2020届全国100所名校高考模拟金典卷理科数学(四)试题(word无答案)

2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷理科数学试卷（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，[]{}2|log (2)(1)B x y x x ==-+，则A B =I （ ） A.[-2,2) B.(-1,1) C.(-1,1] D.(-1,2) 2.复数21iz i=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242, 16a S ==，则5a =（ ） A.10 B .12 C .13 D .144.给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件;②定义在[a, b]上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.35.已知点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为（ ）A.12D.1 6.函数2()sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.7.3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ）A.2ln2B.ln2C.2D.18.执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内可以填入的条件是（ ） A.4?k > B .5?k > C.6?k > D.7?k >9.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察而画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图所示，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（ ）A.13 B .110C.121D.125210.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ） A.2对B.3对C.4对D.5对11.已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ） A.C.12.已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. 设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知A B C ，，为圆O 上三点，且2CO BA BC =-u u u r u u u r u u u r ，则BA BC ⋅=u u u r u u u r_____________.14.已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示,其中()01f =，5||2MN =，则点M 的坐标为_____________.15.如图，点A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，右焦点为()2,0F ，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则双曲线C 的方程为____________.16.已知在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，4BC CD BC CD AB AD ⊥====，，，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，sin ()sin sin a A a b B c C ++=，ABC △的面积S abc =. （1）求角C 的大小；（2）求ABC △周长的取值范围.18.如图，在多面体ABCGDEF 中，AB AC AD ，，两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC DG EF ∥∥，且12AC EF DG ===，.（1）证明：CF ⊥平面BDG . （2）求二面角F BC A --的余弦值.19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推岀两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次，每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次，每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，如下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示准备购买的2台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更划算？20.已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点.（1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N L L ，求证：[]ln (2)12n nn T +<-. （二）选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ=+. （1）写出曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若P Q ，分别为曲线12C C ，上的动点，求PQ 的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2||36|f x x x =-++. （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值.1.答案 B命题意图 本题考查解不等式与集合的运算. 解题分析 不等式201x x +≤-，等价于()()210x x +-≤且10x -≠，解得21x -≤<，即集合{}|21A x x =-<„ ，函数2log [(2)(1)]y x x =-+的定义域为(2)(1)0x x -+>，解得12x -<<，即集合{|12}B x x =-<<，所以()1,1A B =-I .2答案B命题意图 本题考查复数的运算及几何意义. 解题分析 由222(1)111i i i z i i i +===-+--，知对应点的坐标为()1,1-，所以对应点在第二象限. 3.答案D命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.解题分 由题意得211412246164a a d a S a d d =+=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩，则524414a =-+⨯=.4.答案 C命题意图 本题考查命题及充分、必要条件. 解题分析 对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =但是当tan 1x =时，,4x k k ππ=+∈Z ，所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，所以①不正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域为[],a b ，所以5b =， 所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确； 对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”，所以③是错误的； 故错误说法的个数为2. 5.答案 C命题意图 本题考查线性规划及点到直线的距离公式.解题分析 结合不等式，绘制可行域，如图.由0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2C ，点A 的位置如图所示，计算A 点到该区域的最小值，即计算点A 到直线260x y +-=的距离，所以min ||AB ==6.答案 A命题意图 本题考查函数的奇偶性与单调性，函数导数的应用.解题分析()f x 为偶函数，排除选项B ；2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-， 则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 所以当0x >时，()()0f x xg x =>，且()f x 单调递增，故选A 项. 7.答案 A命题意图 本题考查二项式定理及定积分.解题分析根据二项式3ax ⎛ ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4111111d d ln 2ln 2ax x x xx ===⎰⎰.8.答案 B命题意图 本题考查程序框图.解题分析 模拟执行如图所示的程序框图如下：1,1k S ==； 2,4k S ==； 3,11k S ==； 4,26k S ==； 5,57k S ==；6,120k S ==，此时满足条件5k >，输出120S =. 所以判断框内可以填入的条件是5?k >. 9.答案 C命题意图 本题考查古典概型.解题分析 现从这十个数中随机抽取4个数,基本事件总数140n C =，能成为两组包含的基本事件个数52m C =，则能成为两组的概率25410121C m P n C ===.10.答案 C命题意图 本题考查三视图，线面垂直和面面垂直的判定.解题分析 该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ，作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ，PO CD ⊥，又AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，同理可证平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知PO AO OD ==，所以AP PD ⊥，又AP CD ⊥，所以AP ⊥平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.11.答案 C命题意图 本题考查抛物线方程及过焦点的弦.解题分析 由题意得22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又直线l 经过C 的焦点，则22b p-=，b p ∴=-. 由此解得2p =，所以抛物线方程为24y x =.设()00,M x y ，则204y x =， ()()()2222200000||444212MN x y x x x ∴=-+=-+=-+，故当02x =时，||MN取得最小值.12.答案 A命题意图 本题考查数列的综合应用. 解题分析 当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列， 11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭， 依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.13.答案0命题意图 本题考查平面向量的数量积.解题分析 11()22CO BA BC CA =-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴圆心O 为线段AC 的中点，因而90ABC ∠=︒，故0BA BC ⋅=u u u r u u u r .14.答案 ()1,2-命题意图 本题考查三角函数的图象及解析式.解题分析 函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示.(0)2sin 1f ϕ==Q ，56πϕ=Q .又5||2MN ==3πω∴=，即函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图象得5362x πππ+=，解得1x =-，故点M 的坐标为()1,2-. 五步导解 解↔答15.答案 221x y -=命题意图 本题考查双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程.解题分析 由题意可得(),0A a ，又A 为线段OB 的中点，所以(2,0)B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设()2,3P a b -，由题意和结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -，即||2AP a =，即2a =a b =，又c =222a b c +=，得1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=.16.答案 36π命题意图 本题考查多面体与球.解题分析 如图取BD 的中点E ，连接AE CE ，，则AE BD CE BD ⊥⊥，. Q 平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，AE ∴⊥平面BCD .又CEC Q 平面BCD ，AE CE ∴⊥.设ABD △的外接圆的圆心为O ，半径为r .AB AD ∴=， ∴圆心O 在AE 所在的直线上，22222()r BE OE BE r AE ∴=+=+-. Q在Rt BCD △中，BD =BE EC ∴==在Rt ABE △中，2AE ，()2282r r ∴=+-，解得，3,1r OE =∴=. Q在Rt OEC △中，3OC ==，3OA OB OC OD ∴====，∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心，且球的半径3R =，∴球的体积34363V R ππ==.17.命题意图 本题考查正、余弦定理及三角恒等变换.解题分析（1）由sin ()sin sin a A a b B c C ++=及正弦定理得222a b ab c ++=，又由余弦定理得1cos 2C =-，23C π∴=. （2）由1sin 2S abc ab C ==，可知2sin c C =，2sin ,2sin a A b B ∴==，ABC △的周长为1(sin sin sin )2a b c A B C ++=++1sin sin 23A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11sin sin 22A A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 22A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1sin 23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 3A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，ABC ∴△周长的取值范围为⎝⎦.18.命题意图 本题考查空间点线、面关系及线面垂直、二面角.解题分析（1）证明：因为AB AC AD ，，两两垂直，AC DG AB DE ∥，∥， 所以DG AD DG DE ⊥⊥，，所以DG ⊥平面ABED ，因为AE ⊂平面ABED ，所以DG AE ⊥，因为四边形ABED 为正方形，所以AE BD ⊥，因为BD DG D =I ，所以AE ⊥平面BDG ，因为AC EF ∥所以四边形AEFC 为平行四边形，所以AE CF ∥，所以CF ⊥平面BDG .（2）由（1）知DE DG DA ，，互相垂直，故以D 为坐标原点，以DE DG DA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,1,2),(2,1,0)D A B C F ， 所以(0,1,2),(2,1,0)FB CB =-=-u u u r u u u r.