当前位置：文档之家 › 数字信号处理第三章-FFT

数字信号处理第三章-FFT

  • 格式：ppt
  • 大小：1.24 MB
  • 文档页数：32

下载文档原格式

  / 32

合集下载

数字信号处理FFT

数字信号处理FFT

数字信号处理FFT数字信号处理中的FFT算法数字信号处理（Digital Signal Processing, DSP）是一门研究如何以数字方式对信号进行处理和分析的学科。

其中，FFT（Fast Fourier Transform）算法是数字信号处理中最为重要和常用的算法之一。

本文将介绍FFT算法的原理、应用以及一些常见的优化方法。

一、FFT算法原理FFT算法是一种高效地计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）的方法。

DFT是将一个离散信号从时域（time domain）变换到频域（frequency domain）的过程。

在频域中，我们可以分析信号的频率成分和振幅，从而得到信号的频谱图。

FFT算法的原理是利用对称性和重复计算的方式，将一个需要O(N^2)次乘法运算的DFT计算降低到O(N*logN)的时间复杂度。

通过将N个点的DFT分解成多个规模较小的DFT计算，最终得到原始信号的频域表示。

二、FFT算法应用FFT算法在信号处理领域有着广泛的应用，其中包括但不限于以下几个方面：1. 信号的频谱分析：通过FFT算法，可以将时域信号转化为频域信号，进而分析信号的频率成分和振幅，为后续的信号处理提供依据。

例如，在音频处理中，我们可以通过FFT算法分析音频信号的频谱，用于音乐合成、音频降噪等应用。

2. 图像处理：图像信号也可以看作是一种二维信号，通过对图像的行、列分别进行FFT变换，可以得到图像的频域表示。

在图像处理中，FFT算法被广泛应用于图像增强、滤波、压缩等方面。

3. 通信系统：FFT算法在OFDM（正交频分复用）等通信系统中被广泛应用。

在OFDM系统中，多个子载波信号通过FFT变换合并在一起，实现信号的同时传输和接收。

4. 音频、视频压缩：在音频、视频等信号的压缩算法中，FFT算法也扮演着重要的角色。

通过对音频、视频信号进行频域分析，可以找到信号中能量较小的部分，并将其抛弃从而达到压缩的效果。

数字信号处理课后答案+第3章DFT+FFT

数字信号处理课后答案+第3章DFT+FFT

ej(02N πk)(N21)sin( 02N πk)N 2 sin(02N πk)/2
k0,1, ,N1
或
1ej0N X7(k)1ej(02 N k)
（8） 解法一 直接计算：
k0,1, ,N1
x 8 (n ) si0 n n )R (N (n ) 2 1 j[ej 0 n e j 0 n ]R N (n )
即 X 8 (k ) jX 7 o (k ) j1 2 [X 7 (k ) X 7 * (N k )]
结果与解法一所得结果相同。 此题验证了共轭对称性。
(9) 解法一 直接计算:
x9(n )co0 n s )R N ((n )1 2[ej 0 n e j 0 n]
N1
X9(k) x9(n)WNkn
x 7 ( n ) e j 0 n R N ( n ) [c 0 n ) o j ss i 0 n ) ( n R N ] ( n ( )
所以
x 8 (n ) si0 n )R N ( (n ) Im x 7 (n )[ ]
所以 D [ jx 8 ( F n ) D ] T [ j IF x m 7 ( n ) T ] X [ 7 o ] ( k )
(7) x(n)=ejω0nRN(n) (8) x(n)=sin(ω0n)RN(n) (9) x(n)=cos(ω0n)RN(N) (10) x(n)=nRN(n) 解： (1)
X(k)N n011WN knN n01ej2N πkn1 1 ee jj2 2N N π πkkN N
N k0 0 k1,2,,N1
(5)
X (k)
N 1 j 2π mn
eN
W Nkn
N 1 j 2π (mk )n

