多准则决策及其在数学建模中的应用

( ( ( w(1) (w11) , w21) ,, wn1) )T ,
( ( ( w( 2) (w1 2) , w22) ,, wn2) )T
,
综合权重
w (w1 , w2 , , wn )
(1) j ( 2) j ( 2) j
T
(1) j ( 2) j ( 2) j
wj
MODM又称多目标优化或目标规划
多属性决策（MADM）与多目标决策 （MODM）应用领域非常广泛
• MADM ：国家综合实力评价、大学排名榜、公司 新厂址选择、教师绩效考核、2011B题各区交警平台 设置的合理性评价、2010D题学生宿舍设计方案的评 价 、2009B题病床安排的合理性指标… … • MODM：选择收益大且风险小的投资组合、照顾乘 客和航空公司双方利益的航班安排、 2011B题交警平 台设置要考虑出警时间和工作量均衡、2009B题病床安 排方案要考虑公平和效率两方面、2009 D题会议筹备 要考虑预订宾馆、会议室的数量、费用、距离等…
层次分析法(AHP)与多属性决策(MADM) 和多属性效用理论(MAUT) 的关系
AHP的基本步骤 1.建立层次分析结构模型 2.构造成对比较阵
3.计算权向量（主右特征向量）并作一致性检验 4.由各层的权向量计算组合权向量 • AHP的提出（20世纪80年代）比MAUT稍晚. • AHP的应用领域与MAUT相近. • AHP可视为MADM的方法之一，MADM的加权 和法是AHP的特例. • AHP与MAUT在学术上的争论一直存在.
备选 方案 A1 A2 属性
A3 A4
X1 2.0 2.5 1.8 2.2
X2 1.5 2.7 2.0 1.8
X3 20 18 21 20
X4 5.5 6.5 4.5 5.0
X5
中 低 高 中
X6
很高 中 高 中
例 选择战斗机
对X5, X6表述的量化： 2.0 1.5 20 5.5 5 9 2.5 2.7 18 6.5 3 5 “很高”、“高”、 D “中”、“低”、 1.8 2.0 21 4.5 7 7 “很低” 记分 2.2 1.8 20 5.0 5 5 9,7,5,3,1， 设有m个备选方案A1, A2,…, Am, n个属性X1, X2, …, Xn Ai对Xj的取值 dij ~ 属性值 D (dij )mn , dij 0 ~决策矩阵 决策矩阵（属性值）的获取 • 调查、度量各方案对属性的取值 (偏于客观) • 通过成对比较，从正互反阵解出特征向量 (偏于主观) ~ 层次分析法
接近理想解的排序法
删除选择法
1. 简单加权和法（SAW, Simple Additive Weighting ）
R (rij ) mn
n n
w (w1 , w2 , , wn )T
v Rw, v (v1 ,, vm )T
方案Ai 对n个属性的综合取值为
vi vij rij w j , i 1,2,, m 或
(r1 j ,, rmj ) (1/ m,,1/ m) 时E j 1
(r1 j ,, rmj ) (0,0,1,0,) 时E j 0 rij越一致, Ej越接近1
不易区分方案优劣 定义Xj对于方案的区分度
Fj 1 E j
例
属性权重 Fj wj n Fj
j 1
j 1 j 1
• 对决策矩阵采用不同的标准化方法（归一化、 最大化），得到的结果会有差别. • 隐含假设：属性相互独立，各属性值对整体评价 的影响可以叠加，因而各个属性具有互补性.