设(),,m a b c =u r 为平面BCF 的法向量，则2020m FB b c m CB a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ， 令1a =，则21b c ==，，所以()1,2,1m =u r.又因为AD ⊥平面ABC ，所以()0,0,2DA =u u u r为平面ABC 的一个法向量，所以()cos ,m DA ==u r u u u r 由图可知二面角F BC A --是钝角，所以二面角F BC A --的余弦值为. 19.命题意图 本题考查离散型随机变量的期望和方差以及方案的确定. 解题分析 （1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6111(0)1010100P X ==⨯=，111(1)210525P X ==⨯⨯=，11213(2)25551025P X ==⨯+⨯⨯=， 131211(3)2210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22317(4)25510525P X ==⨯+⨯⨯=， 236(5)251025P X ==⨯⨯=，339(6)1010100P X ==⨯=，X ∴的分布列为（2）所选延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为()117117697000900011000130001500010720100502525100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为()267691000011000120001042010025100E Y =⨯+⨯+⨯=（元）()()12E Y E Y >Q ，∴该医院选择延保方案二较划算.20.命题意图 本题考查椭圆有关的定值、定点问题.解题分析由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=， 于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩， 从而1212423x x y y +=++=，故211,,332CM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线l 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222210m y my ++-=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 所以()()()()()210201************OA QB x x x x y y my my x my my x y y =⋅=--+=++-++++u u u r u u u r ()()()()()2222121200000022121121112122m m y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+=++ ()202002231212x m x x m --+-++， 由023112x --=，得054x =， 故此时点57,0,416Q QA QB ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ； ②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值. 21.命题意图 本题考查导数综合.解题分析 （1）()f x 的定义域为()1,-+∞，()2ln(1)2f x x x '=+-.设()()212g x ln x x =+-. ∵2()1x g x x -'=+，∴当()1,0x ∈-时，()0g x '>；当,()0x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在()1,0-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 在0x =处取得最大值.又∵()00g =，∴对任意的1,()x ∈-+∞，()()00g x g ≤=恒成立，即对任意的1,()x ∈-+∞，都有()f x ' ()2120ln x x =+-≤恒成立，故()f x 在定义域()1,-+∞上是减函数.（2）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，∴()0f n <，即22(1)ln(1)2n n n n ++<+，两边同除以22(1)n +得ln(1)121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++， 从而1231112334521222341234121n n n n n n n T a a a a n n n +++⎛⎫⎛⎫=⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⋅L L L ， 所以[]21(2)ln (2)ln 2ln(2)ln(1)(1)ln 22(1)n n n n T n n n n +⎡⎤++<=+-+-+⎢⎥+⎣⎦. ① 下面证2ln(2)ln(1)(1)ln 2102n n n n +-+-++-<. 记()2ln(2)ln(1)(1)ln 212x h x x x x =+-+-++-，[1,)x ∈+∞， ∴2211111()ln 2ln 2ln 2221232223x h x x x x x x x'=--+=-+=-+++++++. ∵2y x x=+在[2,)+∞上单调递减，而1111(2)ln 2(23ln 2)(2ln8)06233h '=-+=-=-<， ∴当[2,)x ∈+∞时，()0h x '<恒成立，∴()h x 在[2,)+∞上单调递减，即[2,)x ∈+∞，()(2)2ln 4ln33ln 2ln 2ln30h x h =--=-<„，∴当2n …时，()0h n <.∵19(1)2ln3ln 22ln 2ln 028h =---=-， ∴当*n ∈N 时，()0h n <，即2ln(2)ln(1)(1)ln 212n n n n +-+-+<-. ② 综合①②可得，[]ln (2)12n n n T +<-. 22.命题意图 本题考查参数方程、极坐标方程的应用及两点间距离的求法.解题分析 （1）曲线1C 的普通方程为22149x y +=， 曲线2C 的直角坐标方程为2245x y y +=+，即22(2)9x y +-=.（2）设P 点的坐标为(2cos ,3sin )θθ.2||333PQ PC +„，当sin 1θ=-时，max ||538PQ =+=.23.命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式.解题分析 （1）44,2()|2||36|28,22,44,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-⎨⎪+>⎩剟当2x <-时，4434x x -≥-+，即8x ≤-；当22x -≤≤时，2834x x +≥-+，即45x ≥-，可得425x -≤≤； 当2x >时，4434x x +≥-+，即0x ≥，可得2x >， ∴不等式的解集为4|8 5x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或 . （2）根据函数44,2()28,22,44,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值(2)4f -=，可知4a =， 8,0,0m n m n ∴+=>>,11111111()11(22)8882n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=⋅++=⋅++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…> 当且仅当n m m n =，即4m n ==时，取“=”，∴11m n +的最小值为12.。

全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(四)数学(理科)数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再将答案填写在对应题号的横线上。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()C 1n kk kn n P k p p -=-．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则AB =A ．()0,2B ．(]0,2C ．[)0,2D ．[]0,22．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11赛得分的情况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为A ．19、13B ．13、19C ．20、18D ．18、203．已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a =A ．1- BC ．1-D ．1或4．直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定 5．在区间[]0,1上任取两个数,a b ，方程220x ax b ++=的两根均为实数的概率为 A ．18 B ．14 C ．12 D ．346．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．15次B ．14次C ．9次D ．8次8．在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是 A ．13 B ．12 C ．23 D ．34二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分.（一）必做题：第9、10、11、12题是必做题，每道试题考生都必须做答．9．若复数()()2563i z m m m =-++-是实数，则实数m = ． 10．已知3cos 5α=，则cos 2α= ． 11．根据定积分的几何意义，计算x =⎰．12．按如图2所示的程序框图运算． 若输入8x =，则输出k = ；若输出2k =，则输入x 的取值范围是 ． （注:“1=A ”也可写成“1:=A ”或“1←A ”，均表示赋值语句）（二）选做题：第13、14、15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题的得分．13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sinρθ=的切线，则切线的极坐标方程是．14．（不等式选讲选做题）若a、b、c∈R，且222236a b c++=，则a b c++的最小值是．15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且:1:2AE EB=，DE与AC交于点F，若AEF∆的面积为62cm，则ABC∆的面积为2cm．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()sin cosf x a x b x=+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求实数a和b的值；（2）当x为何值时，()f x取得最大值．17．（本小题满分12分）某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数123456N n n n n n n=，其中N的各位数中，161n n==，kn（k=2，3，4，5）出现0的概率为23，出现1的概率为13，记123456n n n n n nξ=+++++，当该计算机程序运行一次时，求随机变量ξ的分布列和数学期望（即均值）．18．（本小题满分14分）如图3所示，在边长为12的正方形11AA A A''中，点,B C在线段AA'上，且3AB=，4BC=，作1BB1AA分别交11A A'、1AA'于点1B、P，作1CC 1AA ，分别交11A A '、1AA '于点1C 、Q ，将该正方形沿1BB 、1CC 折叠，使得1A A ''与1AA 重合，构成如图4所示的三棱柱111ABC A B C -．（1）在三棱柱111ABC A B C -中，求证：AB ⊥平面11BCC B ；（2）求平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分几何体的体积之比； （3）在三棱柱111ABC A B C -中，求直线AP 与直线1AQ 所成角的余弦值．19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 中，51=a 且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）．（1）若数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求实数λ的值； （2）求数列}{n a 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）已知函数()xf x e x =-（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的最小值；（2）若*n ∈N ，证明：1211n nn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 21．（本小题满分14分）已知抛物线L ：22x py =和点()2,2M ，若抛物线L 上存在不同两点A 、B 满足AM BM +=0．（1）求实数p 的取值范围；（2）当2p =时，抛物线L 上是否存在异于A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线，若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由．全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(四)数学(理科)数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．8．由PA PB PC AB ++=，得PA PB BA PC+++=0，即2PC AP =，所以点P 是CA 边上的第二个三等分 点，如图所示．故23PBC ABC S BC PC S BC AC ∆∆⋅==⋅．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中第12题第一个空2分，第二个空3分．9．3 10．725-11．3π 12．4；(]28,57 13．cos 2ρθ= 14． 15．72三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力） 解：（1）∵函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫⎪⎝⎭，∴sin cos 0,33sin cos 1.22a b a b ππππ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即10,221.b a +=⎪⎨⎪=⎩解得1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩．（2）由（1）得()sin f x x x =12sin 2x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴当sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即232x k πππ-=+， 即526x k ππ=+()k ∈Z 时，()f x 取得最大值2． 