数字信号处理实验3 FFT算法应用

数字信号处理实验3 FFT算法应用
与图 6-1 有相同的结论。 （2）用以下代码可得图 6-2 >> N=64; >> k=0:N-1; >> X=1./(1-0.8*exp(-j*2*pi*k/N)); >> x=ifft(X,64); >> n=k; >> stem(n,abs(x)) >> grid
图 6-2
>> xlabel('n');ylabel('x[n]');
图 6-1
理论分析如下：
由欧拉公式得： x[n] cos(2 7n) 1 cos(2 19n)
N
2N
1
(e
j 2 7n N
e
j 2 ( N 7n) N
1
e
j 2 19n N
1
e
j 2 ( N 19n)
N
)
2
2
2
j 2 kn
对 p[n] e N ，其 2N 点的 DFT 变换为：
2N 1
j 2mn 2N 1 j 2n(2km)
X (k) 。
（2） 已知某序列 x(n) 在单位圆上的 N=64 等分样点的 Z 变换为
X (zk
)
X
(k)
1 1 0.8e j2k / N
,k
0,1,2,...,63
。
_
_
用 N 点 IFFT 程序计算 x(n) IDFT[ X (k)]，绘出和 x(n) 。
实验要求：利用 MATLAB 编程完成计算，绘出相应图形。并与理论计算相比较，说明实验结 果的原因。 （1） 用以下代码实现可得图 6-1 所示的 DFT 图。 >> N=64; >> n=0:2*N-1; >> x=cos(2*pi*7*n/N)+1/2*cos(2*pi*19*n/N); >> X=fft(x,128); >> k=n; >> stem(k,abs(X)) >> grid >> xlabel('k');ylabel('|X[k]|');

数字信号处理之离散傅里叶变换

数字信号处理之离散傅里叶变换

共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。

数字信号处理第三章补

数字信号处理第三章补

在此频谱图中就分辨不出来。
v(n) 6
4
T＝1 / fs
2
0
0 0
2 2T
4 4T
6 6T
8 8T t p ＝1 / F
10 10 T
12 12 T
14 14 T
16 16 T
18
n t
(a) |V(k )| 40 30 20 10 0 0 0 2 2F 4 4F 6 6F F＝1 / tp
8 8F fs ＝1 / T
m 0
M 1
用DFT算法也就是用圆周卷积来代替这一线性卷积时，为了
不产生混叠，其必要条件是使x(n)，h(n)都补零值点，补到至少
N=M+L-1， 即:
x(n) x(n) 0
0≤n≤L-1 L≤n≤N-1
h(n) 0≤n≤M-1 h(n ) 0 M≤n≤N-1
然后计算圆周卷积
y (n) x(n)
N
h( n )
这时，y(n)就能代表线性卷积的结果。 用FFT计算y(n)的步骤如下：
① 求N点X(k)=DFT［x(n)］, N点；
② 求H(k)=DFT［h(n)］， N点；
③ 计算Y(k)=X(k)H(k);
④ 求y(n)=IDFT［Y(k)］，N点。
率(单位： Hz)。
由图可知：
t p NT fs 1 1 F N NT t p
在实际应用中, 要根据信号最高频率fh和频谱分辨率F的要求， 来确定T、tp和N的大小。 （1）首先，由采样定理，为保证采样信号不失真，fs≥2fh(fh为 信号频率的最高频率分量，也就是前置低通滤波器阻带的截止 频率)， 即应使采样周期T满足
n

《数字信号处理》C3离散傅里叶变换及快速算法

《数字信号处理》C3离散傅里叶变换及快速算法
2 k ) / 2 sin N ( 2 j ( k )( N 1) 1 N N e 2 N 内插函数 k ) / 2 sin ( N N sin 1 2 e j ( N 1) / 2 2 ( ) k ( ) ( k) N sin N 2
j
n


x(n) z n
M 1 n 0
n x ( n ) z jn
X ( e ) DTFT [ x ( n )]
n


x ( n )e

M 1 n 0
jn ( ) x n e
2 j X ( e ) FT [ x N ( n )] N ( k ) DFS [ x N ( n )] X X ( k ) DFT [ x ( n )]N
n 0
N 1
n
1 n0 N
N 1
X (k )W
k 0
N 1
nk N
n z
1 N 1 N 1 nk n X (k ) WN z N k 0 n 0
N 1 1 N 1 k 1 n X (k ) WN z N k 0 n 0
(n) ak e x
k 0 N 1 j 2 kn N
2 2 T 0 0T NT N
为什么是有限项之和？ 如何求系数？
( n )e x
n 0
N 1
j
2 mn N
2 2 j kn j mn ak e N e N n 0 k 0 N 1 N 1
N 1
ak ak lN
周期
3.1 周期序列的傅里叶级数

