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，故存在1≥m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立．此时m 的最小值是1．…………12分 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为，离心率12e =，其右焦点为F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求PQMN 的取值范围．21．解析：（1）由2b =b =，又由22222214c a b e a a -===，得2234a b =， 则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分 （2）由（1）知(1,0)F ，①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1k ≠±，由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩，……………………………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==∆=+>++，…………6分则2212(1)34k PQ k +==+，由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k +-，则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭，……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQ k k k k k k MN k k k k ++++++=⋅==+++++， 令87t k =+，则78t k -=，当0t =时，78k =-，78PQ MN =， 当0t ≠时，22724322432197878722t k t k t t-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+-+， 若0t >，则1977722t t +--，若0t <，则1977722≤t t+-2872432≤k k ++，即2872432k k ++，≤PQ MN ，且87PQ MN ≠．………………………………………………10分 ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-， 则2242,37b PQ MN a ===，此时87PQ MN =∈⎣⎦． 若设2l 的方程为1y x =-，则78PQMN =∈⎣⎦， 综上可知，PQMN的取值范围是⎣⎦．……………………………………………12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin 13C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．22．解析：（1）由122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=； 由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 12ρθρθ=cos sin 20θρθ-+=， 又由cos ,sin x y ρθρθ==，得曲线220C y -+=．…………………………………………5分（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )αα+，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()2cos 16d παα⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．………………………………8分 当且仅当52,6Z k k παπ=+∈时，()d α1-， 此时P的直角坐标为(2．…………………………………………………………………………10分23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知()211f x x x =++-．（1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）设()9124g x x x =-+--，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，并根据图象写出不等式()()f x g x ≤的解集．23．解析：（1）3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪--⎪⎩，…………………………………………1分 当1≥x 时，39≤x ，得13≤≤x ；………………………………………………………………………2分 当112x -<<时，29≤x +，解得7≤x ，故112x -<<；…………………………………………3分 当12≤x -时，39≤x -，解得3≥x -，故132≤≤x --．……………………………………………4分 综上，原不等式的解集为{|33}≤≤x x -．………………………………………………………………5分（2）36,1()91244,12312,2≤≥x x g x x x x x x x +-⎧⎪=-+--=+-<<⎨⎪-+⎩，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，10分。

2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。

2020年百校大联考高考数学模拟试题（理科）百校大联考2020届高三上学期联考(一)理科数学试题及答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集，集合，则A． B． C． D．2、已知，则的大小关系为A． B． C． D．3、A． B． C． D．4、命题，则是A． B． C． D．5、函数的零点包含于区间A． B． C． D．6、曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A． B． C．2 D．7、函数，若矩形ABCD的顶点A、D在x轴上，B、C在函数的图象上，且，则点D的坐标为A． B． C． D．8、已知二次函数，若，则在A．上是增函数 B．上是增函数C．上是增函数 D．上是增函数9、已知定义在R上的函数的导函数，若的极大值为，极小值为，则函数的图象有可能是10、已知，命题若；命题若，则，在命题（1）；（2）；（3）；（4）中，证明题的个数为A．1 B．2 C．3 D．411、函数的定义域和值域都是,则A．1 B．2 C．3 D．412、设，其中，若对任意的非零实数，存有的非零实数成立，则k的取值范围为A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

.13、设函数的图象关于直线对称，则a的值为14、设函数，则15、函数是周期为2的奇函数，当，则16、已知函数在区间内单调递减，则实数a的取值范围三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）已知全集，集合。

（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围。

18、（本小题满分12分）已知函数（1）求的定义域和值域；（2）若，求实数的取值范围。

19、（本小题满分12分）已知函数在上是单调函数；是的充分不必要条件，若为真，为假，求实数m的取值范围。

