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版块一：事件及样本空间1．必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件． 通常用大写英文字母A B C ，，，来表示随机事件，简称为事件．3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示．版块二：随机事件的概率计算1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B ，简记为AB ； 2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的． 3．概率的统计定义一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率mn，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ．从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤． 当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =． 4．互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件． 由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =． 若C A B =，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合． 5．互斥事件的概率加法公式：若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =+ 若事件12nA A A ，，，两两互斥（彼此互斥），有1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++．知识内容板块一.事件及样本空间事件“12n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生． 6．互为对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ． 有()1()P A P A =-． <教师备案>1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断．2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率． 随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率． 3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．主要方法：解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件独立事件 n 次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B n P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）： ⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率； ⑵ 互斥事件有一个发生的概率； ⑶ 相互独立事件同时发生的概率；⑷ n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率；⑸ n 次独立重复试验中在第k 次才首次发生的概率； ⑹ 对立事件的概率．另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第k 次才发生”等．题型一 事件及样本空间典例分析【例1】 (2010安徽)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球．乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A ，表示由甲罐取出的球是红球．白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是 __ __（写出所有正确结论的编号）．① ()25P B =；②()15|11P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立； ④1A ，2A ，3A 两两互斥的事件；⑤()P B 的值不能确定，因为它与1A ，2A ，3A 中究竟哪一个发生有关．【例2】 下列事件：①同学甲竞选班长成功； ②两队球赛，强队胜利了；③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同； ④若集合A B C ，，，满足A B B C ⊆⊆，，则A C ⊆；⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签； ⑥从1359，，，中任选两数相加，其和为偶数； 其中属于随机事件的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【例3】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴六月天下雪；⑵同时掷两颗骰子，事件“点数之和不超过12”； ⑶太阳从西边升起；⑷当100x ≥时，事件“lg 2x ≥”； ⑸数列{}n a 是单调递增数列时，事件“20082009a a >”； ⑹骑车通过10个十字路口，均遇红灯．【例4】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴在标准大气压下且温度低于0C 时，冰融化； ⑵今天晚上下雨；⑶没有水分，种子发芽；⑷技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现； ⑸买彩票中一等奖；⑹若平面α平面m β=，n β∥，n α∥，则m n ∥．【例5】 将一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数．⑴写出这个试验的基本事件空间和基本事件总数； ⑵“两次点数相同”这一事件包含了几个基本事件； ⑶“两次点数之和为6”这一事件包含了几个基本事件；⑷“两次点数之差为1”这一事件包含了几个基本事件．【例6】 一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取2球，观察球的颜色．⑴写出这个试验的基本事件空间； ⑵求这个试验的基本事件总数；⑶“至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件；【例7】 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x ，转盘②得到的数为y ，结果为()x y ，．⑴写出这个试验的基本事件空间； ⑵求这个试验的基本事件总数；⑶“5x y +=”这一事件包含哪几个基本事件？“3x <且1y >”呢？ ⑷“4xy =”这一事件包含哪几个基本事件？“x y =”呢？【例8】 在天气预报中，如果预报“明天的降水概率为85%”，这是指（ ）A ．明天该地区约有85%的地区降水，其它15%的地区不降水B ．明天该地区约有85%的时间降水，其它时间不降水C ．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不会降水D ．明天该地区降水的可能性为85%【例9】 同时掷两枚骰子，点数之和在2~12点间的事件是 事件，点数之和为12点的事件是 事件，点数之和小于2或大于12的事件是 事件，点数之差为6点的事件是 事件．。