数字信号处理第三章8 用DFT对模拟信号作频谱分析

数字信号处理第三章8 用DFT对模拟信号作频谱分析
2013-8-8 数字信号处理
信号最高频率f h的确定
t0 Th / 2
1 1 fh Th 2t0
2013-8-8
数字信号处理
例：有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数 必须是2的整数幂，假设没有采用任何的数据处理 措施，已给条件为：
1）频率分辨率 10 Hz 2）信号最高频率 4kHz
x(n)为周期序列，周期N 14
抽样点数至少为14点
或者因为频率分量分别为500、 、 600 700Hz
得 F0 100Hz
N f s / F0 1400/100 14
最小记录点数N 14
2013-8-8 数字信号处理
2013-8-8
数字信号处理
T 2 f / f s 2 k / N
2013-8-8
X ( j) T x (nT )e jnT
n 0
数字信号处理
3）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔 F0 ，时域周期延拓，
周期为 T0 1/ F0
N-1 n 0 N 1
n 0
0 2 F0
X ( jk 0 ) T x (nT )e jk0nT
试确定以下参量： 1）最小记录长度T0 3）在一个记录中最少点数N
2）抽样点间的最大时间间隔T（即最小抽样频率）
2013-8-8
数字信号处理
解： 1）最小记录长度：
1 1 T0 0.1s F0 10
2）最大抽样间隔 （f s 2 f h
f s 1/ T）
1 1 T 0. ms 125 3 2 f h 2 4 10
2013-8-8 数字信号处理
f fs * k / N

数字信号处理课后第三章习题答案

数字信号处理课后第三章习题答案

1 e j 0 N
2 j(0 k ) N 1 e
k 0, 1, , N 1
（8） 解法一
直接计算：
1 j 0 n x8 (n) sin(0 n) RN (n) [e e j 0 n ] R N ( n ) 2j
X 8 (n)

n 0
N 1
kn x8 (n)WN
k 0, 1, , N 1
(4)
X (k ) WNkn
n 0
m1
π j ( m1) k 1 WNkm N e 1 WNk
π sin mk N R (k ) N π sin k N
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
所以
DFT[ X (n)] X (n)W
n 0
N 1
N 1
kn N
N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
N 1
n ( m k ) x(m)WN m 0 n 0
N 1
第３章
由于
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
（10） 解法一
X (k )

n 0
N 1
kn nWN
k 0, 1, , N 1
上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为x(n)=nRN(n)， 所
以
x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到
1 [e j0 n e j0 n ] e 2 j n 0

数字信号处理第三章chhy

数字信号处理第三章chhy
kn (1) 旋转因子 WN 的周期性(周期为N)
( K,m,N均为整数 WNk WNk mN ) , k , m, N
X ( k mN (2) X(k)隐含的周期性 (周期为N) )

n 0
N 1
( x ( n )WN k mN ) n
X ( k mN ) x ( n )W
kn x(n )W X ( k ) DFT [ x ( n )] x ( n )WN
X ( k ) DFT [ x ( n )]
M-1 N 1
N 1
kn N
0 k N-1
X (k ) X ( z )
2 j k z e N
, ,
0 X( k ) ((kX X ((zzj)) )22 ,, k N-1 X k)(3.1.3) j X ) ( z j X e
3.1 离散傅立叶变换的定义及物理意义 3.1.2 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为M， 其Z变换和N点DFT分别为：
X ( z ) ZT [[x (( n )] xxnnz n n X ( z ) ZT x n )] ( () )z
N 1 n 0
X (k )e
k 0
N 1 ~
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期 延拓，因此离散傅里叶变换的时 域和频域都是离散的和周期的
引入
例1：连续时间、连续频率—傅里叶变换
例2：连续时间、离散频率—傅里叶级数
引入
例3：离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
例4： 离散时间、离散频率—序列的傅里叶级数
j
2π N
，将时域序列x(n)变换为频域序列X(k)；