20、（本小题满分12分）已知函数，其中为常数（1）根据的不同值，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由。

100所名校高考模拟金典卷·数学（十）（120分钟150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的. 1.已知集合{}2|4M x x =…，{2,1,0,1,2}N =--，则（ ）A. M N ⋂=∅B. N M ⊆C.{1,0,1}M N ⋂=-D.M N =R U【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合M ，观察两个集合间的关系，即可得答案；【详解】Q 24x ≤，解得22x -剟，即{|22}M x x =-剟，{2,1,0,1,2}N =--， N M ∴⊆.故选：B.【点睛】本题考查集合间的基本关系和基本运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2.下列复数中实部比虚部小的是（ ） A.92i +B.34i - C. 2(3)i + D. (45)i i +【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算，化简C ，D 选项，即可得答案；【详解】Q 2(3)96186i i i +=+-=+，(45)54i i i +=-+，∴四个选项中只有D 项中的复数的实部比虚部小.故选：D.【点睛】本题考查复数的运算、实部与虚部的概念，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知向量(2,)a m =r ，(1,3)b =-r ，若()a b b +⊥r r r，则m =（ ）A.1-B. 1C. 4D.4-【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直数量积为0，可得关于m 的方程，解方程即可得答案；【详解】由题意，得(3,3)a b m +=-r r，()a b b +⊥r r r Q ，()33(3)0a b b m ∴+⋅=--=r r r，解得4m =.故选：C.【点睛】本题考查向量垂直的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题. 4.在ABC V 中，sin 22sin B A =，2a =，且4C π=，则c =（ ）A.10B. 3C.33D. 23【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得22b a =，再利用余弦定理，即可得答案； 【详解】由正弦定理知22b a =， 因为2a =，所以4b =.因为2222cos104ca b ab π=+-=，所以10c =.故选：A.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.5.比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）A. 乙逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B. 甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C. 乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D. 甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【答案】C 【解析】 【分析】利用雷达图对每一个选项的命题逐一分析推理得解.【详解】对于选项A, 甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，所以该命题是假命题； 对于选项B, 甲的数学建模能力指标值为4，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题； 对于选项C,甲的六维能力指标值的平均值为()12343453466+++++=，乙的六维能力指标值的平均值为()154354346+++++=，因为2346<，所以选项C 正确； 对于选项D, 甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题. 故选C【点睛】本题主要考查雷达图的识别和平均数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6.甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为1V ，2V ，则（ ）A. 122V V >B. 222V V =C. 12163V V -=D. 12173V V -=【答案】D 【解析】由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长为8，长方体的长为4，宽为4，高为6，则该几何体的体积为318446416V =-⨯⨯=；由乙的三视图可知，该几何体为一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为219992433V =⨯⨯⨯=.∴12416243173V V -=-= 故选D.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 7.如图，正方形BCDE 和ABFG 的边长分别为2a ，a ，连接CE 和CG ，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是（ ）A.35B.38C.310D.320【答案】C 【解析】分析：先利用三角形相似得出13FH a =，求出阴影部分的面积，再利用几何概型的概率公式进行求解． 详解：设CG BF H =I，由BCH FGH ∆∆∽，得122HF a BH a ==，即13FH a =， 则25ABFG BCDE S S a +=正方形正方形，2221183=()2332CFH GFH S S S a a a ∆∆+=+=阴影， 由几何概型的概率公式，得22332510a P a ==.故选C ．点睛：本题考查三角形相似、几何概型的概率公式等知识，意在考查学生的基本运算能力． 8.已知的数31()2cos 22f x x x =-，把函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的对称中心是（ ） A. 3,022k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z B. 2,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z C. 35,024k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z D. 5,04k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z 【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式可得()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用平移变换和伸缩变换得到()g x 的解析式，进而利令233x k ππ-=，k ∈Z ，即可得到对称中心. 