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力等） 解：ξ的可能取值是2，3，4，5，6．∵161n n ==，∴()4042162C 381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()31412323C 3381P ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()22241284C 3327P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()3341285C 3381P ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭， ()444116C 381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． ∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望为16322481102345681818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间几何体中线面的位置关系，面积与体积，空间向量等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力）（1）证明：在正方形11AA A A''中，∵5A C AA AB BC ''=--=， ∴三棱柱111ABC A B C -的底面三角形ABC 的边5AC =． ∵3AB =，4BC =，∴222AB BC AC +=，则AB BC ⊥．∵四边形11AA A A''为正方形，11AA BB ，∴1AB BB ⊥，而1BCBB B =，∴AB ⊥平面11BCC B ． （2）解：∵AB ⊥平面11BCC B ，∴AB 为四棱锥A BCQP -的高．∵四边形BCQP 为直角梯形，且3BP AB ==，7CQ AB BC =+=，∴梯形BCQP 的面积为()1202BCQP S BP CQ BC =+⨯=， ∴四棱锥A BCQP -的体积1203A BCQP BCPQ V S AB -=⨯=，由（1）知1B B AB ⊥，1B B BC ⊥，且AB BC B =，∴1B B ⊥平面ABC ．∴三棱柱111ABC A B C -为直棱柱， ∴三棱柱111ABC A B C -的体积为111172ABC A B C ABC V S BB -∆=⋅=．故平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分的体积之比为722013205-=．（3）解：由（1）、（2）可知，AB ，BC ，1BB 两两互相垂直．以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则()3,0,0A ，()13,0,12A ，()0,0,3P ，()0,4,7Q ， ∴(3,0,3)AP =-，1(3,4,5)AQ =--， ∴1111cos ,5AP AQ AP AQ AP AQ ⋅<>==-，∵异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，∴直线AP 与1AQ 所成角的余弦值为15． 19．（本小题满分14分） （本小题主要考查等比数列、递推数列等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力） 解：（1）方法1：∵51=a ，∴22122113a a =+-=，33222133a a =+-=． 设2n n na b λ+=，由}{n b 为等差数列，则有3122b b b +=． ∴321232222a a a λλλ+++⨯=+．∴13533228λλλ+++=+． 解得 1λ=-．事实上，1111122n n n n n n a a b b +++---=-()111212n n n a a ++=-+⎡⎤⎣⎦()1112112n n ++⎡⎤=-+⎣⎦1=，综上可知，当1λ=-时，数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列． 方法2：∵数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 设2n n na b λ+=，由}{n b 为等差数列，则有122n n n b b b ++=+（*n ∈N ）． ∴12122222n n n n n n a a a λλλ+++++++⨯=+．∴1244n n n a a a λ++=--()()121222n n n n a a a a +++=---()()12221211n n ++=---=-．综上可知，当1λ=-时，数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列． （2）由（1）知，()1111122n n a a n --=+-⨯， ∴()121nn a n =+⋅+．∴()()()()12122132121121n nn S n n -⎡⎤=⋅++⋅+++⋅+++⋅+⎣⎦．即()1212232212n n n S n n n -=⋅+⋅++⋅++⋅+．令()1212232212n n n T n n -=⋅+⋅++⋅++⋅， ① 则()23122232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅． ②②－①，得()()12312222212n n n T n +=-⋅-+++++⋅12n n +=⋅．∴()11221n n n S n n n ++=⋅+=⋅+．20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）（1）解：∵()x f x e x =-，∴()1xf x e '=-．令()0f x '=，得0x =．∴当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<．∴函数()xf x e x =-在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增．∴当0x =时，()f x 有最小值1．（2）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1x e x -≥，即1xx e +≤．令k x n=-（*,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01k n ke n-<-≤，∴1(1,2,,1)nnkkn k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即(1,2,,1)nk n k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭．∵1,nn n ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴(1)(2)211211n nn nn n n n e e e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∵(1)(2)2111111111n n n e eeee e e e e ----------+++++=<=---， ∴ 1211n nn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）解法1：（1）不妨设A 211,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 222,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且12x x <， ∵AM BM +=0，∴2212122,22,222x x x x p p ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0．∴124x x +=，22128x x p +=．∵()21222122x x x x ++>（12x x ≠），即88p >，∴1p >，即p 的取值范围为()1,+∞．（2）当2p =时，由（1）求得A 、B 的坐标分别为()0,0、()4,4．假设抛物线L 上存在点2,4t C t ⎛⎫⎪⎝⎭（0t ≠且4t ≠），使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．设经过A 、B 、C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则2420,4432,1641616.F D E F tD t E F t t ⎧=⎪++=-⎨⎪++=--⎩整理得 ()()3441680t E t E ++-+=． ① ∵函数24x y =的导数为2x y '=， ∴抛物线L 在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为2t ， ∴经过A 、B 、C 三点的圆N 在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为2t ． ∵0t ≠，∴直线NC 的斜率存在．∵圆心N 的坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴242122t E t D t +⨯=-+，即()()324480t E t E ++-+=． ② ∵0t ≠，由①、②消去E ，得326320t t -+=．即()()2420t t -+=．∵4t ≠，∴2t =-．故满足题设的点C 存在，其坐标为()2,1-．解法2：（1）设A ，B 两点的坐标为1122()()A x y B x y ,,,，且12x x <。

2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。

2020届江西省百所名校高三下学期第四次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.全集U =R ,(){}ln 1A x y x ==+,{}220B x x x =--<,则() U B A =（ ）A. ()2,+∞B. (),2-∞C. ∅D. ()1,2- 【答案】B【解析】 根据已知条件先求出集合A 和集合B ,再求出集合A 的补集,再运用集合的并集运算即可. 【详解】因为{}1A x x =>-,{}12B x x =-<<, 所以{} 1U A x x =≤-,故(){} 2U B A x x ⋃=<.故选：B2.欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家,为数学界作出了巨大贡献,其中就有欧拉公式：cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）.它建立了三角函数和指数函数间接关系,被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式,则复数43i z iπ=的模为（ ）C. D. 2 【答案】B【解析】由题意可得4i e π=,代入43i z i π=+并对其化简,再代入模长计算公式即可.【详解】因为422i e π=+, 所以433112i z e i i i iπ==-++=-,从而5z =.故选：B3.空气质量AQI 指数是反映空气质量状况指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如表：AQI 指数值 [)0,50[)50,100 [)100,150 [)150,200 [)200,300 [)300,+∞ 空气质量优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染如图所示的是某市11月1日至20日AQI 指数变化的折线图：下列说法不正确的是（ ）A. 这20天中空气质量为轻度污染的天数占14B. 这20天中空气质量为优和良的天数为10天C. 这20天中AQI 指数值的中位数略低于100D. 总体来说,该市11月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】根据已知条件对每个选项进行判断即可.【详解】对于A ,20天中AQI 指数值高于100,低于150的天数为5,即占总天数的14,故A 正确； 对于B ,20天中AQI 指数值有10天低于100,故B 正确；对于C ,20天中AQI 指数值有10天低于100,10天高于100,根据图可知中位数略高于100,故C 错误；对于D ,由图可知该市11月上旬的空气质量的确比中旬的空气质量要好些,故D 正确.故选：C。

2020年全国高考模拟理科数学卷（4）考试时间120分钟 总分150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设U =R ，A ={x |x 2-3x -4＞0},B ={x |x 2-4＜0},则=B A C U I )(A ．{x |x ≤-1,或x ≥2}B ．{x |-1≤x ＜2}C ．{x |-1≤x ≤4}D ．{x |x ≤4}2.若复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m 的值为（ ） A. -1 B.-2 C.1 D.23.A ．4163π-B ．403C ．8163π-D ．3234. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是A ．1-B ．21C ．1D ．25. 在数列{}n a 中，12341,23,456,78910,a a a a ==+=++=+++则10a = （ ） A. 495 B.500 C.505 D.5106. ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ）4A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭UC ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U8. 设()()2,cos sin cos cos 2a R f x x a x x x π⎛⎫∈=-+-⎪⎝⎭满足()(0)3f f π-=，求函数()f x 在11,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值 （ ） A.1 B.2 C.3 D.9. 在R 上定义的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=，若)(x f 在区间[]2,1是减函数，则函数)(x f （ ）A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数10. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种11. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，12,F F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，G 为12F PF ∆内一点，满足123PG PF PF =+u u u v u u u v u u u u v，12F PF ∆的内心为I ，且有12IG F F λ=u u v u u u u v（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e =（ ） A ．13 B ．12 C ．23D12. 在三棱锥A —BCD 中，AB ＝AC ，DB ＝DC ，4AB DB +=，AB ⊥BD ，则三棱锥 A —BCD 的外接球的体积的最小值为（ ）A. 3B. 43πC. 3D. 323π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.13. 若向量12,2a =,b a b ==且-,则a b =+ 。