数字信号处理3

数字信号处理3

m 0,1,2,3
X [0] X [1] X [2] X [3]
W80 W81 W82 W83
-1 -1 -1 -1
X2[0]
X2[1] X2[2] X2[3]
X [4] X [5]
X [6]
X [7]
8点基2时间抽取FFT算法流图
x[0] x[0]
XX11[0] 11[0]
X1[0] X1[1] X1[2] X1[3]
X 1[ m ]
N / 2 1 r 0 mr x1[r ]WN / 2
X 2 [m ]
N / 2 1 r 0
mr x2 [r ]WN / 2
m 0,1 N 1 2
（2）合成
m X [m] X 1[m] WN X 2 [m]
X [ m N ] X 1[ m ] W X 2 [ m ] 2
X[4] X[5] X[6] X[7]
1
W80 W82
W80
1 1
W82 W83
1
3. 基2时间抽取FFT算法的计算复杂度
算法 直接计 算DFT 基2时 间抽取 FFT 复乘 次数 N2
N log 2 N 2
复乘次数
复加 次数 N(N-1)
18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0
1. 基2频率抽取FFT算法原理
将频域序列X[m]分成两个长度为N/2的短序列X1、X2 合成 偶数点序列 X 1[ r ] X [2 r ]
N r 0,1, , 1 2 奇数点序列 X 2 [ r ] X [2r 1]
这两个频域短序列分别由N/2点时域序列x1、x2经过DFT计 算得到 N /21 N /2 1

数字信号处理实验三--用FFT

数字信号处理实验三--用FFT

数字信号处理实验三--⽤FFT数字信号处理实验三--⽤FFT作谱分析XXXX ⼤学实验报告XXXX 年 XX ⽉ XX ⽇课程名称：数字信号处理实验名称：⽤FFT 作谱分析班级： XXXXXXXX 班学号： XXXXXXXX 姓名： XXXX实验三⽤FFT 作谱分析⼀、实验⽬的（1）进⼀步加深DFT 算法原理和基本性质的理解（因为FFT 只是DFT 的⼀种快速算法，所以FFT 的运算结果必然满⾜DFT 的基本性质）；（2）熟悉FFT 算法的原理；（3）学习⽤FFT 对连续信号和时域离散信号进⾏谱分析的⽅法分析误差及其原因，以便在实际中正确应⽤FFT 。

⼆、实验内容（1）x(n)={1 0≤n ≤50 其他构造DFT 函数计算x(n)的10点DFT ，20点DFT并画出图形；（2）利⽤FFT 对下列信号逐个进⾏谱分析并画出图形 a 、x 1(n)=R 4(n)； b 、x 2(n)=cos π4n ； c 、x 3(n)=sin π8n以上3个序列的FFT 变换区间N=8，16（2）设⼀序列中含有两种频率成份，f1=2HZ,f2=2.05HZ,采样频率取为fs ＝10HZ ，即 )/2sin()/2sin()(2 1ssf n f f n f n x ππ+=要区分出这两种频率成份，必须满⾜N>400,为什么？a.取x(n)(0≤n<128)时，计算x(n)的DFT X(k)b.将a 中的x （n ）以补零⽅式使其加长到0≤n<512，计算X(k)c.取x(n)( 0≤n<512)，计算X(k)（3）令)()()(32n x n x n x +=⽤FFT 计算16点离散傅⽴叶变换并画出图形，分析DFT 的对称性（4）)()()(32n jx n x n x +=⽤FFT 计算16点离散傅⽴叶变换并画出图形，分析DFT 的对称性三、实验代码（1）1、代码function [Xk]=dft(xn,N)n=[0:1:N-1];k=[0:1:N-1]; WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n'*k; WNnk=WN.^nk; Xk=xn*WNnk; %离散傅⽴叶变换⽅法定义N=10; %10点DFT n1=[0:N-1];x1=[ones(1,6),zeros(1,N-6)]; %⽣成1⾏6列的单位矩阵和1⾏N-6列的0矩阵Xk1=dft(x1,N); %10点DFT figure(1);subplot(2,1,1);stem(n1,x1); %画⽕柴图xlabel(‘n’);ylabel(‘x(n)’);subplot(2,1,2);stem(n1,abs(Xk1));xlabel(‘n’);ylabel(‘x(n)’);N=20;n2=[0:N-1];x2=[ones(1,6),zeros(1,14)];Xk2=dft(x2,N);figure(2);subplot(2,1,1);stem(n2,x2);xlabel(‘n’);ylabel(‘x(n)’);subplot(2,1,2);stem(n2,abs(Xk2));xlabel(‘n’);ylabel(‘x(n)’);2、运⾏结果图1 10点DFT图2 20点DFT3、结果分析定义x(n)的N 点DFT 为由定义知：DFT 具有隐含周期性，周期与DFT 的变换长度N ⼀致，这说明，变换长度不⼀样，DFT 的结果也不⼀样（2）1、代码10)()(10-≤≤=∑-=N k W n x k X N n nkNNjN eW π2-=其中N=64;n=[0:N-1];x1=[ones(1,4),zeros(1,N-4)];%定义x1(n)=R4(n)x2=cos((pi/4)*n); %定义nx2(n)=cosπ4x3=sin((pi/8)*n); %定义nx3(n)=sinπ8y1=fft(x1);y2=fft(x2);y3=fft(x3); %分别进⾏DFTfigure(1);m1=abs(y1);subplot(2,1,1); %绘制x1(n)的图形stem(n,x1);subplot(2,1,2); %绘制x1(n)的DFT图形stem(n,m1)figure(2);m2=abs(y2);subplot(2,1,1);stem(n,x2); %绘制x2(n)的图形subplot(2,1,2);stem(n,m2);%绘制x1(n)的DFT图形figure(3);m3=abs(y3);subplot(2,1,1);stem(n,x3); %绘制x3(n)的图形subplot(2,1,2);stem(n,m3); %绘制x1(n)的DFT图形2、运⾏结果图3 x1(n)的DFT前后图形图4 x2(n)的DFT 前后图形图 5 x3(n)的DFT前后图形3、结果分析由图可以看出，离散序列的DFT与对应连续函数的FT有对应关系，不同之处在于DFT的结果是离散的，⽽FT的结果是连续的，再者，DFT结果与DFT 的变换长度N有关。