【详解】31()2cos22f x x x =-Q，()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，可得2sin 36x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象， 将函数2sin 36x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，可得2sin 33x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，2()sin 33x g x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令233x k ππ-=，k ∈Z ，得322k xππ=+，k ∈Z ， ∴函数()g x 的对称中心为3,022k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z .故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换中的辅助角公式、平移变换和伸缩变换、图象的对称中心，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9.执行如图所示的程序框图，则输出的k 值是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】C 【解析】 【分析】 分析模拟程序运行，可得程序框图的功能是求11111232S k k ⎛⎫=-+⋯+- ⎪+⎝⎭1111251221242k k ⎛⎫=+--> ⎪++⎝⎭时k 的最小整数值，解不等式即可得答案； 【详解】分析模拟程序运行，可得程序框图的功能是求11111232S k k ⎛⎫=-+⋯+- ⎪+⎝⎭1111251221242k k ⎛⎫=+--> ⎪++⎝⎭时k 的最小整数值，解得5k >，则输出k 的值是6. 故选：C.【点睛】本题考查程序框图的循环结构，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 10.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面//α平面1A BD ，平面αI 平面ABCD l =，则直线l 与直线1CD 所成的角为（ ）A. 30oB. 45oC. 60oD. 90o【答案】C 【解析】如图所示，平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面//α平面1A BD ，平面α⋂平面AF ABCD l ==，11//,//CD BA BD AF Q ，则直线l 与直线1CD 所成的角即为直线AF 与直线1BA 所成的角为60o . 故选C.11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的左支上，2PF 与双曲线的右支交于点Q ，若1PFQ V 是以1PFQ ∠为直角的等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ） 2B. 253【答案】D 【解析】 【分析】 设1PF m =，2QF n =，利用双曲线的定义可得22m a =，22)n a =，再利用余弦定理可得,a c 的关系，即可求得离心率. 【详解】如图，设1PF m =，2QF n =，则1QF m =，||2PQ m =，由双曲线的定义可知2122PF PF m n m a -=+-=，122QF QF m n a -=-=，解得22m a =，22)n a =，在12QF F V 中，由余弦定理得2221212122cos135F F QF QF QF QF =+-︒，即22222224(22)(222)222(222)122c a a a a a ⎛⎫=+--⨯⨯-⨯-= ⎪⎝⎭，所以223c c e a a===. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的定义和离心率求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.12.已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中()g x 为偶函数，当0x >时，'()0g x >恒成立；且()f x 满足：①对x R ∀∈，都有(3)(3)f x f x +=-；②当[3,3]x ∈-时，3()3f x x x =-.若关于x 的不等式2[()](2)g f x g a a ≤-+对3323,2322x ⎡⎤∀∈---⎢⎥⎣⎦恒成立，则a 的取值范围是（ ）A.RB. [0,1]C. 133133,2424⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦D. (,0][1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】∵函数()g x 满足：当0x >时，()0g x '>恒成立，∴函数()g x 为R 上的偶函数，且在[0)+∞，上为单调递增函数，且有(||)()g x g x =，∴2[()](2)g f x g a a ≤-+，33232322x ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦，恒成立2|()||2|f x a a ⇔-+≤恒成立，只要使得定义域内2max min |()||2|f x a a -+≤，由(3)(3)f x f x +=，得(23)()f x f x +=，即函数()f x 的周期3T =[33]x ∈-，时，3()3f x x x =-，求导得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，该函数过点(30)(00)(30)-，，，，，如图，且函数在1x =-处取得极大值(1)2f -=，在1x =处取得极小值(1)2f =-，即函数()f x 在R 上的最大值为2，∵33232322x ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦，，函数的周期是23，∴当33232322x ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦，时，函数()f x 的最大值为2，由22|2|a a -+≤，即222a a -+≤，则20a a -≥，解得1a ≥或0a ≤.故选D ．【点睛】此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得[33]x ∈-，时，3()3f x x x =-的值域为[22]-，，还考查了函数恒成立． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.若实数,x y 满足约束条件1031010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则32z x y =+的最小值为______.【答案】2 【解析】 【分析】作出不等式组对应的区域，当直线322zy x =-+经过点(0,1)C 时，直线的纵截距最小. 【详解】由题意得，不等式组对应的区域为如图所示的开放区域（阴影部分）， 当直线322zy x =-+经过点(0,1)C 时，直线的纵截距最小， 所以32z x y =+的最小值为30212⨯+⨯=. 故答案为：2.【点睛】本题考查简单线性规划的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意直线截距几何意义的运用.14.若5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为2m -，则12d m x x =⎰______.