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2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷理科数学试卷（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，[]{}2|log (2)(1)B x y x x ==-+，则A B =I （ ） A.[-2,2) B.(-1,1) C.(-1,1] D.(-1,2) 2.复数21iz i=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242, 16a S ==，则5a =（ ） A.10 B .12 C .13 D .144.给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件;②定义在[a, b]上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.35.已知点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为（ ）A.12D.1 6.函数2()sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.7.3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ）A.2ln2B.ln2C.2D.18.执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内可以填入的条件是（ ） A.4?k > B .5?k > C.6?k > D.7?k >9.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察而画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图所示，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（ ）A.13 B .110C.121D.125210.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ） A.2对B.3对C.4对D.5对11.已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ） A.C.12.已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. 设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知A B C ，，为圆O 上三点，且2CO BA BC =-u u u r u u u r u u u r ，则BA BC ⋅=u u u r u u u r_____________.14.已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示,其中()01f =，5||2MN =，则点M 的坐标为_____________.15.如图，点A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，右焦点为()2,0F ，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则双曲线C 的方程为____________.16.已知在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，4BC CD BC CD AB AD ⊥====，，，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，sin ()sin sin a A a b B c C ++=，ABC △的面积S abc =. （1）求角C 的大小；（2）求ABC △周长的取值范围.18.如图，在多面体ABCGDEF 中，AB AC AD ，，两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC DG EF ∥∥，且12AC EF DG ===，.（1）证明：CF ⊥平面BDG . （2）求二面角F BC A --的余弦值.19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推岀两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次，每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次，每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，如下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示准备购买的2台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更划算？20.已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点.（1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N L L ，求证：[]ln (2)12n nn T +<-. （二）选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ=+. （1）写出曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若P Q ，分别为曲线12C C ，上的动点，求PQ 的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2||36|f x x x =-++. （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值.1.答案 B命题意图 本题考查解不等式与集合的运算. 解题分析 不等式201x x +≤-，等价于()()210x x +-≤且10x -≠，解得21x -≤<，即集合{}|21A x x =-<„ ，函数2log [(2)(1)]y x x =-+的定义域为(2)(1)0x x -+>，解得12x -<<，即集合{|12}B x x =-<<，所以()1,1A B =-I .2答案B命题意图 本题考查复数的运算及几何意义. 解题分析 由222(1)111i i i z i i i +===-+--，知对应点的坐标为()1,1-，所以对应点在第二象限. 3.答案D命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.解题分 由题意得211412246164a a d a S a d d =+=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩，则524414a =-+⨯=.4.答案 C命题意图 本题考查命题及充分、必要条件. 解题分析 对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =但是当tan 1x =时，,4x k k ππ=+∈Z ，所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，所以①不正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域为[],a b ，所以5b =， 所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确； 对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”，所以③是错误的； 故错误说法的个数为2. 5.答案 C命题意图 本题考查线性规划及点到直线的距离公式.解题分析 结合不等式，绘制可行域，如图.由0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2C ，点A 的位置如图所示，计算A 点到该区域的最小值，即计算点A 到直线260x y +-=的距离，所以min ||AB ==6.答案 A命题意图 本题考查函数的奇偶性与单调性，函数导数的应用.解题分析()f x 为偶函数，排除选项B ；2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-， 则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 所以当0x >时，()()0f x xg x =>，且()f x 单调递增，故选A 项. 7.答案 A命题意图 本题考查二项式定理及定积分.解题分析根据二项式3ax ⎛ ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4111111d d ln 2ln 2ax x x xx ===⎰⎰.8.答案 B命题意图 本题考查程序框图.解题分析 模拟执行如图所示的程序框图如下：1,1k S ==； 2,4k S ==； 3,11k S ==； 4,26k S ==； 5,57k S ==；6,120k S ==，此时满足条件5k >，输出120S =. 所以判断框内可以填入的条件是5?k >. 9.答案 C命题意图 本题考查古典概型.解题分析 现从这十个数中随机抽取4个数,基本事件总数140n C =，能成为两组包含的基本事件个数52m C =，则能成为两组的概率25410121C m P n C ===.10.答案 C命题意图 本题考查三视图，线面垂直和面面垂直的判定.解题分析 该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ，作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ，PO CD ⊥，又AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，同理可证平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知PO AO OD ==，所以AP PD ⊥，又AP CD ⊥，所以AP ⊥平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.11.答案 C命题意图 本题考查抛物线方程及过焦点的弦.解题分析 由题意得22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又直线l 经过C 的焦点，则22b p-=，b p ∴=-. 由此解得2p =，所以抛物线方程为24y x =.设()00,M x y ，则204y x =， ()()()2222200000||444212MN x y x x x ∴=-+=-+=-+，故当02x =时，||MN取得最小值.12.答案 A命题意图 本题考查数列的综合应用. 解题分析 当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列， 11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭， 依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.13.答案0命题意图 本题考查平面向量的数量积.解题分析 11()22CO BA BC CA =-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴圆心O 为线段AC 的中点，因而90ABC ∠=︒，故0BA BC ⋅=u u u r u u u r .14.答案 ()1,2-命题意图 本题考查三角函数的图象及解析式.解题分析 函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示.(0)2sin 1f ϕ==Q ，56πϕ=Q .又5||2MN ==3πω∴=，即函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图象得5362x πππ+=，解得1x =-，故点M 的坐标为()1,2-. 五步导解 解↔答15.答案 221x y -=命题意图 本题考查双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程.解题分析 由题意可得(),0A a ，又A 为线段OB 的中点，所以(2,0)B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设()2,3P a b -，由题意和结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -，即||2AP a =，即2a =a b =，又c =222a b c +=，得1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=.16.答案 36π命题意图 本题考查多面体与球.解题分析 如图取BD 的中点E ，连接AE CE ，，则AE BD CE BD ⊥⊥，. Q 平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，AE ∴⊥平面BCD .又CEC Q 平面BCD ，AE CE ∴⊥.设ABD △的外接圆的圆心为O ，半径为r .AB AD ∴=， ∴圆心O 在AE 所在的直线上，22222()r BE OE BE r AE ∴=+=+-. Q在Rt BCD △中，BD =BE EC ∴==在Rt ABE △中，2AE ，()2282r r ∴=+-，解得，3,1r OE =∴=. Q在Rt OEC △中，3OC ==，3OA OB OC OD ∴====，∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心，且球的半径3R =，∴球的体积34363V R ππ==.17.命题意图 本题考查正、余弦定理及三角恒等变换.解题分析（1）由sin ()sin sin a A a b B c C ++=及正弦定理得222a b ab c ++=，又由余弦定理得1cos 2C =-，23C π∴=. （2）由1sin 2S abc ab C ==，可知2sin c C =，2sin ,2sin a A b B ∴==，ABC △的周长为1(sin sin sin )2a b c A B C ++=++1sin sin 23A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11sin sin 22A A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 22A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1sin 23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 3A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，ABC ∴△周长的取值范围为⎝⎦.18.命题意图 本题考查空间点线、面关系及线面垂直、二面角.解题分析（1）证明：因为AB AC AD ，，两两垂直，AC DG AB DE ∥，∥， 所以DG AD DG DE ⊥⊥，，所以DG ⊥平面ABED ，因为AE ⊂平面ABED ，所以DG AE ⊥，因为四边形ABED 为正方形，所以AE BD ⊥，因为BD DG D =I ，所以AE ⊥平面BDG ，因为AC EF ∥所以四边形AEFC 为平行四边形，所以AE CF ∥，所以CF ⊥平面BDG .（2）由（1）知DE DG DA ，，互相垂直，故以D 为坐标原点，以DE DG DA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,1,2),(2,1,0)D A B C F ， 所以(0,1,2),(2,1,0)FB CB =-=-u u u r u u u r.设(),,m a b c =u r 为平面BCF 的法向量，则2020m FB b c m CB a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ， 令1a =，则21b c ==，，所以()1,2,1m =u r.又因为AD ⊥平面ABC ，所以()0,0,2DA =u u u r为平面ABC 的一个法向量，所以()cos ,m DA ==u r u u u r 由图可知二面角F BC A --是钝角，所以二面角F BC A --的余弦值为. 19.命题意图 本题考查离散型随机变量的期望和方差以及方案的确定. 解题分析 （1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6111(0)1010100P X ==⨯=，111(1)210525P X ==⨯⨯=，11213(2)25551025P X ==⨯+⨯⨯=， 131211(3)2210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22317(4)25510525P X ==⨯+⨯⨯=， 236(5)251025P X ==⨯⨯=，339(6)1010100P X ==⨯=，X ∴的分布列为（2）所选延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为()117117697000900011000130001500010720100502525100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为()267691000011000120001042010025100E Y =⨯+⨯+⨯=（元）()()12E Y E Y >Q ，∴该医院选择延保方案二较划算.20.命题意图 本题考查椭圆有关的定值、定点问题.解题分析由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=， 于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩， 从而1212423x x y y +=++=，故211,,332CM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线l 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222210m y my ++-=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 所以()()()()()210201************OA QB x x x x y y my my x my my x y y =⋅=--+=++-++++u u u r u u u r ()()()()()2222121200000022121121112122m m y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+=++ ()202002231212x m x x m --+-++， 由023112x --=，得054x =， 故此时点57,0,416Q QA QB ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ； ②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值. 21.命题意图 本题考查导数综合.解题分析 （1）()f x 的定义域为()1,-+∞，()2ln(1)2f x x x '=+-.设()()212g x ln x x =+-. ∵2()1x g x x -'=+，∴当()1,0x ∈-时，()0g x '>；当,()0x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在()1,0-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 在0x =处取得最大值.又∵()00g =，∴对任意的1,()x ∈-+∞，()()00g x g ≤=恒成立，即对任意的1,()x ∈-+∞，都有()f x ' ()2120ln x x =+-≤恒成立，故()f x 在定义域()1,-+∞上是减函数.（2）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，∴()0f n <，即22(1)ln(1)2n n n n ++<+，两边同除以22(1)n +得ln(1)121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++， 从而1231112334521222341234121n n n n n n n T a a a a n n n +++⎛⎫⎛⎫=⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⋅L L L ， 所以[]21(2)ln (2)ln 2ln(2)ln(1)(1)ln 22(1)n n n n T n n n n +⎡⎤++<=+-+-+⎢⎥+⎣⎦. ① 下面证2ln(2)ln(1)(1)ln 2102n n n n +-+-++-<. 记()2ln(2)ln(1)(1)ln 212x h x x x x =+-+-++-，[1,)x ∈+∞， ∴2211111()ln 2ln 2ln 2221232223x h x x x x x x x'=--+=-+=-+++++++. ∵2y x x=+在[2,)+∞上单调递减，而1111(2)ln 2(23ln 2)(2ln8)06233h '=-+=-=-<， ∴当[2,)x ∈+∞时，()0h x '<恒成立，∴()h x 在[2,)+∞上单调递减，即[2,)x ∈+∞，()(2)2ln 4ln33ln 2ln 2ln30h x h =--=-<„，∴当2n …时，()0h n <.∵19(1)2ln3ln 22ln 2ln 028h =---=-， ∴当*n ∈N 时，()0h n <，即2ln(2)ln(1)(1)ln 212n n n n +-+-+<-. ② 综合①②可得，[]ln (2)12n n n T +<-. 22.命题意图 本题考查参数方程、极坐标方程的应用及两点间距离的求法.解题分析 （1）曲线1C 的普通方程为22149x y +=， 曲线2C 的直角坐标方程为2245x y y +=+，即22(2)9x y +-=.（2）设P 点的坐标为(2cos ,3sin )θθ.2||333PQ PC +„，当sin 1θ=-时，max ||538PQ =+=.23.命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式.解题分析 （1）44,2()|2||36|28,22,44,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-⎨⎪+>⎩剟当2x <-时，4434x x -≥-+，即8x ≤-；当22x -≤≤时，2834x x +≥-+，即45x ≥-，可得425x -≤≤； 当2x >时，4434x x +≥-+，即0x ≥，可得2x >， ∴不等式的解集为4|8 5x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或 . （2）根据函数44,2()28,22,44,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值(2)4f -=，可知4a =， 8,0,0m n m n ∴+=>>,11111111()11(22)8882n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=⋅++=⋅++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…> 当且仅当n m m n =，即4m n ==时，取“=”，∴11m n +的最小值为12.。