数字信号处理第三章习题解答

数字信号处理第三章习题解答
（3）最少采样点数 ；
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与 的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m表示第m段计算输出。最后，从 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列，长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中， ， 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。
然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同，由于 及 区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用 和 分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性，周期为 。

第三章 离散傅里叶变换(DFT)

第三章 离散傅里叶变换(DFT)
WΒιβλιοθήκη n N=(W
− N
n
)*
W
n N
=
W
n N
+iN
3. 可约性 4. 正交性
W i⋅n N
= WNn / i
∑ ∑ 1
N
N −1
W
nk N
(WNmk
)
*
k =0
=
1 N
N −1
W (n−m)k N
k =0
=
⎧1, ⎩⎨0,
n − m = iN n − m ≠ iN
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z 可以看出，当0≤k≤N-1 时，X~(k) 是对X(z)在Z平面单 位圆上的N点等间隔采样，在此区间之外随着k的变 化，X~ (k ) 的值呈周期变化。
了。所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是 有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z X~(k) ↔ ~x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶 级数(DFS)变换对，这种对称关系可表示为：
∑ X
(k )
=
D F S [ x (n)]
=
N −1
x
10
X (k) =
|X(ejω)|
X (e jω ) ω= 2π k 10
=
− j 4π k
e 10
sin(π k / 2) sin(π k /10)
5
…
o
π
…
2π
3π
4π
ω
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
例2 已知周期序列x (n),求X (k )。并讨论 X~ (k)与 X (e jω ) 的关系
将n和k互换，有 ∑ Nx (－k ) = N－1 X (n)WNkn n＝0

数字信号处理快速傅里叶变换知识总结

数字信号处理快速傅里叶变换知识总结

数字信号处理快速傅里叶变换知识总结数字信号处理中的快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。

以下是关于快速傅里叶变换的一些重要知识点总结：1.基本概念：o傅里叶变换：将时域信号转换为频域信号，或反之。

o离散傅里叶变换（DFT）：对有限长度的离散时间信号进行傅里叶变换。

2.快速傅里叶变换（FFT）：o是一种算法，用于高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。

o基于“分治”策略，将大问题分解为小问题，从而显著降低了计算复杂性。

3.FFT的种类：o按长度分类：长度为2的幂的FFT（如N=2^n，n为整数）和任意长度的FFT。

o按算法结构分类：基于蝶形运算的基本FFT算法，以及各种改进和优化版本（如Cooley-Tukey、Radix-2、Radix-4等）。

4.FFT的数学表达式：对于长度为N的输入信号x[n]，其DFT可以表示为X[k] =∑_{n=0}^{N-1} x[n] * W_N^kn，其中W_N = e^(-j2π/N)。