【答案】24【解析】 【分析】根据二项式定理可求得m 的值，再代入定积分中，即可得答案；【详解】Q 5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为55210315511C (1)C 22rr rr r rr r x T x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1031r -=，得3r =，∴x 的系数为23515C 22⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，522m -=-，5m =， 则552221112d 2d 5124mx x x x x ===-=⎰⎰.故答案为：24.【点睛】本题考查二项式定理展开式指定项系数、定积分计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 15.已知2sin cos 213cos 7ααα⋅=-，且tan()3αβ+=，则tan β=______.【答案】113-或7- 【解析】 【分析】利用同角三角函数的商数关系可求得tan α的值，再代入两角差的正切公式中，即可得答案； 【详解】2222sin cos sin cos tan 213cos sin 2cos tan 27ααααααααα⋅⋅===---Q，1tan 2α∴=-或tan 4α=.又tan()tan 3tan tan tan()1tan()tan 13tan αβααβαβααβαα+--=+-==+++Q ，将tan α的值代入上式可得：1tan 13β=-或tan 7β=-. 故答案为：113-或7-. 【点睛】本题考查同角三角函数的商数关系、两角差的正切，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意两种情况的值.16.如图，过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于、、A B C三点，令1||||AFBFλ=，2||||BCBFλ=，则当3πα=时，12λλ+=______.【答案】5【解析】【分析】设()11,A x y，()22,B x y，求出两点的坐标，再根据焦半径公式求出12,λλ的值，即可得答案；【详解】设()11,A x y，()22,B x y，则由过抛物线24y x=的焦点的直线的性质可得122416||2sin603AB x x=++==︒，12103x x∴+=，又21214px x==Q，13x∴=，213x=.分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点,E D，则1||||3(1)31||||(1)3AF AEBF BDλ--====--，同理可得2||||12||||sin30BC BCBF BDλ︒====，125λλ∴+=.故答案为：5.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.公差大于32的等差数列{}n a的前n项和为n S，13a=-，345,,4a a S+成等比数列，等比数列{}n b的前n项和为122n +-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设nn n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）25n a n =-；2nn b =（2）16,110,234(27)2,3n n n T n n n +=⎧⎪==⎨⎪+-⋅⎩…【解析】 【分析】（1）根据等比中项可得()24354a a S =+，从而求得d ，再利用等差数列和等比数列的通项公式，即可得答案；（2）对n 进行讨论，化简数列|25|2nn c n =-⋅，再利用错位相减进行求和. 【详解】（1）13a =-Q ，345,,4a a S +成等比数列，()24354a a S ∴=+，即2(33)(32)(1110)d d d -+=-+-+，解得2d =或1211d =（舍去），25n a n ∴=-. 设等比数列{}n b 的公比为q ，12b =Q ，()32222224b =---=，212b q b ∴==，2n n b ∴=. （2）|25|2nn c n =-⋅Q ，当1n =时，16T =；当2n =时，210T =；当3n ≥时，250n ->，341101232(27)2(25)2n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，①4512201232(27)2(25)2n n n T n n +=+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，②①-②()41108222(25)2n n nT n +⇒-=-++++--⋅L ，可得134(27)2n n T n +=+-⋅，16,110,234(27)2,3n n n T n n n +=⎧⎪∴==⎨⎪+-⋅⎩…. 【点睛】本题考查等差、等比数列通项公式、错位相减法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意n T 要写成分段的形式.18.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A ，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市()nn N*∈个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415． ()1求n 的值；()2若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；()3若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望．【答案】（1）n 7=；（2）37；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意根据全是小集团的概率列方程求出n 的值； （2）根据古典概型的概率公式计算全为大集团的概率值； （3）由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【详解】（1）由题意知共有8n +个集团，取出2个集团的方法总数是28n C +，其中全是小集团的情况有28C ，故全是小集团的概率是()()28285648715n C C n n +==++， 整理得到()()78210n n ++=即2151540n n +-=，解得7n =．（2）若2个全是大集团，共有2721C =种情况； 若2个全是小集团，共有2828C =种情况； 故全为大集团的概率为21321287=+．（3）由题意知，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4，计算()04874151039C C P X C ===，()13874158139C C P X C ===，， ()228741528265C C P X C ===，()3187415563195C C P X C ===， ()40874152439C C P X C ===；故X 的分布列为：X0 1 2 3 4P139 839 2865 56195 239数学期望为()182856232012343939651953915E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题．注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）． 19.如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，过,A B 分别作AECD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E F 、.2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿,AE BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2.