模糊多准则决策方法
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模糊集理论 1 Fuzzy 数(1) 区间数定义1：设R 是实数域，称闭区间],[11b a 为区间数，其中1a 为区间数的下确界，1b 为区间数的上确界，1111,,b a R b a ≤∈。
设],[],,[222111b a y b a y ==是任两个区间数，则区间数的基本运算定义为：（1）],[222121b b a a y y ++=+； （2）],[122121b a b a y y --=-； （3）],[212121b b a a y y =⨯； （4）],[122121b a b a y y =÷； （5）],[111kb ka y k =； （6）]1,1[1121a a y =。
定义2：设],[],,[222111b a y b a y ==是两个闭区间，则它们的距离为：|)|||)1(),(212121b b a a y y d -+--=λλλ。
其中]1,0[∈λ表示决策者的风险态度，当5.0>λ时，称决策者是追求风险的，当5.0<λ时，称决策者是厌恶风险的，当5.0=λ时，称决策者是风险中性的，此时有：|)||(|21),(212121b b a a y y d -+-=。
定义3：两区间数的比较22],[],[21212121b b a a b b a a +>+⇔>。
22],[],[21212121b b a a b b a a +=+⇔=。
（2）Fuzzy 数定义4：一个模糊数是实数集上一个正规的凸模糊集。
对模糊数A ，它的隶属函数可表示为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤=其它0 )( 1 )(d x c x f cx b b x a x f f R A L A A其中)(x f L A为连续的单调递增函数，)(x f RA 为连续的单调递减函数，分别称作左基准函数和右基准函数。
为方便起见，记为),,,(d c b a A =。
模糊数A 的α-截集})(|{αα≥=x f x AA (]1,0[∈α)是R 的闭区间，记为],[αααR LA A A = 。
A 、B 是两个模糊数，有：()],[αααααR R L L B A B A B A ++=+()],[αααααL R R L B A B A B A --=-,()],[αααααR R L L B A B A B A ⨯⨯=⨯(0,0≥≥ααL LB A )],[αααααLR RLB A B A B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛(0,0>>ααL L B A ),()] , [r A r A r A R L ⋅⋅=⋅ααα，其中r 为正实数。
如果模糊数A 的左、右基准函数为线性函数，则A 称为梯形模糊数，记为],,,[d c b a A = 。
两个梯形模糊数],,,[d c b a A = 、],,,[1111d c b a B = 的运算如下： ],,,[1111d d c c b b a a B A ++++=+ ],,,[1111a d b c c b d a B A ----=-, ],,,[1111dd cc bb aa B A =⨯(0,01≥≥a a],,,[1111a db c c b d aB A =(0,01>>a a ),],,,[rd rc rb ra rA = ，其中r 为正实数。
目前，模糊数的大小比较、两模糊数的距离等没有公认的定义。
模糊数的排序有许多不同的方法。
定义5：两模糊数A 与B 的距离定义如下：αααλλd BA dB A d ),(),(10 ⎰=。
其中]1,0[∈λ表示决策者的风险态度。
从定义5可以看出，上述定义满足距离的3条公理。
在后文中如无特殊说明， ),(B A d 表示),(5.0B A d 。
对于较复杂的基准函数，对[0，1]区间p 等分，上式积分可用下式近似：)||||)1((1),(1∑=-+--=pi piL pi R pi L pi L B A B A p B A d λλλ模糊数A 与模糊数0的距离为：αλλααλd A A A d R L |)|}|)1(()(10 +-=⎰对于梯形模糊数],,,[4321a a a a A =，],,,[4321b b b b B =，有2|)||(|2|)||)(|1(),(44332111b a b a b a b a B A d -+-+-+--==λλλ由定义5得到模糊数的比较方法：对于模糊数B A ,，]1,0[,∈∀>⇔>αααB A B A 。
]1,0[,∈∀+=+⇔=αααααR L R L B B A A B A 。
对于梯形模糊数],,,,[4321a a a a A =],,,[4321b b b b B =可以得到：22,2232324141b b a a b b a a B A +>++>+⇔> 22,2232324141b b a a b b a a B A +=++=+⇔= 2直觉模糊集与区间直觉模糊集直觉模糊集(Intuitionistic Fuzzy Sets) 最初由Atanassov 提出，是对传统模糊集的一种扩充和发展。
直觉模糊集增加了一个新的属性参数：非隶属度函数，能够更加细腻地描述和刻画客观世界的模糊性本质，因而引起众多学者的研究和关注。