按秘密级事项管理★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试本试卷共22题，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|26M x x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则M N =I （ ） A ．{}2|2log 35x x -<< B ．{}2|3log 35x x -<< C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<2.设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则（ ） A ．221x y =+B ．221y x =+C ．221x y =-D ．221y x =-3.已知()2,1AB =-u u u r ，()1,AC λ=u u u r ，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ）A ．-1B ．7C ．1D ．1或74.“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5.若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为-45，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．14D ．136.函数()2cos 2cos 221xxf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB CD P ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<8.已知函数()2xf x x a =+，()ln 42xg x x a -=-，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ） A ．(]0,1B ．(]0,4C ．[)1,+∞D ．(]0,ln 2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（ ）A ．4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B ．支出最高值与支出最低值的比是5:1C ．第三季度平均收入为5000元D ．利润最高的月份是3月份和10月份10.嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（ ）A ．焦距长约为300公里B ．长轴长约为3988公里C ．两焦点坐标约为()150,0±D ．离心率约为7599411.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F 、B 、E 、G 、H 为过三点B 、E 、F 的平面BMN 与正方体1111ABCD A B C D -的棱的交点，则下列说法正确的是（ ）A ．HF BE PB ．三棱锥1B BMN -的体积为6C ．直线MN 与平面11A B BA 的夹角是45°D ．11:1:3D G GC =12.已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论正确的是（ ） A ．实数a 的值为1B ．()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称 C ．21x x -的最大值为π D ．12x x +的最小值为23π 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，则()5f -=__________；()()5f f -=__________.（本题第一空2分，第二空3分）14.某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为5:3:2，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是111，则该部门员工总人数为__________.15.已知双曲线22219x y b -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线上任一点，且12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最小值为-7，则该双曲线的离心率是__________.16.如图，在矩形ABCD 中，24AD AB ==，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE ，CE 折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤.17.在①2316b b a =，②412b a =，③5348S S -=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.设正数等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，{}n a 是等差数列，__________，34b a =，12a =，35730a a a ++=，是否存在正整数k ，使得132k k k S S b +=++成立？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.已知在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=21b -=.（1）求cos C 的值； （2）求ABC △的面积.19.在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，DF GE P ，2222AB AG DG DF ====. （1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小.20.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()0,2F 的距离小1. （1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222:221C x y -++=上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A 、B ，求直线AB 斜率的取值范围.21.某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案（a ）规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案（b ）规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)25,35，[)35,45，[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率； （2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案（a ）概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由. （同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）22.已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-. （1）若函数()f x 在()0,+∞上单调递减，且函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求实数m 的值； （2）求证：()()21111sin11sin1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭L （*n ∈N 且2n ≥）. 2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1.A 本题考查交集.25log 356<<Q ，{}2|2log 35M N x x ∴=-<<I .2.B 本题考查复数的几何意义.12z zz +=+Q ，1x =+，解得221y x =+.3.C 本题考查向量的数量积.cos 10AB AC BAC AB AC ⋅∠===u u u r u u u r Q u u u r u u u r ，∴解得1λ=. 4.A 本题考查充分必要条件.Q 当函数()()2231f x b b x α=--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-，∴“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--为幂函数”的充分不必要条件. 5.D 本题考查二项式定理.()()()()666131313x a x x x a x -+=+-+Q 的展开式中3x 的系数为2233663313554045C aC a -=-=-，∴解得13a =. 6.C 本题考查函数的图象.()2cos 221cos 2cos 22121x xx x f x x x +=+=--Q ， ()()()2121cos 2cos 22121x x x x f x x x f x --++∴-=-=-=---，∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又Q 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，∴选C 项. 7.A 本题考查线面关系.如图，CE ⊂平面ABPQ ，从而CE P 平面1111A B PQ ，易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交，4m ∴=，EF Q P 平面11BPPB ，EF P 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交，4n ∴=，m n ∴=.8.A 本题考查函数与导数.由题意得()()0000002ln 425xx f x g x x a x a --=+-+=，即0000242ln 5xx a a x x -+=+-，令()ln 5h x x x =+-，()111xh x x x-'∴=-=，()h x ∴在()0,1上单调递增，则()1,+∞上单调递减， ()()max 14h x h ∴==，而024224x x a a a -+≥=，当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立，44a ∴≤，01a ∴<≤.9.ACD 本题考查图表问题.对于A 选项，4至5月份的收入的变化率为30502054-=--，11至12月份的变化率为5070201211-=--，故相同，A 项正确.对于B 选项，支出最高值是2月份60百元，支出最低值是5月份的10百元，故支出最高值与支出最低值的比是6:1，故B 项错误.对于C 选项，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40百元，50百元，60百元，故第三季度的平均收入为405060503++=百元，故C 项正确.对于D 选项，利润最高的月份是3月份和10月份都是30百元，故D 项正确.10.AD 本题考查椭圆的实际应用.设该椭圆的半长轴长为a ，半焦距长为c .依题意可得月球半径约为1347617382⨯=，10017381838a c -=+=，40017382138a c +=+=，2183821383976a =+=，1988a =，21381988150c =-=，椭圆的离心率约为150751988994c e a ===，可得结论A 、D 项正确，B 项错误；11.AD 本题考查立体几何问题.对于A 选项，由于平面11ADD A P 平面11BCC B ，而平面BMN 与这两个平面分别交于HF 和BE ，根据面面平行的性质定理可知HF BE P ，故A 选项判断正确；由于1:1:2A F FA =，而E 是1CC 的中点，故11MA =，123HD =，112D G =，132GC =,12C N =. 对于B 选项，111111111342=43232B BMN B MNB V V MB NB BB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，故B 选项判断错误； 对于C 选项，由于1B N ⊥平面11A B BA ，所以直线MN 与平面11A B BA 所成的角为1NMB ∠，且1114tan 13B N NMB B M ∠==≠，故C 选项判断错误； 对于D 选项，根据前面计算的结果可知112D G =，132GC =，故D 选项判断正确. 12.ACD 本题考查三角函数性质.56x π=Q 是函数()f x 的一条对称轴， ()53f x f x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，∴令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，解得1a =， ()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，又Q 函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，21x x ∴-的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-，()()11,x f x ∴和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一个对称中心对称， ()1212233322x x x x k k ππππ-+-+-∴==∈Z ，()12223x x k k ππ∴+=+∈Z ，当0k =时，12x x +取最小值为23π， ∴A ，C ，D 项正确，B 项错误.13.0 1 本题考查求函数值.()()()5130f f f -=-==，()()()()5041ff f f -===.14.60 本题考查分层抽样和概率.设C 组有n 人，()22224121111n n C C C n n -==-Q ，∴解得12n =，∴该部门员工总共有()12532602⨯++=人. 15.43本题考查双曲线的离心率.设点()1,0F c -()0c >，()2,0F c ()0c >，(),P m n ， 则22219m n b -=，即22291n m b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()1=,PF c m n ---u u u r Q ，()2,PF c m n =--u u u u r，2222222221222991199n PF PF m c n n c n c c b b ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+=++-=++-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u u r ，当0n =时，等号成立，297c ∴-=-，4c ∴=，43e ∴=. 16.323π 本题考查折叠问题.由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图， 设BE ，EC ，BC 的中点分别为M ，N ，O ，连接AM ，OM ，AO ，DN ，NO ，DO ，OE ，则OM BE ⊥，ON CE ⊥. 因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE .所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ，易得2OA OB OC OD OE =====， 则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==.17.解：本题考查数列的应用.Q 在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，510a ∴=， ∴公差51251a a d -==-，()112n a a n d n ∴=+-=，348b a ∴==， 若存在正整数k ，使得132k k k S S b +=++成立，即132k k b b +=+成立，设正数等比数列{}n b 的公比为()0q q >，若选①，2316b b a =Q ，24b ∴=，322b q b ∴==，2n n b ∴=， ∴当5k =时，满足6532b b =+成立.若选②，41224b a ==Q ，433b q b ∴==，383n n b -∴=⋅， 23838332n n --∴⋅=⋅+，332n -∴=方程无正整数解， ∴不存在正整数k ，使得132k k b b +=+成立.若选③，5348S S -=Q ，4548b b ∴+=，28848q q ∴+=，260q q ∴+-=， ∴解得2q =或3q =-（舍去），2nn b ∴=，∴当5k =时，满足6532b b =+成立.18.解：本题考查解三角形.（121b -=2b a -=2sin sin C B A -=，6A π=Q ，56B C π∴=-，512sin 62C C π⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ∴解得1cos 2C =-. （2）Q 在ABC △中，1cos 2C =-，23C π∴=，6B AC ππ∴=--=，1b a ∴==，11sin 112224ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△. 19.解：本题考查线面垂直和二面角.（1）Q 平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥，BE ∴⊥平面DGEF ，BE FG ∴⊥，由题意可得FG FE ==222FG FE GE ∴+=，FE FG ∴⊥，FG ∴⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--u u u r，()1,1,1FB =-u u u r ，()0,1,1FE =-u u u r.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =r ，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n ⎧--==⋅=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎪⎩u u u r ru u u r r，令11x =，()1,0,1n =r ，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==u r u u u r，1cos ,2n m n m n m⋅∴===r u r r u r r u r ，∴两法向量所成的角为3π， 由图可知，二面角A BF E --的大小为23π.20.解：本题考查轨迹问题.（1）设点(),M x y ，Q 点M 到直线1y =-的距离等于1y +，11y ∴+=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA 、PB 的斜率都存在，分别设为1k 、2k ，切点()11,A x y ，()22,B x y ， 设点(),P m n ，过点P 的抛物线的切线方程为()y k x m n =-+， 联立()28y k x m nx y⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，得28880x kx km n -+-=，26432320k km n ∆=-+=Q ，即220k km n -+=，122m k k ∴+=，122nk k =， 由28x y =，得4x y '=，114x k ∴=，2211128x y k ==，2222222428x x k yk =⋅==，222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+∴====--， Q 点(),P m n 满足()()22221x y -++=，13m ∴≤≤，13444m ∴≤≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21.解：本题考查概率问题.（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”. 依题意，快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2、0.15、0.05，0.20.150.050.4++=Q ，()P A Q 估计为0.4.（2）设事件B 为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C 为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()0,1,2,3,4i i =人选择方案()a ”，则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()*11002Y X X =+∈N ，方案()b 的日工资()*2*150,54,150554,54,X X Y X X X ⎧≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩NN， 所以随机变量1Y 的分布列为()11600.051800.052000.22200.32400.22600.152800.05224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500.31800.32300.22800.153300.05203.5E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.()()12E Y E Y >Q ，∴建议骑手应选择方案()a .22.解：本题考查函数与导数.（1）Q 函数()f x 在()0,+∞上单调递减，()101mf x x'∴=-<+，即1m x <+在()0,+∞上恒成立，1m ∴≤， 又Q 函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ()cos 0g x m x '∴=->，即cos m x >在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，1m ≥，∴综上可知，1m =.（2）由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0,+∞上为减函数，()sin g x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <.sin1Q ，1sin12⨯，1sin 23⨯，L ，()1sin 01n n>-⨯（*n ∈N 且2n ≥），()()()111ln 1sin11sin 1sin 1sin ln 1sin112231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦L()11111ln 1sin ln 1sin ln 1sin sin1sin sin 122311223n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++<+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ()()1111111111sin111221122312231n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<++++=+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⨯⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ，即()()111ln 1sin11sin 1sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦L ， ()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++< ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭L（*n ∈N 且2n ≥）.。

二〇二〇届全国高考模拟考试试卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，共12题，满分60分。

1．已知点11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭和抛物线2:2C x y =，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若PA PB ⊥u u u r u u u r，则直线斜率k 为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．113．1231261823n nn n n n C C C C -+++⋯+⨯=（ ）A ．2123n + B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA uuu r ,OB uuu r对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD uuu r对应的复数是（ ） A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i5．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为（ ）A ．13B ．12 C ．16D ．236．已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===r r r，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是（ ）A ．0a b c ++=r rr r B ．a b c r r r 、、两两平行 C ．//a b rr D ．a b c r r r 、、方向都相同7．已知2:11xp x <+，:()(3)0q x a x -->，p 为q 的充分不必要条件，则a 的范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．[)0,+∞D ．()1,-+∞8．下列命题正确的是（ ）A ．若lim()0n n n a b a →∞=⋅≠，则lim 0n n a →∞≠且lim 0n n b →∞≠B ．若lim(,)0n n n a b →∞=，则lim 0n n a →∞=且lim 0n n b →∞= C ．若无穷数列{}n a 有极限，且它的前n 项和为n S ，则12lim 0=lim lim lim n n n n n n S a a a →∞→∞→∞→∞=+++L D ．若无穷数列{}n a 有极限，则1lim lim n n n n a a +→∞→∞= 9．设为负实数且，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．以上都不对10．在四边形ABCD 中,已知M 是AB 边上的点,且1MA MB MC MD ====,120CMD ∠=o ,若点N 在线段CD (端点,C D 除外)上运动,则NA NB ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ） A ．[)1,0-B ．[)1,1-C ．3,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭11．若集合012|),{(},2,1,0{≥+-==y x y x N M 且M y x y x ∈≤--,,012}，则N 中元素的个数为（ ） A ．9B ．6C ．4D ．212．已知函数21()sin cos 2f x x x x =++，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()y f x =的图像关于直线3x π=对称D ．()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届全国高考百所名校基础演练试卷（四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题，的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】按存在性命题的否定的规则写出即可.【详解】因命题为“，”，它是存在性命题，故其否定为：，选B.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.2.抛物线上的点到其焦点的距离为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】利用焦半径公式可得的长度. 【详解】，故选C. 【点睛】如果抛物线的方程为，则抛物线上的点到焦点的距离为.3.圆形铜钱中间有一个边长为4毫米的正方形小孔，已知铜钱的直径为16毫米，现向该铜钱上随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），那么该粒米落入小孔内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】算出正方形小孔的面积和铜钱的面积，利用几何概型的概率公式可得所求的概率.【详解】设为“该粒米落入小孔内”，因为正方形小孔的面积为平方毫米，铜钱的面积为平方毫米，故，故选A.【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】【分析】对于A，B选项均有可能为线在面内，故错误；对于C选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D正确.【详解】若，，则有可能在面内，故A错误；若，，有可能面内，故B错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误．若，，，则由直线与平面平行的性质知，故D正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.5.某地气象台预计，7月1日该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设表示下雨，表示刮风，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A 为下雨，B为刮风，则6.展开式中项的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】考虑的二项展开式中的常数项、一次项和二次项的系数后可得所求的系数.【详解】的通项公式为，故的二项展开式中的常数项为，一次项系数为，二次项的系数为，展开式中的系数为，故选C.【点睛】二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求．7.我市实行新高考，考试除了参加语文、数学、英语的统一考试外，还需从物理和历史中选考一科，从化学、生物、政治、地理中选考两科，学生甲想要报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为（）A. 8B. 12C. 18D. 19【答案】B【解析】【分析】就甲选择物理或历史分类计数即可.