（1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE .（2）若//DE CF ，3CD =P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，求直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）520【解析】 【分析】（1）连接BE ，证明DE ⊥平面ABFE 内的两条相交直线,AF AE ，即可证明结论；（2）过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知,,GE EA EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG u u u r u u u r u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面ACD 的一个法向量(1,3)n =-r，求出|cos ,|CP n 〈〉u u u r r即可得答案；【详解】（1）连接BE ，由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2， 在题图2中，AF BE ⊥，由已知得AF BD ⊥，BE BD B ⋂=，AF ∴⊥平面BDE .DE ⊂Q 平面BDE ，AF DE ∴⊥.AE DE ⊥Q ，AE AF A ⋂=，DE ∴⊥平面ABFE .（2）在题图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E =I，即AE ⊥平面DEFC ，在梯形DEFC 中，过点D 作DM EF ∥交CF 于点M ，连接CE ， 由题意得2DM=，1CM =，由勾股定理的逆定理可得DC CF ⊥，则6CDM π∠=，2CE =，过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知,,GE EA EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG u u u r u u u r u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，22,,03P ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1,3)C ，130,,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,1,3)AC =-u u u r 132,,2AD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，12,,33CP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r .设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =r，由00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 得230132022x y z x y z ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩取1x =得(1,1,3)n =-r . 设CP 与平面ACD 所成的角为θ，2253|cos ,|1573CP n -〈〉==⎛⎫⋅+- ⎪⎝⎭u u u r r，则5sin θ=.【点睛】本题考查线面垂直判定定理的应用、向量法求线面角的正弦值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.20.已知长度为AB 的两个端点A B 、分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足2BP PA =u u u r u u u r，设动点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点(4,0)，且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于两点M N 、，在x 轴上是否存在定点T ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数？若存在，求出定点T 的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22182x y +=（2）存在两个定点1T，2(T -，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，当定点为1T时，常数为34+，当定点为2(T -时，常数为34- 【解析】 【分析】（1）设(,)P x y ，()0,0A m ，(0,)B n ，利用向量关系2BP PA =u u u r u u u r坐标化，可得曲线C 的方程；（2）由题意设直线l 的方程为4x my =+，()11,Mx y ，()22,N x y ，假设存在定点(,0)T t ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，将MT NT k k ⋅表示成关于,m t 的函数，利用恒成立问题，可得定点坐标.【详解】（1）设(,)P x y ，()0,0A m ，(0,)B n ，由于2BP PA =u u u r u u u r，所以()()00(,)2,22,2x y n m x y m x y -=--=--，即0222x m x y n y =-⎧⎨-=-⎩，所以0323m x n y ⎧=⎪⎨⎪=⎩.又因为||AB =，所以22018m n +=， 从而2299184x y +=，即曲线C 的方程为22182x y +=.（2）由题意设直线l 的方程为4x my =+，()11,Mx y ，()22,N x y ，由224182x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224880m y my +++=，所以()122122228484643240m y y m y y m m m ⎧+=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪∆=-+>⎪⎩， 故()121223284x x m y y m +=++=+，()2212121226484164m x x m y y m y y m -=+++=+.假设存在定点(,0)T t ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，则()()()()121222*********84(4)MT NT y y y y k k x t x t x x t x x t t m t ⋅===---++-+-.当280t -=，且40t -≠时，MI NT k k ⋅为常数，解得t =±显然当t =t =-34-.所以存在两个定点1T，2(T -，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，当定点为1T 时，常数为2(T -时，常数为34-.【点睛】本题考查椭圆的轨迹方程、椭圆中的定值与定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 21.已知函数2()ln f x a x =+且()f x a x ≤.（1）求实数a 的值； （2）令()()xf x g x x a=-在(,)a +∞上的最小值为m ，求证：6()7f m <<. 【答案】（1）2a =.