Atanassov 对直觉模糊集给出如下定义。
定义6： 设X 是一个给定论域，则X 上的一个直觉模糊集A 为：}|)(),(,{X x x x x A A A ∈><=νμ其中，]1,0[:)(→X x A μ和]1,0[:)(→X x A ν分别代表A 的隶属函数)(x A μ 和非隶属函数)(x A ν ,且对于A 上的所有1)()(0,≤+≤∈x x X x A A νμ 成立。
显然,每一个传统模糊子集对应于下列直觉模糊子集}|)(1),(,{X x x x x A A A ∈>-<=μμ 。
对于X 中的每一个直觉模糊子集，称)()(1)(x x x A A A νμπ--=为A 中x 的直觉指数，它是x 对 A 的犹豫程度的一种测度。
显然,对于每一个X x ∈，1)(0≤≤x A π。
对于X 中的每一个传统模糊子集A ，0))(1()(1)(,=---=∈∀x x x X x A A A μμπ 。
定义在论域X 上的直觉模糊集记作IFS ( X) 。
定义7： 直觉模糊集基本运算。
设)(,X IFS B A ∈，则：)()()()(,x x x x X x B A B A B A ννμμ≥≤∈∀⇔⊆且； )()()()(,x x x x X x B A B A B A ννμμ><∈∀⇔⊂且; )()()()(,x x x x X x B A B A B A ννμμ==∈∀⇔=且； }|)()(),()(,{X x x x x x x B A B A B A ∈>∨∧<=⋂ννμμ }|)()(),()(,{X x x x x x x B A B A B A ∈>∧∨<=⋃ννμμ}|)(),(,{X x x x x A A A A C∈><==μν；}|)()(),()()()(,{X x x x x x x x x B A B A B A B A ∈>-+<=+ννμμμμ}|)()()()(),()(,{X x x x x x x x x B A B A B A B A ∈>-+<=⋅ννννμμ。
定义8 ：设)(X I F S A ∈，,)(),(,A x x x A A >∈<νμ A y y y A A >∈<)(),(,νμ，则（1）)()()()(y x y x y x A A A A A ννμμ≤≥⇔≥且； （2）)()()()(y x y x y x A A A A A ννμμ<>⇔>且。
y x A ≥表示相应模糊概念下x 不比y 差，y x A >表示相应模糊概念下中x 优于y 。
定义9：设X 是有n 个元素的有限论域，}|)(),(,{X x x x x A j j A j A j ∈><=νμ，}|)(),(,{X x x x x B j j B j B j ∈><=νμ，两直觉模糊数的Hamming 距离定义为：|))()(||)()(||)()(([|21),(1j B j A j B j A j B j A nj x x x x x x nB A d ππννμμ-+-+-=∑=定义10：设X 是一个给定论域，则X 上的一个区间直觉模糊集A 为：}|)(),(,{X x x x x A A A ∈>N M <= 其中：])1,0int([:)(→M X x A 和])1,0int([:)(→N X x A 分别代表A 的隶属函数)(x A μ 和非隶属函数)(x A ν ,且对于A 上的所有1))(sup())(sup(0,≤N +M ≤∈x x X x A A 成立。
其中])1,0int([表示]1,0[区间是所有闭子区间的集合。
为方便，我们将区间直觉模糊集记为：}|)](),([)],(),([,{X x x x x x x A UA L A U A L A ∈><=ννμμ，其中0)(,0)(,1)()(0,≥≥≤+≤∈x x x x X x LA L A U A U A νμνμ。
称)()(1)(x x x A A A νμπ--=为A 中x 的直觉模糊区间，)0),((x d A π称为直觉模糊指数。
定义在论域X 上的区间直觉模糊集记作)(X IVIFS 。
定义11：设X 是有n 个元素的有限论域，)(,X IVIFS B A ∈，}|)](),([)],(),([,{X x x x x x x A UA L A U A L A ∈><=ννμμ， }|)](),([)],(),([,{X x x x x x xB UB L B U B L B ∈><=ννμμ，则两区间直觉模糊数的Hamming 距离定义为：))](),(())(),(())(),((([21),(1j B j A j B j A j B j A nj x x d x x d x x d nB A d ππννμμ++=∑=|))()(||)()(||)()(||)()(||)()(||)()(([|411j UB j UA j LB j LA j UB j UA j LB j LA j UB j UA j LB j L A n j x x x x x x x x x x x x nππππννννμμμμ-+-+-+-+-+-=∑=其中)(1)(),(1)(x x x x LA LA UA UA UA LA νμπνμπ--=--=， )(1)(),(1)(x x x x U BU BL B L B L BU Bνμπνμπ--=--=。