【详解】如果甲选考物理，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有选考方法种数；如果甲选考历史，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有选考方法种数，综上，选考方法种数共有12种，选B.【点睛】本题考查组合的计数，为基础题，解题时注意合理分类.8.下表是某厂月份用水量（单位：百吨）的一组数据，其中有一个数据模糊不清，已知原来根据该数据由最小二乘法求得回归直线方程为，则表中模糊不清的数据为（）用水量A. 2.5B. 4.5C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】利用线性回归方程对应的直线过计算可得缺失的值.【详解】因为回归直线方程，当时，，设2月份用水量为，则，故，故选D.【点睛】本题考查线性回归方程对应的直线过，属于基础题.9.某学期某大学数学专业的6名在校大学生到我校实习，则实习大学生按人数2,2,1，1安排到不同的四个年级的方案共有（）A. 1080B. 540C. 180D. 90【答案】A【解析】【分析】先把6人分组（按2，2，1，1）后再分配给四个不同的班级可得总的方案数.【详解】不同的方案有，故选A.【点睛】对于排列问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如组中人数确定等；（2）先选后排（或先分组再分配），比如要求所选的人满足一定的数目，我们得先选出符合数目要求的人，再把他们分配到相应的对象中，此处特别注意均匀分组问题；（3）去杂法，也就是从反面考虑．10.平行四边形的四个顶点均在双曲线上，直线的斜率分别为，1，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用点差法可求，从而可得渐近线方程.【详解】因为双曲线是中心对称的，故平行四边形的顶点关于原点对称，设，，则，故，，所以，整理得到：即，故即，所以渐近线方程为即，选A.【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系中，如果涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来简化计算.11.观察：，，，，，，从而得到47的二进制数为，记作：，类比上述方法，根据三进制数“满三进一”的原则，则（）A. 202B. 1202C. 021D. 2021 【答案】B【解析】【分析】把分解为后可得其三进制数的表示.【详解】因为，所以，故，故选B.【点睛】本题为新定义题，弄清题设中一个正整数的二进制表示是如何得到的是关键.12.定义在上的函数满足（其中为的导函数），则下列各式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】构建新函数，根据题设条件有在上为增函数，从而得到，化简后可得.【详解】，即令，则在上为增函数，，即，亦即，亦即，故选.【点睛】如果题设中有关于函数及其导数的不等式，我们应根据该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为3号、16号、42号的同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号为__________．【答案】【解析】【分析】依据系统抽样可知学号是公差为的等差数列，从而可求余下一个同学的学号.【详解】因为该班总共52人，样本容量为4，故抽取的学号是公差为的等差数列，故余下一个同学的学号为.填.【点睛】本题考查系统抽样的性质，属于基础题.14.已知随机变量满足,，__________．【答案】【解析】【分析】利用公式直接计算即可.【详解】因为，所以，所以，填.【点睛】一般地，如果，，那么，.15.设，若，则非零实数__________．【答案】【解析】【分析】对题设中的等式两边求导后再令可得，从而求得的值.【详解】对等式两边求导后可得，令，则有，因，故即，填.【点睛】二项展开式中项的系数性质的讨论，可利用赋值法来求讨论，所赋之值应该根据解析式的特点作合适选择，有时还需要对原有等式做合适的代数变形后（如求导等）再赋值，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来讨论．16.某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为1），则该几何体外接球的表面积__________．【答案】【解析】【分析】三视图对应的几何体为三棱锥，补体后可求其外接球的表面积.【详解】如图，几何体三棱锥，将三棱锥补形为直三棱柱，其中底面为等腰直角三角形，其外接圆的半径为，侧棱，故外接球的半径为，故三棱锥外接球的表面积为.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）曲线的极坐标方程可以化为，利用可得其直角坐标方程. （2）把直线的参数代入抛物线的方程得到关于的一元二次方程，利用参数的几何意义可求的值.【详解】（1）曲线的极坐标方程可化为，因为，所以直角坐标方程为；（2）设直线上两点的参数分别为，，则，，将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，化简得，则，所以.【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造．直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为（其中为参数），注意表示直线上的点到的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．18.我校某数学老师这学期分别用两种不同的教学方式在高一甲、乙两个班（人数均相同，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）进行教学实验，现随机抽取甲、乙两班各20名学生的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如下:（1）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（2）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取三名同学，事件表示“抽到成绩为86分的同学至少1名”，求.（3）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，完成分类变量成绩教学方式的列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：（参考公式：，其中）【答案】（1）乙班；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）根据茎叶图可得乙班的平均分高.（2）利用古典概型的概率计算公式计算即可.（3）利用给出的公式计算出的值，再结合临界值表可知在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩优秀与教学方式有关.【详解】（1）由茎叶图知甲班数学成绩集中于分之间，而乙班数学成绩集中于分之间，所以乙班的平均分高.（2）根据题意得（3）根据题意得到列联表为因此在犯错误的概率不超过的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关.【点睛】本题主要考查统计中茎叶图的应用、古典概型的概率计算和独立性检验，此类问题为容易题.19.如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的大小.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）可证平面平面，从而可证平面.（2）建立空间直角坐标系，通过计算两个平面的法向量可得二面角的余弦值，从而得到二面角的平面角的大小.【详解】（1）底面是菱形，，因平面，平面，所以平面.同理，平面，，平面平面，又平面，所以平面.（2）底面，即为直线与平面所成的角，故，中,，又底面是边长为2的菱形，，取中点，连，则，以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则各点坐标分别为,,,,,底面,，又底面是菱形，,平面，平面的法向量取 ,设平面的法向量，则：,，令得,,二面角的大小为.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了的该农产品，以（单位：）表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该产品的利润.（1）根据直方图估计下一个销售季度市场需求量的平均数、中位数和众数；（2）在直方图需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取，且的概率等于需求量落入的频率，）求利润的分布列和数学期望.【答案】（1）；；；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）利用组中值可求平均数，众数就是频率最大的组的中值，而中位数就是能把诸矩形面积平分的那个值.（2）先求出利润与的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望.【详解】（1）,，，（2），利润的分布列为（元）.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用、离散型随机变量的分布列及其数学期望的求法，属于基础题.21.椭圆的左焦点为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于两点，椭圆上另一点满足的重心为坐标原点，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）列出关于方程组，解出它们可得椭圆的方程.（2）设，联立直线方程和椭圆方程，消元后可得，利用韦达定理可用表示的坐标，再利用在椭圆上得到，利用该式化简的面积表达式可得其值.【详解】（1）依题意：解得，椭圆的方程为.（2）设，则由于的重心为坐标原点，所以.联立 ,得，，，在椭圆上，，即，在椭圆上, ,，，即，即，，的重心为坐标原点，到直线的距离等于到直线的距离的3倍，即即，，， .【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.已知函数，. （1）若函数在单调递增，求实数的取值范围；（2）若恒成立，求的最小值的最大值.【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由题设有，参变分离后可得的取值范围. （2）等价于，令，分和后可得，其中，故即，从而，令，利用导数可求其最大值.【详解】（1），，若函数 在单调递增，对任意恒成立，，在单调递减，当时，，故所求实数的取值范围为.（2）即令，则恒成立若，则当时，与恒成立矛盾，所以,由得，当时，单调递增；当时，单调递减；，，， ,的最小值 .又，当时，，单调递增；当时，，单调递减，.【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，如果导数的符合还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导函数），再利用导数判断其符号．。

江西省百所名校2020届高三第四次联考数学（理）试题一、选择题1.全集U =R ，(){}ln 1A x y x ==+，{}220B x x x =--<，则() U B A =（ ）A. ()2,+∞B. (),2-∞C. ∅D. ()1,2- 【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件先求出集合A 和集合B ，再求出集合A 的补集，再运用集合的并集运算即可.【详解】因为{}1A x x =>-，{}12B x x =-<<，所以{} 1U A x x =≤-，故(){} 2U B A x x ⋃=<.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.2.欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家，为数学界作出了巨大贡献，其中就有欧拉公式：cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）.它建立了三角函数和指数函数间接关系，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，则复数432i z e iπ=+的模为（ ） 3 5 C. 22 D. 2【答案】B 【解析】【分析】 由题意可得42222i e i π=+，代入432i z e i π=+并对其化简，再代入模长计算公式即可. 【详解】因为42222i e π=+， 所以4323112i z e i i i iπ==-++=-，从而5z =. 故选：B【点睛】本题考查了复数的运算及复数的模的求法，属于容易题.3.空气质量AQI 指数是反映空气质量状况指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI 指数值[)0,50 [)50,100 [)100,150 [)150,200 [)200,300 [)300,+∞ 空气质量优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染如图所示的是某市11月1日至20日AQI 指数变化的折线图：下列说法不正确的是（ ）A. 这20天中空气质量为轻度污染的天数占14B. 这20天中空气质量为优和良的天数为10天C. 这20天中AQI 指数值的中位数略低于100D. 总体来说，该市11月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】【分析】根据已知条件对每个选项进行判断即可.【详解】对于A ，20天中AQI 指数值高于100，低于150的天数为5，即占总天数的14，故A 正确；对于B ，20天中AQI 指数值有10天低于100，故B 正确；对于C ，20天中AQI 指数值有10天低于100，10天高于100，根据图可知中位数略高于100，故C 错误；对于D ，由图可知该市11月上旬的空气质量的确比中旬的空气质量要好些，故D 正确. 故选：C【点睛】本题考查了统计列表中的折线图来解决问题，属于较易题.4.已知5cos 57πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7cos 104tan 5παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） A. 57-B. 7-C. 7D. 57【答案】D【解析】【分析】先利用诱导公式对要求的式子进行化简，再结合已知条件即可. 【详解】7cos cos sin 255105cos 457tan tan tan 555ππππαααπαπππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭===-= ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：D【点睛】本题考查了已知一个三角函数值，求另一个式子的值，考查了利用诱导公式化简并求值，属于较易题.5.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线的斜率2k ≥，则C 的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝⎦B. ⎫+∞⎪⎪⎣⎭C. (D.)+∞ 【答案】D【解析】【分析】 根据题意可得2b k a=≥，再利用双曲线中的222c a b =+的关系进行求解即可.【详解】因为2b k a =≥，所以215b e a ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率以及双曲线中的222c a b =+的关系，属于较易题.6.下图是为了统计某班35名学生假期期间平均学习时间而设计的程序框图，其中i A 表示第i 位学生的学习时间，则判断框中可以填入的条件是（ ）A. 37?i ≤B. 36?i ≤C. 35?i ≤D. 34?i ≤【答案】C【解析】【分析】 由题意可得到流程图的功能是求35位学生的平均学习时间，再根据流程图来判断循环结束条件即可.【详解】读取流程图可知，当计算了前34位学生的学习时间的和后，再执行1i i =+后，得35i =，此时应满足判断框的条件；当计算了前35位学生的学习时间的和后，再执行1i i =+后，得36i =，此时应不满足判断框条件.故应填入“35?i ≤”.故选：C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图中的循环条件的判断，属于一般题. 7.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AD 的中点，F 为正方形11B C CB 的中心，则异面直线AF 与1A E 所成角的余弦值为（ ）A. 30-B. 30C. 0D. 12【答案】B【解析】【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系D xyz -，写出相关点的坐标，代入数量积的夹角公式即可.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设正方体的棱长为2，则()2,0,0A ，()1,2,1F ，()12,0,2A ，()1,0,0E ， 所以()1,2,1AF =-，()11,0,2A E =--，故11130cos ,3065AF A EAF A E AF A E ⋅===-⨯. 因为异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以异面直线AF 与1A E 所成角的余弦值为30.故选：B【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线的夹角，考查了学生的计算能力，属于一般题.8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+()0,ωπϕπ>-<<的部分图象如图所示，为了得到函数()f x 的图象，需要将函数()222cos 2sin 22x x g x ωω=-的图象向右平移()0m m >个单位长度，则m 的最小值为（ ）A. 12πB. 6πC. 4πD. 3π 【答案】A 【解析】【分析】根据题中给的图像，可求出2ω=和3πϕ=，再根据三角函数的图像变换即可得. 【详解】由图可知43124T πππ=-=，即T π=， 所以2ππω=，2ω=，故()()2sin 2f x x ϕ=+， 因为2sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()262k k Z ππϕπ+=+∈，因为πϕπ-<<，所以3πϕ=，即()2sin 22cos 22cos 23612f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因为()222cos 2sin 2cos2g x x x x =-=， 所以为了得到函数()f x 的图象，需要将函数()g x 的图象向右平移12π个单位长度.故选：A【点睛】本题考查了三角函数图像以及图像变换，属于一般题.9.已知函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数，且满足()()33f x f x -=-+，且当11x -≤≤时，()()ln 2f x x x =+，则()()()()()()10123...2020f f f f f f -++++++=（ ）A. ln3B. ln3-C. 4ln 2ln3-D.4ln 2ln3+【答案】A【解析】【分析】根据函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数且满足()()33f x f x -=-+，可得到函数的周期，再计算出一个周期的和，即可得到答案.【详解】因为函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数，所以()y f x =的图象关于直线1x =对称.因为()()33f x f x -=-+，所以()y f x =的图象关于点()3,0对称，所以()f x 是以8为周期周期函数.又()10f -=，()00f =，()1ln3f =，()()200f f ==，()()310f f =-=，()()420f f =-=，()()51ln3f f =-=-，()()600f f =-=，所以()()()()101...60f f f f -++++=，故()()()()()()10123...2020f f f f f f -++++++()()()()()()101234ln3f f f f f f =-+++++=.故选：A【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性，对称性，周期性，考查了学生的计算能力，属于一般题.10.中国古典文学四大名著《三国演义》《水浒传》《西游记》和《红楼梦》的作者分别为罗贯中、施耐庵、吴承恩和曹雪芹.某次考试中有一道四大名著与作者的连线题，连对一个得一分，则同学甲随机连线得分为零的概率为（ ） A. 13 B. 14 C. 38 D. 124【答案】C【解析】【分析】先随机连线对应有4424A =种，再找出全都没连对的情况有9种，代入概率计算公式即可.【详解】随机连线对应有4424A =种，全都没连对的情况有：第一个连线错了有13C 种，再由第一个选的那个对应的再去选有13C 种，剩余2个连错有1种，所以共有113391C C ⨯⨯=，所以所求概率93248P ==. 故选：C【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，考查了特殊要求的排列问题，属于一般题.11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，圆()22:11F x y -+=，过F 作直线l ，与上述两曲线自上而下依次交于点,,,P M N Q ，当196PM QN+=时，直线l 的斜率为（ ）A. C. 1 D. 【答案】A【解析】【分析】先设PF m =，QF n =，则1PM m =-，1QN n =-，再根据抛物线的性质知1121m n p+==，利用基本不等式求出最小值且等号成立条件可求出43m =，4n =，从而可得到13P ⎛ ⎝，即可得到直线l 的斜率. 【详解】设PF m =，QF n =，则1PM m =-，1QN n =-.∵24y x =，∴2p =， 由抛物线的性质知1121m n p+==， ∴1m n mn+=，则m n mn +=， ∴()1919910910111m n m n PM QN m n mn m n +-+=+==+----++. 又∵()()1199199110m n m n m n m n n m ⎛⎫+⋅=++=+++≥+ ⎪⎝⎭得916m n +≥，∴9106m n +-≥，当且仅当229n m =时，196PM QN +=， 此时3n m =，∴43m =，∴4n =，∴13P ⎛ ⎝， 又∵()1,0F ，故13k ==-. 故选：A【点睛】本题考查了抛物线性质，以及基本不等式求最值时等号成立的条件，考查了学生的计算能力，属于较难题.12.已知函数()f x 的定义域为()1,+∞，其导函数为()f x '，()()()()22x f x xf x xf x '++<⎡⎤⎣⎦对()1,x ∈+∞恒成立，且()14525f =，则不等式()()233210x f x x ++>+的解集为（ ）A. ()1,2B. (),2-∞C. ()2,3-D. ()2,2- 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件构造一个函数()()2g x G x x =+，再利用()G x 的单调性求解不等式即可. 【详解】由()()()()22x f x xf x xf x '++<⎡⎤⎣⎦，可得()()()2222x f x xf x x f x x '+<+， 即()()()222x f x x f x x '<+，令()()2g x x f x =， 则()()()()()2022g x g x g x x g x x x '-+'<-=++.令()()2g x G x x =+，()()()()()()22022g x g x x g x G x x x ''+-⎛⎫'==< ⎪++⎝⎭， 所以()G x 在1∞+（，）上是单调递减函数. 不等式()()233210x f x x ++>+， 等价于()()23325x f x x ++>+， 即()()3325g x G x x ++=>+，()()()52555277g f G ===， 所求不等式即()()35G x G +>，由于()G x 在1∞+（，）上是单调递减函数， 所以35x +<，解得2x <，且31x +>，即2x >-，故不等式()()233210x f x x ++>+的解集为()2,2-. 故选：D【点睛】本题考查了利用构造新函数的单调性求解不等式，考查了利用导数判断函数单调性的方法，考查了分析问题的逻辑思维能力，属于困难题.二、填空题13.若非零向量,a b ，满足3a b =，()3a b b -⊥，则a 与b 的夹角的余弦值为______.【答案】19【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为θ，根据数量积的运算即可. 【详解】设a 与b 的夹角为θ，由()3b b a -⊥， 可得()233cos 0a a b b b b θ-⋅=-=，又因为3a b =， 所以229cos 0b bθ-=，解得1cos 9θ=. 故答案为：19【点睛】本题考查了数量积的运算，考查了向量垂直的转化，属于较易题.14.若实数,x y 满足约束条件22024034120x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则x y +的最大值为______.【答案】10 【解析】 【分析】先由已知条件画出约束条件22024034120x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩可行域，根据可行域即可求出x y +的最大值.【详解】因为实数,x y 满足约束条件22024034120x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则由题意可得当经过A 点时x y +有最大值，联立22034120x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得46x y =⎧⎨=⎩，即()4,6A ，所以()max 10x y += 故答案为：10【点睛】本题考查了简单的线性规划，利用可行域求目标函数的最大值，属于较易题. 15.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()3cos cos cos A A B C -=，6a c +=，4b =，则ABC 的面积为______.【答案】533【解析】 【分析】 先由)3cos cos cos A A B C -=可得3B π=，再由余弦定理可得203ac =，代入面积公式即可. 【详解】因为)3cos cos cos A A B C -=，所以)()()3cos cos cos cos cos sin sin A A B A B A B A B -=-+=--，3cos sin sin 0A B A B -=.又sin 0A ≠， 所以tan 3B =3B π=.因为6a c +=，4b =，所以()22222cos 236316b a c ac B a c ac ac ac =+-=+--=-=， 解得203ac =，所以1120sin 223ABC S ac B ==⨯=△.【点睛】本题考查了三角函数的化简，余弦定理以及面积公式，考查了学生的计算能力，属于一般题.16.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为4π.记点M 的轨迹长度为α，则tan α=______；当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为______.【答案】8π 【解析】 【分析】先根据已知条件判断出点M 的轨迹为圆弧，再求此时的α，即可求出tan α=；判断三棱锥P ABM -的体积最小时即点M 位于F 时，此时三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点，所以半径为PF 的一半，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ， 则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角， 所以4PMA π∠=.因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上， 记点M 的轨迹为圆弧EF .连接AF ，则2AF =. 因为1AB =，3AD =，所以6AFB FAE π∠=∠=，则弧EF 的长度263ππα=⨯=，所以tan α=.当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小，又2PAF PBF π∠=∠=，∴三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点. 因为222222PF =+=，所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积()2428S ππ==.38π【点睛】本题考查了由线面垂直得到线面角，判断出动点轨迹，外接球的半径及表面积的计算，属于较难题. 三、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足93,,24n n a S 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设31323log log ...log n n b a a a =+++，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：119n T <. 【答案】（1）13n n a +=（2）证明见解析【解析】 【分析】 (1)由题意可得3922n n a S =+，再根据已知n a 与n S 的关系求{}n a 通项公式； (2)把(1)的{}n a 求通项公式代入31323log log ...log n n b a a a =+++求出{}n b 通项公式，再利用裂项求和求出数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T 即可证明．【详解】（1）解：由题意有3922n n a S =+， 当1n =时，113922a a =+，所以19a =. 当2n ≥时，3922n n S a =-，113922n n S a --=-，两式相减得113322n n n n n a S S a a --=-=-，整理得13n n a a -=， 所以{}n a 是以9为首项，3为公比的等比数列， 所以{}n a 的通项公式为11933n n n a -+=⨯=.（2）证明：因为()()313233log log ...log 23 (12)n n n n b a a a n +=+++=++++=， 所以()12211333n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 21111111111...3142536473n T n n ⎛⎫=-+-+-+-++- ⎪+⎝⎭2111111...3123123n n n ⎛⎫=+++--- ⎪+++⎝⎭ 21111136123n n n ⎛⎫=--- ⎪+++⎝⎭. 因为1110123n n n ++>+++，所以119n T <. 【点睛】本题考查了n a 与n S 的关系求通项公式以及裂项求和方法，考查了学生的计算能力，属于一般题．18.今年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情传播，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人，其中50岁及以上的共有40人.这100人中确诊的有10名，其中50岁以下的人占310. （1）请将下面的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关；（2）为了研究新型冠状病毒的传染源和传播方式，从10名确诊人员中随机抽出5人继续进行血清的研究，X表示被抽取的5人中50岁以下的人数，求X的分布列以及数学期望. 参考表：.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++. 【答案】（1）填表见解析；有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关（2）详见解析【解析】【分析】(1)由题意补充22⨯列联表，再代入()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d-=++++可求出2K即可判断；(2)根据题意先确定X的值可能为0,1,2,3，然后分别求出它们的对应的概率，根据求出的概率列出分布列以及求出期望值.【详解】解：（1）列联表补充如下：()2210075733325 4.167 3.841109040606K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关. （2）根据题意，X 的值可能为0,1,2,3.()575101012C P X C ===，()41735105112C C P X C ===，()32735105212C C P X C ===，()23735101312C C P X C ===，故X 的分布列为X0 1 2 3P112 512 512 112故()551123 1.5121212E X =⨯+⨯+⨯=人. 【点睛】本题考查了独立性检验的计算以及随机变量的分布列和期望的计算，考查了学生的计算能力，属于一般题.19.如图，在直五棱柱，11111ABCDE A B C D E -中，//AB ED ，AB AE ⊥，1AB ED ==，12AE AA ==，BC CD =，1BC C D ⊥.（1）证明：CD ⊥平面11BB C C ；（2）求平面1A BE 与平面1BC D 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）30【解析】 【分析】(1)先由题意可得1BC CC ⊥且1BC C D ⊥，从而有BC ⊥平面1C CD ，即有BC CD ⊥，再结合1CD CC ⊥即可证明CD ⊥平面11BB C C ；(2) 以E 为原点，以1,,EA ED EE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，然后写出相关点的坐标，求出相关平面的法向量，代入数量积求夹角公式即可.【详解】(1)证明：因为五棱柱11111ABCDE A B C D E -为直五棱柱， 所以1BC CC ⊥，又1BC C D ⊥，且111CC C D C ⋂=， 所以BC ⊥平面1C CD .因为CD ⊂平面1C CD ，所以BC CD ⊥. 因为BC CD ⊥，1CD CC ⊥，1CC BC C ⋂=， 所以CD ⊥平面11BB C C .（2）解：因为BC CD =，所以BCD 是以C 为直角顶点的等腰直角三角形，又AB CD ∥，AB AE ⊥，1AB ED ==，12AE AA ==，所以BC CD ==1,,EA ED EE 两两垂直.以E 为原点，以1,,EA ED EE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，()12,0,2A ，()11,2,2C ，()2,1,0B ，()0,1,0D ， ()11,1,2BC =-，()2,0,0BD =-，()12,0,2EA =，()2,1,0EB =.设平面1A BE 的法向量为()111,,n x y z =，则11111220,20,EA n x z EB n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令11x =，得平面1A BE 的一个法向量为()1,2,1n =--. 设平面1BC D 的法向量为()222,,m x y z =，则1222220,20,BC m x y z BD m x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩令21z =，得平面1BC D 的一个法向量为()0,2,1m =-. 设平面1A BE 与平面1BC D 所成锐二面角为ϕ，则cos cos ,m n m n m nϕ⋅====. 【点睛】本题考查了线面垂直的证明，空间向量法求二面角的余弦值，考查了学生的计算能力，属于较难题.20.已知动点P 到定直线:4l x =的距离与到定点()1,0F 的距离之比为2. （1）求P 点的轨迹C 的方程；（2）已知点()2,0A -，在y 轴上是否存在一点M ，使得曲线C 上另有一点B ，满足MA MB =，且2516NA NB ⋅=-？若存在，求出所有符合条件的点M 坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；0,4M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭或10,4M ⎛⎫± ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】(1)设(),P x y2=，化简即可得到P 点的轨迹C 的方程；(2) 假设在y 轴上存在符合题意的点M ，则点M 在线段AB 的中垂线上，分三种情况讨论直线的斜率即：斜率不存在；斜率为零；斜率不为零；求出满足条件点M 的坐标即可. 【详解】解：（1）设(),P x y2=，化简得223412x y +=，即22143x y +=，所以曲线C 的方程为22143x y +=.（2）假设在y 轴上存在符合题意的点M ，则点M 在线段AB 的中垂线上，由题意知直线AB 的斜率显然存在. 当直线AB 的斜率为0时，则()2,0A -，()2,0B . 设()0,M t ，则()2,MA t =--，()2,MB t =-.由225416MA MB t ⋅=-+=-，解得4t =±，此时0,4M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭. 当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 的方程为()2y k x =+.联立()222,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222341616120k x k x k +++-=，则221612234B k x k --⋅=+，解得226834B k x k -=+，即2226812,3434k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ AB 的中点为22286,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.线段AB 的中垂线为2226183434k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭， 令0x =，得2234k y k -=+，即220,34k M k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭. 所以222,34k MA k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，2226814,3434k k MB k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭， 所以()4222642836251634k k MA MB k +-⋅==-+.由形式可以猜想()223416k +=，故而2344k +=， 得214k =，经验证可知满足上式. 下边验证是否还有别解：令2x k =，上式可化为()()21664251628252425916360x x ++⨯+⨯+⨯-⨯=， 利用韦达定理知此方程有一个正根与一个负根， 所以214k =，此时10,4M ⎛⎫± ⎪⎝⎭.综上，可得0,M ⎛ ⎝⎭或10,4M ⎛⎫± ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解，以及存在性问题的求解，考查了学生的计算能力，属于较难题.21.已知函数()x f x ae b =+的图象在()()0,0f 处的切线方程为20x y -+=. （1）讨论函数()()F x f mx x m =--的单调性.（2）是否存在正实数t ，使得函数()()()ln 2g x f x t x t =--+-的定义域为[)0,+∞时，值域也为[)0,+∞？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）存在；12t =【解析】【分析】(1)先对函数()x f x ae b =+进行求导，根据已知条件在()()0,0f 处的切线方程为20x y -+=可求出1a =，1b =，即得到()1x f x e =+，再对()1mx F x e x m =+--进行求导，对参数m 进行讨论即可.(2)先假设存在符合题意的正实数t ，再对()()ln 1x t g x ex t -=-+-进行求导，可得到它的单调性以及单调区间，从而可求得()()ln 1x t g x ex t -=-+-的最小值大于或等于零即可. 【详解】解：（1）∵()x f x ae '=，∴()001f a e a '=⋅==.又∵()02f a b =+=，∴1b =，∴()1xf x e =+. ∴()1mx F x e x m =+--，∴()1mx F x me '=-.当0m ≤时，()10mx F x me '=-<，()F x 在R 上单调递减；当0m >时，令()10mx F x me'=->，得ln m x m >-. 令()10mx F x me '=-<，得ln m x m <-， 故()F x 在ln ,m m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在ln ,m m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减. （2）假设存在符合题意的正实数t ，由()()ln 1x t g x ex t -=-+-，得()1x t g x e x t -'=-+. ∵x t y e -=在[)0,+∞上单调递增，1y x t =+在[)0,+∞上单调递减， ∴函数()1x t g x ex t -'=-+在()0,∞+上单调递增. ∵()1100t g e t'=-<，且当x →+∞时，()g x '→+∞， ∴存在唯一的实数0x ，使得()00010x t g x e x t -'=-=+，即001x t e x t-=+①， ∴当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.∴()()()000min ln 1x t g x g x e x t -==-+-.由001x t e x t-=+，得()00ln x t x t -=-+， ∴()()()00000min 0011ln 1121x t x g x g x e x t t x t t x t x t-==---=+--=++--++2112t t ≥-=-. 当且仅当01x t +=时取等号，由120t -=，得12t =，此时0102x =>， 把12t =，012x =代入①也成立. 故存在正实数12t =，使得()g x 定义域为[)0,+∞时，值域也为[)0,+∞. 【点睛】本题考查了利用导数讨论函数的单调性，以及利用导数求函数的最小值，考查了学生的计算能力，属于较难题.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点()1,0-，且斜率为12，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线,OM ON 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，()4R πθρ=-∈. （1）求曲线C 和直线l 的极坐标方程； （2）已知直线OM 与直线l 的交点为P ，直线ON 与曲线C 的交点为O ，Q ，求OQOP 的值.【答案】（1）4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭；cos 2sin 10ρθρθ-+=（2）4OQ OP=- 【解析】【分析】 (1)先把参数方程转化为普通方程，再由普通方程转化为极坐标方程即可；(2)把()6R πθρ=∈，()4R πθρ=-∈代入对应的极坐标方程求出OP ，OQ 代入即可.【详解】解：（1）∵曲线C的参数方程为2cos ,2sin ,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩∴曲线C的普通方程为((224x y -++=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，整理得0ρθθ-+=，即曲线C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. ∵直线l 过点()1,0-，且斜率为12， ∴直线l 的方程为210x y -+=，∴直线l 的极坐标方程为cos 2sin 10ρθρθ-+=.（2）当6πθ=时，142sin cos 66OP ππ==+- 当4πθ=-时，4cos 444OQ ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.故4OQ OP ==-. 【点睛】本题考查了参数方程，普通方程转化为极坐标方程，极坐标方程的几何意义，属于一般题.23.已知函数()3131f x x x =-+-.（1）若()f x m ≤有解，求实数m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，实数m 的最小值为N ，若,,a b c 为正数，且a b c N ++=，证明：84222abc ab a b c+≥++-. 【答案】（1）[)2,+∞（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用三角不等式即可；(2)利用分析法和基本不等式证明不等式.【详解】（1）解：()()()313131312f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当()()31330x x --≤，即113x ≤≤时取等号，所以()min 2f x =. 因为()f x m ≤有解，所以()min 2m f x ≥=，故m 的取值范围是[)2,+∞.（2）证明：由（1）可知，2N =，所以2a b c ++=， 将84222abc ab a b c +≥++-变形为84222abc ab a b c+--≥-， 即()()()2228a b c abc ---≥.因为2a b c -=+≥2b a c -=+≥2c a b -=+≥所以()()()2228a b c abc ---≥， 当且仅当23a b c ===时等号成立，所以84222abc ab a b c+≥++-. 【点睛】本题考查了三角不等式求最值，利用分析法和基本不等式证明不等式，属于一般题.。