数字信号处理第三章

显然 H (e ) 与采样间隔T有关, T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz ,混 叠可忽略不计
jω
小结
1) 脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的， ω＝ΩΤ，ω与Ω是线性关系。 因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变 换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。
虚轴压缩通过正切变换实现：
Ω1T Ω = c ⋅ tg( ) 2
C：待定常数。
Ω
−∞ → 0→ ∞
Ω1 − π / T → 0 → π / T
扩展至整个s平面，则得到s平面到s1平面的映射关系：
1 − e − s1T s = c⋅ 1 + e − s1T
再将 s1 平面通过标准变换关系映射到z平面，即令
∑
∞
h( n ) z −n
对比得：s平面与z平面的映射关系
z = e sT
ˆ H a (s) = H ( z)
z = e sT
稳定性：
如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 si 都在s左半平 面，即 Re[si]＜0 , 那么变换后H(z)的极点 esiT ，也都在单位圆以内 即
e siT = e Re ( si )T < 1
回节首
2
双线性变换法 1） 原理
脉冲响应不变法的主要缺点：产生频谱混叠。 原因：从s平面到z平面的变换z＝esT是多值对应。
修正： 第一步：将整个S平面压缩到S 平面的一条横带里； 1
第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。
建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除 了混淆现象。
s平面与z平面的单值映射关系：
2 1 − z −1 s= T 1 + z −1
1 + (T / 2) s z= 1 − (T / 2) s
双线性换法的主要优点：s平面与z平面单值对应，s平面的 虚轴(整个jΩ)对应于z平面单位圆，s平面的Ω=0处对应于z平 面的ω=0处，Ω=∞处对应于z平面的ω=Π处，即数字滤波器 的频率响应终止于折叠频率处（ω=Π ），所以双线性变换不 存在混迭效应。
因此数字滤波器保持稳定。
由
z = e
令
sT
jω
z = re
,
s = σ + jΩ
则
r = eσT ,
ω = ΩT
s平面上每一条宽为 2π 的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平 T 面上: 每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内， 每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外， j Ω 轴映射到单位圆上，j Ω 轴上每一段 2π T 都对应于绕单位圆一周。
⎛ ⎜1 + z = ⎝ ⎛ ⎜1 − ⎝
σT ⎞
ΩT ⎟+ j 2 ⎠ 2 ΩT σT ⎞ − j ⎟ 2 ⎠ 2
| z |=
Tσ ⎞ ⎛ ⎛ TΩ ⎞ 1+ +⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝
2
2
Tσ ⎞ ⎛ TΩ ⎞ ⎛ 1− +⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝
2
2
σ < 0 时 | z |< 1
验证是否符合从 S平面到Z平面映射变换的二个基本要求：
①当
z = e jω
时，得：
2 2 1 − e − jω ⎛ω ⎞ = jtg ⎜ ⎟ = jΩ s= − jω T T 1+ e ⎝2⎠
满足第一个要求, 即s平面的虚轴(整个jΩ)对应于z平面 单位圆
双线性变换的频率非线性关系
②
s = σ + jΩ
∞
1 ∞ 1 ∞ 2π m ⎞ ⎛ ω H ( e ) = ∑ Ha ( jΩ+ jmΩs ) = ∑ Ha ⎜ j + j ⎟ T m=−∞ T m=−∞ ⎝ T T ⎠
数字滤波器的频响是模拟滤波器频响的周期延拓
如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率ΩS/2 以内，有
H a ( jΩ ) = 0
Ω ≥
变换方法主要有两种：脉冲响应不变法和双线性变换法 脉冲响应不变法 双线性变换法
回章首
1 脉冲响应不变法 使数字滤波器能模仿模拟滤波的时域特性 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数 字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤 波器的冲激响应ha(t)的采样值，
即 h(n)=ha(nT), ha(t) h(n) Ha(s) H(z) T为采样周期。
i =1 i =1 N
M
一般M ≤ N
按是否有反馈分：
递归系统 非递归系统 按频率特性分： 高通 低通 IIR FIR 带通 带阻
数字滤波器的设计步骤：
1） 2） 按照实际需要确定滤波器的性能要求。 用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个性能要