2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。
全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，则A B =U （ ） A.{}1,2,3,4,5B.{}0,1,4,5C.{}2,3D.{}0,1,2,3,4,52.i 是虚数单位，2z i =-，则z =（ ）A.B.2C.3.已知向量()1,2a =r ，(1,)b λ=-r ，若a b r r∥，则实数λ等于（ ）A.-1B.1C.-2D.24.“22x -<≤”是“22x -≤≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件5.双曲线22221x y a b -= （0a >，0b >）的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A.45y x =±B.54y x =±C.43y x =±D.34y x =±6.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ）A.第一场得分的中位数为52B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等7.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5b =，22625c c a ---，则cos A =（ ）A.45 B.35C.310D.258.函数1())1x xe f x x e-=+的图象大致为（ ）A BC D9.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）A.152πB.12πC.112π D.212π10.图为祖冲之之子祖晒“开立圆术”中设计的立体模型.祖晒提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d （d 为球的直径），并得到球的体积为316V d π=，这种算法比外国人早了一千多年.人们还用过一些类似的近似公式，根据3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（ ）A.d ≈B.d ≈C.d ≈D.d ≈11.已知32cos cos 2αβ-=，2sin sin 2αβ+=，则cos()αβ+等于（ ） A.12 B.12-C.14D.14-12.已知A B C ，，为椭圆2214x y +=上三个不同的点，若坐标原点O 为ABC △的重心，则ABC △的面积为（ ）A.B.2C.2D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设()f x 是定义在R 上的函数，若()()g x f x x =+是偶函数，且()24g -=-，则()2f =___________.14.已知数列()*(}n f a n ∈N 是等差数列，其前n 项和为n S ，若66nS =，则4a =___________.15.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，则ω=___________.16.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E F ，分别为111AB AC ，的中点，平面a 过点1C ，且平面a ∥平面11A B C ，平面a I 平面111A B C l =，则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的折线图.（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据：()()51311iii t t y y =--=∑.回归方程$$y abt =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别：()()()121ii i ni i tty y b t t ∞==--=-∑∑，$a y bt=-$. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()21112,4,314,(1)log n n nn n n n S aS a b a -++==-=-⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥ ，BC AD ∥，2222AD BC PA AB ====，点E F G ，，分别为线段AD DC PB ，，的中点.（1）证明：直线AG ∥平面PEF.（2）求多面体 ACCPEF 的体积.20.已知函数2()e ,x f x ax x a =--∈R ，()g x 为函数()f x 的导函数.（1）若函数()gx 的最小值为0，求实数a 的值；（2）若0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x --++…恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知点()(),80Pt t <是抛物线2(:20)C x py p =>上一点，点F 为抛物线C 的焦点，||10PF =.（1）求直线PF 的方程； (2)若直线l 过点()0,4，与抛物线相交于M N ，两点，且曲线C 在点M 与点N 处的切线分别为m n ，，直线m n ，相交于点G ，求||PG 的最小值.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ay α=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以坐标原点为极点,，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 3m πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）若直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，求实数m 的取值范围；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，且A B ，的中点为P ，求点P 的轨迹方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知a b ，为正实数，222a b +=. （1）证明：2a b ab +≥. （2）证明：442a b +….2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1.D 本题考查集合的运算因为{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，所以{}0,12,3,4,5A B =U .2C 本题考查复数的模.因为2z i =-，所以||z ==3.C 本题考查向量的平行.因为a b r r∥，所以20λ--=，解得2λ=-.4.A 本题考查充分、必要条件“22x -<≤”是“22x -≤≤”的充分不必要条件.5.C 本题考查双曲线的渐近线.22225161199b e a =-=-=，即43b a =，故双线的渐近线方程为43y x =±. 6.C 本题考查茎叶图.由茎叶图可知第一场得分的中位数为52，众数为0，极差为19，第二场得分的众数为 0，平均数为193，极差为2，所以选项C 的说法是错误的. 7.B 本题考查解三角形.因为225625b c c a =⋅---，所以2226b c a c +-=，所以62cos c bc A =⋅， 所以3cos 5A =. 8.B 本题考查函数的图象.因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，排除CD 项，又因为)1(1)ln 101cf e-=>+，所以排除A 项.9.A 本題考查三视图.根据三视图可知，该几何体是由14个圆锥和18个球组成的， 如图所示，其中球的半径为3，圆锥的底面半径也为3，高为4，故该几何体的体积为2311119153433438322x ππππ⨯⨯⨯+⨯⨯-+=.10.C 本题考查数学史与立体几何.由316V xd =，解得36V x d =，选项A 化简得3916V d ≈， 所以69 3.37516π⨯≈=；选项B 化简得212V d ≈，所以632π≈=；选项C 化简得3157300V d ≈， 所以6157 3.14300π⨯≈=；选项D 化简得2815V d ≈，所以683.215π⨯≈=；所以选项C 的 公式最精确.11.A 本题考查三角恒等变换.因为32cos cos 2αβ-=，2sin sin αβ+-，所以2294cos 4cos cos cos 4ααββ-+=，2234sin 4sin sin sin 4ααββ++=， 两式相加得54(cos cos sin sin )3αβαβ--=，解得1cos()2αβ+=. 12.B 本题考查直线与椭圆的位置关系.不妨设直线AB 的方程为y kx m =+代人椭圆方程得()()222148410k xkmx m +++-=.设()11,Ax y ，()22,B x y ，则122814kmx x k +=-+，()21224114m x x k-=+. 设()33,Cx y ，因为O 为ABC △的重心，所以()2122814kmxx x k=-+=+， ()()2121222214my y y k x x m k =-+=-++=-⎡⎤⎣⎦+，代入椭圆方程得22441m k -+，12|||AB x x -， 点O 到直线AB的距离d -，所以OMB △的面积111||||22S AB d m =⨯⨯-⨯因为22441m k -+，所以1S =， 因为O 为ABC △的重心，所以ABC △的面积132S S ==. （另解：不妨设()2,0A，因为O 为ABC △的重心，所以BC 横坐标为1-，可得||BC =ABC△的面积为1322S =⨯=.） 13.6本题考查函数的性质，由题知，(2)(2)2(2)4g f g -+--=-，解得()26f =-.14.6本题考查等差数列基本量的求解设等差数列{}n a 的公差为d ，因为66n S =，所以41166a =，解得a6.15.2本题考查三角函数的性质因为点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，所以是72632wππππ=--，解得2ω=.16.4本题考在异面直线所成角.因为平面a ∥平面11A B C ， 平面a I 平面111A B C l =，平面11A B C I 平面11111A B C A B =，所以11l A B ∥，取11A B ，11B C 的中点分别为H G ，，连接EH BG GH GF AC ，，，，，如图所示，则11GF A B ∥， 所以GF l ∥所以异面直线EF 与所成的角为GFE ∠或其补角，又因为AB =12AA =，所以14AC =，1EH =，HP GP ==所以2EG EF -=，所以22cos 24GF GFE RP ∠==.【解题方法】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的概念.解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，明确异面直线所成角的概念，应用三角函数知识求解，充分利用图形特征，则可事半功倍.例如本题利用图形易得11D A B ∥，这是本题的题眼. 17.解：本题考查线性回归方程. （1）由题中数据计算得1(12345)35t =++++=， ()2223215(2)(1)01210i i i a t =---+-+++=∑，由参考数据知，()()51311iii t t y y =--=∑，所以()()()532131131.110iiiii tty y b tt=--=-=-∑∑，$214.2-31.13120.9ay bt --=⨯=$， 故所求回归方程为31.1120.9yt =+.（2）将2021年对应的7t =代人回归方程得31.17120.9338.6y =⨯+=， 所以预测2021年全国硕士研究生报考人数约为338.6万人. 18.解：本题考查数列通项公式及前n 项和 （1）因为()1311n nn S a+=-，所以当2n ≥时，所以()1314n n n S a +--，所以()11314(14)nn n n n a aa ++-=--，整理得()()11440nn n aa +--=，所以14,(2)n n a a n +=>，当1n =时，()12314nS a--，14a =，所以216a =，所以24a a =，所以数列{}n a 是首项和公比均为4的等比数列，所以1444n n a +=⨯=，即4n n a =.（2）由（1）知4n na =，所以()()221121222(1)log 4(1)log 24(1)n n n n n n b n +++=-⋅--⋅--⋅22222241234(21)(2)4[37(41)]4(21)n T n n n n n ⎡⎤=-+-++--=-----=-⋅+⎣⎦L L ，故数列{}n b 的前2n 项和24(21)n T n n =-+.【名师点睛】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和问题，是高考的常考内容，解题过程中要注意应用函数与方程思想，构建方程（或方程组）求基本量，例如此题，从已知出发，构建1,a d 的方程组求数列通项公式，利用前后项合并，构造等差数列，求数列的前n 项和. 19.解：本题考查线面平行及多面体的体积.（1）证明：因为2BC AD AD BC E =∥，，为线段AD 的中点，所以BC AE ∥，连接EC ，因为AB AD ⊥，所以四边形ABCE 为矩形，连接BE 交AC 于点O ，连GO ，因为G 为线段PB 的中点，所以OG PE ∥，因为GO ⊄平面PEF ，PBC 平面PEF ， 所以GO ∥平面PEF ，由题易知，AC ∥平面PEF ， 又因为GC ⊂平面GAC ，AC ⊂平面GAC .AC GO O =I ，所以平面PEF ∥平面GAC ，又因为AGC 平面GMC ，所以直线AC ∥平面PEF .（2）因为22 2 AD BC PA ===，1AB =，所以四棱锥P ABCD -的体积111(12)11322S =⨯⨯+⨯⨯=，三棱锥G ABC -的体联11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，棱锥P DEF -的体积 11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，故所求多面体AGCPEF 的体积为1111212123--=.20.解：本题考查函数最值及恒成立求参数范围. （1）()21x f x e ax '=--，所以()21xg x eax =--，()2x g x e a '=-，①当0a ≤时，()0g x '>，所以()21x g x e ax =--在R 上单词递增，不合题意；②当0a >时，(,ln 2)x a ∈-∞，()0g x '<，(ln 2,)x a ∈+∞，()0g x '>， 所以函数()gx 在区间(,ln 2)a -∞上单调递减，在区间(ln 2,)a +∞上单调递增，()(ln 2)2(1ln 2)10g x g a a a ----…，令()ln 1x x x x μ'---，则()ln x x μ'=-，所以()x μ在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()()10x μμ≤=，所以由2(1ln 2)10a a --=，解得12a =， 即实数a 的值为12. （2）因为0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x >--++恒成立，所以210x e x ax -+-≥，即21x e x a x ---<对任意0x >恒成立，令21()x e x x xϕ---，则()2(1)1()x x e x x x ϕ---'=，由（1）知，10x e x --≥，当且仅当0x =时，等号成立，所以函数()x ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间(1,)+∞上单词递增，所以()(1)2x e ϕϕ=-…，所以2a e -≤-，即2a e ≥-. 所以实数a 的取值范围为[2,)e -+∞. 21.解：本题考查抛物线的性质. （1）因为||10PF =，所以8102p+-，解得4p =，所以()0,2F ， 因为288t =⨯，且0t <，所以8t =-，所以()8,8P -，故直线PF 的方程为822(0)80y x ------， 化简得3480x y +-=.（2）由（1）知，抛物线方程为28x y =，点()0,2F .设()()1122,,,Mx y N x y ，又因为14y x '=， 所以直线m 的方程为()11114y y x x x -=- 整理得1114y x x y =-， 同理可得直线n 的方程为1214y x x y =-，设()33,G x y ， 联立311332321414y x x y y x x y⎧--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得直线l 的方程为3314y xx y =-，又因为直线l 过点()0,4，所以4y =-，即点G 在定直线4y =-上，所以PG 的最小值为()8412--=.【解题思路】解决直线与抛物线的综合问题时，需要注意：（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22.解：本题考查坐标与参数方程： （1）由题知，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，直线l20y m -+=，因为直线l 与曲线C||2m =≥， 所以实数m 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞U . （2）设()()1122,,,,(,)Ax y B x y P u v ，由（1）知，(2,2)m ∈-，由22204y m x y -+=+=⎪⎩，解得224440x m ++-=，所以122u x x -+-=，)121224v y y x x m m -+++=，所以2u =-，即u =，故点P的轨迹方程为0(11)x y +=-<<.23.解：本题考查不等式证明.（1）因为222a b +=所以1ab ≤，所以1ab ≤≤，2a b +≤，所以2a b ab +≤， 即2a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， （2）()244222222242a b a b a b a b +-+-=-， 由（1）知1ab ≤，所以221a b ≤，所以2242422a b -≥--，即442a b +≥，当且仅当a b =时等号成立.。
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100所名校高考模拟金典卷·数学（二）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{|01}A x x =剟，1|2B x x ⎧
⎫=>⎨⎬⎩⎭
，则A B ⋂=（ ） A ．1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．(0,1) D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