版块一：事件及样本空间 1．必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．通常用大写英文字母A B C ，，，来表示随机事件，简称为事件．3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示．版块二：随机事件的概率计算1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B ，简记为AB ；2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的．3．概率的统计定义一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率m n，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ．从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤．当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =．4．互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =． 若C A B =，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合．5．互斥事件的概率加法公式：若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =+若事件12n A A A ，，，两两互斥（彼此互斥），有1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++．知识内容板块一.事件及样本空间事件“12n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生．6．互为对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ． 有()1()P A P A =-．<教师备案>1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断．2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．主要方法：解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种． 第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件． 第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B n P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）： ⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率；⑵ 互斥事件有一个发生的概率；⑶ 相互独立事件同时发生的概率；⑷ n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率；⑸ n 次独立重复试验中在第k 次才首次发生的概率；⑹ 对立事件的概率．另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第k 次才发生”等．题型一 事件及样本空间典例分析【例1】 (2010安徽)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球．乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A ，表示由甲罐取出的球是红球．白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是 __ __（写出所有正确结论的编号）．① ()25P B =； ②()15|11P B A =； ③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ，2A ，3A 两两互斥的事件；⑤()P B 的值不能确定，因为它与1A ，2A ，3A 中究竟哪一个发生有关．【例2】 下列事件：①同学甲竞选班长成功；②两队球赛，强队胜利了；③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同；④若集合A B C ，，，满足A B B C ⊆⊆，，则A C ⊆； ⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签；⑥从1359，，，中任选两数相加，其和为偶数；其中属于随机事件的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【例3】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴六月天下雪；⑵同时掷两颗骰子，事件“点数之和不超过12”；⑶太阳从西边升起；⑷当100x ≥时，事件“lg 2x ≥”；⑸数列{}n a 是单调递增数列时，事件“20082009a a >”；⑹骑车通过10个十字路口，均遇红灯．【例4】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴在标准大气压下且温度低于0C 时，冰融化；⑵今天晚上下雨；⑶没有水分，种子发芽；⑷技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现；⑸买彩票中一等奖；⑹若平面α平面m β=，n β∥，n α∥，则m n ∥．【例5】 将一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数．⑴写出这个试验的基本事件空间和基本事件总数；⑵“两次点数相同”这一事件包含了几个基本事件；⑶“两次点数之和为6”这一事件包含了几个基本事件；⑷“两次点数之差为1”这一事件包含了几个基本事件．【例6】 一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取2球，观察球的颜色．⑴写出这个试验的基本事件空间；⑵求这个试验的基本事件总数；⑶“至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件；【例7】 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x ，转盘②得到的数为y ，结果为()x y ，．⑴写出这个试验的基本事件空间；⑵求这个试验的基本事件总数；⑶“5x y +=”这一事件包含哪几个基本事件？“3x <且1y >”呢？ ⑷“4xy =”这一事件包含哪几个基本事件？“x y =”呢？【例8】 在天气预报中，如果预报“明天的降水概率为85%”，这是指（ ）A ．明天该地区约有85%的地区降水，其它15%的地区不降水B ．明天该地区约有85%的时间降水，其它时间不降水C ．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不会降水D ．明天该地区降水的可能性为85%【例9】 同时掷两枚骰子，点数之和在2~12点间的事件是 事件，点数之和为12点的事件是 事件，点数之和小于2或大于12的事件是 事件，点数之差为6点的事件是 事件．。
随机事件及其概率一、随机事件1、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.2、不可能事件在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件.3、随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母A，B，C来表示随机事件.4、确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.5、试验为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验.【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.（2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象.（3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件.二、基本事件空间1、基本事件在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件.2、基本事件空间所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母Ω来表示，Ω中的每一个元素都是一个基本事件，并且Ω中包含了所有的基本事件.【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏.三、频率与概率1、频数与频率在相同条件S 下进行了n 次试验，观察某一事件A 是否出现，则称在n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数；事件A 出现的比例()A n n f A n=为事件A 出现的频率.对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数n 的增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，则把这个常数称为事件A 的概率，简称为A 的概率，记作()P A .3、频率与概率的关系（1）频率虽然在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小，但频率并不是一个完全确定的数. 随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小，但人们从大量的重复试验中发现：随着试验次数的无限增加，事件发生的频率会稳定在某一固定的值上，即在无限次重复试验下，频率具有某种稳定性.（2）概率是一个常数，它是频率的科学抽象. 当试验次数无限多时，所得到的频率就会近似地等于概率. 另外，概率大，并不表示事件一定会发生，只能说明事件发生的可能性大，但在一次试验中却不一定会发生.四、事件的关系与运算1、包含关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，则我们称 事件B 包含事件A （或称事件A 包含于事件B ），记作B A ⊇（或A B ⊆）.2、相等关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，并且如果事件B 发生时，事件A 一定发生，即若B A ⊇且A B ⊇，则我们称事件A 与事件B 相等，记作A B =.3、并事件如果某事件发生当且仅当事件A 或事件B 发生，则我们称该事件为事件A 与事件 B 的并事件（或和事件），记作A B ⋃（或A B +）.如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B也发生，则我们称该事件为事件A 与事件B的交事件（或积事件），记作A B⋂（或A B⋅）.5、互斥事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），则我们称事⋂为不可能事件（即A B件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生.6、对立事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），而事件A与⋂为不可能事件（即A B事件B的并事件A B⋃=Ω），则我们称事件A与事件B互⋃为必然事件（即A B为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.【注】事件的关系与运算可以类比集合的关系与运算. 例如，事件A包含事件B 类比集合A包含集合B；事件A与事件B相等类比集合A与集合B相等；事件A 与事件B的并事件类比集合A与集合B的并集；事件A与事件B的交事件类比集合A与集合B的交集……五、互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件是今后考察的重点，因此关于互斥事件与对立事件，我们很有必要再作进一步的说明.1、互斥事件与对立事件的关系互斥事件与对立事件都反映的是两个事件之间的关系. 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除了要求这两个事件不同时发生以外，还要求这两个事件必须有一个发生. 因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件. 例如，掷一枚骰子，事件：“出现的点数是1”与事件：“出现的点数是偶数”是互斥事件，但不是对立事件；而事件：“出现的点数是奇数”与事件：“出现的点数是偶数”既是互斥事件，也是对立事件.2、互斥事件的概率加法公式（1）两个互斥事件的概率之和如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+；（2）有限多个互斥事件的概率之和一般地，如果事件1A ，2A ，…，n A 两两互斥，那么事件“12n A A A ⋃⋃⋃发生”（指事件1A ，2A ，…，n A 中至少有一个发生）的概率等于这n 个事件分别发生的概率之和，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋃⋃⋃=+++.【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式. 在运用互斥事件的概率加法公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥（如果这个条件不满足，则公式不适用），然后求出各事件分别发生的概率，再求和.3、对立事件的概率加法公式对于对立的两个事件A 与B 而言，由于在一次试验中，事件A 与事件B 不会同时发生，因此事件A 与事件B 互斥，并且A B ⋃=Ω，即事件A 或事件B 必有一个发生，所以对立事件A 与B 的并事件A B ⋃发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，且和为1，即()()()()1P P A B P A P B Ω=⋃=+=，或()1()P A P B =-.【注】上述这个公式为我们求事件A 的概率()P A 提供了一种方法，当我们直接求()P A 有困难时，可以转化为先求其对立事件B 的概率()P B ，再运用公式()1()P A P B =-即可求出所要求的事件A 的概率()P A .4、求复杂事件的概率的方法求复杂事件的概率通常有两种方法：一种是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，然后再运用互斥事件的概率加法公式进行求解；另一种是先求其对立事件的概率，然后再运用对立事件的概率加法公式进行求解. 如果采用方法一，一定要准确地将所求事件拆分成若干个两两互斥的事件，不能有重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准所求事件的对立事件，并准确求出对立事件的概率.六、概率的基本性质1、任何事件的概率都在01之间，即对于任一事件A，都有0()1≤≤.P A2、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.3、若事件A与事件B互斥，则()()()⋃=+.P A B P A P B4、两个对立事件的概率之和为1，即若事件A与事件B对立，则()()1+=.P A P B。
§10.5 古典概型1.基本事件和基本事件空间的概念(1)在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为____________.(2)所有基本事件构成的集合称为______________，常用大写希腊字母________表示.2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是____________的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________的和.3.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有__________个.(2)每个基本事件出现的可能性____________. 4.古典概型的概率公式在古典概型中，一次试验可能出现的结果有n 个，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率为P (A )＝________.自查自纠：1.(1)基本事件 (2)基本事件空间 Ω2.(1)互斥 (2)基本事件3.(1)有限 (2)相等4.m n某班级有正、副两位班长，则其性别的基本事件空间为( )A.{男男，女女}B.{男女，女男}C.{男男，女男，女女}D.{男男，女男，男女，女女}解：每位班长性别有2种可能性，正、副两位班长有4种等可能情形.故选D.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y.则事件“x ＋y ≤3”的概率为( )A.112B.19C.13D.115解：满足条件的数对(x ，y )为(1，2)，(1，1)，(2，1)共3种，则P ＝336＝112.故选A.(2014·陕西)从正方形四个顶及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.45解：依题意，在5个点中任取2个点有C 25种取法，由于正方形的中心到4个顶点的距离小于边长，所以这2个点的距离小于该正方形边长的有4种，故所求概率为P ＝C 25－4C 25＝10－410＝35，故选C.有6位身高全不相等的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各3个，则后排每人均比前排所有同学高的概率为______.解：因后排每人均比前排同学高，所以6人中较高的3人站在后排，其余3个站前排，∴P ＝A 33A 33A 66＝120.故填120.(2014·广东)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________.解：从十个数中任取七个不同的数有C 710种情况，这七个数的中位数是6的有C 36种情况，所求概率P ＝C 36C 710＝16.故填16.类型一 基本事件与基本事件空间的概念将一枚均匀硬币抛掷三次，观察向上一面的正反.(1)试用列举法写出该试验所包含的基本事件； (2)事件A ：“恰有两次正面向上”包含几个基本事件；(3)事件B ：“三次都正面向上”包含几个基本事件.解：(1)试验的所有基本事件有：(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(正，正，正)，(反，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，正，正)，共8种等可能结果.(2)事件A 包含的基本事件有三个：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).(3)事件B 包含的基本事件只有一个：(正，正，正).点拨：基本事件是试验中不能再分解的事件，是“最小”的“事件单位”.任何基本事件都是互斥的，任何复杂事件都可以分解为基本事件，所有基本事件的全体组成基本事件空间.做抛掷两颗骰子的试验，用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子出现的点数，写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”； (3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和大于10”. 解：(1)这个试验的基本事件为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6). (2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).(4)“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件：(5，6)，(6，5)，(6，6).类型二 列举基本事件求概率(2013·江西)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋.(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.解：(1)X 的所有可能取值为－2，－1，0，1.