快速傅里叶变换则是基于这个公式的高效计算方法。

5.FFT的应用：o频谱分析：通过FFT，可以快速得到信号的频域表示，从而分析信号的频率成分。

o通信系统：用于信号调制、解调和多路复用等。

o图像处理：在图像处理中，FFT常用于频域滤波和图像压缩。

6.FFT的优点和局限性：o优点：计算速度快，适合于实时处理和大数据量处理。

o局限性：对于非2的幂的长度信号，FFT的效率会降低。

此外，FFT无法处理无限或无限长的信号。

7.FFT的Python实现：Python中常用的库如numpy和scipy都提供了FFT的实现。

例如，numpy的fft模块提供了fft函数用于计算一维离散傅里叶变换，scipy.fftpack模块也提供了类似的功能。

8.其他扩展：针对特定应用和需求，还有许多FFT的变种和改进算法，例如线性调频Z变换（CZT）、混合基数FFT、对称性FFT等。

第三章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)2

第三章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)2

由8点DIT-FFT运算流图可以发现，第L级共有2L-1个 不同的旋转因子。 N=23=8时的各级旋转因子表示如下: 0 L=1时 WNp WN
L=2时 L=3时
0 2 WNp WN , WNp WN
0 1 2 3 WNp WN ,WNp WN ,WNp WN ,WNp WN
倒 二进制数 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
序 十进制数 J 0 4 2 6 1 5 3 7
X (0), X (1), X (2), X (7)
12
由8点DIT-FFT运算流图可见，N=2M时，其DIT-FFT运算流图 由M级蝶形构成，每级有N/2个蝶形。因此，每级需要N/2 次复数乘法运算和N次复数加法运算，M级蝶形所需复数乘 法次数CM(2)和复数加法次数CA(2)分别为
CM (2) N N M log2 N 2 2
CA (2) NM N log 2 N
N=2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运算组成。同一级中，每个 蝶形的两个输入数据只对计算本蝶形有用，而且每个蝶形的输入、输出数 据节点又同在一条水平线上，这就意味着计算完一个蝶形后，所得输出数 据可立即存入原输入数据所占用的存储单元。这样，经过M级运算后，原 来存放输入序列数据的N个存储单元(A(0),A(1),…,A(N-1))中便依次存放 X(k)的N个值。这种利用同一存储单元存储蝶形计算输入、输出数据的方 法称为原位（址）计算。 • 节约内存单元，降低设备成本
0 WN 0 WN 0 WN
2 WN
X (0) X (1) X (2) X (3) X (4) X (5) X (6) X (7)
20
W N0
0 WN 0 WN 0 WN

数字信号处理_第三章

数字信号处理_第三章
x(1) h(0) h(1) x(2) x(3) h(2) x(0) h( L 1)
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) x( L 1) x( L 2) x( L 3) y ( L 1)c
DFTx2 (n) X 2 (k )
二、循环移位性质
1、序列的循环移位（圆周移位）定义： 一个有限长序列 x(n) 的圆周移位定义为
y(n) xn mN RN n

(1) 先将x(n)作 周 期 ~ x延 (n) 拓 xnN
~ n mN (2) 延 拓 后 再 进 x (n 行 m移 ) x位
1 e
e
k j 38
sin(k / 2) sin(k / 8)
15 j
0k 7
2kn 16
（2）N 16 时 X (k ) x(n) W
n 0 N 1 nk N
R4 (n)e
n 0
e
n 0
3
kn j2 16

1 e
4k j2 16 k j2 16

~ 周期序列 x (n) 是有限长序列x(n)的周期延拓。
x (n) 0 n N 1 ~ x(n) 其它 0
或
x(n) ~ x (n) RN (n)
x (n) 的主值序列。 有限长序列x(n)是周期序列 ~
二、DFT的隐含周期性
如：
0
x(n)
n N-1

第3章 离散傅里叶变换(DFT)

第3章 离散傅里叶变换(DFT)

M为整数 M为整数
x (n ) =
m = −∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x (n ) ⋅ RN (n )
~
~
x(n)=x((n))N，
% X (k ) =
m =− ∞
∑ X (k + mN )
∞
% X (k ) = X (k ) RN (k )
回到本节
N k=0
k =0 N
为DFT变换 长度N≥M， ， N 为DFT变换 长度N≥M， WN = e DFT 有限长 离散序列 有限长 离散序列
−j
2π N
第三章 离散傅里叶变换DFT
例1
解：
已知 x(n) = R4 (n)，分别求N = 8和N =16 时的X (k)。
N = 8时
N−1 n=0 nk N
第三章 离散傅里叶变换DFT
式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， ((n))N 表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， 则 ((n))N=n1 例如 N = 5, x N (n) = x((n))5 则有
~
M为整数，
x (5) = x ((5))5 = x (0) x (6) = x ((6))5 = x (1)
∑e
n=0
k =0 8, = 0, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
x(n)的16点DFT为
k 1 − W168 1 − e k X (k ) = W16 n = = k 2π −j k 1 − W16 n=0 1 − e 16 π 7π sin k −j k 2 = e 16 , k = 0,1, 2,L ,15 π sin k 16
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
X (k )
3.8.2 用DFT计算有限长序列与无限长序列 的线性卷积
用FFT计算有限长序列与无限长序列的线性卷积 问题： · h(n) 为某滤波器的单位脉冲响应,长度有限
· 输入信号 x(n)很长，h(n) 要补许多零再进行计算, 计算量有很大的浪费
解决方法：