2．复数11z i i ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为8，一条渐近线为34
y x =，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22
16436x y -= B ．2213664x y -= C ．221916x y -= D ．221169
x y -= 4
．函数())1f x x x =-+的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知{}n a 为公差不为0的等差数列，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n ∈N ，则21
S 的值为（ ）
A ．0
B ．90-
C ．90
D ．110
6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（ ）
（注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生）．。
2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(2)2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（2）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1.（5分）复数z＝（1+2i）2（i为虚数单位）的共轭复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.（5分）已知集合A＝{x|x2-2x-3<0}，集合B＝{x|x-1≥0}，则∁R（A∩B）＝（）A．（-∞，1）∪[3，+∞]B．（-∞，1]∪[3，+∞]C．（-∞，1）∪（3，+∞）D．（1，3）3.（5分）若x，y满足约束条件{3x-y+1≥0，y≤2，x-y-2≤0}，则z＝4x+2y的最小值为（）A．-17B．-13C．16/3D．204.（5分）下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b 相交，则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直5.（5分）今年入冬以来，我市天机反复．在下图中统计了我市上个月前15的气温，以及相对去年同期的气温差（今年气温-去年气温，单位：摄氏度），以下判断错误的是（）A．今年每天气温都比去年气温低B．今年的气温的平均值比去年低C．今年8-12号气温持续上升D．今年8号气温最低6.（5分）已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an+2an＝39（n∈N*），那么数列{an}的前50项和S50的最小值为（）A．637B．559C．481+25√39D．492+24√787.（5分）若圆锥的高等于底面直径，侧面积为√5π，则该圆锥的体积为（）A．π/3B．π/2C．2π/3D．16π/38.（5分）下列命题错误的是（）A．∃α，β∈R，cos（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβB．∀x，k∈R，sin（x+k•2π）＝sinxC．∃x∈[0，π)，sin（x+π/2）＝sinxD．∀x∈R+，∃k∈R，sinx≤kx9.（5分）已知sin（π/3+α）= 2/3，则sinα的值等于（）A．-7/9B．-2/9C．9/2D．3/710.（5分）已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=√3，a•b=-2，b•c=0，且a，b，c不共面，那么向量c的长度为（）A．1/2B．1C．√2D．21.题目未给出文章，无法进行修改。
全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(二)数学(理科)一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1.若复数312a i i++(,a R i ∈为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为( ).A.2-B.4C.6-D.62.若函数()y f x =的反函数图象过点(2,3),则函数2log (1)y f x =+的图象必过点( ). A.(3,1) B.(2,1) C.(1,3) D.(1,2)3.“2cos 2α=512,k k Z παπ=+∈”的( ).A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.设集合2{|0}M x x ax =-<,2{|20}N x x x =--<,若M N ⊆,则a 的取值范围是( ).A.(1,2)-B.[1,2]-C.[1,0)(0,2]-D.(1,0)(0,2)- 5.设函数()20)f x x =≥,则其反函数1()f x -的图象( ).6.已知Rt ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且C 为直角,则“3c a =+”是“30A =︒”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.球面上有三点,其中任意两点间的球面距离等于大圆周长的16,经过这三点的小圆周长为4π,则球的体积为( ).A.B. C.32πD. 8.若抛物线212y x =与圆222(3)x y r +-=相切,则公切线的方程为( ).A.220y x -+=B.220y x ++=C.220y x ±+=D.240y x ±+=C.A. B.沿脚手架到B ,则行走的最近线路有( ).A.80种B.120种C.90种D.180种 10.如图,P 是椭圆222591xy+=上一点,1F 、2F 是椭圆的左、右焦点,且Q 是1PF 的中点,4OQ =,则点P 到该椭圆左准线的距离为( ).A.6B.4C.3D.5211.若lg lg 0(1,1)a b a b +=≠≠,且()x f x a =与()x b g x b -=的图象关于直 线1x =对称,则a b +=( ).A.2B.52 C.103D.17412.若向量a 、b 满足||||1a b == ,且()1a a kb ->-恒成立,则实数k 的取值范围是( ).A.(2,2)-B.(0,2)C.(2,0)-D.(1,2)- 二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上) 13.二项式27()axx +的展开式中的x 的系数是280,则a =__________.14.设z y ax =+,变量满足条件021032x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩或222032x y x y x y -≤⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩,若使z 取得最小值的点(,)x y 有且仅有两个,则a =__________.15.在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C -中,1A B 与平面11A B C 所成的角的正弦值为__________.16.设数列{}n a 满足22(1)n n n a a +=-,且1236a a +=,则lim n n S →∞=__________.三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足(2)c o s c o a c B b C -=. (Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)已知函数2222(,)cos sin 1A C f A C =+-,求(,)f A C 的取值范围.18.(本小题满分12分)某商家进行促销活动,促销方案是：顾客每消费1000元,便可以获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为15,若中奖则商家返还顾客现金1000元.小王购买一套价格为2400元的西服,只能得到2张奖券,于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服,这样小王就得到了3张奖券.设小王这次消费的实际支出为ξ元,试分析小王出资50元增加1张奖券是否划算？19.(本小题满分12分)在三棱锥V ABC -中,底面ABC ∆是以ABC ∠为直角的等腰三角形.又V 在底面ABC 上的射影H 在线段AC 上且靠近点C ,4AC =,VA = VB 和底面ABC 所成的角为45︒. (Ⅰ)求点V 到底面ABC 的距离； (Ⅱ)求二面角V AB C --的大小. VBCAH20.(本小题满分12分)已知一列非零向量n a 满足111(,)a x y = ,111112(,)(,)(2)n n n n n n n a x y x y x y n ----==-+≥ .(Ⅰ)证明：数列{||}n a 是等比数列；(Ⅱ)设1,n n n a a θ-=〈〉,21n n b n θ=-,12n n S b b b =+++ ,求n S .21.(本小题满分12分)如图,点F 为双曲线C 的左焦点,左准线l 交x点. 已知||||1PQ FQ ==,且线段PF 的中点M 在双曲线C 的左支上. (Ⅰ)求双曲线C 的标准方程；(Ⅱ)若过点F 的直线m 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 设FB FA λ=,当[6,)λ∈+∞时,求直线m 的斜率k 的取值范围.22.(本小题满分14分) 已知函数2()2ln f x x x a x =++.(Ⅰ)若4a =-,求函数()f x 的极值；(Ⅱ)当1t ≥时,不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立,求实数a 的取值范围.全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(二)数学(理科) 参考答案一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A B C C B C C D B A二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)13. 14. 1 15.1416. 4三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足(2)c o s c o a c B b C -=. (Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)已知函数2222(,)cos sin 1A C f A C =+-,求(,)f A C 的取值范围.解：(Ⅰ)由(2)cos cos a c B b C -=,得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=,即2sin cos sin A B A =. ∵0B π<<,∴3B π=. (Ⅱ)23A C π+=,∴221cos 1cos 12222223(,)cos sin 11[cos cos()]A C ACf A C A A π++=+-=+-=--1322226(cos )cos()A A A π=-=+.∵230A π<<,∴5666A πππ<+<,∴3344(,)f A C -<<.18.(本小题满分12分)某商家进行促销活动,促销方案是：顾客每消费1000元,便可以获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为15,若中奖则商家返还顾客现金1000元.小王购买一套价格为2400元的西服,只能得到2张奖券,于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服,这样小王就得到了3张奖券.设小王这次消费的实际支出为ξ元,试分析小王出资50元增加1张奖券是否划算？解：ξ的可能取值为245-.34645125(2450)()P ξ===,123144855125(1450)()()P C ξ===,223141255125(450)()()P C ξ===,333115125(550)()P C ξ=-==.∴ξ的分布列为644812112512512512524501450450(550)1850E ξ=⨯+⨯+⨯+-⨯=(元). 同理设小王不出资50元增加1张奖券消费的实际支出为1ξ元,16812525125240014004002000E ξ=⨯+⨯+⨯=.1E E ξξ<,故小王出资50元增加1张奖券划算.19.(本小题满分12分)在三棱锥V ABC -中,底面ABC ∆是以ABC ∠为直角的等腰三角形.又V 在底面ABC 上的射影H 在线段AC 上且靠近点C ,4AC =,VA = VB 和底面ABC 所成的角为45︒.(Ⅰ)求点V 到底面ABC 的距离； (Ⅱ)求二面角V AB C --的大小.解：(Ⅰ)∵V 在底面ABC 上的射影H 在线段AC 上且靠近点C ,∴VH ⊥底面ABC .连BH ,则45VBH ∠=︒.设BH VH h ==,O 为AC 的中点, 则BO AC ⊥,BO OH ⊥.∴在R t A B C ∆中,122OB AC ==.在Rt OBH∆中,OH = 在Rt VAH ∆中,2222)h +=,解得h .故点V 到底面ABC的距离为(Ⅱ)∵h =∴1OH =.过H 作HM AB ⊥于M ,连结VM ,则VMH ∠为二V BCAHV AB C --的平面角.∵33442HM BC ==⨯=,∴32tan VMH ∠==,∴二面角V AB C --的大小为3arctan .20.(本小题满分12分)已知一列非零向量n a 满足111(,)a x y = ,111112(,)(,)(2)n n n n n n n a x y x y x y n ----==-+≥ .(Ⅰ)证明：数列{||}n a 是等比数列；(Ⅱ)设1,n n n a a θ-=〈〉,21n n b n θ=-,12n n S b b b =+++ ,求n S .(Ⅰ)证明：12||||(2)n n a a n -≥,∴1||2||n n a a -=且1||0a ,∴数列{||}n a是公比为2的等比数列.(Ⅱ)解：∵2211211111111111222(,)(,)()||n n n n n n n n n n n a a x y x y x y x y a ----------⋅=⋅-+=+=,∴211111||1222||||||cos ,||n n n n n n n a a a a a a a ----⋅〈〉==⋅=,∴14,n n n a a πθ-=〈〉=,∴42211n n b n ππ=⋅-=-.即2(1)(1)222224(1)(1)(1)n n n n n n S n n πππππ++=-+-++-=⋅-=-21.如图,点F 为双曲线C 的左焦点,左准线l 交x 轴于点Q ,点P是l 上一点.已知||||1PQ FQ ==,且线段PF 的中点M 在双曲 线C 的左支上.(Ⅰ)求双曲线C 的标准方程；(Ⅱ)若过点F 的直线m 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两 点,设FB FA λ=,当[6,)λ∈+∞时,求直线m 的斜率k 的取值范围 解：(Ⅰ)设双曲线的方程为22221(0,0)x y aba b -=>>,则222c a b =+ ①,2||1acFQ c =-=,∴2b c = ②.又1122(,)M c -+在双曲线上,∴2211()()221c --= ③.由①②③解得,2a b c ===,故双曲线的方程为222x y -=.(Ⅱ)(2,0)F -,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线m 的方程为(2)y k x =+,则由FB FA λ=,得21(2)2x x λ=+-,21y y λ=.由22(2)2y k x x y =+⎧⎨-=⎩,得222(1)420k y ky k --+=.∴1241k ky y -+=,221221kky y -=,22222168(1)8(1)0k k k k k ∆=--=+>.由21y y λ=,21241k k y y -+=,221221kky y -=,消去12,y y ,得228(1)112kλλλλ+-==++.∵6λ≥,函数1()2g λλλ=++在[6,)+∞上单调递增. ∴2814916662k-≥++=,2149k ≥.又直线m 与双曲线交于两支,222(1)420k y ky k --+=的两根同号,∴21k <.∴21491k≤<,解得171k -<≤-或171k <≤.故斜率k 的取值范围为1177(1,][,1)-- .22.(本小题满分14分) 已知函数2()2ln f x x x a x =++.(Ⅰ)若4a =-,求函数()f x 的极值；(Ⅱ)当1t ≥时,不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立,求实数a 的取值范围.解：(Ⅰ)由题意得,24()24ln ()22x f x x x x f x x '=+-⇒=+-.由函数的定义域为0x >,∴()01f x x '>⇒>,()001f x x '<⇒<<.∴函数()f x 有极小值(1)3f =. (Ⅱ)∵2()2ln f x x x a x=++,∴2221(21)2()32422ln ln(21)lntt f t f t t t a t a t a --≥-⇒-+≥--=.当1t ≥时,221t t ≥-,∴221ln0tt -≥.即1t >时,222(1)ln21t tt a --≤恒成立.又易证ln(1)x x+≤在1x >-上恒成立,∴2222(1)(1)212121ln ln[1](1)tt t t t t t -----=+≤<-在1t >上恒成立.当1t =时取等号,∴当1t ≥时,2221ln (1)tt t -≤-,∴由上知2a ≤.故实数a 的取值范围是(,2]-∞.。
100所名校高考模拟金典卷·数学（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|01}A x x =剟，1|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦C ．(0,1)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2．复数11z i i ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为8，一条渐近线为34y x =，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2216436x y -= B ．2213664x y -= C ．221916x y -= D ．221169x y -=4．函数())1f x x x =-+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知{}n a 为公差不为0的等差数列，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n ∈N ，则21S 的值为（ ） A ．0B ．90-C ．90D ．1106．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（ ）（注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生）．A ．互联网行业从业人员中80前占3%以上B ．互联网行业90后中，从事设计岗位的人数比从事市场岗位的人数要多C ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ．43B ．75C ．85D ．38．程序框图如下图所示，若程序运行的结果60S =，则判断框中应填入（ ）A ．4?k …B ．3?k …C ．2?k …D ．1?k …9．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数为（ ）A ．280B ．320C ．240D ．16010．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．现有一个羡除如图所示，DA ⊥平面ABFE ，四边形ABFE ，CDEF 均为等腰梯形，四边形ABCD 为正方形，AB EF ∥，2AB =，6EF =，点F 到平面ABCD 的距离为2，则这个羡除的表面积为（ ）A ．10+B ．12+C ．12+D ．12+11．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的零点构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．其图象关于直线2x π=对称C ．函数()g x 是偶函数D ．在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[ 12．设数列{}n a 满足12a =-，且对任意正整数n ，总有()()1112n n n a a a +--=成立，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．35176B ．589C ．35236D ．35156二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．若向量(1,)a m =-r ，(2,1)b =-r ，且()b a b ⊥+r r r，则实数m 等于_________．14．若x ，y 满足200240x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为________．15．已知偶函数()f x 的图象经过点(1,2)-，且当0a b <…时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则使得(1)2f x -<成立的x 的取值范围是_________．16．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4，过点A 作平面α与正四棱柱的三条侧棱1BB ，1CC ，1DD 分别交于E ，G ，F ，且BE DF =，若多面体ABCD AEGF -和多面体1111A B C D AEGF -的体积比为3∶5，则截面AEGF 的周长为_________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．如图，等腰直角三角形ABC △中，2ACB π∠=，4AB =，点P 为ABC △内一点，且1tan 3PAB ∠=，1tan 2PBA ∠=．（1）求PA 的长； （2）求APC ∠．18．在Rt ABC △中，2ABC π∠=，2AB =，4BC =，已知E ，F 分别是BC ，AC 的中点，将CEF△沿EF 折起，使C 到1C 的位置如图所示，且13BEC π∠=，连接1C B ，1C A ．（1）求证：平面1AFC ⊥平面1ABC ．（2）求平面1AFC 与平面1BEC 所成锐二面角的大小．19．已知M 、N 是椭圆22:184x y C +=上不同的两点，MN 的中点坐标为⎛ ⎝⎭． （1）证明：直线MN 经过椭圆C 的右焦点．（2）设直线l 不经过点(0,2)P 且与椭圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率的和为1，试判断直线l 是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由．20．某工厂A ，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，A ，B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和21(0.51)p p -剟．（1）从A ，B 生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值0p ；（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．①已知A ，B 生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从A ，B 生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如下图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X ，求X 的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．21．已知函数()ln 1()f x x a x a a =-+-∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若),ax e ⎡∈+∞⎣时，()0f x …恒成立，求实数a 的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,x m y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位．圆C的方程为ρθ=，直线l 被圆C 截． （1）求实数m 的值；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为(m ，且0m >，求||||PA PB +的值． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知()2|1||21|f x x x =++-．（1）若()(1)f x f >，求实数x 的取值范围； （2）11()(0,0)f x m n m n +>>…对任意的x ∈R 都成立，求证：43m n +…． 100所名校高考模拟金典卷·数学（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案 B命题意图 本题考查集合的交集；考查学生的运算求解能力．解题分析 因为20x x -≥，所以01x 剟，所以1|12A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭…． 2．答案 A命题意图 本题考查复数的几何意义；考查学生的运算求解能力． 解题分析 因22(1)111212i z i i i i -⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．3．答案 D命意图本题考查双曲线的性质；考查学生的数据分析能力．解题分析 由题知，28a =，34b a =，所以4a =，3b =，所以双曲线的方程为221169x y -=． 4．答案 A命题意图 本题考查函数图象；考查学生的逻辑推理能力．解题分析 因为(0)1f =，排除B 项，C项，又因为(1)1)11f -=-+<，排除D 项． 5．答案 A命题意图 本题考查等差数列前n 项和公式；考查学生的逻辑推理能力．解题分析 因为{}n a 为等差数列，所以312a a d =+，716a a d =+，918a a d =+．因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =，即（()()()21111628,100a d a d a d a d +=+++=，所以110a =，于是()21112121021100S a d a d =+=+=． 6．答案 C命题意图 本题考查统计图；考查学生的数据分析及逻辑推理的能力．解题分析 由题知，互联网行业从业人员中80前占3%，故选项A 错误；互联网行业90后中，从事设计岗位的人数占12.3%，从事市场岗位的人数占13.2%，故选项B 错误；在90后中，从事技术岗位的人数占总人数的比例为56%39.6%20%⨯>，故选项C 正确；互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后的无法确定，故选项D 错误． 7．答案 A命题意图 本题考查直线与抛物线的位置关系；考查学生的运算求解能力．解题分析 设平行直线4380x y +-=的直线l 的方程为430x y t ++=，联立方程2430,,x y t y x ++=⎧⎨=-⎩得2340x x t --=，由2(4)43()0t ∆=--⨯⨯-=，解得43t =-，所以抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值为两平行直线间的距离43d ==．（也可利用函数求导，求切点坐标，利用点到直线的距离求解） 8．答案 C命题意图 本题考查程序框图；考查学生的数学运算及逻辑推理的能力．解题分析 循环前，1S =，5k =，第一次循环：5S =，4k =，继续循环，第二次循环：20S =，3k =，继续循环，第三次循环：60S =，2k =，循环终止，输出的60S =． 9．答案 A命题意图 本题考查二项式定理；考查学生的逻辑推理的能力．解题分析 由题知，821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数为143873280C C C =．10．答案 B命题意图 本题考查立体几何；考查学生的空间想象及数学运算的能力．解题分析 因为DA ⊥平面ABFE ，点F 到平面ABCD 的距离为2，所以等腰梯形ABFE 的高为2，腰AE =，因为四边形ABCD 为正方形，且2AB =，所以等腰梯形CDEF的高为的表面积为11122(26)2(26)2212222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯=+ 11．答案 D命题意图 本题考查三角函数的性质；考查学生的数学运算的能力． 解题分析因为()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，且()f x 的零点构成一个公差为2π的等差数列，2ππω=，得2ω=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，所以()2sin 22sin 2663g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，其对称轴为42k x ππ=+，对称中心为,02k π⎛⎫⎪⎝⎭，故A ，B ，C 选项均错误，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2sin 2[x ∈．12．答案 A命题意图 本题考查数列的性质；考查学生的数学运算的能力．解题分析 因为()()1112n n n a a a +--=，所以1112n n n n n a a a a a ++--+=，所以111nn na a a ++=-，因为12a =-，所以2121123a -==-+，同理可得312a =，43a =，52a =-，所以数列{}n a 是一个周期为4的数列，又因为123411723326a a a a ⎛⎫+++=-+-++= ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的前2019项的和为7113517504(2)6326⎛⎫⨯+-+-+= ⎪⎝⎭．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．答案 7-命题意图 本题考查向量的数量积运算；考查学生的数学运算的能力．解题分析 因为(1,)a m =-r ，(2,1)b =-r ，所以(3,1)a b m +=-+r r ，因为()b a b ⊥+r r r，所以2(3)1(1)0m -⨯-+⨯+=，解得7m =-．14．答案 3命题意图 本题考查线性规划；考查学生的运算求解的能力． 解题分析 作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线2z x y =+经过点A 时，z 取得最大值，020x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即点A 的坐标为(1,1)，故z 取得最大值为3． 15．答案 (0,2)命题意图 本题考查函数的性质；考查学生的数学运算的能力． 解题分析 因为当0a b <…时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，所以函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递减，又因为()f x 的图象经过点(1,2)-，所以(1)2f -=，又因为()f x 为偶函数，所以(1)2f x -<等价于(1)(1)f x f -<-，所以|1||1|x -<-，解得02x <<．16．答案 10命题意图 本题考查立体几何的点线面位置关系；考查学生的空间想象和运算求解的能力．解题分析 因为BE DF =，所以四边形AEGF 为棱形，且EF =，又因为正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4，所以正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为16，又因为多面体ABCD AEGF -和多面体1111A B C D AEGF -的体积比为3∶5，所以多面体ABCD AEGF -的体积为31668V =⨯=，所以24V CG =，所以3CG =，所以217AG =，又因为四边形AEGF 为棱形，所以222481725AE EF AG =+=+=，所以52AE =，故截面AEGF 的周长为54102⨯=． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．命题意图 本题考查解三角形；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力． 解题分析 （1）作PD AB ⊥于D ，设PD x =，则13x AD =，12x BD =，即3AD x =，2BD x =，而4AB =，故45x =，所以PA ==．（2）又因为tan tan tan()11tan tan PAB PBAPAB PBA PAB PAB∠+∠∠+∠==-∠⋅∠，又因为0PAB PBA π<∠+∠<，所以4PAB PBA π∠+∠=，所以CAP PBA ∠=∠，所以cos CAP ∠=，又因为2222cos PC AC AP AC AP CAP =+-⋅∠，解得PC =，又因为222PC PA AC +=，所以2APC π∠=．18．命题意图 本题考查面面垂直及二面角；考查学生的空间想象和运算求解的能力．解题分析 （1）记1AC ，1BC 的中点分别为G ，H ，连接GH ，GF ，HE ．如图所示，由题知，EF ⊥平面1BEC ，所以GH EH ⊥，因为13BEC π∠=，E 是BC 的中点，所以1EBC △为等边三角形，所以1EH BC ⊥，又因为GH ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC 1GH BC H ⋂=，所以EH ⊥平面1ABC ．由题知，FE GH =∥，所以FG EH ∥，所以FG ⊥平面1ABC ，又因为FG ⊂平面1AFC ，所以平面1AFC ⊥平面1ABC ．（2）建立如图所示空间直角坐标系，则1(0,0,2),(0,0,0),(0,2,1),(0,2,0),,0)A B F E C ，由题知，平面1BEC 的一个法向量(0,0,1)m =u r，设平面1AFC 的法向量(,,)n x y z =r，12)AC =-u u u r，(0,2,1)AF =-u u u r，所以2020y z y z -=⎧⎪+-=，令1y =，解得12x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以n =r ，所以cos ,2||||m n m n m n ⋅〈〉===⋅u r ru r r u r r ，所以平面1AFC 与平面1BEC 所成锐二面角的大小为4π．19．命题意图 本题考查直线与椭圆的综合应用；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力．解题分析 （1）由题知，(2,0)F ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得1212121244882y y x x x x y y -+=-⨯=-=--+，又因为02212-=--，所以直线MN 经过椭圆C 的右焦点．（2）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，由221,84x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124280k x kmx m +++-=，设()33,A x y ，()44,B x y ，所以342412km x x k +=-+，23422812m x x k -=+，又因为1PA PB k k +=，所以3434221y y x x --+=，即3434221kx m kx m x x +-+-+=，所以34342(2)1x x k m x x ++-⋅=，化简得24840m km k -+-=，所以(2)(42)0m m k --+=，又因为2m ≠，所以42m k =-，所以直线AB 的方程为42(4)2y kx k k x =+-=+-，经检验，符合题意，所以直线AB 过定点(4,2)--，又当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为x n =，221A B y y n n--+=，又因为0A B y y +=，解得4n =-，也过点(4,2)--．综上知，直线AB 过定点(4,2)--．【归因导学】错↔学20．命题意图 本题考查概率统计；考查学生的创新与应用和运算求解的能力．解题分析 （1）设从A ，B 生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件C ，从A ，B 生产线上抽检到合格品分别为事件M ，N ，由题知，M ，N 互为独立事件，所以()P M p =，()21P N p =-， ()1()1()()P C P M N P M P N =-⋅=-⋅21(1)[1(21)]12(1)p p p =----=--，令212(1)0p --…．995，解得0.95p …，故p 的最小值00.95p =．（2）由（1）可知，A ，B 生产线生产的产品为合格品率分别为0.95和0.9，不合格品率分别为0.05和0.1． ①由题知，A 生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品10000.0550⨯=（件），可挽回损失为505250⨯=（元），B 生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品10000.1100⨯=（件），可挽回损失为1003300⨯=（元）．由此，估计B 生产线挽回的平均损失较多．②由题知，X 的所有可能取值为6，8，10，用样本的频率分布估计总体分布，则20259(6)20040P X +===，60401(8)2002P X +===，203511(10)20040P X +===， 所以X 的分布列为所以111()68108.140240E X =⨯+⨯+⨯=（元）． 故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为20008.116200⨯=（元）．21．命题意图 本题考查函数单调性及恒成立求参数取值范围；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力． 解题分析 （1）()1(0)a x a f x x x x -'=-=>， ①当0a …时，()0x a f x x-'=>，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，()0x a f x x -'=>，解得x a >；()0x a f x x-'=<，解得0x a <<．所以函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增．综上所述，当0a …时，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在区间(0, )a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增．（2）①当0a =时，1a e =，由（1）知，函数()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f =…恒成立，所以0a =符合题意；②当0a <时，1ae <，(1)0f a =<，不合题意；③当0a >时，令()(0)x g x e x x =->，()1x g x e '=-，当0x >时，()10x g x e '=->，所以0()001g x e >->=，所以a e a >，由（1）知，函数()f x 在区间(0, )a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，所以函数()f x 在区间),a e ⎡+∞⎣上单调递增，所以()2()1a a f x f e e a a =-+-…，令2()1(0)x x e x x x ϕ=-+->，)1(2x x e x ϕ'=-+，令()21(0)x h x e x x =-+>，()2x h x e '=-，()0h x '>，解得ln2x >，()0h x '<，解得0ln2x <<，所以ln 2()()(ln 2)2ln 2132ln 20x h x h e ϕ'==-+=->…，所以函数()x ϕ在区间(0,)+∞上单调递增，所以02()0010x e ϕ>-+-=，所以()0f x >，即()0f x …恒成立，故0a >符合题意；综上可知，实数a 的取值范围为[0,)+∞．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]命题意图 本题考查坐标与参数方程；考查学生运算的能力．解题分析 （1）由ρθ=得220x y +-=，即22(5x y +-=，直线l的普通方程为0x y m +-=，直线l 被圆C，所以圆心到直线l=，解得3m =或3m =-． （2）∵0m >，∴3m =，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，22(3))5-+=，即2220t -+=，∵24420∆=-⨯=>，设1t ，2t 是上述方程的两个实数根，∴1212,21,t t t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩又因为直线l过点P ，故由上式及t 的几何意义， 得()()1212||||22PA PB t t t t +=+=+=23．[选修4-5：不等式选讲]命题意图 本题考查解绝对值不等式；考查学生分类讨论得思想．解题分析 （1）()(1)f x f >，即2|1||21|5x x ++->， ①当12x >时，2(1)(21)5x x ++->，得1x >； ②当112x -≤≤时，2(1)(21)5x x +-->，得35>，不成立； ③当1x <-时，2(1)(21)5x x -+-->，得32x <-． 综上，所求x 的取值范围是3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． （2）因为2|1||21||22||21||(22)(21)|3x x x x x x ++-=++-+--=…，所以113m n +…，因为0m >，0n >时，11m n +…，所以3，得23…，所以43m n +厖．。
绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（二）高三模拟测试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若集合{}|22A x x =-<≤，{}|13B x x =-<<，则A B =U （ ）A ．[)2,3-B ．(]1,2-C ．(]2,2-D ．()2,3-答案：D利用集合的并运算求解即可.解：因为集合{}|22A x x =-<≤，{}|13B x x =-<<，由集合的并运算可得，()2,3A B =-U .故选：D点评：本题考查集合的并运算；考查运算求解能力；属于基础题.2．i 是虚数单位，2z i =-，则||z =（ ）A B ．2 C D 答案：C由复数模长的定义可直接求得结果.解：2z i =-Q ，z ∴==故选：C . 点评：本题考查复数模长的求解问题，属于基础题. 3．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．45y x =±B ．54y x =±C ．43y x =±D ．34y x =? 答案：C 由双曲线的离心率，结合,,a b c 的关系求出,a b 的关系，代入双曲线的渐近线方程即可求解.解： 因为双曲线的离心率为53，即53c e a ==， 所以53c a =，又222c a b =+， 所以43b a =，因为双曲线的渐近线方程为b y x a=±， 所以该双曲线的渐近线方程为43y x =±. 故选：C点评：本题考查双曲线的标准方程及其几何性质；考查运算求解能力；属于基础题.4．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若1166S =，则6a =（ ）A ．6B ．4C ．11D ．3答案：A利用等差数列的性质和等差数列前n 项和公式即可求解.解：因为1166S =，由等差数列前n 项和公式可得， ()1111111662a a S +==，解得11112a a +=， 由等差数列的性质可得，11162a a a +=，所以66a =.故选：A点评：本题考查等差数列的性质和等差数列前n 项和公式；考查运算求解能力；灵活运用等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式是求解本题的关键；属于基础题.5．511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2x -的系数是（ ） A ．15 B ．15- C ．10 D ．10-由二项展开式通项公式可确定3r =，由此可求得系数. 解：511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项()()55155111r r r r r r r T C C x x --+⎛⎫=⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭， 当3r =时，3224510T C x x --=-=-，即2x -的系数为10-.故选：D .点评： 本题考查二项展开式指定项系数的求解问题，关键是熟练掌握二项展开式通项公式的形式.6．函数()()21e ln 11e xx f x x x -=+-+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．答案：B根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数()f x 的奇偶性排除选项,C D ；利用()20f >排除选项A 即可.解：由题意知，函数())21e ln 11e xxf x x x -=++的定义域为R ，其定义域关于原点对称， 因为())21ln 11xx e f x x x e----=++)21ln 11x x e x x e -=++ 又因为)))1222ln 1ln 1ln 1x x x x x x -+=+=-+， 所以()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，故排除,C D ； 又因为())2212ln 5201e f e-=->+，故排除A. 故选：B本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.7．某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）A ．152πB ．12πC ．112πD ．212π 答案：A由三视图可知，该几何体为由18的球体和14的圆锥体组成，结合三视图中的数据，利用球和圆锥的体积公式求解即可.解：由三视图可知，该几何体为由18的球体和14的圆锥体组成， 所以所求几何体的体积为11+84V V V =球圆锥， 因为31149=3=8832V ππ⨯⨯球， 221111=34344312V r h πππ⨯⨯=⨯⨯⨯=圆锥， 所以915322V πππ=+=，即所求几何体的体积为152π. 故选：A点评：本题考查三视图还原几何体及球和圆锥的体积公式；考查学生的空间想象能力和运算求解能力；三视图正确还原几何体是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.8．图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”，他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d （d 为球的直径），并得到球的体积为316V d π=，这种算法比外国人早了一千多年，人们还用过一些类似的公式，根据 3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（ ）A ．3169d V ≈B ．32d V ≈C ．3300157d V ≈D ．3158d V ≈答案：C利用选项中的公式化简求得π，找到最精确的选项即可.解： 由316V d π=得：36V dπ=. 由A 得：3916V d ≈，69 3.37516π=∴⨯≈；由B 得：312V d ≈，632π∴≈=； 由C 得：3157300V d ≈，6157 3.14300π⨯∴≈=；由D 得：3815V d ≈，68 3.215π⨯∴≈=， C ∴的公式最精确.故选：C .点评：本题考查数学史与立体几何的知识，关键是能够对选项中的公式进行准确化简求得π的近似值.9．已知1F ，2F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的一点，且在y 轴的左侧过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若2ON =（O 为坐标原点）则21MF MF -等于（ ）A ．4B ．2C 3D 33答案：A延长2F N 交1MF 的延长线于点P ,根据题意作出图形，利用三角形全等和三角形中位线的性质即可求解.解：延长2F N 交1MF 的延长线于点P ,作图如下：因为MN 为12F MF ∠的角平分线，且2F N MN ⊥， 所以2MF MP =， 所以2111MF MF MP MF F P -=-=，因为,O N 分别为122,F F F P 的中点，所以ON 为12PF F ∆的中位线， 所以1122ON F P ==， 所以21124MF MF F P ON -===.故选：A点评：本题考查椭圆方程和直线与椭圆的位置关系；考查数形结合思想和运算求解能力；根据题意作出图形，三角形中位线的性质的运用是求解本题的关键；属于中档题.10．若存在m ，使得()f x m ≥对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有下界，其中m 为函数()f x 的一个下界；若存在M ，使得()f x M ≤对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有上界，其中M 为函数()f x 的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下述四个结论：①1不是函数()()10f x x x x=+>的一个下界；②函数()ln f x x x =有下界，无上界；③函数()2e xf x x=有上界，无下界；④函数()2sin 1x f x x =+有界． 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．② 答案：B根据函数上界、下界及有界的概念，利用导数判断函数的单调性并求最值，结合选项，利用排除法，对结论①②③④进行逐项判断即可.解：。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷理科数学（二)试题1．设集合{|01}A x x =剟，1|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．(0,1) D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2．复数11z i i ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的实轴长为8，一条渐近线为34y x =，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2216436x y -= B ．2213664x y -= C ．221916x y -= D ．221169x y -=4．函数())1f x x x =-+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知{}n a 为公差不为0的等差数列，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n ∈N ，则21S 的值为（ ）A ．0B ．90-C ．90D ．110 6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（ ） （注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生）．A ．互联网行业从业人员中80前占3%以上B ．互联网行业90后中，从事设计岗位的人数比从事市场岗位的人数要多C ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 （ ）A ．43B ．75C ．85D ．38．程序框图如下图所示，若程序运行的结果60S =，则判断框中应填入（ ）A ．4?k „B ．3?k „C ．2?k „D ．1?k „ 9．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ）A ．160B ．240C ．280D ．32010．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．现有一个羡除如图所示，DA ⊥平面ABFE ，四边形ABFE ，CDEF 均为等腰梯形，四边形ABCD 为正方形，//AB EF ，2AB =，6EF =，点F 到平面ABCD 的距离为2，则这个羡除的表面积为（ ）A ．10+B ．12+C ．12+D ．12+11．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>的零点构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是( )A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．其图象关于直线2x π=对称 C ．函数()g x 是偶函数 D ．在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦12．设数列{}n a 满足12a =-，且对任意正整数n ，总有()()1112n n n a a a +--=成立，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ）A ．35176B ．589C ．35236D ．3515613．若向量(1,)a m =-r ，(2,1)b =-r ，且()b a b ⊥+r r r ，则实数m 等于_________．14．若x ，y 满足200240x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为________．15．已知偶函数()f x 的图象经过点(1,2)-，且当0a b <…时，不等式()()0f b f a b a -<-恒成立，则使得(1)2f x -<成立的x 的取值范围是_________．16．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4，过点A 作平面α与正四棱柱的三条侧棱1BB ，1CC ，1DD 分别交于E ，G ，F ，且BE DF =，若多面体ABCD AEGF -和多面体1111A B C D AEGF -的体积比为3∶5，则截面AEGF 的周长为_________．17．如图，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点P 为ABC ∆内一点，且1tan 3PAB ∠=，1tan 2PBA ∠=.（1）求PA ；（2）求APC ∠.18．在Rt ABC V 中，2ABC π∠=，2AB =，4BC =，已知E ，F 分别是BC ，AC的中点，将CEF △沿EF 折起，使C 到1C 的位置如图所示，且13BEC π∠=，连接1C B ，1C A ．（1）求证：平面1AFC ⊥平面1ABC ．（2）求平面1AFC 与平面1BEC 所成锐二面角的大小．19．已知M 、N 是椭圆22:184x y C +=上不同的两点，MN 的中点坐标为⎛ ⎝⎭． （1）证明：直线MN 经过椭圆C 的右焦点．（2）设直线l 不经过点(0,2)P 且与椭圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率的和为1，试判断直线l 是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由．20．某工厂A ，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，A ，B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和21(0.51)p p -剟．（1）从A ，B 生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值0p ；（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值． ①已知A ，B 生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从A ，B 生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X ，求X 的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．21．已知函数()()ln 1f x x a x a a R =-+-∈．(I)讨论()f x 的单调性；(II)若),a x e ⎡∈+∞⎣时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆C 的方程为,l ρθ=被圆C.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点P的坐标为(m ，且0m >，求PA PB +的值.23．已知()2121f x x x =++-.（Ⅰ）解不等式()(1)f x f >；（Ⅱ）若不等式11()(0,0)f x m n m n ≥+>>对任意x ∈R 的都成立，证明：43m n +≥.参考答案1．B【解析】【分析】按交集定义，即可求解.【详解】因为{|01}A x x =剟，1|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭， 所以1|12A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭…． 故选：B.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题．2．A【解析】【分析】根据复数乘法运算法则，求出z ，即可得出结论.【详解】111z i i i ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 所以复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．故选：A.【点睛】本题考查复数的代数运算以及几何意义，属于基础题．3．D【解析】【分析】由已知可得4a =，再由渐近线方程，建立b 的等量关系，即可求出结论.【详解】由题知，28a =，34b a =，所以4a =，3b =， 所以双曲线的方程为221169x y -=． 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质，属于基础题．4．A【解析】【分析】利用函数的奇偶性以及特殊值进行排除即可．【详解】由题意()01f =，排除B ，C ，又())ln 1f x x x -=-+ln 11x x x x =-+=-+)()1)1ln 1x x x x f x -=-+=+=， 则函数()f x 是偶函数，排除D ，故选A ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数值进行排除是解决本题的关键．5．A【解析】【分析】设{}n a 公差为d ，将379,,a a a 用1,a d 表示，得到1,a d 等量关系，进而求出11a 即可.【详解】因为{}n a 为等差数列，设公差为,0d d ≠，所以312a a d =+，716a a d =+，918a a d =+．因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =，即()()()21111628,0,100a d a d a d d a d +=++≠∴+=，所以110a =，于是()21112121021100S a d a d =+=+=．故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量运算、等比中项的应用以及等差数列的前n 项和公式，考查逻辑推理、计算求解能力，属于基础题．6．C【解析】【分析】根据互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，逐项进行分析.【详解】由题知，互联网行业从业人员中80前占3%，故选项A 错误；互联网行业90后中，从事设计岗位的人数占12.3%，从事市场岗位的人数占13.2%，故选项B 错误；在90后中，从事技术岗位的人数占总人数的比例为56%39.6%20%⨯>，故选项C 正确；互联网行业中从事技术岗位的人数80后无法确定，故选项D 错误．故选：C.【点睛】本题考查统计图，考查学生的数据分析及逻辑推理的能力，属于基础题．7．A【解析】 00(,)P x y 为抛物线2y x =-上任意一点. 则200y x =-.∴点P 到直线的距离为20002203()4383355x x y d ---+-==∴min 204353d ==. 数形结合法:设把已知直线平移到与抛物线相切,然后求出两条平行线间的距离即为所求的最小距离.8．C【解析】【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，判断出当k 为何值时输出，得到结论中的条件.【详解】循环前，1S =，5k =，第一次循环：5S =，4k =，不输出，第二次循环：20S =，3k =，不输出，第三次循环：60S =，2k =，循环终止，输出的60S =．故选：C.【点睛】本题考查补全循环结构中的语句，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.9．C【解析】【分析】 首先把1x x +看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2y 的系数，再求71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中1x -的系数，二者相乘即可求解.【详解】 由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为82181r r r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1r =，则712281T C x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为7271771r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3r =，则3735C =，所以12x y -的系数是358280⨯=.故选：C【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.10．B【解析】【分析】由已知可得平面ABCD⊥平面ABEF，得到点F到平面ABCD的距离为点F到AB的距离，进而求出,AE DE，即可求解.【详解】因为DA⊥平面ABFE，平面ABCD⊥平面ABEF，根据面面垂直的性质定理，得点F到平面ABCD的距离为F到AB的距离，所以等腰梯形ABFE的高为2，腰AE==因为四边形ABCD为正方形，且2AB=，DE=等腰梯形CDEF=所以该羡除的表面积为11122(26)2(26)2212222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=+故选：B.【点睛】本题以数学文化为背景，考查多面体的表面积，注意空间垂直的相互转化，考查直观想象及数学运算的能力，属于中档题．11．D【解析】【分析】化简f（x）=2sin（ωxπ3+），由三角函数图象的平移得：g（x）＝2sin2x，由三角函数图象的性质得y＝g（x）的单调性，对称性，再由xπ2π63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求得函数g（x ）值域得解.【详解】f （x ）＝sinωx ＝2sin （ωx π3+）， 由函数f （x ）的零点构成一个公差为π2的等差数列， 则周期T ＝π，即ω＝2，即f （x ）＝2sin （2x π3+）， 把函数f （x ）的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数g （x ）的图象， 则g （x ）＝2sin[2（x π6-）π3+]＝2sin2x ， 当π2k π2+≤2x≤3π2k π2+,即πk π4+≤x≤3πk π4+, y ＝g （x ）是减函数，故y ＝g （x ）在[π4，π2]为减函数， 当2x=πk π2+即x k ππ24=+（k ∈Z ）,y ＝g （x ）其图象关于直线x k ππ24=+（k ∈Z ）对称,且为奇函数，故选项A ，B ，C 错误，当x π2π63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，2x ∈[π3，4π3]，函数g （x ）的值域为[，2]， 故选项D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，熟记三角函数基本性质，熟练计算是关键，属中档题12．A【解析】【分析】 已知递推公式化简为111n n na a a ++=-，可得4n n a a +=，所以{}n a 是周期为4的数列，求出一个周期的和，即可求解.【详解】因为()()1112n n n a a a +--=，所以1112n n n n n a a a a a ++--+=， 所以111n n n a a a ++=-，121111111111n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++-===-+---， 42111n n n na a a a ++=-=-=-，所以{}n a 是周期为4的数列， 因为213412121111,,312322,a a a a a a -==-=-==-+-==， 又因为123411723326a a a a ⎛⎫+++=-+-++= ⎪⎝⎭， 所以数列{}n a 的前2019项的和为7113517504(2)6326⎛⎫⨯+-+-+= ⎪⎝⎭． 故选：A.【点睛】本题考查数列的前n 项和、数列的性质，确定数列周期是解题的关键，意在考查直观想象和数学运算的能力，属于中档题．13．7-【解析】【分析】求出a b +r r坐标，根据向量垂直的坐标关系，建立关于m 的方程，即可求解.【详解】 因为(1,)a m =-r ，(2,1)b =-r ，所以(3,1)a b m +=-+r r ，因为()b a b ⊥+r r r，所以2(3)1(1)0m -⨯-+⨯+=，解得7m =-．故答案为：7-.【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题．14．3【解析】【分析】做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最大值.【详解】做出约束条件表示的可行域，如图所示阴影部分，当目标函数2z x y =+经过点A 时，z 取得最大值，由020x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即点A 的坐标为(1,1)，故z 取得最大值为3．故答案为：3.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.15．(0,2)【解析】【分析】抽象函数不等式考虑函数的单调性，根据已知可得()f x 在(,0]-∞单调递减，又()f x 是偶函数，因此()f x 在[0,)+∞单调递增，(1)2f -=，可将不等式转化为自变量关系，即可求解.【详解】因为当0a b <…时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立， 则()()f b f a <，所以函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递减，又因为()f x 的图象经过点(1,2)-，所以(1)2f -=，又因为()f x 为偶函数，()f x 在[0,)+∞单调递增，所以(1)2f x -<等价于(1)(1)(1)f x f f -<-=，所以|1|1x -<，解得02x <<．故答案为：(0,2).【点睛】本题考查抽象函数不等式，应用函数的单调性和奇偶性是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学运算能力，属于中档题．16．10【解析】【分析】由已知可得四边形AEGF 菱形，过E 分别作11,EN CC EM AA ⊥⊥，垂足分别为,M N 连,MF NF ，可得G EFN A MEF V V --=，根据已知可得多面体ABCD AEGF -的体积，且等于四棱柱ABCD MENF -的体积，进而求出BE ，即可求解.【详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11//AA D D 平面11BB C C ，平面11AA D D ⋂平面AF α=，平面11BB C C I 平面,//EG AF EG α=∴，同理//AE FG ，所以四边形AEGF 为平行四边形，因为BE DF =，所以AE AF =，故四边形AEGF 菱形，过E 分别作11,EN CC EM AA ⊥⊥，垂足分别为,N M 连,MF NF ，得EN BC AB ==，因为AE EG =，所以Rt ABE Rt ENG ≅△△，所以GN BE CN ==，又BE DF AM ==，所以多面体ABCD MENF -为正四棱柱，且G EFN A MEF V V --=，所以多面体ABCD AEGF -的体积为正四棱柱ABCD MENF -的体积为4BE ，又因为正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4，所以正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为16，又因为多面体ABCD AEGF -和多面体1111A B C D AEGF -的体积比为3∶5，所以多面体ABCD AEGF -的体积为331664,82V BE BE =⨯===，52AE ==，故截面AEGF 的周长为54102⨯=． 故答案为：10.【点睛】本题考查正四棱柱的结构特征、截面图形的周长，考查利用线、面位置关系确定截面图形形状，割补法求多面体的体积是解题的关键，意在考查直观想象和运算求解的能力，属于中档题．17．（1）PA =（2）90APC ∠=︒ 【解析】【分析】（1）利用两角和的正切公式得到tan()1PAB PBA ∠+∠=，结合角的范围可得34APB π∠=，在PAB ∆利用正弦定理可计算PA =.（2）在PAC ∆中，利用余弦定理可计算PC =，最后根据勾股定理得到90APC ∠=︒. 【详解】（1）由条件及两角和的正切公式得： tan tan tan()1tan tan PAB PBA PAB PBA PAB PBA ∠+∠∠+∠=-∠⋅∠1132111132+==-⨯， 而0PAB PBA π<∠+∠<，所以4PAB PBA π∠+∠=， 则3()44APB PAB PBA ππππ∠=-∠+∠=-=， ∵1tan 2PBA ∠=，∴sin PBA ∠=. 在PAB ∆中，由正弦定理知：sin sin PA AB PBA APB =∠∠，即PA =. （2）由（1）知，4PAB PBA π∠+∠=，而在等腰直角三角形ABC中，CA =4CAB CAP PAB π∠=∠+∠=，所以CAP PBA ∠=∠，则cos CAP ∠=. 在PAC ∆中，由余弦定理，2222cos PC AC AP AC AP CAP =+-⋅⋅∠3288255=+-⨯=，∴PC =∵222PC PA AC +=，∴90APC ∠=︒.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.18．（1）证明见解析；（2）4π 【解析】【分析】（1）取11,AC BC 的中点分别为,G H ，连接,,GH GF HE ，根据已知可得EF ⊥平面1BEC ， 1EBC △为等边三角形，可证EH ⊥平面1ABC ，再证FG EH ∥，从而有FG ⊥平面1ABC ，即可证明结论；（2）以B 为坐标原点建立如下图坐标系，确定出1,,A F C 坐标，求出平面1AFC 的法向量坐标，根据空间向量二面角公式即可求解.【详解】（1）取1AC ，1BC 的中点分别为G ，H ，连接GH ，GF ，HE ． 如图所示，则1////,2GH AB EF GH EF AB ==， 11,,EF BE EF C E BE C E E ⊥⊥=I ，所以EF ⊥平面1,BEC EH ⊂平面1BEC ， EF EH ⊥，所以GH EH ⊥， 因为13BEC π∠=，E 是BC 的中点，所以1EBC △为等边三角形，所以1EH BC ⊥，又因为GH ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，1GH BC H ⋂=，所以EH ⊥平面1ABC ．//,GH EF GH EF =，四边形EHGF 为平行四边形，所以FG EH ∥，所以FG ⊥平面1ABC ，又因为FG ⊂平面1AFC ，所以平面1AFC ⊥平面1ABC ．（2）以B 为坐标原点，在平面1BC E 内与BE 垂直的直线为x 轴，,BE BA 所在的直线为,y z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,2),(0,2,1),,0)A F C ，平面1BEC 的一个法向量(0,0,1)m =u r ，设平面1AFC 的法向量(,,)n x y z =r，12)AC =-u u u r ，(0,2,1)AF =-u u u r，所以2020y z y z -=⎧⎪+-=，令1y =，则2,z x ==，所以2)n =r ，所以cos ,2||||m n m n m n ⋅〈〉===⋅u r r u r r u r r ， 所以平面1AFC 与平面1BEC 所成锐二面角的大小为4π．【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直以及向量法求二面角，注意空间垂直关系的相互转化，考查直观想象、逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．19．（1）证明见解析；（2）过定点；(4,2)--.【解析】【分析】（1）根据已知用点差法求出直线MN 的斜率，即可证明结论；（2）先考虑直线AB 斜率存在情况，设直线AB 的方程为y kx m =+，直线要过定点，只需求出m 为定值或确定,m k 关系，联立直线AB 方程与椭圆方程，根据根与系数关系以及直线PA 与直线PB 的斜率的和为1，可得,m k 关系，得出定点，再求出直线AB 斜率不存在时AB 方程即可.【详解】（1）由题知，(2,0)F ，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN的中点坐标为⎛ ⎝⎭，所以12x x ≠， 由22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得1212121244882y y x x x x y y -+=-⨯=-=--+，又因为02212-=--，所以直线MN 经过椭圆C 的右焦点．（2）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由221,84x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124280k x kmx m +++-=， 设()33,A x y ，()44,B x y ， 所以342412km x x k +=-+，23422812m x x k-=+， 又因为1PA PB k k +=，所以3434221y y x x --+=， 即3434221kx m kx m x x +-+-+=，所以34342(2)1x x k m x x ++-⋅=，化简得24840m km k -+-=， 所以(2)(42)0m m k --+=，又因为2m ≠，所以42m k =-，所以直线AB 的方程为42(4)2y kx k k x =+-=+-，经检验，符合题意，所以直线AB 过定点(4,2)--，又当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为x n =，221A B y y n n--+=，又因为0A B y y +=， 解得4n =-，也过点(4,2)--．综上知，直线AB 过定点(4,2)--．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查共线、定点问题，相交弦的中点要注意点差法的应用，要掌握根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.20．（1）0.95；（2）①B 生产线挽回的平均损失较多；②分布列见解析，16200元.【解析】【分析】（1）根据独立事件同时发生以及对立事件的概率，求出产品至少有一件合格的概率，根据已知建立p 的不等量关系，即可求解；（2）①根据（1）的结论求出,A B 生产线不合格品率，进而求出两条生产线的不合格品数，即可求出结论；②X 的可能取值为6，8，10，根据频数分布图，求出X 可能值的频率，得到X 的分布列，根据期望公式求解即可.【详解】（1）设从A ，B 生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件C ，从A ，B 生产线上抽检到合格品分别为事件M ，N ，由题知，M ，N 互为独立事件，所以()P M p =，()21P N p =-，()1()1()()P C P M N P M P N =-⋅=-⋅21(1)[1(21)]12(1)p p p =----=--，令212(1)0.995p --…，解得0.95p …，故p 的最小值00.95p =． （2）由（1）可知，A ，B 生产线生产的产品为合格品率分别为0.95和0.9，不合格品率分别为0.05和0.1．①由题知，A 生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品10000.0550⨯=（件），可挽回损失为505250⨯=（元），B 生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品10000.1100⨯=（件），可挽回损失为1003300⨯=（元）．由此，估计B 生产线挽回的平均损失较多．②由题知，X 的所有可能取值为6，8，10，用样本的频率分布估计总体分布，则20259(6)20040P X +===，60401(8)2002P X +===， 203511(10)20040P X +===， 所以X 的分布列为所以9111()68108.140240E X =⨯+⨯+⨯=（元）． 故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为20008.116200⨯=（元）．【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查创新与应用和运算求解的能力，属于中档题．21．(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)0a ≥.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a 的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a 的范围即可．【详解】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为()0,∞+，()a x a f x 1x x '-=-=， ①当a 0≤时，()x a f x 0x-'=>，f(x)在()0,∞+上为增函数. ②当a>0时，由()x a f x 0x-'=>得x a >； 由()x a f x 0x-'=<得0x a <<, 所以f(x)在()0,a 上为减函数，在()a,∞+上为增函数.综上所述，①当a 0≤时，函数f(x)在()0,∞+上为增函数②当a>0时，f(x)在()0,a 上为减函数，在()a,∞+上为增函数.(Ⅱ)①当a=0时，因为x 1≥，所以()f x x 10=-≥恒成立，所以a=0符合题意.②当a<0时，a e 1<，因为()()()af x f e f 1a 0min =<=<，所以()f x 0≥不恒成立，舍去. ③当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在()0,a 上为减函数，f(x)在()a,∞+上为增函数.下面先证明：()ae a a 0>>. 设()a p a e a =-，因为()ap a e 10'=->， 所以p(a)在()0,∞+上为增函数.所以()()p a p 010≥=>，因此有a e a >.所以f(x)在)a e ,∞⎡+⎣上为增函数.所以()()a a 2min f x f ee a a 1==-+-. 设()()a 2q a e a a 1a 0=-+->，则()a q a e 2a 1=-+'，()a q a e 2='-'.由()q a 0''>得a ln2>；由()q a 0''<得0a ln2<<.所以()q a '在()0,ln2上为减函数，()q a '在()ln2,∞+上为增函数.所以()()q a q ln232ln20≥=-'>'.所以q(a)在()0,∞+上为增函数，所以()()q a q 00>=.所以()min f x 0>.所以()f x 0≥恒成立.故a>0符合题意.综上可知，a 的取值范围是a 0≥.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．（Ⅰ）33m m ==-或；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）先将圆C 的方程化成直角坐标方程，直线l 化成普通方程，再由圆心到直线的距离以及勾股定理列式可得；（Ⅱ）联立直线l 与圆C 的方程，根据韦达定理以及参数的几何意义可得．【详解】（Ⅰ）由ρθ=得220,x y +-=即(225x y +-=.直线的普通方程为0x y m +-=， 被圆C，即=解得33m m ==-或. （Ⅱ）法1：当3m =时，将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，())2235-+=，即2220t -+=，由于(24420∆=-⨯=>，故可设12t t ，是上述方程的两实根，所以121221t t t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，又直线l过点(P ，故由上式及t 的几何意义得，PA PB += 122(|t |+|t |)= 122(t +t )=法2：当3m =时点(3P ，易知点P 在直线l 上.又2235+>，所以点P 在圆外.联立(22530x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得，2320x x -+=.不妨设((2A B ，、，所以PA PB +==【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，属于基础题.23．（Ⅰ）()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ ；（Ⅱ）见解析 【解析】【分析】（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得f(x)的最小值，得到113m n+≤，然后利用基本不等式进行证明即可.【详解】（Ⅰ）()()1f x f >就是21215x x ++->. （1）当12x >时，()()21215x x ++->，得1x >. (2)当112x -≤≤时，()()21215x x +-->，得35>，不成立. （3）当1x <-时，()()21215x x -+-->，得32x <-. 综上可知，不等式()()1f x f >的解集是()312⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，. （Ⅱ）因为()()2121222122213x x x x x x ++-=++-≥+--=， 所以113m n+≤. 因为0m >，0n >时，11m n +≥3≤23≥.所以43 m n+≥≥.【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用绝对值三角不等式和基本不等式求最值的应用，属于基础题.。
全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，则A B =U （ ） A.{}1,2,3,4,5B.{}0,1,4,5C.{}2,3D.{}0,1,2,3,4,52.i 是虚数单位，2z i =-，则z =（ ）A.B.2C.3.已知向量()1,2a =r ，(1,)b λ=-r ，若a b r r∥，则实数λ等于（ ）A.-1B.1C.-2D.24.“22x -<≤”是“22x -≤≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件5.双曲线22221x y a b -= （0a >，0b >）的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A.45y x =±B.54y x =±C.43y x =±D.34y x =±6.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ）A.第一场得分的中位数为52B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等7.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5b =，22625c c a ---，则cos A =（ ）A.45 B.35C.310D.258.函数1())1x xe f x x e-=+的图象大致为（ ）A BC D9.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）A.152πB.12πC.112π D.212π10.图为祖冲之之子祖晒“开立圆术”中设计的立体模型.祖晒提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d （d 为球的直径），并得到球的体积为316V d π=，这种算法比外国人早了一千多年.人们还用过一些类似的近似公式，根据3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（ ）A.d ≈B.d ≈C.d ≈D.d ≈11.已知32cos cos 2αβ-=，2sin sin 2αβ+=，则cos()αβ+等于（ ） A.12 B.12-C.14D.14-12.已知A B C ，，为椭圆2214x y +=上三个不同的点，若坐标原点O 为ABC △的重心，则ABC △的面积为（ ）A.B.2C.2D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设()f x 是定义在R 上的函数，若()()g x f x x =+是偶函数，且()24g -=-，则()2f =___________.14.已知数列()*(}n f a n ∈N 是等差数列，其前n 项和为n S ，若66nS =，则4a =___________.15.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，则ω=___________.16.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E F ，分别为111AB AC ，的中点，平面a 过点1C ，且平面a ∥平面11A B C ，平面a I 平面111A B C l =，则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的折线图.（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据：()()51311iii t t y y =--=∑.回归方程$$y abt =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别：()()()121ii i ni i tty y b t t ∞==--=-∑∑，$a y bt=-$. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()21112,4,314,(1)log n n nn n n n S aS a b a -++==-=-⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥ ，BC AD ∥，2222AD BC PA AB ====，点E F G ，，分别为线段AD DC PB ，，的中点.（1）证明：直线AG ∥平面PEF.（2）求多面体 ACCPEF 的体积.20.已知函数2()e ,x f x ax x a =--∈R ，()g x 为函数()f x 的导函数.（1）若函数()gx 的最小值为0，求实数a 的值；（2）若0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x --++…恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知点()(),80Pt t <是抛物线2(:20)C x py p =>上一点，点F 为抛物线C 的焦点，||10PF =.（1）求直线PF 的方程； (2)若直线l 过点()0,4，与抛物线相交于M N ，两点，且曲线C 在点M 与点N 处的切线分别为m n ，，直线m n ，相交于点G ，求||PG 的最小值.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ay α=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以坐标原点为极点,，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 3m πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）若直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，求实数m 的取值范围；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，且A B ，的中点为P ，求点P 的轨迹方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知a b ，为正实数，222a b +=. （1）证明：2a b ab +≥. （2）证明：442a b +….2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1.D 本题考查集合的运算因为{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，所以{}0,12,3,4,5A B =U .2C 本题考查复数的模.因为2z i =-，所以||z ==3.C 本题考查向量的平行.因为a b r r∥，所以20λ--=，解得2λ=-.4.A 本题考查充分、必要条件“22x -<≤”是“22x -≤≤”的充分不必要条件.5.C 本题考查双曲线的渐近线.22225161199b e a =-=-=，即43b a =，故双线的渐近线方程为43y x =±. 6.C 本题考查茎叶图.由茎叶图可知第一场得分的中位数为52，众数为0，极差为19，第二场得分的众数为 0，平均数为193，极差为2，所以选项C 的说法是错误的. 7.B 本题考查解三角形.因为225625b c c a =⋅---，所以2226b c a c +-=，所以62cos c bc A =⋅， 所以3cos 5A =. 8.B 本题考查函数的图象.因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，排除CD 项，又因为)1(1)ln 101cf e-=>+，所以排除A 项.9.A 本題考查三视图.根据三视图可知，该几何体是由14个圆锥和18个球组成的， 如图所示，其中球的半径为3，圆锥的底面半径也为3，高为4，故该几何体的体积为2311119153433438322x ππππ⨯⨯⨯+⨯⨯-+=.10.C 本题考查数学史与立体几何.由316V xd =，解得36V x d =，选项A 化简得3916V d ≈， 所以69 3.37516π⨯≈=；选项B 化简得212V d ≈，所以632π≈=；选项C 化简得3157300V d ≈， 所以6157 3.14300π⨯≈=；选项D 化简得2815V d ≈，所以683.215π⨯≈=；所以选项C 的 公式最精确.11.A 本题考查三角恒等变换.因为32cos cos 2αβ-=，2sin sin αβ+-，所以2294cos 4cos cos cos 4ααββ-+=，2234sin 4sin sin sin 4ααββ++=， 两式相加得54(cos cos sin sin )3αβαβ--=，解得1cos()2αβ+=. 12.B 本题考查直线与椭圆的位置关系.不妨设直线AB 的方程为y kx m =+代人椭圆方程得()()222148410k xkmx m +++-=.设()11,Ax y ，()22,B x y ，则122814kmx x k +=-+，()21224114m x x k-=+. 设()33,Cx y ，因为O 为ABC △的重心，所以()2122814kmxx x k=-+=+， ()()2121222214my y y k x x m k =-+=-++=-⎡⎤⎣⎦+，代入椭圆方程得22441m k -+，12|||AB x x -， 点O 到直线AB的距离d -，所以OMB △的面积111||||22S AB d m =⨯⨯-⨯因为22441m k -+，所以1S =， 因为O 为ABC △的重心，所以ABC △的面积132S S ==. （另解：不妨设()2,0A，因为O 为ABC △的重心，所以BC 横坐标为1-，可得||BC =ABC△的面积为1322S =⨯=.） 13.6本题考查函数的性质，由题知，(2)(2)2(2)4g f g -+--=-，解得()26f =-.14.6本题考查等差数列基本量的求解设等差数列{}n a 的公差为d ，因为66n S =，所以41166a =，解得a6.15.2本题考查三角函数的性质因为点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，所以是72632wππππ=--，解得2ω=.16.4本题考在异面直线所成角.因为平面a ∥平面11A B C ， 平面a I 平面111A B C l =，平面11A B C I 平面11111A B C A B =，所以11l A B ∥，取11A B ，11B C 的中点分别为H G ，，连接EH BG GH GF AC ，，，，，如图所示，则11GF A B ∥， 所以GF l ∥所以异面直线EF 与所成的角为GFE ∠或其补角，又因为AB =12AA =，所以14AC =，1EH =，HP GP ==所以2EG EF -=，所以22cos 24GF GFE RP ∠==.【解题方法】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的概念.解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，明确异面直线所成角的概念，应用三角函数知识求解，充分利用图形特征，则可事半功倍.例如本题利用图形易得11D A B ∥，这是本题的题眼. 17.解：本题考查线性回归方程. （1）由题中数据计算得1(12345)35t =++++=， ()2223215(2)(1)01210i i i a t =---+-+++=∑，由参考数据知，()()51311iii t t y y =--=∑，所以()()()532131131.110iiiii tty y b tt=--=-=-∑∑，$214.2-31.13120.9ay bt --=⨯=$， 故所求回归方程为31.1120.9yt =+.（2）将2021年对应的7t =代人回归方程得31.17120.9338.6y =⨯+=， 所以预测2021年全国硕士研究生报考人数约为338.6万人. 18.解：本题考查数列通项公式及前n 项和 （1）因为()1311n nn S a+=-，所以当2n ≥时，所以()1314n n n S a +--，所以()11314(14)nn n n n a aa ++-=--，整理得()()11440nn n aa +--=，所以14,(2)n n a a n +=>，当1n =时，()12314nS a--，14a =，所以216a =，所以24a a =，所以数列{}n a 是首项和公比均为4的等比数列，所以1444n n a +=⨯=，即4n n a =.（2）由（1）知4n na =，所以()()221121222(1)log 4(1)log 24(1)n n n n n n b n +++=-⋅--⋅--⋅22222241234(21)(2)4[37(41)]4(21)n T n n n n n ⎡⎤=-+-++--=-----=-⋅+⎣⎦L L ，故数列{}n b 的前2n 项和24(21)n T n n =-+.【名师点睛】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和问题，是高考的常考内容，解题过程中要注意应用函数与方程思想，构建方程（或方程组）求基本量，例如此题，从已知出发，构建1,a d 的方程组求数列通项公式，利用前后项合并，构造等差数列，求数列的前n 项和. 19.解：本题考查线面平行及多面体的体积.（1）证明：因为2BC AD AD BC E =∥，，为线段AD 的中点，所以BC AE ∥，连接EC ，因为AB AD ⊥，所以四边形ABCE 为矩形，连接BE 交AC 于点O ，连GO ，因为G 为线段PB 的中点，所以OG PE ∥，因为GO ⊄平面PEF ，PBC 平面PEF ， 所以GO ∥平面PEF ，由题易知，AC ∥平面PEF ， 又因为GC ⊂平面GAC ，AC ⊂平面GAC .AC GO O =I ，所以平面PEF ∥平面GAC ，又因为AGC 平面GMC ，所以直线AC ∥平面PEF .（2）因为22 2 AD BC PA ===，1AB =，所以四棱锥P ABCD -的体积111(12)11322S =⨯⨯+⨯⨯=，三棱锥G ABC -的体联11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，棱锥P DEF -的体积 11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，故所求多面体AGCPEF 的体积为1111212123--=.20.解：本题考查函数最值及恒成立求参数范围. （1）()21x f x e ax '=--，所以()21xg x eax =--，()2x g x e a '=-，①当0a ≤时，()0g x '>，所以()21x g x e ax =--在R 上单词递增，不合题意；②当0a >时，(,ln 2)x a ∈-∞，()0g x '<，(ln 2,)x a ∈+∞，()0g x '>， 所以函数()gx 在区间(,ln 2)a -∞上单调递减，在区间(ln 2,)a +∞上单调递增，()(ln 2)2(1ln 2)10g x g a a a ----…，令()ln 1x x x x μ'---，则()ln x x μ'=-，所以()x μ在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()()10x μμ≤=，所以由2(1ln 2)10a a --=，解得12a =， 即实数a 的值为12. （2）因为0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x >--++恒成立，所以210x e x ax -+-≥，即21x e x a x ---<对任意0x >恒成立，令21()x e x x xϕ---，则()2(1)1()x x e x x x ϕ---'=，由（1）知，10x e x --≥，当且仅当0x =时，等号成立，所以函数()x ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间(1,)+∞上单词递增，所以()(1)2x e ϕϕ=-…，所以2a e -≤-，即2a e ≥-. 所以实数a 的取值范围为[2,)e -+∞. 21.解：本题考查抛物线的性质. （1）因为||10PF =，所以8102p+-，解得4p =，所以()0,2F ， 因为288t =⨯，且0t <，所以8t =-，所以()8,8P -，故直线PF 的方程为822(0)80y x ------， 化简得3480x y +-=.（2）由（1）知，抛物线方程为28x y =，点()0,2F .设()()1122,,,Mx y N x y ，又因为14y x '=， 所以直线m 的方程为()11114y y x x x -=- 整理得1114y x x y =-， 同理可得直线n 的方程为1214y x x y =-，设()33,G x y ， 联立311332321414y x x y y x x y⎧--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得直线l 的方程为3314y xx y =-，又因为直线l 过点()0,4，所以4y =-，即点G 在定直线4y =-上，所以PG 的最小值为()8412--=.【解题思路】解决直线与抛物线的综合问题时，需要注意：（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22.解：本题考查坐标与参数方程： （1）由题知，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，直线l20y m -+=，因为直线l 与曲线C||2m =≥， 所以实数m 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞U . （2）设()()1122,,,,(,)Ax y B x y P u v ，由（1）知，(2,2)m ∈-，由22204y m x y -+=+=⎪⎩，解得224440x m ++-=，所以122u x x -+-=，)121224v y y x x m m -+++=，所以2u =-，即u =，故点P的轨迹方程为0(11)x y +=-<<.23.解：本题考查不等式证明.（1）因为222a b +=所以1ab ≤，所以1ab ≤≤，2a b +≤，所以2a b ab +≤， 即2a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， （2）()244222222242a b a b a b a b +-+-=-， 由（1）知1ab ≤，所以221a b ≤，所以2242422a b -≥--，即442a b +≥，当且仅当a b =时等号成立.。
2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。
100所名校高考模拟金典卷·数学（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|01}A x x =剟，1|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(0,1)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2．复数11z i i ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为8，一条渐近线为34y x =，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2216436x y -= B ．2213664x y -= C ．221916x y -= D ．221169x y -=4．函数())1f x x x =+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知{}n a 为公差不为0的等差数列，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n ∈N ，则21S 的值为（ ） A ．0B ．90-C ．90D ．1106．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（ ）（注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生）．A ．互联网行业从业人员中80前占3%以上B ．互联网行业90后中，从事设计岗位的人数比从事市场岗位的人数要多C ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ）A ．43B ．75C ．85D ．38．程序框图如下图所示，若程序运行的结果60S =，则判断框中应填入（ ）A ．4?k …B ．3?k …C ．2?k …D ．1?k …9．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数为（ ）A ．280B ．320C ．240D ．16010．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．现有一个羡除如图所示，DA ⊥平面ABFE ，四边形ABFE ，CDEF 均为等腰梯形，四边形ABCD 为正方形，AB EF ∥，2AB =，6EF =，点F 到平面ABCD 的距离为2，则这个羡除的表面积为（ ）A ．10+B ．12+C ．12+D ．12+11．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的零点构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．其图象关于直线2x π=对称C ．函数()g x 是偶函数D ．在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[ 12．设数列{}n a 满足12a =-，且对任意正整数n ，总有()()1112n n n a a a +--=成立，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．35176B ．589C ．35236D ．35156二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．若向量(1,)a m =-r ，(2,1)b =-r ，且()b a b ⊥+r r r，则实数m 等于_________．14．若x ，y 满足200240x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为________．15．已知偶函数()f x 的图象经过点(1,2)-，且当0a b <…时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则使得(1)2f x -<成立的x 的取值范围是_________．16．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4，过点A 作平面α与正四棱柱的三条侧棱1BB ，1CC ，1DD 分别交于E ，G ，F ，且BE DF =，若多面体ABCD AEGF -和多面体1111A B C D AEGF -的体积比为3∶5，则截面AEGF 的周长为_________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．如图，等腰直角三角形ABC △中，2ACB π∠=，4AB =，点P 为ABC △内一点，且1tan 3PAB ∠=，1tan 2PBA ∠=．（1）求PA 的长；（2）求APC ∠．18．在Rt ABC △中，2ABC π∠=，2AB =，4BC =，已知E ，F 分别是BC ，AC 的中点，将CEF△沿EF 折起，使C 到1C 的位置如图所示，且13BEC π∠=，连接1C B ，1C A ．（1）求证：平面1AFC ⊥平面1ABC ．（2）求平面1AFC 与平面1BEC 所成锐二面角的大小．19．已知M 、N 是椭圆22:184x y C +=上不同的两点，MN 的中点坐标为1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）证明：直线MN 经过椭圆C 的右焦点．（2）设直线l 不经过点(0,2)P 且与椭圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率的和为1，试判断直线l 是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由．20．某工厂A ，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，A ，B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和21(0.51)p p -剟．（1）从A ，B 生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值0p ；（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．①已知A ，B 生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从A ，B 生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如下图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X ，求X 的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．21．已知函数()ln 1()f x x a x a a =-+-∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若),ax e ⎡∈+∞⎣时，()0f x …恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,x m y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位．圆C的方程为ρθ=，直线l 被圆C截． （1）求实数m 的值；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为(m ，且0m >，求||||PA PB +的值． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知()2|1||21|f x x x =++-．（1）若()(1)f x f >，求实数x 的取值范围；（2）11()(0,0)f x m n m n +>>…对任意的x ∈R 都成立，求证：43m n +…． 100所名校高考模拟金典卷·数学（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案 B命题意图 本题考查集合的交集；考查学生的运算求解能力．解题分析 因为20x x -≥，所以01x 剟，所以1|12A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭…． 2．答案 A命题意图 本题考查复数的几何意义；考查学生的运算求解能力． 解题分析 因22(1)111212i z i i i i -⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以复数z 在复平面上对应的点位于第一象限． 3．答案 D命意图本题考查双曲线的性质；考查学生的数据分析能力．解题分析 由题知，28a =，34b a =，所以4a =，3b =，所以双曲线的方程为221169x y -=． 4．答案 A命题意图 本题考查函数图象；考查学生的逻辑推理能力．解题分析 因为(0)1f =，排除B 项，C 项，又因为(1)1)11f -=-+<，排除D 项． 5．答案 A命题意图 本题考查等差数列前n 项和公式；考查学生的逻辑推理能力．解题分析 因为{}n a 为等差数列，所以312a a d =+，716a a d =+，918a a d =+．因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =，即（()()()21111628,100a d a d a d a d +=+++=，所以110a =，于是()21112121021100S a d a d =+=+=． 6．答案 C命题意图 本题考查统计图；考查学生的数据分析及逻辑推理的能力．解题分析 由题知，互联网行业从业人员中80前占3%，故选项A 错误；互联网行业90后中，从事设计岗位的人数占12.3%，从事市场岗位的人数占13.2%，故选项B 错误；在90后中，从事技术岗位的人数占总人数的比例为56%39.6%20%⨯>，故选项C 正确；互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后的无法确定，故选项D 错误． 7．答案 A命题意图 本题考查直线与抛物线的位置关系；考查学生的运算求解能力．解题分析 设平行直线4380x y +-=的直线l 的方程为430x y t ++=，联立方程2430,,x y t y x ++=⎧⎨=-⎩得2340x x t --=，由2(4)43()0t ∆=--⨯⨯-=，解得43t =-，所以抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值为两平行直线间的距离43d ==．（也可利用函数求导，求切点坐标，利用点到直线的距离求解） 8．答案 C命题意图 本题考查程序框图；考查学生的数学运算及逻辑推理的能力．解题分析 循环前，1S =，5k =，第一次循环：5S =，4k =，继续循环，第二次循环：20S =，3k =，继续循环，第三次循环：60S =，2k =，循环终止，输出的60S =． 9．答案 A命题意图 本题考查二项式定理；考查学生的逻辑推理的能力．解题分析 由题知，821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数为143873280C C C =．10．答案 B命题意图 本题考查立体几何；考查学生的空间想象及数学运算的能力．解题分析 因为DA ⊥平面ABFE ，点F 到平面ABCD 的距离为2，所以等腰梯形ABFE 的高为2，腰AE =，因为四边形ABCD 为正方形，且2AB =，所以等腰梯形CDEF的高为，所以该羡除的表面积为11122(26)2(26)2212222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯=+ 11．答案 D命题意图 本题考查三角函数的性质；考查学生的数学运算的能力． 解题分析因为()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，且()f x 的零点构成一个公差为2π的等差数列，2ππω=，得2ω=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，所以()2sin 22sin 2663g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，其对称轴为42k x ππ=+，对称中心为,02k π⎛⎫⎪⎝⎭，故A ，B ，C 选项均错误，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2sin 2[x ∈．12．答案 A命题意图 本题考查数列的性质；考查学生的数学运算的能力．解题分析 因为()()1112n n n a a a +--=，所以1112n n n n n a a a a a ++--+=，所以111nn na a a ++=-，因为12a =-，所以2121123a -==-+，同理可得312a =，43a =，52a =-，所以数列{}n a 是一个周期为4的数列，又因为123411723326a a a a ⎛⎫+++=-+-++= ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的前2019项的和为7113517504(2)6326⎛⎫⨯+-+-+= ⎪⎝⎭．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．答案 7-命题意图 本题考查向量的数量积运算；考查学生的数学运算的能力．解题分析 因为(1,)a m =-r ，(2,1)b =-r ，所以(3,1)a b m +=-+r r ，因为()b a b ⊥+r r r，所以2(3)1(1)0m -⨯-+⨯+=，解得7m =-．14．答案 3命题意图 本题考查线性规划；考查学生的运算求解的能力． 解题分析 作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线2z x y =+经过点A 时，z 取得最大值，020x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即点A 的坐标为(1,1)，故z 取得最大值为3． 15．答案 (0,2)命题意图 本题考查函数的性质；考查学生的数学运算的能力． 解题分析 因为当0a b <…时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，所以函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递减，又因为()f x 的图象经过点(1,2)-，所以(1)2f -=，又因为()f x 为偶函数，所以(1)2f x -<等价于(1)(1)f x f -<-，所以|1||1|x -<-，解得02x <<．16．答案 10命题意图 本题考查立体几何的点线面位置关系；考查学生的空间想象和运算求解的能力．解题分析 因为BE DF =，所以四边形AEGF 为棱形，且EF =又因为正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4，所以正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为16，又因为多面体ABCD AEGF -和多面体1111A B C D AEGF -的体积比为3∶5，所以多面体ABCD AEGF -的体积为31668V =⨯=，所以24V CG =，所以3CG =，所以217AG =，又因为四边形AEGF 为棱形，所以222481725AE EF AG =+=+=，所以52AE =，故截面AEGF 的周长为54102⨯=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．命题意图 本题考查解三角形；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力． 解题分析 （1）作PD AB ⊥于D ，设PD x =，则13x AD =，12x BD =，即3AD x =，2BD x =，而4AB =，故45x =，所以PA ==．（2）又因为tan tan tan()11tan tan PAB PBAPAB PBA PAB PAB∠+∠∠+∠==-∠⋅∠，又因为0PAB PBA π<∠+∠<，所以4PAB PBA π∠+∠=，所以CAP PBA ∠=∠，所以cos CAP ∠=，又因为2222cos PC AC AP AC AP CAP =+-⋅∠，解得PC =，又因为222PC PA AC +=，所以2APC π∠=．18．命题意图 本题考查面面垂直及二面角；考查学生的空间想象和运算求解的能力．解题分析 （1）记1AC ，1BC 的中点分别为G ，H ，连接GH ，GF ，HE ．如图所示，由题知，EF ⊥平面1BEC ，所以GH EH ⊥，因为13BEC π∠=，E 是BC 的中点，所以1EBC △为等边三角形，所以1EH BC ⊥，又因为GH ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC 1GH BC H ⋂=，所以EH ⊥平面1ABC ．由题知，FE GH =∥，所以FG EH ∥，所以FG ⊥平面1ABC ，又因为FG ⊂平面1AFC ，所以平面1AFC ⊥平面1ABC ．（2）建立如图所示空间直角坐标系，则1(0,0,2),(0,0,0),(0,2,1),(0,2,0),,0)A B F E C ，由题知，平面1BEC 的一个法向量(0,0,1)m =u r，设平面1AFC 的法向量(,,)n x y z =r，12)AC =-u u u r，(0,2,1)AF =-u u u r，所以2020y z y z -=⎧⎪+-=，令1y =，解得12x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以n =r ，所以cos ,2||||m n m n m n ⋅〈〉===⋅u r ru r r u r r ，所以平面1AFC 与平面1BEC 所成锐二面角的大小为4π．19．命题意图 本题考查直线与椭圆的综合应用；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力．解题分析 （1）由题知，(2,0)F ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得1212121244882y y x x x x y y -+=-⨯=-=--+，又因为02212-=--，所以直线MN 经过椭圆C 的右焦点．（2）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，由221,84x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124280k x kmx m +++-=，设()33,A x y ，()44,B x y ，所以342412km x x k +=-+，23422812m x x k -=+，又因为1PA PBk k +=，所以3434221y y x x --+=，即3434221kx m kx m x x +-+-+=，所以34342(2)1x x k m x x ++-⋅=，化简得24840m km k -+-=，所以(2)(42)0m m k --+=，又因为2m ≠，所以42m k =-，所以直线AB 的方程为42(4)2y kx k k x =+-=+-，经检验，符合题意，所以直线AB过定点(4,2)--，又当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为x n =，221A B y y n n--+=，又因为0A B y y +=，解得4n =-，也过点(4,2)--．综上知，直线AB 过定点(4,2)--．【归因导学】错↔学20．命题意图 本题考查概率统计；考查学生的创新与应用和运算求解的能力．解题分析 （1）设从A ，B 生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件C ，从A ，B 生产线上抽检到合格品分别为事件M ，N ，由题知，M ，N 互为独立事件，所以()P M p =，()21P N p =-，()1()1()()P C P M N P M P N =-⋅=-⋅21(1)[1(21)]12(1)p p p =----=--，令212(1)0p --…．995，解得0.95p …，故p 的最小值00.95p =． （2）由（1）可知，A ，B 生产线生产的产品为合格品率分别为0.95和0.9，不合格品率分别为0.05和0.1． ①由题知，A 生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品10000.0550⨯=（件），可挽回损失为505250⨯=（元），B 生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品10000.1100⨯=（件），可挽回损失为1003300⨯=（元）．由此，估计B 生产线挽回的平均损失较多．②由题知，X 的所有可能取值为6，8，10，用样本的频率分布估计总体分布，则20259(6)20040P X +===，60401(8)2002P X +===，203511(10)20040P X +===， 所以X 的分布列为所以9111()68108.140240E X =⨯+⨯+⨯=（元）． 故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为20008.116200⨯=（元）．21．命题意图 本题考查函数单调性及恒成立求参数取值范围；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力． 解题分析 （1）()1(0)a x af x x x x-'=-=>， ①当0a …时，()0x af x x-'=>，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，()0x a f x x -'=>，解得x a >；()0x af x x-'=<，解得0x a <<．所以函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增．综上所述，当0a …时，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在区间(0, )a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增．（2）①当0a =时，1ae =，由（1）知，函数()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f =…恒成立，所以0a =符合题意；②当0a <时，1ae <，(1)0f a =<，不合题意；③当0a >时，令()(0)xg x e x x =->，()1xg x e '=-，当0x >时，()10xg x e '=->，所以0()001g x e >->=，所以a e a >，由（1）知，函数()f x 在区间(0, )a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，所以函数()f x 在区间),a e ⎡+∞⎣上单调递增，所以()2()1a a f x f e e a a =-+-…，令2()1(0)x x e x x x ϕ=-+->，)1(2x x e x ϕ'=-+，令()21(0)x h x e x x =-+>，()2x h x e '=-，()0h x '>，解得ln2x >，()0h x '<，解得0ln2x <<，所以ln 2()()(ln 2)2ln 2132ln 20x h x h e ϕ'==-+=->…，所以函数()x ϕ在区间(0,)+∞上单调递增，所以02()0010x e ϕ>-+-=，所以()0f x >，即()0f x …恒成立，故0a >符合题意；综上可知，实数a 的取值范围为[0,)+∞．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]命题意图 本题考查坐标与参数方程；考查学生运算的能力．解题分析 （1）由ρθ=得220x y +-=，即22(5x y +-=， 直线l的普通方程为0x y m +--=，直线l 被圆C，所以圆心到直线l=，解得3m =或3m =-．（2）∵0m >，∴3m =，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，22(3))5+=，即2220t -+=，∵24420∆=-⨯=>，设1t ，2t 是上述方程的两个实数根，∴1212,21,t t t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩又因为直线l过点P ，故由上式及t 的几何意义， 得()()1212||||22PA PB t t t t +=+=+=． 23．[选修4-5：不等式选讲]命题意图 本题考查解绝对值不等式；考查学生分类讨论得思想． 解题分析 （1）()(1)f x f >，即2|1||21|5x x ++->，①当12x >时，2(1)(21)5x x ++->，得1x >； ②当112x -≤≤时，2(1)(21)5x x +-->，得35>，不成立； ③当1x <-时，2(1)(21)5x x -+-->，得32x <-． 综上，所求x 的取值范围是3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（2）因为2|1||21||22||21||(22)(21)|3x x x x x x ++-=++-+--=…，所以113m n +…，因为0m >，0n >时，11m n +…，所以3，得23…，所以43m n +厖．。