2. 加权积法（WP, Weighted Product ） 将SAW的算术加权平均改为几何加权平均：
vi d , i 1,2,, m
0.50 0.30 R 0.15 0.05
0.30 0.30 0.20 0.20
0.25 0.25 0.25 0.25
E [0.824 0.986 F [0.176 0.014
1 ] 0 ]
以上方法的综合
记偏于主观与偏于客观的方法得到的权重分别为
北京 清华大学出版社 2006
确定
随机
模糊
粗糙
4．综合方法---由决策矩阵与属性权重得到最终决策 按照决策者掌握的属性信息量的多少将方法分类 • 没有任何属性信息 • 给定各属性的最低水平 • 已知各属性权重的顺序 • 已知各属性权重的数值 简单加权和法 占优法 合取法 字典序法 线性分配法 加权积法 最大最小法 析取法 排列法
i 1
i 1
R的列和为1~ 归一化 dij作区间 尺度变换
R的列最大值 为1~最大化
i 1, 2 ,m
R的列模为1~ 模一化
rij
d ij min d ij
i 1, 2 ,m
max d ij min d ij
i 1, 2 ,m
R的列最小值为0 （最大值为1）
属性值(对决策优劣)的性质 • 单调性 归一化
应用过程中几种主要方法的比较
例 选择战斗机 4种方法对方案的优劣排序
方法 SAW 2 4 WP 2 4 TOPSIS 1 4 ELECTRE 1 3
方案
A1 A2
A3
A4
1
3
1
3
2
3
1
3
方案排序基本一致：A3，A1优于A4，A2
例 选择战斗机 用SAW，WP，TOPSIS 计算的数值结果
方法方 案 A1 SAW SAW (R最大化) (R归一化) 0.266 0.269 WP 0.269 TOPSIS 0.350
A2 A3 A4
0.226 0.272 0.236
0.223 0.274 0.234
0.219 0.276 0.236
0.146 0.334 0.170
A3与A1（A4与A2）差别不大，A3，A1明显优于A4，A2
用各种方法得到的结果没有显著差别
几种方法的集成
与其寻找最好方法，不如将几种方法的结果加以集成.
w w
(w
j 1
n
或
wj
w
n j 1
w
(1) j
w )
(w
(1) j
w
)
α,β根据决策者对w(1), w(2)的偏好程度进行调节
4．综合方法---由决策矩阵与属性权重得到最终决策 各种方法的详细步骤参看： Hwang C.L. and Yoon K. Multiple Attribute Decision Making——Methods and Applications . Berlin/Heidelberg/New York Springer-Verlag ,1981 徐玖平，吴巍编著 多属性决策的理论与方法.
rij
m
效益型属性值单调增
费用型属性值单调减
决策矩阵标准化时先对费用型属性值作倒数变换:
1 dij 1 dij
最大化

i 1
d ij rij max 1
i
1

min d ij
i
d ij
d ij
注意非单调性属性的标准化处理 • 线性性 对于明显呈非线性的属性值（如边际效益 递减），需先拟合合适的函数作变换.
结论与建议
• 简单、方便的SAW适用于日常生活中大多数 多属性决策问题.
• 一些重大决策不妨采用思路更缜密、计算手段更 全面的TOPSIS, ELECTRE方法，或者将几种方法 加以集成.
• 多数文献通过实例进行对比，认为一些主要方法得 到的结果没有显著差异，但不能得出一般的结论. 应当在确定属性集合及属性权重上多花些精力，它 们对最终决策的影响比不同方法的选择要大得多.
将归一化决策矩阵R列向量 ~ A1,…, Am对Xj的属性值
r1 j , r2 j ,, rmj ( rij 1) 视为信息量的分布
i 1 m
• 信息熵法
可用rij的均方差或极差代替Fj
E j k rij ln rij , k 1 ln m
0 Ej 1
i 1 m
A1,…, Am对属性Xj的熵为
• 多目标决策（MODM, Multiple Objective Decision Making ）
多属性决策(MADM)与多目标决策(MODM)概述
MADM ：为了一个特定的目的在若干备选方案中 确定一个最优的，或者对这些方案按照优劣进行排 序，或者给出优劣程度的数量结果, 而方案的优劣 由若干属性给以定量或定性的表述。 MODM ：为了若干特定的（一般是相互矛盾的） 目标在若干备选方案中确定一个一定意义下最优的， 而备选方案集合由一些约束条件给定。
决策矩阵标准化 属性值的物理意义(包括量纲)各不相同 d11 d1 j d1n r11 r1 j r1n D R 0 rij 1 d m1 d mj d mn rm1 rmj rmn dij dij dij rij rij m rij m dij作比例 2 max dij dij i 1, 2 ,m 尺度变换 dij
• 尽量选可量化的，定性的也要能明确区分档次. • 若数量太多（如大于7个），应将它们分层.
2．决策矩阵——备选方案对每一属性的属性值
例 选择战斗机 (4种型号)
X1~最高速度(马赫), X2航程(千海里), X3~最大载荷(千磅) X4~价格(百万美元), X5~可靠性, X6 ~机动性.
各方案对属性的定量取值或定性表述
wj ij j 1
n
• 可以直接用方案对属性的原始值dij，不需要标准化
• 若效益型属性的权重取正值，则费用型属性的权重 应取负值 .
3. 接近理想解的排序法（TOPSIS ） n个属性、m个方案视为n维空间中m个点的几何系统 • 每个点的坐标由 (vi1 , vi 2 ,vin ), i 1,, m 确定 • 在空间中定义欧氏距离，决策矩阵模一化 • 正理想解由所有最优加权属性值构成 • 负理想解由所有最劣加权属性值构成 • 定义距正理想解近、距负理想解远的数量指标 —— 相对接近度 • 备选方案的优劣顺序按照相对接近度确定
3．属性权重
w (w1 , w2 , , wn )T X1, X2, …, Xn的权重
属性权重的获取 • 根据决策目标通过经验、调查等先验地给出 • 层次分析法：用成对比较矩阵解出特征向量 • 信息熵法 (借用信息论中熵的概念)
，
w
j 1
n
jFra Baidu bibliotek
1
偏于主观 偏于客观
熵 ~ 信息论中衡量不确定性的指标，信息量的(概率) 分布越趋于一致，不确定性越大.
多准则决策及其在 数学建模中的应用
dx rx dt
清华大学 姜启源
jiangqy@tsinghua.edu.cn
提要
• 多准则决策概述 • 多属性决策的一般步骤 • 多属性决策应用过程中几种 主要方法的比较
• 层次分析法与多属性决策和 多属性效用理论的关系
多准则决策（MCDM, Multiple Criteria Decision Making） • 多属性决策（MADM, Multiple Attribute Decision Making） 【多属性效用理论（MAUT, Multi-Attribute Utility Theory）】
多属性决策(MADM)的一般步骤
• 要素：备选方案组与属性集合、决策矩阵、 属性权重、综合方法. 1. 备选方案组与属性集合 备选方案组：由实际问题决定. 确定属性集合的原则： • 全面考虑，选取影响力（或重要性）强的. • 属性间尽量独立（至少相关性不太强）.
• 不选难以辨别方案优劣的（即使影响力很强）.
• 甄选：利用占优法、和取法、字典序法等将被占优 的、不可接受的方案删除. • 排序或计算：分别利用SAW, WP, TOPSIS等对方 案按照优劣排序或计算数值结果. • 集成：对几种方法得到的排序或数值结果进行集成.
“多属性决策(MADM)方法选择本身就是一个MADM问题”
平均法
Borda数法
加权和法
c, d
TOPSIS方法等价于简单加权和法的情况:
将欧氏距离改为街区距离, 且决策矩阵归一化或最大化 4. 删除选择法（ELECTRE） • 比较每一对方案 {Ai , Ak}的加权属性值vij和 vkj, 按照 vij≥vkj和vij<vkj 将属性集分为一致集和矛盾集. • 利用属性值和权重定义一致性指标cik和矛盾性指标dik, cik越大, dik越小, Ai越优于Ak . • 确定度量cik ,dik的阈值 c, d , cik c , dik d 时Ai 优于Ak, 由此决定删除和选择的方案.