求， 即求 h(n) 的表达式。确定系数ai、bi或零极ci、di 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包括： 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及 快速卷积（FFT）型等； 选择合适的字长和有效数字的处理方法 等
Ωs 2
数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响
H (e
jω
ω 1 )= Ha( j ) T T
ω <π
但是，任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不 可避免地存在频谱的交叠，即频谱混叠
Ha ( j ) T
ω
H (e jω )
−π
π
波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响，而带有一 定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越 小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的 效果。
2 ⎛ ω ⎞ tg ⎜ Ω = ⎟ T ⎝ 2 ⎠
消除了脉冲响应不变法频 谱混叠的问题。
双线性变换的频率非线性关系
2） 双线性变换缺点： Ω与ω成非线性关系，导致： a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变。
例如，一个模拟微分器，它的幅 度与频率是直线关系，但通过双线 性变换后，就不可能得到数字微分器 H ( jΩ ) = k Ω + b
▲如何计算 H(z):
设模拟系统函数为：
H a (s) =
拉氏反变换为：
∑
sit
N
i =1
Ai s − si
ha (t ) =
∑ Ae
i =1 i
N
u ( t ),
对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列好h（n）
h(n) = ha (nT ) = ∑ Ai e si nT u (n) = ∑ Ai (e siT ) n u (n)
σ > 0时 , | z |> 1
即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因 此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是 稳定的。满足第二个要求.
小结
1) 与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：s平 面与z
平面是单值的一一对应关系（靠频率的严重非线性关系得到 的），即整个jΩ轴单值地对应于单位圆一周，关系式为：
例
将一个具有如下系统函数
H ( s) =
2 1 1 = − (s + 1)(s + 3) s + 1 s + 3
的模拟滤波器数字化。
H (z) =
1 1 − 1 − z −1 e − T 1 − z −1 e − 3T
z − 1 ( e − T − e − 3T ) = 1 − z −1 ( e − T + e − 3 T ) + e − 4 T z − 2
概
述
数字滤波器——线性时不变系统。
数字滤波器的数学描述：
1) 差分方程
y ( n) = ∑ ai x (n − i ) + ∑ bi y ( n − i )
i =0 i =1
N
N
2) 系统函数
H ( z) =
∑ ai z
i =0 N i =1
M
−i
1 − ∑ bi z − i
=A
(1 − ci z −1 ) ∏ (1 − di z −1 ) ∏
z=e
s1T
2 1 − z −1 s= T 1 + z −1
通常取C=2/T
当 z = ejω,
2 1 − e − jω s= T 1 + e − jω
其中
=
2 j sin(ω / 2) ω 2 = jtg( ) = jΩ T 2 T cos(ω 2)
s平面的虚轴对应于z平面的单位圆
2 Ω = tg(ω / 2) T
第三章
无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计
0 概述 1 根据模拟滤波器设计IIR滤波器 2 常用模拟低通滤波器特性 3 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换 4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换
许多信息处理过 程，如信号的过滤， 检测、预测等都要用 到滤波器。数字滤波 器是数字信号处理中 使用得最广泛的一种 线性系统，是数字信 号处理的重要基础。 数字滤波器的功能 （本质）是将一组输 入的数字序列通过一 定的运算后转变为另 一组输出的数字序列。 实现方法主要有两种： 数字信号处理硬件和 计算机软件。
jΩ
3π T
j Im( z )
r = eσ T ω = ΩT
σ
T
0
π
0
T
−π
ω
T
− 3π
s平面
ω : −π ~ π
z平面
频谱混叠：
理想采样序列的拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系
H ( z ) z =e ST
jω