（2）见解析. 【解析】试题分析：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln ht a at t =-+，由于()10h =，故2ln 0a at t -+≤ ()()1h t h ⇔≤，可证：()ht 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减.故2a =合题意.（2）由（1）知()()xf x g x x a=- 22ln (2)2x x xx x +=>-，所以()()()222ln 4'2x x g x x --=-，令()2ln 4sx x x =--，可证()08,9x ∃∈，使得()00s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，进而证明()()0f m f x = ()0022ln 26,7x x =+=-∈，即()67f m <<.试题解析：（1）法1：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln ht a at t =-+，则()22'at h t a tt-=-=，当0a ≤时，()'0h t >，故()h t 在()0,+∞上单调递增，由于()10h=，所以当1t >时，()()10h t h >=，不合题意.当0a >时，()2'a t a h t t⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，所以当20t a <<时，()'0h t >；当2t a >时，()'0h t <，所以()h t 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()ht 在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即()max 2h t h a⎛⎫= ⎪⎝⎭22ln22ln a a =-+-. 所以要使()0ht ≤在0t >时恒成立，则只需()max 0h t ≤，亦即22ln22ln 0a a -+-≤， 令()22ln22ln a a a ϕ=-+-，则()22'1a a a aϕ-=-=， 所以当02a <<时，()'0a ϕ<；当2a >时，()'0a ϕ>，即()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 又()20ϕ=，所以满足条件的a 只有2，即2a =.法2：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln ht a at t =-+，由于()10h =，故2ln 0a at t -+≤ ()()1h t h ⇔≤， 所以()1h为函数()h t 的最大值，同时也是一个极大值，故()'10h =.又()22'ath t a t t-=-=，所以2a =， 此时()()21't h t t-=，当01t <<时，()'0h t >，当1t >时，()'0h t <，即：()ht 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减.故2a =合题意. （2）由（1）知()()xf x g x x a=- 22ln (2)2x x xx x +=>-，所以()()()222ln 4'2x x g x x --=-，令()2ln 4sx x x =--，则()22'1x s x xx-=-=，由于2x >，所以()'0s x >，即()s x 在()2,+∞上单调递增；又()80s <，()90s >，所以()08,9x ∃∈，使得()00s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，即()gx 在()02,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增. 所以()()0mingx g x = 000022ln 2x x x x +=- 2000022x x x x -==-.（∵002ln 4x x =-） 即0m x =，所以()()0f m f x = ()0022ln 26,7x x =+=-∈，即()67f m <<.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩ (ϕ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点． (1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当04πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，求OA OB +的取值范围．【答案】（1）()R θαρ=∈，22(cos sin )10ρθθρ-++=（2）(2,【解析】 【分析】（1）结合cos ,sin x y ρθρθ==消去参数，得到极坐标方程，即可．（2）将直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，得到()122cos sin ρραα+=+，用α表示OA OB +，结合三角函数的性质，计算范围，即可．【详解】（Ⅰ）由题意可得，直线1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈.曲线M 的普通方程为()()22111x y -+-=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以极坐标方程为()22cos sin 10ρθθρ-++=.（Ⅱ）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，得()22cos sin 10ρααρ-++=，当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，228sin 404πα⎛⎫∆=+-> ⎪⎝⎭， 所以()122cos sin ρραα+=+，根据极坐标的几何意义，OA ，OB 分别是点A ，B 的极径.从而：122OA OB ρρ+=+= ()cos sin 4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，,442πππα⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦， 故OA OB +的取值范围是(2,.【点睛】本道题考查了极坐标方程的转化以及极坐标方程的性质，难度较大． 23.已知()1f x x x m =+++，()232g x x x =++.（1）若0m >且()f x 的最小值为1，求m 的值；（2）不等式()3f x ≤的解集为A ，不等式()0g x ≤的解集为B ，B A ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）2m =；（2）04m ≤≤ 【解析】试题分析：（1）利用绝对值三角不等式可得()11f x m ≥-=，解出方程即可；（2）易得[]2,1B =--，()3f x ≤即4x m x +≤+，即42m x +≥-且4m ≤，再根据B A ⊆列出不等式即可得结果. 试题解析：（1）()()()111f x x x m x x m m =+++≥+-+=-(当1x =-时，等号成立） ∵()f x 的最小值为 1，∴11m -=，∴2m = 或0m =，又0m >，∴2m =.（2）由()0gx ≤得，[]2,1B =--，∵B A ⊆，∴(),3x B f x ∀∈≤，即()13x x m -+++≤ 44442m x m x x x m x x +⇔+≤+⇔--≤+≤+⇔≥-且4m ≤ 422m +⇔-≤-且404m m ≤⇔≤≤21。