重叠相加法 重叠保留法
重叠相加法： 将x(n)分段，每段长度为L，然后依次计算各段与h(n) 的卷积，再由各段的卷积结果得到y(n)。

3.8
DFT(FFT)应用举例
DFT因为具有快速算法FFT，应用非常广泛，限于篇幅，这里 仅介绍DFT在线性卷积和频谱分析两方面的应用。 本节主要论述：

3.8.1 用DFT（FFT）计算两个有限长序列的线性卷积 3.8.2 用DFT计算有限长序列与无限长序列的线性卷积

返回
3.8.1 用DFT(FFT)计算两个有限长序列的 线性卷积
比较截断前、后的幅度谱的差别： 泄露 定义：原来的离散谱线向两边展宽，这种将谱线展宽的现象称为频谱 泄漏。 约束因素：矩形窗的长度越长，展宽的宽度就越窄。 影响：泄漏会使频谱模糊，谱的分辨率降低。 谱间干扰 出现原因：频谱卷积以后存在着的旁瓣，引起不同频率分量干扰。旁 瓣淹没信号主谱线或者旁瓣误认为另一信号谱线。 影响：降低谱分辨率 泄漏和谱间干扰统称为信号的截断效应。 减轻截断效应的方法---提高谱分析的分辨率及精确性 。 1:增加窗时域的宽度，运算量及存贮量增大 2：其他缓变的窗，比如三角形窗等
例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试 用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT: DFT [ x1 (n)] X1 (k ) DFT [ x2 (n)] X 2 (k )
解：利用两序列构成一个复序列
w(n) x1 (n) jx2 (n)
则
W (k ) DFT [w(n)] DFT [ x1 (n) jx2 (n)] DFT [ x1 (n)] jDFT [ x2 (n)] X1 (k ) jX 2 (k )

F0 1/ T0 fs / N 提高采样频率不能提高频率分辨率 NT 提高了采样频率，虽然在相同的观察时长那的点数增多了，但与此同时 采样频率也变大了，点数增加几倍采样频率增加几倍，所以不改变观察 时长而仅仅提高采样频率并不能提高DFT谱的频率分辨率。 1
补零并不能提高频率分辨率 补零信号的谱，是通过截短信号的谱进行了推测（插值算法）得来的， 它并不能反映原信号的谱，所以虽然补零信号的谱线间隔变小了，但是 除了从截短信号的谱中取出来的谱线以外，其余的谱线都是无效的。去 掉这些无效的谱线，采样频率不变，有效的谱线数不变，所以其物理频 率分辨率自然没有改变。
公式推导及参数选择
模拟信号进行频谱分析时，有几个重要的参数要选择， 采样频率 Fs 频率分辨率F0 频谱分析范围 采样点N
信号的最高截止频率 能够分辨的两个频率分量最 小的间隔
Fs 2
与对信号的观测时间有关
T 时域采样间隔 f s 时域采样频率 T0 信号记录长度 F0 （频率分辨率）频域采样间隔 N 采样点数 f h 信号最高频率 f s 2 f h f s 1/ T
参数确定
1 (1)由采样定理， f s 2 f h , T 2 fh
（2）由频谱分辨率确定N
fs 1 N , 一般为2的整数次幂 F0 F0T
（3）确定最小记录长度
N 1 T0 =NT = f s F0
x(t ) 0.15sin(2 f1t ) sin(2 f 2t ) 0.1sin(2 f3t ) f1 1Hz, f 2 2 Hz, f3 3Hz; f s 32 Hz x(n) x(nT ) 0.15sin(2 / 32n) sin(2 / 32n) 0.1sin(2 / 32n) 32 64 point DFT F0 = 0.5Hz 64
f s NF0 T0 1/ F0
2 k k NT k fs fk k NT N
T0 NT
T0 f s N T F0
频率响应的混叠失真及参数的选择
时域抽样：f s 2 fh 频域抽样：F0 1/ T0
T0 f s N T F0
信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾
由x1 (n) Re[w(n)]得
X1 (k ) DFT [ x1 (n)] DFT {Re[ w(n)]} Wep (k ) 1 [W ((k )) N W * (( N k )) N ]RN (k ) 2
由x2 (n) Im[w(n)]得
1 X 2 (k ) DFT [ x2 (n)] DFT {Im[ w(n)]} Wop (k ) j 1 [W ((k )) N W * (( N k )) N ]RN (k ) 2j
用DFT对模拟信号作频谱分析
信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换
a，b为任意常数 max( Rx , R y ) R z R min( Rx , R y )
a，b为任意常数 max( Rx , R y ) R z R min( Rx , R y )
3）最小记录点数
N fs 1 , 一般为2的整数次幂 F0 F0T
2 f h 2 4 103 N 800 F0 10
取N 2m 210 1024 800
例：有一调幅信号
xa t 1 cos 2 100t cos 2 600t
2）缓慢截短
截断效应 定义：对无限长的模拟信号进行截断而引起的误 差现象称为截断效应。 采样序列 x ( n ) ，对它用长为N的矩形窗进行截断： xN n x n RN n
矩形窗 R cos w0n , w0 4 加矩形窗前、后的幅度谱
用DFT做频谱分析，要求能分辨 xa t 的 所有频率分量，问 (1)抽样频率应为多少赫兹（Hz）? (2)抽样时间间隔应为多少秒（Sec）? (3)抽样点数应为多少点？
解：
xa t 1 cos 2 100t cos 2 600t
cos 2 600t 1 1 cos 2 700t cos 2 500t 2 2
y (n)
i i 0