(2)数量积为－2的有OA 2→·OA 5→，共1种；数量积为－1的有OA 1→·OA 5→，OA 1→·OA 6→，OA 2→·OA 4→，OA 2→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，OA 3→·OA 5→，共6种；数量积为0的有OA 1→·OA 3→，OA 1→·OA 4→，OA 3→·OA 6→，OA 4→·OA 6→，共4种；数量积为1的有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种.故所有可能的情况共有15种.∴小波去下棋的概率为P 1＝715；小波去唱歌的概率为P ＝415，∴小波不去唱歌的概率为P 2＝1－P ＝1－415＝1115.点拨：本题将平面向量与概率知识结合，创新味十足，是能力立意的好题.如果所求事件对应的基本事件规律性不强，不易计数，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.(2013·湖南十二校第一次联考)甲口袋中装有大小相同的标号分别为1，2，3，4的4个小球，乙口袋中装有大小相同的标号分别为2，3，4，5的4个小球.现从甲、乙口袋中各取一个小球.(1)求两球标号之积为偶数的概率；(2)设ξ为取出的两球的标号之差的绝对值，求ξ≥2的概率.解：(1)设两球标号之积为偶数为事件A ，则其对立事件为两球标号之积为奇数，因此P (A )＝1－P (A )＝1－C 12C 12C 14C 14＝34.(2)由于ξ∈N ，若ξ≥2，则ξ＝2，3，4.当ξ＝2时，甲取1乙取3，甲取2乙取4，甲取3乙取5，甲取4乙取2；当ξ＝3时，甲取1乙取4，甲取2乙取5； 当ξ＝4时，甲取1乙取5.故所求概率为P ＝4＋2＋1C 14C 14＝716.类型三 无放回抽样问题有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次.求下列事件的概率：(1)两次抽取的都是正品； (2)抽到的恰有一件为次品；(3)第1次抽到正品，第2次抽到次品.解：记Ω＝{从10件产品中任抽2件}，则n ＝card (Ω)＝C 210.(1)记A ＝{从10件产品中抽2件，都是正品}，则m 1＝card (A )＝C 28.∴P (A )＝C 28C 210＝2845.(2)记B ＝{从10件产品中抽2件，一件为正品，一件为次品}，则m 2＝card (B )＝C 12C 18.∴P (B )＝C 12C 18C 210＝1645.(3)解法一：由于事件B 中包含“第1次为正品，第2次为次品”和“第1次为次品，第2次为正品”两种等可能的情况.∴所求事件的概率P ＝12C 12C18C 210＝845.解法二：记Ω′＝{从10件产品中，任取一件(放入甲袋中)，再从剩下9件产品中任取一件(放入乙袋中)}，记C ＝{第1次取出的是正品，第2次取出的是次品}＝{甲袋中为正品，乙袋中为次品}，∴card (Ω′)＝A 210，card (C )＝C 18C 12.∴P (C )＝C 18C 12A 210＝845.点拨：请注意题(3)的两种解法，一种是将试验(抽取2件产品)看作是组合(无序的)，一种是将试验看作是排列(有序的)，值得注意的是两种解法的样本空间不同，事件C 不属于样本空间Ω(C ∉Ω)，因此不能用card (Ω)进行计算.样本空间的选取会影响到解答的过程，因此解等可能概型时，建议遵循以下步骤：①判断该问题是等可能概型；②确定样本空间(即试验的方法，因为试验的方法影响样本空间)；③用排列组合方法确定card (Ω)与card(A)，得到P(A)＝card （A ）card （Ω）.某种饮料每箱装6听，其中有2听不合格，质检人员从中随机抽出2听，求下列事件的概率：(1)A ：抽出的两听都是合格品；(2)B ：抽出的两听中1听合格，1听不合格； (3)C ：抽出的两听中有不合格产品.解：记Ω＝{从6听饮料中随机抽出2听}，则card (Ω)＝C 26＝15.(1)记A ＝{从6听饮料中抽出2听，都是合格品}，则card (A )＝C 24＝6.∴P (A )＝card （A ）card （Ω）＝25.(2)记B ＝{从6听饮料中抽出2听，1听合格，1听不合格}，则card (B )＝C 12C 14＝8.∴P (B )＝card （B ）card （Ω）＝815.(3)记C ＝{从6听饮料中抽出2听，有不合格产品}，事件C 包含“抽出2听都是不合格品”和“1听合格，1听不合格”两种情况.则card (C )＝C 22＋C 12C 14＝9.∴P (C )＝card （C ）card （Ω）＝915＝35.类型四 有放回抽样10个球，其中3个白球7个黑球，某人有放回地进行抽球，求下列事件的概率：(1)第3次抽到白球； (2)第3次才抽到白球. 解：(1)记Ω＝{第3次抽球}，则n ＝10，A ＝{第3次抽到白球}，m ＝3.∴P (A )＝310＝0.3.(2)记Ω′＝{连续从10个球中有放回地抽3次球}，则n ＝103，B ＝{第3次才抽到白球}，则m ＝7×7×3.∴P (B )＝7×7×3103＝0.147.点拨：①第一问中的样本空间也可以扩大为(2)中的Ω′，此时(1)中的m 有变化，但结果为10×10×3103＝0.3不变；②运用独立性概念也可以计算(2)的概率，即P ＝710×710×310＝0.147；③注意7×7×3103＝0.147与7×6×310×9×8＝0.175的区别.(2013·成都模拟)盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球，那么取球次数恰为3次的概率是( )A.8125B.36125C.44125D.81125解：“取球次数恰为3次”意味着第3次取到红球且前两次取到1红1白，故所求概率为3×2×A 22×353＝36125，故选B.类型五 间接计算某班有N (N ∈N *，N <365)名同学，求至少2人在同一天过生日的概率(一年按365天计).解：Ω＝{N 名同学过生日}，A ＝{至少有2名同学同一天过生日}.则n ＝365N ，对于A ，其m ＝card (A )＝A N 365.∴P (A )＝1－A N 365365N .点拨：间接计算是计算概率十分常用的方式，是“正难则反”策略的体现，对于含“至多”“至少”等词句的概率问题，一般情况下应首先考虑利用这一策略.高考概率大题对间接计算的考查也比较常见，尤其是计算含个别比较复杂概率的分布列或期望问题.应用时应注意相关概率的计算应准确无误.(2014·新课标Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.78解：4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六或周日参加公益活动的情况各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78.故选D.1.古典概型是概率论中最简单而又直观的模型，在概率论的发展初期曾是主要研究对象，许多概率的运算法则都是在古典概型中得到证明的(遂谓之“古典”).要判断一个试验是否为古典概型，只需要判断这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.2.求古典概型的概率(1)对于事件A 的概率的计算，关键是要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件A 中的基本事件数，利用公式P (A )＝mn求出事件A 的概率，这是一个形象直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.(3)如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m ，n ，再运用公式P (A )＝mn求概率.(4)较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算，较为复杂的概率问题的处理方法有：①转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；②采用间接法，先求事件A 的对立事件A 的概率，再由P (A )＝1－P (A )求事件A 的概率.1.从集合A ＝{2，3，－4}中随机选取一个数记为k ，则函数y ＝kx 单调递增的概率为( )A.29B.13C.49D.23 解：k >0时符合要求.故选D.2.甲、乙、丙三人随意坐在一条长凳上，乙正好坐中间的概率为( )A.12B.13C.14D.16解：P ＝A 22A 33＝13.故选B.3.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.25C.35D.45解：所求概率P ＝C 12C 13C 26＝25.故选B.4.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.19解：将符合条件“个位数与十位数之和为奇数”的两位数分成两种类型：一是十位数是奇数，个位数是偶数，共有5×5＝25个，其中个位数为0的有10，30，50，70，90共5个；二是十位数是偶数，个位数是奇数，共有4×5＝20个.所以P ＝525＋20＝19.故选D. 5.(2013·浙江宁波十校联考)将一颗骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m 和n ，则n ≤2m 的概率是( )A.12B.23C.34D.56解：满足n >2m 的数对(n ，m )为(6，2)，(6，1)，(5，2)，(5，1)，(4，1)，(3，1)共6种，所以所求概率为1－636＝56.故选D.6.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率为( )A.15B.25C.35D.45解：同一科目的书相邻的情况有：2A 44A 22－A 33A 22A 22＝72种，故所求事件的概率为P ＝1－72120＝25.故选B.7.(2014·上海)为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是____________(结果用最简分数表示).解：在未来的连续10天中随机选择3天共有C 310＝120种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，故所求概率为8120＝115.故填115.8.(2013·全国课标Ⅱ卷)从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝__________.解：依题意有2C 2n ＝114(显然n ≥7)，∴C 2n ＝28得n 2－n －56＝0，∴n ＝8或n ＝－7，又∵n ∈N *，∴n ＝8.故填8.9.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上的点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15内部的概率.解：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能性基本事件.(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B ，则事件B 与“两数均为偶数”互为对立事件，所以P (B )＝1－936＝34，即两数中至少有一个奇数的概率为34.(2)基本事件总数为36，点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的内部记为事件C ，而满足条件x 2＋y 2<15的点(x ，y )为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，则C 包含8个事件，所以P (C )＝836＝29，即点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15内部的概率为29. 10.甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A ，B ，C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学.(1)求甲、乙两人都被分到A 社区的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率.解：(1)记甲、乙两人同时被分到A 社区为事件E A ，那么P (E A )＝A 22C 24A 33＝118.即甲、乙两人同时被分到A 社区的概率是118.(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E ，那么P (E )＝A 33C 24A 33＝16，所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是P (E )＝1－P (E )＝56.11.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球，都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.(1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球2次终止的概率； (3)求甲取到白球的概率.解：(1)设袋中有n 个白球，从袋中任取2个球是白球的结果是n （n －1）2.从袋中任取2个球的所有可能的结果数为6×72＝21.由题意知17＝n （n －1）221＝n （n －1）42，∴n (n －1)＝6，解得n ＝3(舍去n ＝－2). 故袋中原有3个白球.(2)记“取球2次终止”为事件A ，则P (A )＝4×37×6＝27. (3)记“甲取到白球”的事件为B ，“第i 次取到白球”为A i ，i ＝1，2，3，4，5， 因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球.所以P (B )＝P (A 1＋A 3＋A 5).而A 1，A 3，A 5两两互斥.∴P (B )＝P (A 1)＋P (A 3)＋P (A 5)＝37＋4×3×37×6×5＋4×3×2×1×37×6×5×4×3＝37＋635＋135＝2235.(2013·武汉二模)为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买5袋该食品，则获奖的概率为________.解法一：“获奖”即每种卡片至少一张，而5＝1＋1＋3＝1＋2＋2.有3种卡片，购买了5袋该食品，则基本事件总数为35.故所求概率为3C 15C 14C 33＋3C 15C 24C 2235＝5081. 解法二：若5袋食品均装入的是这3种卡片中的1种或2种则不获奖，即不获奖的概率为C 23·25－335＝3181，从而获奖的概率为1－3181＝5081.故填5081.。