yi ( n ) 的长度为N=L+M-1。用N点FFT和IFFT计算 yi ( n ) ,再按上式求和， yi (n) h(n) xi (n) 得到。
计算步骤: (1)计算H(k)=DFT[h(n)] ，N=L+M-1，i=0； (2)读入xi ( n ) 并计算 X i (k ) DFT[ xi (n)]N ； (3) Yi (k ) H (k ) X i (k ) ； (4)yi (n) IDFT[Yi (k )]N，n=0, 1, 2, …, N-1； (5) 将各段y (n)(包括重叠部分）相加，y(n)= y (n) i i
| X (k ) |
35
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
k
| X (k ) |
35
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Hz
例：有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数 必须是2的整数幂，假设没有采用任何的数据处理 措施，已给条件为：
1 ）频率分辨率 10 Hz 2）信号最高频率 4kHz
试确定以下参量： 1 ）最小记录长度T0 3）在一个记录中最少点数N
2）抽样点间的最大时间间隔T（即最小抽样频率）
解： 1）最小记录长度：
1 1 T0 0.1s F0 10
N 1 T0 =NT = f s F0
2）最大抽样间隔 （f s 2 fh
f s 1/ T）
1 1 T 0. ms 125 3 2 f h 2 4 10
（1）抽样频率应为
f s 2 700 1400Hz
（2）抽样时间间隔应为
1 1 T 0.00072Sec 0.72ms f s 1400
(3)因为频率分量分别为500、 、 600 700Hz
得 F0 100Hz
N f s / F0 1400 /100 14
最小记录点数N 14
用DFT（FFT）对周期信号进行谱分析的误差来源

1.频谱混叠 采样频率不满足采样定理 一般模拟信号的频谱函数并不是锐截止的 信号中总含有或多或少的干扰或噪声
f s 2.5 3.0 fh
2 频谱泄漏
对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏
改善方法：
1）增加x(n)长度

3. 栅栏效应 定义：N点DFT（FFT）得到的只是N个采样点上的频谱值，两点之 间的频谱值是不知道的，就好像被栅栏遮住一样 应对策略： 增多DFT（FFT）的变换点数
在信号尾部加零的方法加大DFT（FFT）的变换点数。谱线更密。
频率分辨率
F0 1/ T0
提高频率分辨率方法： 增加信号实际记录长度
T0 f s N T F0
要增加信号最高频率f h 则f s 当N 给定 F0必 ，即分辨率
1 要提高频率分辨率，即F0 则T0 NT F0 当N 给定 则T f s 要不产生混叠，f h必
信号最高频率f h的确定
t0 Th / 2
1 1 fh Th 2t0
假设h(n)和x(n)是因果序列，对x(n)进行分段，每段长为L， 则x(n)可以表示为如下形式: